analise de complexidade de algoritmo

5/9/2018 Analise de Complexidade de Algoritmo - slidepdf.com

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Estruturas Avançadas de

Dados I(Complexidade)

Prof. Gilberto Irajá Müller Prof. Gilberto Irajá Müller

Última atualização 11/8/2011



Introdução

O que é um problema computacional?É o conjunto de entradas válidas e qual é a relaçãoentre a entrada e a saída desejada. Alguns

problemas computacionais não possuem soluçãoótima.

Todo problema computacional é uma coleção de

"casos particulares" que chamaremos deINSTÂNCIAS.



Introdução

O que é uma instância? É um exemplo concreto do problema, com dados

específicos. Cada conjunto de dados de umproblema define uma instância do problema;

Considere, por exemplo, o problema dedeterminar a média de dois números, digamos a eb. Uma instância desse problema consiste emdeterminar a média de 123 e 9876. Outrainstância consiste em determinar a média de22222 e 34343434.



Introdução

O que é uma instância? A palavra é um (mau) neologismo, importado do

inglês. Ela está sendo empregada aqui nosentido de exemplo, exemplar, espécime,amostra e ilustração;

Cada instância é definida por um conjunto dedados;

Poderemos encontrar na literatura recente oconceito de p-Teste (Programas Teste).



Introdução

Tamanho de uma instância O tamanho de uma instância de um problema é a

quantidade de dados necessária para descrever ainstância (ou seja, o "espaço" necessário paraespecificar a instância);

Em geral, o tamanho de uma instância é descritopor um único número natural, mas às vezes émais conveniente usar um par, ou até um terno,

de números naturais.



Introdução

Algoritmos para os problemas Dizemos que um algoritmo resolve um

problema se, ao receber a descrição de qualquerinstância do problema, devolve uma solução dainstância (ou informa que a instância não temsolução).



Introdução

Mas o que é um Algoritmo? Segundo Cormen (2009), um algoritmo é

qualquer procedimento computacional bemdefinido que toma algum valor ou conjunto devalores como entrada e produz algum valor ouconjunto de valores como saída.

Algoritmos são utilizados para resolver diversos

tipos de problemas!



Introdução

E a Estrutura de Dados? Durante o processo de computação de sua saída, um

algoritmo manipula dados obtidos de sua entrada.Quando os dados são dispostos e manipulados de forma

homogênea, constituem um tipo abstrato de dados.

Um algoritmo é projetado em função de tipos abstratos dedados. Para implementá-los em uma linguagem deprogramação é necessário representá-los de alguma

maneira;

Na representação do tipo abstrato de dados, emprega-seuma estrutura de dados.



Introdução

E a Estrutura de Dados? Segundo Cormen (2009), uma estrutura de

dados é um meio para armazenar e organizardados com o objetivo de facilitar o acesso e asmodicações;

A escolha de um algoritmo para resolver umadeterminada instância de um problema depende

também do tipo de estrutura utilizada paraarmazenamento dos dados, ou seja, a estruturade dados.



Análise de Algoritmos

Segundo Cormen (2009), analisar um algoritmosignifica prever os recursos de que ele necessitará.Em geral, memória, largura de banda decomunicação ou hardware de computação são a

preocupação primordial;

Porém, é o tempo computacional que se desejamedir.




Dois aspectos importantes:Um problema pode, geralmente, ser resolvido por diferentesalgoritmos;

A existência de um algoritmo não implica, necessariamente, queeste problema possa ser resolvido na prática.

A análise de algoritmos pode ser definida como oestudo da estimativa de tempo de execução dealgoritmos;

O tempo computacional é determinado pelosseguintes aspectos:

Tempo para executar uma instrução ou passo; A natureza do algoritmo;

O tamanho do conjunto de dados que constitui o problema.




É necessário ter uma forma de criar medidas decomparação entre algoritmos que resolvem ummesmo problema. Dessa forma, é possíveldeterminar:

A viabilidade de um algoritmo;Qual é o melhor algoritmo para a solução de um problema.

O interessante é ter uma comparação relativa entrealgoritmos.

Assumir que a execução de qualquer passo de um algoritmo levaa um tempo fixo e igual;O tempo de execução de um computador particular não éinteressante.




Qual a quantidade de recursos utilizados pararesolver um problema?

TempoEspaço

Expressar como uma função do tamanho doproblema.

Como os requisitos crescem com o aumento do problema?

Tamanho do problema:Número de elementos a ser tratadoTamanho dos elementos




Considerar eficiência de tempo:Número de operações expresso em termos do tamanho daentrada;Se dobramos o tamanho da entrada, qual o tempo de resposta?

Por que a eficiência é importante? Velocidade de computação aumentou (hardware);Crescimento de aplicações com o aumento do podercomputacional;Maior demanda por aumento na velocidade decomputação.




Quando a velocidade de computaçãoaumenta, podemos tratar mais dados?

Um algoritmo toma n2 comparações paraordenar n números;

Necessitamos de 1 segundo para ordenar 5números (25 comparações);

Velocidade de computação aumenta de um fatorde 100

Usando 1 segundo, podemos executar 100x25comparações e ordenar 50 números com 100vezes de ganho em velocidade, ordenamosapenas 10 vezes mais números.




Como medir a eficiência do algoritmo? Estudo experimental e/ou Benchmarking

Desenvolver um programa que implemente o algoritmo; Executar o programa com diferentes instâncias; Usar um método como System.currentTimeMillis() para obter

medidas acuradas do tempo de execução real.

Limitações: Necessidade de implementar e testar o algoritmo; Experimentos em cenários limitados; Dependem de compilador, hardware, quantidade de memória, entre

outros.




Como medir a eficiência do algoritmo? Análise assintótica

Usa uma descrição de alto nível dos algoritmos em vez de testaruma de suas implementações;

Leva em consideração todas as possíveis entradas;

Permite a avaliação da eficiência de algoritmos de uma forma que éindependente do hardware e ambiente de software utilizado;

Modelo matemático.



Análise Assintótica

O tempo de execução de um algoritmo será representado poruma função de custo T, onde T(n) é a medida do temponecessário para executar um algoritmo para um problema detamanho n;

Logo, T é chamada função complexidade de tempo doalgoritmo;

Se T(n) é a medida de memória necessária para a execuçãode um algoritmo, então T é chamada de função de

complexidade de espaço;

Conforme Ziviani (2004), é importante enfatizar que T(n) nãorepresenta diretamente o tempo de execução, mas o númerode vezes que certa operação relevante é executada.




Ex.:public int getMenor(int[] a) {

int menor = a[0];for(int i = 1; i < a.length; i++)

if (a[i] < menor)menor = a[i];return menor;

}

A função de complexidade de tempo T(n) é o número decomparações entre os elementos do array a, visto que, paraencontrar o menor elemento do array, é preciso mostrar quecada um dos n 1 elementos é menor do que algum outro, epara isso, gasta-se pelo menos n 1 comparações, logo:

T ( n ) = n - 1




Porém, em algoritmos de busca sequencial, não secomportam dessa maneira, ou seja, uniforme!

Neste caso, identificamos três casos:

Pior caso: corresponde ao maior tempo de execuçãosobre todas as entradas de tamanho n;

Melhor caso: corresponde ao menor tempo de execuçãosobre todas as entradas de tamanho n;

Caso médio: corresponde à média dos tempos deexecução do algoritmo sobre todas as entradas detamanho n.




Pior caso: T(n) = n Melhor caso: T(n) = 1 Caso médio: T(n) = (n + 1) / 2

� Para encontrar o caso médio, considere pi aprobabilidade de procurar o i-ésimo registro. Comopara encontrar o i-ésimo registro são necessárias icomparações, temos:

T(n) = 1. p1 + 2. p2 + 3.p3 + ... + n.pn




Considerando que a probabilidade de cada um dosregistros ser encontrado é 1/n, temos:

T(n) = 1.1/n + 2.1/n + 3.1/n + ... + n.1/n

T(n) = 1.1/n . (1 + 2 + 3 + ... + n) p PAT(n) = 1.1/n . (n . (n + 1) / 2)T(n) = (n + 1) / 2



Análise Assintótica - Consideração

� Pior caso: o pior caso ocorre quando o elemento está na última posiçãoem uma busca sequencial (ou não existe);

� Melhor caso: quando os dados de entrada são tais que o algoritmo temo menor trabalho possível para encontrar a solução. Exemplo: paradeterminar a posição de um elemento em um array, o melhor caso ocorrequando o elemento está na primeira posição em uma busca sequencial;

� Caso médio: se refere ao trabalho feito pelo algoritmo em média. Assumimos que os dados de entrada são randômicos;

O melhor caso é muito raro e, portanto, pouco significativo. Na maioria dos algoritmos utilizamos a métrica do pior caso. Em algumas situaçõ es pod emos utilizar a métrica do caso médio. E xist em situaçõ es em que o uso da métricado pior caso é obrigatório (control e d e tráf ego aér eo, por exemplo).



Análise Assintótica - Exemplo

Número Melhor caso Pior caso Caso médio1 1 1 12 1 1 13 2 n+1 (n/2)+14 1 n n/25 1 0 16 1 n n/27 1 1 18 0 1 09 1 0 1

T(n) 9 3n + 5 (3n + 12)/2

public int getPos(int[] a, int x) { boolean existe = false;

int i = 0;

while(i < a.length || !existe) {

if(a[i] == x)

existe = true;

i++;

}

if(!existe)return -1;

else

return i - 1;

}

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)(8)

(9)




Como exemplo, considere o número de operaçõesde cada um dos dois algoritmos abaixo queresolvem o mesmo problema, como função de n.

Algoritmo 1: f 1(n) = 2n2 + 5n operações

Algoritmo 2: f 2(n) = 500n + 4000 operações

Dependendo do valor de n, o Algoritmo 1 poderequerer mais ou menos operações que o Algoritmo

2. (Compare as duas funções para n = 10 e n =256)

Qual algoritmo é mais eficiente?




Um caso de particular interesse é quando n temvalor muito grande (npg), denominadocomportamento assintótico; por isso,chamamos de Análise Assintótica!

Os termos inferiores e as constantes multiplicativascontribuem pouco na comparação e podem serdescartados.



Notação Assintótica

Notação O (ou Big O) A notação O dene um limite superior para a função,

por um fator constante; Escreve-se f(n) = O(g(n)), se existirem constantes

positivas c e n0 tais que para n u n0, o valor de f(n) émenor ou igual a cg(n). Neste caso, pode-se dizerque g(n) é um limite assintótico superior para f(n).

f(n) = O(g(n)), c > 0 e n0 ` 0 e f(n) e cg(n), n u n0

Escrevemos f(n) = O(g(n)) para expressar que g(n)domina assintoticamente f(n). Lê-se f(n) é da ordemno máximo g(n).




Notação O (ou Big O)

Quando a notação O é usada para expressar o tempo deexecução de um algoritmo no pior caso, está se denindotambém o limite (superior) do tempo de execução dessealgoritmo para todas as entradas.




Notação ; (ou Big Ômega) A notação ; dene um limite inferior para a

função, por um fator constante.

Escreve-se f(n) =;

(g(n)), se existiremconstantes positivas c e n0 tais que para n u n0, ovalor de f(n) é maior ou igual a cg(n).

Pode-se dizer que g(n) é um limite assintótico

inferior para f(n).

f(n) = ;(g(n)), c > 0 e n0 ` 0 e cg(n) e f(n), n u n0




Notação ; (ou Big Ômega)




Notação ; (ou Big Ômega) Quando a notação ; é usada para expressar o tempo de

execução de um algoritmo no melhor caso, está se denindotambém o limite (inferior) do tempo de execução dessealgoritmo para todas as entradas.

Por exemplo, o algoritmo de ordenação por inserção é ;(n) nomelhor caso. O tempo de execução do algoritmo de ordenação por inserção é ;(n).

O que signica dizer que o tempo de execução (semespecicar se é para o pior caso, melhor caso, ou caso médio) é;(g(n))? O tempo de execução desse algoritmo é pelo menos uma constante vezes

g(n) para valores sucientemente grandes de n.




Notação 5 (ou Big Theta) A notação 5 limita a função por fatores

constantes.

Escreve-se f(n) =5

(g(n)), se existiremconstantes positivas c1; c2 e n0 tais que para n u

n0, o valor de f(n) está sempre entre c1g(n) ec2g(n) inclusive.

Neste caso, pode-se dizer que g(n) é um limiteassintótico rme para f(n).

f(n) = 5(g(n)), c1 > 0, c2 > 0 e n0 `

0 e c1g(n) e f(n) e c2g(n), n u n0




Notação 5 (ou Big Theta)




Notação o (O pequeno) e [ (ômegapequeno)

Possuem o mesmo conceito que o Big O e o BigÔmega, porém, os limites sempre serãoinferiores, ou seja, < ou > e não e ou u, ao sercomparado com a cg(n).



Notação Assintótica - Terminologia

Terminologia de classes mais comunsde funções:



Notação Assintótica - Ordens

log nn

n2

2n

n

f

n log n

1

(linear)

(quadrática)(exponencial)

(logarítmica)

(constante)



Comparação de Funções de Complexidade



Funções de Custo (número de comparações) do Algoritmo de Ordenação por Inserção



Funções de Custo e Notações do Algoritmo deOrdenação por Inserção



Análise Assintótica ExercíciosQual a Ordem?

Melhor = Pior = Médio

int conta = 0;

for(int i = 0; i < n; i++)

for(int j = 0; j < n; j++)

conta++;

Melhor = Pior = Médioint conta = 0;int i = 1;

while(i <= n){for(int j = 0; j < n ; j++)

conta++;i *= 2;

}

1.1

1.2



Análise Assintótica Exercícios

1.3. Dois algoritmos A e B possuem complexidade n5 e 2n,respectivamente. Você utilizaria o algoritmo B ao invés do A.Em qual caso? Desenvolva um gráfico com a análise dos doisalgoritmos.

1.4. Baseando-se no algoritmo abaixo determine a ordem decomplexidade. Podemos dizer que o algoritmo é O(n2)?Justifique.

public void MaxMin(int[] a) {int max = a[0];int min = a[0];for(int i = 1; i < a.length; i++) {

if(a[i] > max) max = a[i];if(a[i] < min) min = a[i];

}

}



Análise Assintótica Exercícios

1.5. Implemente três algoritmos que represente,respectivamente, as classes abaixo:O(n) LinearO(log n) Logarítmica

O(n2) Quadrática

Para cada algoritmo, gere informações para n entradasdistintas e esboce um gráfico de linha (em Excel) para cadaclasse.

Enviar por e-mail para o professor os algoritmos e os gráficosem XLS.



Referências Bibliográficas

ASCENCIO, A. F. G; ARAÚJO, G. S. Estruturas de Dados.São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010. 432 p.

CORMEN, Thomas H. et al. Introduction to algorithms. 3.ed. Cambridge: MIT, 2009. xix. 1292 p.

FIGUEIREDO, Jorge. Apresentação Ánálise e Técnicas de Algoritmos.

ZIVIANI, N. Projeto de Algoritmos: com implementaçãoem Pascal e C. 2. ed. São Paulo: Pioneira ThomsonLearning, 2004.

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