Revista Brasileira de Ensino de Fısica, v. 29, n. 4, p. 565-573, (2007)www.sbfisica.org.br

Analise de cabos coaxiais cilındricos usando a tecnica

dos elementos finitos(Analysis of cylindrical coaxial cables using the finite element technique)

Antonio Flavio Licariao Nogueira1

Departamento de Engenharia Eletrica, Universidade do Estado de Santa Catarina, Joinville, SC, BrasilRecebido em 15/12/2006; Revisado em 21/9/2007; Aceito em 26/9/2007

A nova geracao de simuladores de campos eletromagneticos pode ser usada no ensino de eletromagnetismo semque o usuario conheca com profundidade a metodologia usada no desenvolvimento desses programas computa-cionais. A teoria da linha coaxial cilındrica e usada para ilustrar a aplicacao desses programas como ferramentade ensino. A solucao analıtica do problema e usada para avaliar a precisao numerica dos resultados obtidosutilizando diferentes subdivisoes das malhas de elementos finitos. A relacao entre minimalidade energetica e dis-tribuicao de potenciais eletricos e usada para explicar como diferentes discretizacoes do modelo afetam o calculodas grandezas eletromagneticas. A definicao de um problema exterior para modelar a estrutura coaxial permitea analise dos campos dispersos nas extremidades e aumenta a precisao do calculo da capacitancia.Palavras-chave: axissimetria, campos eletricos, metodo dos elementos finitos, metodo variacional.

The new generation of electromagnetic field simulators can be used for teaching electromagnetism with nouser’s deep knowledge about the methodology used to develop these computer programs. The theory of thecylindrical coaxial line is used to illustrate the application of these programs as teaching tools. The analyticalsolution of the problem is used to assess the accuracy of the numerical results produced by different subdivisionsof the finite element meshes. The relationship between energy minimality and distribution of electric potentialsis used to explain how different discretizations of the model affect the computation of the electromagnetic varia-bles. The definition of an exterior problem to model the coaxial structure allows the analysis of leakage fields atthe end-zone and improves the accuracy of capacitance calculation.Keywords: axisymmetry, electric fields, finite element methods, variational methods.

1. Introducao

O metodo dos elementos finitos tem por base a ideiade subdividir o domınio original do problema, o con-tinuum, em um conjunto de subdomınios, conhecidoscomo elementos. Uma formulacao numerica, baseadana teoria das interpolacoes, e entao aplicada a esseselementos de forma a satisfazer a um dado criterio deotimizacao e produzir uma solucao numerica. Trata-se,na verdade, de uma tecnica numerica para a solucao, emgrande escala, de problemas de alta complexidade utili-zando uma estrutura de dados que e, ao mesmo tempo,simples e flexıvel. Os elementos finitos sao definidoscom base em sua forma geometrica e no grau da funcaode aproximacao. Essa funcao e, na maioria dos casos,polinomial e define a forma como a variavel primariade calculo, normalmente um potencial, comporta-se nominusculo subespaco delimitado por cada elemento fi-nito. Muitas formas geometricas podem ser utilizadas;

o elemento triangular e o mais usado. Tambem, namaioria das aplicacoes, funcoes interpolantes de pri-meiro grau sao suficientes para atender ao compromissoentre a precisao numerica requerida e as demandas emtermos de esforco computacional e tempo de processa-mento.

A utilizacao conjunta da tecnica dos elementos fi-nitos com o metodo variacional foi apresentada a co-munidade cientıfica em 1970, atraves de um artigo deSilvester e Chari que abordava a questao da saturacaomagnetica em transformadores [1]. A formulacao pro-posta formou a base de calculo dos primeiros siste-mas informaticos para o desenvolvimento de projetose otimizacao de equipamentos eletricos que surgiramna epoca. Apesar de um numero expressivo de siste-mas informaticos utilizar a tecnica dos elementos fi-nitos em conjunto com o metodo residual de Galer-kin, alguns sistemas desenvolvidos recentemente con-tinuam a empregar a primeira formulacao. E o caso da

1E-mail: antonioflavio@ieee.org.

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suıte de programas utilizada neste trabalho, conhecidacomo FEMM [2] e distribuıda gratuitamente na Inter-net desde 2002.

O presente trabalho procura mostrar que os pro-gramas de simulacao de campos podem ser usados comoinstrumento didatico no ensino de eletromagnetismo. Autilizacao dessas ferramentas de simulacao requer a in-terferencia do usuario ao longo de todo o processo. Nafase de definicao do problema, o usuario precisa fazeruma serie de escolhas de parametros relacionados, porexemplo, com o nıvel, maior ou menor, de discretizacaodo domınio. Na fase final, quando a solucao numericaja esta disponıvel, a utilizacao dos recursos para calculoe visualizacao das grandezas de interesse tambem exigea participacao do usuario; as series numericas que re-presentam as variacoes dos campos magnetico e eletrico,podem ser manipuladas tanto na forma de distribuicoesdiscretas e constantes quanto na forma de superfıciessuavizadas.

A questao da interatividade entre usuario e sistemainformatico, considerada por alguns educadores como oaspecto mais valioso da utilizacao dos simuladores decampo, e discutida neste trabalho ao longo da analisede um problema eletrostatico. O problema avalia osparametros eletricos de um cabo coaxial e cilındrico,energizado por uma diferenca de potencial conhecida.Trata-se de um problema abordado em muitos livrosde fısica e eletromagnetismo e que possui uma serie devantagens tais como uma solucao analıtica que e bemconhecida e que pode ser comparada com os valorescalculados numericamente [3-4]. Outra vantagem e re-lacionada a simetria da estrutura; o problema pode seranalisado como estrutura plana, bidimensional ou comoestrutura axissimetrica, tridimensional.

A exploracao da simetria translacional, em coorde-nadas cartesianas, tem a familiaridade como principalvantagem, mas carrega consigo as limitacoes inerentes aanalise bidimensional; nao permite, por exemplo, ava-liar o comportamento do campo eletrico nas extremi-dades do dispositivo. De acordo com Silvester e Fer-rari [5], o problema da linha coaxial cilındrica, alem deser facilmente modelado como estrutura axissimetrica,e ideal para a analise de desempenho do processo deaproximacoes numericas utilizando diferentes nıveis desubdivisoes do domınio.

2. A estrutura coaxial cilındrica

O equacionamento dos problemas que envolvem fron-teiras cilındricas e mais simples em situacoes onde ocomprimento axial da estrutura e grande em relacaoao raio [3]. Nesse caso, os potenciais e campos da linhacoaxial sao considerados aproximadamente independen-tes do comprimento z. Se adicionalmente, a estruturaapresenta simetria circular, as distribuicoes de poten-ciais e campos eletricos nao apresentam variacoes nadirecao circunferencial, φ, e podem ser expressas em

funcao da variacao do raio r. A Fig. 1 mostra os prin-cipais elementos de uma linha coaxial. Sao eles: o raiointerno Ri, o raio externo Re e o comprimento axialh. A solucao analıtica e formulada em termos dessesparametros e da variacao do raio r. Se Vo denota o po-tencial eletrico na superfıcie cilındrica interna de raioRi, e a superfıcie externa de raio Re e submetida a umpotencial de zero volt, a variacao do potencial eletricono espaco entre os condutores, em volts, e

V (r) =V0

ln(Re/Ri

) ln(

Re

r

). (1)

A variacao do campo eletrico radial, tambem noespaco entre os condutores, em volts por metro, e

E(r) =V0

ln(Re/Ri

) 1r. (2)

O calculo analıtico da capacitancia e feito a partirdas dimensoes geometricas e das propriedades do meiomaterial que ocupa o espaco entre os condutores. Acapacitancia do cabo coaxial, em farads, e

C =2πεrε0h

ln(Re/Ri

) , (3)

onde εr e a permissividade relativa do meio dieletricoe ε0 = 8,854187817 × 10−12 F/m e a permissividadeeletrica do vacuo.

Figura 1 - Parametros da linha coaxial.

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As equacoes acima foram desenvolvidas para a linhacoaxial longa, mas podem ser utilizadas na analise delinhas ou cabos curtos, em quase toda a extensao dodispositivo. A questao da dispersao do campo eletricoem torno das extremidades requer o modelamento deuma regiao que envolve a estrutura, e isso e discutidomais adiante.

2.1. Problema de teste

A teoria da linha coaxial cilındrica e usada no estudo deum pequeno cabo eletrico. Os raios, interno e externodas superfıcies cilındricas que formam o cabo, Ri e Re,medem 1,0 e 5,0 cm, respectivamente. A altura h dassuperfıcies e 20,0 cm e o espaco entre elas e preenchidopelo ar, um meio isolante cuja permissividade eletricarelativa, εr, e proxima da unidade. A superfıcie con-dutora interna e submetida a um potencial eletrico de1000 V, enquanto a superfıcie externa e submetida aum potencial nulo, resultado de um processo de aterra-mento.

Para esse dispositivo, em particular, as variacoes dopotencial e campo eletrico no espaco entre os conduto-res em funcao do raio r em centımetros, sao

V (r) =V0

ln (Re/Ri)ln (Re/r) = 621, 34 ln

(5r

)(4)

E(r) =V0

ln(Re/Ri

) 1r

=621, 34

r. (5)

2.2. Modelo numerico simplificado

A Fig. 2 mostra os componentes de uma estrutura axis-simetrica bastante simples e cujas fronteiras coincidemcom os limites geometricos do dispositivo em estudo. Asduas superfıcies cilındricas sao modeladas utilizando-sedois segmentos de reta verticais de 20 cm de altura,distantes 1,0 e 5,0 cm do eixo axial z, respectivamente.Nos dois segmentos verticais da estrutura retangular,o valor do potencial eletrico e imposto como condicaode contorno. Tal condicao e conhecida como condicaode Dirichlet ou condicao de contorno principal. Nesseproblema, os valores atribuıdos aos potenciais das su-perfıcies condutoras, interna e externa, sao 1000 V e0 V, respectivamente. Os dois segmentos indicadoscomo FN e que unem as extremidades dos segmentosverticais sao fronteiras do tipo Neumann, homogeneas,tambem conhecidas como condicoes de contorno natu-rais. A condicao de contorno homogenea de Neumanne expressa matematicamente por

∂V

∂n= 0, (6)

onde n representa o vetor unitario normal a fronteirae ∂V/∂n a taxa de variacao do potencial ao longo da

direcao normal a regiao externa da fronteira. Diferen-temente das condicoes de fronteira Dirichlet que saorigidamente impostas, nenhuma restricao matematicae imposta aos contornos ou segmentos associados ascondicoes homogeneas de Neumann, que sao satisfeitascom alto nıvel de precisao por se tratar de condicao “na-tural” do metodo dos elementos finitos. Assim sendo, oprocesso de calculo produz uma distribuicao de poten-ciais que exibe um alto nıvel de ortogonalidade entre assuperfıcies de mesmo potencial, as equipotenciais, e asfronteiras homogeneas de Neumann.

Figura 2 - Estrutura axissimetrica do modelo simplificado.

Para mostrar que a discretizacao do domınio tem in-fluencia diferenciada no calculo das diversas grandezas,duas configuracoes do modelo numerico sao utilizadas.As configuracoes diferem somente no que diz respeito amalha de elementos finitos. Ambas as malhas mostra-das na Fig. 3 sao formadas por elementos triangularescom geometria aproximadamente equilateral e apresen-tam uma certa regularidade em sua “granulacao”. Valeobservar que a malha com uma unica camada de 12elementos e muito grosseira e, por isso, nao reflete onıvel de subdivisoes de domınios utilizado na pratica.Essa malha foi escolhida pelo seu valor didatico; o erronumerico da solucao produzida por essa malha e bas-tante elevado na porcao central da estrutura; por outro

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lado, o erro numerico e nulo em todos os pontos nodaisdessa malha, pois todos se situam nos segmentos verti-cais da fronteira retangular que modela a linha coaxial,exatamente onde as condicoes de contorno Dirichlet saodefinidas e satisfeitas com exatidao. Trata-se de umaconfiguracao que realca os melhoramentos conseguidosnas aproximacoes feitas com outras malhas mais refina-das.

Figura 3 - Malhas da estrutura axissimetrica e contorno de ins-pecao.

3. Minimizacao de energia e potenciaisincognitos

A comparacao de valores produzidos pelas diferentessolucoes e feita com base na formulacao matematicaempregada no sistema informatico FEMM [2], discu-tida brevemente nesta secao. O metodo variacional porelementos finitos utiliza um processo de minimizacaode energia para determinar, de forma indireta, os po-tenciais incognitos do problema [6]. Para problemascomo este, descritos pela equacao de Poisson, a dis-tribuicao de potenciais eletricos que satisfaz a essaequacao, tambem minimiza a energia armazenada nosistema, e vice-versa. Os potenciais incognitos sao in-terconectados por uma equacao matricial que impoerestricoes as correcoes ou ajustes efetuados nos valo-res dos potenciais ao longo do processo iterativo. Asreferidas restricoes, devido a sua natureza global, naolevam em conta variacoes localizadas da energia. Emdecorrencia, as solucoes produzidas dessa maneira saootimizadas de uma forma global, mas podem conter er-ros localizados de magnitude consideravel.

Com base nessas consideracoes, e de se esperar quealteracoes na discretizacao do domınio tenham uma in-fluencia menor nos valores de determinadas grandezas.

E o caso da energia eletrica total armazenada cujo va-lor e, inclusive, utilizado como condicao de convergenciado processo. Por outro lado, variacoes na discretizacaodo domınio podem ter efeitos bastante pronunciadosna forma como potenciais e, principalmente, camposeletricos se distribuem no espaco analisado.

4. Resultados numericos

4.1. Energia eletrica armazenada

Informacoes relativas a energia eletrica armazenada nocabo coaxial energizado sao resumidas na Tabela 1.Alem do tipo de simetria explorada na analise, sao indi-cados na segunda e terceira colunas da tabela o numerode elementos Ne e numero de pontos nodais Np de cadamalha. Nessa tabela, constam informacoes relativas asduas malhas mostradas anteriormente e cujos elementossao distribuıdos em camadas regulares. Tambem sao in-cluıdas informacoes relativas a uma terceira malha com900 elementos, obtida a partir da analise do cabo comoestrutura plana. Essa malha aparece na ilustracao daFig. 4, superpondo-se ao mapeamento sombreado dopotencial eletrico. A legenda, presente na ilustracao,associa tons mais acentuados da cor cinza as regioes depotenciais mais elevados.

Tabela 1 - Efeito da discretizacao na energia total armazenada.

Simetria do I N. de N. de Energiaproblema elementos nos armazenada (µJ)

translacional I 900 522 3,486axissimetrica 151 100 3,530axissimetrica 12 14 4,172

Figura 4 - Malha da estrutura plana e mapeamento sombreadodo potencial eletrico.

No processo de minimizacao com restricoes, a ener-gia mınima nao trivial do sistema e aproximada pordiferentes combinacoes ou distribuicoes dos potenciaiseletricos. Os resultados da Tabela 1 mostram que, paraas configuracoes associadas as malhas com 900 e 151 ele-mentos, os valores das energias armazenadas sao muitoproximos, em torno dos 3,508 µJ. Vale aqui ressaltar

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que esses dois mınimos energeticos foram obtidos porprocessos de calculo diferentes; em problemas com si-metria plana ou translacional a minimizacao e efetuadaem termos de energia/profundidade, enquanto que emproblemas axissimetricos o que e minimizado e a ener-gia/radiano.

Ja no caso da malha com uma unica camada de 12elementos, o valor da energia armazenada e 18% maiorque aqueles das outras configuracoes. Esse percentualdeve ser tomado como um indicativo de erros numericosexpressivos na distribuicao dos potenciais eletricos naregiao entre as superfıcies condutoras, como mostradona secao que se segue.

4.2. Distribuicao de potenciais e campos

O contorno utilizado para extracao dos valores de po-tenciais e campos e dirigido radialmente, ao longo doeixo horizontal do plano r − z. Trata-se do segmentoretilıneo i − f indicado na Fig. 3. Essa escolha docontorno de inspecao, aliada a simetria da estrutura,permite que campos e potenciais sejam calculados e in-terpretados a partir de uma simples analise unidimen-sional. Os resultados da analise devem ser, entao, es-tendidos para a estrutura completa, tridimensional.

O grafico da Fig. 5 apresenta a comparacao dasdistribuicoes de potenciais produzidas pelas duas confi-guracoes numericas do problema. Nesse grafico, o eixohorizontal representa a distancia ate o condutor interno.Cada configuracao esta associada a uma das malhasmostradas na Fig. 3. Essas distribuicoes de potenciaissao apresentadas junto a curva suave que representa asolucao analıtica, descrita pela Eq. (4) e indicada porVa. A serie V1, representada por “o” esta associada amalha mais grosseira, formada por uma unica camadade elementos finitos. A caracterıstica linear por partesrepresenta a serie V4 e esta associada a malha formadapor quatro camadas de elementos, mais refinada que aprimeira.

Figura 5 - Potencial eletrico: malhas com 1 e 4 camadas.

O grafico da Fig. 5 mostra que ambas as carac-terısticas obtidas numericamente possuem o mesmo va-lor nos extremos do intervalo. No entanto, a formacomo o potencial se distribui ao longo do percurso e

diferente em cada caso. Na primeira distribuicao de va-lores, indicada por V1, os pontos extremos estao unidosdiretamente, atraves de um unico segmento retilıneo.No caso da distribuicao de potenciais V4, associada amalha com quatro camadas, a aproximacao e linear porpartes e a variacao do potencial e ditada por quatrofuncoes lineares diferentes, uma para cada trecho re-presentando um quarto do percurso total. Isso ajuda aexplicar o desvio existente entre as duas caracterısticas.Esse desvio aumenta a medida que os pontos de ins-pecao se afastam dos extremos do intervalo em direcao asua porcao central. A caracterıstica V1 tem valores ini-ciais especificados unicamente nos pontos extremos dointervalo. A caracterıstica V4 tambem tem seus pon-tos extremos bem definidos, mas o processo de mini-mizacao impoe tres restricoes adicionais de valores, emtres posicoes equidistantes e que dividem o contorno emquatro secoes.

A observacao atenta do grafico da Fig. 5 mostraque, ao contrario da caracterıstica V1, a caracterısticaV4 apresenta variacoes sucessivas em sua inclinacao.Considerando que a distribuicao do campo eletrico ecalculada pela diferenciacao dos potenciais em relacaoa deslocamentos posicionais, fica claro que as distri-buicoes de campo eletrico associadas a cada uma dasconfiguracoes do problema devem apresentar diferencasconsideraveis [7].

A comparacao de diferentes distribuicoes do campoeletrico e apresentada na Fig. 6. Cada caracterısticamostra a variacao do campo eletrico ao longo do con-torno de inspecao. Por extensao, essas distribuicoesrepresentam a variacao do campo eletrico radial, desdea base ate o topo da estrutura. No caso da malha comquatro camadas de elementos, o campo eletrico e cons-tante em cada trecho representando um quarto do per-curso. A media aritmetica dos valores da serie E4 e250,0 V/cm, exatamente o valor constante da serie E1

ao longo de todo o percurso.

Figura 6 - Campo eletrico radial: malhas com 1 e 4 camadas.

Os degraus da serie E4 se constituem em uma repre-sentacao discreta e aproximada da caracterıstica Ea querepresenta a solucao analıtica, expressa pela Eq. (5).O grau de descontinuidade da caracterıstica numerica,

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calculado pelo quociente entre a media aritmetica dasalturas dos degraus e a diferenca entre os valoresmaximo e mınimo da serie decrescente, pode ser usadocomo criterio para se conseguir melhores aproximacoes.No caso da serie E4, o grau de descontinuidade e 33%,um valor muito alto, indicativo de uma aproximacaoque precisa ser melhorada.

O melhoramento dessa aproximacao numerica podeser conseguido atraves de um processo de refinamentolocalizado na malha de elementos finitos, como ilustraa Fig. 7. Nesse processo, a estrutura retangular ori-ginal mostrada na Fig. 2 e dividida em 10 blocos ouregioes, tambem retangulares, e sao impostas restricoesao comprimento maximo das arestas dos elementos tri-angulares de cada regiao. A Fig. 7 mostra cinco regioes,

indicadas por R1,..., R5 e que compoem a metade su-perior do cabo coaxial. No processo de restricao uti-lizado, escolhe-se primeiramente o valor que se desejapara o comprimento dos lados dos triangulos que vaoformar cada regiao. O gerador de malhas “Triangle” [8]procura preencher a regiao com triangulos aproximada-mente equilaterais e cujos lados possuem um compri-mento proximo ao valor especificado. A observacao daporcao mais a direita da Fig. 7 mostra que as condicoesimpostas ao gerador de malhas resultam em uma malhabem mais densa nas proximidades do contorno ondese faz a inspecao do potencial e campo eletrico. Essecontorno, agora, passa a ser formado pela uniao de 64arestas, ao inves de quatro.

c

Figura 7 - Malha com 2799 elementos, mais densa na proximidade do contorno de inspecao.

d

A serie numerica indicada por Erl na Fig. 8 mostraa distribuicao do campo radial associada a essa malhacom refinamento localizado e que contem 2799 elemen-tos, ao todo. No caso, a media aritmetica dos valores daserie e, tambem, 250,0 V/cm, mas o grau de desconti-nuidade e praticamente nulo. Esses resultados mostramcomo obter uma sequencia convergente de aproximacoesnumericas, cada vez mais precisas a medida que a malhae refinada.

4.3. Modelo numerico com fronteira exterior

A avaliacao do comportamento das variaveis eletro-magneticas no volume externo que circunda um dadodispositivo e um problema de grande importancia e

de difıcil abordagem por metodos analıticos. Comoo metodo dos elementos finitos produz uma solucaoem um domınio fechado e finito, tecnicas especiais de-vem ser usadas no estudo de problemas que represen-tam campos eletromagneticos que nao sao confinados aum domınio finito. Para tal, deve-se estabelecer umafronteira exterior, tambem fechada, e situada a umadistancia finita do dispositivo em estudo. Essa fron-teira exterior permite simular um problema que, defato, possui uma distribuicao de potenciais e camposem um domınio aberto. Em muitas aplicacoes do ele-tromagnetismo, a regiao externa e modelada com o ob-jetivo de aumentar a precisao numerica do calculo dasvariaveis eletromagneticas na propria regiao interna,ocupada pelo dispositivo em estudo. Ja para um outro

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grupo de aplicacoes, que incluem os estudos de blinda-gem e interferencia eletromagnetica, a estimativa pre-cisa das variaveis eletromagneticas em posicoes distan-tes do dispositivo e mais importante que a avaliacaoda distribuicao dessas variaveis na regiao ocupada pelodispositivo [9].

Figura 8 - Campo eletrico radial: malha com 2799 elementos.

O modelo numerico simplificado, proposto inicial-mente para o cabo coaxial energizado, possui fronteirasque coincidem com os limites geometricos do disposi-tivo e, por isso, e caracterizado como um problema in-terior. Para tornar possıvel a inclusao de estudos comoo de campos dispersos nas extremidades do cabo e au-mentar a precisao numerica do calculo de parametroscomo a capacitancia, o problema precisa ser mode-lado como um problema exterior. Nesse tipo de pro-blema o domınio e expandido e analisado a partir deduas porcoes, de forma que a porcao ou regiao inte-rior contem as partes estruturais e campos de maiorinteresse. A regiao exterior se estende ate uma fron-teira artificial, fechada e situada a uma distancia finitado dispositivo. A introducao dessa fronteira representaefetivamente a conversao de um domınio aberto em umfechado. Varios sao os metodos para solucao de pro-blemas exteriores e a literatura tecnica na area e ex-tensa. Felizmente, existem excelentes revisoes de lite-ratura que podem facilitar a escolha da tecnica maisadequada a uma determinada aplicacao [10-12].

Para modelar o problema de teste do cabo coaxialcomo um problema exterior, a tecnica de trucamento defronteiras exteriores e aqui utilizada. Trata-se de umatecnica de facil entendimento e que pode ser implemen-tada em qualquer simulador de campos. Baseia-se nasuposicao de que, em uma fronteira suficientemente dis-tante do dispositivo em estudo, a derivada normal dopotencial - eletrico ou magnetico - tende a se anularou, o proprio potencial e que tende a zero. As regraspara a localizacao da fronteira exterior sao empıricas ebaseiam-se na suposicao de que o dispositivo em estudodeve parecer pontual em relacao ao volume total mode-lado. A necessidade de modelar uma porcao adicionaldo espaco ate uma posicao distante para se conseguir

um aumento na precisao dos calculos e considerada aprincipal desvantagem da tecnica. Uma outra solucaopara a questao da localizacao da fronteira exterior con-siste em resolver o problema duas vezes, utilizandocondicoes de contorno homogeneas de Dirichlet e Neu-mann na fronteira exterior. A maior ou menor variacaonos parametros da solucao, de uma simulacao para ou-tra, e usada para indicar se a localizacao da fronteiraexterior e suficientemente distante ou nao. Essa ultimametodologia foi utilizada para definir a localizacao dafronteira exterior do problema de teste do cabo coaxial.

A Fig. 9 mostra as diferentes regioes do problemaexterior. O domınio de analise, agora subdividido em4412 elementos, estende-se ate os limites de uma fron-teira semicircular cujo raio mede 30,0 cm. As regioesretangulares Rt e Rb, que aparecem na figura, sao fron-teiras materiais artificiais criadas com o objetivo de ava-liar, separadamente, a quantidade de energia armaze-nada nos campos dispersos do topo e base do disposi-tivo. Como se pode observar na ilustracao, a fronteiraexterior nao esta muito distante das extremidades docabo coaxial, como recomendam as regras empıricas.No entanto, as solucoes do problema utilizando os doistipos de condicoes de contorno na fronteira exterior pro-duziram valores computacionalmente equivalentes paraos diversos parametros, o que mostra que a extensaodo espaco exterior modelado e suficiente. A Tabela 2registra os valores de grandezas de carater global – ener-gias e cargas eletricas –, obtidos a partir da simulacaobaseada nas condicoes de contorno homogeneas de Di-richlet.

Figura 9 - Regioes do problema exterior.

Tabela 2 - Energia armazenada e carga eletrica.

Energia entre I Energia do campo Energia Cargaplacas (µJ) disperso (µJ) total (µJ) (µC)

3,49930 I 0,46494 3,96941 7,93883

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O mapeamento do campo eletrico da estruturacoaxial e mostrado na Fig. 10. A porcao mais a es-querda da figura e uma vista ampliada da metade su-perior do cabo coaxial e do espaco que envolve suaextremidade. Sao apresentados dois recursos para vi-sualizacao: mapeamento sombreado da intensidade decampo e tracado de setas. Nesse ultimo, a direcao dassetas indica a direcao do campo e o comprimento dasmesmas e proporcional a intensidade do campo. Nailustracao observa-se que, ao longo de quase toda ex-tensao do cabo coaxial, a distribuicao do campo eletricoe homogenea, com o campo confinado ao espaco entreas superfıcies condutoras e dirigido radialmente. A dis-tribuicao do campo comeca a se desviar dessa confi-guracao a uns poucos centımetros da borda superior;torna-se visıvel a nao homogeneidade da distribuicao,com aumento contınuo da concentracao do campo -e correspondente energia armazenada - nas proximi-dades da superfıcie condutora interna. Os camposeletricos mais intensos ocorrem na borda interna e emsuas imediacoes. Trata-se da regiao mais susceptıvel aocorrencia de descargas eletricas e onde o calculo pre-ciso da distribuicao de campo requer um nıvel mais ele-vado de refinamento da malha.

Figura 10 - Mapeamento do campo eletrico na metade superiordo dispositivo.

Para Lowther e Silvester [13], o efeito da dispersaode campo nas extremidades equivale a um aumentoefetivo do comprimento do dispositivo, ou seja, ocampo disperso representa armazenamento de energiaem regioes externas, que envolvem as partes estrutu-rais do dispositivo. Nesse problema de teste, a energiados campos dispersos representa 11,8% da energia totalarmazenada.

A abordagem analıtica tradicional para calculo decapacitancia tende a produzir valores subestimadospara esse parametro, pois o equacionamento e baseadonas dimensoes geometricas das partes ativas da estrutu-ra e nao leva em consideracao o efeito da dispersao nas

extremidades. O resultado da inclusao dessa energiaarmazenada externamente no calculo e o aumento dovalor da capacitancia, como se pode observar nos dadosda Tabela 3. Os valores calculados numericamente saobaseados no metodo da energia [7]. O primeiro calculoutiliza somente a energia armazenada no espaco entreas superfıcies condutoras e produz uma estimativa bemproxima daquela calculada analiticamente pela Eq. (3);no caso, o desvio entre as duas estimativas e de apenas1,3%. O segundo calculo inclui a energia dos camposdispersos e produz um valor de capacitancia considera-velmente maior. O desvio entre as duas estimativascalculadas numericamente e de 11,8%, exatamente opercentual da energia dos campos dispersos em relacaoa energia total armazenada.

Tabela 3 - Calculo da capacitancia.

ICapacitancia (pF)IIMetodo numerico da energiaI

Metodo analıtico I1◦ calculoI 2◦ calculo

6,90372I 6,99860 7,93882

Conclusoes

O artigo discute a possıvel utilizacao dos modernos si-muladores de campos eletromagneticos no ensino degraduacao. Trata-se de um investimento pedagogicoem um grupo de disciplinas que inclui, alem do ele-tromagnetismo, princıpios de telecomunicacoes e con-versao de energia. Essas disciplinas, ao longo dos anos,tem sido consideradas as mais abstratas e difıceis doscursos de engenharia. A criacao de um laboratorio desimulacao significa um investimento inicial elevado paraa instituicao, pois os bons resultados da atividade de-pendem de um curso preparatorio e as sessoes de labo-ratorio precisam ser bem planejadas e monitoradas. Aexperiencia e atitude do instrutor sao fatores determi-nantes para os bons resultados das aulas de simulacao,pois os sistemas informaticos para calculo de camposexigem um alto grau de interferencia do usuario.

Partindo-se de uma estrutura axissimetrica bastantesimples que modela um cabo coaxial energizado, a dis-cussao procura explicitar a relacao causa-efeito entresubdivisao do domınio e valor calculado para diferen-tes grandezas eletromagneticas. No caso, percebe-seque mudancas na discretizacao tem efeito diferenciadono valor calculado para energias, potenciais e camposeletricos. Em qualquer solucao de campos, os menoreserros numericos sao associados as grandezas energeticascomo energias armazenadas e potencias dissipadas. Oserros nas grandezas energeticas sao sempre menoresque aqueles presentes nas distribuicoes de potenciais.Os erros presentes nas distribuicoes de potenciais, porsua vez, sao amplificados no processo de diferenciacaonumerica usado para calcular os campos eletricos.

Analise de cabos coaxiais cilındricos usando a tecnica dos elementos finitos 573

Os resultados numericos mostram como implemen-tar um processo de melhoria sucessiva da solucaonumerica do problema do cabo coaxial. Parte-se daconfiguracao baseada na malha com 12 elementos, quegera erros elevados em todas as grandezas, inclusive naenergia total armazenada. A mudanca para a malhacom 151 elementos representa um melhoramento noprocesso; a precisao numerica da aproximacao para omınimo energetico do sistema e elevada e os poten-ciais eletricos sao proximos daqueles calculados anali-ticamente. No entanto, a caracterıstica descontınua,calculada para a distribuicao de campo eletrico, aindaesta longe de representar a curva correta que e contınuae diferenciavel. Atraves de um processo de refinamentoda malha anterior, chega-se a uma malha axissimetricacom 2799 elementos e se consegue, a partir da mesma,uma aproximacao numerica satisfatoria para energias,bem como para distribuicoes de potenciais e campos.

Para contornar as limitacoes do modelo numerico,definido inicialmente como um problema interior, aestrutura coaxial passa a ser definida como um pro-blema exterior, utilizando-se para tal a tecnica detruncamento de fronteiras exteriores. Isso possibilitoua analise dos campos dispersos nas extremidades daestrutura e um calculo mais preciso da capacitancia daestrutura coaxial.

Agradecimentos

O autor gostaria de expressar sua gratidao aos pro-fessores Benedito Antonio Luciano e Edson Guedesda Costa, Universidade Federal de Campina Grande,pelo apoio recebido durante o Simposio Brasileiro deSistemas Eletricos, SBSE 2006. Tambem, quer regis-trar seus agradecimentos a Jonathan Richard Shewchuk(jrs@cs.berkeley.edu), autor do gerador de malhas Tri-angle, empregado neste trabalho e compartilhado por

uma comunidade cada vez maior de estudantes e pes-quisadores. Este trabalho e parte do Projeto UDESCn. DAPE 027/2006.

Referencias

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