análise combinatória a combinatória no ensino básico · o que você entende por análise...
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Prof.ª Géssica Gonçalves Martins
Tópicos de Matemática
Análise Combinatória
A Combinatória no Ensino Básico
O que você entende por Análise Combinatória?
As permutações, arranjos e combinações resolvem apenasparte dos problemas dessa área, ou seja: “[...] os decontagem de certos tipos de subconjuntos de um conjuntofinito, sem que seja necessário enumerar seus elementos.”
Portanto, uma definição mais geral seria: a AnáliseCombinatória “é a parte da matemática que analisaestruturas e relações discretas.”
Outros tipos de problemas e consequentemente outrastécnicas para atacá-los fazem parte da combinatória, comoexemplo: as funções geradoras, a teoria de Ramsey e oprincípio da inclusão-exclusão.
(MORGADO et al., 2011, p. 1)
Princípios Básicos (vídeo)
Princípio aditivo: Se A e B são dois conjuntosdisjuntos, com p e q elementos respectivamente,então A U B possui p + q elementos.
Princípio Multiplicativo (ou Princípio fundamentalda enumeração): Se uma decisão d1 pode sertomada de x maneiras e se, uma vez tomada adecisão d1, a decisão d2 puder ser tomada de ymaneiras então o número de maneiras de setomarem as decisões d1 e d2 é x.y.
A questão é arranjo ou combinação???
Mini curso ENEM
Teixeira et al (2011) aponta que uma das maioresdificuldade enfrentada por estudantes refere-se àestrutura semântica do problema, ou seja, os alunosapresentam dificuldade em dar significado ao que oproblema requer.
Problema 1
Quantos são os naturais de três dígitos distintos?
Problema 2
Numa sala há 3 homens e 4 mulheres. De quantosmodos distintos é possível selecionar um casalhomem-mulher?
Problema 3
De quantos modos 3 pessoas podem se sentar em 5cadeiras em uma sala?
Utilização de materiais manipuláveisRecurso ou metodologia?
Problema 4 (material manipulável)
Um vagão de metrô tem 8 bancos individuais, sendo4 de frente e 4 de costas. De 8 passageiros, 3preferem sentar de frente, 2 preferem sentar decostas e os demais não têm preferência.Respeitando-se as preferências, de quantos modosos passageiros podem se sentar?
Problema 5 (material manipulável)
De quantos modos podemos colorir uma bandeiraque possui 7 listras com 3 cores distintas, sendo quelistras adjacentes não podem ser coloridas com amesma cor?
Problema 6
Dispomos de 5 cores distintas. De quantos modospodemos colorir os quatro quadrantes de um circulocada quadrante com uma só cor, se quadrantes cujafronteira é uma linha não podem receber a mesmacor?
Problema 7
Quantas rodas de ciranda podemos formar com 5crianças?
Problema 8
Em uma sala de aula temos 8 alunos.
De quantas maneiras diferentes poderão serescolhidos o líder, o vice-líder e um suplente pararepresentar a turma?
De quantas maneiras diferentes poderão serescolhidos três alunos para representar a turma?
Existe diferença entre os dois problemas anteriores?Qual? Como você explicaria isso para o seu aluno?
A questão é Arranjo ou Combinação?
Problema 9
Em uma determinada pizzaria é possível pedir umapizza média com no mínimo um sabor e no máximo 5.No momento, a variedade de sabores contém asseguintes possibilidades: queijo, presunto, calabresa,frango e tomate. Quantas pizzas diferentes podem serpedidas?
Problema 10
Em um restaurante são postas 6 (seis) opções no self–service: vinagrete, carne cozida, salada de folhas comtomate, arroz, feijão e farofa. Considerando que abancada tem espaço para as seis opções, de quantasmaneiras diferentes podemos organizá-la de modo quea carne cozida não fique ao lado do vinagrete?
Formas de comunicação
1) Definição formal;
2) Fórmula;
3) Diagrama de árvores;
4) Listagem de agrupamentos;
5) Tabelas;
6) Desenhos;
7) Contagem usando modelos;
8) Ordenação irrelevante
Coutinho e Barbosa (2016)
Formas Breve descrição A estratégia
utilizada é...
O resultado é
interpretado como...
Definição
formal
O conceito é
caracterizado
em termos de
uma
generalização
da contagem de
elementos de
um dado
subconjunto os
quais possuem
características
definidas.
Compreender as
relações e
propriedades
que validam o
agrupamento.
A quantidade de
agrupamentos que
satisfazem as
características pré-
estabelecidas.
Formas Breve descrição A estratégia
utilizada é...
O resultado é
interpretado
como...
Fórmula O conceito é
comunicado a
partir do uso de
fórmulas e é
caracterizado
pelo foco em
procedimentos
mecânicos de
cálculos.
Trabalhar com
a substituição
dos parâmetros
identificados
na fórmula
pelos
respectivos
valores
atribuídos a
eles no
problema em
questão.
O valor obtido
após
procedimento de
substituição e
cálculo.
Formas Breve descrição A estratégia
utilizada é...
O resultado é
interpretado como...
Diagrama de
árvores; Listagem
dos
agrupamentos;
Tabelas;
Desenhos;
Contagem dos
agrupamentos
usando modelos
concretos/virtuais
.
O conceito é
comunicado a
partir de
diversas
representações
ilustrativas e é
caracterizado
pelo foco em
procedimentos
visuais.
Representar por
meio de diagrama
de árvores,
desenhos,
listagens, tabelas
ou objetos
concretos/virtuais
, todos – ou em
parte – os
elementos que
serão contados.
A quantidade de
agrupamentos que
foram visualizados
pela(s) formas
escolhida(s).
Formas Breve descrição A estratégia
utilizada é...
O resultado é
interpretado como...
Ordenação
irrelevante
dos
elementos.
O conceito é
concebido a
partir da
ordenação dos
seus
elementos ser
irrelevante ou
não.
Contagem de
todos os
subconjuntos
com a
quantidade de
elementos
requeridos no
problema, para
posterior
exclusão
daqueles que
possuem
elementos
repetidos, mas
em ordens
diferentes.
A quantidade de
subconjuntos
restantes após as
exclusões.
Permutações simples
Combinações simples
Permutações Circulares
Permutações de elementos nem todos distintos
Combinações Completas
MORGADO (2011)