FATEC [Análise Combinatória e Introdução à probabilidades]ESTATÍSTICA I Prof. Herivelto Marcondes

Introdução à probabilidade

Introdução à probabilidadeÉ frequente, no cotidiano, a ocorrência de fenômenos em que não podemos prever seus resultados

antecipadamente. A exemplo disso temos a ocorrência de chuvas em uma determinada região do

país, durante o verão. Como também podemos citar a previsão do tempo de vida útil de

equipamentos ou lâmpadas, dos quais inserimos a medida de incerteza para caracterizar estes

eventos. A estes fenômenos cujos resultados não podem ser previstos com total precisão,

chamamos de fenômenos aleatórios.

Algumas Definições

Teoria de conjuntosEspaço Amostral e Eventos

O conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento é conhecido como espaço amostral do experimento e é comumente denotado por S ou .

Exemplo:

o Quando apresentamos as possibilidades de sexo de uma criança ao nascer:

= {Masculino, Feminino}

o Quando lançamos uma moeda e apresentamos as suas possibilidades de ocorrências:

= {Cara, Coroa}

Exercícios:

Exercício 1 Para cada um dos casos abaixo, escreva o espaço amostral correspondente e conte seus elementos:

a. Uma moeda é lançada duas vezes e observam-se as faces obtidas.

b. Uma urna contém 10 bolas azuis e 10 vermelhas com dimensões rigorosamente iguais. Três bolas são selecionadas ao acaso com reposição e as cores são anotadas.

c. Dois dados são lançados simultaneamente e estamos interessados na soma das faces observadas.

d. Uma máquina produz 20 peças por hora, escolhe-se um instante qualquer e observa-se o número de defeituosas na próxima hora.

Para qualquer subconjunto de será denominado como evento.

Para quaisquer dois eventos E e F de um espaço amostral , nós definimos o novo evento EF (união de E e F) que consiste de todos os pontos que estão em F ou em E ou em ambos.

o EF é a interseção de E e F, que consiste dos resultados que estão em E e em F (ao mesmo tempo).

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o EF=, então E e F são mutuamente exclusivos.

o Propriedades:

a. E EC=

b. EF = FE

c. (EF) G = E (FG)

d. (EF) G = (EG) (FG)

o Leis de De Morgan

Axiomas de probabilidade

Axioma 1: 0 IP[E] 1

Axioma 2: IP[] = 1

Axioma 3: Para uma sequência de eventos mutuamente exclusivos E1, E2, E3, ... (ie, eventos em que Ei Ej = , ij) temos

Proposição 1: IP[EC] = 1 – IP[E]

Proposição 2: Se E F, então IP[E] IP[F]

Proposição 3: IP[EF] = IP[E] + IP[F] – IP[EF]

Probabilidade condicional e independênciaDefinição 1: Se IP[F] > 0 então IP(E|F) = IP[EF]/ IP[F]

Definição 2: Se E e F são independentes então IP[E|F] = IP[E] IP[F]/ IP[F] = IP[E], ou ainda

podemos escrever IP[EF] = IP[E] IP[F]

Exercícios:

1. Sejam A e B dois eventos em um dado espaço amostral, tais que IP[A] =0.2, IP[B] = p,

FATEC [Análise Combinatória e Introdução à probabilidades]ESTATÍSTICA I Prof. Herivelto MarcondesIP[AB] = 0.5 e IP[AB] = 0.1. Determine o valor de p.

2. Uma universidade tem 10 mil alunos dos quais 4 mil são considerados esportistas. Temos,

ainda, que 500 são alunos do curso de biologia diurno, 700 da biologia noturno, 100 são esportistas

e da biologia diurno e 200 são esportistas e da biologia noturno. Um aluno é escolhido, ao acaso, e

pergunta-se a probabilidade de:

a) Ser esportista.

b) Ser esportista e aluno da biologia noturno.

c) Não ser da biologia.

d) Ser esportista ou aluno da biologia.

e) Não ser esportista, nem aluno da biologia.

VER LISTA DE EXERCÍCIOS DISPONÍVEL NO XEROX DA FATEC

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Análise combinatória

Princípio básico de contagemSuponha que dois experimentos sejam executados. Então, se o experimento 1 pode ocorrer em

algum das m possibilidades e, se para cada resultado do experimento 1 existem n possibilidades de

ocorrências do experimento 2, então existem juntos m*n possibilidades dos dois experimentos

ocorrerem.

Exemplo 1. Uma pequena comunidade possui 10 mulheres, cada qual possui três filhos. Se uma

mulher e uma de suas crianças são escolhidas como “mãe e filho do ano”. Quantas possibilidades de

escolhas diferentes existem?

Princípio básico de contagem generalizadoSe existirem k procedimentos e o i-ésimo procedimento puder ser executado de ni maneiras, i = 1,

2,..., k, então o procedimento formado pelo procedimento k poderá ser executado de

maneiras.

Exemplo 2. Um comitê escolar consiste de três novatos, quatro do 2º semestre, cinco do 3º semestre

e dois do 4º semestre. Um sub-comitê de quatro elementos, consistindo de um elemento de cada

semestre é escolhido. Quantos sub-comitês diferentes são possíveis formar?

Exemplo 3. Quantas placas de carro são possíveis existir, sendo que há 7 posições, onde as três

primeiras são letras e as quatro últimas são números?

Exemplo 4. Se no Exemplo 3 não pudéssemos repetir as letras e os números quantas possibilidades

existiriam?

PermutaçãoQuantos arranjos ordenados diferentes podem ser formados com as letras a, b, c?

ABC, ACB, CAB, BAC, BCA, CAB, CBA

Cada arranjo desses é conhecido por permutação. Então, para três elementos têm-se 6 possibilidades

3 2 1 , ie, 3*2*1= 6

Suponha então n objetos, nesse caso haverá n(n-1)(n-2)...3*2*1= n! Permutações diferentes dos n

objetos.

Exemplo 5. Quantas são as possibilidades diferentes para organizar um time de baseball, o qual

FATEC [Análise Combinatória e Introdução à probabilidades]ESTATÍSTICA I Prof. Herivelto Marcondesconsiste de 9 jogadores?

Exemplo 6. Quantos anagramas podem ser formados com as letras:

● PARALELOGRAMO

● MULTIVARIADA

● ESTATISTICAMENTE

● ANALISTA

● PARCIALMENTE

nn1n2 ...nr

1.1 Combinação

Onde e a combinação acima representa o número das

possibilidades de diferentes grupos de tamanho k que podem ser selecionados a partir de um

conjunto de n objetos quando a ordem de seleção não é relevante.