AnaLise Aplicada i - Lista 4

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  • UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARACENTRO DE CIE^NCIAS

    DEPARTAMENTO DE MATEMATICAANALISE APLICADA I

    Prof. Dr. Raimundo Alves Leit~ao JuniorLista 4

    TOPOLOGIA DA RETA

    1. Mostre que, para todo X R tem-se int (intX) = intX e conclua queintX e um conjunto aberto.

    2. Seja A R um conjunto com a seguinte propriedade: toda seque^ncia(xn) que converge para um ponto a 2 A tem seus termos xn perten-centes a A para todo n sucientemente grande. Prove que A e aberto.

    3. Sejam I1 I2 In intervalos limitados dois a doisdistintos, cuja a intersec~ao I = \1n=1In n~ao e vazia. Prove que I e umintervalo, o qual nunca e aberto.

    4. Seja X Y R. Diz-se que X e denso em Y quando Y X,isto e, quando todo b 2 Y e aderente a X. Sejam I um intervalon~ao-degenerado e k > 1 um numero natural. Prove que o conjuntodos numeros racionais mkn pertencentes a I, cujos denominadores s~aopote^ncias de k com expoente n 2 N, e denso em I.

    5. SejaX R, prove que vale a uni~ao a disjunta R = intX[int (RX)[F , onde F e formado pelos pontos x 2 R tais que toda vizinhanca de xcontem pontos deX e RX. O conjunto F = frX chama-se fronteirade X. Prove que A R e aberto se, e somente se, A \ frA = ;.

    6. Prove que se X R, vale X = X [ frX. Conclua que X e fechado se,e somente se, frX X.

    7. Prove que se X R tem fronteira vazia ent~ao X = ; ou X = R.8. Sejam X;Y R. Prove que X [ Y = X [ Y e que X \ Y X \ Y .

    De^ um exemplo em que X \ Y 6= X \ Y .9. Prove que para todo X R, tem-se X = X [X 0. Conclua que X e

    fechado se, e somente se, contem todos os seus pontos de acumulac~ao.

    10. Mostre que todo conjunto enumeravel X R possui algum ponto deacumulac~ao a 2 X.

    1

  • 11. Prove que, para todo X R, X 0 e um conjunto fechado.12. Seja a um ponto de acumulac~ao do conjunto X. Prove que esxiste uma

    seque^ncia crescente ou uma seque^ncia decrescente de pontos xn 2 Xcom limxn = a.

    13. Prove que uma uni~ao nita e uma intersec~ao arbitraria de conjuntoscompactos e um conjunto compacto.

    14. De^ um exemplo de uma seque^ncia decrescente de conjuntos fechadosn~ao-vazios F1 Fn e uma seque^ncia decrescente de con-juntos limitados n~ao -vazios L1 Ln tais que \1n=1Fn = ;e \1n=1Ln = ;.

    15. SejamX;Y conjuntos n~ao-vazios, comX compacto e Y fechado. Mostreque existem x0 2 X, y0 2 Y tais que jx0y0j jxyj para quaisquerx 2 X, y 2 Y .

    16. Um conjunto compacto cujos pontos s~ao todos isolados e nito.

    17. Uma cis~ao de um conjunto X R e uma decomposic~ao X = A [ Btal que A \ B = ; e A \ B = ;. A decomposic~ao X = X [ ; chama-se cis~ao trivial. Mostre que um intervalo da reta so admite a cis~aotrivial.

    LIMITES DE FUNC ~OES

    1. Sejam f : X ! R e a 2 X 0. Se existe limx!a f (x) ent~ao f e limitadanuma vizinhanca de a.

    2. Seja f : Rf0g ! R dada por f (x) = x sin 1x . Mostre que limx!0 f (x) =0.

    3. Considere a func~ao f : R! R denida por

    f (x) =

    0; se x e racional;1; se x e irracional:

    Prove que para qualquer a 2 R n~ao existe limx!a f (x).4. Se X =

    1n : n 2 N

    prove que 0 2 X 0+ e 0 =2 X 0. Se c 2 intI, onde I

    e um intervalo, mostre que c 2 I 0+ \ I 0. Mas se c e um dos extremosde I ent~ao tem-se apenas c 2 I 0+ se e o extremo inferior e c 2 I 0 se eo extremo superior de I.

    5. Sejam f : X ! R e a 2 X 0. A m de que exista limx!a f (x) esuciente que, para toda seque^ncia de pontos xn 2 X fag comlimxn = a, a seque^ncia (f (xn)) seja convergente.

    2

  • 6. Sejam f : X ! R, g : Y ! R com f (X) Y , a 2 X 0 e b 2 Y 0 \Y . Se

    limx!a f (x) = b e limy!b

    g (y) = c; (1)

    prove que limx!a g (f (x)) = c, contanto que c = g (b) ou ent~ao quex 6= a implique f (x) 6= b.

    7. Sejam f; g : R! R denidas por

    f (x) =

    x; se x e racional;0; se x e irracional;

    e

    g (x) =

    1; se x = 0;0; se x 6= 0;

    prove que limx!a f (x) = 0 e limy!0 g (y) = 0, porem n~ao existelimx!0 g (f (x)).

    8. Prove que a 2 X 0+ (respectivamente, a 2 X 0) se, e somente se,a = limxn e limite de uma seque^ncia decrescente (respectivamente,crescente) de pontos pertencentes ao conjunto X.

    9. Seja f : R f0g ! R denida por f (x) = 11 + a

    1x

    , onde a > 1. Prove

    que limx!0+ f (x) = 0 e limx!0 f (x) = 1.

    10. Seja p : R! R um polino^mio n~ao constante, isto e, para todo x 2 R,p (x) =

    Pni=0 aix

    i, com an 6= 0 e n 1. Prove que, se n e par ent~aolimx!+1 p (x) = limx!1 p (x) = +1 se an > 0 e = 1 se an < 0.Se n e mpar ent~ao limx!+1 p (x) = +1 e limx!1 p (x) = 1quando an > 0 e os sinais dos limites s~ao trocados quando an < 0.

    11. Seja f : R ! R, denida por f (x) = x sinx. Prove que, para todoc 2 R, existe uma seque^ncia xn 2 R com limxn = +1 e lim f (xn) = c.

    12. Seja f : [a;+1) ! R limitada. para cada t a indiquemos comMt o sup e mt o inf de f no intervalo I = [a;+1). Com !t :=Mt mt indicaremos a oscilac~ao de f em I. Prove que existemlimt!+1Mt e limt!1mt. Prove que existe limx!+1 f (x) se, e so-mente se, limt!+1 !t = 0.

    13. Seja f (x) = x+10 sinx para todo x 2 R. Ent~ao limx!+1 f (x) = +1e limx!1 f (x) = 1. Prove o mesmo para a func~ao g (x) = x +x2 sinx.

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