analise combinatoria

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  • Prof. Marcelo Cser

    Anglo Oficinas

    1

    ANLISE COMBINATRIA

    Considere os dois problemas abaixo:

    Em uma corrida envolvendo quatro corredores,

    quantas so as possibilidades de pdio?

    Para cada possvel 1

    lugar, existem trs

    possveis 2s lugares e,

    para cada um desses

    segundos, duas opes

    para 3 colocado. Como

    mostra o diagrama, so 24

    pdios distintos.

    Em um grupo de quatro alunos, conseguimos formar

    quantos trios diferentes?

    Para a resoluo desse problema, a

    estratgia anterior no funciona, pois as

    escolhas no possuem hierarquia entre si:

    ser o primeiro, o segundo ou terceiro do trio

    indiferente. Observe que no problema anterior a

    primeira escolha diferenciada das demais, assim

    como cada escolha diferenciada das demais. Em

    tempo: a resposta do problema, como mostram as

    possibilidades listadas acima, 4.

    A anlise combinatria distingue dois tipos de

    agrupamentos: seqncias e conjuntos.

    Seqncias

    So agrupamentos que se diferenciam pelos

    elementos componentes ou pela ordem desses

    elementos. Por exemplo, (A, B) (B, A) pela ordem

    em que aparecem e (A, B) (A, C) pelos elementos

    escolhidos. Observe que ordem implica hierarquia

    entre escolhas: a ordem somente importante quando

    cada escolha tiver uma funo diferente no

    problema.

    Conjuntos

    So agrupamentos que se diferenciam somente pelos

    elementos componentes. No mesmo exemplo anterior,

    {A, B} = {B, A} e {A, B} {A, C}. A ordem aqui no

    importante. Ou seja, no existe hierarquia e, com

    isso, cada escolha desempenha o mesmo papel no

    problema.

    PRNCIPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM

    O raciocnio utilizado para a resoluo do primeiro

    problema muito importante para resolver qualquer

    problema de Anlise Combinatria.

    Considere um problema onde n decises

    independentes devem ser tomadas. Para cada uma

    dessas decises existem 1 2 3 1, , , ..., ,n nd d d d d opes

    de escolha. Tendo em mente a ramificao das

    escolhas (ou rvore de possibilidades) apresentada

    anteriormente, sabe-se que a 1 escolha possui 1d

    possibilidades, que se ramificam em 2d opes para a

    2, que por sua vez se ramificam em 3d para a 3, e

    assim sucessivamente, at se ramificar em nd

    possibilidades para a n-sima e ltima escolha.

    Assim, n decises independentes com 1 2, , ..., nd d d

    opes de escolha cada geram um total de

    1 2 3 n-1 nd d d d d seqncias. Observe que

    esse o nmero de seqncias e no de conjuntos,

    pois as decises so independentes. Ou seja, h

    hierarquia entre elas.

    EXERCCIOS DE AULA

    01) Uma bandeira assimtrica formada por quatro

    listras, que devem devem ser coloridas usando-se

    apenas as cores amarelo, branco e cinza, no

    devendo listras adjacentes ter a mesma cor. De

    quantos modos pode ser colorida a bandeira?

    Se iniciarmos colorindo a primeira lista, a nica

    restrio diz que a listra seguinte deve ser de cor

    diferente. Assim, 3 2 2 2 24 modos.

    02) Quantos nmeros naturais de quatro algarismos

    distintos existem?

    Nosso sistema decimal possui 10 algarismos: 0, 1, 2,

    3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9. O nico que no pode iniciar um

    nmero o algarismo 0. Assim, existem

    9 9 8 7 4536 nmeros, j que os algarismos

    devem ser distintos.

  • Prof. Marcelo Cser

    Anglo Oficinas

    2

    Pequenas dificuldades adiadas costumam

    transformar-se em grandes dificuldades. Se alguma

    deciso mais complicada que as demais, ela deve

    ser tomada em primeiro lugar

    .

    03) Quantos nmeros naturais de 4 algarismos, que

    sejam menores que 5000 e divisveis por 5, podem ser

    formados usando-se apenas os algarismos 2, 3, 4 e 5?

    So duas as restries: o primeiro algarismo no pode

    ser 5 e o ltimo algarismo, por outro lado, deve ser

    igual a 5. Com isso, existem 3 4 4 1 48 nmeros

    que atendem essas condies.

    04) Quantos so os nmeros naturais pares que se

    escrevem com 3 algarismos distintos?

    A exigncia de algarismos distintos probe a repetio.

    Ainda, para formar nmeros pares exige-se que o

    ltimo algarismo seja par: 0, 2, 4, 6 ou 8. A dificuldade

    desse exerccio est no fato de 0 no poder ser

    utilizado como primeiro algarismo. Assim, se ele for

    escolhido como ltimo, so 9 os possveis algarismos

    para o primeiro; no entanto, se no for, existiro

    somente 8 possveis primeiros algarismos. Separando

    em casos: 9 8 1 72 nmeros onde 0 o ltimo

    algarismo e 8 8 4 256 nmeros onde 0 no o

    ltimo algarismo. Assim, 72 + 256 = 328 nmeros.

    Outra resoluo: existem 9 9 8 648 nmeros com

    trs algarismos distintos. Para que sejam mpares, o

    ltimo algarismo deve ser mpar: 1, 3, 5, 7 ou 9.

    Assim, 8 8 5 320 nmeros so mpares. Com isso,

    648 - 320 = 328 so nmeros pares.

    05) Em quantos nmeros de quatro algarismos o

    algarismo 5 aparece pelo menos uma vez?

    A mesma abordagem da segunda resoluo do

    exerccio anterior pode ser utilizada: descontando o

    que no interessa do total. No exerccio 2, calculamos

    em 9.000 o total de nmeros com quatro algarismos.

    Se o 5 no for utilizado, sero 8 9 9 9 5832 .

    Logo, sero 9000 - 5832 = 3168 nmeros onde o

    algarismo 5 aparece pelo menos uma vez.

    06) A respeito das letras da palavra TESOURA:

    a) Quantos anagramas apresentam as letras S, O e U

    juntas e nessa ordem?

    O enunciado exige que os anagramas formados

    contem com a juno SOU. Assim, as trs letras S,

    O, U sero contados como somente uma opo de

    agrupamento: afinal, devero estar juntas e nessa

    mesma sequncia.

    Com isso, as opes para escolha so as letras T, E,

    R, A e o agrupamento SOU. Ou seja, 5 opes. Assim,

    existiro 5 4 3 2 1 120 anagramas.

    b) Quantos anagramas apresentam as letras S, O e U

    juntas?

    O enunciado faz quase a mesma exigncia que o

    anterior, mas retira uma: o agrupamento SOU pode

    aparecer como USO ou SUO, por exemplo. A

    exigncia da ordem no existe mais.

    No entanto, a resoluo para qualquer ordem segue a

    mesma: existiro 120 anagramas com USO e 120

    anagramas com SUO. Desse modo, preciso

    calcular de quantas maneiras possvel reordenar o

    agrupamento original SOU: 3 2 1 6 maneiras,

    sendo que cada uma gerar 120 anagramas

    diferentes. Ou seja, sero 6 120 720 anagramas

    distintos.

    c) Quantos anagramas comeam por vogal ou

    terminam por consoante?

    Das sete letras, trs so consoantes e quatro so

    vogais. Assim, 4 6 5 4 3 2 1 2880 comeam por

    vogal e 6 5 4 3 2 1 3 2160 terminam por

    consoante. No entanto, os anagramas que comeam

    por vogal e terminam por consoante esto sendo

    contados em ambos os casos. Esses casos duplos

    totalizam 4 5 4 3 2 1 3 1440 anagramas. Assim,

    existem 2880 + 2160 - 1440 = 3600 anagramas nas

    condies exigidas.

  • Prof. Marcelo Cser

    Anglo Oficinas

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    Notao Fatorial

    n! = n(n - 1)(n - 2)(n - 3) ... 321, com n natural.

    Alm da definio algbrica para fatorial, deve ser

    compreendida tambm a definio combinatria:

    n! o nmero de seqncias com n elementos

    distintos que formamos a partir de n elementos.

    Por exemplo, 1 1 1

    2 2

    3

    4 3 2 14! 24

    E E E

    E E

    E

    .

    Observe ainda que cada fatorial contm todos os

    fatoriais anteriores. Por exemplo,

    Obs.: 0! = 1! = 1

    CONTAGEM DE CONJUNTOS

    Quantas seqncias de 3 letras distintas formamos

    utilizando A, B, C e D?

    4

    3

    2 = 24

    A, B, C, D 1 1, 2

    ABC BAC CAB DAB

    ACB BCA CBA DBA

    ABD BAD CAD DAC

    ADB BDA CDA DCA

    ACD BCD CBD DBC

    ADC BDC CDB DCB

    Outra forma de visualizar os resultados analisando a

    rvore de possibilidades correspondente ao problema.

    Repare que quando formamos seqncias a ordem

    em que as escolhas so feitas relevante para o

    problema. Por exemplo, as seqncias ABC e BAC

    possuem os mesmos elementos, mas a diferena de

    posio entre os elementos A e B faz com que as

    seqncias sejam diferentes. Ou seja, existe uma

    diferena de hierarquia entre as escolhas, pois o

    fato de um elemento ter sido listado na primeira,

    segunda ou terceira escolha importante para o

    resultado final.

    Vamos mudar agora a essncia da pergunta inicial.

    Quantos conjuntos de 3 letras distintas formamos

    utilizando A, B, C e D?

    Como vimos, um conjunto diferente do outro

    somente pelos elementos escolhidos. Ou seja, a

    ordem em que as escolhas foram feitas irrelevante

    para o resultado final: {A, B, C} e {B, A, C} so o

    mesmo conjunto.

    Dito isso, possvel perceber que a rvore de

    possibilidades da pergunta anterior no resolve a nova

    questo, pois no existe hierarquia entre as

    escolhas: ter sido o primeiro, o segundo ou o terceiro

    elemento escolhido no muda em nada o resultado

    final.

    No entanto, basta descobrir quantas seqncias so

    geradas por cada conjunto especfico. Tendo essa

    informao, no difcil observar que o nmero de

    conjuntos dado pela frmula:

    O nmero de seqncias por conjunto simples de

    ser obtido: por exemplo, o conjunto {A, B, C} gera 6