analisa real 2

48
BAB I LIMIT FUNGSI A. Definisi Limit Fungsi Definisi limit secara intuisi : mengatakan bahwa berarti bahwa bilamana dekat tetapi berlainan dari c, maka dekat ke . Secara matematis dapat dimaklumi bahwa yang berdekatan dengan definisi limit secara intuisi diatas, yaitu penggunaan istilah “dekat”. Apa sebenarnya makna dekat itu?. Seberapa dekat itu dikatakan “dekat” ?. Untuk mengatasi masalah di atas Augustin-Louis Cauchy berhasil menyusun definisi tentang limit yang masih kita gunakan sampai sekarang. Pengertian limit secara intuisi di atas jika diberi definisi formal adalah sebagai berikut. 1 L + L - L c - c + c f (x) x

Upload: budiman-ali-akbar

Post on 17-May-2017

235 views

Category:

Documents


3 download

TRANSCRIPT

Page 1: Analisa Real 2

BAB ILIMIT FUNGSI

A. Definisi Limit Fungsi

Definisi limit secara intuisi : mengatakan bahwa berarti

bahwa bilamana dekat tetapi berlainan dari c, maka dekat ke .

Secara matematis dapat dimaklumi bahwa yang berdekatan dengan

definisi limit secara intuisi diatas, yaitu penggunaan istilah “dekat”. Apa

sebenarnya makna dekat itu?. Seberapa dekat itu dikatakan “dekat” ?.

Untuk mengatasi masalah di atas Augustin-Louis Cauchy berhasil

menyusun definisi tentang limit yang masih kita gunakan sampai sekarang.

Pengertian limit secara intuisi di atas jika diberi definisi formal adalah

sebagai berikut.

Dikatakan bahwa berarti bahwa untuk tiap yang diberikan

(betapapun kecilnya) , terdapat yang berpadanan sedemikian sehingga

; yakni ,

B. Teorema Limit

1

L +

L -

L

c - c +c

f (x)

x

Page 2: Analisa Real 2

1. , jika suatu konstanta

2.

3.

4.

5.

6. Hukum subtitusi :

Jika dan maka

7. jika dan

8. , jika

9. Teorema Apit :

Misalkan pada setiap interval yang memuat c dan

dipenuhi : maka

Pembuktian Teorema

1.

Bukti :

Untuk setiap bilangan positif berapapun kecilnya akan didapat

sedemikian untuk setiap x pada dipenuhi . Dari

, maka berapapun .

2.

Bukti :

Untuk membuktikan teorema ini, berarti jika diberikan suatu

betapapun kecilnya, akan ditemukan sedemikian hingga

.

Sekarang dari

2

Page 3: Analisa Real 2

Kelihatan bahwa akan memenuhi persyaratan di atas.

Sehingga jika diberikan betapapun kecilnya dan dipilih maka

menunjukkan :

Dengan demikian terbuktilah teoremanya.

3.

Bukti :

Misalkan

Misalkan diberikan , kita harus mendapatkan sedemikian hingga

berakibat (mengingat juga ).

Sekarang dengan telah ditetapkan , kita dapat menyatakan bahwa untuk setiap

yang terletak berlaku:

Ini menunjukkan bahwa :

4.

Bukti :

Andaikan dan

Jika sembarang bilangan positif yang diberikan, maka adalah positif.

Karena , maka terdapat suatu bilangan positif , sedemikian

hingga :

,

Karena limit , maka terdapat suatu bilangan positif

sedemikian hingga :

3

Page 4: Analisa Real 2

Pilih = min , yaitu pilih sebagai yang terkecil diantara dan ,

maka menunjukkan :

Jadi

Dengan jalan yang sama akan dapat dibuktikan bahwa :

5.

Bukti :

Misal dan

Jika diberikan sembarang maka dan .

Yang akan kita tunjukkan dengan pembuktian ini adalah jika diberikan

, kita harus mendapatkan bilangan sedemikian hingga untuk :

berakibat .

Untuk :

Dari limit , berarti terdapat sedemikian hingga jika

berakibat

Dan dari , berarti terdapat sedemikian hingga jika

berakibat .

Selanjutnya terdapat bilangan ketiga sedemikian hingga jika

berakibat yang berarti

4

Page 5: Analisa Real 2

Sekarang kita pilih bilangan terkecil dari ketiga bilangan positif

dan jika subtitusi (3),(4), dan (5) ke dalam (2) ,akan

diperoleh jika berakibat :

Kenyataan ini berarti terbukti bahwa :

6. Jika dan maka

Bukti :

Misalkandiberikan , kita harus mendapatkan suatu bilangan

sedemikian hingga apabila berakibat .

Dari , terdapat sedemikian hingga , untuk

akan berakibat

Dan dari , kita dapat memilih sedemikian hingga jika :

berakibat atau dimana .

Dari (1) dapat kita lihat bahwa :

Jika berakibat

Kenyataan terakhir ini menyajikan bukti tersebut.

Contoh Soal

Hitunglah nilai limit berikut :

1.

Jawaban :

5

Page 6: Analisa Real 2

2.

Jawaban :

; a0

6

Page 7: Analisa Real 2

BAB IIKEKONTINUAN

A. Definisi

Suatu fungsi dikatakan kontinu di titik , jika ketiga syarat berikut ini

dipenuhi

1. terdefinisi (ada nilainya)

2. ada dan

3.

Jika salah satu atau lebih dari syarat-syarat di atas tidak dipenuhi, maka

dikatakan fungsi tidak kontinu (diskontinu) di titik .

Jika kontinu di setiap titik pada suatu interval, maka dikatakan

kontinu pada interval tersebut.

Contoh 9 :

Diberikan fungsi . Selidiki apakah kontinu di titik !

Penyelesaian :

Diketahui fungsi , maka untuk berlaku :

1. , yaitu terdefinisi

2. dan

3. .

Karena ketiga syarat kekontinuan dipenuhi, maka dapat disimpulkan bahwa

fungsi kontinu di titik .

Sifat-sifat Penting :

1. Jika dan adalah fungsi-fungsi yang kontinu di titik , maka

a. juga kontinu di titik

b. )()( xgxf juga kontinu di titik

c. juga kontinu di titik , asalkan .

7

Page 8: Analisa Real 2

2. Jika adalah fungsi rasional yang berbentuk , dengan

dan adalah fungsi-fungsi polinom, maka kontinu di semua titik,

kecuali di titik-titik pembuat nol . Jadi nilai-nilai pembuat nol

adalah titik-titik diskontinu dari fungsi .

B. Macam Diskontinuitas

Pada bagian awal telah disebutkan bahwa fungsi dikatakan diskontinu

atau tidak kontinu di titik , jika salah satu atau lebih syarat-syarat

kekontinuan tidak dipenuhi. Beberapa macam diskontinuitas yang dikenal

antara lain :

1. Diskontinuitas Tak Hingga

Pandang fungsi rasional , maka tidak kontinu di titik

, karena tidak terdefinisi dan juga tidak ada. Akan tetapi

fungsi tersebut kontinu di semua nilai , kecuali di . Diskontinuitas

semacam ini dinamakan diskontinuitas tak hingga.

2. Diskontinuitas Terhapuskan

8

Y

2 X

Page 9: Analisa Real 2

Pandang fungsi rasional . Pada fungsi ini tidak

terdefinisi, yang berarti tidak kontinu di titik sedangkan

(ada). Sehingga jika kita definisikan kembali fungsi di atas

sebagai

maka . Akibatnya kontinu di titik .

Diskontinuitas semacam ini dinamakan diskontinuitas yang terhapuskan.

Perhatikan bahwa grafik dari fungsi dan adalah

identik, kecuali pada titik , di mana grafik fungsi mempunyai

”lubang”.

Menghapus diskontinuitas sama halnya menutup lubang tersebut.

3. Diskontinuitas Lompat

Diberikan fungsi . Selidiki kekontinuan fungsi

di titik . Perhatikan bahwa , terdefinisi dan

(ada). Sehingga diperoleh , yaitu kontinu di

sebelah kanan (disingkat kontinu kanan) pada . Akan tetapi

9

Y

lubang

2

f (x) 2 X

Page 10: Analisa Real 2

, yaitu tidak kontinu di sebelah kiri (kontinu

kiri) pada . Akibatnya tidak kontinu di titik .

Diskontinuitas semacam ini dinamakan diskontinuitas lompat. Perhatikan

gambar berikut ini :

C. Menentukan Fungsi menjadi Kontinu

Jika diberikan suatu fungsi yang belum diketahui apakah fungsi tersebut

kontinu atau tidak, maka kita dapat menjadikan fungsi tersebut kontinu

dengan menggunakan konsep kontinu kiri dan kontinu kanan.

Suatu fungsi dikatakan kontinu kiri di titik , jika

dan dikatakan kontinu kanan jika . Selanjutnya fungsi

dikatakan kontinu di titik jika kontinu kiri dan kontinu kanan di

titik .

Contoh 10 :

Tentukan konstanta agar fungsi kontinu di

titik .

Penyelesaian :

Agar kontinu di titik , maka haruslah kontinu kiri di titik

, yaitu . Di mana ,

10

Y

1

X

– 1

Page 11: Analisa Real 2

sedangkan , sehingga diperoleh atau

yaitu .

Selain itu juga harus kontinu kanan di titik , yaitu

. Di mana dan

serta hubungan di atas selalu dipenuhi.

Jadi agar kontinu di titik , maka haruslah .

Contoh 11 :

Diberikan fungsi .

a. Tentukan nilai agar kontinu di mana-mana !

b. Gambarkan grafik fungsi tersebut !

Penyelesaian :

a. Perhatikan bahwa fungsi menunjukkan keanehan di titik ,

sehingga agar kontinu di mana-mana haruslah kontinu di titik

, yaitu harus kontinu kiri dan kontinu kanan di titik .

■ kontinu kiri di

dan , karena harus berlaku

,

maka diperoleh dan .

■ kontinu kanan di

dan dan senantiasa berlaku

.

Jadi agar kontinu di mana-mana haruslah nilai .

b. Dengan diperolehnya nilai , maka fungsi di atas menjadi

dan grafiknya adalah

11

Page 12: Analisa Real 2

D. Fungsi Kontinu

Definisi

Misalkan A , f : A , dan Fungsi f dikatakan kontinu di c jika

untuk sebarang terdapat sehingga untuk setiap

dengan berlaku

|f(x) – f(c)| < e

Fungsi yang tidak kontinu di c, dikatakan tak kontinu (discontinuous) di c.

Catatan

a. Jika adalah titik limit dari A, dapat disimpulkan bahwa f

kontinu di titik c jika dan hanya jika

.

Jadi, jika c titik limit dari A, maka agar (5.1) terpenuhi, tiga syarat harus

dipenuhi : (i) ada, (ii) ada di dalam , (iii) harus sama

dengan .

b. Jika bukan titik limit dari A, maka terdapat persekitaran

dari c sehingga . Jadi disimpulkan bahwa fungsi f secara

otomatis kontinu di c. Titik c semacam ini disebut titik terasing dari A.

12

2

1

3X

Y

Page 13: Analisa Real 2

Karena kekontinuan otomatis untuk titik yang demikian, untuk selanjutnya

kita akan membahas kekontinuan hanya di titik limit.

Definisi

Misalkan A , f : A , dan Fungsi f dikatakan kontinu pada B

jika f kontinu di setiap titik dari B.

Teorema :

Misalkan A , f : A , dan Kedua pernyataan berikut ekuivalen:

(a) f kontinu di c.

(b) Jika sebarang barisan bilangan real di dalam A yang konvergen ke c,

maka konvergen ke

Dengan mengambil kontraposisi dari Teorema 5.1.3 di atas, maka diperoleh

kriteria ketakkontinuan berikut.

Teorema (Kriteria Ketakkontinuan)

Misalkan A , f : A , dan Fungsi f tak kontinu di c jika dan

hanya jika terdapat barisan di dalam A yang konvergen ke c tetapi barisan

tidak konvergen ke

Contoh

(a) kontinu pada .

Jika c , maka . Selanjutnya karena maka f kontinu

di setiap titik di c . Jadi, f kontinu pada .

(b) kontinu pada .

Jika c , maka . Karena maka g kontinu di setiap

titik di c . Jadi, g kontinu pada c .

(c) kontinu pada

Telah ditunjukkan bahwa jika , maka . Karena

ini menunjukkan bahwa g kontinu di setiap . Jadi h kontinu pada A.

(d) Fungsi signum tidak kontinu di 0.

13

Page 14: Analisa Real 2

tidak ada di dalam . Oleh karena itu fungsi sgn tidak kontinu

di 0, meskipun sgn (0) terdefinisi.

(e) Misalkan A = dan f fungsi Dirichlet didefinisikan dengan

Fungsi f tak kontinu di setiap titik di dalam . (Fungsi ini dikenalkan oleh

P.G.L, Dirichlet pada Tahun 1829).

Jika rasional, maka terdapat barisan bilangan irrasional yang

konvergen ke . Eksistensi barisan ini dijamin oleh Teorema Kerapatan.

Karena untuk setiap n N, maka , sementara

. Oleh karena itu, tidak konvergen ke . Jadi f tidak

kontinu di bilangan rasional .

Di pihak lain, jika b bilangan irrasional, maka terdapat barisan bilangan

rasional sehingga konvergen ke b. Karena untuk setiap n

N, maka , sementara . Oleh karena itu, tidak

konvergen ke . Jadi f tidak kontinu di bilangan irrasional b.

Karena setiap bilangan real adalah rasional atau irrasional, maka

disimpulkan bahwa f tidak kontinu di setiap titik dari .

(f) Misalkan Untuk sebarang bilangan irrasional didefinisikan

dengan . Untuk bilangan rasional di dalam A, m dan n

relatif prima, didefinisikan dengan . Fungsi h kontinu di setiap

bilangan irrasional di dalam A, dan tak kontinu di setiap bilangan rasional di

dalam A. (Fungsi ini dikenalkan oleh K.J. Thomae pada Tahun 1875).

Jika rasional, maka terdapat barisan bilangan irrasional di dalam A

yang konvergen ke . Karena , sementara , maka h

tidak kontinu di .

Di pihak lain, jika b bilangan irrasional dan , maka (dengan Sifat

Archimides) terdapat bilangan asli sehingga . Terdapat berhingga

bilangan rasional dengan penyebut yang lebih kecil dari K di dalam interval

. Akibatnya dapat dipilih yang kecil sehingga persekitaran

14

Page 15: Analisa Real 2

yang tidak memuat bilangan rasional dengan penyebut lebih

kecil dari . Oleh karena itu, untuk , berlaku

.

Jadi Fungsi Thomae h kontinu di bilangan irrasional b.

Catatan

(a) Kadang suatu fungsi f : A tidak kontinu di c, dikarenakan ia tidak

terdefinisi di c. Akan tetapi, jika fungsi f mempunyai limit L di titik c,

maka dapat didefinisikan F pada dengan

yang kontinu di c.

(b) Jika fungsi g : A tidak mempunyai limit di c, maka tidak dapat

dibentuk fungsi G pada yang kontinu di c dengan

mendefiniskan

Untuk meyakini ini, perhatikan bahwa jika ada dan sama

dengan C, maka harus ada dan sama dengan C juga.

E. Kombinasi dari Fungsi Kontinu

Teorema:

Misalkan A , f dan g fungsi pada A, dan b . Jika dan fungsi f

dan g kontinu di c, maka

(a) dan kontinu di c.

(b) Jika h : A kontinu di dan jika untuk setiap

maka hasil bagi kontinu di c.

Bukti: Jika bukan titik limit dari A, maka kesimpulan akan terbukti

dengan sendirinya. Oleh karena itu diasumsikan bahwa adalah titik limit

dari A.

(a) Karena f dan g kontinu di c, maka

15

Page 16: Analisa Real 2

Sehingga dengan Teorema 4.2.4(a) diperoleh

Jadi kontinu di c. Untuk yang lain dapat dibuktikan dengan cara

serupa.

(b) Karena maka Tetapi karena maka

dengan Teorema 4.2.4(b) diperoleh

Jadi kontinu di c.

Teorema:

Misalkan A , f, g fungsi kontinu pada A, dan b , maka

(a) dan kontinu pada A.

(b) Jika h : A kontinu pada A dan jika untuk setiap

maka hasil bagi kontinu pada A.

Contoh:

(a) Fungsi polinomial kontinu pada .

Misalkan untuk semua x . Dari

Contoh 4.2.5 (c) bahwa untuk sebarang c . Jadi

fungsi polinomial kontinu pada .

(b) Fungsi rasional.

Jika p dan q fungsi polinomial pada , maka terdapat berhingga bilangan

akar real dari q. Jika , maka . Akibatnya

dapat didefinisikan fungsi rasional r dengan

untuk .

Jika , maka

.

16

Page 17: Analisa Real 2

Dengan kata lain, r kontinu di c. Karena c sebarang bilangan real yang

bukan akar dari q, kita simpulkan bahwa fungsi rasional kontinu di

setiap bilangan untuk mana ia terdefinisi.

(c) Fungsi sinus kontinu pada .

Dalam pelajaran kalkulus untuk x, y, z , diperoleh

, ,

.

Sehingga, jika c , maka

.

Oleh karena itu sin kontinu di c. Karena c sebarang, maka sin

kontinu pada .

(d) Fungsi cosinus kontinu pada .

Untuk x, y, z , berlaku

, ,

cos x – cos y = .

Sehingga, jika c , maka

.

Oleh karena itu cos kontinu di c. Karena c sebarang, maka cos

kontinu pada .

(e) Fungsi tan, cot, sec, csc adalah fungsi-fungsi kontinu dimana ia

terdefinisi.

Sebagai contoh, fungsi tangen yang didefinisikan dengan

apabila (yaitu apabila x ≠/2 + n, n N). Karena sin dan cos

kontinu pada , maka fungsi tan kontinu pada domainnya.

Teorema:

Misalkan A R, f : A dan didefiniskan , untuk

(a) Jika f kontinu di , maka kontinu di

17

Page 18: Analisa Real 2

(b) Jika f kontinu pada A maka kontinu pada A.

Teorema:

Misalkan A , f : A dan untuk semua Selanjutnya

misalkan didefinisikan sebagai untuk

(a) Jika f kontinu di , maka kontinu di

(b) Jika f kontinu pada A maka kontinu pada A.

F. Komposisi dari Fungsi Kontinu

Berikutnya akan ditunjukkan, jika fungsi f : A kontinu di titik c dan jika

g : B kontinu di maka komposisi juga kontinu di c,

dengan syarat

Teorema:

Misalkan A, B , dan misalkan f : A dan g : B adalah fungsi-

fungsi dengan Jika f kontinu di dan g kontinu di

maka fungsi komposisi : A juga kontinu di c.

Bukti: Diberikan sebarang . Misalkan W adalah persekitaran

Karena g kontinu di b, maka terdapat sehingga jika , ,

maka

.

Karena f kontinu di c, maka untuk di atas terdapat sehingga untuk

, , berlaku

.

Dengan kondisi terakhir ini dan (5.2) berlaku . Jadi, jika

, , maka dipenuhi

.

Karena sebarang, maka kontinu di c.

18

Page 19: Analisa Real 2

Teorema:

Misalkan A, B , misalkan f : A kontinu pada A dan g : B

kontinu pada B. Jika maka fungsi komposisi : A kontinu

pada A.

Contoh:

(a) Misalkan untuk x .

Dengan Ketaksamaan Segitiga

untuk semua x, c . Jadi, kontinu di c . Jika f : A sebarang

fungsi kontinu pada A, maka menurut Teorema 5.2.8 menyatakan bahwa

kontinu pada A. Hasil ini memberikan bukti alternatif dari

Teorema 5.2.5.

(b) Misalkan untuk .

Mudah difahami bahwa kontinu di sebarang . Jika f : A

sebarang fungsi kontinu pada A dan untuk semua , maka

menurut Teorema 5.2.8 menyatakan bahwa kontinu pada A.

Hasil ini memberikan bukti alternatif dari Teorema 5.2.6.

(c) Misalkan untuk x .

Pada Contoh 5.2.3 (c) telah ditunjukkan bahwa kontinu pada . Jika f :

A kontinu pada A, maka menurut Teorema 5.2.8 menyatakan bahwa

kontinu pada A.

Khususnya, jika untuk , maka fungsi

kontinu di setiap titik . Lihat kembali Contoh 5.1.6 (a).

G. Fungsi Kontinu pada Interval

Definisi:

Fungsi f : A dikatakan terbatas pada A jika terdapat konstanta

sehingga untuk semua Dengan kata lain, suatu fungsi

dikatakan terbatas jika jangkauannya terbatas di dalam .

Teorema (Teorema Keterbatasan):

19

Page 20: Analisa Real 2

Misalkan interval tertutup terbatas dan misalkan f : I . Jika f

kontinu pada I, maka f terbatas pada I.

Bukti: Andaikan f tidak terbatas pada I, maka untuk sebarang n N terdapat

bilangan sehingga Karena I terbatas maka barisan

terbatas. Oleh karena itu dengan Teorema Bolzano Weierstrass akan terdapat

subbarisan yang konvergen ke bilangan real x. Karena I tertutup dan

anggota dari berada di dalam I, maka diperoleh Oleh karena f

kontinu di c, maka konvergen ke . Selanjutnya dari Teorema di

atas disimpulkan bahwa barisan terbatas. Tetapi hal ini kontradiksi

karena

, r .

Jadi pengandaian harus diingkari menjadi f terbatas pada I.

Definisi:

Misalkan A , f : A . Fungsi f dikatakan mempunyai maksimum

mutlak pada A jika terdapat titik sehingga

dan f dikatakan mempunyai minimum mutlak jika terdapat titik

sehingga

Selanjutnya disebut titik maksimum mutlak bagi f pada A dan titik

minimum mutlak bagi f pada A.

Teorema (Teorema Maksimum-Minimum):

Jika interval tertutup terbatas dan f : A kontinu pada I, maka f

mempunyai maksimum mutlak dan minimum mutlak pada I.

Bukti: Perhatikan himpunan yang merupakan jangkuan

dari f pada I. Pada Teorema sebelumnya telah ditunjukkan bahwa

himpunan terbatas. Misalkan dan Akan ditunjukkan

bahwa terdapat titik dan sehingga dan Akan

ditunjukkan eksistensi dari , sedangkan eksistensi dari ditinggalkan

sebagai latihan bagi pembaca.

20

Page 21: Analisa Real 2

Karena maka s* - 1/n untuk n N bukan batas atas bagi .

Akibatnya terdapat bilangan sehingga

s* - < f(xn) ≤ s* untuk n N

Karena I terbatas maka barisan terbatas. Oleh karena itu dengan

Teorema Bolzano-Weierstrass terdapat subbarisan yang konvergen

ke bilangan . Karena anggota dari berada di dalam I, maka diperoleh

bahwa Tetapi karena f kontinu di , maka .

Akibatnya diperoleh

s* - < f( ) ≤ s* untuk r N.

Dengan Teorema Apit 3.2.6, disimpulkan bahwa . Jadi

diperoleh

yang berarti bahwa adalah titik maksimum mutlak dari f pada I.

Selanjutnya akan diberikan sebuah teorema yang memberikan cara mencari

akar-akar dari fungsi kontinu.

Teorema (Teorema Akar):

Misalkan I adalah interval dan f : I kontinu pada I. Jika adalah

bilangan-bilangan di dalam I sehingga , maka terdapat bilangan

sehingga

Bukti: Misalkan . Misalkan dan . Jika

, maka diambil dan bukti selesai. Jika , maka diambil

, sementara jika , maka diambil . Dalam

kedua kasus jika , maka dan . Proses biseksi ini

diteruskan.

21

Page 22: Analisa Real 2

Misalkan interval-interval yang ditentukan dengan proses

biseksi sehingga dan . Misalkan . Jika

, maka diambil dan bukti selesai. Jika diambil

, sementara jika diambil . Dalam

hal ini jika , maka

dan .

Jika proses berakhir dengan melokalisasi titik sehingga , bukti

selesai. Jika proses belum berakhir, kita peroleh barisan interval tersarang

, n N. Karena interval-interval ini ditentukan dengan cara

biseksi, maka . Akibatnya dengan Sifat Interval Tersarang

terdapat titik c sehingga untuk semua n N. Karena untuk

semua n N, maka

dan .

Hal ini memberikan . Karena f kontinu di c, maka

.

Di pihak lain, karena untuk semua n N, maka

. Juga karena untuk semua n N, maka

. Dari kedua hal ini, maka haruslah

Teorema (Teorema Nilai Antara Bolzano):

Misalkan I interval dan f : I kontinu pada I. Jika dan k

memenuhi maka terdapat titik yang terletak di antara a

dan b sehingga

Bukti: Jika dan , maka . Dengan Teorema

5.3.5 terdapat bilangan c dengan sehingga , atau

Tetapi jika ambil sehingga . Akibatnya

terdapat titik c dengan sehingga , yang berarti

22

Page 23: Analisa Real 2

Teorema:

Jika I interval tertutup terbatas dan f : I kontinu pada I, maka himpunan

juga merupakan interval tertutup terbatas.

Bukti: Misalkan dan maka dari Teorema 5.3.4, m

dan M berada di dalam Lebih lanjut,

Sebaliknya, jika k adalah sebarang anggota dari maka akan terdapat

titik sehingga Jadi, Karena k sebarang, maka dapat

disimpulkan bahwa Dari kedua ketaksamaan yang diperoleh

tersebut, dapat disimpulkan bahwa yang berarti bahwa

juga merupakan interval tertutup terbatas.

Catatan: Jika interval dan f : I kontinu pada I, maka telah

dibuktikan bahwa adalah interval . Tetapi dalam hal ini tidak

selalu interval .

BAB IIIDIFERENSIASI

A. Derivatif

Definisi:

Misalkan I adalah interval, fungsi f : I , dan Bilangan real L

dikatakan derivatif dari f di c jika diberikan sebarang bilangan terdapat

bilangan sehingga untuk setiap dengan

berlaku

Dalam hal ini dikatakan bahwa f diferensiabel di c, dan L ditulis dengan

.

23

Page 24: Analisa Real 2

Dengan kata lain, derivatif dari f di c diberikan oleh limit

asalkan limitnya ada. Sebagai akibat ketunggalan limit fungsi, maka derivatif

(jika ada) dari fungsi di suatu titik adalah tunggal.

Catatan: Domain fungsi f tidak harus berupa interval (karena titik c yang

diperlukan hanyalah elemen dari domain yang sekaligus titik limit dari domain

tersebut). Hanya saja, akan lebih mudah bagi pembaca untuk memahami

pengertian derivatif pada fungsi yang terdefinisi pada interval. Oleh karena itu,

pembahasan dibatasi pada fungsi yang demikian.

Contoh:

(a) Jika untuk x , maka untuk setiap c ,

.

Dalam hal ini, fungsi terdefinisi pada dan untuk x .

(b) Fungsi diferensiabel di 0 dengan

.

(c) Jika , x , maka h tidak diferensiabel di 0. Karena untuk

,

sehingga tidak ada.

Sekarang ditunjukkan bahwa kekontinuan dari f di titik c adalah syarat perlu

(tetapi bukan syarat cukup) bagi eksistensi derivatif dari f di c.

Teorema:

Jika fungsi f : I diferensiabel di , maka f kontinu di titik c.

Bukti: Untuk sebarang , , diperoleh

24

Page 25: Analisa Real 2

.

Karena ada, maka dengan mengaplikasikan teorema perkalian limit

diperoleh

.

Jadi , sehingga f kontinu di c.

Kekontinuan fungsi di suatu titik tidak menjamin eksistensi derivatif fungsi di

titik tersebut. Sebagai contoh, fungsi h kontinu di titik 0 tetapi h tidak

diferensiabel di titik tersebut. Jadi, kekontinuan fungsi di suatu titik, bukan

syarat cukup agar fungsi tersebut diferensiabel di titik tersebut.

Terdapat beberapa sifat-sifat dasar dari derivatif yang sangat berguna dalam

menghitung derivatif dari berbagai kombinasi fungsi. Sekarang akan diberikan

justifikasi dari sifat-sifat dasar tersebut yang akan dikenal bagi mahasiswa

tingkat awal.

Teorema:

Jika I adalah interval, , dan fungsi f, g : I , adalah fungsi-

fungsi yang diferensiabel di c, maka

(a) Jika , maka fungsi diferensiabel di c dan

,

(b) Fungsi diferensiabel di c dan

,

(c) (Aturan perkalian) Fungsi diferensiabel di c dan

,

(d)(Aturan pembagian) Jika , maka fungsi diferensiabel di c, dan

.

Bukti:

(c ) Misalkan , untuk , diperoleh

25

Page 26: Analisa Real 2

Karena g kontinu di c, dengan Teorema 6.1.3, maka .

Karena f dan g diferensiabel di c, dari teorema limit perkalian fungsi,

disimpulkan bahwa

Jadi diferensiabel di c dan persamaan (6.5) dipenuhi.

(d) Misalkan . Karena g diferensiabel di c, maka g kontinu di c.

Karena , maka terdapat interval dengan sehingga

untuk setiap . Untuk , , diperoleh

Dengan memanfaatkan kekontinuan dari g di c dan bahwa f dan g

diferensiabel di c, disimpulkan bahwa

Dengan induksi matematika teorema di atas dapat dikembangkan aturan

diferensiasi berikut.

Jika adalah fungsi-fungsi dari interval I ke yang diferensiabel di

c, maka

(a) Fungsi diferensiabel di c, dan

,

(b) Fungsi diferensiabel di c, dan

26

Page 27: Analisa Real 2

Khususnya, jika maka

Catatan:

Jika I adalah interval dan fungsi f : I , kita telah memperkenalkan

notasi untuk menyatakan fungsi yang domainnya adalah subset dari I dan

nilainya di titik c adalah derivatif dari f di titik c. Ada notasi lain yang

kadang-kadang digunakan untuk ; sebagai contoh, ada yang menulis Df

untuk .Oleh karena itu,

, D(fg) = (Df).g + f.(Dg)

Ketika x adalah variabel bebas, dalam perkuliahan awal, pada umumnya

ditulis . Sehingga

.

B. Aturan Rantai

Teorema diferensiasi pada fungsi komposisi berikut dikenal sebagai “Aturan

Rantai”. Teorema ini memberikan bentuk derivatif dari fungsi komposisi .

Jika f diferensiabel di c dan g diferensiabel di , maka akan ditunjukkan

bahwa derivatif dari fungsi komposisi di c adalah ( )(c) = (

). Dalam hal ini dapat ditulis dengan

.

Ide dari aturan rantai didapat dari pengamatan bahwa

.

27

Page 28: Analisa Real 2

Tetapi sayangnya faktor pertama dalam perkalian di atas dapat saja tidak

terdefinisi, yaitu pada saat penyebutnya bernilai 0 untuk nilai dari

x yang mendekati c dan hal ini merupakan suatu permasalahan. Hasil berikut

akan mengatasi masalah tersebut.

Teorema (Aturan Rantai):

Misalkan I, J adalah interval-interval di dalam R, g : I dan  f : J

. Jika f diferensiabel di dan g diferensiabel di , maka fungsi

komposisi diferensiabel di c dan

Bukti: Misalkan d = f(c) dan G didefinisikan pada I dengan

Karena g diferensiabel di d, maka diperoleh . Jadi, G

juga kontinu di d. Sekarang, karena f kontinu di c dan dari teorema

komposisi fungsi kontinu, maka kontinu di c, yaitu

.

Selanjutnya dari definisi G diperoleh bahwa

untuk setiap .

Oleh karena itu, jika diperoleh

Akibatnya diperoleh:

.

Jadi, diferensiabel di cI.

Jika g diferensiabel pada I dan f diferensiabel pada J, maka dengan Aturan

rantai diperoleh , yang juga dapat ditulis sebagai

.

Contoh:

28

Page 29: Analisa Real 2

(a) Jika f : I diferensiabel pada I dan untuk y , n N,

maka Sehingga dengan Aturan rantai diperoleh

untuk Oleh karena itu diperoleh untuk

semua

(b) Misalkan f : I diferensiabel pada I, ,dan untuk

Jika untuk , maka , . Sehingga

diperoleh

untuk

(c) Jika dan untuk x , maka

dan untuk x . Dengan menggunakan fakta ini dan

definisi

untuk x ≠ (2k + 1), k N, maka dengan mengaplikasikan Aturan Pembagian,

diperoleh

dan

untuk x ≠ (2k + 1), k N.

C. Fungsi Invers

Teorema:

Misalkan I adalah interval dan fungsi f : I monoton murni dan

kontinu pada I. Misalkan dan g : J monoton murni dan

merupakan fungsi invers kontinu dari f. Jika f diferensiabel di dan

, maka g diferensiabel di , dan

29

Page 30: Analisa Real 2

Bukti: Untuk didefinisikan

Karena g : J monoton murni, maka untuk dengan

, sehingga H well-defined pada J. Juga karena , maka

diperoleh

,

sehingga untuk .

Akan dibuktikan bahwa . Diberikan sebarang . Karena f

diferensiabel di , maka terdapat sehingga untuk

, berlaku

.

Tetapi karena g kontinu di , maka untuk di atas, terdapat

sehingga untuk berlaku

.

Karena g satu-satu dan , diperoleh untuk

. Hal ini mengakibatkan

apabila . Karena sebarang, maka .

Tetapi, telah diketahui sebelumnya bahwa untuk .

Karena

untuk , maka disimpulkan bahwa

Jadi, ada dan nilainya sama dengan

30

Page 31: Analisa Real 2

Teorema:

Misalkan I adalah interval dan fungsi f : I monoton murni pada I.

Misalkan dan g : J merupakan fungsi invers dari f. Jika f

diferensiabel pada I dan untuk , maka g diferensiabel pada J,

dan

Bukti: Jika f diferensiabel pada I, maka f kontinu pada I. Sehingga dengan

Teorema Invers Kontinu, fungsi invers g kontinu pada J.

Catatan: Jika f : I dan g : J fungsi-fungsi yang monoton murni.

Telah ditunjukkan bahwa jika untuk x I, maka g diferensiabel

pada J , maka:

untuk y J

atau dalam bentuk

untuk x I.

Dapat juga ditulis dalam bentuk g’(y) = 1/f’(x).

Contoh:

Misalkan n N bilangan genap, , dan untuk . Dapat

ditunjukkan bahwa f naik murni dan kontinu pada I, sehingga untuk

, fungsi invers juga merupakan fungsi naik murni dan

kontinu pada J. Lebih lanjut, diperoleh untuk . Akibatnya,

jika , maka ada, dan

.

Oleh karena itu dapat disimpulkan bahwa

untuk .

Tetapi, g tidak diferensiabel di 0.

31

Page 32: Analisa Real 2

BAB IVINTEGRAL RIEMANN

A. Jumlah Riemann

Misalkan sebuah fungsi f yang didefinisikan pada selang tertutup . pandang

suatu partisi p dari selang menjadi n selang bagian (tidak perlu panjangnya

sama) memakai titik-titik . andaikan . pada setiap selang, ambillah sebarang

titik, kita sebut sebagai titik sampel untuk suatu selang bagian ke-i. bentuklah

penjumlahan

Yang selanjutnya kita sebut sebagai jumlah Riemann untuk f yang berpadanan

dengan partisi P

B. Integral Tentu (Integral Reimann)Andaikan f suatu fungsi yang didefinisikan pada selang tutup . Jika ada

, kita katakan f adalah terintegralkan pada . Lebih

32

Page 33: Analisa Real 2

lanjut, disebut integral tentu (Integral Reimann) f dari a ke b,

diberikan oleh = .

C. Integral Tak Tentu

Manakala integral tertentu adalah sebuah bilangan yang besarnya ditentukan

dengan mengambil limit penjumlahan Riemann, yang diasosiasikan dengan

partisi interval tertutup yang norma partisinya mendekati nol, teorema dasar

kalkulus (lihat bagian bawah) menyatakan bahwa integral tertentu sebuah

fungsi kontinu dapat dihitung dengan mudah apabila kita dapat mencari

antiturunan/antiderivatif fungsi tersebut.

Apabila

Keseluruhan himpunan antiturunan/antiderivatif sebuah fungsi ƒ adalah

integral tak tentu ataupun primitif dari ƒ terhadap x dan dituliskan secara

matematis sebagai:

Ekspresi F(x) + C adalah antiderivatif umum ƒ dan C adalah konstanta

sembarang.

Misalkan terdapat sebuah fungsi , maka integral tak tentu ataupun

antiturunan dari fungsi tersebut adalah:

Perhatikan bahwa integral tertentu berbeda dengan integral tak tentu. Integral

tertentu dalam bentuk adalah sebuah bilangan, manakala integral

tak tentu : adalah sebuah fungsi yang memiliki tambahan konstanta

sembarang C.

D. Teorema Dasar Kalkulus

33

Page 34: Analisa Real 2

Teorema dasar kalkulus menyatakan bahwa turunan dan integral adalah dua

operasi yang saling berlawanan. Lebih tepatnya, teorema ini menghubungkan

nilai dari anti derivatif dengan integral tertentu. Karena lebih mudah

menghitung sebuah anti derivatif daripada menerapkan definisi integral

tertentu, teorema dasar kalkulus memberikan cara yang praktis dalam

menghitung integral tertentu.

Teorema dasar kalkulus menyatakan:

Jika sebuah fungsi f adalah kontinu pada interval [a,b] dan jika F adalah fungsi

yang mana turunannya adalah f pada interval (a,b), maka

Lebih lanjut, untuk setiap x di interval (a,b),

Sebagai contohnya apabila kita hendak menghitung nilai integral ,

daripada menggunakan definisi integral tertentu sebagai limit dari penjumlahan

Riemann (lihat bagian atas), kita dapat menggunakan teorema dasar kalkulus

dalam menghitung nilai integral tersebut. Anti derivatif dari fungsi

adalah . Oleh sebab itu, sesuai dengan teorema dasar kalkulus,

nilai dari integral tertentu adalah:

Apabila kita hendak mencari luas daerah A dibawah kurva y=x pada interval

[0,b], b>0, maka kita akan dapatkan:

Perhatikan bahwa hasil yang kita dapatkan dengan menggunakan teorema

dasar kalkulus ini adalah sama dengan hasil yang kita dapatkan dengan

34

Page 35: Analisa Real 2

menerapkan definisi integral tertentu (lihat bagian atas). Oleh karena lebih

praktis, teorema dasar kalkulus sering digunakan untuk mencari nilai integral

tertentu.

35