ANÁLISE COMBINATÓRIA Esta será uma primeira abordagem ao tema e pretende transmitir uma noção inicial de técnicas de contagem, explorando conceitos introdutórios de arranjos simples, arranjos com repetição, permutações e combinações. Cada um destes casos será analisado com o suporte de um exemplo prático. 1. Pretende-se pintar uma bandeira, de três barras horizontais, dispondo para isso de 5 cores diferentes: verde, amarelo, vermelho, branco e azul. Se todas as barras tiverem cores distintas, quantas bandeiras diferentes se podem pintar?

RESOLUÇÃO E EXPLICAÇÃO Podemos começar por imaginar alguns casos, tentando perceber os requisitos do problema. É importante verificar se uma alteração na ordem das cores altera ou não os casos. Assim, alguns casos possíveis seriam:

Facilmente se nota que trocando a ordem num dos casos apresentados será obtido um novo caso. Assim, a ordem interessa e, porque não há cores repetidas, estamos perante um caso de arranjos simples. A resposta será obtida aplicando a regra para arranjos simples, onde o número de casos é dado por: , em que n será o número total de cores e p o número de cores por bandeira. Neste caso, o número de bandeiras possíveis com três barras diferentes e usando as quatro cores disponíveis será: (com ajuda da máquina calculadora).

pnA

6035 =A

No entanto, para os casos em que a ordem interessa, existe um método muito prático, e bastante recomendado em situações mais complexas, chamado “Diagrama de escolhas”, informalmente conhecido como o “método dos tracinhos”. Tal método consiste em simular com tracinhos a situação do problema e verificar quantas hipóteses diferentes existem para cada tracinho. No nosso caso:

(Cinco cores possíveis (Para a última, já só restam para a primeira barra) três hipóteses) O número de bandeiras diferentes que é possível pintar, usando 5 cores e não havendo repetição de cores, será dado pelo produto : 5 6034× =× . Este é um caso básico de arranjos simples, porque a ordem interessa e não há repetições.

2. Um código secreto de um cartão multibanco é formado por quatro algarismos de 0 a 9. Quantos códigos distintos são possíveis formar?

RESOLUÇÃO E EXPLICAÇÃO Mais uma vez, uma boa forma de abordar o problema é imaginar alguns casos possíveis, tentando perceber os requisitos impostos pelo problema e se a ordem interessa. Assim, alguns casos poderiam ser: 0037 0073 3801 0000 4442 9882 8982 ... Facilmente se percebe que há repetição de elementos, e que a ordem interessa (repare nos dois primeiros exemplos). Estamos perante um caso de arranjos com repetição.

A resposta ao problema é dada por: , onde n é 10 (número de algarismos distintos disponíveis) e p é 4 (códigos com 4 algarismos). Ou seja, poderemos formar códigos diferentes.

pp

n nA =´

00010104´4

10 ==A

Vamos ver outra forma de abordar o problema. Como a ordem interessa podemos, então, usar o “método dos tracinhos”.

(Dez algarismos distintos (Como podem ocorrer repetições de algarismos possíveis para o primeiro continuamos a ter dez hipóteses para todos caracter) os outros espaços do código). Temos, então, 0001010101010 =××× códigos possíveis para o cartão referido. 3. A Rita vai colocar numa estante, lado a lado, certos 4 livros de diferentes disciplinas. De quantas formas diferentes poderão ficar colocados esses 4 livros?

RESOLUÇÃO E EXPLICAÇÃO

Vamos imaginar alguns casos:

Como é evidente, a ordem interessa e as semelhanças com o primeiro exercício são bastantes. A diferença é que nesta situação cada caso tem o mesmo número de elementos do total de elementos disponíveis. Estamos perante um caso de permutações. Diz-se que os livros permutam entre si. A resposta ao problema é dada por: , sendo n o número de elementos. No nosso caso teremos então

!nPn =24!44 ==P formas diferentes de colocar os livros.

No entanto, e porque a ordem interessa, podemos aplicar o “método dos tracinhos”.

(Para o primeiro espaço da (Para o 2º espaço já só temos 3 hipóteses, prateleira temos 4 livros possíveis) depois duas e no último apenas uma) Temos, então, formas diferentes de colocar os livros. 241234 =×××

Note que (permutações de 4 é igual a arranjos de 4, quatro a quatro). 44

4 AP = 4. De um baralho de 40 cartas vão ser tiradas duas, simultaneamente e ao acaso, para a mão de um jogador. Quantas situações diferentes se podem obter?

RESOLUÇÃO E EXPLICAÇÃO

Vamos imaginar alguns casos:

Os casos apresentados podem sugerir que a ordem interessa. Mas, se as cartas

são tiradas para a mão do jogador, ter o 2 de ouros e o Ás de espadas não será o mesmo que dizer que tem o Ás de espadas e o 2 de ouros? Efectivamente, neste problema a ordem não interessa. Temos muitas formas de combinar conjuntos de duas cartas de entre aquelas 40, mas a ordem, definitivamente, não interessa. Estamos perante um caso de combinações.

A resposta ao problema é dada por: , onde n é o número de elementos disponíveis e p o número de elementos por conjunto formado. Ou seja, poderemos obter situações diferentes (com ajuda da máquina calculadora).

pnC

780240 =C Nos casos em que a ordem não interessa deveremos evitar o método dos

tracinhos. Agora é só praticar um pouco. Não deve ficar com a ideia que todos os problemas se reduzem a uma das

quatro situações apresentadas. Como foi dito, inicialmente, esta é apenas uma abordagem introdutória a conceitos e técnicas de contagem.

Procure compreender os problemas e resolvê-los com base em raciocínios simples.