anÁlise da capacidade resistente de consolos de concreto armado considerando a contribuiÇÃo da...

ISSN 1809-5860

Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 7, n. 25, p.103-128, 2005

ANÁLISE DA CAPACIDADE RESISTENTE DE CONSOLOS DE CONCRETO ARMADO

CONSIDERANDO A CONTRIBUIÇÃO DA ARMADURA DE COSTURA

Rejane Martins Fernandes1 & Mounir Khalil El Debs2

Resumo

Apesar de na prática sua contribuição geralmente não ser considerada, através de diversos estudos experimentais da literatura, já foi comprovado que a armadura de costura aumenta a capacidade resistente dos consolos, além de melhorar seu comportamento quanto à fissuração e ductilidade. Com o objetivo de se analisar a contribuição efetiva dessa armadura na resistência de consolos curtos e muito curtos de concreto armado, esse trabalho propõe dois procedimentos de cálculo de biela e tirante considerando a altura útil efetiva de cada barra de costura, validando-os através de suas aplicações em 245 consolos com resultados experimentais, sendo 85 destes com armadura de costura. As duas formulações propostas foram aplicadas aos consolos curtos, e no caso dos consolos muito curtos, foram utilizadas em conjunto com uma adaptação do modelo de atrito cisalhamento da NBR-9062/85, considerando nesses modelos os Estados Limites Últimos de ruptura por escoamento das armaduras e esmagamento do concreto. Para os consolos com apenas armadura principal do tirante, 94% destes apresentaram resultados a favor da segurança quando se utilizou a primeira proposta e 91% no caso da segunda proposta, contudo a diferença da resistência teórica em relação à experimental foi inferior a 10%. Entre os consolos com armadura de costura, 98% apresentaram resultados a favor da segurança para as duas formulações propostas, sendo que dos consolos com armadura de costura que tiveram sua resistência superestimada, apenas um apresentou uma diferença superior a 10% em relação ao valor experimental. Palavras-chave: consolo; concreto armado; armadura de costura; modelos de projeto.

1 INTRODUÇÃO

Uma das principais particularidades do comportamento estrutural dos consolos curtos e

muito curtos em relação às vigas é que as hipóteses da teoria técnica de flexão não podem ser

aplicadas ao seu estudo. Para a análise da sua capacidade resistente ou o seu dimensionamento,

1 Doutora em Engenharia de Estruturas – EESC-USP, [email protected] 2 Professor Associado do Departamento de Engenharia de Estruturas da EESC-USP, [email protected]

Rejane Martins Fernandes & Mounir Khalil El Debs


104

não se pode utilizar, portanto, os modelos de cálculo de vigas que levam em consideração a

hipótese da manutenção das seções planas. Mesmo quando se considera material homogêneo,

isótropo e elástico perfeito, as tensões normais à seção transversal do consolo não variam

linearmente ao longo da sua altura e as tensões tangenciais e as tensões normais aos planos

ortogonais a essa seção não são desprezíveis. Além disso, após a fissuração do concreto, o

comportamento do consolo se modifica, ocorrendo uma diminuição de rigidez e outros

mecanismos mais complexos. Desta forma, o projeto desses elementos estruturais deve ser

objeto de recomendações específicas.

Segundo a NBR-9062/85 [1], os consolos são calculados de acordo com três modelos

para três diferentes intervalos de a/d, definida como a relação entre a distância a da força até a

face do pilar e a altura útil d do consolo:

• Consolos muito curtos (a/d < 0,5): cálculo com modelo de atrito-cisalhamento;

• Consolos curtos (0,5 ≤ a/d ≤ 1,0): cálculo com modelo de biela e tirante;

• Consolos longos (1,0 < a/d < 2,0): cálculo como viga.

Além da armadura principal do tirante, disposta no topo do consolo para absorver as

tensões de tração, uma outra armadura de importância relevante é distribuída na direção

horizontal ao longo da altura restante do consolo, a qual é denominada de armadura de costura.

Ela tem a principal finalidade de “costurar” as fissuras que venham a ocorrer na interface

consolo-pilar e promover, quando estiver adequadamente ancorada, um confinamento na biela

de compressão, garantindo, conseqüentemente, uma ductilidade à peça.

Em geral, ela não é considerada no cálculo da resistência do consolo. Com relação ao

modelo de atrito-cisalhamento, algumas das formulações da literatura levam em conta a

contribuição da armadura de costura na resistência do consolo; entretanto, para o modelo de

biela e tirante, apenas a formulação apresentada em MACHADO [2], a qual é baseada em

HAGBERG [3], considera a armadura de costura, mas concentrada em uma altura equivalente a

2d/3.

Baseando-se nisso, são apresentadas duas propostas de biela e tirante para o cálculo da

resistência de consolos, considerando o Estado Limite Último de escoamento das armaduras do

tirante e de costura e a contribuição efetiva da armadura de costura, ou seja, com cada uma de

suas barras concentrada na sua altura útil efetiva. Embora essas duas formulações possam ser

um pouco mais trabalhosas que a apresentada em MACHADO [2], elas se justificam devido à

repetição dos elementos pré-moldados e a conseqüente necessidade do refinamento do projeto

desses elementos.

Uma análise inicial de uma das formulações propostas e de alguns resultados de normas

feita pelos presentes autores pode ser encontrada em FERNANDES & EL DEBS [4].

Para validar as duas formulações propostas, foi feita sua aplicação em 245 modelos

ensaiados na literatura, sendo 146 desses consolos muito curtos, 85 curtos e 14 longos. Entre os

Análise da capacidade resistente de consolos de concreto armado considerando a contribuição...


105

consolos analisados nesse trabalho, estão os referidos em: FRANZ & NIEDENHOFF [5], KRIZ

& RATHS [6], MAUTONI [7], HERMANSEN & COWAN [8], ROBINSON [9], FRANZ [10],

MATTOCK et al. [11], YONG et al. [12], CHAKRABARTI & FARAHANI [13], FATTUHI

[14], NAEGELI [15], FATTUHI & HUGHES [16], FATTUHI & HUGHES [17], FATTUHI &

HUGHES [18], FATTUHI [19], FATTUHI [20], ZELLER [21], FATTUHI [22], FATTUHI

[23], YONG & BALAGURU [24], REIS & TORRES [25], NAEGELI [26], TORRES [27],

FERNANDES [28].

Conforme KRIZ & RATHS [6], ensaios mostram que a armadura de costura

praticamente não contribui para a capacidade resistente do consolo quando também atuam neste,

forças horizontais. Portanto, como o principal objetivo desse trabalho é avaliar a parcela de

contribuição da armadura de costura, foram eliminados desse estudo os consolos com atuação

simultânea de força vertical e horizontal. Contudo, as formulações propostas podem ser

aplicadas para o caso geral, desde que seja feito o dimensionamento separadamente do consolo

sob força vertical e horizontal, considerando-se a armadura total como a soma das armaduras

dos dois casos, e se despreze a contribuição da armadura de costura para a análise do consolo

sob forças horizontais.

Os consolos analisados tinham as seguintes características:

• Relação a/d variando de 0,11 a 1,47;

• Consolos simétricos e assimétricos submetidos apenas à força vertical, inclusive blocos

sobre estacas que recaem nos modelos de cálculo utilizados para consolos;

• Qualquer valor para a altura da face externa do consolo, apesar de na prática ser

recomendado o valor igual à pelo menos metade da altura interna;

• O tipo de ruptura foi informado;

• A ruptura não foi localizada (do pilar, da extremidade, da ancoragem ou sob a placa de

aplicação do carregamento);

• Concreto com qualquer valor de resistência à compressão;

• Armadura disposta horizontalmente ou verticalmente.

Neste trabalho, são apresentados os modelos de atrito-cisalhamento da NBR-9062/85

[1] para consolos muito curtos, de biela e tirante de LEONHARDT & MÖNNIG [29] adaptado

por EL DEBS [30], as formulações propostas considerando a armadura de costura e a

comparação dos resultados teóricos com os experimentais da literatura.

2 MODELO DE ATRITO-CISALHAMENTO

Um dos principais modelos para cálculo de consolos muito curtos (relação a/d < 0,5) é

o de atrito-cisalhamento. Esse modelo supõe que ocorra ruptura por cisalhamento na interface



106

consolo-pilar. Admite-se também que, através das fissuras que se formam na superfície de

transmissão dos esforços cisalhantes, ocorra inicialmente um deslocamento relativo vertical

entre o consolo e o pilar. Como essa superfície é irregular, o deslocamento relativo horizontal

ocasiona solicitações de tração na armadura distribuída que cruza a interface e,

conseqüentemente, a superfície de concreto ficará comprimida. O mecanismo desse modelo é

ilustrado na Figura 1.

A clássica Teoria de Atrito-Cisalhamento prevê a transferência de esforços de

cisalhamento através de um dado plano por meio de uma armadura distribuída que o atravessa.

Esse plano pode ser o de uma provável fissura, o da interface de ligação de materiais diferentes

ou da superfície entre dois concretos moldados em datas distintas. Vale salientar, que nesse

modelo, a armadura é suposta uniformemente distribuída ao longo da fissura potencial,

desprezando-se a excentricidade da força vertical que implicaria em uma armadura mais

concentrada na parte tracionada. Como para os modelos de biela e tirante, acredita-se que a

armadura horizontal situada na região inferior do consolo não contribua efetivamente na

resistência do consolo, pois, mesmo nos casos em que o cisalhamento predomina, existe uma

parcela da resistência oriunda da flexão. Para base de comparação entre os modelos, nos

referidos cálculos para previsão da força última, apenas considerou-se a armadura de costura

posicionada até 2d/3 em relação à face superior do consolo.

V

fissurapotencial

F

F = V / tg

R

comoF = Ast sσtg = (coef. de atrito)

resulta

A =s

st σ µV stA - armadura para proporcionar

a força normal necessáriapara o equilíbrio

Fat

µ

φ

φ

φV n

nF

V

n

n

at

at

at

Figura 1 - Modelo de atrito-cisalhamento - EL DEBS [30]

A NBR-9062/85 [1] permite a consideração do efeito favorável do engrenamento dos

agregados se a interface for atravessada por barras de aço perpendiculares à mesma e

respeitando-se as condições de segurança relativas ao coeficiente de ajustamento e as

disposições construtivas do item 7.3.3 da Norma.

A armadura principal do tirante segundo a NBR-9062/85 [1] é calculada com a



107

expressão:

yd

dd

ydstir f

HV8,0.

f1A +=

µ (1)

onde o valor de µ vale:

• 4,1=µ : para concreto lançado monoliticamente;

• 0,1=µ : para concreto lançado sobre concreto endurecido intencionalmente rugoso (5

mm de profundidade a cada 30 mm)

• 6,0=µ : para concreto lançado sobre concreto endurecido com interface lisa.

É recomendado também que a área da armadura, para consolo muito curto, não seja

menor que aquela calculada com a expressão para consolo curto, com o objetivo de cobrir

algum esforço de flexão que eventualmente venha a surgir. A tensão da armadura deve ser

limitada em 435 MPa para os dois tipos de consolo.

A verificação do esmagamento do concreto pode ser feita também em termos da tensão

tangencial de referência. O valor da tensão última recomendada é dado por:

⎪⎩

⎪⎨

⎧ +

≤≤=MPa6

f30,0

)MPa(f.9,00,3

d.bV

cd

yd

wud

wd

ρ

ττ (2)

onde ρ é a taxa geométrica da armadura do tirante.

3 MODELO DE BIELA E TIRANTE

O modelo de biela e tirante, também denominado de treliça, consiste em idealizar o

comportamento do concreto, nos trechos de descontinuidade, através de bielas (campos

comprimidos) e tirantes (campos tracionados), com suas respectivas posições escolhidas a partir

do fluxo de tensões na região. Os elementos são interconectados nos nós, resultando na

formação de uma treliça idealizada. Esse modelo é o mais empregado para o cálculo de consolos

curtos.

O dimensionamento através desse modelo é feito com a verificação da resistência à

compressão em uma seção fictícia da biela e o cálculo da área da armadura do tirante em função

da tensão de escoamento do aço. Recomenda-se também a verificação da resistência nos nós, de

tal forma que as forças sejam ancoradas e balanceadas satisfatoriamente. Além da armadura do

tirante, costuma-se adicionar a armadura de costura, mencionada anteriormente, a qual é

considerada adequada quando distribuída nos primeiros 2d/3 da altura do consolo. Por essa

razão, no cálculo da capacidade resistente dos consolos analisados, apenas computou-se essa

parte da armadura de costura.



108

O modelo clássico consiste basicamente no equilíbrio de forças e momentos no esquema

de treliça apresentado na Figura 2

A

C BRsd

dHdV

dd n

cdR

0,9

d

hbie

a = 0,9 d

( 0,9 d ) + a2 2

2a =

2( 0,9 ) +

0,9 a

da( )

h = 0,2 dbie

a

abie

bie

bie

. a

Figura 2 - Modelo de análise e características geométricas de consolo curto – LEONHARDT & MÖNNIG [29] adaptado por EL DEBS [30]

A armadura do tirante é determinada através do equilíbrio de momento em relação ao

ponto A, resultando em:

d9,0

)dd9,0(Ha.Vf.A hdd

ydstir++

= (3)

Considerando dh/d aproximadamente igual a 0,2, tem-se:

yd

d

yd

dstir f

H2,1

d9,0a.

fV

A += (4)

Do equilíbrio de momentos em relação ao ponto C, tem-se:

bie

hddcd a

d.Ha.VR

+= ∴ ( )

22hdd

cd da9,0

a.9,0d.Ha.V

R ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

+= (5)

A tensão de compressão na biela é calculada com a expressão:

d.b2,0

Rcdcd =σ ∴ ( )

22

d

hddcd d

a9,0a.Vd.H

1d.b.18,0

V⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=σ (6)

Desprezando o valor da parcela Hd.dh/Vd.a, que para os casos usuais é menor que 0,06, e

limitando o valor da tensão na biela em β.fcd, tem-se:

( ) cd

22d

cd f.da9,0

d.b.18,0V

βσ ≤⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+= (7)

onde adota-se 1=β no caso de forças diretas e 85,0=β para forças indiretas.

Colocando a expressão acima na forma de tensão tangencial de referência, obtém-se:



109

( )2

2

cdwu

dwd

da9,0

f.18,0d.b

V

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

=≤=β

ττ (8)

4 FORMULAÇÕES PROPOSTAS

4.1 Adaptação do Modelo de Atrito-Cisalhamento

Embora o modelo de atrito-cisalhamento da NR-9062/85 [1] considere apenas a

armadura do tirante colaborando na resistência do consolo, pela clássica Teoria de Atrito-

Cisalhamento, admite-se que a transmissão das tensões de cisalhamento ocorra ao longo da

interface consolo-pilar através da armadura distribuída que a atravessa. Neste caso,

considerando-se também a armadura de costura situada nos primeiros 2/3 da altura útil d1, tem-

se para a força última Vd:

∑=

=n

1i

yidsid 8,0

f.A.V

µ (9)

Considerando a adaptação da Expressão (2), onde é feita a verificação do esmagamento

do concreto, tem-se para a tensão última, no caso de se considerar a armadura de costura:

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧+

≤≤=

∑=

MPa6f30,0

)MPa(d.b

f.A9,00,3

d.bV *

cd

n

1i*yidsi

wu*d

wd ττ

(a)

(b)

(c)

(10)

4.2 Proposta I (Baseada em HAGBERG [3])

Com o intuito de considerar a contribuição efetiva da armadura de costura na resistência

do consolo, foi feito um refinamento no modelo de HAGBERG [3], o qual é apresentado em

MACHADO [2] e que considera duas treliças simples ligadas por uma barra vertical na posição

da carga. O modelo refinado consiste em várias treliças interconectadas em um mesmo nó, onde

cada armadura horizontal do tirante ou de costura com sua respectiva biela formam uma treliça.

O esquema desse modelo é apresentado na Figura 3..

São admitidas as seguintes hipóteses:

• As deformações elásticas dos materiais são desprezíveis quando comparadas com as

deformações plásticas. Admite-se que o concreto rompe por compressão na flexão ou

que o aço entre em escoamento antes. Portanto, tanto a ruptura do concreto à



110

compressão como o escoamento da armadura são considerados como critérios de

ruptura;

• A resistência à tração do concreto é negligenciada;

• O valor de cálculo da tensão de contato na placa de apoio não deve ser superior a

cdck f)250/f1.(6,0 − ( ckf em MPa);

• A geometria do modelo deve ser compatível com o modelo matemático. Deve-se,

portanto, prever uma ancoragem correta da armadura principal e o não posicionamento

da carga além da curvatura desta armadura. E a altura do consolo na sua extremidade

livre hext deve ser pelo menos metade da altura útil d1 na seção de engastamento, para

evitar rupturas secundárias;

• A armadura de costura a ser considerada no cálculo deve estar no trecho de altura igual

a 2d1/3.

A expressão para cálculo da força última é apresentada abaixo:

∑=

=n

1i*i

yidsid az

.f.AV (11)

onde:

n: número de barras longitudinais situadas no trecho de altura igual a 2d1/3.

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −++= )2(daa5,0a **2*2* ωω : distância da linha de ação da carga concentrada

vertical ao nó de encontro das treliças. **

ii d..5,0dz ω−= : braço de alavanca referente à armadura i de área Asi.

∑=

=n

1i sd

sidi*

RR.d

d : altura útil equivalente de consolos curtos com cargas verticais.

yidsisid f.AR = : força resistente na armadura considerada.

∑=

=n

1iyidsisd f.AR : força resistente total.

cdck*

cd f).250/f1.(85,0f −= : resistência de cálculo à compressão do concreto. No

caso dos consolos analisados, considerou-se cm*

cd ff = .

∑=

=n

1i*

cd*

yidsi*

f.d.b

f.Aω : taxa mecânica da armadura longitudinal total.



111

d*

aa*

d /3

d /3

d /3

0,5h .cos

Rcd

θ∗

θ = θ∗

θ1

θ2

3θ

f *cd

aapVd

θ∗

s1dR

sdR

s2dR

s3dR1θ

θ = θ∗

s3dR

Rsd

s1dR

s2dR

2θ

θ 3

dVR cd

c1dR

c2dR

c3dR

dd

d

1

2

3

1

1

1

armadura horizontal quenão contribui na resistência

V1d

V2d

V3d

z*

bie

0,5h .sen θ∗bie

hbie

Figura 3 - Modelo de bielas e tirantes proposto baseado em HAGBERG [3] para consolos curtos com carga vertical

Fazendo-se o equilíbrio de momentos em relação ao ponto C da treliça resultante, tem-

se:

bie

*d

cd aa.V

R = (12)

Substituindo o valor de ( )2***bie z/a1/aa += na expressão acima, a resultante na

biela fica calculada conforme:

2

*

*

dcd za1VR ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+= (13)

onde: **** d..5,0dz ω−= : braço de alavanca referente à armadura da treliça resultante.

Considerando semelhantemente ao Modelo de LEONHARDT & MÖNNIG [29]

adaptado por EL DEBS [30], a largura da biela hbie equivalente a 20% da altura útil, a tensão de

compressão na biela é calculada com a expressão:

*cd

cd d.b2,0R

=σ ∴ 2

*

*

*d

cd za1

d.b.2,0V

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=σ (14)

Limitando o valor da tensão na biela em *cdf , tem-se:



112

*cd

2

*

*

*d

cd fza1

d.b.2,0V

≤⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=σ (15)

A força última Vd fica dada por:

2

*

*

**cd

d

za1

d.b.f2,0V

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

= (16)

Colocando a Expressão (16) na forma de tensão tangencial de referência, tem-se:

2

*

*

*cd

wu*d

wd

za1

f.2,0d.b

V

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=≤= ττ (17)

A título de ilustração, apresenta-se também a expressão adaptada do modelo de

HAGBERG [3] para o cálculo da força última Vd, considerando o Estado Limite Último de

esmagamento da biela de compressão. Fazendo-se o equilíbrio das forças verticais da treliça

resultante formada pelo tirante com força resistente total Rsd e por sua respectiva biela de

compressão Rcd, obtém-se:

( )*cdd cos.RV θ= (18)

O ângulo *θ da treliça resultante é calculado conforme a seguinte expressão:

( )*** z/aarctan=θ (19)

Considerando que a força na biela se distribui ao longo da projeção da largura do apoio

aap e de sua base b, seu valor é dado por:

( )*ap

*cdcd cos.a.b.fR θ= (20)

Substituindo o valor de Rcd na Expressão (18), tem-se para a força última Vd:

( )*2ap

*cdd cos.a.b.fV θ= (21)

Onde 2

*

*

*

za1

1cos

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=θ .

Com a substituição de *cosθ na Expressão (21), têm-se para Vd:

2

*

*

ap*

cdd

za1

a.b.fV

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

= (22)

Será visto no item de resultados, entretanto, que a Equação (22) fornece valores

sistematicamente maiores que os calculados pela Equação (16).



113

4.3 Proposta II (Baseada em LEONHARDT & MÖNNIG [29])

Uma adaptação do procedimento de biela e tirante de LEONHARDT & MÖNNIG [29]

adicionando a armadura de costura também é proposta, em virtude de reduzir as diferenças entre

resultados teóricos e experimentais. Essa formulação modificada consiste na somatória das

parcelas de contribuição das armaduras horizontais do tirante e de costura até 2d1/3, segundo

ilustra a Figura 4. Considerando o estado limite último de escoamento das armaduras

horizontais, a resistência dos consolos curtos é, então, adaptada da Expressão original (3) e

calculada com a seguinte expressão:

∑=

=n

1i

iyidsid a

z.fAV (23)

onde:

n: número de barras longitudinais situadas no trecho de altura igual a 2d1/3.


ii d9,0z = : braço de alavanca referente à armadura i de área Asi.

id : altura útil efetiva da armadura i considerada.

Ressalta-se que devido a armadura de costura praticamente não contribuir para o

aumento da força horizontal, esta foi eliminada da expressão modificada.

A Expressão (23) é semelhante à Expressão (11), diferenciando-se no valor do braço zi e

na distância a da linha de ação da carga concentrada vertical ao nó inferior das treliças.

A força última Vd, considerando o Estado Limite Último por esmagamento da biela de

compressão, é dada pela Expressão (8) adaptada, substituindo-se cdf.β por *cdf e a altura útil d

pela altura útil d*, que leva em conta a contribuição da armadura de costura até 2d1/3:

( )2

*2

**cd

d

da9,0

d.b.f.18,0V

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

= (24)

onde:

∑=

=n

1i sd

sidi*

RR.d

d

id : altura útil da armadura i de área Asi.


∑=

=n

1iyidsisd f.AR : força resistente total.



114

dV

2d/3

d/3

a

=

a

s1dR

d =

d

1dV

d

a

Rs2d

V2d

+

d

a

s3dR

V3d

+

arm. horizontalque não contribui

na resistência

1

2

3

s1dR

Rs2d

s3dR

10,

9d

0,9d

2

0,9d

3

Modelo total

Parcelas de contribuição de cadaarmadura horizontal até 2d/3

Figura 4 – Modelo de bielas e tirantes proposto baseado em LEONHARDT & MÖNNIG [29]

para consolos curtos com carga vertical

5 ANÁLISE DOS RESULTADOS DAS FORMULAÇÕES PROPOSTAS E EXPERIMENTAIS

O aumento da capacidade resistente dos consolos com armadura de costura em relação

aos que possuem apenas a armadura do tirante pode ser constatado através dos resultados

experimentais da literatura na Figura 5, onde se observa também uma diminuição da resistência

com o crescimento de a/d.



115

200

400

600

800

1 000

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6a/d

V (k

N)

1. Consolos sem arm. costura 2. Consolos com arm. costura

1

2

Figura 5 – Valores experimentais da força última versus relação a/d

Desta forma, foi feita a aplicação do modelo de atrito-cisalhamento adaptado e das duas

formulações propostas de biela e tirante para os consolos sem e com armadura de costura e, para

esses últimos, efetuou-se o cálculo da resistência sem e com a contribuição da armadura de

costura até 2d/3. No caso da força última definida pelo esmagamento do concreto do modelo de

atrito cisalhamento, adotou-se o menor valor da Expressão (2).

Como são feitas comparações com resultados experimentais, os coeficientes de

segurança de todos os modelos teóricos não foram considerados. Portanto, a resistência do

concreto e a tensão de escoamento do aço foram consideradas com os valores médios fornecidos

pelos ensaios.

Analisando-se inicialmente os consolos sem armadura de costura, cujos resultados

experimentais e teóricos considerando o Estado Limite Último de ruptura por escoamento do

tirante são apresentados na Figura 6, a maioria dos pontos referentes ao modelo de atrito-

cisalhamento que se situaram na região inferior à curva experimental estão compreendidos em

valores menores da relação a/d, o que sugere que a predominância da força devido ao atrito na

interface consolo-pilar nos consolos muito curtos. Já para os consolos curtos, a força oriunda do

escoamento do tirante das formulações propostas de biela e tirante passa a ser preponderante,

conforme a observação dos pontos situados próximos da curva experimental para valores

maiores de a/d. Contudo, para relações menores de a/d, a Proposta II forneceu resistências

sistematicamente maiores que as da Proposta I, com uma distância maior, conseqüentemente, da



116

curva experimental.

200

400

600

800

1 000

1 200

1 400

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6a/d

V (k

N)

1. Experimental 2. Atrito - Escoam. tirante 3. Proposta I - Escoam. tirante 4. Proposta II - Escoam. tirante

1

2

3

4

Figura 6 – Resultados teóricos versus experimentais para os consolos sem armadura de costura: Estado Limite Último de ruptura por escoamento do tirante

Como ambos os modelos de atrito-cisalhamento e biela e tirante exigem a verificação

do Estado Limite Último de ruptura do concreto, apresenta-se a resistência segundo o seu

esmagamento na Figura 7.



117

200

400

600

800

1 000

1 200

1 400

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6a/d

V (k

N)

1. Experimental 2. Atrito - Esmag. concreto 3. HAGBERG - Esmag. concreto 4. Proposta I - Esmag. cooncreto 5. Proposta II - Esmag. cooncreto

1

3

45

2

Figura 7 – Resultados teóricos versus experimentais para os consolos sem armadura de costura: Estado Limite Último de ruptura por esmagamento do concreto

Da mesma forma que no escoamento das armaduras, a curva teórica do modelo de

atrito-cisalhamento ficou acima da experimental para valores maiores de a/d, devendo ser

utilizado, portanto, apenas para consolos muito curtos. A proposta adaptada de HAGBERG [3],

considerando a largura da biela proporcional à largura aap do apoio, forneceu forças últimas

superiores às das Propostas I e II e aos valores experimentais na maioria, sugerindo ainda que a

ruptura pelo esmagamento do concreto não aconteceria para valores muito elevados de aap.

Desta forma, recomenda-se adotar o procedimento das duas formulações propostas.

O menor valor teórico é apresentado com o intuito de ilustrar que, apesar de algumas

curvas teóricas terem apresentado alguns trechos com valores maiores que os experimentais, o

cálculo pelos modelos de cálculo propostos induziu a resultados a favor da segurança. Para os

consolos muito curtos, esse menor valor teórico é definido pelo modelo de atrito-cisalhamento

adaptado e por uma das formulações de biela e tirante proposta, ambos considerando os Estados

Limites Últimos de ruptura por escoamento das armaduras e por esmagamento do concreto, pois

parece razoável admitir que esses consolos apresentam tanto uma parcela resistente devido ao

corte da interface pilar-consolo como outra devido à flexão do modelo. No caso dos consolos

curtos, considerou-se apenas o modelo de biela e tirante com os dois Estados Limites Últimos.

Nas Figuras 8 e 9, são apresentadas a curva experimental, as dos modelos de atrito-cisalhamento

juntamente com as Propostas I e II, respectivamente, e a curva definida pelos menores valores

teóricos. Observa-se que essa última curva ficou situada abaixo da curva experimental.



118

200

400

600

800

1 000

1 200

1 400

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6a/d

V (k

N)

1. Experimental 2. Atrito - Escoam. tirante 3. Atrito - Esmag. concreto 4. Proposta I - Escoam. tirante 5. Proposta I - Esmag. concreto 6. Menor valor teórico

6

1

23

4

5

Figura 8 – Resultados teóricos versus experimentais para os consolos sem armadura de costura: Modelo de atrito-cisalhamento versus Proposta I

200

400

600

800

1 000

1 200

1 400

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6a/d

V (k

N)

1. Experimental 2. Atrito - Escoam. tirante 3. Atrito - Esmag. concreto 4. Proposta II - Escoam. tirante 5. Proposta II - Esmag. concreto 6. Menor valor teórico

1

23

4

5

6

Figura 9 – Resultados teóricos versus experimentais para os consolos sem armadura de costura: Modelo de atrito-cisalhamento versus Proposta II



119

Vale salientar que em poucos consolos a menor resistência teórica foi superior à

experimental e que as curvas expressam uma tendência exponencial de acordo com determinado

número de pontos. O fato da força devido ao escoamento do tirante para alguns consolos com

apenas armadura do tirante ter sido superior ao valor experimental não invalida as propostas,

mesmo porque a maioria desses modelos apresentou resultados a favor da segurança quando

analisados pelos dois Estados Limites Últimos. No caso da Proposta I, apenas 6% desses

consolos tiveram sua menor resistência teórica com valor acima da experimental, onde desses,

somente 3 consolos apresentaram diferenças entre 10% e 20% em relação aos resultados

experimentais. Já para a Proposta II, 9% dos consolos com armadura do tirante tiveram sua

resistência superestimada, com 8 consolos mostrando diferenças entre 10% e 20% referentes aos

valores experimentais.

Nas Figuras 10 e 11, são apresentados os resultados do grupo de consolos com

armadura de costura segundo o Estado Limite Último de ruptura por escoamento das armaduras.

Considerando apenas a armadura do tirante, a linha de tendência do modelo de atrito-

cisalhamento apresentou resultados a favor da segurança para relações a/d menores que 0,8,

aproximadamente. A partir daí, os resultados teóricos superaram os experimentais. Já quando se

adiciona a contribuição da armadura de costura, o modelo de atrito-cisalhamento torna-se menos

conservador, com resistências menores que as experimentais para relações a/d menores que 0,5,

aproximadamente. Ou seja, torna-se apropriado para consolos muito curtos. No caso das

Propostas I e II, constata-se uma redução significativa do conservadorismo através da

aproximação maior entre as curvas teóricas e experimentais quando no cálculo também é levada

em conta a contribuição da armadura de costura até 2d/3. No caso da Proposta II, o

comportamento das linhas de tendência foi bastante semelhante ao da Proposta I, porém

fornecendo resultados um pouco menos conservadores.



120

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1 000

0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 1,1a/d

V (k

N)

1. Experimental 2. Atrito - Escoam. tirante 3. Atrito - Escoam. todas as armaduras 4. Proposta I - Escoam. tirante 5. Proposta I - Escoam. todas as armaduras1

2

3

4

5

Figura 10 – Resultados teóricos versus experimentais para os consolos sem armadura de costura: Estado Limite Último de ruptura por escoamento do tirante utilizando o Modelo

Adaptado de Atrito-Cisalhamento e a Proposta I

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1 000

0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 1,1a/d

V (k

N)

1. Experimental 2. Atrito - Escoam. tirante 3. Atrito - Escoam. todas as armaduras 4. Proposta II - Escoam. tirante 5. Proposta II - Escoam. todas as armaduras

1

2

3

45

Figura 11 – Resultados teóricos versus experimentais para os consolos sem armadura de costura: Estado Limite Último de ruptura por escoamento do tirante utilizando o Modelo

Adaptado de Atrito-Cisalhamento e a Proposta II



121

No caso do Estado Limite Último de ruptura por esmagamento do concreto, mostra-se

nas Figuras 12 e 13, o modelo de atrito e cisalhamento versus as Propostas I e II, considerando

apenas a armadura do tirante (neste caso, utiliza-se a altura útil d1), e levando em conta também,

a contribuição da armadura de costura (onde se usa a altura útil d* da treliça resultante).

Observa-se que para o modelo de atrito-cisalhamento, a consideração da armadura de costura

diminuiu as diferenças com os resultados experimentais para relações a/d menores que 0,65,

aproximadamente, pois mesmo considerando-se uma altura útil menor d*, a armadura de costura

aumenta a resistência do consolo através de sua força de escoamento na Expressão (10a). Já no

caso da Proposta II, a utilização da altura útil d* na Equação (24) leva a resultados mais

conservadores; e considerando a Proposta I, ainda adiciona-se a influência de um valor de a*

maior e z* menor na Equação (16), que diminui, conseqüentemente, a resistência teórica da

peça. Entretanto, como a influência da armadura de costura, no caso do Estado Limite Último de

ruptura por esmagamento do concreto, ainda não é bem comprovada experimentalmente,

recomenda-se considerar apenas a armadura do tirante no cálculo da força última pelas

Equações (10), (16) e (24).

A consideração da projeção da largura do apoio aap como limitante da largura da biela

hbie, no caso dos consolos com armadura de costura, também conduz a forças últimas mais

elevadas que a Proposta I, como mostra a Figura 14. Conforme seus resultados acima dos

experimentais, o modelo adaptado de HAGBERG [3] indica também que a ruptura do consolo

não poderia ser governada pelo esmagamento da biela comprimida quando a largura do apoio

aap fosse muito grande.



122

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1 000

0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 1,1a/d

V (k

N)

1. Experimental 2. Atrito - Esmag. concreto (d1) 3. Atrito - Esmag. concreto (d*) 4. Proposta I - Esmag. cooncreto (d1) 5. Proposta I - Esmag. cooncreto (d*)1

2

3

4

5

Figura 12 – Resultados teóricos versus experimentais para os consolos com armadura de costura: Estado Limite Último de ruptura por esmagamento do concreto utilizando o Modelo

Adaptado de Atrito-Cisalhamento e a Proposta I

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1 000

0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 1,1a/d

V (k

N)

1. Experimental 2. Atrito - Esmag. concreto (d1) 3. Atrito - Esmag. concreto (d*) 4. Proposta II - Esmag. cooncreto (d1) 5. Proposta II - Esmag. cooncreto (d*)

1

23

4

5


Adaptado de Atrito-Cisalhamento e a Proposta II



123

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1 000

0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 1,1a/d

V (k

N)

1. Experimental 2. HAGBERG - Esmag. concreto (d1) 3. HAGBERG - Esmag. concreto (d*) 4. Proposta I - Esmag. cooncreto (d1) 5. Proposta I - Esmag. cooncreto (d*)

1

2

3

4

5


Adaptado de HAGBERG [3] e a Proposta I

A verificação dos dois Estados Limites Últimos de ruptura é comprovada através das

Figuras 15 e 16 com a linha de tendência dos menores valores teóricos, que ficou situada abaixo

da curva experimental para as duas propostas desse trabalho. Os resultados foram a favor da

segurança em quase a totalidade dos consolos analisados, com exceção de dois consolos que

apresentaram resistências teóricas superiores às experimentais, um com diferença abaixo de

10% e no outro a diferença foi inferior a 20% em relação ao valor experimental, considerando

as duas propostas. Desta forma, ocorre uma economia significativa com a consideração da

parcela de resistência da peça oriunda do escoamento da armadura de costura.



124

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1 000

0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 1,1a/d

V (k

N)

1. Experimental 2. Atrito - Escoam. todas as armaduras 3. Atrito - Esmag. concreto (d1) 4. Proposta I - Escoam. todas as armaduras 5. Proposta I - Esmag. concreto (d1) 6. Menor valor teórico

1

2

34

5 6

Figura 15 – Resultados teóricos versus experimentais para os consolos com armadura de costura: Modelo Adaptado de Atrito-Cisalhamento versus Proposta I

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1 000

0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 1,1a/d

V (k

N)

1. Experimental 2. Atrito - Escoam. todas as armaduras 3. Atrito - Esmag. concreto (d1) 4. Proposta II - Escoam. todas as armaduras 5. Proposta II - Esmag. concreto (d1) 6. Menor valor teórico

1

2

3

4

5

6

Figura 16 – Resultados teóricos versus experimentais para os consolos com armadura de costura: Modelo Adaptado de Atrito-Cisalhamento versus Proposta II



125

Considerando a Figura 17, observa-se que a Proposta II fornece resultados menos

conservadores que a Proposta I; entretanto, considerando apenas o escoamento das armaduras, a

força última teórica pela Proposta II foi maior que a experimental em mais consolos que no caso

da Proposta I. Desta forma, recomenda-se o uso da Proposta I, que já proporciona uma boa

economia nos consolos.

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1 000

0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 1,1a/d

V (k

N)

1. Experimental 2. Proposta I - Escoam. todas as armaduras 3. Proposta I - Esmag. concreto (d1) 4. Proposta II - Escoam. todas as armaduras 5. Proposta II - Esmag. concreto (d1)

1

2

3

4

5

Figura 17 – Resultados teóricos versus experimentais para os consolos com armadura de costura: Proposta I versus Proposta II

6 CONSIDERAÇÕES FINAIS E CONCLUSÕES

O comportamento do consolo está diretamente interligado com sua relação a/d, a qual

subdivide o seu cálculo segundo três modelos: atrito-cisalhamento para consolos muito curtos

( 5,0d/a < ), biela e tirante para consolos curtos ( 0,1d/a5,0 ≤≤ ) e teoria de vigas para

consolos longos ( 0,2d/a0,1 << ). Dentre outros parâmetros, existe a grande influência da

armadura de costura no comportamento quanto à resistência, ductilidade e fissuração do

consolo.

A validade das duas formulações propostas e da adaptação do modelo de atrito-

cisalhamento foi testada através de suas aplicações em 245 consolos com valores experimentais

da literatura, sendo 160 contendo apenas a armadura principal do tirante e 85, tendo além desta,

armadura de costura.

O aumento da armadura de costura proporcionou um crescimento significativo da



126

resistência dos consolos, o que pôde ser observado experimentalmente e teoricamente.

A Proposta I, aplicada juntamente com o modelo de atrito-cisalhamento aos consolos

muito curtos, superestimou a resistência em 4 consolos, os quais possuíam apenas armadura do

tirante. Já a Proposta II forneceu resultados teóricos acima dos experimentais em 6 consolos

muito curtos, os quais também continham apenas armadura do tirante.

A grande maioria dos consolos curtos (91%) apresentou resultados a favor da

segurança, quando calculados pela Proposta I. Considerando a Proposta II, em 89% dos

consolos curtos os resultados teóricos foram favoráveis. Destes consolos curtos, apenas 2 com

armadura de costura tiveram sua resistência superestimada quando calculada pelas duas

propostas.

As pequenas diferenças entre as resistências teóricas e experimentais dos consolos

analisados podem ainda ser compensadas pela adoção dos coeficientes de segurança e de outras

recomendações adicionais da NBR-9062/85 [1]. Portanto, os procedimentos apresentados nesse

trabalho fornecem indicações para um dimensionamento racional e seguro de consolos curtos e

muito curtos.

Apesar da Proposta I ter fornecido bons resultados para todos os consolos com relação

a/d superior à unidade e, no caso da Proposta II, constatou-se resultados a favor da segurança

para 12 dos 14 consolos longos analisados, esses procedimentos de cálculo não devem ser

aplicados para esse tipo de consolo, mesmo porque o número de peças verificadas foi muito

pequeno.

Nesse trabalho, fez-se a verificação da capacidade resistente do consolo. Na prática,

onde o dimensionamento consiste no processo inverso, não se dispõe da armadura e tem-se o

valor da força atuante. Nesse caso, pode-se utilizar um procedimento iterativo, considerando-se

primeiramente apenas a armadura do tirante, depois se retirando uma parcela desta para fazer

parte da armadura de costura e fazendo-se a posterior verificação da força.

No dimensionamento de consolos, ambas as parcelas referentes ao modelo de atrito-

cisalhamento e ao modelo de biela e tirante influem na resistência do consolo muito curto,

devendo-se adotar, portanto, a maior das armaduras calculadas. Já no caso, do consolo curto,

considera-se apenas o modelo de biela e tirante. Além disso, deve ser sempre considerada a

possibilidade de ruptura do concreto.

7 AGRADECIMENTOS

A FAPESP, pelo apoio financeiro da bolsa de doutorado e do auxílio-pesquisa.



127

8 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR-9062 - Projeto e execução de estruturas de concreto pré-moldado. Rio de Janeiro: ABNT, 1985. CHAKRABARTI, P. R.; FARAHANI, D. J. Further study of reinforced concrete corbels. Civil Engineering for Practicing and Design Engineers. Pergamon Journals, v.5, p.985-1002, 1986. EL DEBS, M. K. Concreto pré-moldado: fundamentos e aplicações. 1. ed. São Carlos: EESC-USP, 2000. FATTUHI, N. I. Column-load efect on reinforced concrete corbels. Journal of Structural Engineering, v.116, n.1, p.188-197, Jan., 1990. FATTUHI, N. I. Reinforced concrete corbels made with high-strength concrete and various secondary reinforcements. Journal of the Structural Division, v.91, n.S37, p.376-383, July/Aug., 1994. FATTUHI, N. I. SFRC corbel tests. ACI Structural Journal, p.119-123, Mar/Apr., 1987. FATTUHI, N. I. Strength of FRC corbels in flexure. Journal of Structural Engineering, v.120, n.2, p.360-377, Feb., 1994. FATTUHI, N. I. Strength of FRC corbels subjected to vertical load. Journal of Structural Engineering, v.116, n.3, p.701-718, Mar., 1990. FATTUHI, N. I.; HUGHES, B. P. Ductility of R.C. corbels containing either steel fibers or stirups. ACI Structural Journal, v.86, n.6, p.644-651, Nov/Dec., 1989. FATTUHI, N. I.; HUGHES, B. P. Reinforced steel an polypropylene fiber concrete corbel tests. The Structural Engineer, v.67, n.4, p.68-72, Feb., 1989. FATTUHI, N. I.; HUGHES, B. P. Reinforced steel fiber concrete corbels with various shear span-to-depth ratios. ACI Materials Journal, v.86, n.6, p.590-596, Nov/Dec., 1989. FERNANDES, G. B. Behavior of reinforced high-strength concrete corbels - Experimental Investigation and Design Model. In: CANMET/ACI INTERNATIONAL CONFERENCE ON HIGH-PERFORMANCE CONCRETE AND PERFORMANCE AND QUALITY OF CONCRETE STRUCTURES, 2., Gramado, 1999. Proceedings... Farmington Hills, ACI. p.445-462. 1999. FERNANDES, R. M.; EL DEBS, M. K. Contribuições aos modelos de cálculo para consolos curtos e muito curtos de concreto-armado. Engenharia - Estudo e Pesquisa, v.5, n.1, p.17-31, Jan/Jun., 2002. FRANZ, G. Stützenkonsolen. Beton und Stahalbetonbau, n.4, p.95-102, 1976. FRANZ, G.; NIEDENHOFF, H. Die bewehrung von konsolen und gedrungenen balken. Beton und Stahalbetonbau, v.58, n.5, p.112-120, 1963. HAGBERG, T. Design of concrete brackets: on the application of the truss analogy. ACI Journal, p.3-12, Jan/Feb., 1983. HERMANSEN, B. R.; COWAN, J. Modified shear-friction theory for bracket design. ACI



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anÁlise da capacidade resistente de consolos de concreto armado considerando a contribuiÇÃo da...

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