Análise Combinatória - Permutação com repetição

Quantos anagramas podemos formar a partir das letras da

palavra CURIÓ?

Como já vimos, a permutação simples de n elementos distintos é dada por Pn, então como na palavra

CURIÓ temos 5 letras distintas, o número de anagramas seria igual a P5, ou seja, será igual a 5! que é

igual a 120.

Quantos anagramas podemos formar a partir das letras da

palavra ARARA?

Note que embora esta palavra também tenha cinco letras, agora temos apenas duas letras distintas. A

letra A que ocorre 3 vezes e a letra R que ocorre 2 vezes. Como devemos proceder nesta situação?

Vimos no caso da palavra CURIÓ, que a permutação de cinco letras distintas resulta em 120

possibilidades.

Como na palavra ARARA a letra A ocorre três vezes, a permutação destas três letras A é P3 = 3! = 6,

ou seja, se dividirmos 120 por 6 iremos obter 20 que é o número de permutações, já desconsiderando-

se as permutações entre as três letras A.

O mesmo iremos fazer em relação à letra R, só que neste caso o número de permutações desta letra é

P2 = 2! = 2, isto é, dividindo-se 20 por 2 temos como resultado 10, que é o número total de

permutações das letras da palavra ARARA, sem considerarmos as permutações das letras A entre si, e

das letras R também entre elas mesmas.

Permutação com Elementos Repetidos

A cada um dos agrupamentos que podemos formar com certo número de elementos, onde ao menos

um deles ocorre mais de uma vez, tal que a diferença entre um agrupamento e outro se dê pela

mudança de posição entre seus elementos, damos o nome de permutação com elementos repetidos.

Fórmula da Permutação com Elementos Repetidos

Se em um dado conjunto um elemento é repetido a vezes, outro elemento é repetido b vezes e assim

sucessivamente, o número total de permutações que podemos obter é dada por:

...!!!

!,...,,

cba

nP cba

n

A resolução do exemplo com o uso da fórmula é:

1012

120

26

120

!2!3

!52,3

5

P

Exemplos

1-- Quantos anagramas podemos obter a partir das letras da palavra PARAR?

Como a palavra PARAR possui 5 letras, mas duas delas são repetidas duas vezes cada, na solução do

exemplo vamos calcular P5(2, 2)

:

304

120

22

120

!2!3

!52,2

5

P

Portanto:

O número de anagramas que podemos formar a partir das letras da palavra PARAR é igual 30.

2-- Possuo 4 bolas amarelas, 3 bolas vermelhas, 2 bolas azuis e 1 bola verde. Pretendo colocá-las em

um tubo acrílico translúcido e incolor, onde elas ficarão umas sobre as outras na vertical. De quantas

maneiras distintas eu poderei formar esta coluna de bolas?

Neste caso de permutação com elementos repetidos temos um total de 10 bolas de quatro cores

diferentes. Segundo a repetição das cores, devemos calcular P10(4, 3, 2)

:

1260026!4

!45678910

!2!3!4

120

!2!3!4

!102,3,4

10

P

Então:

Eu poderei formar esta coluna de bolas de 12600 maneiras diferentes.

3-- Dos números distintos que são formados com todos os algarismos do número 333669, quantos

desses são ímpares?

Neste exemplo, número ímpares serão aqueles terminados em 3 ou 9.

No caso dos números terminados em 3 devemos calcular P5(2, 2)

, pois um dos dígitos três será utilizado

na última posição e dos 5 dígitos restantes, teremos 2 ocorrências do próprio algarismo 3 e 2

ocorrências do 6:

304

120

22

120

!2!3

!52,2

5

P

Agora no caso dos números terminados em 9 devemos calcular P5(3, 2)

, pois o dígito 9 será utilizado na

última posição e dos 5 dígitos que sobram, teremos 3 ocorrências do 3 e 2 ocorrências do dígito 6:

1012

120

26

120

!2!3

!52,3

5

P

Como temos 30 números terminados em 3 e mais 10 terminados em 9, então no total temos 40

números ímpares.

Logo: Dos números formados, 40 deles são ímpares.

Análise Combinatória - Permutação circular

Permutação circular é uma permuta, troca, alternância de elementos que ocorre ao redor de uma mesa,

em um círculo de pessoas, ou qualquer outro evento que esteja em circulo.

Observe, porém, que numa mesa ou numa roda onde temos as “pessoas” A, B, C, D, E e F, há a

possibilidade de permutá-las, mas algumas permutações não fazem diferença nenhuma!

Veja a ilustração:

Nesse exemplo as pessoas A, B, C, D, E e F estão em posições diferentes, elas trocaram de posições,

todavia a disposição delas na mesa ainda é a mesma coisa! Esse tipo de permutação não é contada.

Nos eventos da permutação circular, disposições iguais de uma roda ou de uma mesa não são contados,

se eles correspondem a apenas um giro as pessoas nas posições em que estão.

Outro exemplo:

A B C D….B A C D….C A B D….D A B C → A B C D = B C D A, C D A B, D A B C A B D C….B A D C….C A D B….D A C B → A B D C = B D C A, C A B D, D C A B

A C B D….B C A D….C B A D….D B A C → A C B D = B D A C, C B D A, D A C B

A C D B….B C D A….C B D A….D B C A → A C D B = B A C D, C D B A, D B A C

A D B C….B D A C….C D A B….D C A B → A D B C = B C A D, C A D B, D B C A

A D C B….B D C A….C D B A….D C B A → A D C B = B A D C, C B A D, D C B A

Como sabemos, a permutação simples de 4 elementos é dada por P4 = 4! = 24. Este resultado

corresponde a pessoas em fila!

Note, agora, neste exemplo, que cada permutação circular corresponde a 4 permutações simples. Logo,

o número de permutações circulares deve ser calculada por:

61234

1234

4

!44

PC

Em geral, temos o seguinte resultado:

n

nPCn

! ou, equivalentemente, )!1( nPCn .

Exemplos

1-- Número de maneiras diferentes que podemos sentar em uma mesa com 6 pessoas.

PCn = (n-1)!

PC6 = (6-1)! = 5! = 120

2-- Número de maneiras que uma família de 5 pessoas podem se sentar em uma mesa com o pai e mãe

juntos.

Vamos usar a mesma ideia da permutação simples, onde nós consideramos o pai e mãe como apenas

um elemento:

5 pessoas = A B C D E que agora serão A B C D E (permutação circular de 4 elementos!).

Então, PC4 = (4-1)! = 3! = 6

Agora, lembramos que o pai e a mãe estão juntos e que, por isso, ainda há uma permutação entre eles

dada por P2 = 2! = 2 .

Assim, a resposta é PC4 ∙ P2 = 6 ∙2 = 12 maneiras.

3-- Número de maneiras que uma família de 5 pessoas podem se sentar em uma mesa com o pai e mãe

separados.

Neste caso, podemos calcular assim:

# obtemos o número total de maneiras que 5 pessoas ficam numa mesa circular (PC5 = (5-1)! = 4! = 24

maneiras).

# agora, obtemos o número total de modos em que o pai e a mãe estão juntos (PC4 ∙ P2 = 6 ∙2 = 12

maneiras). Veja o exercício anterior.

# finalmente, vemos que os pais ficarão separados de 24 – 12 = 12 maneiras.