análise de estruturas - sismos

Análise de Estruturas

ACÇÃO DOS SISMOS

1

0,0399

f 1 = 160KN

f 2 = 160KN 0,0266/2 = 0,0133

0,0266

m

m

2

APONTAMENTOS DAS AULAS

sséérriiee EESSTTRRUUTTUURRAASS

joão guerra martins

7.ª edição / 2009

Acção dos Sismos – Apontamentos das Aulas de Estruturas Especiais/ UFP

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ACÇÃO DOS SISMOS

Acção dos Sismos – Aulas de Estruturas Especiais/ UFP

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A Intensidade de um sismo é uma medida da destruição observável numa determinada região afectada

A escala de intensidades mais vulgarizada foi proposta inicialmente por Mercalli e modificada subsequentemente por Richter, designando-se Escala de Intensidades Modificadas de Mercalli, ou simplesmente Escala de Mercalli modificada.


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Esta escala é baseada num reconhecimento subjectivo dos efeitos da vibração no comportamento das pessoas e no grau de destruição provocado. Uma versão desta escala é apresentada, ilustrando-se, para cada grau, o tipo de efeitos observáveis:

I - A vibração não é perceptível por pessoas.

II - Vibração perceptível por pessoas situadas em pisos elevados de edifícios.

III - Vibração perceptível dentro dos edifícios (semelhante à produzida pela passagem de camiões leves) podendo não ser identificada como um sismo; Alguns objectos pendurados balançam.

IV - Vibração semelhante à provocada pela passagem de camiões pesados; Sensação de sacudidela como a provocada pela pancada de uma bola contra uma parede; Automóveis estacionados balançam; Portas e janelas rangem. Os vidros vibram;

V - Vibração perceptível fora dos edifícios; Acorda pessoas, agita líquidos dentro dos recipientes podendo provocar extravasamento; Objectos menos estáveis podem ser derrubados ou arrastados; As portas oscilam; Os quadros nas paredes movem-se; Os pêndulos dos relógios param;

VI - Vibração sentida por todas as pessoas podendo mesmo provocar algumas reacções de pânico; Pessoas a andar cambaleiam; Partem-se vidros de janelas; Objectos caem das prateleiras e quadros das paredes. Mobiliário é arrastado ou virado; Árvores e arbustos agitam-se visivelmente; O reboco das paredes e tectos estala;

VII - Dificuldade das pessoas se manterem em pé; Vibração sentida por condutores de automóveis; Mobiliário partido e danos em cantaria fraca; Ruína de chaminés pequenas; Ruína de ornamentos de arquitectura; Queda de cornijas, floreiras, tijolos e telhas; Ondulação em lagos e deslocamento de areias em dunas.

VIII - A condução de automóveis é perturbada pelas vibrações; Danos em alvenaria, com colapso parcial de alvenaria ordinária e danos leves em alvenaria armada; Ruína de chaminés, monumentos, torres e depósitos elevados; Deslocamentos nas fundações dos edifícios e eventualmente assentamentos por compactação do solo. Quebram-se ramos de árvores;

IX - Pânico geral; Alvenaria fraca é destruída e a alvenaria de boa qualidade é seriamente danificada; As fundações são seriamente danificadas; Fendilhação generalizada do solo.

X - A maior parte das construções em alvenaria são destruídas juntamente com as suas fundações; Estruturas de madeira e algumas pontes são destruídas; Danos sérios em barragens, diques e taludes; Grandes movimentos do solo; Linhas de caminho de ferro levemente encurvadas; Água de rios e lagos projectada para fora das margens.

XI - Linhas de caminho de ferro completamente encurvadas e pipelines destruídos.

XII - Destruição praticamente total; Grandes massas rochosas deslocadas e linha do horizonte distorcida; Objectos projectados pelo ar.


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+

Medidas de concepção

+

Pormenorização (detalhe construtivo)


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Princípios de concepção de estruturas de edifícios (EC8)


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Mau Bom Mau Bom

Mau Bom Mau Bom


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Para um edifício ser classificado como regular no plano, satisfará todas as condições listadas

nos parágrafos seguintes:

• Com respeito à rigidez lateral e à distribuição de massa, a estrutura do edifício será

aproximadamente simétrica em plano com respeito aos dois eixos ortogonais;

• A configuração no plano será compacta, i.e., cada pavimento será delimitado por uma

linha poligonal convexa. Se este pavimento tiver reentrâncias/saliência (nos cantos ou

no seu contorno), a regularidade no plano ainda pode ser considerada se essas

singularidades não afectarem a rigidez desse plano, para cada reentrância/saliência

isso significa que a área entre o contorno do piso e uma linha convexa poligonal

envolvendo o mesmo não excede 5 % da área de pavimento.

• A rigidez no plano dos pavimentos deverá ser suficientemente grande, em comparação

com a rigidez lateral dos elementos estruturais verticais, de modo que a deformação do

piso tenha um efeito pequeno na distribuição das forças entre os elementos estruturais

verticais;

• Neste respeito, formas de pavimento em L, C, H, I e X devem ser cuidadosamente

examinadas, devendo ser notável a preocupação com a rigidez dos ramos laterais, que

deve ser comparável à parte central, para satisfazer a condição rígida de diafragma;

• A esbelteza = Lmax/Lmin (dimensões em planta) não será mais alta que 4, onde

respectivamente temos a maior e a menor dimensão do edifício em planta;

• Em cada nível, e para cada direcção X e Y, a excentricidade estrutural, e0, e o raio

torsional, r, estarão em condições de acordo com:

eox ≤ 0.30 rx

rx ≥ Ls

(considerando, no caso, a direcção de Y de análise)

Onde:

eox é a distância entre o centro de rigidez e o centro de massa, medida ao longo da

direcção de X, a qual é normal à direcção de análise considerada (Y);

rx é a raiz quadrada da razão entre a rigidez de torsional e a rigidez lateral na

direcção de Y ("raio torsional");

Ls é o raio de giração da massa do piso no seu plano (raiz quadrada da relação de

do momento polar de inércia da massa do piso chão em plano, com respeito ao

centro de massa desse piso.


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O critério para regularidade em elevação para um edifício ser classificado como é regular

em elevação, deverá satisfazer todas as condições alistadas nos seguintes parágrafos.

• Todos os sistemas resistentes laterais (contraventamentos), tal como núcleos, paredes

estruturais, ou pórticos, correrão sem interrupção desde as fundações ao topo do

edifício ou, se singularidades em alturas estão presentes, ao topo da zona relevante do

edifício para cada uma destas partes;

• Tanto ã rigidez lateral como a massa individual dos pisos permanecerão constante ou a

sua redução será realizada gradualmente, sem mudanças bruscas, da base ao topo do

edifício;

• Em edifícios porticados a relação da resistência real de cada piso, em relação à

requerida pela análise, não deve variar desproporcionalmente entre pisos adjacentes;

• Quando singularidades estão presentes, as seguintes condições adicionais aplicam-se:

Para singularidades graduais conservando simetria de axial, a singularidade em

qualquer piso não será superior a 20 % da dimensão do piso na direcção da

singularidade, conforme figura (a) e (b) abaixo;

Para uma única singularidade abaixo dos 15 % da altura total do sistema principal,

a singularidade não será maior que 50 % da dimensão do piso, conforme figura (c)

abaixo. Neste caso a estrutura da zona de base, dentro do perímetro vertical

projectado dos pisos superiores, deve ser concebido para o resistir, pelo menos, a

75% das forças de corte horizontais que desenvolveriam nessa zona num edifício

semelhante mas sem alargamento da base;

Se as singularidades não conservam simetria, em cada face a soma das

singularidades de todos os pisos não será maior que 30 % da dimensão no plano do

piso térreo acima da fundação, ou acima do topo de uma base rígida, e as

singularidades individuais poderão ser superiores a 10 % da dimensão em planta,

conforme a figura (d).


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Consequências da regularidade estrutural na análise e dimensionamento sísmico

Regularidade Simplificação permitida Coeficiente de Comportamento

Planta Altura Modelo Análise elástica e linear (para análise linear)

Sim Sim Plano Estática (a) Valor de referência

Sim Não Plano Sobreposição Modal Valor reduzido

Não Sim Espacial (b) Estática (a) Valor de referência Não Não Espacial Sobreposição Modal Valor reduzido

(a) Se o período fundamental de vibração T1 ≤ 4Tc e T1 ≤ 2.0, com Tc definido na tabela 3.2 e 3.3 do EC8. (b) Dentro das condições estabelecidas no ponto 4.3.3.1(8) do EC8, um modelo plano pode ser usado segundo as duas direcções principais horizontais (incluído à frente).

Assim:

Em geral a estrutura pode ser considerada como um número de sistemas resistentes

verticais e laterais, ligados por diafragmas horizontais.

Quando os pisos do edifício podem ser tomados como diafragmas rígidos em seus

planos, as massas e os momentos de inércia de cada um destes podem ser referidos ao

seu centro de gravidade.

Para edifícios que se adaptam ao critério de regularidade em planta, ou com as

condições apresentadas em 4.3.3.1(8) do EC8, a análise pode ser executada partindo

de dois modelos de planos, um para cada direcção principal (ver seguidamente).


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Notas de concepção de estruturas de betão e mistas de edifícios

(EC8)

Em edifícios de betão e em edifícios aço-betão compostos e em edifícios de alvenaria

resistente a rigidez dos elementos que suportam a acção sísmica devia, em geral, levar

em conta a avaliação da fissuração. Sobretudo tendo em consideração o efeito não linear

dos sismos. Tal rigidez deve corresponder ao início da cedência dos varões de aço.

A menos que uma análise mais exacta dos elementos fissurados, a rigidez de flexão

elástica e a rigidez ao corte de elementos de betão e alvenaria pode ser tomada

semelhante a metade da rigidez correspondente aos elementos não fissurados.

As paredes de alvenaria de enchimento que contribuem significativamente à rigidez

lateral e resistência do edifício, devem ser levada em conta.

A deformabilidade da fundação será levada em conta no modelo, sempre que pode ter

uma influência total adversa na resposta estrutural

As massas serão calculadas com base nas cargas de gravidade aparecendo na

combinação de acções.

Para explicar incertezas na situação de massas e na variação espacial do movimento

sísmico, o centro calculado de massa em cada piso a ser considerado terá que se deslocar

da sua situação nominal, em cada direcção, de uma excentricidade acidental: eai =

±0,05Li, sendo esta excentricidade acidental de massa, do piso i, obtida da sua


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localização nominal, aplicando na mesma direcção em todos os pisos, em que Li é a

dimensão do piso na direcção perpendicular à acção sísmica.

Os efeitos sísmicos e os efeitos das outras acções podem ser determinados pelo

comportamento linear-elástico da estrutura. Assim, o método de referência para

determinar os efeitos sísmicos serão a análise modal por espectro de resposta, usando

um modelo elástico (em termos materiais) e linear (em termos geométricos) da estrutura

e o espectro de projecto.

Dependendo das características estruturais do edifício, um dos seguiintes dois tipos de

análise elástico e linear podem ser usados:

1) O "método de análise lateral estático/força" para edifícios encontrando as

condições dadas em 4.3.3.2 do EC8 (este tipo de análise pode ser aplicado a

edifícios cuja resposta não é afectada significativamente por contribuições de

modos de vibração mais altos que o modo fundamental, em cada direcção

principal, podendo a frequência ser determinada pelo Método de Rayleigh, por

exemplo);

2) A "análise modal por espectro de resposta", que é aplicável a todos tipos de

edifícios.

Como uma alternativa a um método linear, um método não-linear também pode ser usado,

tal como:

1) Análise estática não-linear (pushover);

2) Análise não-linear com integração no tempo (dinâmica).


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Reparar que a admissibilidade dos pisos se comportarem como diafragmam rígidos no

seu plano é condição base para todos os modelos descritos, daí a importância das lajes

maciças (de betão armado ou mistas) no projecto em zonas sísmicas.

Notas de concepção de estruturas metálicas de edifícios (EC8)

As recomendações realizadas para edifícios de betão e mistos mantém-se em tudo que for

aplicável, sendo os edifícios resistentes a sismos fabricados em aço projectados de acordo

com um dos seguintes conceitos:

Conceito A) - Comportamento estrutural de baixa dissipação (de energia sísmica);

Conceito B) - Comportamento estrutural de dissipativo (de energia sísmica).


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Importância do solo (EC8)


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Tipos de solo (EC8)


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ZONAMENTO DO TERRITÓRIO [RSA – art. 28º]

Considera-se o país dividido em quatro zonas, em que na ordem decrescente, de índice de

sismicidade, são classificadas e designados por: A, B, C, D. A sua quantificação, em termos

de incidência sísmica, é feita a partir do coeficiente de sismicidade α, conforme Quando I, do

Capítulo VII – Acção dos Sismos, do RSA.

Tabela I – Valores do Coeficiente de Sismicidade, α

Zona Sísmica α

A

B

C

D

1,0

0,7

0,5

0,3

A delimitação pormenorizada destas zonas está no ANEXO III do RSA, que se reproduz, bem

como mapa que tem por base todos os sismos sentidos em Portugal continental.


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Zonas Sísmicas (EC8)


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Características principais (não são independentes): • Duração • Valores de pico da aceleração • Conteúdo espectral

Duração no RSA dos sismos tipo:

• Tipo I – 10 segundos • Tipo II – 30 segundos

Espectros de resposta:

• Cálculo a partir de espectros de potência;

• Cálculo a partir de sismogramas.


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Simulação numérica de sismogramas: • Compatíveis com espectros de potência; • Compatíveis com espectros de resposta.

Princípio:

• Um processo estocástico, estacionário, ergódico e gaussiano de média nula é completamente caracterizado pela função de auto-correlação ou, o que é o mesmo, pela sua função densidade espectral de potência:

A caracterização da estrutura probabilística pode ser feita através de Distribuições de probabilidade conjunta, Funções características, Momentos estatísticos, ...

Um processo diz-se estacionário se a sua estrutura probabilística não depender da origem de t. Um processo diz-se ergódico se a sua estrutura probabilística puder ser obtida de uma única

realização. Um processo diz-se gaussiano se puder ser completamente caracterizado pela função densidade de

probabilidade de Gauss (em forma de sino). Neste caso só existem momentos estatísticos até ordem 2 (média e desvio padrão).


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Espectros de Resposta do RSA e do EC8:

ZZoonnaa AA,, TTeerrrreennoo ttiippoo II


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QUANTIFICAÇÃO DA ACÇÃO DOS SISMOS [RSA – art. 29º]

Definições importantes:

• Para além do coeficiente de sismicidade, α (Quadro I), relacionado com o local

geográfico dentro do território nacional, também, para a definição dos Valores

Característicos da acção dos sismos, a natureza do terreno importa. Deste modo, são

preconizados três tipos de terrenos. classificados por: Tipo I, II, III. Sendo:

Tipo I: Solo rochoso ou coerente rijo;

Tipo II: Coerente muito duros, duros e de consistência média;

incoerentes compactos;

Tipo III: Coerentes moles e muito moles; incoerentes soltos.

• Valores reduzidos da acção dos sismos são nulos (incluindo o valor raro ψ0 = ψ1

= ψ2 = 0);

• Em geral, apenas é necessário considerar direcções de actuação da acção dos sismos

no plano horizontal, na medida em que na direcção vertical só quando as estruturas

sejam especialmente sensíveis a vibrações nesta direcção. No que se refere ao

disposto em 29.4 (R.S.A), como exemplo de casos em que deverá considerar-se a

acção sísmica na direcção vertical, podem referir-se as estruturas com modos de

vibração caracterizados por frequências próprias inferiores a cerca de 10 Hz, a que

correspondam configurações com deslocamentos significativos na direcção vertical

(o que, na verdade, não alberga uma quantidade de construções significativa).

Exemplo prático:

Uma ponte.

A pior situação é o esborrachar da ponte, pois irá destruir as cabeças dos pilares ou punçoar o

tabuleiro (se a laje for fungiforme – situação rara).


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Nós FIXOSNós MÓVEIS

N N

N . = considerável = M adicional N . = não considerável = M desprezável

FF

ΔNM

NMΔ

ΔNM Δ

Δ NF

NF

NFΔ

Na quantificação da acção dos sismos apenas são tidas em conta as acções vibratórias

transmitidas pelo terreno à estrutura.

DETERMINAÇÃO DOS EFEITOS DA ACÇÃO DOS SISMOS [RSA – art. 30º]

A determinação dos efeitos da acção dos sismos deve ser efectuada por métodos de

análise dinâmica, de acordo com o indicado em 30.2 e 30.3 (RSA), podendo, no entanto,

utilizar-se também os processos simplificados de análise estática apresentados em 30.4 e 30.5

(RSA).

Conceito importante:

MOBILIDADE – Sensibilidade das estruturas aos deslocamentos laterais.

Estas duas figuras dão continuidade ao que temos visto, relacionado a rigidez aos

deslocamentos horizontais com a sua classificação quanto à mobilidade lateral, designando-se

estruturas de nós MÓVEIS, ou de nós FIXOS, conforme os deslocamentos transversais serão

consideráveis ou não para o cálculo dos esforços (se são ou não geradas excentricidades

significativas entre as bases e topos dos elementos verticais, gerando efeitos de 2.ª ordem –

momentos adicionais: M = Mconvencionais + N.e).


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Métodos de análise dinâmica (RSA – art. 30.2º e 30.3º):

Primeiramente devemos relembrar que, simplificadamente, a Dinâmica Estrutural

estuda acção que o sismo provoca nas construções, ao induzir-lhe acelerações que tem como

resposta o aparecimento de forças inérciais nas massas da estrutura, pois que estas são

mobilizadas pelo efeito vibratório sísmico.

De forma ilustrativa, diríamos que o sismo movimenta, por agitação, a base das

estruturas, tendo as massas destas (designadamente concentradas ao nível dos pisos) tendência

para resistirem ao deslocamento que lhe é imposto, dado as suas grandes inércias.

Devem-se ter em conta a quantificação das vibrações sísmicas (artigo 29° do RSA) e

considerar as massas correspondentes ao valor médio das cargas permanentes e ao valor quase

permanente das cargas variáveis que actuam na estrutura.

Por outro lado, as características de rigidez e amortecimento a adoptar devem

corresponder a valores médios das propriedades dos materiais.


Eq. Equilíbrio Dinâmico: K.d + A.v + M.a = F

K, Rigidez (K.d = F) Conceito ESTÁTICO

A, Amortecimento (A.v = F) Conceito CINEMÁTICO

M, Massas (M.a = F) Conceito DINÂMICO

d – deslocamento; v – velocidade; a - aceleração

O quociente δ entre o menor dos valores máximos das componentes horizontais da

reacção global da estrutura sobre a fundação, nas diversas direcções, e o valor das cargas

correspondentes às massas consideradas, não deve ser menor que α04,0 .

Se o valor do quociente for inferior ao limite indicado, os resultados obtidos pela

analise dinâmica deverão ser multiplicados por δα04,0 .


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No caso de esse quociente δ ser superior a α16,0 e a estrutura apresentar uma certa

ductilidade, os resultados daquela análise poderão ser divididos por α16,0δ .

Quantificação das massas

• Estruturas porticadas e de uma só massa (reservatórios, silos,

etc):

3233 Q*ψ+G=m

2222 Q*ψ+G=m

1211 Q*ψ+G=m

Edifício em Altura Reservatório Elevado

• Um reservatório de água

m m/2

Ambas são desfavoráveis para os SISMOS

Para o VENTO, a situação mais desfavorável é o depósito vazio.

Esta também é a situação mais desfavorável

para fins de cálculo de acções gravíticas da

estrutura

Esta é a situação mais desfavorável

para fins de cálculo das paredes ( )3

22

1 ou±

RRR Q)100 - 0%(+G=m


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Efeitos das singularidades nas estruturas

A figura seguinte mostra-nos uma situação em que a existência de meia parede não é

favorável para a acção dos sismos, pois terá momentos máximos no meio do pilar. Ora, muito

provavelmente, os cálculos de projecto foram realizados com a estrutura sem este

impedimento à deformação desses elementos verticais, surgindo situações de

imprevisibilidade em caso de sismo.

A situação comum, de cálculo corresponde à figura acima, admitindo os pilares soltos.

Todavia, a situação acima descrita poderá ficar coberta pelo facto de, em princípio, as

armaduras (de flexo-compressão e esforço transverso) obtidas deste modo, não serem

inferiores, pelo que sanará o problema.


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Δ= *lEI12f 3 Δ= *

hEI3f 3

X- Centro de Rigidez

- Centro de Massa

Estrutura Regular de 9 Pilares Estrutura Irregular de 8 Pilares

A excentricidade entre CM e CRprovoca a torção da estrutura

Tipos de estruturas (e sua forma de deformação a acções horizontais)

PÓRTICOS PAREDES

MISTAS

Nas estruturas em que os elementos não estejam dispostos em malha ortogonal, poderá

considerar-se que a acção sísmica actua separadamente segundo as direcções em que a

estrutura se desenvolve, devendo-se então proceder a uma análise complementar para ter em

conta os efeitos da torção.


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NOTA: Numa estrutura perfeitamente regular, a acção sísmica conjunta nas duas direcções

pode provocar um efeito idêntico ao da torção em estruturas irregulares, atendendo a

desfasamento nos modos de vibração. Contudo, esta situação é difícil de poder coexistir:

idêntica magnitude em direcções ortogonais.


DUCTILIDADE – Capacidade do material se deformar sem perder a resistência.

Em geral, pode admitir-se o comportamento linear para efeitos de cálculo da acção sísmica e

corrigir os resultados, dividindo-os por coeficientes de comportamento (η) que dependem do

tipo de estrutura (pórtico, mista pórtico-parede, parede) e das suas características de

ductilidade (ductlidade normal ou ductilidade melhorada).

Normalmente para o cálculo das acções sísmicas, considera-se sempre, ou quase sempre, que

os materiais ultrapassam o seu Limite Elástico.

ηE = Coef. Comportamento para Esforços = Esforços Reais / Esforços Elásticos ≤ 1

ηd = Coef. Comportamento para Deslocamentos = Deslocamentos Reais / Deslocamentos Elásticos ≥ 1


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Deformação Elástica de Cálculo

Deformação Real Inelástica

σ Limite Elástico

σ

σ Real

ε

ε ε Limite Elástico

Real

Sistema de 1 grau de liberdade em deslocamento crescente (Fonte: SMEE - DECivil – IST)


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(Fonte: SMEE - DECivil – IST)

Segundo o art.º 30 do RSA:

«Poderá admitir-se que a estrutura apresenta um comportamento elástico linear e corrigir os

resultados assim obtidos dividindo-os pelo correspondente coeficiente de comportamento. O

coeficiente de comportamento define-se para uma determinada grandeza (esforço,

deslocamento, etc.), para uma determinada estrutura e para uma determinada acção sísmica,


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f 2

f 2

f 1

f 1

tendo a pretensão de correlacionar o valor máximo da grandeza determinada por modelos

lineares (idealizados) e não lineares (reais).»

Nota: É nos nós que a acção sísmica tem o seu efeito mais assinalável, dado o valor dos

esforços concentrados nessa zona.

Risco sísmico, grau de importância das estruturas e ductilidade

O risco sísmico, de que depende a definição das acções sísmicas de projecto, está ainda

relacionado com o tipo de estrutura e com a sua importância para a comunidade.

O tipo de estrutura é fundamentalmente definido de acordo com as características de

ductilidade dos materiais utilizados e com a própria geometria da estrutura. No RSA é

considerado um coeficiente de comportamento (η) no cálculo da acção sísmica, o qual

depende não só da ductilidade e geometria da estrutura mas também do grau admitido na

exploração dessa ductilidade. Este coeficiente destina-se a corrigir os efeitos da acção dos

sismos obtidos através de uma análise linear e elástica das estruturas, com vista a transformá-

los em valores que se obteriam por uma análise não-linear (material e geométrica).


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Estruturas de betão armado

No caso particular das estruturas de betão armado ou pré-esforçado o regulamento nacional

aplicável é o REBAP (até 2010, data em que se prevê a entrada em vigor dos Eurocódigos), o

qual distingue dois tipos de estruturas de acordo com a sua ductilidade:

⇒ Estruturas de ductilidade normal, as quais se limitam a obedecer às disposições de

projecto e disposições construtivas mínimas definidas nos capítulos X e XI daquele

regulamento.

⇒ Estruturas de ductilidade melhorada, as quais obedecem a disposições de projecto e

construtivas adicionais definidas no capítulo XII do mesmo regulamento.

Para além das disposições construtivas que constam no capítulo X e XI do REBAP, também o

capítulo XII (complementar ao Cap. X e XI) encerra conceitos e disposições construtivas

importantes no contexto sismo-resistente (estruturas de ductilidade melhorada - art. 142º ao

176º do REBAP).

O REBAP apresenta valores do coeficiente η de acordo com o tipo de estrutura resistente e

com a ductilidade nos seus art./os 33.2 e 33.3. Estes valores encontram-se aqui resumidos no

quadro abaixo. Neste domínio o EC8 apresenta uma abordagem bastante mais completa, para

além de fornecer valores para outros tipos de materiais.

No que respeita à importância das estruturas para a comunidade, estas devem ser classificadas

de acordo com os danos permitidos em caso de catástrofe sísmica. Um exemplo de

classificação poderia ser a seguinte:

⇒ Estruturas críticas: Hospitais, esquadras de polícia e quartéis de bombeiros, unidades

militares, sistemas de comunicações e rádio, fornecimento de água, electricidade e gás,

centros de protecção civil, grandes barragens ou centrais térmicas, pontes em itinerários

fundamentais.

⇒ Estruturas importantes: Hotéis e edifícios de escritórios, edifícios públicos, igrejas,

escolas e grandes complexos industriais e comerciais.

⇒ Estruturas comuns: Armazéns, edifícios agrícolas, moradias unifamiliares.


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Valores do coeficiente de comportamento em estruturas de betão armado e pré-esforçado

Tipo de Estrutura resistente Coeficiente η relativo a esforços

Ductilidade normal / Ductilidade melhorada Estruturas críticas Outras estruturas

Edifícios correntes com estrutura de: • Pórticos resistentes 1.75 / 2.45 2.5 / 3.5 • Pórticos e paredes resistentes 1.4 / 1.75 2.0 / 2.5 • Paredes resistentes 1.05 / 1.4 1.5 / 2.0 Pontes correntes em que a energia é, fundamentalmente, dissipada por:

• Deformação de flexão dos pilares 1.4 / 2.1 2.0 / 3.0 • Idem por esforço transverso 1.0 / 1.2 1.4 / 1.7 • Encontros 1.0 1.2 Coeficientes η relativos a:

Devem ser tomados iguais a 1.0 • Esforços gerados pela vibração vertical • Deformações

Este tipo de classificação deve ser tido em conta quando da verificação da segurança

estrutural, permitindo, por exemplo, que as estruturas consideradas críticas ou importantes

tenham mais reservas de resistência e tenham comportamento dúctil na rotura, de forma a

poderem dissipar grandes quantidades de energia durante o sismo.

Estruturas metálicas

Segundo o REAE:

Art.º 6.3 - Os coeficientes de comportamento, a utilizar segundo os critérios definidos no RSA

para a determinação dos efeitos da acção dos sismos, devem ser convenientemente

justificados, tendo em conta o tipo de estrutura e as características de ductilidade da

construção.

No caso de edifícios correntes, tal como são definidos no RSA, podem adoptar-se os seguintes

coeficientes de comportamento para esforços:

1) Para vibrações nas direcções horizontais:

Pórticos sem elementos de rigidez... 2,5

Pórticos com elementos de rigidez (paredes ou treliças)... 1,5

Pórticos de tipo misto... 2,0

2) Para vibrações na direcção vertical... 0,8


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3) Para o mesmo tipo de edifícios o coeficiente de comportamento relativo a

deformações poderá tomar-se igual a 0,7.

Como se sabe, os coeficientes de comportamento destinam-se a corrigir os efeitos da

acção dos sismos obtidos por uma análise linear, de modo a transformá-los nos valores

que se obteriam por uma análise não linear. Compreende-se, assim, que estes coeficientes,

além de serem função do tipo de estrutura e das suas características de ductilidade,

dependam também do efeito em causa e da quantificação dos parâmetros utilizados na

análise linear. No presente Regulamento apenas são quantificados os coeficientes de

comportamento para edifícios correntes, tendo-se considerado suficiente definir

coeficientes relativos aos esforços e às deformações, sem distinguir o tipo de esforços ou

de deformações.

O valor do coeficiente sísmico de referência, (β) (índice 0), definido no artigo 31º do

RSA, diz respeito a um amortecimento com o valor de 5% do amortecimento crítico,

enquanto usualmente se admite para as estruturas metálicas um valor da ordem de 2%.

Os valores dos coeficientes de comportamento apresentados têm, naturalmente, este

facto em conta.

Segundo o EC8 (valores máximos em complemento à tabela anterior):


42/122

Lembra-se que por edifícios correntes se entendem aqueles que obedecem às condições

para tal especificadas no RSA e que implicam que as estruturas tenham uma distribuição

de rigidez aproximadamente uniforme em altura, o que não é compatível com grandes

descontinuidades na distribuição das alvenarias de andar para andar ou com o emprego de

processos de construção que possam facilitar que essa descontinuidade se crie durante a

ocorrência de um sismo.

No caso de edifícios não correntes, os coeficientes de comportamento a adoptar devem ser

convenientemente justificados, devendo, porém, considerar-se os valores apresentados no

artigo como limites superiores.


43/122

Condições ductilidade melhorada segundo o REBAP

REBAP / Artigo 142º (Generalidades)

Visa aumentar a ductilidade das estruturas face às acções sísmicas, sendo necessário assegurar

que as roturas sejam condicionadas pelas armaduras e não pelo betão, evitando rupturas

frágeis.

Por outro lado, o betão confinado suporta tensões mais elevadas do que aquele que não se

encontra sob um estado bi ou triaxial de compressão. A sua confinação pode-se obter

utilizando boas cintagens, o que também conduz a uma segurança adicional relativamente ao

esforço transverso.

Utilização de boas cintagens. Diminuindo o espaço entre os estribos, teremos um

melhoramento da ductilidade da estrutura, tendo melhores armaduras e menores tensões no

betão ( cdIIIcdIIcdI f<f<f ).

f cd II,I,III

f cd II,I,III

f cd III,II,I

f cd III,II,I

f cd I,II,III

f cd I,II,III

Temos que 21 Δ=Δ e l

EI=k , sabendo que: 3

xΔ

lEI*12

=K , teremos:

12ba12

)a2(b

=

lIE12

lIE12

=KΔ 3

3

31

11

32

22

↔ 8=aa8

=KΔ 3

3

, logo o pilar P2 irá absorver 8 vezes mais que o P1,

devido a sua secção e dimensão, ou seja; quanto mais rígido for a estrutura, mais força irá

absorver da acção sísmica.


44/122

a

f P1

f

b

2a

P2

m1Δ 2Δ

h

Vigas ALTAS e CURTAS

A RIGIDEZ atrai a força do SISMO!!!

REBAP / Artigo 143º (Vigas de pórticos)

Refere-se a vigas em estruturas de ductilidade melhorada, em que:

⇒4>hl

Esta condição é imposta no sentido de limitar o MÁXIMO

4h≥b da relação h

l , pois sabemos que l

EI=k , ou seja, como a

e rigidez de uma viga está directamente relacionada com o

cm20≥b comprimento ( l ) e altura (através da inércia [ I ]), podemos

concluir que as vigas curtas ( l pequeno) e altas (h grande)

são absorventes da acção dos sismos: A RIGIDEZ atrai a

força do SISMO!!!

Por outro lado, sendo as vigas ser mais resistentes que os

pilares, pode conduzir a que as rótulas plásticas provocadas pela acção sísmica se formem

nestes últimos elementos resistentes, o que pode conduzir ao colapso da estruturas.

Exemplos práticos (algumas situações):

Esta figura mostra-nos, mais uma vez, que é nos NÓS que acção sísmica é mais significativa

para uma estrutura. Assim sendo, devemos evitar uma possível rotura nos pilares e nas vigas,


45/122

f Viga ALTA f

Rótula no PILAR

Rótula da VIGA

mas se tiver que acontecer, que seja nas vigas, pois iremos estar visando os efeitos de

segurança (dado que mesmo que estas formem rótulas nos seus extremos, ainda permanecem

isostácticas, mas mesmo que desse o seu colapso, o seu efeito seria restritamente local).

Então, caso tenhamos uma estrutura porticada com viga alta, a resistência desta será maior

que nos pilares e caso ocorra uma acção sísmica, esta poderá causar roturas na cabeça/base

dos pilares e, consequentemente, o colapso total do edifício. Outro caso, será uma estrutura

com pilares mais robustos que as vigas (e/ou lajes), que poderá conduzir a um possível

mecanismo das últimas ou, mesmo, a uma rotura parcial do edifício, devido à plastificação

das vigas (mas sem colapso global).

f 1

f 2


46/122

2d

As+

As+ d

As

f ? f ?

As

REBAP / secção 143.2º: indica-nos a percentagem e a localização da ARMADURA

LONGITUDINAL, limitando a compressão máxima no betão para que a estrutura não sofra

uma rotura frágil e também limita a quantidade de armadura ( sA ) de flexão.

cdc ff ≤

d3,0≤x

Para limitar a compressão.

Deve-se ter a atenção que As não deve ser inferior a

50% de +As na extensão 2d e vice-versa (não

existindo desequilíbrios acentuados entre estas

armaduras).

Por outro lado, no caso de se dar um sismo, nunca se sabe de que lado virá, devendo-se

reforçar-se os nós de ambos os lados devido a acção mais grave do peso das sobrecargas,

como mostra figura abaixo. Verificando estas condições, a viga poderá se deformar sem que o

betão fique previamente comprimido.


47/122

f fAsAs

−≥ As21 −≥ As2

1

As As

+≥ As21

As = 2Ø6 >= 2Ø12

f

REBAP / Secção 143.3º:

Muitas vezes, as vigas são pormenorizadas com o

mínimo de 2 varões de 6mm em cada face. Contudo,

para estruturas de ductilidade melhorada deverão ser

construídas no mínimo com 2 varões de 12mm.

A figura anterior mostra-nos uma situação em que se deve ter muita atenção. No centro da

viga, os esforços poderão variar muito consoante a direcção e a intensidade do sismo, por isso

a necessidade de se ter armaduras ao longo de todo o comprimento da viga (positivas e


48/122

negativas). Nas extremidades, a situação será semelhante, daí a necessidade da armadura ter a

extensão mínima 2d e não possuir emendas ou interrupções (Secção 143.4º).


2d2d

A importância de não ter emendas ou interrupções no intervalo de 2d são variadas para a

estrutura de ductilidade melhorada, a principal é que se diminui o risco de colocar armaduras

em excesso e consequentemente aumenta a segurança de toda a estrutura.


ff

finalsdrd V<V

( )

lM+M*5,1

=Vdirrd

esqrd

SK,sd


49/122

2d

15cm

10cm

2d

cm5≤

≤

≤


Exemplo prático:

Qual a maior altura (h) que uma viga com 6m comprimento (l) pode ter para uma estrutura de

ductilidade melhorada?

m5,1<h⇔

46

<h⇔4>h6

⇒4>hl

m6=l

REBAP / Artigo 144º (Pilares)

No REBAP / Secção 144.1º, diz-nos que os pilares deve satisfazer a seguinte condição:

ccdsd AfN **6,0≤

Em casos normais teríamos 0,85 a multiplicar pelo valor de cálculo da tensão de rotura à

compressão do betão e pela área de secção transversal do pilar, mas como estamos a falar de

estruturas de ductilidade melhorada, temos 0,6, para que o betão não esteja demasiado

comprimido, propiciando roturas frágeis.

Também houve uma redução de metade do valor máximo da esbelteza (λ ), em de 140 (artigo

64º) passou a ser 70.

Além disso, aumentou a menor dimensão da secção

transversal do pilar, que passou a ser de 30cm (contra 20

cm das estruturas correntes - artigo 120º).


50/122

V sd M sd (Considerados)

M rd (Existentes)

l

Já no REBAP / Secção 144.2º mostra-nos que em caso algum a secção total da armadura

longitudinal deve ser inferior a 0,8% para o betão A235 e 0,6% para o A400 e A500. O artigo

121º (REBAP) nos dizia a mesma coisa, porém com algumas excepções. Mais uma vez, esta

condição justifica-se para que o betão não esteja excessivamente à compressão.

REBAP / Secção 144.3º, para não fugir as ideias das secções anteriores, mostra-nos que a

secção total da armadura longitudinal não deve exceder 6%, sendo que no artigo 121º

(REBAP) é 8%, mesmo em zonas de emenda de varões por sobreposição.

REBAP / Secção 144.4º: erior

cAint Esta medida também visa salvaguardar que as

rótulas (caso haja) se situem nas vigas e não nos

pilares.


)(

⇒pilarh

MMVAdrd

erd

sw =


51/122

h

a

Pilar

b

ø8//10cm

lv lp

Esta situação é possível, porque caso ocorra um sismo, poderá existir tracções nos pilares. Se

tivermos compressões, podemos até considerar favorável, pois irá aumentar a resistência e

quando não muito o betão aguenta bem; enquanto as tracções só irão prejudicar.

REBAP / Secção 144.6º e 144.7º:

b→

a→

h61→

≥C

≤ ≥

Para conferir uma maior

rigidez e, sobretudo,

confinamento do betão nas

zonas extremas do pilar.

Não devem ser realizadas emendas ou interrupções nas zonas extremas do pilar e sim a

meia altura, pois os momentos são menores.

REBAP / Artigo 145º (Nós de Pórticos)


Igual às vigas.



52/122

15cm

Se pv ll ≥ e nenhuma viga com altura inferior a 43 de altura da viga mais alta, então pode-se

2swA⇒ .

REBAP / Artigo 146º (Paredes e Diafragmas):

60<λ

ph101

Para evitar

paredel101

ou

e*2

2≥lht


53/122

Cm

3

2 1

X

Processos simplificados de análise estática (RSA – art. 30.4º e 30.5º):

• Centro de massa

( )∑

∑=i

xiix

md*m

Cm

1 - 22 15 mKN

mq =

2 - 22 10 mKN

mq =

3 - 22 20 mKN

mq =

[ ]Kgfs

mN

gfmamf

2

* ==→=

Cálculo do Centro de massa:

( ) ( ) ( )[ ] mmmg

mmmg

CgCmm

KN

mmxdm

mKN

xx 85,1125*15*2010*35*1015*15*15

5,12*15*25*205*10*35*105,17*15*15*15

2

2

325,710)(11

=++

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛+

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛+⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

==

+=

( ) ( ) ( )[ ] mmmg

mmmg

CgCmm

KN

mmydm

mKN

yy 80,2125*15*2010*35*1015*15*15

5,7*15*25*205,32*10*35*105,42*15*15*15

2

2

325,735)(11

=++

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛+

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛+⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

==

+=

• Centro de rigidez

RigidezL

IEK *=⇒


54/122

f 1

h

a

a

2a

Y

aCr

2a

6a

a X2a5a

2aa

Cálculo do Centro de rigidez:

Normalmente temos que iE e iL são constantes. Assim sendo:

2

6aCr y =

( ) ( )

∑

∑

∑

∑

∑

∑≈

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

== nxi

nxi

xi

n

i

xii

nxi

i

xii

nxi

nxi

xi

x

I

dI

LIE

dL

IE

K

dKCr

1

1

1

1

1

1

*

*

***

aapI 2*2 aa

pI *

( ) ( )

( )⇔

+

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−+

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

12**2

122*2*2

25*12**2*

122*2*2

33

33

aaaa

aaaaaaa

Cr

dd

x

aapI 2*2 aa

pI *

Considerando a = 1m, teremos:


55/122

( )( ) mCr x 2,1

18*25,4*11*8*2

16

=+

+=⇔

mCr y 326

==

Exercício:

Um edifício de 14 pisos tem f = 1,2 Hz. Classifique-o quanto à sua deformabilidade face ao

Artigo 30.6º do R.S.A..

Temos que f = 1,2 Hz, em que

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

==

≥⇒

57,01488

5,0

pisosn

e

Hz

f

Então, de acordo com o R.S.A., podemos dizer que o edifício não é demasiado deformável.

COEFICIENTES SÍSMICOS [RSA – art. 31º]:

Exercícios:

a) Considere um edifício com estrutura porticada de 12 pisos e diga qual a sua frequência

fundamental de acordo com os critérios simplificados do RSA.

Em consonância com a Secção 31.2º, podemos calcular:

Hzfn

fpisos

1121212

==⇔=

Podemos ainda concluir: Quanto mais alto for o edifício, menor é a sua frequência, maior

a sua deformabilidade.

b) Considere um edifício com estrutura pórtico – parede de 12 pisos e diga qual a sua

frequência fundamental:


56/122

f

b = 15m

Em conformidade com a Secção 31.2º, podemos calcular:

Hzfn

fpisos

33,1121616

==⇔=

c) Considere um edifício com estrutura parede de 12 pisos e o esquema da planta abaixo e

diga qual a sua frequência fundamental:

De acordo com a Secção 31.2º, podemos calcular:

Hzfh

bf 5,23*12

15*6*6==⇔=

OBS.:

⇒pisosn É o nº de pisos acima do nível do terreno;

⇒h Altura do edifício acima do nível do terreno;

⇒b Dimensão em planta do edifício segundo a direcção do

sismo;

⇒f Expresso em “Hz”.


57/122

Y

6,0 m

6,0 m

0,300,30

6,0 m

6,0 m

0,30 2,0 m 2,0 m

4,0 m

1m

2

4,0 m

MÉTODO SIMPLIFICADO DO RSA (VALOR E DISTRIBUIÇÃO DAS FORÇAS

ESTÁTICAS) [RSA – art. 32º] versus ANÂLISE DINÂMICA

⇒ Exemplo Nº1 (ANÁLISE PELO MÉTODO ESTÁTICO EQUIVALENTE)

Considere o seguinte edifício cuja estrutura não é de ductilidade melhorada, ou seja, é de

ductilidade normal.

DADOS:

• Carga Permanente (incluindo o Peso

Próprio) = 26 mKN ;

• Sobrecarga (Edifício Habitação) = 22 mKN ;

• 2,02 =ψ ;

• Tipo de terreno: II;

• Zona de sísmica: Porto;

• Estrutura em Betão Armado.

RESOLUÇÃO:

Cálculo da carga total: 22 4,62*2,06* mKNCSCCPC tt =⇔+=+= ψ


58/122

Cálculo do coeficiente sísmico nas duas direcções ( β ): ηαββ *0=

- Zona de sísmica: Porto 3,0=⇒ α (R.S.A.- art.29.2º, Quadro I);

- Direcções:

• Direcção X:

Temos uma estrutura mista pórtico – parede de ductilidade normal, logo

0,2=⇒ η (REBAP – art.33.2º). Então:

⎪⎭

⎪⎬

⎫

=≥→

===→

;4,0:0,4,.

;82

1616

0βfterrenoIIT

Hzn

f(R.S.A. – art.31.2º - Quadro II)

06,00,23,0*4,0 =⇔=→ xx ββ

• Direcção Y:

Temos uma estrutura em pórtico de ductilidade normal, logo

5,2=⇒ η (REBAP – art.33.2º). Então:

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

=⇔=→

=≥→

===→

048,05,23,0*4,0

;4,0:0,4,.

;62

1212

0

yy

fterrenoIIT

Hzn

f

ββ

β (R.S.A. – art.31.2º - Quadro II)

Verificação dos valores:

Obtivemos:

048,006,0

=

=y

x

β

β

Temos ainda conferir a seguinte condição: αβα *16,0*04,0 ≤≤


59/122

CY

X

G G

Y

C

OK

KO

y

xx

⇒≤≤→⇒

=⇒⇒≤≤→⇒

048,0012,0

048,0012,0

3,0*16,0048,03,0*04,0

048,03,0*16,006,03,0*04,0

β

ββ

OBS.: Se a estrutura apresentar uma certa ductilidade não necessita ser considerado um valor

maior que α*16,0 e neste caso, apesar de ser uma estrutura de ductilidade normal, ela em

princípio apresentará essa característica (bastando adoptar as disposições construtivas

elementares obrigatórias para uma estrutura de ductilidade melhorada). Então o coeficiente

sísmico será igual a 0,048. (R.S.A. – art.31.2º). Contudo, o valor mínimo de α*04,0 terá

sempre de ser respeitado.

Cálculo da acção do sismo:

∑∑=

ii

iiiKi Gh

GGhf

****β

- 1ºPiso:

[ ] [ ]

;12,222,691*0,82,691*0,4

2,691*2*2,691*0,4*048,0

2,6914,6*)6*18(*

;0,4;048,0

21

11

22

1

1

KNff

KNmKNmCAG

mh

GG

xKK

tpiso

=+

=⇒

===

==

=

β

.12,222,691*0,82,691*0,4

2,691*2*2,691*0,4*048,0

21

1 KNf

GG

yK =

+=

=

Só por coincidência que yKf 1 é igual a x

Kf 1 !!!


60/122

f 2

f 0

f 1

f 3

f 4

f 5

m

m

m

l

l

l

m

m

l

l

l

- 2ºPiso:

[ ] [ ]

;24,442,691*0,82,691*0,4

2,691*2*2,691*0,8*048,0

2,6914,6*)6*18(*

;0,8;048,0

21

22

22

2

2

KNff

KNmKNmCAG

mh

GG

xKK

tpiso

=+

=⇒

===

==

=

β

.24,442,691*0,82,691*0,4

2,691*2*2,691*0,8*048,0

21

2 KNf

GG

yK =

+=

=

Só por coincidência que yKf 2 é igual a x

Kf 2 !!!

22,12 KN

44,24 KN

G1C

G2

1m

2m

Podemos concluir se os pisos tiverem a mesma massa e todas as alturas iguais, teremos:


61/122

9,0 m6,0 m

f 4

1

f 2

f 3

18,0 m

9,0 m

3,0 m3,0 m

6,0 m

OBS.: É importante observar que o diagrama das forças sísmicas aumenta conforme também

cresce a altura do edifício em relação ao solo, sendo perfeitamente triangular se as massas de

todos pisos forem idênticas, bem como a altura dos mesmos.

Exemplificando para o 1.º piso:

Distribuição das forças (atendendo

ao art.º32.2 do RSA: estruturas

simétricas na direcção considerada

e elementos resistentes

uniformemente distribuídos):

a

x6,01 +=ξ

)( arregulamentfactorKj

Kiff

estruturadatotalrigidezdadentroipórticodorelativarigidez

alSísmicaTotiPórtico ξ×⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡×=

∑…

KNKNff

mm

KNKNff

mm

estruturadatotalrigidezdadentropórticodorelativarigidez

xP

estruturadatotalrigidezdadentropórticodorelativarigidez

xP

034,01,1031,0][1,1*)12/3,03,02(2)12/0,23,02(2

12/3,03,0212,22

1,118

3*6,01

33,143,102,11][3,1*)12/3,03,02(2)12/0,23,02(2

12/0,23,0212,22

3,118

9*6,01

1

33

3

32

2

1

33

3

41

1

=×=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡×××+×××

×××==

⇒=+=

=×=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡×××+×××

×××==

⇒=+=

ξ

ξ

De reparar que no caso dos pórticos XX’s toda a força sísmica é absorvida pelos que

possuem paredes resistentes, dada a sua desproporcional rigidez face aos que apenas tem

pilares.

No caso dos pórticos em YY’s, dado terem a mesma rigidez, basta dividir a força sísmica

total pelo seu número.


62/122

KNKNffm

m

Pórtin

yP 38,143,1*212,223,1

63*6,01

cosº

211 ===⇒=+=ξ

Estes são os valores da distribuição referente aos dois tipos de pórticos!!!

TERMINAMOS DE VER UMA FORMA DE ANÁLISE:

- Processo Simplificado (método estático equivalente do RSA à Acção Sísmica)

PARA DETERMINAR A ACÇÃO DO SISMO.

Porém, vejamos agora alguns exemplos práticos de UM MÉTODO DE CÁLCULO

RIGOROSO DA FREQUÊNCIA POR VALORES E VECTORES PRÓPRIOS:

Métodos de Análise Dinâmica


63/122

4,0 m

4,0 m

1m

2

⇒ Exemplo Nº 2 - CÁLCULO DA FREQUÊNCIA POR ANÁLISE VIBRATÓRIA

Aproveitando o edifício do exemplo anterior:

Dados:

[ ] [ ] KNmKNmCAG

mKNC

tpisopiso

t

2,6914,6*)6*18(*

4,6

22

11

2

===→

=→

→ Massa do Piso1:

ton53,70ms8,9

2,691g

GM 2

1piso1piso ===⇒ −

→ Massa do Piso 2 = Massa do Piso 1

→ Betão B25.

Equação de Equilíbrio Dinâmico: M.a + A.v + K.d = F

Visão simplista do fenómeno SÍSMICO:

amf *=

massa aceleração

da do

estrutura sismo

Y

6,0 m

6,0 m

0,300,30

6,0 m

6,0 m

0,30 2,0 m 2,0 m


64/122

4,0 m

4,0 m 2m

m1

• 1º Passo - Matriz de Massa da estrutura:

[1] [2]

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

53,700053,70

M

• 2º Passo - Matriz de Rigidez (SIMÉTRICA):

K122

K111 K21

K22

4 m

4 m

=1

=1

Nota: Supondo que os elementos horizontais (Lajes) são indeformáveis!

mKN

mKN

ParedesPilaresB

EE

lEIK

E

E

pisoslEIK

64,44

122*3,0*4

123,0*3,0*4*29*12

12

67,84

122*3,0*4

123,0*3,0*4*29*12

*22*12

3

339

312

3

2*3,

3

3,0*3,0

325

9

311

−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−=−=

=⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

+

==


65/122

mKN

mKN

EE

pisolEIK

EE

lEIK

64,44

122*3,0*4

123,0*4*29*12

1*12

64,44

122*3,0*4

123,0*4*29*12

12

3

349

322

3

349

321

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

==

−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−=−=

A questão não é contabilizar pilares ou pórticos, por si, mas sim o número de pisos deformado

para efectuar o deslocamento pretendido. O que arrasta um número de pilares a contabilizar

ao nível do pórtico (ou da estrutura se a análise for do seu conjunto).

)10(*4,44,44,47,8 6

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=K

Por serem simétricas, são iguais!!!

Em geral, se a estrutura tiver elementos estruturais idênticos (secção e altura) e sendo n o seu

número: ~

3

00000000002000000000

20000000020000000

2000000200000

..................

......000

...200

...20

...2

...2

.12

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

−−−−

−−−−

−−

−−−−

−−−

=

nnnnn

nnnnnn

nnnnnn

nn

nnnsimétriconnn

nnnnn

lEIK

De notar que temos elementos estruturais do tipo parede, pelo que a sua rigidez seria mais correcta com o uso,

também aproximado e simplificado, da expressão:

K = 3EI/H3

com H a altura total do edifício. Isto sucede porque a parede resistente funciona como uma grande consola

encastrada na fundação e livre no topo, uma vez que, na verdade, os pisos não conseguem absorver a rotação que

este elemento, muito mais rígido que os pavimentos, lhe provocam.

• 3º Passo - Cálculo de frequências da vibração da estrutura:

[ ] [ ] { }0*PrPr

2 =⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

óprioVectoróprioValor

MWK φ


66/122

[ ] [ ]( )0.

0. 2

==−

ADetMWKDet

66

2

26

10*53,700

053,70104,44,4

4,47,8

53,700053,70

10*4,44,44,47,8

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=

WA

WA

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−−−

=B

BA

*53,704,44,44,4*53,707,8

em que: 6

2

10WB =

( ) ( ) ( ) =−−−−= 24,4*53,704,4**53,707,8. BBADet

⎩⎨⎧

==

⇒=+−⇔

=−+−−=

.162,0;023,0

092,18*94,923*48,4974

036,19*48,4974*33,310*61,61328,38

2

12

2

BB

BB

BBB

Como: 6

2

10WB = , então teremos:

⎪⎩

⎪⎨⎧

==→

==→⇒=

.49,40210*162,0

;66,15110*023,010*

62

616

srad

srad

W

WBW

E ainda, em acordo com a física, temos que: fW **2 π= :

.06,64

*249,402

*2

;14,24*2

66,151*2

22

11

HzWf

HzWf

===

===

ππ

ππ


67/122

f K1

3,0 m

f K2

3,0 m

P1PT4

PT3

P1

P1

PT2 P1

5,0 m

P1

5,0 m

P1

5,0 m

PT1

P1 P1

⇒ Exemplo Nº 3 (ANÁLISE PELO MÉTODO ESTÁTICO SIMPLIFICADO [R.S.A] E

PELO MÉTODO DINÂMINO SIMPLIFICADO DE RAYLEIGH)

1) ANÁLISE PELO MÉTODO ESTÁTICO SIMPLIFICADO [R.S.A]:

DADOS:

o P1 = 30*30cm;

o Tipo de terreno: II;

o Zona de sísmica: Porto;

o Estrutura em Betão Armado.

o Ductilidade normal.

o Combinação Quase

Permanente:

CP+ 2ψ *SC⇒

KNGt 25,640= .

RESOLUÇÃO:

Temos que KNGt 25,640= , então por pórtico1

teremos:

1 É indiferente resolver o exercício por pórtico ou pela estrutura no seu conjunto, porque a relação massa/rigidez se mantêm. Contudo, teremos que estar atentos para não existirem erros de contabilização na distribuição de forças pelos pórticos. Se fizermos o exercício pelo conjunto da estrutura, dado os pisos serem indeformáveis no seu plano, seria apenas uma questão de distribuir as forças encontradas por esses pórticos, tidos em conta os agravamentos regulamentares face à torção global da estrutura.


68/122

KNGGGG

KNGt

160

1604

25,640

4321 ====⇒

⇒≈=

Assim sendo:

∑∑=

ii

iiiKi Gh

GGhf

****β

ηαββ *0=

Temos uma estrutura em pórtico de ductilidade normal, logo 5,2=⇒ η (REBAP – art.33.2º).

Então:

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

=β⇔=β→

=β≥→

===→

048,05,23,0*4,0

;4,0:0,4f,terrenoII.T

;Hz62

12n

12f

0 (R.S.A. – art.31.2º - Quadro II)

Como: αβα *16,0*04,0 ≤≤

OK⇒≤≤→⇒048,0012,0

3,0*16,0048,03,0*04,0β

Com 048,0=β , iremos calcular a acção da sísmica ao nível dos pórticos (PT1 a PT4)

individualmente (dado que todos têm a mesma estrutura: Pilares de 30 * 30cm):

• 1º Piso:

.12,5160*0,6160*0,3

160160*160*0,3*048,0

);..(0,3

2

11

1

KNff

solodoacimamh

h

KK =++

=⇒

=

• 2º Piso:

.24,10160*0,6160*0,3

160160*160*0,6*048,0

);..(0,6

2

2

KNf

solodoacimamh

K =++

=

=

Corte basal = ∑ =+=+= KNfff KKKi 36,1524,1012,521


69/122

5,12 KN

10,24 KN

PT1,2,3e4

f i = Gi =160KN

i i 160KN

30

1mf 1 = 160KNm1

d1

3,0 m

d2

3030

2

1m

m

30

m2

3,0 m

2 160KN 2

EI

f

2) ANÁLISE DINÂMICA SIMPLIFICADA PELO MÉTODO DE RAYLEIGH

Dá-nos a frequência elementar da estrutura (1º Modo de vibração), sendo esta a frequência

mais baixa (fundamental) e que representa em princípio situação dominante em termos de

comportamento dinâmico/vibratório da estrutura.

Continuando ainda com o exemplo nº2, teremos:

São características físicas ∆

da estrutura REAL.

Δ= *123lEIf


70/122

Admitindo os pisos como indeformáveis, temos que os deslocamentos são (no caso dos

pilares do piso terem todos as mesma altura e inércia, ou seja, a mesma rigidez):

(ao nível dos pisos)

(de forma independente como se um piso isolado se tratasse)

Em que:

• di - Deslocamento do piso i em relação ao solo, ou seja, o deslocamento total;

• i - Piso em estudo;

• n - Nº total de pisos;

• iΔ - Deslocamento de uma haste com as características do piso i.

Efectuando os cálculos teremos:

a) m

Pilares

Iqualquerbetãoumdoconsideran

0133,02*12

3,0*1020*12

0,3*160

30*30

4

..

6

3

21 =⎟⎠⎞⎜

⎝⎛×

=Δ=Δ

⇒

Se o pórtico tivesse 4

pilares, seria 4 e não 2.

( ) 1*1 −+Δ+−= iii dind

b)( )( )⎩

⎨⎧

=++−=→=++−=→

.0399,00266,00133,0*122;0266,000133,0*112

2

1

mdmd

NOTA: Reparar que neste caso todos os pisos têm a mesma carga e pilares iguais, se assim

não fosse teríamos que efectuar as alterações necessárias (ver solução geral mais à frente).

( ) 1*1 −+Δ+−= iii dind

EIlF ii

i 12* 3

=Δ


71/122

1

0,0399

f 1 = 160KN

f 2 = 160KN 0,0266/2 = 0,0133

0,0266

m

m

2

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=0266,00399,0

12

PisoPiso

ϕ (Modo de Vibração Fundamental)

A posição dos pisos no vector é indiferente. Apenas temos que ter presente como os

distribuímos nesse vector, para não efectuar trocas de níveis nos cálculos posteriores.

Admitindo, igualmente, os pisos como indeformáveis, mas de forma mais genérica e

incluindo a eventual presença de paredes resistentes:

1-.º

1

.º

133

.º

∑ ∑

∑

312i

pilaresden paredesden

m

m

k

k

presentedoacimapisosden

ij

i d

HEI

LEI

Fd +

+

=

Ou seja, deslocamento de um piso é igual ao produto do total das forças aplicadas nesse piso e

de todos os que lhe são superiores pela rigidez do mesmo, a somar ao deslocamento

transportado do piso que lhe é inferior.

Reparar que esta fórmula provém da generalização de: K.d = F.

Também, no caso de existirem cabos, a sua contribuição poderia ser contabilizada pelo

acréscimo da nova parcela à fórmula anterior, simplificadamente:


72/122

1-

)(

.º

1

.º

1

.º

133

.º

cos312 ∑∑ ∑

∑i

horizontalacomângulo

cabosden

n n

n

pilaresden

k

paredesden

m m

m

k

k


ij

i d

CEA

HEI

LEI

Fd +

×++

=

== =

α

Como ilustração do que se pretende evidenciar, temos a figura abaixo.

33

3

Parede

Cabo

Pilar

9H =

L =

L =

L =

30°

Se neste exemplo: ⇒ F = 1000 kN

⇒ Paredes: 1.5 × 0.2, E = 29E+6

⇒ Pilares: 0.3 × 0.3, E = 29E+6

⇒ Cabos: ø = 16mm, E = 210E+9

Surge:

1

23

1

1

3

3

1

1

3

))30sin(/3/()30cos(1)92104/016.0(3

12/3.03.092912

9

12/5.12.0929331000

−

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

×××+××

+××

×=Δ∑∑

EEE

E

[ ] mEEEE 0576,031940387003671331000 1 =++×=Δ −

Se negligenciamos a presença dos cabos:

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡××

+××

×=Δ

−

∑∑1

3

1

1

3

3

1

1

3

3

12/3.03.092912

9

12/5.12.0929331000

EEE 0,0649m


73/122

Como no nosso caso todos os pilares tem a mesma altura, podemos utilizar a forma

simplificada, assim:

• ][0266,00,02*12

3,0*1020*12

3)160160(

30*30

4

..

6

3

1 md

Pilares


=+⎟⎠⎞⎜

⎝⎛×

×+=

⇒

• ][0399,00266,02*12

3,0*1020*12

3)160(

30*30

4

..

6

3

2 md

Pilares


=+⎟⎠⎞⎜

⎝⎛×

×=

⇒

c) FÓRMULA DE RAYLEIGH (R.S.A.- Art.31.2º):

∑∑

=

iii

iii

dF

dFgf 22

1π

Continuando os cálculos por esta fórmula, teremos:

( )

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

++

π=→

π=⇒

∑∑ Hz68,2

0399,0*1600266,0*1600399,0*1600266,0*160*8,9

21f

dF

dFg

21f 22

i

2ii

iii

Diminuindo o valor da MASSA, e mantendo a RIGIDEZ da estrutura, aumenta ou

diminui a FREQUÊNCIA da mesma?

Simulemos com a mesma estrutura mas metade da massa.

Como o deslocamento é proporcional à massa, dado que é o valor desta que surge como

acção horizontal:

( )⎩⎨⎧

=+

+=⇒=⇒

∑∑

HzfOBSdF

dFgf

iii

iii

79,3)20399,0(*2/160)20266,0(*2/16020399,0*2/16020266,0*2/160*8,9

21:.

21

222 ππ

.

( )⎩⎨⎧

=+

+π

=⇒π

=⇒∑∑

Hz79,3)20399,0()20266,0(20399,020266,0*8,9

21f:.OBS

dF

dFg

21f 22

i

2ii

iii

A frequência aumentou!


74/122

Na verdade, quanto menor for a MASSA mais se tende para o valor da FREQUÊNCIA

FUNDAMENTAL DO MÉTODO ESTÁTICO, que é de 6Hz. Ou seja, com o M. De

RAYLEIGH tem-se um valor mais eficaz da frequência fundamental (2,68Hz < 6Hz). O

regulamento tendo uma postura conservadora, do lado da segurança, conduz a frequências

mais elevadas se adoptarmos o Método Estático, pois que tal atitude faz aumentar as

forças sísmicas (veja-se o que sucede com o Coeficiente Sísmico de Referência β0,

quando a frequência aumenta, ou as relações entre frequências e acelerações dos Espectros

de Resposta do anexo III do RSA);

E diminuindo a RIGIDEZ da estrutura e mantendo o valor da MASSA, aumenta ou

diminui a FREQUÊNCIA da mesma?

Simulemos com a mesma massa mas metade da rigidez da anterior estrutura.

Como o deslocamento é proporcional à rigidez e dado que o valor desta é metade:

( )⎩⎨⎧

=+

+π

=⇒π

=⇒∑∑

Hz89,1)2*0399,0(*160)2*0266,0(*1602*0399,0*1602*0266,0*160*8,9

21f:.OBS

dF

dFg

21f 22

i

2ii

iii

( )⎩⎨⎧

=+

+π

=⇒π

=⇒∑∑

Hz89,1)2*0399,0()2*0266,0(2*0399,02*0266,0*8,9

21f:.OBS

dF

dFg

21f 22

i

2ii

iii

A frequência diminui, pois a estrutura tornou-se mais flexível!

e) Aplicando de novo o Método Estático Simplificado:

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

=β⇔=β→

==β<→

=→

04,05,23,0*33,0

;33,0f2,0:0,4f,terrenoII.T

;Hz68,2f

0 (R.S.A. – art.31.2º - Quadro II)

Como: αβα *16,0*04,0 ≤≤

OK⇒≤≤→⇒04,0012,0

3,0*16,004,03,0*04,0β

Com 04,0=β , iremos calcular a acção da sísmica ao nível dos pórticos (PT1 a PT4)



75/122

∑∑=

ii

iiiKi Gh

GGhf

****β

• 1º Piso:

.KN3,4160*0,6160*0,3

160160*160*0,3*04,0ff

);solo.do.acima(m0,3h

2h

1K1K

1

=++

=⇒

=

• 2º Piso:

.KN6,8160*0,6160*0,3

160160*160*0,6*04,0f

);solo.do.acima(m0,6h

2K

2

=++

=

=

Ou seja obtemos uma redução de cerca de 17,5% da acção sísmica por ter corrigido o valor

da frequência de vibração fundamental da estrutura.

d) Aproveitando a frequência obtida pelo Método de Rayleigh e efectuando agora uma

análise Dinâmica Simplificada, começamos por calcular a COORDENADA MODAL, em

que temos a seguinte fórmula:

Quando só existe um modo de vibração a expressão perde a sua entidade matricial, passando a

ser uma mera expressão numérica simples:

{ }r

d*g/Qd*g/Q

d*md*m

d*m*d1*m*d

m1m

ML

2ii

ii2ii

ii

iii

ii

iTi

iTi

i

i ====ϕϕ

ϕ=

∑∑

∑∑

∑∑

No caso, ainda mais elementar, de todos os pisos terem igual massa e rigidez:

{ }r

dd

m1m

ML

RAYLEIGH.Mét

2i

i

iTi

iTi

i

i ==ϕϕ

ϕ=

∑∑ ,

No referente ao exemplo em questão temos:

918,280399,00266,00399,00266,0

22 =++

=i

i

ML

= r.

Temos ainda: srad

i 84,1668,2**2f2W =π=π= .

Sabemos que:

• 3,0=α (Zona do Porto);

),(** 2 ξfS

WML

Y aii

ii =


76/122

• %5=ξ (Coef. de amortecimento Est. de Betão);


• f = 2,68 Hz.

Analisando os Espectros de Resposta no R.S.A. (Anexo III), obtivemos:

e) Acelerações espectrais (RSA):

⎪⎩

⎪⎨⎧

=→

=→=

.scm235S

;scm310SHz68,2f

2TipoIIa

2TipoIa

.sm705,0100

3,0*235S

;sm93,0100

3,0*310S

2TipoIIa

2TipoIa

==→

==→

α

α

),f(S*W*M

LY a2ii

ii ξ=

f) Deslocamentos máximos:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

==→

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

==→

12

)(00197,000295,0

074,0*0266,00399,0

*

12

)(00261,000391,0

0981,0*0266,00399,0

*

11

11

PisoPiso

mmYZ

PisoPiso

mmYZ

IIII

II

ϕ

ϕ

g) Forças máximas:

ηϕηη

ξϕ /***/**),(*** 21

21 WYmWZmfS

MLmf IIa

i

iisi ===

)(54,331,5

5,285,828,13

5,2705,0*918,28*

0266,00399,0

*8,9

1600

08,9160

)(67,47

5,268,1152,17

5,293,0*918,28*

0266,00399,0

*8,9

1600

08,9160

1

2

1

2

KNff

KNff

II

II

I

I

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⇒

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⇒

Recorrendo ao método simplificado do EC8: a) Se quiséssemos obter o corte basal, Vb:

074,0705,0*84,16918,29

2 ==TipoIIY

0981,093,0*84,16918,28

2 ==TipoIY


77/122

Nota: o coeficiente sísmico, α, deve ser incluído quando não unitário, multiplicado pela aceleração da zona A.

Vb = 0.4 × 160 × (0,0399 + 0,0266) × 2,682 × 310/100 × 0,3 = 28,9 kN

Note-se que o coeficiente de comportamento (relativo à aquisição das forças sísmicas) só se

aplica para efeitos da posterior determinação dos esforços dos elementos resistentes e não no

cálculo das reacções de apoio (forças totais), pelo que se não entra aqui com o referido

coeficiente. De relembrar que o coeficiente de comportamento relaciona a resposta do

comportamento material em regime linear com o não linear, sendo que no caso do corte basal

se trata da contabilização das forças absolutas totais geradas pelo sismo em toda a estrutura

(geralmente representado por forças equivalentes concentradas ao nível dos pisos).

É ainda de notar que: 0,4 ≈ 2π/g, em semelhança com a fórmula do método de Rayleigh.

b) E nos pisos:

Fmáx1 = 0.4 × 160 × (0,0266) × 2,682 × 310/100 × 0,3 / η = 17,4 / η kN = 17,4 / 2,5 = 7,0 kN

Fmáx2 = 0.4 × 160 × (0,0399) × 2,682 × 310/100 × 0,3 / η = 11,7 / η kN = 11,7 / 2,5 = 4,7 kN

Aqui, como se trata de forças sísmicas para efeitos do cálculo dos esforços internos das peças

da estrutura, o coeficiente de comportamento terá que estar incluído, admitindo que a

determinação desses esforços de faz admitindo regime material elástico.

3) CONCLUSÃO:

Podemos concluir que pelo MÉTODO ESTÁTICO EQUIVALENTE (R.S.A.), chegamos aos

seguintes resultados:

.12,5

;24,10;6

1

2

KNfKNf

Hzf

=→=→

=→

Pelo MÉTODO ESTÁTICO EQUIVALENTE (R.S.A.), mas com frequência corrigida pelo

Método de Rayleigh:


78/122

.KN3,4f;KN6,8f;Hz68,2f

1

2

=→=→

=→

Já pelo MÉTODO DINÂMICO SIMPLIFICADO (RAYLEIGH), obtivemos:

⎪⎩

⎪⎨⎧

=−

=−→

⎪⎩

⎪⎨⎧

=−

=−→

=→

.54,3

;31,5

.67,4;7

;68,2

1

2

1

2

KNf

KNfS

KNfKNf

S

Hzf

II

IITipoIIa

I

ITipoIa Será este o condicionante!

Segundo o EC8:


79/122

Exercícios propostos para resolução (saíram em teste):

1) Acção dos Sismos [2+4 val]

a) Para a estrutura da pequena ponte abaixo, localizada em Esposende e sobre terreno muito mole, calcule a sua frequência fundamental no sentido longitudinal, admitindo um grau de liberdade horizontal ao nível do tabuleiro, sendo este admitido como indeformável e permitindo os apoios extremos do tabuleiro deslocamentos horizontais livres. Os pilares são todos iguais e com secção 1,0m×0,5m, com maior dimensão transversal ao tabuleiro. Esta estrutura é fabricada em betão B35 e poderá considerar-se de ductilidade normal.

b) Na direcção considerada, determine a força sísmica regulamentar, o deslocamento máximo absoluto do tabuleiro e as reacções no apoio do pilar de 6 metros.


80/122

8

3 0

D irecção d o es tu d o

11

6

C P = 5 0 k N /m S C = 3 0 k N /m

7 7

2) Acção dos Sismos [2+4 val]

Na Figura representa-se uma estrutura em que a dimensão em planta é de D metros, destinada a um edifício de serviços (escritórios), sendo a altura entre o 1.º e 3.º piso (medida B) o dobro da entre o 1º e 2.º piso. Irá ser construído na zona urbana de Gaia, a 3km da beira-mar e sobre terreno de dureza dura/média. No seu desenvolvimento possui 4 pórticos idênticos ao apresentando e igualmente afastados. Será fabricada em aço estrtural (S355), com η (coeficiente comportamento) = 3,0 e pilares tubulares ocos, de área=0,01m2 e inércia = 0,001m4, estimando-se a carga permanente 210 mKN= .

Calcule a acção do sismo na direcção indicada, considerando os pisos como diafragmas rígidos no seu plano e admitindo apenas o modo fundamental de vibração.


81/122

EXEMPLO Nº 3.A - CALCULAR OS DESLOCAMENTOS TOTAIS DE CADA PISO ADMITINDO OS MESMOS COMO DIAFRAGMAS INFINITAMENTE RÍGIDOS NO SEU PLANO. Dados: • Secções de aço = 0,001 m4 • Eaço = 210 GPa • EB25 = 29 GPa • Secção o pilar: 0,5 x 0,5 m2 • Secção da parede 1: 1,0 x 0,1 m2 • Secção da parede 2: 1,2 x 0,2 m2 • φ Cabos = 25mm

Resolução: Fórmula genérica de deslocamento com pisos infinitamente rígidos:

1-

)(

.º

1

.º

1

.º

133

.º

cos312 ∑∑ ∑

∑i

horizontalacomângulo

cabosden

n n

n

pilaresden

k

paredesden

m m

m

k

k


ij

i d

CEA

HEI

LEI

Fd +

×++

=

== =

α

Cálculo dos deslocamentos relativos a cada piso (o deslocamento surge da relação entre a massa e a rigidez estrutural do piso): 1º Piso:


82/122

2º Piso:

3ºPiso:

4ºPiso:


83/122

5,0 m

PT2 P1 P1

PT1

P1 P1f K1

3,0 m

f K2

3,0 m

f K3

3,0 m

2m

m1

m3

Exemplo Nº 4 (ANÁLISE PELO MÉTODO ESTÁTICO EQUIVALENTE

ATENDENDO AO CÁLCULO SIMPLIFICADO DO EFEITO DA TORÇÃO EM

EDIFÍCIO REGULAR)

DADOS:

• P1 = 40*40cm;


• Zona de sísmica: Coimbra )5,0( =α ;

• Estrutura em Betão Armado de Ductilidade Melhorada B25;

• Combinação Quase Permanente: (CP+ 2ψ *SC)⇒ 210 mKNqt = .

Temos que:

KNAqQ tt 250)5*5(*10* === .

1) ANÁLISE SÍSMICA PELO MÉTODO ESTÁTICO EQUIVALENTE [R.S.A]:

∑∑=

ii

iiiKi Gh

GGhf

****β

ηαββ *0=

Temos uma estrutura em pórtico de ductilidade melhorada, logo 5,3=⇒ η (REBAP –

art.33.2º). Então:

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

=⇔=→

=≥→

===→

057,05,35,0*4,0

;4,0:0,4,.

;43

1212

0

ββ

βfterrenoIIT

Hzn

f

(R.S.A. – art.31.2º - Quadro II)


84/122

(1ºPISO)

f 1 = 7,12KN

PT2

PT1

Cm

P1 P1

5,0 m

P1 P1

Como: αβα *16,0*04,0 ≤≤

OK⇒≤≤→⇒08,002,0

5,0*16,0057,05,0*04,0β

Com 057,0=β , iremos calcular a acção da sísmica ao nível dos pórticos (PT1 e PT2)


1º Piso:

.12,7250*0,9250*0,6250*0,3

250250250*250*0,3*057,0

);..(0,3

32

11

1

KNff

solodoacimamh

hh

KK =++

++=⇒

=

2º Piso:

.25,14250*0,9250*0,6250*0,3

250250250*250*0,6*057,0

);..(0,6

32

22

2

KNff

solodoacimamh

hh

KK =++

++=⇒

=

3º Piso:

.37,21250*0,9250*0,6250*0,3

250250250*250*0,9*057,0

);..(0,9

32

33

3

KNff

solodoacimamh

hh

KK =++

++=⇒

=

Corte basal = ∑ =++=++= KNffff KKKKi 74,4237,2125,1412,7321 .


85/122

2) CÁLCULO SIMPLIFICADO DO EFEITO DA TORÇÃO DO EDIFÍCIO:

No caso de estrutura simétrica em relação a um plano que contém a direcção considerada para

a acção sísmica, e os seus elementos resistentes estarem uniformemente distribuídos, pode-se

considerar que as resultantes das forças estáticas que actuam segundo aquele plano de simetria

e multiplicar os efeitos assim obtidos por um factorξ definido por:

EstruturadauraL

PórticodoCoordenada

ax

..arg

..

6,01+=ξ (Art.32.2º do R.S.A.)

Então:

.68,10237,21

;12,7225,14

;56,3212,7

3

2

cos2

1

KNf

KNf

KNf

K

K

Pórti

K

==→

==→

==→

Utilizando a fórmula:

.89,135

5,2*6,01*68,10

;26,95

5,2*6,01*12,7

;63,45

5,2*6,01*56,3

3

2

1

KNf

KNf

KNf

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=⇒

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=⇒

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=⇒

f 1 = 4,63 KN

3 = 13,89KN

f 2 =9,26 KN


86/122

Exemplo Nº 5 (ANÁLISE DINÂMICA SIMPLIFICADA PELO MÉTODO DE

RAYLEIGH)

Dá-nos a frequência elementar da estrutura (1º Modo de vibração), sendo esta a frequência

mais baixa (fundamental) e que representa, em princípio, a situação condicionante.

Continuando ainda com o exemplo nº 4, teremos:

3

m

d3

d2 2

m

1d1 m

3m

1m

m2

3,0 m

f K3

3,0 m

f K2

3,0 m

f K1

Temos que:

( ) 1*1 −+Δ+−= iii dind (ao nível dos pisos)

EIlF ii

i 12* 3

=Δ (forma independente)

em que:

o di -Deslocamento do piso i em relação ao solo;

o i - Piso em estudo;

o n - Nº total de pisos;

o iΔ - Deslocamento de uma haste com as características do piso i.

Efectuando os cálculos teremos:

a) mE

Pilares

IB

00455,02*12

4,0*29*12

0,3*250

40*40

4

25

6

3

21 =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=Δ=Δ

⇒

Se o pórtico tivesse 4 pilares, seria 4 e não 2.


87/122

b)( )( )( )⎪

⎩

⎪⎨

⎧

=++−=→=++−=→

=++−=→

;0274,00228,00455,0*133;0228,00137,00455,0*123

;0137,0000455,0*113

3

2

1

mdmd

md

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

0274,00228,00137,0

ϕ (Modo de Vibração Fundamental)

c) FÓRMULA DE RAYLEIGH (R.S.A.- Art.31.2º):

∑∑

=

iii

iii

dF

dFgf 22

1π


( ) Hzf 19,30274,0*89,130228,0*26,90137,0*63,4

0274,0*89,130228,0*26,90137,0*63,4*8,921

222 =++

++=⇒

π.

d) Devemos agora calcular a COORDENADA MODAL, em que temos a seguinte fórmula:

),(** 2 ξfS

WML

Y aii

ii =

{ }r

dd

mm

ML

RAYLEIGHMét

i

i

iTi

iTi

i

i ===∑∑

.

2

1ϕϕ

ϕ, referente ao exemplo em questão temos:

82,430274,00228,00137,0

0274,00228,00137,0222 =

++++

==i

i

ML

r .

Temos ainda: srad

i 04,2019,3**2f*2W =π=π= .


88/122

Sabemos que:

• 5,0=α (Zona do Coimbra);

• %5=ξ (Coef. De amortecimento Est. de Betão);

• f = 3,19 Hz

Analisando os Espectros de Resposta no R.S.A. (AnexoIII), obtivemos:

(atendendo a que 200 cm/s2 correspondem a 1,3cm no ábaco regulamentar e o ponto da curva

das acelerações se encontra, para 3,19 Hz a 0,9 da linha dos 200cm/s2, numa proporção linear

temos:)

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=⎟⎠⎞⎜

⎝⎛+=→

=⎟⎠⎞⎜

⎝⎛+=→

=.2313,1

2,0*200200

;3383,19,0*200200

19,32

2

scmS

scmSHzf

TipoIIa

TipoIa

Como TipoIaS é o maior, iremos considerar somente este valor:

.69,1100

5,0*338 2smS TipoIa ==

α

mfS

WML

Y a

fi

ii 18,069,1*

04,2082,43),(*1* 22

**2

82,43

≈== ξ

π

e) Deslocamentos máximos (em função da Coordenada Modal):

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧==→

123

)(0025,00041,00049,0

18,0*0137,00228,00274,0

* 11

PisoPisoPiso

mmYZ II ϕ

f) Forças máximos:

ηϕ=η=η

ξϕ= /W*Y**m/W*Z*m),f(S*

ML**mf 2I

12I

1a

i

iisi

)KN(39,731,1279,14

5,369,1*82,43*

0137,00228,00274,0

*

8,925000

08,92500

008,9250

fff

),f(S*

ML

**mfI

1

I2

I3

a

i

iisi

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=η

ξϕ=⇒

Ou:


89/122

)KN(39,731,1279,14

5,304,20*

0025,00041,00049,0

*

8,925000

08,92500

008,9250

fff

/W*Z*mf2

I1

I2

I3

2I1si

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=η=⇒

3) CONCLUSÃO:

Podemos concluir que pelo MÉTODO ESTÁTICO EQUIVALENTE (R.S.A.), chegamos aos

seguintes resultados:

.12,7;23,14

37,21;4

1

2

3

KNfKNfKNf

Hzf

=→=→=→

=→

Já pelo MÉTODO DINÂMICO SIMPLIFICADO (RAYLEIGH), obtivemos:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=−

=−

=−

→

=→

.39,7

;31,12

79,14

;19,3

1

2

3

KNf

KNf

f

S

Hzf

I

I

I

TipoIa

Ou seja, podemos verificar que o MÉTODO DINÂMICO SIMPLIFICADO (RAYLEIGH)

não obriga a uma distribuição triangular, o que faz dele um método MAIS RIGOROSO e

MAIS ECONÓMICO que o anterior.


90/122

K11

K21

K12

K22

P1PT4

PT3

P1

P1

PT2 P1

5,0 m

P1

5,0 m

P1

5,0 m

PT1

P1 P1f K1

3,0 m

f K2

3,0 m

Exemplo Nº 6 (ANÁLISE DINÂMICA PELO MÉTODO DE SOBREPOSIÇÃO

MODAL)

DADOS:

• P1 = 30*30cm; E = 20 GPa;


• Zona de sísmica: Porto;

• Estrutura corrente em Betão Armado

• Combinação Quase Permanente:

(CP+ 2ψ *SC)⇒ KNGt 25,640= , ou seja, por

pórtico: KNGGGG 1604321 ==== .

Equação de Equilíbrio Dinâmico: K.d + A.v + M.a = F Como só pretendemos os deslocamentos máximos, a componente de amortecimento pode ser

eliminada:

K.d + M.a = F

1º Passo - Matriz de Rigidez (tem 1 grau de liberdade por piso):

[ ] ( )mKN12000120001200024000

2*LEI122*

LEI12

2*LEI124*

LEI12

KKKK

K33

33

2221

1211⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=


91/122

.120006000*23

123,0*3,0*20*12

*2/2*12

;120006000*23

123,0*3,0*20*12

*2/2*12

;120006000*23

123,0*3,0*20*12

*2/2*12

;240006000*43

123,0*3,0*20*12

*4/4*12

3

36

322

3

36

321

3

36

312

3

3,0*3,0

3.

6

311

mKN

mKN

mKN

mKN

PilaresqualquerBetão

Epórticopilares

lEIK

Epórticopilares

lEIK

Epórticopilares

lEIK

Epórticopilares

lEIK

====

−=−=−=−=

−=−=−=−=

====

2º Passo - Matriz de Massa:

[ ] ( )tonMMMM

M ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

33,160033,16

8,91600

08,9160

2221

1211

3º Passo – Resolução dinâmica da estrutura (problema algébrico de valores e vectores

próprios):

[ ] [ ] { }0*PrPr

2 =⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−


MWK φ

Trata-se da obtenção de valores e vectores próprios deste sistema. Vamos calcular o seguinte

determinante:

[ ] [ ]( )[ ] [ ]( )

0A.DetMWKA

0MWK.Det2

2

=−=

=−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=

33,160033,16

12000W

1112

12000A

33,160033,16

W1112

12000A

2

2

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

−−==

B*33,16111B*33,162

12000/A'A , em que: 12000

2WB =


92/122

( ) ( ) ( ) =−−−−= 21B*33,161*B*33,162'A.Det

⎩⎨⎧

==

⇒=+−⇔

=−+−−=

.16032,0B;02339,0B

01B*99,48B*67,266

01B*67,266B*33,16B*66,322

2

12

2

Temos uma equação do 2.º grau, porque existem 2 graus de liberdade, ou seja, seriam tantas

as raízes do problema quantos os graus de liberdade da estrutura. Também, do

desenvolvimento destas raízes chegaríamos aos valores próprios correspondentes a estes

graus de liberdade, que seriam as frequências angulares de cada modo de vibração (que são

os vectores próprios do problema):

valores próprios = frequências angulares

vectores próprios= modos de vibração (vectores)

4º Passo - Cálculo das frequências angulares próprias de vibração da estrutura:

Como: 12000

2WB = , então teremos:

⎪⎩

⎪⎨⎧

==→

==→⇒=

.86,4312000*16932,0W

;753,1612000*02339,0W12000*BW

srad

2

srad

1

E ainda, em acordo com a física, temos que: f**2W π= :

.98,6

*286,43

*2

;67,2*2753,16

*21

2

21

HzWf

HzWf

===

===

ππ

ππ

OBS: Tínhamos que pelo Método de Rayleigh a frequência f era igual a 2.68Hz, pelo que se

verifica que este método dá um valor bastante correcto para a 1.ª frequência (também

designada por fundamental).

5º Passo - Determinação dos modos de vibração:

[ ] [ ] { }0*PrPr

2 =⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−


MWK φ


93/122

-1,6181

12

1º Modo (f=2,67 Hz):

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−−

vibraçãodeooparapisodorelativotodeslocamendoValorvibraçãodeooparapisodorelativotodeslocamendoValor

modº1º2modº1º1

21

11

ϕϕ

⎩⎨⎧

=+−=−

⇔⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−

0618,00*618,1

00

**33,1611

1*33,162*120002111

2111

21

11

618,0

1

618,1

0234,0

1ϕϕϕϕ

ϕϕ

BB

0*618,1 2111 =− ϕϕ ; considerando 111 =ϕ , teremos:

.618,101*618,1 2121 =⇔=− ϕϕ

Hzf 67,2618,10,1

1

1

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=ϕ

2º Modo (f=6,98 Hz):

⎩⎨⎧

=−−=−

⇔⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−

−

0618,10*618,0

00

**33,1611

1*33,162*120002212

2212

22

12

618,1

2

618,0

1603,0

2ϕϕϕϕ

ϕϕ

BB

Considerando 122 =ϕ , teremos:

.618,10618,1 122212 −=⇔=−− ϕϕϕ

Hzf 98,60,1618,1

2

2

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧−

=ϕ

1.º Modo de Vibração (f = 2,67Hz) 2º Modo de Vibração (f = 6,98Hz)

1

1,618

1

2


94/122

6º Passo – Determinação do iL :

{ }unitárioVector

MassasdeMatriz

VibraçãodeMODOdoVector

Tii mL 1**φ=

1º Modo:

{ }

75,4233,16*133,16*618,111

*33,160

033,16*1618,11

=+

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=L

2º Modo:

{ }

21,633,16*618,033,1611

*33,160

033,16*618,012

=−

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−=L

7º Passo – Determinação do iM :

Vibraçãode

omoddoVector

i

MassasdeMatriz

Vibraçãode

omoddoVector

Tii *m*M φφ=

1º Modo:

{ }

08,591*33,16*1618,1*33,16*618,11618,1

*33,160

033,16*1618,11

=+

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=M

2º Modo:

{ }

57,221*33,16*)618,0()618,0(*33,16*1618,0

1*

33,160033,16

*618,012

=−+−

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧−⎭

⎬⎫

⎩⎨⎧

−=M


95/122

8º Passo - Cálculo das coordenadas modais e deslocamentos máximos:

1º Modo:

( )ξ,** 2 ia

ii

ii fS

WML

Y = em que

)..(

1 .667,2%;5

ASRAnexoIII

Hzf⎩⎨⎧

=→=→ ξ

Temos:

( )

( )⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

==→

==→

α

α

.sm7,0100

3,0*235%5;Hz667,2S

;sm93,0100

3,0*54,309%5;Hz667,2S

2IIa

2Ia

⎩⎨⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=mm

SS

Y IIa

Ia

00202,000268,0

*753,16*08,59

75,42

66,280

21

⎩⎨⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

==

⎩⎨⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

==

.00202,0;00327,0

00202,0*1618,1

*

.00268,0;00434,0

00268,0*1618,1

*

211

111

mm

YZ

mm

YZ

II

I

φ

φ

OBS.: Logo será o IZ1 que condicionará, pois tem os deslocamentos maiores.

2º Modo:

( )ξ,** 2 ia

ii

ii fS

WML

Y = em que

)..(

2 .98,6%;5

ASRAnexoIII

Hzf⎩⎨⎧

=→=→ ξ

Temos:

( )

( )⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

==→

==→

α

α

.sm68,0100

3,0*230%5;Hz98,6S

;sm2,1100

3,0*400%5;Hz98,6S

2IIa

2Ia

⎩⎨⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=m

mSS

Y IIa

Ia

0001,0000172,0

*86,43*57,22

21,6

7,1923

22


96/122

⎩⎨⎧

−=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−==

⎩⎨⎧

−=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−==

mm

YZ

mm

YZ

II

I

000062,00001,0

0001,0*618,01

*

000106,0000172,0

000172,0*618,01

*

222

122

φ

φ

9º Passo – Cálculo das forças ao nível de andar (pisos) por modo de vibração:

( )η

ξφ ,*** fSML

mf a

i

iisi = Estrutura corrente em Betão Armado: 5,2=η

1º Modo:

)(4,411,7

5,293,0*

08,5975,42*

1618,1

*33,160

033,161 KNf s

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=

2º Modo:

)(33,1

16,25,22,1*

57,2221,6*

618,01

*33,160

033,162 KNfs

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧−

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧−⎭

⎬⎫

⎩⎨⎧

=

Podemos ainda calcularmos de outra forma (ALTERNATIVA):

Sabemos que a força é igual a matriz de rigidez a multiplicar pelo deslocamento, ou seja,

Zn

f

dKf *= :

• 1º Modo:

)KN(4,411,7

5,200268,000434,0

*1112

*12000Z*Kf

K

I1

1s⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−

=η

=

• 2º Modo:

)(34,1

16,25,2

000106,0000172,0

*1112

*12000* 2

2 KNZKf

K

I

s⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−=⎭

⎬⎫

⎩⎨⎧

−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−

==η


97/122

a b c d

e

5,0 m

5,0 m

f g

b/cM

Cm

1º Piso15,0 m

M a/d

2º Piso

h

f 2 = 7,43 KN m

m1

2

f 1 = 4,60 KN

10º Passo - Cálculo das forças máximas finais ao nível de andar (pisos) CQS (Combinação

Quadrática Simples)

Que fazer com as forças obtidas para os dois modos de vibração?

m2

1m

f 2 = ?

d1f 1 = ?

2

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=−+=

=+=

== ∑.60,4)34,1(4,4:º1

;43,7)16,2(11,7:º2

º2

2

º1

21

º2

2

º1

21

2

KNfPiso

KNfPiso

ff

ModoModos

ModoModos

sis

11º Passo – Distribuição das forças máximas finais ao nível de andar (pisos) pelos pórticos


98/122

)º2.32.(..*6,01 artASRa

x⎭⎬⎫+=ζ

=+=)(15

*6,01frentem

xζ Ver Tabela abaixo

PT a/d b/c e/h f/g

x 7,5m 2,5m 7,5m 2,5m

ζ 1,3 1,1 1,3 1,1

)(KNf s 4,60 4,60 7,43 7,43

)(* KNfF ss ζ= 5,98 5,06 9,66 8,17


99/122

4,0 mK1

4,0 mK1 K2

4,0 m 4,0 mK2

PT4PT3PT2PT1

Cr e2ie

Cm

e1i

10,0 m

- Pilares

- NÚCLEO RESISTENTE (Caixa de escada / Elevador)

4,0 mK2 K2

PT6PT5

5,0 m

5,0 m

5,0 m

X

Y

⇒ Exemplo Nº 7 (CÁLCULO SIMPLIFICADO DO EFEITO DA TORÇÃO EM

EDIFÍCIO IRREGULAR)

Distribuição das forças sísmicas atendendo à excentricidade do centro de rigidez (Cr) face ao

centro de massa (Cm), com excentricidades regulamentares (RSA) e1i e e2i.

DADOS:

• K*2,5K1 = ;

• K*25,0K2 = .

Nota: K é a rigidez de referência, e os valores relativos a K1 e K2 já incluem as diferenças de rigidez entre

núcleos (caixas de escadas e/ou elevadores) e pilares.

CÁLCULOS:

∑

∑==i

ii

KdK

Cr*

?


100/122

⇔+

++++=

++++++

=⇒)25,0*42,5*2(K

)2016128(*K25,04*K2,5K*4K*2

)2016128(*K)40(*KCr21

21

.05,3 mCr =⇔

.m95,605,310CrCm?e =−=−==⇒

di – coordenadas do Centro de Corte de cada elemento vertical face a um referencial.

Ki – rigidez do pórtico i na direcção considerada (x ou y).

De uma forma mais rigorosa:

[ ] [ ]( ) [ ]20 ./.... IxyIyIxxiIxyiIxyIyxiIxyyiIyIxyx −−−−= ∑ ∑∑ ∑

[ ] [ ]( ) [ ]../.... 20 IxyIyIxyiIyxiIxyIxyiIxyxiIxIxyy −+−++−−= ∑ ∑∑ ∑

Sendo:

• x0 e y0 o centro de rigidez do piso;

• Ixy a inércia de torção;

• Ix e Iy a inércia da secção do elemento em eixos locais;

• xi e yi a distância do referencial ao centro de rigidez local do elemento.

Iremos utilizar o R.S.A.- art.32.2º:

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

===

=+=+=

===

⇒

.0,120*05,0*05,0;425,420*05,095,6*5,0*05,0*5,0

;95,6;20

,

2

1425,3

1

21

maemabe

mebma

ee

i

ii

i

ii

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=+=+=

∑∑

∑∑∑∑∑ 2ii

ii

i

isii2

ii

s

i

isii

iii

s

i

issi d*K

K*d*e1*

KK*fd*K*

d*Ke*f

KK*f)d*K(*

d*)d*K(M

KK*fF

Deve-se ter muita atenção ao sinal:

- A esquerda do Cr é NEGATIVO;

- A direita do Cr é POSITIVO.


101/122

di – distância do Centro de Rigidez a cada pórtico i.

.059,0K7,192

K4,11d*K

K

;K7,192)2016128(*K25,0)40(*K2,5d*K

;K4,11K25,0*4K2,5*2K

2ii

i

2222222ii

i

==⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

=+++++=

=+=

∑

∑∑

• PT1:

( )

( )⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+−→⇒

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+−→⇒

+

+

.059,0*05,3*0,195,61*4,11

2,5*

;059,0*05,3*425,495,61*4,11

2,5*

2

..

2

1

..

1

iee

CRdoesquerda

si

iee

CRdoesquerda

si

fe

fe

.

. Este é o mais GRAVOSO!

.

• PT6:

( )

( )⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡++→⇒

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡++→⇒

+

+

.059,0*95,16*0,195,61*4,11

25,0*

;059,0*95,16*425,495,61*4,11

25,0*

2

..

2

1

..

1

iee

CRdodireitas

i

iee

CRdodireitas

i

Ife

Ife

Temos dois edifícios de malhas ortogonais, um com o centro de gravidade a coincidir com o

centro de rigidez, sofrendo basicamente deslocamentos ( yΔ ) na mesma direcção da acção

sísmica, enquanto o outro edifício não coincide os dois centros, sofrendo para além dos

deslocamentos ( yΔ ) uma rotação com um ânguloθ .

Alternativamente:

)(* xsegundotranslaçãoàdevidoipórticonosísmicaForçaKKfF x

i

xi

xST

x ∑=

)(* ysegundotranslaçãoàdevidoipórticonosísmicaForçaKKfF y

i

yi

yST

y ∑=


102/122

( ) )/(..

.22

2

xsegundorotaçãotorçãoàdevidoipórticonosísmicaForçadKdK

dKMF

yiiyxi

ix

yiiy

xSR

x ∑ +×

=

( ) )/(..

.22

2

xsegundorotaçãotorçãoàdevidoipórticonosísmicaForçadKdK

dKMFyi

iyxi

ix

xiix

ySR

y ∑ +×

=

Com:

)/(' xsegundorotaçãotorçãoàdevidoMomentoeFM xx

SxS ×=

)/(' ysegundorotaçãotorçãoàdevidoMomentoeFM yy

SyS ×=

Sendo:

)/( xsegundotranslaçãoàdevidoipórticonofinaltotalsísmicaForçaFFF Rx

Tx

Totalx +=

)/( ysegundotranslaçãoàdevidoipórticonofinaltotalsísmicaForçaFFF Ry

Ty

Totaly +=

Segundo o EC8:


103/122

Exemplo Nº 8 (ANÁLISE DINÂMICA SIMPLIFICADA PELO MÉTODO DE

RAYLEIGH)

33

34,

75

X

Y

0,25

0,25

Pilares 0,5mx0,8m

Pilares0,5mx0,5m

4Ø12 (A500)

Cabos

Piso 1

Piso 2

Piso 3

4,75

20

10

4,755

Piso 2 e 3 (planta)

Piso 1 (base)

Calcule, adoptando as recomendações constantes no R.S.A., as forças sísmicas que se

desenvolveriam na estrutura em esquema, na direcção X, admitindo como suficiente a

consideração do 1.º modo de vibração ou fundamental. Podem-se tomar as lajes de piso como

infinitamente rígidas, bem como considerar estes pavimentos indeformáveis à flexão, por

simplicidade.

• Distância entre pórticos e pisos é sempre igual;

• Pilares 1.º Piso = 50×80cm; Pilares 2 e 3.º Piso = 50×50cm;


104/122

• Cabos = 4Ф12 (A500);

• Tipo de terreno: I;

• Zona de sísmica: Coimbra;

• Estrutura em Betão Armado de Ductilidade Melhorada em betão B25;

• Combinação Quase Permanente: (CP+ 2ψ ×SC)⇒ 2t mKN10q = .

Resolução:

O Método de Rayleigh dá-nos a frequência elementar da estrutura (1º Modo de vibração),

sendo esta a frequência mais baixa (fundamental) e que representa, em princípio, a situação

condicionante para estruturas regulares.

No caso presente, temos que a totalidade da carga nos pisos é: Q1/2/3 = 10 × (20 × 10) = 2000

KN

O deslocamento devido à aplicação dessas cargas por piso, dadas as características de rigidez

infinita dos mesmos, vem:

1.º

1

3

1/

12−− +

×=+Δ=

∑ipilaresn

i

iii

PisosForçasi d

IE

lFddi

Em que Fi é a força que se encontra aplicada no próprio piso somada a de todos os que se

encontram acima de si.

o di - Deslocamento do piso i em relação ao solo;

o di-1 - Deslocamento do piso i-1 em relação ao solo;

o Pisos/Forçasi

Δ - Deslocamento de uma haste com as características do piso i, resultado

da acção de todas as forças aplicadas neste piso (i) e em todos os que lhe são

superiores (dado que essas forças também o empurram).

No caso de todos os pavimentos terem igual massa, podemos usar a fórmula directa:

( ) 1iii d1ind −+Δ×+−= ,

Em que:

o di -Deslocamento do piso i em relação ao solo;

o di-1 - Deslocamento do piso i-1 em relação ao solo;

o i - Piso em estudo;


105/122

o n - Nº total de pisos;

o iΔ - Deslocamento de uma haste com as características do piso i.

Com:

mE

Pilares

IB

0008,0912

8,05,092912

0,3102000

80*50

3

25

33

1 =×⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ×××

××=Δ

⇒

m0033,0912

5,0E2912

0,3102000

IE12

lF

Pilares

50*50I

4

25B

6

33

pilares.ºn

1i

3ii

32 =×⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛××

××=

×=Δ=Δ

⇒

∑

o Fi - Força aplicada no piso i;

o li - Altura do piso i;

o E - Módulo de Elasticidade;

o Ii - Inércia do pilar i.

Assim:

( )( )( )⎪

⎩

⎪⎨

⎧

=+×+−=→=+×+−=→

=+×+−=→

.0123,0009,00033,0133;009,00024,00033,0123

;0024,00,00008,0113

3

2

1

mdmd

md

Do que o vector Modo de Vibração Fundamental vem:

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=ϕ

0024,00090,00123,0

De notar que os cabos apenas tem função sustentação vertical, possuindo nula rigidez

horizontal.

Mesmo na situação traduzida na figura abaixo, em que os cabos já efectuam algum

travamento ao nível do piso 2 e superiores, além deste feito não se estender ao nível 1 (pelo

que a estrutura não seria travada no primeiro pavimento acima do solo, piso 1), esse resultado

poderia ser desprezado do lado da segurança.

Contudo, em caso de se querer incluir a sua contribuição, ela poderia ser contabilizada pelo

acréscimo da nova parcela à fórmula anterior, simplificadamente:


106/122

1

3

.º

13

.º

1 /)cos(.º)(123

−

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

××++×=Δ∑∑

cabostalcomHorizonCabosaçocabosi

pilaresnpilar

ibetão

i

paredesnparede

ibetão

i LsÂnguloCabonEAl

IE

H

IEF φ

4,75

4,75

X

Y

0,25

0,25

Pilares 0,5mx0,8m

Pilares0,5mx0,5m

4Ø12 (A500)

Cabos4,

75

20

10

5

Piso 1 (base)

Piso 2 e 3 (planta)

33

3

Piso 1

Piso 2

Piso 34Ø12 (A500)

Cabos

3Cabos4Ø12 (A500)

FÓRMULA DE RAYLEIGH (R.S.A.- Art.31.2º):

∑∑

=

iii

iii

dF

dFgf 22

1π


107/122


( )( )

( )( ) Hz97,4

0123,0009,00024,00122,0009,00024,0*8,9

21

}0123,0009,00024,02000{}0123,0009,00024,02000{*8,9

21f 222222 =

++++

π=

++×++×

π=⇒

Devemos agora calcular a COORDENADA MODAL, em que temos a seguinte fórmula (1,5 val.):

),f(S*WM

LY a2ii

ii ξ

×=

Existindo apenas um modo de vibração (o fundamental):

{ }r

dg/Qdg/Q

dmdm

dmd1md

m1m

ML

2ii

ii2ii

ii

iii

ii

iTi

iTi

i

i =×

×=

×

×=

××

××=

ϕϕϕ

=∑∑

∑∑

∑∑ ,

Referente ao exemplo em questão, temos:

56,990123,0009,00024,0

0123,0009,00024,0)0123,0009,00024,0(8,9/2000

)0123,0009,00024,0(8,9/2000dg/Qdg/Q

ML

r 2222222ii

ii

i

i =++

++=

++×++×

=×

×==

∑∑

Temos ainda: s

radfW 23,3197,422 =××=×= ππ . Sabemos que:

• 5,0=α (Zona do Coimbra); • %5=ξ (Coeficiente. de amortecimento para estruturas de Betão Armado); • f = 4,97 Hz; • η=3,5 (Coeficiente de comportamento para estruturas reticuladas de idade

melhorada em betão armado). Analisando os Espectros de Resposta no R.S.A. (Anexo III), obtemos (1,5 val.):

⎪⎩

⎪⎨⎧

=→

=→==ξ

.scm255S

;scm465SHz97,4%)5;TerrenoI(f

2TipoIIa

2TipoIa

Como TipoIaS é o maior, iremos considerar somente este valor:

.sm325,2100

5,0*465S 2TipoIa ==

α

m237,0325,2*23,3156,99),f(S*

W1*

MLY 2a2

f**2

8,102

i

ii ≈=ξ=

π

Deslocamentos máximos (em função da Coordenada Modal) (1,5 val.):


108/122

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=ϕ=→

3Piso2Piso1Piso

)m(0006,00021,00029,0

m237,0*0024,00090,00123,0

Y*Z I1

I1

Forças máximas (1,5 val.):

ηξ

ϕ),(

***fS

ML

mf a

i

iisi =

Pelo que:

)(4,325,1210,166

5,3325,2*56,99*

0024,00090,00123,0

*

8,9200000

08,920000

008,92000

),(***

1

2

3

KNfff

fSML

mfI

I

I

a

i

iisi

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

==⇒η

ξϕ

Ou, como:

ηη

ξϕ /**),(*** 2

1 WZmfSMLmf Ia

i

iisi ==

Ainda:

)(1,344,1199,164

5,323,31*

0006,00021,00029,0

*

8,9200000

08,920000

008,92000

/**2

1

2

32

1 KNfff

WZmfI

I

I

Isi

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

==⇒ η

Ainda poderíamos optar por:

ηϕηη

ξϕ /***/**

),(*** 2

12

1 WYmWZmfS

ML

mf IIa

i

iisi ===

)(3,323,1218,165

5,3/23,31*237,0*0024,00090,00123,0

*

8,9200000

08,920000

008,92000

/*** 2

1

2

32

1 KNfff

WYmfI

I

I

Isi

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

==⇒ ηϕ

A diferença entre os resultados apenas se fundamenta nos arredondamentos que foram sendo numericamente efectuados. Estas serão as forças totais por piso na estrutura, havendo agora que as distribuir pelos pórticos (2,0 val.). Sendo a estrutura simétrica (CR-CG)/(Largura do Edifício na direcção do sismo)≤0.15, basta analisar o pórtico central e um dos laterais:

=ξ tralPórticoCen (1+0,6x/a)=(1+0,6×0/10)=1 =ξ eralPórticoLat (1+0,6x/a)=(1+0,6×4,75/10)=1,285

Como todos os pórticos tem a mesma rigidez, basta:


109/122

KNfff

f tralPórticoCenI

I

I

ntralsPórticoCe (8,105,403,55

3/4,325,1210,166

3/

1

2

3

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=×

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=⇒ ξ

)(9,130,521,71

285,13/4,325,1210,166

3/

1

2

3

KNfff

f eralPórticoLatI

I

I

teralsPórticoLa⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=×

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=×

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=⇒ ξ


110/122

Exemplo Nº 9 (ANÁLISE DINÂMICA SIMPLIFICADA PELO MÉTODO DE RAYLEIGH)

Análise sísmica de uma estrutura (pórtico 2X) segundo o método de Rayleigh (simplificado dinâmico)

Dados do problema:

− CP + Ψ2 × Sc = 10KN/m2 (em todos os pisos)

− h = a = b = 5m

− Zona C

− Terreno tipo II

− Betão com ductilidade normal

− Pavimentos rígidos

− I = 10-2 = 0,01m4

− B25 ⇒ E = 30GPa = 30 × 106 KN

− g ⇒ aceleração da gravidade = 9,8 m/s2

1. CÁLCULO DA FORÇA SÍSMICA SEGUNDO O EIXO DO XX

Piso 1 → CT1 = CP × Áreapiso1 = 10 × (10 × 10) = 1000 KN

Piso 2 → CT2 = CP × Áreapiso2 = 10 × (10 × 5) = 500 KN

Distribuição relativa da inércia das peças estruturais de suporte (pilares) no pórtico 3, nos restantes a inércia é I.


111/122

2. CÁLCULO DOS DESLOCAMENTOS DOS PISOS DEVIDO À ACÇÃO DAS

FORÇAS SÍSMICAS

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=1

2

ddφ

Assim:

− ( ) 0029,00

01,0)3343(10301255001000

6

3

1 =+×++××××

×+=d

− 0048,00029,00019,00029,01,0)323(103012

55006

3

2 =+=+×+××××

×=d

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧=

0029,00048,0φ

112

3

−+××

=∑ i

i

iii d

IEhFd


112/122

3. CÁLCULO DA FREQUÊNCIA FUNDAMENTAL

∑∑×

= 221

ii

iix dF

dFgf

π; artigo 31.2º do RSA

Com:

− g = valor da aceleração da gravidade; − Fi = força cuja intensidade é igual ao peso da massa i;

( ) hzfx 12,80048,05000029,01000

0048,05000029,010008,921

22 =×+×

×+××=

π

4. CÁLCULO DA COORDENADA MODAL

SawM

LY

ii

ii ×= 2 (f,ξ) ∑

∑= 2ii

ii

dF

dF

i

i

ML

9,2650048,05000029,010000048,05000029,01000

22 =×+××+×

=i

i

ML

Sa (f=6,63 ; 5%) ⇒ { Acção sísmica – terreno tipo II → 400 cm/s2 (anexo III do RSA)

Acção sísmica – terreno tipo II → 220 cm/s2 (anexo III do RSA)

Seleccionamos o maior valor, ou seja, 400 cm/s2.

Dado que a construção se situa Zona C de sismicidade, de acordo com o Quadro I, do

artigo 29.2º do RSA, α=0,5.

( )204,0

1004005,0

12,829,265

2 =×××

=π

Y

5. CÁLCULO DOS DESLOCAMENTOS TOTAIS MÁXIMOS (Z)

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧=×

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧=×=

00059,000098,0204,0

0029,00048,0YZ φ


113/122

6. CÁLCULO DAS FORÇAS SÍSMICAS NA ESTRUTURA

ηφ Sa

ML

mfi

is ×××=

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

2

1

ff

[ 8,9

1000 0

] × ( )KN⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=

×××⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

40,0627,21

5,21004005,0

9,26500059,000098,0

0 8,9500

7. DISTRIBUIÇÃO DAS FORÇAS PELOS PÓRTICOS

No caso de edifícios, a condição relativa à distribuição de massas e rigidezes, considera-se

satisfeita quando podendo definir-se centros de massa (Cm) e de rigidez (Cr) para cada piso,

a distância entre estes centros não exceda 15% da dimensão do edifício segundo a direcção

perpendicular à das forças consideradas. O centro de massa relativo a um piso é o baricentro

das massas correspondentes às cargas permanentes e ao valor quase permanente das cargas

variáveis associadas a esse piso.

O centro de rigidez de um piso pode ser identificado como a intersecção das resultantes de

dois sistemas de forças fictícias paralelas a cada uma das direcções em que a estrutura se

desenvolve.

No caso de a estrutura ser simétrica em relação ao plano que contém a direcção considerada

para a acção sísmica, ou no caso de se verificar a condição acima referida, pode-se considerar

que a resultante das forças estáticas actuam segundo o plano de simetria e multiplicar os

efeitos assim obtidos por um factor ξ, definido por:

ax6,01+=ξ

com x = coordenada do pórtico – distância ao centro de massa.


114/122

7.1. Centro de rigidez:

∑∑=

i

iiy K

dKCr

Com Ki = força pórtico a pórtico.

( ) ( ) ( )( ) ( ) 5,7

)01,013(01,01301,043001,013501,0131001,0431

321

332211 =××+××+××

×××+×××+×××=

++×+×+×

=KKK

dKdKdKCr

(Cm – Cr) < 0,15a

(5 – 7,5) = 2,5m > 0,15×10 = 1,5m

Não verifica, logo a distância entre o Cm e o Cr é superior a 15% do valor da dimensão da

estrutura, na direcção perpendicular ao sismo.

Nestas circunstâncias, teremos que usar a fórmula atrás apresentada:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=+=+=

∑∑

∑∑∑∑∑ 2ii

ii

i

isii2

ii

s

i

isii

iii

s

i

issi d*K

K*d*e1*

KK*fd*K*

d*Ke*f

KK*f)d*K(*

d*)d*K(M

KK*fF


115/122

Exemplo Nº 10 (ANÁLISE DINÂMICA SIMPLIFICADA PELO MÉTODO DE RAYLEIGH) A Figura 1 representa-se dois edifícios solidarizados por cabos deformáveis, com estruturas idênticas, embora o edifício B possua uma cave desafogada (numa das faces) em terreno desnivelado. Estão localizados no Porto, em zona urbana, sobre terreno muito rijo, com lajes que se podem considerar indeformáveis no seu plano, sendo construídos em betão armado (E = 30 GPa) e numa concepção de ductilidade normal (η = 2,5). A carga quase permanente desta estrutura será, aproximadamente, 10 KN/m2, no piso 1 e 2 e o dobro no piso 0, tendo todos os pilares igual inércia com o valor de 0,01 m4.

Figura 1. Edifícios A e B.

44

4,5

6

0,50

31,

5

Plan

ta d

e to

dos o

s pis

os

63

1,5

33

Edifício A Edifício B

Piso -1

Piso 0

Piso 1

Piso 2Cabos

33

Direcção do estudo

3) Estruturas de Ductilidade Melhorada Analise o edifício, positiva e negativamente, tendo em consideração as recomendações a observar na concepção estrutural, no que concerne ao seu bom desempenho à acção dos sismos. Justifique, resumidamente, a sua perspectiva.


116/122

4) Acção dos Sismos Calcule para a mesma estrutura, adoptando as recomendações constantes no R.S.A., a força sísmica que se desenvolveria, na direcção indicada, para o 1º piso do Edifico A. Admita como suficiente a consideração do 1.º modo de vibração ou fundamental e desenvolva um processo de análise que tenha em conta os deslocamentos máximos que a estrutura sofre. Nota: Despreze a possibilidade de qualquer eventual impulso de terras em resultado acção sísmica ou outra.

5) Acção dos Sismos a) Calcule para a estrutura da figura 2 a força sísmica que se desenvolveria, na direcção indicada, para o 2º piso do Edifico B, adoptando as recomendações constantes no R.S.A. e supondo que esta acção só teria efeito nesse sentido. Admita como suficiente a consideração do 1.º modo de vibração ou fundamental e desenvolva um processo de análise que tenha em conta os deslocamentos máximos que a estrutura sofre. b) E se, ainda virtualmente, o sentido do sismo fosse da esquerda para a direita, alterava a sua solução? Porquê?

Figura 2. Edifícios A e B.

44

45

6

0,50

31,

5

Plan

ta d

e to

dos o

s pis

os

63

1,5

33

Edifício A Edifício BIndeformáveis

Cabos


117/122


Para o pórtico na figura abaixo esquematizado, em estrutura metálica (tipo Fe360) e ductilidade melhorada,

faça a sua análise sísmica, de acordo com o regulamento português em vigor, recorrendo ao método de

Rayleigh, admitindo um grau de liberdade horizontal por piso, sendo estes indeformáveis. Admita terreno

tipo II, cidade de Aveiro.

Em caso de não possuir tabela de perfis atribua aos pilares uma inércia I=0,001m4 e E=200GPa.

Resolução:

• Pilares com I=0,001m4 e E=200GPa. • Tipo de terreno: II; • Zona de sísmica: Aveiro, α=0,5; • Estrutura Metálica de Ductilidade Melhorada; • Combinação Quase Permanente: Q=300KN.

O Método de Rayleigh dá-nos a frequência elementar da estrutura (1º Modo de vibração), sendo esta a frequência mais baixa (fundamental) e que representa, em princípio, a situação condicionante para estruturas regulares. No caso presente, temos que a totalidade da carga nos pisos é:

Q1/2 = 300 KN

O deslocamento devido à aplicação dessas cargas por piso, dadas as características de rigidez infinita dos mesmos, vem:


118/122

1.º Piso:

mEIE

lFdddd

Pilares

pilaresn

i

iiPisosForçasi

PisosForçasi i

0034,00,02001,0920012

0,310)3002(

12

33

.º

1

3

0/

111/ =+

××××××

=×

=+Δ==+Δ=

∑−

di - Deslocamento do piso i em relação ao solo; di-1 - Deslocamento do piso i-1 em relação ao solo; i - Piso em estudo; Pisos/Forças

iΔ - Deslocamento de uma haste com as características do piso i, resultado da acção de todas as forças aplicadas neste piso (i) e em todos os que lhe são superiores (dado que essas forças também o empurram).

2.º Piso:

mEIE

lFdd

Pilares

pilaresn

i

iiPisosForças 0045,00034,03001,0920012

0,310)3001(

12

33

.º

1

3

12/

22 =+×××

×××=

×=+Δ=

∑−

Do que o vector Modo de Vibração Fundamental vem:

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=76,0

1:,

0034,00045,0

donormalizanϕ


∑∑

=

iii

iii

dF

dFgf 22

1π


( )( )

( )( ) Hzf 85,7

0034,00045,00034,00045,0*8,9

21

}0034,00045,0300{}0034,00045,0300{*8,9

21

2222 =+

+=

+×+×

=⇒ππ

.

Devemos agora calcular a COORDENADA MODAL, em que temos a seguinte fórmula:

),f(S*WM

LY a2ii

ii ξ

×=


{ }r

dg/Qdg/Q

dmdm

dmd1md

m1m

ML

2ii

ii2ii

ii

iii

ii

iTi

iTi

i

i =×

×=

×

×=

××

××=

ϕϕϕ

=∑∑

∑∑

∑∑ ,


2480045,00034,00045,00034,0

)0045,00034,0(8,9/300)0045,00034,0(8,9/300

//

22222 =++

=+×+×

=×

×==

∑∑

ii

ii

i

i

dgQdgQ

ML

r


119/122

Temos ainda: sradfW 3.4985,722 =××=×= ππ .

Sabemos que:

• 5,0=α (Zona de Aveiro); • %0,10=ξ (Coeficiente. de amortecimento para estruturas Metálicas); • f = 7,85 Hz; • η=3,5 (Coeficiente de comportamento para estruturas reticuladas de ductilidade

melhorada metálicas). Analisando os Espectros de Resposta no R.S.A. (Anexo III), obtemos):

⎪⎩

⎪⎨⎧

=→

=→==

.180

;29085,7%)10;(

2

2

scmS

scmSHzTerrenoIIf

TipoIIa

TipoIaξ

Como TipoIaS é o maior, iremos considerar somente este valor (em metros):

.45,1100


α

mfS

WML

Y a

fi

ii 148,045,1*

3,49248),(*1* 22

**2

≈== ξ

π

Deslocamentos máximos (em função da Coordenada Modal):

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

==→12

)(00050,000067,0

148,0*0034,00045,0

* 11 PisoPiso

mmYZ II ϕ

Forças máximas:

ηξ

ϕ),(

***fS

ML

mf a

i

iisi =

Pelo que:

)(7,102,14

5,345,1248

0034,00045,0

8,93000

08,9300),(

1

2 KNfffS

MLmf I

Ia

i

iisi

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=××⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

×⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=×××=⇒η

ξϕ

Ou, como:

ηη

ξϕ /**),(*** 2

1 WZmfSMLmf Ia

i

iisi ==

)(7,102,14

5,33,49

00050,000067,0

8,93000

08,9300

/**2

1

221 KN

ff

WZmf I

II

si⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=×⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

×⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

==⇒ η

Ainda poderíamos optar por:

ηϕηη

ξϕ /***/**

),(*** 2

12

1 WYmWZmfS

ML

mf IIa

i

iisi ===

)(7,102,14

5,3/3,49148,00034,00045,0

8,93000

08,9300

/*** 2

1

221 KN

ff

WYmf I

II

si⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=××⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

×⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

==⇒ ηϕ


120/122


c) Para a estrutura da pequena ponte abaixo, localizada em Esposende e sobre terreno muito mole, calcule a sua frequência fundamental no sentido longitudinal, admitindo um grau de liberdade horizontal ao nível do tabuleiro, sendo este admitido como indeformável e permitindo os apoios extremos do tabuleiro deslocamentos horizontais livres. Os pilares são todos iguais e com secção 1,0m×0,5m, com maior dimensão transversal ao tabuleiro. Esta estrutura é fabricada em betão B35 e poderá considerar-se de ductilidade normal.

d) Na direcção considerada, determine a força sísmica regulamentar, o deslocamento máximo absoluto do

tabuleiro e as reacções no apoio do pilar de 6 metros.

83 0

D irecção d o es tu d o

11

6

C P = 5 0 k N /m S C = 3 0 k N /m

7 7

Resolução: Alínea a) Carga total por metro de tabuleiro = CP + ψ2 × SC = 50 + 0,0 × 30 (art.º 41.1 do RSA, sobrecargas rodoviárias) Carga total no tabuleiro = L × [ CP + ψ2 × SC ] = [ 50 + 0,0 × 30 ] = 1500 kN Neste caso, como os pilares, embora tendo secção igual, tem altura diferente, a sua rigidez é diversa e, como tal, a fórmula

∑×

=Δ pilaresn

i

iiTabuleiro

IE

lF.º

1

3

12

Não se pode aplicar. Na realidade tem que se regredir até à génese da mesma: K × d = F, do que: d = F / K = Δ. Assim:

i

pilaresn

i

pilaresn

i

pilaresn

i lIElIEKK /112/12.º

1

.º

1

.º

1∑∑∑ ××===

]/[29336185183,30055,7812]6/111/18/1[12/5,01103212 33336.º

1

mkNKKpilaresn

i =++=++×××××== ∑ Logo:

][0511,029336/1500/ mKF ===Δ


121/122


∑∑

=

iii

iii

dF

dFgf 22

1π


( )( ) Hzf 2,2

}0511,01500{}0511,01500{*8,9

21

2 =×

×=⇒

π.

- × -

Alínea b) Devemos agora calcular a COORDENADA MODAL, em que temos a seguinte fórmula:

),f(S*WM

LY a2ii

ii ξ

×=


{ }r

dg/Qdg/Q

dmdm

dmd1md

m1m

ML

2ii

ii2ii

ii

iii

ii

iTi

iTi

i

i =×

×=

×

×=

××

××=

ϕϕϕ

=∑∑

∑∑

∑∑ ,


6,190511,00511,0

)0511,0(8,9/1500)0511,0(8,9/1500

//

222 ==××

=×

×==

∑∑

ii

ii

i

i

dgQdgQ

MLr

Temos ainda: s

radfW 8,132,222 =××=×= ππ . Sabemos que:

• 3,0=α (Zona D - Esposende); • %0,5=ξ (Coeficiente. de amortecimento para estruturas Metálicas); • f = 2,2 Hz; • η=2,5 (Coeficiente de comportamento para estruturas reticuladas de ductilidade

normal em betão armado). Analisando os Espectros de Resposta no R.S.A. (Anexo III), obtemos):

⎪⎩

⎪⎨⎧

=→

=→==

.240

;2502,2%)5;(

2

2

scmS

scmSHzTerrenoIIIf

TipoIIa

TipoIaξ

Como TipoIaS é o maior, iremos considerar somente este valor (em metros):

.75,0100


α


122/122

mfSWM

LY a

fi

ii 0772,075,0*

8,136,19),(*1* 22

**2

≈== ξ

π

Deslocamento máximo (em função da Coordenada Modal):

)(0039,00772,0*0511,0* 11 mmYZ II ===→ ϕ

Força máxima: (o Coeficiente de Comportamento, para ponte de betão em que os pilares tem deformação principal por flexão, é de 2,p para ductilidade corrente, conforme art.º 33.3 do REBAP).

ηη

ξϕ /**),(*** 2

1 WZmfSMLmf Ia

i

iisi ==

][5,570,28,130039,08,9/1500/**

22

1 kNWZmf Isi =××==⇒ η

Reacção no pilar de 6m:

][6,720,229336

185185,57* kNKKfFi

issi =×

×=×

×=

∑η

De notar que a reacção no pilar, ou, em geral, as forças transmitidas às fundações, são independentes do Coeficiente de Comportamento, já que este apenas caracteriza a relação entre a linearidade e não linearidade do material de fabrico da estrutura, não a real e global acção do sismo em termos das forças de massa que este induz. Assim, poderemos afirmar que o valor desta reacção seria sempre 72.6 kN mesmo que a estrutura fosse de ductilidade melhorada ou, ainda, a deformação dos pilares fosse, preponderantemente, por corte.

análise de estruturas - sismos

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