UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARACENTRO DE CIENCIAS

DEPARTAMENTO DE MATEMATICAANALISE APLICADA I

Prof. Dr. Raimundo Alves Leitao JuniorLista 4

TOPOLOGIA DA RETA

1. Mostre que, para todo X ⊂ R tem-se int (intX) = intX e conclua queintX e um conjunto aberto.

2. Seja A ⊂ R um conjunto com a seguinte propriedade: toda sequencia(xn) que converge para um ponto a ∈ A tem seus termos xn perten-centes a A para todo n suficientemente grande. Prove que A e aberto.

3. Sejam I1 ⊃ I2 ⊃ · · · ⊃ In ⊃ · · · intervalos limitados dois a doisdistintos, cuja a intersecao I = ∩∞

n=1In nao e vazia. Prove que I e umintervalo, o qual nunca e aberto.

4. Seja X ⊂ Y ⊂ R. Diz-se que X e denso em Y quando Y ⊂ X,isto e, quando todo b ∈ Y e aderente a X. Sejam I um intervalonao-degenerado e k > 1 um numero natural. Prove que o conjuntodos numeros racionais m

kn pertencentes a I, cujos denominadores saopotencias de k com expoente n ∈ N, e denso em I.

5. SejaX ⊂ R, prove que vale a uniao a disjunta R = intX∪int (R−X)∪F , onde F e formado pelos pontos x ∈ R tais que toda vizinhanca de xcontem pontos deX e R−X. O conjunto F = frX chama-se fronteirade X. Prove que A ⊂ R e aberto se, e somente se, A ∩ frA = ∅.

6. Prove que se X ⊂ R, vale X = X ∪ frX. Conclua que X e fechado se,e somente se, frX ⊂ X.

7. Prove que se X ⊂ R tem fronteira vazia entao X = ∅ ou X = R.

8. Sejam X,Y ⊂ R. Prove que X ∪ Y = X ∪ Y e que X ∩ Y ⊂ X ∩ Y .De um exemplo em que X ∩ Y = X ∩ Y .

9. Prove que para todo X ⊂ R, tem-se X = X ∪X ′. Conclua que X efechado se, e somente se, contem todos os seus pontos de acumulacao.

10. Mostre que todo conjunto enumeravel X ⊂ R possui algum ponto deacumulacao a ∈ X.

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11. Prove que, para todo X ⊂ R, X ′ e um conjunto fechado.

12. Seja a um ponto de acumulacao do conjunto X. Prove que esxiste umasequencia crescente ou uma sequencia decrescente de pontos xn ∈ Xcom limxn = a.

13. Prove que uma uniao finita e uma intersecao arbitraria de conjuntoscompactos e um conjunto compacto.

14. De um exemplo de uma sequencia decrescente de conjuntos fechadosnao-vazios F1 ⊃ · · · ⊃ Fn ⊃ · · · e uma sequencia decrescente de con-juntos limitados nao -vazios L1 ⊃ · · · ⊃ Ln ⊃ · · · tais que ∩∞

n=1Fn = ∅e ∩∞

n=1Ln = ∅.

15. SejamX,Y conjuntos nao-vazios, comX compacto e Y fechado. Mostreque existem x0 ∈ X, y0 ∈ Y tais que |x0−y0| ≤ |x−y| para quaisquerx ∈ X, y ∈ Y .

16. Um conjunto compacto cujos pontos sao todos isolados e finito.

17. Uma cisao de um conjunto X ⊂ R e uma decomposicao X = A ∪ Btal que A ∩ B = ∅ e A ∩ B = ∅. A decomposicao X = X ∪ ∅ chama-se cisao trivial. Mostre que um intervalo da reta so admite a cisaotrivial.

LIMITES DE FUNCOES

1. Sejam f : X → R e a ∈ X ′. Se existe limx→a f (x) entao f e limitadanuma vizinhanca de a.

2. Seja f : R−{0} → R dada por f (x) = x sin 1x . Mostre que limx→0 f (x) =

0.

3. Considere a funcao f : R → R definida por

f (x) =

{0, se x e racional,1, se x e irracional.

Prove que para qualquer a ∈ R nao existe limx→a f (x).

4. Se X ={

1n : n ∈ N

}prove que 0 ∈ X ′

+ e 0 /∈ X ′−. Se c ∈ intI, onde I

e um intervalo, mostre que c ∈ I ′+ ∩ I ′−. Mas se c e um dos extremosde I entao tem-se apenas c ∈ I ′+ se e o extremo inferior e c ∈ I ′− se eo extremo superior de I.

5. Sejam f : X → R e a ∈ X ′. A fim de que exista limx→a f (x) esuficiente que, para toda sequencia de pontos xn ∈ X − {a} comlimxn = a, a sequencia (f (xn)) seja convergente.

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6. Sejam f : X → R, g : Y → R com f (X) ⊂ Y , a ∈ X ′ e b ∈ Y ′ ∩Y . Se

limx→a

f (x) = b e limy→b

g (y) = c, (1)

prove que limx→a g (f (x)) = c, contanto que c = g (b) ou entao quex = a implique f (x) = b.

7. Sejam f, g : R → R definidas por

f (x) =

{x, se x e racional,0, se x e irracional,

e

g (x) =

{1, se x = 0,0, se x = 0,

prove que limx→a f (x) = 0 e limy→0 g (y) = 0, porem nao existelimx→0 g (f (x)).

8. Prove que a ∈ X ′+ (respectivamente, a ∈ X ′

−) se, e somente se,a = limxn e limite de uma sequencia decrescente (respectivamente,crescente) de pontos pertencentes ao conjunto X.

9. Seja f : R− {0} → R definida por f (x) =1

1 + a1x

, onde a > 1. Prove

que limx→0+ f (x) = 0 e limx→0− f (x) = 1.

10. Seja p : R → R um polinomio nao constante, isto e, para todo x ∈ R,p (x) =

∑ni=0 aix

i, com an = 0 e n ≥ 1. Prove que, se n e par entaolimx→+∞ p (x) = limx→−∞ p (x) = +∞ se an > 0 e = −∞ se an < 0.Se n e ımpar entao limx→+∞ p (x) = +∞ e limx→−∞ p (x) = −∞quando an > 0 e os sinais dos limites sao trocados quando an < 0.

11. Seja f : R → R, definida por f (x) = x sinx. Prove que, para todoc ∈ R, existe uma sequencia xn ∈ R com limxn = +∞ e lim f (xn) = c.

12. Seja f : [a,+∞) → R limitada. para cada t ≥ a indiquemos comMt o sup e mt o inf de f no intervalo I = [a,+∞). Com ωt :=Mt − mt indicaremos a oscilacao de f em I. Prove que existemlimt→+∞Mt e limt→∞mt. Prove que existe limx→+∞ f (x) se, e so-mente se, limt→+∞ ωt = 0.

13. Seja f (x) = x+10 sinx para todo x ∈ R. Entao limx→+∞ f (x) = +∞e limx→−∞ f (x) = −∞. Prove o mesmo para a funcao g (x) = x +x2 sinx.

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