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ANÁLISE DA MATRIZ DE CORRELAÇÃO

DE AÇÕES NA BOLSA DE VALORES DE

SÃO PAULO EM PERÍODO DE CRISE

Eloa Tessaroli (UNESP )

[email protected]

Antonio Fernando Crepaldi (UNESP )

[email protected]

A grande complexidade da estrutura e da dinâmica dos sistemas

econômicos faz com que pesquisadores dediquem esforços para criação de

modelos matemáticos que possam descrever as características dessa

dinâmica. Como um desses modelos tem-se aa Matriz de Correlação, que

aplicada ao setor financeiro, é capaz de medir o grau de relacionamento

entre ações, e este grau, se elevado, é capaz de revelar alguma tendência

de mercado. O objetivo deste trabalho é calcular o grau de correlação

entre diferentes ações da Bolsa de Valores de São Paulo, no período que

corresponde à última crise financeira mundial, denominada Subprime,

assim como no período que antecede e sucede.

Palavras-chaves: Matriz de Correlação, Crise do Subprime, Estrutura e

Dinâmica Financeira.

XXXIII ENCONTRO NACIONAL DE ENGENHARIA DE PRODUCAO A Gestão dos Processos de Produção e as Parcerias Globais para o Desenvolvimento Sustentável dos Sistemas Produtivos

Salvador, BA, Brasil, 08 a 11 de outubro de 2013.



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1. Introdução

Nos últimos anos tem crescido o interesse de profissionais da Física no estudo de sistemas

econômicos (PLEROU et al., 2000). Surge então a econofísica: métodos e conceitos da Física

aplicados em estudos sobre o setor financeiro, desenvolvendo assim diferentes modelos e

abordagens teóricas para descrever as características da dinâmica financeira. Propriedades

estatísticas de preço, flutuações e correlações entre diferentes ações podem ser estudadas, não

apenas para entendimento de sua complexa estrutura e dinâmica, mas também para facilitar a

prática de alocação de ativos, e estimativa de risco da carteira (MANTEGNA; STANLEY, 2000).

A presença de correlações e anticorrelações entre pares de ações é conhecida a muito tempo e

representa um importante papel na seleção do portfólio mais eficiente de ações, por isso a

importância de se saber a quantidade de sincronização presente na sua dinâmica. Para isso, deve-

se considerar estudos que visam detectar o número de fatores econômicos afetando a dinâmica

dos preços das ações em um mercado financeiro, como o desenrolar de uma crise financeira, por

exemplo (SANDOVAL; FRANCA, 2011).

Neste artigo, será analisado como as ações brasileiras se comportaram durante a última crise

financeira mundial, denominada Crise do Subprime. A análise será feita mediante a apresentação

da Matriz de Correlação das 16 ações mais significativas, em termos de composição do

IBOVESPA, de modo a observar essa variável no período que envolve os reflexos da crise do

Subprime no mercado brasileiro, bem como os períodos em sua vizinhança, compreendendo,

portanto, o período de Julho/2007 a Dezembro/2010. Essas 16 ações foram escolhidas de modo

que representassem diferentes setores da economia brasileira. Busca-se observar se existe alguma

alteração significativa na Matriz de Correlação no período justamente anterior a crise, de tal

maneira a antecipar os comportamentos subsequentes.

2. Fundamentação teórica

2.1 A econofísica



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Economistas e matemáticos são os pesquisadores com mais tradição quando se trata de sistemas

financeiros. Porém, recentemente um crescente número de físicos está dedicando esforços para

analisar o sistema econômico, contribuindo com estudos sobre o mercado financeiro a partir de

ferramentas e metodologias desenvolvidas em física estatística. A física estatística descreve

sistemas complexos como sendo um grande número de unidades interagindo entre si.

Analogamente, sistemas econômicos, como mercados financeiros, são compostos de um grande

número de agentes econômicos: os participantes do mercado que compram e vendem ativos a fim

de realizar suas negociações e decisões de investimento. Esses agentes são pessoas que interagem

umas com as outras, influenciados pelo clima econômico no qual estão inseridos, tentados a

comprar quando o clima está bom, e vender quando o clima está ruim. O fluxo sobreposto de

todas as ordens individuais submetidas ao sistema de negociação de bolsas pelos participantes do

mercado, e, é claro, a sua mudança no tempo, gera um sistema complexo com propriedades

semelhantes aos sistemas físicos. Sendo assim, mercados financeiros são sistemas complexos

evoluídos, que são continuamente monitorados e onde cada transação econômica é arquivada

(PREIS; STANLEY, 2010). A evolução de uma variedade de mercados financeiros é aleatória,

assim como o movimento de partículas em um movimento Browniano, e são ambas governadas

por leis probabilisticas. Por esse motivo, o mercado financeiro tornou-se um campo atrativo e

desafiador para esses pesquisadores (PLEROU et al., 2000).

Uma atividade chave de instituições financeiras é a gestão de riscos. Trata-se de uma tarefa

complexa que se beneficia de uma aproximação multidisciplinar. As aproximações feitas por

físicos são complementares àquelas feitas por disciplinas tradicionais da Economia. De acordo

com Mantegna (2000), isso faz aumentarem as chances de se obter sucesso da forma mais

eficiente em um ambiente competitivo. Nasce então a econofísica: termo criado por H.E. Stanley

nos anos 90 para denotar as atividades de físicos que estão trabalhando em problemas

econômicos para testar uma variedade de novas aproximações conceituais derivadas da ciência

física. Trata-se de um campo de pesquisa multidisciplinar, que aplica as teorias e métodos da

física no campo da economia, a fim de resolver problemas que incluem incertezas, como os

mercados financeiros. Alguns modelos da física que foram agregados à econofísica incluem a

teoria cinética dos gases, modelos de percolação, modelos caóticos, mecânica estatística e teoria



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da matriz aleatória. Esta última pode ser usada para identificar ruídos em matrizes de correlação

entre ativos financeiros, podendo otimizar o desempenho das carteiras (MANTEGNA;

STANLEY, 2000).

2.2 Crise do subprime

A Crise do Subprime surgiu em 2006 como uma crise imobiliária e no mercado de hipotecas nos

Estados Unidos, conhecido com mercado de Subprime. Nos anos que se antecederam a crise, o

preço dos imóveis norte-americanos estava em alta, assim como a liquidez no mercado

internacional, fazendo com que bancos e financeiras dos Estados Unidos emprestassem mais

dinheiro para credores com histórico de crédito ruim e sem renda comprovada. Como esses

empréstimos para pessoas com histórico de inadimplência embutem maior risco, eles têm juros

maiores, tornando-os mais atrativos para gestores de fundos e bancos em busca de retornos

melhores. Após atingir um pico em 2006, o preço dos imóveis passou a cair. Como os juros eram

muito altos, a inadimplência cresceu e o temor de calotes fez o crédito sofrer uma desaceleração

expressiva no país, desaquecendo a maior economia do planeta (BROOKS, 2008). A crise só foi

revelada ao público em fevereiro de 2007, e segundo economistas, seria a mais grave desde a

crise de 1929 (PEREIRA, 2008).

A crise alcançou seu pico em setembro de 2008, com a queda de cinco grandes bancos de

investimento dos EUA, influenciando a liquidez dos empréstimos interbancários e afetando assim

o mercado de dinheiro, repercutindo fortemente sobre as bolsas de valores de todo o mundo.

Como reflexo dessa crise, a maioria das economias mundiais se retraiu, o fluxo de exportação

caiu, empresas foram à falência, algumas entraram em recesso. A Bolsa de Valores de São Paulo,

que é a terceira maior do mundo em valor de mercado, chegou a cair 10,16% no segundo

semestre de 2007 e teve suas operações interrompidas (PEREIRA, 2008).

Todas as fases da crise coincidiram com as reações dos mercados de ações. Assim, não é muito

difícil motivar a necessidade de um modelo de mercado financeiro realista. A capacidade de

compreender falhas econômicas e outros grandes riscos seria de utilidade óbvia para a política e a

pesquisa (PREIS, 2011).



5

2.3 Matriz de correlação

Uma forma bastante útil de se analisar simultaneamente a associação entre variáveis aleatórias é

obter a Matriz de Correlação. Correlação, também chamada de coeficiente de relação, mede a

força e a direção do relacionamento linear entre duas variáveis aleatórias (SIMOHYL;

MIRANDA, 2007). Correlacionar significa estabelecer relação mútua entre dois termos. Quando

se estuda a relação entre duas variáveis X e Y, deve-se entender o conceito de covariância. Se a

variância é uma estatística por meio da qual chegamos ao desvio-padrão, que é uma medida de

dispersão, da mesma forma a covariância é uma estatística por meio da qual chegamos ao

coeficiente de correlação, que mede o grau de associação “linear” entre duas variáveis aleatórias

X e Y. A matriz de correlação calcula a correlação entre todas as variáveis, logo é uma matriz

simétrica e na diagonal sempre terá o valor 1, uma vez que se trata da correlação da variável com

ela mesma, e cada interseção linha (i) e coluna (j) mostra a correlação das variáveis Xi e Xj

(SIMOHYL; MIRANDA, 2007).

A matriz abaixo generaliza uma matriz de correlação entre as variáveis,

A correlação nunca pode ser maior do que 1 ou menor do que -1. Uma correlação próxima à zero

indica que as duas variáveis não estão relacionadas. Uma correlação positiva indica que as duas

variáveis movem juntas, e a relação é mais forte quando a correlação se aproxima a 1.Uma

correlação negativa indica que as duas variáveis movem-se em direções opostas, e que a relação

fica mais forte quanto mais próxima de -1. Duas variáveis que estão perfeitamente

correlacionadas positivamente movem-se essencialmente em perfeita proporção na mesma

direção, enquanto dois conjuntos que estão perfeitamente correlacionados negativamente movem-

se em perfeita proporção em direções opostas (SIMOHYL; MIRANDA, 2007).

2.3.1 Matriz de correlação aplicada a pares de ações

(1)



6

No mercado financeiro muitas ações são tratadas simultaneamente. Uma maneira de detectar

similaridades e diferenças entre pares de ações numa evolução temporal simultânea é estudando o

coeficiente de correlação ρij entre mudanças logarítmicas diárias no preço de duas ações i e j.

Generalizando, nós podemos definir o valor do retorno para a ação i como:

Então,

Aqui, Yi é o preço de fechamento diário da ação i no tempo t, e Si é a variação logarítmica diária

do preço da ação i. Os colchetes angulares indicam a média ao longo do tempo de todos os dias

de negociação dentro do período investigado. Com essas definições, o coeficiente de correlação

ρij pode assumir valores variando entre -1 e 1, com três valores em especial:

Onde:

1: indica ações completamente correlacionadas;

0: indica ações não correlacionadas;

-1: indica ações completamente anticorrelacionadas.

2.3.2 Estudo sobre o portfólio Dow-Jones

O estudo a seguir, feito por Rosario N. Mantegna e H. Eugene Stanley no início dos anos 2000, é

um exemplo da utilização da matriz de correlação no mercado de ativos (MANTEGNA;

STANLEY, 2000).

Foi realizada a investigação do ρij nas 30 ações da Bolsa de Valores de Nova York usadas para

computar o índice Dow-Jones. Para as 30 ações do DJIA (Down-Jones Industrial Average),

temos (30 x 29)/2 = 435 diferentes ρij. Todos os ρij são calculados para cada período investigado.

A tabela 1 sumariza os valores mínimos e máximos de ρij. Da tabela 1 é evidente que o típico

(2)

(3)

(4)



7

valor máximo de ρij é acima de 0,5, então nesse portfólio existe correlação positiva entre os pares

de ações. O valor mínimo típico é próximo de zero, então o grau de anticorrelação é baixo.

Tabela 1- Mínimos e máximos valores de correlação observados nas 30 ações do Índice Down-

Jones

Período Mínimo Máximo

1990 0,02 0,73

1991 -0,01 0,63

1992 -0,10 0,63

1993 -0,16 0,63

1994 -0,06 0,51

Fonte: MANTEGNA, Rosario N.; STANLEY, Eugene. Introduction to econophysics correlation and complexity

in finance

3. Metodologia da pesquisa

Primeiramente, foi necessário verificar quais ações seriam interessantes para este estudo. Para

isso, obteve-se uma lista contendo a participação de cada uma das principais ações brasileiras

para Maio a Agosto de 2007, e depois novamente para Setembro a Dezembro de 2010

(BMF&BOVESPA, 2013). As ações que permaneceram com significativa participação foram

separadas.

Depois de separar quais permaneceram significativas por todo o período, as 16 ações foram

escolhidas de modo que pudessem representar diferentes setores da economia. Essas ações estão

listadas na Tabela 2:



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Tabela 2 - Lista das 16 ações escolhidas

Ambev (AMBV4) Itau S/A (ITSA4)

Banco do Brasil (BBAS3) Klabin (KLBN4)

Bradesco (BBDC4) Lojas Renner (LREN3)

Cemig (CMIG4) Petrobrás PN (PETR4)

Comgas (CGAS5) Petrobrás ON (PETR3)

Cyrela (CYRE3) Siderúrgica Nacional (CSNA3)

Gerdau (GGBR4) Telemar (TNLP4)

Gol (GOLL4) Usiminas (USIM5)

Fonte: BMF Bovespa- Índices

Para obtenção do banco de dados, foram analisados os valores de fechamento diários das 16

ações escolhidas, no período entre 2 de Julho de 2007 a 31 de Dezembro de 2010,

correspondendo a um total de 897 dias (BMF&BOVESPA, 2013; YAHOO! FINANÇAS, 2013). Se o

preço de uma ação estivesse faltando em um dos dias, este era assumido como o mesmo do dia

anterior. Depois de realizado esse procedimento, todas as ações tiveram seus valores plotados, e

estes gráficos foram comparados com os gráficos do “Yahoo! Finanças” e da “Uol Economia”,

para verificar a confiabilidade dos dados (YAHOO! FINANÇAS, 2013; UOL Economia, 2013).

Foi observado que alguns gráficos apresentavam comportamento diferente do esperado, e isso

ocorria devido ao grande número de desdobramentos da ação no período (split). Para eliminar

esse erro, dividiu-se o valor das ações, a partir do desdobramento, pelo número de ações que cada

unidade de ação anterior passou a representar.



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Com todos os valores avaliados e corrigidos, fez-se o cálculo para obtenção do valor do retorno

das ações. Para calcular a variação dos preços, ou seja, o retorno, em termos diários, utilizou-se a

diferença entre os logarítimos dos preços:

r (t) = ln S(t+Δt) – ln S(t),

sendo r o retorno, S o preço, t o tempo, e Δt o incremento temporal. Como se trata de um índice

diário, o Δt utilizado foi igual a 1.

A escolha da forma de cálculo, a partir do logaritmo, se deve a sua facilidade de desconto de

qualquer tipo de deflação (constante) que possa ter sido gerada no intervalo de tempo entre os

dois períodos, sem que este valor tenha que ser previamente conhecido. Além disso, a variação

por logaritmo se aproxima muito da variação percentual (CREPALDI, 2007).

Assim, para início de estudo, toda a série de preços foi transformada em série de retorno. Esses

cálculos, assim como todos os outros cálculos e gráficos gerados, encontram-se em anexo, e

foram feitos utilizando o software de computação algébrica MATLAB.

Depois de obtido o retorno, foi feito um programa que calculava a correlação entre todos os

ativos, separando-os por períodos de 20 dias, o que corresponde aproximadamente ao número de

dias úteis em um mês. Obteve-se, assim, 44 períodos de 20 dias, que, em seguida, foram

transformados em figuras, para possibilitar melhor visualização e interpretação dos resultados.

4. Resultados obtidos

Depois de realizados e testados todos os programas para manipulação dos dados, obteve-se como

resposta um total de 44 gráficos, cada um representando um mês do período analisado. Cada

gráfico continha pontos representando os valores das correlações entre as 16 ações no período de

20 dias.

Para possibilitar a visualização e consequente interpretação dos gráficos, cada ponto foi colorido

de acordo com a seguinte legenda, mostrada na Tabela 3:

Tabela 3 - Legenda de cores dos gráficos

(5)



10

Cor Correlação

Preto de -1 a - 0,5

Azul de - 0,5 a 0

Verde de 0 a 0,5

Vermelho de 0,5 a 1

Fonte: Autor

Desse modo, pontos pretos representam forte anticorrelação, e pontos vermelhos são valores

fortemente correlacionados. Os pontos azuis e verdes possuem correlação de média a fraca, tanto

positivamente como negativamente.

Todos os gráficos encontram-se no anexo IV. Na figura 1 segue um exemplo:

Figura 1 - Exemplo de gráfico de correlação

Fonte: Autor

Neste mês, escolhido aleatoriamente, encontramos pontos vermelhos, verdes e azuis, com

predominância de pontos vermelhos. Portanto, pode-se dizer que se trata de um mês onde os

retornos das ações estavam, de um modo geral, fortemente correlacionados.

Também foram gerados gráficos para mostrar as quantidades de cada um dos pontos (vermelhos,

verdes, azuis) que apareceram durante os 44 gráficos. Não houve o aparecimento de nenhum

ponto. O resultado está apresentado nos gráficos 2, 3, 4:



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Figura 2 - Gráfico Quantidade x Tempo dos pontos vermelhos (0,5≤≤1)

Fonte: Autor

No gráfico 2, as oscilações das quantidades de pontos vermelhos ocorrem em torno do valor

médio de 55, e não há uma tendência ou alteração de comportamento devido à proximidade da

crise ou ao afastamento em relação a ela.

Figura 3 - Gráfico Quantidade x Tempo dos pontos verdes (0≤≤0,5)



12

Fonte: Autor

No gráfico 3, as quantidades de pontos verdes também oscilam em torno de uma média alta, de

aproximadamente 60, e, assim como no anterior, não há uma tendência ou alteração de

comportamento com a aproximação ou afastamento da crise.

Figura 4 - Gráfico Quantidade x Tempo dos pontos azuis (-0,5≤≤0)

Fonte: Autor

Agora, apesar de as quantidades oscilarem em torno de uma média mais baixa, de 10,25, observa-

se o mesmo comportamento dos gráficos anteriores, não apresentando tendências significativas

com o passar do tempo.

A ausência de pontos pretos indica que não houve anticorrelação acentuada em todo o período

analisado.

5. Conclusão

A princípio, como hipótese, que não foi colocada explicitamente no trabalho, por tratar-se de

pesquisa exploratória, esperava-se que houvesse alguma formação de padrão da correlação

próxima ao início da crise e que ela desapareceria após essa. Caso a alteração de padrão não fosse

abrupta, haveria possibilidade de, em estudos futuros, aprofundar a análise com o objetivo de

sugerir uma medida de antecipação da crise.

Porém, o comportamento da correlação entre as ações parece não seguir algo como um campo

magnético aplicado a um conjunto de spins, a fim de alinhá-los. Observou-se que, apesar de



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alterações até significativas de intensidade, há um comportamento de alternância temporal, em

relação à média, do número de empresas que possuem uma determinada faixa de valores para a

correlação. Esse padrão foi verificado em todas as faixas, com exceção da faixa de maior

anticorrelação. Portanto, a medida de correlação é inócua para fins de estabelecer alterações

temporais significativas, devido a um processo de crise econômica, para um conjunto de ações

que representam diversos setores da economia.

Como sugestão para investigações posteriores pode-se pensar em varrer o espectro de frequência

com que se tomam os dados, por exemplo, utilizar a frequência semanal, para o estudo. É

evidente que para robustez de argumentação se faz necessário observar o padrão de

comportamento da correlação em diversas situações de crise e em diversos países a fim de buscar

um grau de generalização.

REFERÊNCIAS

BMF&BOVESPA. Índices. Disponível em: http://www.bmfbovespa.com.br/indices.

BRESSER, Pereira L.C. Dominação financeira e sua crise no quadro do capitalism do conhecimento e do estado

democrático social. Revista Estudos Avançados, 2008.

BROOKS, Mick. World economy in crisis – The financial panic: where are we now? Jan 2008.

CREPALDI, A. F. Abordagem de Modelos Baseados em Agentes no Estudo de Séries Temporais Financeiras.

São Paulo, 2007. 106p. Tese (Doutorado em Física) - Universidade Estadual Paulista.

MANTEGNA, Rosario N.; STANLEY, H. Eugene. An Introduction to Econophysics Correlation and

Complexity in Finance, Cambridge University Press, Cambridge, 2000.

PLEROU, Vasiliki; GOPIKRISHNAN, Parameswaran; RESENOW, Bemd; AMARAL, Luis A.N.; STANLEY,

Eugene. Econophysics: Financial Time Series From a Statistical Physics Point of View, 2000.

PREIS, Tobias. Econophysics – complex correlations and trend switchings in financial time series, 2011.

PREIS, Tobias; STANLEY, H. Eugene. Switching Phenomena in a System with No Switches, 2010.

SAMOHYL, Robert; SOUZA, Gueibi P.; MIRANDA R.G. Introdução à Estatística e Métodos de Previsão em

Séries Temporais: Teoria Aprofundada e Prática Simplificada, Capítulo 3 – correlação, 2007.

SANDOVAL, Leonidas; FRANCA, Italo P. Correlation of financial markets in time of crisis, Insper: 2011.



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UOL Economia. Cotações. Disponível em: http://economia.uol.com.br.

YAHOO! FINANÇAS. Índices. Disponível em: http://br.financas.yahoo.com.

ANEXO I

Programa para eliminar os erros devido aos desdobramentos, inverter ordem da matriz e calcular

o retorno:

clc

clear all

load todos2.txt

load bb_ajust_2.txt

load gerd.txt

load csn.txt

y=todos2(:,:);

u=bb_ajust_2(:,:);

m=gerd(:,:);

r=csn(:,:);

lin=size (y,1);

col=size(y,2);

a=[y(1:8,1);(1/25*y(9:874,1));(1/25*1/10*y(875:lin,1))];

n=[y(1:697,3); (1/1.542*y(698:lin,3))];

b=[y(1:831,5);(1/1000*y(832:lin,5))];

c=[y(1:682,12);(1/2*y(683:lin,12))];

g=[y(1:682,13);(1/2*y(683:lin,13))];

d=[y(1:64,16);(1/2*y(65:680,16));(1/2*100/150*y(681:lin,16))];

p=[a(:,:) u(:,:) n(:,:) y(:,4) b(:,:) y(:,6) m(:,:) y(:,8:11) c(:,:) g(:,:) r(:,:) y(:,15) d(:,:)];

%inverter ordem das linhas em uma matriz

for j=1:col

for i=1:lin

w((lin+1-i),j)=p(i,j);

end



15

end

%cálculo do retorno

for j=1:col

for i=1:(lin-1)

f(i,j)=log(w(i+1,j))-log(w(i,j));

end

end

ANEXO II

Programa para cálculo da correlação entre os ativos agrupados em períodos de 20 dias:

m=f;

[a,b]=size(m);

w=20; %período de analise de 20 dias

l=fix(a/w); %número de janelas

s=1;

n=b;

c=factorial(n)/(factorial(n-2)*factorial(2));%combinação de n objetos 2 a 2, o que dará o número

de correlações a serem executadas entre os n ativos

%k=1;

j=1;

for i=1:l

for j=1:(b-1)

for k=j:b

%for i=1:l

V((((j-1)*l)+i),k)=corr(m(s:(s-1+w),j),m(s:(s-1+w),(k)));

end

end

%k=k+1;

s=s+w;

end

z=1;

for z=1:44

for l=1:15

S((z-1)*15+l,:)=V((l-1)*44+z,1:16);

end

end



16

ANEXO III

Programa para criação dos gráficos de correlação:

z=1;

for k=1:44

N(1,1:16)=zeros;

B=S(((k-1)*15+z):(15*k),1:16);

C=[B;N];

figure(k)

[l,c]=find(C>-1.0 & C<-0.5);

preto(k)=length(l);

plot(l,c,'k*')

[l2,c2]=find(C>-0.5 & C<0);

azul(k)=length(l2);

hold on

plot(l2,c2,'b+')

[l3,c3]=find(C>0 & C<0.5);

verde(k)=length(l3);

hold on

plot(l3,c3,'g*')

[l4,c4]=find(C>0.5 & C<1.0);

vermelho(k)=length(l4);

hold on

plot(l4,c4,'r+')

end



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ANEXO IV

Gráficos de correlação:

Figura 1

18

Figura 2

Figura 3

Figura 4

Figura 5



19

Figura 6

Figura 7

Figura 8

Figura 9

Figura 10



20

Figura 11

Figura 12

Figura 13

Figura 14

Figura 15

Figura 16



21

Figura 17

Figura 18

Figura 19

Figura 20

Figura 21



22

Figura 22

Figura 23

Figura 24

Figura 25

Figura 26



23

Figura 27

Figura 28

Figura 29

Figura 30

Figura 31



24

Figura 32

Figura 33

Figura 34

Figura 35

Figura 36



25

Figura 37

Figura 38

Figura 39

Figura 40

Figura 41

Figura 42



26

Figura 43

Figura 44

anÁlise da matriz de correlaÇÃo de aÇÕes na bolsa de ... · a bolsa de valores de são paulo,...

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