Analise Funcional: Uma introducao

Cleon S. Barroso

Universidade Federal do Ceara

EMALCA DA AMAZONIA 2009

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Escola de Matematica

da America Latina e do Caribe - 2009

UFAM

Introducao

O que e Analise Funcional? Essa e, sem duvida, uma boa pergunta e, como tantas outras,o conjunto das respostas e infinito. Informalmente, podemos dizer que trata-se de um tipo deanalise matematica sobre objetos de dimensao infinita. Mas, o que e um objeto de dimensaoinfinita? Tambem e uma pergunta com possibilidades enumeraveis de respostas. Escolhamosum foco para fixar as ideias. Em Algebra Linear, estudamos os espacos vetoriais e, em seguida,os espacos de dimensao finita. Nesse ambito, os ”objetos”, vetores, sao representaveis por umacombinacao linear finita. Assim, muito do que se faz em matematica (mensurar, comparar,classificar, caracterizar, provar a existencia de algo, etc.) pode ficar mais tratavel. Isso e bemrazoavel pois lidar com ”coisas”finitas e lidar com o controlavel, em princıpio. Entretanto, aoconsiderar, por exemplo, funcoes como vetores de um espaco vetorial, a ideia de representacaofinita perde o sentido. Por exemplo, sera que existe um subconjunto finito e linearmenteindependente do espaco C[0, 1] das funcoes contınuas no intervalo [0, 1] em que todas as funcoesdo espaco possam ser representadas por uma combinacao linear finita de seus elementos?Suponha que existisse tal conjunto, digamos B = f1, . . . , fn. Entao, C[0, 1] seria um espacovetorial de dimensao n, ou seja, dim

(C[0, 1]

)= n. Mas, o conjunto U = 1, t, t2, . . . , tn e um

conjunto L.I em C[0, 1]. Com efeito, se

λ0 · 1 + λ1t2 + · · ·+ λnt

n = 0,

entao da igualdade de polinomios segue-se que λ0, . . . , λn = 0. Dessa forma, C[0, 1] conteriaum subespaco de dimenao n+ 1, a saber, o espaco gerado por U . Contradicao.

Sob essa perspectiva, pode-se dizer que Analise Funcional e uma analise em espacos dedimensao infinita. De um modo geral, em um modo simples de dizer, trata-se de uma das areasmais fascinantes da Matematica. Alem de sua propria importancia teorica, como sendo umageneralizacao natural da Algebra Linear Classica, por exemplo, ela destaca-se por desempenharum papel crucial nos mais diversos ramos da Matematica como Analise Nao-Linear, Teoria doControle, Otimizacao, EDP’s e sobre tudo na moderna Teoria dos Espacos de Banach.

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O objetivo do presente texto, escrito especificamente para a EMALCA da Amazonia 2009- Escola de Matematica da Americana Latina e do Caribe, e apresentar de forma introdutoriao curso de Analise Funcional como uma analise matematica em espacos de dimensao infinita.O texto tem como publico-alvo estudantes do final da graduacao e inıcio do mestrado. Naescolha dos temas a serem tratados aqui, esbocamos uma tentativa de econtrar um equilıbrioentre o vasto espectro de assuntos que merecem ser abordados, os varios pontos de vistas,classicos e modernos, e o desafio de cumprir com a missao em um curto espaco de tempo. Paratanto, optamos por uma abordagem que vai na direcao de enfatizar as nuances topologicas quesurgem ao passar do finito para o infinito.

No Capıtulo 1, dedicamos atencao especial aos conceitos basicos da Algebra Linear comoespacos vetoriais, subspacos, bases, e dimensao. No Capıtulo 2, fazemos uma introducao aosespacos normados com enfase aos espacos de Banach. O Capıtulo 3, dedica-se a uma re-visao dos conceitos basicos de topologia geral focados nos espacos metricos. Os tres capıtulossubsequentes sao os principais capıtulos do texto. No Capıtulo 4, estudamos o Teorema deHahn-Banach, uma das principais ferramenta da Analise funcional. Estudamos tambem variasde suas consequencias. No Capıtulo 5, introduzimos a nocao de topologia fraca em espacosde Banach e fazemos um esboco comparativo entre ela e a topologia da norma (tambem con-hecida como topologia forte). O Capıtulo 6, dedica-se ao estudo de algumas das propriedadestopologicas dos espacos de Banach sob a otica da topologia fraca.

Gostaria de externar meus sinceros agradecimentos ao Professor Marcelo Viana pelo conviteao desafio de ministrar esse curso. De um modo geral, agradecer tambem aos organizadoresdo evento, em particular ao Professor Cicero Mota pelo constante apoio e motivacao e aoProfessor Leonardo Mora pela exemplar conduta das atividades. Varias pessoas tambem foramfundamentais durante a escrita desse trabalho. Entre elas, a nutricionista Adriane GuimaraesBarroso, meus dois amados filhos, Marco Antonio M. Barroso e Abner Montenegro Barroso,e os Professores Aldemir Oliveira e Flavia Morgana pelo carinho e apreco demonstrados deforma ımpar durante minha estada no Rio de Janeiro, onde parte desse trabalho foi escrita.Muito obrigado por tudo.

Conteudo

1 Algebra Linear - Uma abordagem infinito-dimensional 9

1.1 Espacos Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.1.1 Exemplos de Espacos Vetoriais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.2 Bases Algebricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.3 Funcionais Lineares - Dual Algebrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.4 Aplicacoes Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.5 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2 Espacos Normados 23

2.1 Exemplos de Espacos Normados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.1.1 Desigualdades Classicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.2 Convergencia em Espacos Normados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.3 Dual de um espaco normado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.4 Aplicacoes Lineares em Espacos Normados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.4.1 Dual de Espacos de Sequencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.5 Espacos de Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.5.1 Exemplos de Espacos de Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.5.2 Espacos com Produto Interno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.6 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

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3 Nocoes de Topologia Geral 33

3.1 Espacos Topologicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.2 Continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.3 Construindo Topologias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.3.1 Topologia Induzida em Subconjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.3.2 Topologia Induzida por Bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.3.3 Topologia induzida por uma famılia de funcoes . . . . . . . . . . . . . . 35

3.3.4 Topologia Produto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.4 Espacos Metricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.5 Convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.6 Pontos Interiores e Conjuntos Fechados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.7 Compacidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.7.1 Alguns Resultados de Compacidade em Dimensao Infinita . . . . . . . . 41

3.7.2 A Propriedade da Intersecao Finita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.8 Comparando Topologias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.9 Topologias Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.10 Metrizabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.10.1 Primeiro Axioma da Enumerabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.11 Separabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.12 Teorema de Baire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.13 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4 Teorema de Hahn-Banach 45

4.1 Solucao do Problema da Extensao de Funcionais . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

4.2 Consequencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

4.3 Versao Geometrica do Teorema de Hahn-Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

4.3.1 Hiperplanos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

4.3.2 Funcional de Minkowski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

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4.3.3 A Forma Geometrica do THB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

5 Topologias Fracas 53

5.1 Teorema de Riesz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

5.2 Definicao de Topologia Fraca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

5.2.1 Propriedades da Topologia Fraca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

5.3 Definicao de Topologia Fraca* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

5.3.1 Propriedades da Topologia fraca* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

5.3.2 Teorema de Banach-Alaoglu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

6 Reflexividade 59

6.1 Injecao Canonica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

6.1.1 Teorema de Goldstine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

6.1.2 Caracterizacao de Espacos Reflexivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

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Capıtulo 1

Algebra Linear - Uma abordagem

infinito-dimensional

1.1 Espacos Vetoriais

Um espaco vetorial sobre o corpo dos numeros reais R e um conjunto nao-vazio X, cujoselementos sao chamados de vetores, munido de duas operacoes chamadas adicao e produto porescalar, respectivamente. A adicao, simbolizada por ”+”, associa a cada par (x, y) do conjuntocarteziano X ×X um novo elemento em X, indicado por x + y, chamado soma de x com y.O produto por escalar, simbolizado por ” · ”, associa a cada par (λ, x) do produto cartezianoR×X um novo elemento em X, indicado por λ ·x, chamado o produto do escalar λ pelo vetorx. Alem disso, tais operacoes gozam das seguintes propriedades:

Adicao. Para quaisquer x, y ∈ X tem-se:

(a1) (Comutatividade): x+ y = y + x;

(a2) (Associatividade): x+ (y + z) = (x+ y) + z;

(a3) (Elemento Neutro): Existe um elemento x∗ ∈ X tal que x+ x∗ = x, ∀x ∈ X;

(a4) (Elemento inverso): Para cada x ∈ X, existe x ∈ X tal que x+ x = x∗.

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Produto por Escalar. Para quaisquer x, y ∈ X e λ, µ ∈ R, tem-se:

(p1) (Distributividade): λ · (x+ y) = λ · x+ λ · y e (λ+ µ) · x = λ · x+ µ · x;

(p2) (Associatividade): λ · (µ · x) = (λµ) · x;

(p3) (Elemento Neutro): Para cada x ∈ X, tem-se 1 · x = x onde 1 ∈ R;

Doravante, usaremos a expressao ”espaco vetorial”tao somente para designar um espacovetorial sobre o corpo dos reais. Tambem, por simplicidade notacional, usaremos a notacao”λx” em vez de ”λ · x”, sempre que λ ∈ R e x ∈ X.

Proposicao 1.1.1 Em um espaco vetorial X valem as seguintes propriedades:

(a) O elemento neutro da adicao e unico;

(b) O elemento inverso da adicao e unico.

Prova. (a) Com efeito, se existe um outro elemento em X, digamos N , tal que x + N = x

para todo x ∈ X, entao x∗ = x∗ + N = N + x∗ = N . (b) De fato, suponha que para cadax ∈ X, exista um outro x′ ∈ X tal que x + x′ = x∗. Entao, x = x + x∗ = x + (x + x′) =(x+ x) + x′ = (x+ x) + x′ = x∗ + x′ = x′ + x∗ = x′.

O leitor podera encontrar na literatura [3] uma boa referencia onde as propriedades acimae outras mais sao demonstradas.

Definicao 1.1.2 Um subconjunto nao-vazio Y de um espaco vetorial X e dito ser um sub-espaco de X quando munido com as operacoes de adicao e multiplicacao do espaco X eleproprio constituir um espaco vetorial.

E bem conhecido, para que um subconjunto Y de um espaco vetorial X seja um subespacovetorial e necessario, e suficiente, que a seguinte propriedade seja verificada:

x+ λy ∈ Y, para todo x, y ∈ Y e λ ∈ R.

Deste modo, as operacoes de adicao de vetores e multiplicacao por escalar quando restritas aosconjuntos Y ×Y e R×Y , respectivamente, possuem em comum como contradomınio o proprioconjunto Y . Na circunstancia, dizemos que Y e fechado em relacao a essas operacoes.

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1.1.1 Exemplos de Espacos Vetoriais.

(a) Fixado um natural n ∈ N, defina o espaco euclidiano Rn como o seguinte conjuntocarteziano:

Rn = x = (x1, x2, . . . , xn) : xi ∈ R

As operacoes de adicao e produto por escalar sao definidas do seguinte modo natural:

x+ y : = (x1 + y1, x2 + y2, . . . , xn + yn), e

λ · x : = (λx1, . . . , λxn).

(b) O conjunto dos numeros complexos C e um espaco vetorial com as operacoes usuais deadicao e multiplicacao de numeros complexos.

(c) Seja X um conjunto nao-vazio. O conjunto F(X) de todas a funcoes reais f : X → R eum espaco vetorial com as operacoes usuais de adicao e multiplicacao de funcoes.

(d) O conjunto Pn[0, 1] de todos as funcoes polinomiais de grau ≤ n definidas no intervalo[0, 1]:

p(x) = anxn + an−1x

n−1 + . . . a1x+ a0,

munido com as operacoes usuais entre polinomios e um espaco vetorial.

(e) O conjunto C[0, 1] das funcoes contınuas no intervalo [0, 1].

O exemplo (a) acima ensina-nos uma das varias formas de como proceder na construcaode espacos vetoriais. Com efeito, se X e Y sao espacos vetoriais arbitrarios, entao podemosintroduzir uma estrutura de espaco vetorial no conjunto carteziano X × Y da mesma formaque foi feito com o espaco Rn. Para tanto, basta definir a adicao entre dois vetores (e1, f1) e(e2, f2) arbitrarios de X × Y como sendo o vetor (e1 + e2, f1 + f2). Analogamente, o produtopor escalar e definido por λ · (e, f) : = (λe, λf).

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1.2 Bases Algebricas

Seja X um espaco vetorial.

Definicao 1.2.1 Seja v1, . . . , vn uma colecao finita de vetores em X. Uma combinacaolinear desses vetores e um vetor da forma

x = α1v1 + · · ·+ αnvn,

com α1, . . . , αn ∈ R.

Definicao 1.2.2 (i) Uma colecao finita de vetores v1, . . . , vn em X e dita ser linearmenteindependente quando

λ1v1 + · · ·+ λnvn = 0,

implicar que λ1 = λ2 = · · · = λn = 0.

(ii) Um conjunto infinito U contido em X e dito linearmente independente quando nenhumde seus elementos puder ser escrito como combinacao linear de um numero finito devetores de U .

Assim, para que U seja linearmente independente e necessario e suficiente que a seguintecondicao se verifique: Dada uma quantidade n de vetores distintos x1, x2, . . . , xn em U eescalares λ1, . . . , λn tais que:

λ1x1 + λ2x2 + · · ·+ λnxn = 0,

entao deve ocorrer que λ1 = λ2 = · · · = λn = 0.

Doravante, a notacao L.I. indicara a frase ”linearmente independente”.

Definicao 1.2.3 Um conjunto nao-vazio B ⊂ X e dito ser uma base de Hamel para o espacoX quando B for um conjunto linearmente independente maximal, ou seja, se u e um vetor emX tal que B ∪ u e um conjunto L.I., entao u ∈ B. Em outras palavras, B e uma base deHamel quando nao for subconjunto proprio de nenhum outro conjunto L.I em X.

Definicao 1.2.4 Seja A um subconjunto de um espaco vetorial X. O espaco gerado por A,denotado por 〈A〉, e o conjunto de todas as combinacoes lineares de finitos vetores de A, ouseja,

〈A〉 = m∑j=1

λjvj∣∣ m ∈ N, λi ∈ R, vj ∈ A

.

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Daqui em diante, a menos que seja dito em contrario, nos referiremos a uma base de Hamelsimplesmente como base. Ressaltamos que a partir da nocao de base e possıvel determinartodos os elementos de um espaco vetorial, haja vista que qualquer vetor x em X pode serexpresso como uma combinacao linear de uma quantidade finita de vetores de B. Alem doque, conforme pode ser verificado facilmente tal expressao e unica. Neste caso, de acordo coma Definicao 1.2.4, segue-se que B gera o espaco X, ou que X e gerado pela base B.

Portanto, cabe aqui a seguinte indagacao:

Problema. Dado um espaco vetorial X qualquer, sempre existe uma base para X?

A resposta a essa questao, conhecida como o problema de existencia de bases, e positiva.A seguir, faremos uma pequena pausa para estudarmos algumas nocoes basicas que nos con-duzirao a compreensao de uma ferramenta que sera usada de forma decisiva na solucao desseproblema.

Relacao de Ordem. Uma ordem parcial em um conjunto nao-vazio A e uma relacao entrepares de elementos de A , genericamente representada pelo sımbolo ≤, que caracteriza-se porcumprir a tres propriedades, a saber:

(i) x ≤ x,

(ii) Se x ≤ y e y ≤ z, entao x ≤ z,

(iii) Se x ≤ y e y ≤ x, entao x = y,

para quaisquer x, y e z em A .

Indica-se com a notacao (A ,≤) um conjunto A munido com uma ordem parcial≤. Dizemosneste caso que A e um conjunto parcialmente ordenado. Dizemos ainda que (A ,≤) e umconjunto totalmente ordenado se dados quaisquer a, b ∈ A pudermos verificar que ou a ≤ b,ou b ≤ a. Agora, seja M um subconjunto de um conjunto parcialmente ordenado A . Umelemento a ∈ A e dito ser uma cota superior paraM quando x ≤ a para todo x ∈M. No casoem que isso se verifica com a ∈ M, dizemos que a e um elemento maximal para M (segundoa relacao ≤).

O proximo resultado e de fundamental importancia para o desenvolvimento da teoria.

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Lema 1.2.5 (Lema de Zorn) Seja (A ,≤) um conjunto parcialmente ordenado. Suponha quetodo subconjunto nao-vazio e totalmente ordenado M de A possui uma cota superior em A .Entao A possui um elemento maximal.

O seguinte resultado nos diz que um conjunto L.I. em um espaco vetorial pode ser com-pletado a uma base para o espaco X.

Teorema 1.2.6 Seja U um conjunto linearmente independente em um espaco vetorial X.Entao, existe uma base B em X tal que U ⊂ B.

Prova. Seja C o conjunto de todas os subconjuntos linearmente independentes C de X taisque U ⊂ C. Naturalmente C e nao-vazio pois U ∈ C . Vamos definir uma ordem parcial emC : Dados C1, C2 ∈ C , dizemos que C1 ≤ C2 se tivermos C1 ⊂ C2. Pelo Lema de Zorn, C

possui um elemento maximal que o indicaremos por B. Portanto, B e um conjunto linearmenteindependente maximal, ou seja, uma base para X contendo U .

Como uma simples aplicacao deste resultado, obtemos a seguinte caracterizacao de basesem termos de geracao de espacos vetoriais.

Proposicao 1.2.7 Seja U um subconjunto de um espaco vetorial X. Entao, U e uma basepara X se, e somente se, U e L.I. e gera o espaco X, ou seja, X = 〈U〉.

Prova. Exercıcio.

O resultado a seguir resolve de uma vez por todas o problema da existencia de bases.

Proposicao 1.2.8 Todo espaco vetorial possui um base de Hamel.

Prova. Seja X um espaco vetorial. Se X for gerado por um unico vetor nao-nulo u ∈ X,entao o conjunto B = u e uma base para E. Assim, podemos supor que existem ao menosdois vetores nao-nulos u, v ∈ E que sao L.I.. Considere o conjunto U = u, v. Pelo Teorema1.2.6, X possui uma base B que contem U . Isso conclui a prova do resultado.

Definicao 1.2.9 Um espaco vetorial X e dito ser finito-dimensional se ele possui uma basefinita. Do contrario, ele e dito ser infinito-dimensional.

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Se X possui uma base finita, digamos com n vetores, entao dizemos que a dimensao deX e n e escrevemos dim(X) = n. Se X e infinito-dimensional, entao simbolizamos isso pordim(X) = ∞. Antes de prosseguirmos, lembremos que dois conjuntos nao-vazios sao ditosterem a mesma cardinalidade quando existe uma bijecao entre eles. O proximo resultado,conhecido como o teorema da dimensao, estabelece uma caracterizacao importante sobre basesem termos de cardinalidade.

Teorema 1.2.10 (Teorema da Dimensao) Duas bases em um espaco vetorial possuem a mesmacardinalidade.

Prova. Sejam B1 e B2 bases de um espaco vetorial E. Vamos mostrar que existe uma funcaoinjetiva ψ : B1 → B2.

Etapa 1. Considere o conjunto A formado por todas as funcoes injetivas ϕ cujo domınio Dϕ

e um subconjunto de B1, a imagem Rϕ e um subconjunto de B2, e que a uniao Rϕ ∪(B1 \Dϕ

)seja um conjunto L.I.. Consideremos em A a seguinte ordem parcial: ϕ1 ≤ ϕ2 desde queDϕ1 ⊂ Dϕ2 e que ϕ2 restrita a Dϕ1 seja identica a ϕ1. Seja M um subconjunto nao-vazio etotalmente ordenado de A . Entao, definindo D0 = ∪ϕ∈MDϕ e ϕ0 : D0 → B2 pondo ϕ0(x) =ϕ(x) se x ∈ Dϕ, concluimos a partir da hipotese queM e totalmente ordenado que ϕ0 pertencea A e, de fato, e uma cota superior para M. Sendo assim, pelo Lema de Zorn o conjunto A

possui um elemento maximal que o representaremos por ψ : Dψ → B2.

Etapa 2. Afirmamos agora que Dψ = B1. Suponhamos por contradicao que isso nao ocorre,ou seja, que Dψ e um subconjunto proprio de B1. Entao, segue-se daı que Rψ tambem e umsubconjunto proprio de B2 pois do contrario terıamos que o conjunto Rψ ∪

(B1 \ Dψ

)seria

linearmente independente, o que contrariria a definicao de base para B2.

Seja agora y ∈ B2\Rψ arbitrario. Entao, ou y e linearmente independente de Rψ∪(B1\Dψ

)ou nao. No primeiro caso, escolhemos um vetor arbitrario x ∈ B1 \Dψ e definimos a estensaoψ : Dψ ∪ x → B2 de ψ pondo ψ(x) = y. Isso implica que ψ ≤ ψ, o que contradiz amaximalidade de ψ. No segundo caso, podemos expressar y de modo unico como

y =∑v∈Rψ

λvv +∑u6∈Dψ

µuu,

em que ao menos um µu0 e diferente de zero pois y e um elemento da base B2. Considere agoraa extensao ψ : Dψ ∪u0 → B2 em que ψ(u0) = y. Claramente, ψ e injetiva e Dψ ∪u0 ⊂ B1.Resta mostrarmos que Rψ ∪

(B1 \Dψ

)e um conjunto linearmente independente. Isso, de fato,

e uma tarefa simples e a deixaremos como exercıcio para o leitor.

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Etapa 3. Portanto, vale a afirmacao e ψ e a funcao injetiva procurada. De modo inteiramenteanalogo, mostra-se que existe uma funcao injetiva Θ: B2 → B1. Pelo Teorema de Schroeder-Bernstein, existe uma bijecao entre B1 e B2 e, portanto, possuem a mesma cardinalidade. Issocompleta a prova do teorema.

O teorema da dimensao surgiu em 1934 num artigo devido a Lowig. A referencia precisa ea seguinte: H. Lowig, ”Uber die Dimension linearer Raume,”Studia Math., 5, 18-23 (1934).

1.3 Funcionais Lineares - Dual Algebrico

Um funcional linear em um espaco vetorial X e uma funcao f : X → R satisfazendo asseguintes propriedades:

(i) f(x+ y) = f(x) + f(y),

(ii) f(λx) = λf(x),

para quaisquer vetores x, y em X e escalar λ em R.

Definicao 1.3.1 O dual algebrico de um espaco vetorial X e o conjunto

X] =f : X → R

∣∣ f e um funcional linear.

Um exercıcio simples e mostrar que X] e um espaco vetorial.

Definicao 1.3.2 Se f ∈ X], entao o nucleo do funcional f e o espaco vetorial Ker(f) definidopor

Ker(f) = x ∈ X∣∣ f(x) = 0.

Proposicao 1.3.3 Uma funcao f : R→ R e linear se, e somente se, f e uma funcao afim, ouseja, existe um numero real a tal que f(x) = ax, para todo x ∈ R. Em particular,

R] =f : R→ R

∣∣ f e afim .

Uma pergunta natural e a seguinte: O dual algebrico de qualquer espaco vetorial e nao-trivial? A proposicao seguinte fornece uma resposta positiva a essa questao.

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Proposicao 1.3.4 Seja X um espaco vetorial nao-trivial. Entao, existe um funcional naonulo em X.

Prova. Seja B um base para X. Fixe e ∈ B e defina um funcional f : X → R pondo f(e) = 1,f(u) = 0 para todo u ∈ B \ e e se x ∈ X e tal que x =

∑i=1 λiei com ei ∈ B, defina

f(x) =∑

i=1 λif(ei). Segue-se que f ∈ X] e f 6≡ 0.

Uma outra propriedade interessante e a seguinte.

Proposicao 1.3.5 Sejam f, f1, . . . , fn funcionais lineares em um espaco vetorial X. Entao,f e uma combinacao linear de f1, . . . , fn se, e somente se,

⋂ni=1 Ker(fi) ⊂ Ker(f).

Prova. Podemos supor que f1, . . . , fn sao L.I.. Suponha que f ∈ 〈f1, . . . , fn〉. Entao, existemescalares α1, . . . , αn tais que

f = α1f1 + · · ·+ αnfn.

Segue-se daı que⋂ni=1 Ker(fi) ⊂ Ker(f). A recıproca sera demonstrada por inducao em n.

Consideremos o caso n = 1. Fixe x 6∈ Ker(f1), entao f1(x) 6= 0. Entao, para todo y ∈ X

tem-se que y − f1(y)f1(x)x ∈ Ker(f1). Usando a hipotese que Ker(f1) ⊂ Ker(f), segue-se que

f(y) = λf1(y), com λ =( f(x)f1(x)

). Suponha por inducao que o resultado vale para n − 1, e

assuma quen⋂i=1

Ker(fi) ⊂ Ker(f).

Se x ∈ Ker(fn), e suponha que f1(x) = · · · = fn−1(x) = 0. Entao, x ∈⋂ni=1 Ker(fi) e portanto,

f(x) = 0. Considerando as restricoes f∣∣Ker(fn)

, f1

∣∣Ker(fn)

, . . . , fn−1

∣∣Ker(fn)

, vemos que

n−1⋂i=1

Ker(fi∣∣Ker(fn)

)⊂ Ker

(f∣∣Ker(fn)

).

Pela hipotese de inducao, existem escalares α1, . . . , αn−1 tais que

f(y) = α1f1(y) + · · ·+ αn−1fn−1(y),

para todo y ∈ Ker(fn). Por consequencia, o nucleo de f −∑n−1

i=1 αifi contem o nucleo de fn.Usando novamente a parte ja demonstrada para n = 1, segue-se o resultado.

18

1.4 Aplicacoes Lineares

A nocao de funcionais lineares se estende naturalmente a nocao de aplicacoes lineares.

Definicao 1.4.1 Sejam X,Y espacos de Banach. Uma aplicacao T : X → Y e dita ser linearquando T cumpre as seguintes condicoes:

(i) T (x+ y) = T (x) + T (y), e

(ii) T (λx) = λT (x),

para quaisquer x, y ∈ X e λ ∈ R.

Um exemplo basico de aplicacoes lineares e dado pela aplicacao identidade: T : X → X etal que T (x) = x para todo x ∈ X. De um modo inteiramente analogo, se definem o nucleoN(T ) e a imagem Im(T ) de uma aplicacao linear T como sendo os conjuntos:

N(T ) =x ∈ X

∣∣T (x) = 0

e Im(T ) =T (x)

∣∣x ∈ X.Mostra-se tambem tais conjuntos sao espacos vetoriais.

1.5 Exercıcios

1. Seja X um espaco vetorial. Mostre que:

(i) Se B = eα : α e uma base de Hamel para X e x ∈ X \B, entao existem unicos escalareshα(x) tais que

x =∑

α∈supp(x)

hα(x)eα,

onde supp(x) e suporte de x, ou seja, o conjunto do ındices α tais que hα(x) 6= 0. (Useo fato que B e maximal, e lembre da definicao de base de Hamel que supp(x) e finito.)

(ii) No item (i) acima, mostre que para cada α, a funcao x 7→ hα(x) define um funcionallinear em X. (Use um argumento de unicidade.)

(iii) Se X possui um conjunto L.I. infinito, entao dim(X) =∞.

(iv) Se U e um conjunto L.I. em X, entao U e uma base para o espaco 〈U〉.

19

2. Mostre que os conjuntos abaixo sao espacos vetoriais:

(i) `p =

(αn) : αn ∈ R, e∑∞

n=1 |αn|p <∞

, se 1 ≤ p <∞.

(ii) c0 =

(αn) : αn ∈ R, e limn→∞ αn = 0

e um espaco vetorial.

(iii) `∞ =

(αn)∣∣ Existe uma constante C > 0 tal que |αn| ≤ C,∀n ∈ N

.

(iv) C[0, 1] =u : [0, 1]→ R

∣∣u e uma funcao contınua

.

(v) L1[0, 1] =

[u]∣∣u : [0, 1]→ R e uma funcao mensuravel a Lebesgue e

∫ 10 |u(s)|ds <∞

.

(Lembrando que [u] representa a classe de equivalencia de todas a funcoes u que sao iguais amenos de um conjunto de medida nula).

3. Mostre que:

(i) Se B = e1, e2, . . . , onde ei = (0, . . . , 0, 1, 0, . . . ), em que 1 aparece na i-esima posicao,entao B e um conjunto L.I. nos espacos c0, `1, `p, `∞.

(ii) Se B = 1, t, t2, t3, . . . , entao B e um conjunto L.I. em C[0, 1].

(iii) Se B = un : n ∈ N, onde un(t) = χ[0,1−1/n](t) com t ∈ [0, 1], entao B e um conjuntoL.I. em L1[0, 1]. Conclua que L1[0, 1] e um espaco infinito-dimensional.

(Lembrando que se A e um conjunto nao-vazio qualquer, entao χA e a funcao caracterıstica deA, ou seja, χA(x) = 1 se x ∈ A e χA(x) = 0 se x 6∈ A).

4. Considere o espaco L∞[0, 1] das classes [u] de funcoes u : [0, 1] → R tal que existem umaconstante uma constante C > 0 e um conjunto de medida nula N ⊂ [0, 1] tal que

|u(t)| ≤ C, ∀ t ∈ [0, 1] \N.

Mostre que:

(i) L∞[0, 1] e um espaco vetorial.

(ii) C[0, 1] e um subespaco de L∞[0, 1].

(iii) Conclua que L∞[0, 1] e um espaco infinito-dimensional.

20

5. Mostre que:

(i) `p ⊂ `q se 1 ≤ p ≤ q ≤ ∞.

(ii) `1 ⊂ `p ⊂ c0 ⊂ `∞, em que 1 < p <∞.

6. Seja c00 =

(αn) : αn ∈ R, e a menos de um numero finito, todos os termos αn = 0

.Mostre que:

(i) c00 e um espaco vetorial.

(ii) Se B = ei : i ∈ N e como no Exercıcio 2, entao B e uma base para o espaco c00.

7. Sejam X,Y espacos vetoriais. Mostre que:

(i) Se f ∈ X], entao Ker(f) e um espaco vetorial.

(ii) O conjunto L(X,Y ) das aplicacoes lineares de X em Y tambem e um espaco vetorial.

(iii) Se T ∈ L(X,Y ), entao N(T ) e Im(T ) sao espacos vetoriais.

8. Sejam X,Y espacos vetoriais nao-triviais. Mostre que:

(i) Sempre existe uma aplicacao linear T : X → Y nao-identicamente nula. Conclua nestecaso que o espaco L(X,Y ) e nao-trivial.

(ii) Se X e infinito-dimensional, entao L(X,Y ) e infinito-dimensional.

9. Seja X um espaco vetorial. Mostre que:

(a) Todo funcional linear nao-nulo em X e sobrejetivo;

(b) Um funcional linear em X e injetivo se, e somente se, dimX = 1.

10. Sejam X um espaco finito-dimensional e B = v1, . . . , vn uma base para X. Mostre quedados numeros a1, . . . , an ∈ R, existe um funcional linear f em X tal que f(vi) = ai para todoi = 1, . . . , n.

11. Seja X um espaco vetorial. Entao, X e finito-dimensional se, e somente se, X∗ tambem efinito-dimensional. Em particular, dimX = dimX∗.

21

12. Sejam X e Y espacos vetoriais e T : X → Y um aplicacao linear. Suponha que X efinito-dimensional. Entao Im(T ) e finito-dimensional e vale dimX = dimN(T ) + dimIm(T ).

Prova. Sejam m = dimX e n = dimN(T ). Devemos mostrar entao que a imagem Im(T )tem dimensao finita e que dimIm(T ) = m−n. Para mostrar que Im(T ) e finito-dimensional esuficiente mostrar que esse espaco admite uma quantidade finita de geradores. Seja v1, . . . , vnuma base para N(T ). Pelo Teorema 1.2.6, existem vetores u1, . . . , um−n tais que

B = v1, . . . , vn, u1, . . . , um−n

e uma base para X. Afimarmos que U = T (u1), . . . , T (um−n) forma uma base para a imagemIm(T ). Com efeito, seja y ∈ Im(T ) qualquer. Entao, existe x ∈ X tal que T (x) = y. Como Be uma base para X, podemos encontrar escalares α1, . . . , αn, αn+1, . . . , αm−n tais que

x = α1v1 + · · ·+ αnvn + αn+1u1 + · · ·+ αm−num−n.

Entao, y = T (x) = αn+1T (u1) + · · ·+ αm−nT (um−n) donde segue-se que Im(T ) e gerado porU . Em particular, a imagem de T e um espaco finito-dimensional. Mostremos agora que U eum conjunto L.I.. Suponhamos que existam escalares λ1, . . . , λm−n tais que λ1T (u1) + · · · +λm−nT (um−n) = 0 , entao, por linearidade, segue-se que λ1u1 + · · · + λm−num−n pertence aonucleo de T . Logo, podemos encontrar escalares β1, . . . , βn que verificam a igualdade

λ1u1 + · · ·+ λm−num−n = β1v1 + · · ·+ βnvn,

a qual e possıvel se, e somente se, λ1 = · · · = λm−n = 0. Isso prova a afirmacao. Portanto,dimIm(T ) = m− n. Isso conclui o exercıcio.

13. Mostre que se X e infinito-dimensional e f1, . . . , fn sao funcionais lineares em X, entao

n⋂i=1

Ker(fi) 6= 0.

(Considere a aplicacao linear T : X → Rn definida por T (x) = (f1(x), . . . , fn(x)). Em seguida,use o Teorema do Nucleo e da Imagem (Exercıcio 12)).

22

Capıtulo 2

Espacos Normados

Uma norma em um espaco vetorial X e uma funcao N : X → [0,∞) tal que as seguintespropriedades sao verificadas:

(i) Desigualdade Triangular: N(x+ y) ≤ N(x) +N(y),

(ii) Homegeneidade: N(λx) = |λ|N(x),

(iii) Nulidade: N(x) = 0 implica x = 0,

para quaisquer vetores x, y em X e escalar λ em R.

Visando uma simplicidade notacional, ao inves de N(x) escreveremos ‖x‖. Tambem,quando necessario for, faremos uso da notacao ‖x‖X para indicar que trata-se da norma doespaco X.

Definicao. Se X e um espaco vetorial e ‖ · ‖ uma norma em X, entao ao par (X, ‖ · ‖) da-seo nome de espaco normado.

A seguir conheceremos alguns exemplos de espacos normados.

2.1 Exemplos de Espacos Normados.

(i) (Espacos das sequencia convergentes para zero): Considere a funcao ‖ · ‖ : c0 → [0,∞)definida por

‖(αn)‖c0 = maxn∈N|αn|.

23

24

Entao, (c0, ‖ · ‖c0) e um espaco normado.

(ii) (O espaco das sequencias somaveis): Considere a funcao ‖ · ‖`1 : `1 → [0,∞) dada por:

‖(αn)‖`1 =∞∑n=1

|αn|.

Entao, (`1, ‖ · ‖`1) e um espaco normado.

Observe que vale a inclusao `1 ⊂ c0 e que `1 6= c0, pois ( 1n) pertence a c0 mas nao pertence

a `1. Menos trivial que os exemplos acimas sao o que virao a seguir. Mas, antes, facamos umapausa para estabelecermos alguamas desigualdades importantes.

2.1.1 Desigualdades Classicas

Proposicao 2.1.1 Sejam numeros reais a, b ≥ 0 e p ≥ 1. Entao,

(a+ b)p ≤ 2p(ap + bp).

Prova. Basta considerar o caso em que a ≤ b. O outro e analogo. Assim,

(a+ b)p ≤ (2b)p = 2pbp ≤ 2p(ap + bp).

Proposicao 2.1.2 (Desigualdade de Young) Sejam numeros reais a, b ≥ 0 e p, q > 1. Suponhaque 1

p + 1q = 1. Entao,

ab ≤ ap

p+bq

q.

Prova. Considere as funcao f(x) = xp−1 com 0 ≤ x ≤ a e g(y) = p−1√y com 0 ≤ y ≤ b.

Observe que ha um intervalo I para o qual g e a inversa de f . Suponhamos sem perda degeneralidade que f(a) ≤ b. Considerando o numero ab como a area do retangulo de basea, no eixo das abscissas, e altura b no eixo das ordenadas e, alem disso, representando porA1 =

∫ a0 f(x)dx e por A2 =

∫ b0 g(y)dy ve-se facilmente que

ab ≤ A1 +A2.

Apos os devidos calculos de A1 e A2 chega-se a desigualdade procurada.

25

Proposicao 2.1.3 (Desigualdade de Holder) Dados numeros reais a1, . . . , aN , b1, . . . , bN , enumeros p, q > 1 com 1

p + 1q = 1, tem-se:

N∑n=1

anbn ≤( N∑n=1

|an|p) 1p( N∑n=1

|bn|q) 1q.

Prova. Basta aplicar a desigualdade de Young aos numeros

Ak =ak(∑N

n=1 |an|p)1/p

, Bk =bk(∑

n=1 |bn|q)1/q

.

Proposicao 2.1.4 (Desigualdade de Minkowski) Dados numeros a1, . . . , aN , b1, . . . , bN , e p ≥1, tem-se ( N∑

n=1

|an + bn|p)1/p

≤( N∑n=1

|an|p)1/p

+( N∑n=1

|bn|p)1/p

.

Prova.N∑n=1

|an + bn|p ≤N∑n=1

|an + bn|p−1|an + bn|

≤N∑n=1

|an + bn|p−1|an|+N∑n=1

|an + bn|p−1|bn|

≤( N∑n=1

|an + bn|p) p−1

p ·( N∑n=1

|an|p)1/p

+( N∑n=1

|an + bn|p) p−1

p ·( N∑n=1

|bn|p)1/p

=( N∑n=1

|an + bn|p) p−1

p ·[( N∑

n=1

|an|p)1/p

+( N∑n=1

|bn|p)1/p]

.

Apos a pausa, voltemos para os exemplos de espacos normados.

(iii) (O espaco das sequencias p-somaveis). Para 1 < p <∞, considere a funcao ‖ · ‖`p : `p →[0,∞) dada por

‖(αn)‖`p = ∞∑n=1

|αn|p1/p

.

Entao, (`p, ‖ · ‖`p) e um espaco normado.

26

(iv) (O espaco das sequencias limitadas.) Considere a funcao ‖ · ‖`∞ : `∞ → [0,∞) definidapor

‖(αn)‖`∞ = supn∈N|αn|.

Entao, (`∞, ‖ · ‖`∞) e um espaco normado.

(v) (O espaco das classes de funcoes p-integraveis). Para 1 ≤ p <∞, defina

Lp[0, 1] =

[u]∣∣u : [0, 1]→ R e uma funcao mensuravel a Lebesgue e

∫ 1

0|u(t)|pdt <∞

.

Considere a funcao ‖ · ‖Lp : Lp[0, 1]→ R definida por

‖u‖Lp =∫ 1

0|u(t)|pdt

1/p.

(vi) (O espaco das classes de funcoes limitadas) Considere a funcao ‖ · ‖L∞ : L∞[0, 1] → Rdefinida por

‖u‖L∞ = infC > 0

∣∣Existe N ⊂ [0, 1], |N | = 0, tal que |u(t)| ≤ C, ∀ t ∈ [0, 1] \N.

Entao, (L∞[0, 1], ‖ · ‖L∞) e um espaco normado.

2.2 Convergencia em Espacos Normados

Seja (X, ‖ ·‖) um espaco normado. Tal como ocorre em Rn, ou mais geralmente nos espacosmetricos, podemos resgatar em X a nocao de convergencia de sequencias.

Definicao 2.2.1 Dizemos que uma sequencia xn em X converge para um vetor x ∈ X separa todo ε > 0 dado, existir um inteiro nε ≥ 1 tal que ‖xn − x‖ < ε, para todo ındice n ≥ nε.

Usaremos a notacao xn → x para indicar a convergencia em norma da sequencia xn para ovetor x.

2.3 Dual de um espaco normado

Um funcional linear f : X → R em um espaco normado (X, ‖ · ‖) e dito ser limitado se:

‖f‖ : = supx∈BX ,x 6=0

|f(x)|‖x‖

<∞.

27

O espaco dual de um espaco normado (X, ‖ · ‖) e o subconjunto X∗ do espaco X] definidopor:

X∗ =f : X → R

∣∣ f e linear e limitada .

E facil verificar que X∗ e um espaco vetorial (Ex.). O resultado a seguir mostra que nem todofuncioanal linear em um espaco normado e limitado. Portanto, X∗ e um subespaco proprio deX].

Proposicao 2.3.1 Seja X um espaco vetorial normado de dimensao infinita. Entao, existeum funcional linear nao-limitado em X.

Prova. Seja B = eα uma base de Hamel para X, e en : n ∈ N uma sequencia de vetoresem B. Sem perda de generalidade, podemos assumir que ‖eα‖ = 1 para todo α. Defina umfuncional linear f : X → R pondo f(eα) = 0 se eα 6∈ en : n ∈ N, e f(en) = n para todo n ∈ N.Considere agora a sequencia xn em X definida por xn = 1

nen. Entao, ‖xn‖ = 1n e

|f(xn)|‖xn‖

= n,

para todo n ∈ N, o que mostra que ‖f‖ =∞.

A proposicao a seguir fornece uma caracterizacao importante sobre funcionais lineareslimitados.

Proposicao 2.3.2 Um funcional linear em um espaco normado e limitado se, e somente se,ele e contınuo se, e somente se, ele e contınuo no vetor nulo.

Prova. Exercıcio.

Observacao 2.3.1 A demonstracao da Proposicao 2.3.1 mostra ainda que ‖xn‖ → 0 mas

f(xn) = 1, para todo n ∈ N.

Portanto, f e um funcional linear nao-contınuo.

Proposicao 2.3.3 Se f e um funcional linear limitado em um espaco normado X, entao

‖f‖ = sup|f(x)| : x ∈ SX,

em que SX = x ∈ X : ‖x‖ = 1.

28

Prova. Como SX ⊂ BX , segue-se da definicao de supremo que

‖f‖ ≥ sup|f(x)| : x ∈ SX.

Seja x ∈ BX tal que x 6= 0, entao u =x

‖x‖∈ SX e portanto,

sup|f(z)| : z ∈ SX ≥ |f(u)| = |f(x)|‖x‖

,

donde segue-se da definicao de supremo que sup|f(z)| : z ∈ SX ≥ ‖f‖. Isso conclui a prova.

2.4 Aplicacoes Lineares em Espacos Normados

Sejam X,Y espacos de normados.

Definicao 2.4.1 Uma aplicacao linear T : X → Y e dita ser contınua ser limitada se existeuma constante C > 0 tal que

‖Tx‖Y ≤ C‖x‖X ,

para todo x ∈ X.

O conjunto das apicacoes lineares limitadas de X em Y e denotado por: L (X,Y ). Mostra-se facilmente que L (X,Y ) e um espaco vetorial. Alem disso, e possıvel mostrar que se T ∈L (X,Y ), entao:

(i) ‖T‖ = sup‖Tx‖Y‖x‖X

<∞.

(ii) A funcao que associa a cada T ∈ L (X,Y ) o numero ‖T‖ define uma norma no espacoL (X,Y ).

E facil verificar que T ∈ L (X,Y ) se, e somente se, T e contınua em relacao a topologiagerada pela norma, ou seja, xn → x em X se, e so se, T (xn)→ T (x) em Y .

2.4.1 Dual de Espacos de Sequencias

Uma aplicacao linear T : X → Y e dita ser uma isometria se ela satisfaz ‖Tx‖Y = ‖x‖X , paraqualquer x ∈ X. No caso em que T e uma isometria sobrejetiva, dizemos que X e Y saoisometricos e usamos a notacao X ≡ Y para representar tal acontecimento.

29

Teorema 2.4.2 c∗0 e isometrico a `1.

Prova. Defina uma aplicacao T : c∗0 → `1 pondo T (f) = (f(ei)), onde ei = (δij)∞j=1. Clara-mente, T e linear. Afirmamos que T e limitada (e portanto, contınua). Com efeito, se f ∈ c∗0defina uma sequencia xn em c0 tal que

xn = (sign(a1), . . . , sign(an), 0, 0, . . . ) =n∑i=1

sign(ai)ei,

onde ai = f(ei) e sign(λ) = 1 se λ ≥ 0 e zero caso contrario. Note que f(xn) =∑n

i=1 |ai| e que‖xn‖c0 = 1 para todo n ∈ N. Portanto,

n∑i=1

|ai| = f(xn) ≤ ‖f‖c∗0‖xn‖ = ‖f‖,

para todo n ∈ N. Isso implica que∑∞

i=1 |ai| ≤ ‖f‖. Portanto, ‖T (f)‖`1 ≤ ‖f‖c∗0 . Por outrolado, dado ε > 0 arbitrario, pela Proposicao 2.3.3 existe xε ∈ c0 com ‖xε‖c0 = 1 tal que

‖f‖c∗0 − ε ≤ |f(xε)|

Portanto, escrevendo agora unε =∑n

i=1 xiεei, obtemos que

‖xε − unε ‖c0 = supi≥n+1

|xiε| → 0, quando n→∞,

donde conclui-se que |f(xε)− f(unε )| → 0. Assim

‖f‖c∗0 − ε ≤ |f(xε)− f(unε )|+ |f(unε )|

≤ |f(xε)− f(unε )|+n∑i=1

|xiε||ai|

≤ |f(xε)− f(unε )|+∞∑i=1

|ai|

= |f(xε)− f(unε )|+ ‖T (f)‖`1 .

Fazendo n → ∞ e depois ε → 0, obtemos ‖f‖c∗0 ≤ ‖T (f)‖`1 . Resta mostrarmos que T esobrejetiva. Seja x = (αn) ∈ `1 qualquer. Defina f : c0 → R pondo f(x) =

∑∞n=1 xnαn. E

facil verificar que f esta bem definida e que f ∈ c∗0. Agora, note que f(ei) = αi. Portanto,T (f) = (f(ei)) = (αi) = x. Isso conclui a prova.

30

Observacao. Por causa do Teorema 2.4.2, costumamos dizer que o dual de c0 e o `1. Emgeral, se X,Y sao espacos normados e X∗ e isometrico a Y , dizemos que o dual de X e ”igual”aY .

Os seguintes resultados sao classicos.

Teorema 2.4.3 Valem as seguintes isometrias:

(i) `∗1 ≡ `∞,

(ii) Se p, q > 1 e1p

+1q

= 1, entao `∗p ≡ `q,

2.5 Espacos de Banach

Um sequencia xn de vetores em um espaco normado (X, ‖ · ‖) e dita ser de Cauchy se aseguinte sentenca for verificada:

Para todo ε > 0 dado, existe um nε ∈ N tal que ‖xm − xn‖ < ε, ∀m,n ≥ nε.

Mostra-se facilmente que se xn e uma sequencia de Cauchy em X, entao ela e limitada, ouseja, existe uma constante C > 0 tal que ‖xn‖ ≤ C para todo n ∈ N.

Definicao 2.5.1 Um espaco normado (X, ‖ · ‖) e dito ser um espaco de Banach se quandotoda sequencia de Cauchy for convergente.

A Teoria dos Espacos de Banach desempenha um papel fundamental em Analise Funcional.A seguir veremos alguns exemplos desses espacos.

2.5.1 Exemplos de Espacos de Banach

Proposicao 2.5.2 Considere o espaco C[0, 1] das funcoes contınuas no intervalo [0, 1] munidocom a norma

‖u‖∞ = supt∈[0,1]

|u(t)|.

Entao, (C[0, 1], ‖ · ‖∞) e um espaco de Banach.

31

Prova. Seja (un) uma sequencia de Cauchy em C[0, 1]. Entao, para todo t ∈ [0, 1] a sequenciaun(t) e de Cauchy em R. Seja u(t) = limn→∞ un(t). Afirmamos que u e contınua e que‖un − u‖∞ → 0 quando n → ∞. Dado ε, existe nε ∈ N tal que |um(t) − un(t)| < ε paratodo m,n ≥ nε, e para todo t ∈ [0, 1]. Fixe m ≥ n ≥ nε e faca n → ∞. Segue-se que‖um(t) − u(t)| ≤ ε para todo m ≥ nε e todo t ∈ [0, 1]. Isso mostra que ‖um − u‖ ≤ ε paratodo m ≥ nε. Portanto, um converge para u uniformemente. Entao, u ∈ C[0, 1] pois e o limiteuniforme de funcoes contınuas. A prova esta completa.

Proposicao 2.5.3 `∞ munido com a norma do supremo e um espaco de Banach.

Prova. Com efeito, considere em `∞ a norma ‖(αn)‖`∞ = supn∈N |αn|. Seja xn umasequencia de Cauchy em `∞. Entao, para cada i ∈ N a sequencia xni : n ∈ N e de Cauchy emR. Seja yi = limn→∞ x

ni . Um metodo muito similar usado na proposicao anterior, mostra que

(y1, y2, . . . ) ∈ `∞ e que xn → y em `∞.

2.5.2 Espacos com Produto Interno

Seja X um espaco vetorial. Um produto interno em X e uma funcao (·, ·) em X ×X comvalores reais satisfazendo as seguintes propriedades:

(i) Para cada x ∈ X, a funcao y 7→ (x, y) e linear.

(ii) (x, y) = (y, x), para todo x, y ∈ X.

(iii) (x, y) ≥ 0, para todo x ∈ X.

(iv) (x, x) = 0 se, e somente se, x = 0.

Proposicao 2.5.4 Valem as seguinte propriedades:

(a) (Desigualdade de Cauchy-Schwarz) |(x, y)| ≤√

(x, x)√

(x, y)

(b) (Norma Induzida) A funcao ‖x‖ =√

(x, x) define uma norma em X.

Definicao 2.5.5 Um espaco de Banach (X, ‖·‖) e dito ser um espaco de Hilbert se ‖·‖ provemde um produto interno.

Example 2.5.1 Exemplos de Espacos de Hilbert:

32

(i) `2 =

(αn) : αn ∈ R,∑∞

n=1 α2n <∞

.

(ii) L2[0, 1] =u : [0, 1]→ R :

∫ 10 u

2(t)dt <∞

.

2.6 Exercıcios

1. Mostre que os exemplos listados na Secao 2.1 sao de fato espacos normados.

2. Construa um funcional ϕ ∈ C[0, 1]∗ tal que ‖ϕ‖C[0,1]∗ = 1.

3. Construa uma aplicao linear limitada T : `1 → L1[0, 1]. (Use o Exercıcio 3, Cap. 1).

4. Seja (X, ‖ · ‖) um espaco normado. Entao, o dual X∗ e um espaco de Banach.(Pesquise.)

5. Todo subespaco fechado de um espaco de Banach e um espaco de Banach.

6. Para p ∈ [1,∞), os espacos `p sao espacos de Banach.

7. Mostre que a aplicacao T : `∗1 → `∞ definida por T (f) = (f(e1), f(e2), . . . ) e uma isometria.Conclua que `∗1 ≡ `∞.

8. Mostre que se 1 < p, q < ∞ sao conjugados (ou seja, 1/p + 1/q = 1), entao a aplicacaoT : `∗p → `q definida por T (f) = (f(e1), f(e2), . . . ) e uma isometria.

9. Demonstre a Proposicao 2.5.4.

10. Mostre que todo espaco vetorial admite uma norma. (Use Exercıcio 1 do Capıtulo 1.)

11. Seja B uma base de Hamel de um espaco vetorial X. Mostre que existe uma aplicao linearbijetiva entre X] e RB.

Capıtulo 3

Nocoes de Topologia Geral

O objetivo deste capıtulo e fazer uma ligeira revisao sobre topologia geral. O leitor quedetem os conhecimentos fundamentais do tema podera passar para o proximo capıtulo.

3.1 Espacos Topologicos

Definicao 3.1.1 Seja X um conjunto nao-vazio. Uma topologia em X e uma colecao τ desubconjuntos de X com as seguintes propriedades:

(i) ∅, X pertencem a τ ,

(ii) A uniao dos elementos de uma subcolecao de τ pertence a τ ,

(iii) A intersecao dos elementos de uma subcolecao finita de τ pertence a τ .

No caso, o par (X, τ) e chamado um espaco topologico e os elementos de τ sao chamadosabertos de X, ou abertos em X. Em resumo, um espaco topologico e um conjunto nao-vazioX com uma colecao τ de subconjuntos de X tal que ∅, X sao abertos em X, a uniao arbitrariade abertos em X e um aberto de X, e a intersecao finita de abertos de X e aberto em X.

Definicao 3.1.2 Seja (X, τ) um espaco topologico.

(i) Se U ⊂ X e um aberto e x ∈ U , entao dizemos que U e uma vizinhanca de x.

(ii) τ e dita ser de Hausdorff se dados quaisquer x, y em X, com x 6= y, existem vizinhancasU de x, e V de y, tais que U ∩ V = ∅.

33

34

3.2 Continuidade

Sejam (X, τ) e (Y, σ) espacos topologicos.

Definicao 3.2.1 Uma funcao f : X → Y e dita ser:

• Contınua se f−1(A) ∈ τ para todo A ∈ σ.

• Um homeomorfismo se f e bijetiva, contınua e possui inversao contınua.

3.3 Construindo Topologias

A secoes seguintes nos rementem ao seguinte questionamento: Como construir uma topolo-gia em um conjunto nao-vazio?

3.3.1 Topologia Induzida em Subconjuntos

Seja S um subconjunto de um espaco topologico (X, τ). Considere a colecao

τS = A ∩ S∣∣A ∈ τ.

Nao e difıcil ver que τS define uma topologia em S. Neste caso, dizemos que S herda a topologiade X, ou que X induz uma topologia natural em S.

3.3.2 Topologia Induzida por Bases

Uma outra forma de induzir uma topologia em um conjunto e descrita a partir da nocao debase para uma topologia.

Definicao 3.3.1 Seja X um conjunto nao-vazio. Uma base para uma topologia em X e umacolecao B de subconjuntos de X com as seguintes propriedades:

(i) Para todo elemento x ∈ X, existe A ∈ B tal que x ∈ A,

(ii) Se para cada dois elementos A1, A2 ∈ B, x ∈ A1 ∩ A2 6= ∅, entao existe um terceiroA3 ∈ B tal que x ∈ A3 ⊂ A1 ∩A2.

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Proposicao 3.3.2 Seja X um conjunto nao-vazio. Se B e uma base para uma topologia emX, entao B induz um topologia em X.

Prova. De fato, considere o seguinte conjunto:

τ(B) =U ⊂ X

∣∣Para cada x ∈ U, existe A ∈ B tal que x ∈ A ⊂ U.

Afirmamos que τ(B) define uma topologia em X. Claramente, ∅ ∈ τ(B). Pelo item (i) daDefinicao 3.3.1, segue-se tambem que X ∈ τ(B). Vamos mostrar agora que τ(B) e fechadapara unioes arbitrarias. Seja Uα uma famılia de elementos de τ(B). Ponha U =

⋃α Uα.

Seja x ∈ U qualquer. Entao, x ∈ Uα0 , para algum α0. Por definicao, existe A ∈ B tal quex ∈ A ⊂ Uα0 . Portanto,

x ∈ A ⊂ Uα0 ⊂⋃α

Uα = U.

Analogamente, usando (ii) da Definicao 3.3.1, mostra-se por inducao que τ(B) e fechado paraintersecoes finitas. (Confira tambem [4])

3.3.3 Topologia induzida por uma famılia de funcoes

Considere a seguinte situacao. Seja X um conjunto nao-vazio, (Y, τ) um espaco topologicoe F = ϕα : X → Y

∣∣α ∈ Λ uma famılia de funcoes de X em Y .

Problema. Construir uma topologia em X tal que todas as funcoes de F sejam contınuas.

O resultado a seguir fornece uma solucao afirmativa para esse problema.

Proposicao 3.3.3 Considere a seguinte famılia de subconjuntos de X:

B = ⋂α∈Λ∗,A∈Γ

ϕ−1α (A)

∣∣Λ∗ ⊂ Λ e finito , Γ e uma famılia finita de abertos em Y.

Entao, B e base de uma topologia σ(X,F) em X na qual todas as funcoes de F sao contınuas.Alem disso, se T e uma topologia em X com a mesma propriedade, entao σ(X,F) ⊂ T

Prova. De fato, seja x ∈ X qualquer. Entao, como para qualquer α ∈ Λ tem-se X = ϕ−1α (Y )

e Y e aberto, segue-se que x ∈ ϕ−1α (Y ) ⊂ X, provando o item (i) da Definicao 3.3.1. Sejam

U =⋂α∈Λ1,A∈Γ1

ϕ−1α (A), V =

⋂α∈Λ1,A∈Γ2

ϕ−1α (A) elementos arbitrarios de B, e x ∈ U∩V . Seja

W =⋂α∈Λ∗,A∈Γ ϕ

−1α (A), onde Λ∗ = Λ1 ∪ Λ2 e Γ = Γ1 ∪ Γ2. Entao, W ∈ B e x ∈W ⊂ U ∩ V .

Isso conclui a prova.

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Observacao. A topologia σ(X,F) e chamada a topologia em X induzida por F.

Uma propriedade interessante da topologia definida acima e a seguinte:

Proposicao 3.3.4 Sejam X,Y and F = ϕα : X → Y como acima. Considere em X atopologia σ(X,F) induzida pela famılia F, e seja Z um espaco topologico qualquer. Entao, umaaplicacao Φ: Z → X e contınua se, e somente se, ϕα Φ: Z → Y e contınua, para todo α.

Prova. Exercıcio.

3.3.4 Topologia Produto

Consideremos a seguinte situacao: Sejam Aα∣∣α ∈ J uma famılia de conjuntos indexadas

por um conjunto J . O produto cartesiano generalizado dos A′αs e definido por∏α∈J

Aα =x : J →

⋃α∈J

Aα∣∣xα : = x(α) ∈ Aα

.

Ou seja, um elemento de∏α∈J Aα e uma funcao do conjunto J na uniao de todos os A′αs com

a propriedade que cada imagem xα pertence ao respectivo Aα. Por simplicidade, usaremosa notacao

∏Aα para representar o produto cartesiano definido acima. Tambem, usaremos a

notacao (xα)α para representar um elemento qualquer de∏Aα.

Problema. Construir uma topologia em∏Aα sabendo que cada Aα e um espaco topologico.

Solucao. Optaremos como solucao, a construcao de um topologia chamada topologia pro-duto. Considere a famılia F das funcoes πβ :

∏Aα → Aβ definidas por πβ((xα)α) = xβ. Tais

funcoes sao as chamadas aplicacoes de projecao associadas ao ındice β. Entao, a topologia

σ(∏

Aα,F)

definida na Proposicao 3.3.3 e por definicao a topologia produto em∏Aα. Isso resolve o

problema.

Observacao. Vale a pena ressaltar que a topologia produto σ(∏

Aα,F)

definida acima etal que as projecoes πβ sao contınuas.

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3.4 Espacos Metricos

Exemplos de espacos topologicos incluem os espacos metricos (X, d). Neste caso, umatopologia τ e gerada por todas as bolas abertas de X. Vejamos isso a seguir.

Definicao 3.4.1 Um espaco metrico e uma par (X, d), onde X e um conjunto nao-vazio ed : X ×X → [0,∞) e uma funcao tal que:

(i) d(x, y) = 0 se x = y.

(ii) d(x, y) = d(y, x), para todo x, y ∈ X.

(iii) d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z), para quaisquer x, y, z ∈ X.

Sejam (X, d) um espaco metrico, p ∈ X e r > 0. A bola aberta de centro p e raio r e oconjunto:

Br(p) = x ∈ X : d(x, p) < r.

A bola fechada, (resp., a esfera) de centro p e raio r, e o conjunto Br[p] = x ∈ X : d(x, p) ≤ r,(resp., Sr[p] = x ∈ X, d(x, p) = r).

Proposicao 3.4.2 Seja (X, d) um espaco metrico. Entao, a colecao:

B =Br(p)

∣∣ r > 0, p ∈ X ⊂ A,

define uma base para uma topologia em X.

Prova. Elementar.

Exemplos particulares de espacos metricos, (e portanto, espacos topologicos), sao os espacoseuclidianos Rn, e mais geralmente, todos os espacos vetoriais normados (X, ‖ · ‖).

Proposicao 3.4.3 Todo espaco normado e um espaco metrico.

Prova. Ora, se (X, ‖·‖) e um espaco normado, entao a funcao d : X×X → [0,∞) definida pord(x, y) = ‖x− y‖ define uma metrica em X. Em particular, a norma ‖ · ‖ induz uma topologiaem X, a saber, a topologia metrica gerada por d.

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3.5 Convergencia

Os conceitos classicos de convergencia de sequencias sao naturalmente reproduzidos noambiente de um espaco topologico.

Definicao 3.5.1 Sejam (X, τ) um espaco topologico. Dizemos que uma sequencia xn umasequencia em X converge para um ponto x ∈ X se para qualquer vizinhanca U de x, for possıveldeterminar nU ∈ N tal que xn ∈ U , para todo n ≥ nU .

Contudo, os conceitos envolvendo as nocoes de limitacao e de Cauchy sao melhores repro-duzidas em espacos metricos.

Definicao 3.5.2 Seja (M,d) um espaco metrico.

(i) Um subconjunto K de M e dito ser limitado quando existe uma constante c > 0 tal qued(x, y) ≤ c, para quaisquer x, y ∈M .

(ii) Uma sequencia xn converge para x ∈M se, e so se, para todo ε > 0 existe um nε ∈ Ntal que d(xn, x) < ε, para todo n ≥ nε.

(iii) M e dito ser completo se toda sequencia de Cauchy e convergente em M .

E facil checar que toda sequencia convergente de M e limitada.

3.6 Pontos Interiores e Conjuntos Fechados

Seja (X, τ) um espaco topologico.

Definicao 3.6.1 Seja A um subconjunto de X.

• Um ponto p ∈ A e dito pertence ao interior de A se existe um aberto U ∈ τ tal quep ∈ U ⊂ A.

• O conjunto dos pontos interiores de A e representado por Int(A).

• O fecho do conjunto A de X e o conjunto A tal que x ∈ A se, e somente se, para qualquervizinhanca U de x em X, dada arbitrariamente, tem-se U ∩A 6= ∅.

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Um subconjunto F de X e dito ser fechado se ele coincide com seu fecho. Mostra-se queum conjunto F ⊂ X e fechado se, e somente se, o complementar X \F for um conjunto abertoem X.

Definicao 3.6.2 (Densidade) Um subconjunto A de X e dito ser denso em X quando o seufecho for igual a X, ou seja, quando ocorrer A = X.

O seguinte resultado e bem conhecido e caracteriza conjuntos fechados.

Teorema 3.6.3 As seguintes propriedades se verificam:

• ∅ e X sao fechados.

• Intersecoes arbitrarias de conjuntos fechados sao fechados.

• Unioes finitas de conjuntos fechados sao fechados.

3.7 Compacidade

Seja (X, τ) um espaco topologico e K um subconjunto de X. Uma cobertura aberta de Ke uma colecao U de abertos de X tal que K esta contido na uniao dos elementos de U, ou seja,

K ⊂⋃A∈U

A.

Uma subcolecao U de U e chamado uma subcobertura de K se ela mesma ainda for umacobertura aberta de K. Neste caso, dizemos tambem que U admite uma subcobertura.

Definicao 3.7.1 Um subconjunto K de um espaco topologico (X, τ) e dito ser compactoquando toda cobertura aberta de K admite uma subcobertura finita. Dizemos tambem queK e relativamente compacto se o seu fecho K for compacto.

O resultado a seguir e bem conhecido.

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Teorema 3.7.2 (Bolzano-Weiestrass) Seja K ⊂ Rn. Sao equivalentes:

(i) K e limitado e fechado.

(ii) K e compacto.

(iii) Toda sequencia em K possui subsequencia convergente em K.

Em particular, e verdadeira a frase:

”Toda sequencia limitada em Rn possui subsequencia convergente”.

Entretanto, essa afirmacao nao e verdadeira em geral para espacos de dimensao infinita.

Example 3.7.1 Seja X = `2 munido com sua norma usual ‖·‖`2. Considere a sequencia (xn)em `2 definida por:

xn = (0, . . . , 0, 1, 0, . . . ),

em que o numero 1 aparece na n-esima entrada. E facil ver que (xn) e limitada em `2, poremnao converge ja que ‖xm − xn‖`2 =

√2 para quaisquer m,n ∈ N e m 6= n.

Isso sugere o conceito de compacidade sequencial.

Definicao 3.7.3 Seja (X, τ) um espaco topologico.

(i) Um subconjunto K de X e dito ser sequencialmente compacto se toda sequencia em K

possui subsequencia convergente em K.

(ii) Uma sequencia xn em X e dita ser pre-compacta se ela possui uma subsequencia con-vergente.

Em geral, vale o seguinte resultado para um espaco metrico.

Teorema 3.7.4 Um espaco metrico (X, d) e compacto se, e somente se, X e sequencialmentecompacto.

O seguinte resultado e devido a Tychonoff.

Teorema 3.7.5 O produto cartesiano generalizado de espaco topologicos compactos e compato.

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3.7.1 Alguns Resultados de Compacidade em Dimensao Infinita

Vimos a pouco que, em geral, nao se pode afirmar que uma sequencia limitada num espaconormado de dimensao infinita e pre-compacta. No entanto, existem determinados espacos emque sob certas condicoes uma tal frase e verdadeira. O objetivo desta subsecao e relembraralguns desses resultados. Comecemos pelo, tal vez, o mais conhecido de todos.

Teorema 3.7.6 (Arzela-Ascoli) Seja K um subconjunto limitado de C[0, 1]. Suponha que Ke equicontınuo. Entao, K e relativamente compacto.

O resultado acima diz quando um conjunto limitado e fechado em C[0, 1] e compacto.Existe ainda um outro famoso resultado de compacidade em dimensao infinita. Mas, trata-sede compacidade nos espacos Lp[0, 1], veja [2].

3.7.2 A Propriedade da Intersecao Finita

Estreitamente relacionado a compacidade e a propriedade da intersecao finita. Vejamos.Sejam (X, τ) um espaco topologico e U uma famılia de subconjuntos fechados de X.

Definicao 3.7.7 Dizemos que U possui a propriedade da intersecao finita se a intersecao dequalquer subcolecao finita F1, . . . , Fn de elementos de U e nao-vazia.

O seguinte resultado caracteriza espacos topologicos compactos em termos da propriedadeda intersecao finita.

Teorema 3.7.8 Seja (X, τ) um espaco topologico. Entao, X e compacto se, se somente se,toda colecao U de subconjuntos fechados de X possui a propriedade da intersecao finita.

3.8 Comparando Topologias

Suponha que τ e σ sejam duas topologias em um conjunto nao-vazio X.

Definicao 3.8.1 Se σ ⊃ τ , entao dizemos que σ e mais fina que τ .

Importancia. Quanto menos abertos, melhores sao as chances de se obter compacidade.

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Definicao 3.8.2 τ e σ sao ditas equivalentes se a aplicacao identidade I : (X, τ) → (X,σ)definida por I(x) = x for um homeomorfismo.

3.9 Topologias Vetoriais

Seja X um espaco vetorial. Uma topologia τ em X e dita ser vetorial se as operacoes usuaisde adicao de vetores e multiplicacao por escalar sao funcoes contınuas. O seguinte resultadofornece uma importante caracterizacao de topologias vetoriais em espacos finito-dimensionais.

Teorema 3.9.1 Seja X um espaco vetorial finito-dimensional. Entao, duas topologias Haus-dorff vetoriais sao equivalentes.

3.10 Metrizabilidade

Em varia situacoes praticas, compacidade sequencial e mais preferıvel a que compacidade.Por outro lado, em espacos metricos as duas nocoes coincidem. Portanto, e razoavel questionaro quao parecida e uma dada topologia com uma topologia metrica. Um espaco topologico (X, τ)e dito ser metrizavel quando existe uma metrica d em X cuja topologia induzida τd coincidecom a topologia original τ .

Em consequencia, vale o seguinte resultado.

Teorema 3.10.1 Seja (X, τ) um espaco topologico metrizavel. Entao, X e compacto se, esomente se, X e sequencialmente compacto.

3.10.1 Primeiro Axioma da Enumerabilidade

No contexto da metrazibilidade a seguinte nocao tambem e importante.

Definicao 3.10.2 Seja (X, τ) um espaco topologico. Dizemos que:

(i) Um ponto x ∈ X possui uma base enumeravel de vizinhancas se existe uma colecaoenumeravel Un de vizinhancas de x tal que qualquer vizinhanca U de x contem algumdos U ′ns.

(ii) τ satisfaz o primeiro axioma da enumerabilidade se cada ponto de X possui uma baseenumeravel de vizinhancas.

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3.11 Separabilidade

Um espaco topologico (X, τ) e dito ser separavel quando existe uma sequencia xn em X

que e densa em X, ou seja, xn = X.

3.12 Teorema de Baire

Teorema 3.12.1 Seja (M,d) um espaco metrico completo. Suponha que Fn∣∣n ∈ N e um

famılia enumeravel de subconjuntos fechados de M tais que Int(Fn) = ∅. Entao,

Int( ∞⋃n=1

Fn)

= ∅.

A seguinte versao do Teorema de Baire e mais usada.

Corolario 3.12.2 Seja M um espaco metrico completo tal que M =⋃∞n=1 Fn, onde cada Fn

e um subconjunto fechado de M . Entao, existe algum n0 tal que Int(Fn0) = ∅.

No contexto acima, o seguinte resultado e importante.

Proposicao 3.12.3 Sejam X um espaco normado infinito-dimensional e F um subespaco dedimensao finita. Entao, Int(F ) = ∅.

Prova. Suponha o contrario que Int(F ) 6= ∅. Entao, F contem um bola do espaco X, digamosB. Mas, em B podemos escolher uma quantidade infinita de vetores L.I. Contradicao, pois Fe finito-dimensional.

3.13 Exercıcios

1. (Pesquise). Mostre que:

(i) Se p ∈ [1,∞), entao `p e separavel.

(ii) O espaco c0 e separavel.

(iii) O espaco `∞ nao e separavel.

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2. (Pesquise). Mostre que:

(i) C[0, 1] e separavel.

(ii) Se p ∈ [1,∞), entao Lp[0, 1] e separavel.

(iii) L∞[0, 1] nao e separavel.

3. Mostre que todo espaco metrico satisfaz o primeiro axioma da enumerabilidade.

4. Mostre que todo espaco de Banach nao pode conter uma base de Hamel enumeravel.

Capıtulo 4

Teorema de Hahn-Banach

A existencia de funcionais lineares em espacos vetoriais decorre da existencia de basesalgebricas. Alem disso, se (X, ‖·‖X) e um espaco normado o dual topologico X∗ e um subespacoproprio do dual algebrico X]. Para o desenvolvimento da teoria dos espacos de Banach, efundamental sabermos o quao substancial e o dual X∗. Ate aqui, nao sabemos sequer se X∗

e nao-trivial. Trata-se de um problema nao-simples, a priori. Por sua vez, esse problemaesta estreitamente relacionado ao problema da extensao de funcionais lineares. Com efeito,seja e ∈ X um vetor nao-nulo num espaco normado X e M o espaco gerado por e. Entao,M = te : t ∈ R e g : M → R dado por g(te) = t define um funcional linear em M . Como Xe um espaco normado e M e finito-dimensional, nao e difıcil mostrar que g ∈ M∗. Portanto,cabe a pergunta: Existe um funcional linear f ∈ X∗ tal que f |M ≡ g? Naturalmente, umacondicao necessaria e que g(x) ≤ ρ(x) ∀x ∈M , em que ρ(x) = |f(x)| se x ∈M . De um modogeral, podemos questionar o seguinte:

Problema 4.1 (Extensao de funcionais) Sejam X um espaco vetorial real, M um sube-spaco de X e g : M → R um funcional linear. Existe um funcional linear f : X → R tal quef∣∣M≡ g?

O problema sobre a extensao de funcionais data de 1912 e deve-se a Eduard Helly. Entre osanos de 1927 e 1929, Hahn e Banach, usaram as tecnicas de Helly, outrora utilizadas somenteem espacos de sequencias, e passaram a lidar com o problema da extensao de funcionais emtoda sua generalidade em espacos normados abstratos.

Na secao seguinte iremos, passo a passo, promover a solucao do problema sobre a extensaode funcionais lineares.

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4.1 Solucao do Problema da Extensao de Funcionais

Comecemos com a seguinte definicao.

Definicao 4.1.1 Seja X um espaco vetorial real. Uma seminorma em X e uma funcaoρ : X → [0,∞) com as seguintes propriedades:

(i) ρ(x+ y) ≤ ρ(x) + ρ(y), para todo x, y ∈ X.

(ii) ρ(λx) = |λ|ρ(x), para todo x ∈ X e λ ∈ R.

Vamos ao Teorema principal deste capıtulo.

Teorema 4.1.2 (Hahn-Banach) Seja M um subspaco de um espaco vetorial X, e g : M →R um funcional linear em M . Suponha que exista uma seminorma em X, ρ : X → [0,∞) talque: g(x) ≤ ρ(x), para todo x ∈ M . Entao, existe um funcional linear f : X → R tal quef∣∣M≡ g e f(x) ≤ ρ(x) para todo x ∈ X.

Prova. Mais uma vez faremos uso do Lema de Zorn. Considere o seguinte conjunto:

F = (F, h)∣∣F e um subepaco de X, M ⊂ F, h ∈ F ], h

∣∣M≡ g, eh(x) ≤ ρ(x), ∀x ∈ F .

Por definicao, (M, g) ∈ F . Considere em F a seguinte relacao de ordem: (F1, h1) (F2, h2)se, e somente se, F1 ⊂ F2 e h2

∣∣F1≡ h1. Deixamos para o leitor a constatacao de ” ” define

uma ordem parcial em F . Seja M = (Fα, hα) : α ∈ Λ um subconjunto totalmente ordenadode F , e mostremos que M possui uma cota superior em F . Defina F =

⋃α∈Λ Fα e h : F → R

por h(x) = hα(x) se x ∈ Fα. Como M e totalmente ordenado e cada Fα contem M , segue-sefacilmente que (F, h) ∈ F . Alem disso, (Fα, hα) (F, h) para todo α ∈ Λ. Portanto, (F, h)e uma cota superior para M em F . Pelo Lema de Zorn, o conjunto F possui um elementomaximal que o denotaremos por (F , h). Agora, vamos a segunda parte da demonstracao.

Afirmacao. F = X. Suponhamos o contrario que exista x0 ∈ X tal que x0 6∈ F . Considereo espaco gerado por x0, M = tx0 : t ∈ R. Defina F : = F ⊕ M , e h : F → R pondoh(z+ tx0) = h(z)+ tβ, onde β e um numero real (a ser escolhido). Note que (F , h) (F , h). Aideia, portanto, e chegarmos a uma contradicao em relacao a maximalidade do par (F , h). Paratanto, basta mostrarmos que o novo par (F , h) e um elemento de F . Para isso, so resta mostrarque h(x) ≤ ρ(x) para todo x ∈ F . Seja x = z + tx0 com t > 0. Entao, h(z + tx0) ≤ ρ(z + tx0)se, e so se,

h(z) + tβ ≤ ρ(z + tx0),

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se, e so se, (dividindo ambos os lados da desigualdade por t > 0)

β ≤ ρ(y + x0)− h(y),

para todo y ∈ X. Por outro lado, se x = z + tx0 com t < 0, entao h(z + tx0) ≤ ρ(z + tx0) se,e so se,

h(z) + tβ ≤ ρ(z + tx0),

se, e so se, (dividindo ambos os lados da desigualdade por −t > 0)

h(−zt

)− β ≤ ρ(−zt− x0),

se, e so se,h(x)− ρ(x− x0) ≤ β,

para todo x ∈ X. Assim, devemos ter

supx∈X

h(x)− ρ(x− x0) ≤ β ≤ inf

y∈Xρ(y + x0)− h(y). (4.1)

Vejamos se isso de fato ocorre. Sabemos que h(x + y) ≤ ρ(x + y), para quaisquer x, y ∈ X.Daı, segue-se que

h(x) + h(y) = h(x+ y) ≤ ρ(x+ y) ≤ ρ(x− x0) + ρ(y + x0),

donde vem queh(x)− ρ(x− x0) ≤ ρ(y + x0)− h(y),

para quaisquer x, y ∈ X. Desta feita, basta finalmente escolher

β ∈[

supx∈X

h(x)− ρ(x− x0), inf

y∈Xρ(y + x0)− h(y)

].

Isso demonstra a desigualdade (4.1) e prova o Teorema de Hahn-Banach.

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4.2 Consequencias

Proposicao 4.2.1 Seja X um espaco normado e x0 um vetor nao-nulo em X. Entao, existeum funcional linear h ∈ X∗ tal que h(x0) = ‖x0‖ e ‖h‖ = ‖x0‖.

Prova. Seja M = span(x0) e defina g : M → R pondo g(tx0 = t‖x0‖. Considere a seminormap : X → [0,∞) definida por p(x) = ‖x‖. Entao, g(tx0) ≤ |t|‖x0‖ = ‖tx0‖ = p(tx0). PeloTeorema de Hahn-Banach, existe um funcional linear f : X → R que e uma extensao de g esatisfaz f(x) ≤ p(x) para todo x ∈ X. Note tambem que −f(x) = f(−x) ≤ p(−x) = p(x),para todo x ∈ X. Isso mostra que |f(x)| ≤ p(x), ∀x ∈ X. Em particular, f e cont´ i nua nozero e, portanto, f ∈ X∗.

Proposicao 4.2.2 Seja Y um subespaco de um espaco normado (X, ‖ · ‖). Suponha que g ∈Y ∗. Entao, existe um funcional f ∈ X∗ tal que f

∣∣Y≡ g e ‖f‖X∗ = ‖g‖Y ∗.

Prova. Defina p : X → [0,∞) pondo p(x) = ‖g‖Y ∗‖x‖. Entao, g(y) ≤ ‖g‖Y ∗‖y‖ = p(y) paratodo y ∈ Y . Pelo Teorema de Hahn-Banach, existe um functional linear f : X → R tal quef∣∣Y≡ g e f(x) ≤ p(x), par qualquer x ∈ X. Ja sabemos que |f(x)| ≤ p(x), para todo x ∈ X.

Portanto, |f(x)| ≤ ‖g‖Y ∗‖x‖, ∀x ∈ X, o que implica que ‖f‖X∗ ≤ ‖g‖Y ∗ . Por outro lado, sex ∈ Y entao

‖f‖X∗ ≥|f(x)|‖x‖

=|g(x)|‖x‖

,

o que implica que ‖f‖X∗ ≥ ‖g‖Y ∗ . Como desejado.

Proposicao 4.2.3 Sejam (X, ‖ · ‖) um espaco normado e x ∈ X \ 0. Entao, existe f ∈ X∗

tal que ‖f‖ = 1 e f(x) = ‖x‖.

Prova. Seja Y = span(x) e defina g : M → R pondo g(tx) = t‖x‖. Note que

‖g‖Y ∗ = sup‖tx‖=1

|g(tx)|‖tx‖

= 1,

donde segue-se que g ∈ Y ∗. Pela Proposicao 4.2.2, existe f ∈ X∗ tal que f∣∣Y≡ g e ‖f‖X∗ =

‖g‖Y ∗ . Mas, isso signifca que f(x) = ‖x‖ e ‖f‖X∗ = 1.

A Proposicao 4.2.3 permite mostrar a seguinte caracterizacao da norma de uma espaconormado.

49

Corolario 4.2.4 Seja (X, ‖ · ‖) um espaco normado. Entao, para todo x ∈ X vale

‖x‖ = supf∈BX∗

|f(x)| = maxf∈BX∗

|f(x)|.

Prova. Podemos supor que x 6= 0, pois do contrario nao ha o que ser feito. Claramente, tem-se|f(x)| ≤ ‖f‖‖x‖ ≤ ‖x‖, para todo f ∈ BX∗ . Agora, pela Proposicao 4.2.3, existe f ∈ X∗ talque ‖f‖ = 1 e f(x) = ‖x‖. Isso conclui a demonstracao.

Uma outra consequencia simples mas importante e a seguinte.

Corolario 4.2.5 Se X e um espaco de Banach infinito-dimensional, entao X∗ e infinito-dimensional.

Prova. Suponha o contrario que X∗ e finito-dimensional, digamos dim(X∗) = n. Sejamf1, . . . , fn uma base para X∗, e defina Φ: X → Rn pondo Φ(x) = (f1(x), . . . , fn(x)). Clara-mente tem-se que Φ e linear. Afirmamos que Φ e injetiva. De fato, suponha que Φ(x) = 0.Entao, x ∈

⋂Ker(fi). Como todo funcional em X∗ e combinacao linear dos f ′is, segue-se que

f(x) = 0 para todo f ∈ X∗. Se fosse x 6= 0, entao do Corolario 4.2.4 acima concluirıamos quef(x) = ‖x‖ 6= 0 para algum f ∈ X∗ tal que ‖f‖ = 1. Contradicao.

4.3 Versao Geometrica do Teorema de Hahn-Banach

Nesta secao veremos uma outra aplicacao decorrente do Teorema de Hahn-Banach.

4.3.1 Hiperplanos

Seja (X, ‖ · ‖) um espaco de Banach Banach. Um subespaco Y de X e dito ser um hiperplanode X se existe um funcional f ∈ X∗ tal que Y = f−1(0). Em particular, todo hiperplano de Xe um subespaco fechado. Um subconjunto H ⊂ X e chamado um hiperplano afim se existemum vetor x ∈ X e um hiperplano Y de X tal que H = x+ Y .

Proposicao 4.3.1 H ⊂ X e um hiperplando afim se, se somente se, existem f ∈ X∗ e α ∈ Rtais que H = f−1(α).

Prova. Se H = x + f−1(0) e um hiperplando afim, entao pondo α = f(x) segue-se queH = f−1(α). Deixamos como exercıcio a demonstracao da recıproca.

50

Definicao 4.3.2 Sejam dados conjuntos A,B ⊂ X e H = f = α um hiperplano afim.

• H e dito separar A e B quando f(x) ≤ α ≤ f(y), para todo x ∈ A e y ∈ B.

• H e dito separar estritamente os conjuntos A e B quando existe um ε > 0 tal que

f(x) ≤ α− ε e α+ ε ≤ f(y),

para quaisqer x ∈ A e y ∈ B.

4.3.2 Funcional de Minkowski

Seja C um subconjunto convexo de um espaco normado (X, ‖ · ‖).

Definicao 4.3.3 O funcional de Minkowski de C e a funcao pC : X → R definida por:

pC(x) = infλ > 0

∣∣λx ∈ C.As propriedades fundamentais dos funcionais de Minkowski estao relacionadas no seguinte

resultado.

Proposicao 4.3.4 Seja C um subconjunto convexo de um espaco normado (X, ‖·‖). Suponhaque 0 ∈ Int(C). Entao,

(i) 0 ≤ pC(x) <∞ para todo x ∈ X,

(ii) pC(αx) = αpC(x), para todo α > 0 e x ∈ X,

(iii) pC(x+ y) ≤ pC(x) + pC(y), para todo x, y ∈ X,

(iv) x ∈ X∣∣ pC(x) < 1 ⊂ C ⊂ x ∈ X

∣∣ pC(x) ≤ 1.

O detalhes da prova abaixo sao deixadas como exercıcio.

Prova. Para o item (i) e suficiente provar que pC(x) <∞ para todo x ∈ C. Por hipotese, existeδ > 0 tal que Bδ = x ∈ X : ‖x‖ ≤ δ ⊂ C. Se x 6= 0, entao δ‖x‖−1x ∈ Bδ ⊂ C. Portanto,como C e convexo e 0 ∈ C, segue-se que x ∈ ‖x‖δ C. Por definicao, temos pC(x) ≤ ‖x‖

δ < ∞,para todo x ∈ X \ 0.

51

(ii): Seja α > 0 e x ∈ C. Entao, x ∈ λC se, e somente se, αx ∈ λαC. Portanto,pC(αx) = αpC(x).

(iii): Sejam x, y ∈ X quaisquer. Fixe numeros s > pC(x) e t > pC(y). Por definicao,existem s0, t0 > 0 tais que s0x ∈ C e t0y ∈ C, com s > s0 e t > t0. Afirmamos que s0C ⊂ sC.Com efeito, dado z ∈ C arbitrario, vemos que

s0z =s0

s(sz) + (1− s0

s)0 ∈ sC.

Portanto, x ∈ sC e da mesma forma y ∈ tC. Segue-se que x+ y ∈ sC + tC. Por convexidade,temos

x+ y ∈ (t+ s)( s

t+ sC +

t

t+ sC)⊂ (t+ s)C,

donde conclui-se que pC(x+y) ≤ (t+s) e, portanto, como s, t sao arbitrarios, que pC(x+y) ≤pC(x) + pC(y).

(iv): Se pC(x) < 1, entao da definicao de ınfimo, concluimos que x ∈ λC para algumλ ∈ (0, 1). Entao, existe u ∈ C tal que

x = λu+ (1− λ)0 ∈ C.

Por outro lado, se x ∈ C entao pC(x) ≤ 1 por definicao. Isso conclui a prova de (iv).

Com um pouco mais de perseveranca, prova-se ainda que:

Proposicao 4.3.5 Seja C como acima.

(i) Se C e aberto, entao C = x ∈ X∣∣ pC(x) < 1.

(ii) Se C e fechado, entao C = x ∈ X∣∣ pC(x) ≤ 1.

4.3.3 A Forma Geometrica do THB

A versao geometrica do Teorema de Hahn-Banach e a seguinte.

Teorema 4.3.6 Sejam C um subconjunto fechado e convexo de um espaco normado X ex0 ∈ X \C. Entao, existe f ∈ X∗ tal que supf(x) < f(x0) para todo x ∈ C. Em particular,o hiperplano afim H = f = f(x0) separa x0 e C.

Prova. Sem perda de generalidade, podemos supor que 0 ∈ C. Do contrario, consideramos oconunto C −x e o vetor x0− x ao inves de C e x0. Seja δ = dist(x0, C). Como C e fechado,

52

segue-se que δ > 0. Considere agora o conjunto D = x ∈ X∣∣dist(x,C) ≤ δ. Tendo em

vista que 0 ∈ C, mostra-se facilmente que δ4BX ⊂ D. Portanto, D contem o vetor 0 em seu

interior. Note tambem que D e fechado, convexo e x0 6∈ D. Seja pD o funcional de Minkowskide D. Pela Proposicao 4.3.5, vemos que pD(x0) > 1. Seja M = 〈x0〉 o espaco gerado por x0e defina g(tx0) = tpD(x0). Segue-se que g(tx0) ≤ pD(tx0) para todo t ∈ R. Pelo Teoremade Hahn-Banach, existe um funcional linear f : X → R tal que f(x) ≤ pD(x) e f

∣∣M≡ g.

Afirmamos que f ∈ X∗. Com efeito, se x ∈ D entao pD(x) ≤ 1. Logo, f(x) ≤ pD(x) ≤ 1.Uma vez que D contem uma vizinhanca da origem, segue-se que f e limitada numa vizinhancada origem. Isso implica que f ∈ X∗. Por outro lado, como C ⊂ D vemos que se x ∈ C, entaof(x) ≤ pD(x) ≤ 1 < pD(x0) = f(x0). Segue-se que supf(x) ≤ 1 < f(x0). Isso conclui aprova.

Corolario 4.3.7 Seja X um espaco de Banach.

(i) Seja C um subconjunto aberto convexo de X. Se x0 6∈ C, entao existem f ∈ X∗ e λ ∈ Rtal que f(x0) = λ e f(x) < λ para todo x ∈ C.

(ii) Sejam A,B convexos disjuntos em X. Se A e aberto, entao existem f ∈ X∗ e λ ∈ R taisque f(x) < λ ≤ f(y), para todo x ∈ A e y ∈ B.

Corolario 4.3.8 Sejam A,B convexos disjuntos em X. Suponha que A e fechado e B ecompacto. Entao, existe um hiperplano que separa A e B estritamente.

Capıtulo 5

Topologias Fracas

5.1 Teorema de Riesz

O seguinte resultado e devido a F. Riesz.

Teorema 5.1.1 Seja X um espaco normado. Suponha que a bola BX e compacta. Entao, Xe um espaco finito-dimensional.

Proof. Suponha por contradicao que X e infinito-dimensional. Considere a esfera SX = x ∈X : ‖x‖ = 1. Como BX e compacto segue-se que SX e compacto como um subconjunto fechadode um espaco metrico compacto. Em particular, SX satisfaz a propriedade da intersecao finita.Considere a famılia F de todos os hiperplanos contidos em X. O Corolario 4.2.4 implica que⋂H∈FH = 0. Considere agora a famılia U = H ∩ SX : H ∈ F. Como SX e compacto, do

Teorema 3.7.8 existem H∗1 , . . . ,H∗n hiperplanos em F tais que (H∗1 ∩ · · · ∩H∗n) ∩ SX = (H∗1 ∩

SX)∩· · ·∩(Hn∩SX) = ∅. Isso implica que H∗1 ∩· · ·∩H∗n = 0. Sejam f1, . . . , fn funcionais emX∗ tais que H∗i = Ker(fi). Dado qualquer f ∈ X∗, segue-se que

⋂ni=1 Ker(fi) = 0 ⊂ Ker(f).

Entao, pela Proposicao 1.3.5, f ∈ 〈f1, . . . , fn〉. Isso implica que dim(X∗) ≤ n. Contradicao.

Observacao 5.1.1 A demonstracao acima mostra tambem que se X e de dimensao infinita,entao para quaisquer f1, . . . , fn ∈ X∗, tem-se

⋂ni=1 Ker(fi) 6= 0.

Corolario 5.1.2 Se K e um subconjunto compacto de um espaco normado X, entao K possuiinterior vazio.

53

54

Do ponto de vista topologico, a partir desses resultados vemos a necessidade de considerartopologias mais ricas e frutıferas em espacos vetoriais normados.

5.2 Definicao de Topologia Fraca

Seja X um espaco normado e X∗ o dual topologico de X. Considere a famılia

F = f : X → R∣∣ f ∈ X∗ = X∗.

Definicao 5.2.1 A topologia fraca de X e a topologia σ(X,X∗) em X induzida por X∗.

5.2.1 Propriedades da Topologia Fraca

Proposicao 5.2.2 Seja X um espaco normado. Entao, σ(X,X∗) e Hausdorff.

Prova. Isso e uma consequencia do Teorema de Hahn-Banach. (Exercıcio).

Seja xn uma sequencia em X. Usamos a notacao xnw→ x para indicar que xn converge

na topologia σ(X,X∗) para um ponto x ∈ X.

Proposicao 5.2.3 Seja X um espaco normado. Entao, xnw→ x se, e somente se, para todo

f ∈ X∗ tem-selimn→∞

f(xn) = f(x).

Prova. Seja f ∈ X∗ qualquer, e suponha que xnw→ x. Dado ε > 0, segue-se da definicao de

topologia fraca que U = f−1

(f(x) − ε, f(x) + ε)

e um aberto fraco. Logo, existe nε ∈ Ntal que xn ∈ U para todo n ≥ nε. Isso implica que, f(xn) ∈ (f(x) − ε, f(x) + ε) para todon ≥ nε. Portanto, |f(xn) − f(x)| < ε para todo n ≥ nε. Isso demonstra o que querıamos.Recıprocamente, seja U um aberto da topologia fraca contentendo x. Por causa da Proposicao3.3.3, existem ε > 0 e funcionais f1, . . . , fn ∈ X∗ tais que

y ∈ X∣∣ |fi(y)− fi(x)| < ε, ∀i = 1, . . . , n ⊂ U.

Por hipotese, para cada i = 1, . . . , n, existe ni ∈ N tal que |fi(xn)−fi(x)| < ε para todo n ≥ ni.Seja n0 = minni : i = 1, . . . , n. Entao, xn ∈ y ∈ X

∣∣ |fi(y)− fi(x)| < ε, ∀i = 1, . . . , n, paratodo n ≥ n0. Isso conclui a prova.

55

Proposicao 5.2.4 Seja X um espaco normado de dimensao infinita. Se U e um aberto fraco,entao U nao pode ser limitado na topologia da norma. Em particular, vale a inclusao estritaσ(X,X∗) ⊂ T‖·‖X , onde T‖·‖X representa a topologia gerada pela norma de X.

Prova. Sem perda de generalidade, podemos supor que 0 ∈ U . Entao, existem ε > 0 efuncionais f1, . . . , fn ∈ X∗ tais que⋂

x ∈ X∣∣ |fi(x)| < ε

⊂ U.

Da Obeservacao 5.1.1, segue-se que N =⋂ni=1 Ker(fi) 6= 0. Portanto, existe x 6= 0 em N .

Em particular, λx ∈ N para todo λ ∈ R. Isso implica que U nao pode ser limitado na topologiada norma.

Proposicao 5.2.5 A topologia fraca σ(X,X∗) num espaco normado e uma topologia vetorial.

Prova. Exercıcio.

Proposicao 5.2.6 Seja (X, ‖ · ‖) um espaco normado. Suponha que xn e um sequencia emX tal que xn x em X. Entao:

(i) xn e limitada na topologia da norma.

(ii) ‖x‖ ≤ lim infn→∞ ‖xn‖

Prova. Exercıcio.

Vale ainda a seguinte caracterizacao da topologia fraca em termos da dimensao do espacoX.

Teorema 5.2.7 Seja X um espaco normado. Sao equivalentes:

(i) X e finito-dimensional.

(ii) As topologias fraca e forte coincidem em X.

(iii) A topologia fraca e metrizavel.

(iv) A topologia fraca satisfaz o primeiro axioma da enumerabilidade.

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Prova. Num espaco vetorial de dimensao finita, duas topologias vetoriais de Hausdorff saosempre equivalentes (veja, Teorema 3.9.1). Portanto, (i) implica (ii). As implicacoes (ii) ⇒(iii)⇒ (iv) sao obvias. Vamos provar agora que (iv)⇒ (i). Suponha por contradicao que X einfinito-dimensional. Como σ(X,X∗) satisfaz o primeiro axioma da enumerabilidade, podemosencontrar uma sequencia fn em X∗ tal que as vizinhancas fracas

U1, U2, . . .

definidas por

Un =x ∈ X

∣∣ |fi(x)| < 1, i = 1, . . . , n,

constituem uma base enumeravel de vizinhancas do vetor nulo 0 em X. Ja sabemos que⋂ni=1 Ker(fi) 6= 0. Portanto, podemos escolher uma sequencia xn em

⋂ni=1 Ker(fi) tal que

‖xn‖ = n. Segue-se que xn e ilimitada. Mas, como Un+1 ⊂ Un para todo n, xn ∈ Unpara todo n, e Un forma uma base de vizinhancas do zero em X para σ(X,X∗), podemosconcluir que xn 0 em X. Pela Proposicao 5.2.6, segue-se que xn e limitada em norma.Contradicao.

Embora a topologia fraca nunca seja metrizavel em espacos normados de dimensao infinita,em alguns espacos ocorrem propriedades bastantes bizarras.

Teorema 5.2.8 Considere o espaco `1 munido com sua norma usual. Entao, as convergenciasfraca e forte coincidem em `1. Ou seja, xn x em `1 se, e somente se, xn → x em `1.

5.3 Definicao de Topologia Fraca*

Seja X um espaco normado e X∗ o dual topologico de X. Considere o conjunto

F = ϕx : X∗ → R∣∣x ∈ X, ϕx(f) = f(x).

Definicao 5.3.1 A topologia fraca* de X∗ e a topologia σ(X∗, X) em X∗ induzida por F.

5.3.1 Propriedades da Topologia fraca*

Proposicao 5.3.2 Seja X um espaco normado. Entao, σ(X∗, X) e Hausdorff.

Se fn e uma sequencia em X∗, usamos a notacao fnw∗→ f para indicar que fn converge

para o funcional f na topologia σ(X∗, X). Tal como foi feito na Proposicao 5.2.3, vale oseguinte resultado.

57

Proposicao 5.3.3 Seja X um espaco normado. Entao, fnw∗→ f se, e somente se, para todo

x ∈ X tem-selimn→∞

fn(x) = f(x).

Proposicao 5.3.4 Suponha que (X, ‖ · ‖) seja um espaco de Banach separavel. Entao, BX∗munido com a topologia fraca∗ e metrizavel, ou seja, (BX∗ , σ(X∗, X)) e um espaco topologicometrizavel.

Prova. Seja xn uma sequencia densa na topologia de norma em BX . Defina um metrica dna bola BX∗ da seguinte forma: d : BX∗ ×BX∗ → [0,∞) e tal que

d(f, g) =∞∑n=1

|f(xn)− g(xn)|2n

.

Nao e difıcil mostrar que as topologias σ(X∗, X) e τd (topologia induzida por d) sao equiva-lentes.

Um raciocınio similar prova ainda o seguinte resultado:

Teorema 5.3.5 O dual X∗ de um espaco de Banach X e separavel se, se somente se, a bolaBX e fracamente metrizavel.

Uma outra propriedade bastante interessante e a seguinte:

Proposicao 5.3.6 Seja X um espaco de Banach.

5.3.2 Teorema de Banach-Alaoglu

Enquanto que a bola de um espaco de Banach infinito-dimensional nao pode ser compacta, oprincipal resultado desta secao fala-nos que a bola do dual e compacta com relacao a topologiaσ(X∗, X). Vamos ao seu enunciado.

Teorema 5.3.7 Seja X um espaco de Banach. Entao, a bola BX∗ e compacta na topologiafraca∗.

Prova. Para cada x ∈ X defina Ax = R. Entao, cada Ax e igual ao espaco topologico R.Considere agora o produto cartesiano generalizado RX : =

∏Ax munido com a topologia

produto usual. Defina uma aplicacao Φ: X∗ → RX pondo Φ(f) = ((fx)x), onde fx = f(x).

58

Afirmacao 1. Φ e contınua de (X∗, σ(X∗, X)) em RX . Com efeito, se fnw∗→ f em X∗, entao

vemos da desigualdade ∣∣(Πx Φ)(fn)− (Πx Φ)(f)∣∣ =

∣∣fn(x)− f(x)∣∣,

que (Πx Φ)(fn)→ (Πx Φ)(f), para todo x ∈ X. Isso mostra que cada Πx Φ e contınua deX∗ em R. Portanto, da Proposicao 3.3.4, segue-se Φ e contınua. Como querıamos.

Afirmacao 2. Φ e injetiva. Ora, se Φ(f) = Φ(g) entao ((fx)x) = ((gx)x). Isso implica,aplicando as projecoes em cada coordenada se necessario, que fx = gx para todo x ∈ X.Portanto, f ≡ g. Isso demonstra a afirmacao.

Afirmacao 3. Φ e um homeomorfismo de (X∗, σ(X∗, X)) sobre Φ(X∗). Para tanto, em vistada Proposicao 3.3.4, e suficiente mostrar que para todo x ∈ X a funcao ϕx Φ−1 e contınua deRX em R. Ora, fixado x ∈ X, ϕx Φ−1 coincide com a x-esima projecao Πx que e contınua.

Assim, para mostrar que BX∗ e σ(X∗, X)-compacta basta mostrarmos que Φ(BX∗) e com-pacto em RX .

Afirmacao 4. K = Φ(BX∗) e compacto. Com efeito, note que

K =u ∈ RX

∣∣ |ux| ≤ ‖x‖, e ux+y = ux + uy, uλx = λux, λ ∈ R, x, y ∈ X

= K1 ∩K2,

ondeK1 =

∏x∈X

[− ‖x‖, ‖x‖

],

eK2 =

( ⋂x,y∈X

Ax,y

)∩(⋂x,y

Bx,y

),

em que Ax,y =u ∈ RX : ux+y − ux − uy = 0

e Bx,y =

u ∈ RX : uλx − λux = 0

. Nao e

difıcil mostrar que Ax,y, Bx,y sao fechados em RX . Portanto, K2 e fechado. Por outro lado,segue-se do Teorema 3.7.5 (de Tychonoff) que K1 e compacto. Segue-se que K e compactocomo a intersecao de um compacto com um fechado. Isso conclui a demonstracao do Teoremade Banach-Alaoglu.

Capıtulo 6

Reflexividade

6.1 Injecao Canonica

Seja X um espaco de Banach, e considere o espaco bi-dual X∗∗. A injecao canonica de Xem X∗∗ e aplicacao J : X → X∗∗ definida por:

J(x)(f) = 〈f, x〉, x ∈ X.

O principal propriedade da injecao canonica e a seguinte:

Proposicao 6.1.1 A injecao canonica J e uma isometria.

Prova. Claramente tem-se que J e uma aplicacao linear. Resta-nos mostrar agora que‖J(x)‖ = ‖x‖ para todo x ∈ X. Dados quaisquer f ∈ X∗ \ 0 e x ∈ X, vemos que∣∣J(x)(f)

∣∣ = |f(x)| ≤ ‖f‖‖x‖, donde segue-se que

|J(x)(f)|‖f‖

≤ ‖x‖.

Isso mostrar em particular que ‖J(x)‖ ≤ ‖x‖, para todo x ∈ X. Por outro lado, sabemos viaProposicao 4.2.3 que para todo x ∈ X \ 0, existe f0 ∈ X∗ com ‖f0‖ = 1 tal que f0(x) = ‖x‖.Assim,

‖J(x)‖ ≥ |f0(x)|‖f0‖

= ‖x‖,

que quando combinada com a desigualdade anterior mostra ser verdadeira a igualdade ‖J(x)‖ =‖x‖ para todo x ∈ X. Portanto, J e uma isometria.

59

60

Definicao 6.1.2 Um espaco de Banach X e dito ser reflexivo quando a injecao canonica foruma aplicacao sobrejetiva, ou seja, J(X) = X∗∗.

Proposicao 6.1.3 Sao reflexivos os seguintes espacos:

(i) `p com 1 < p <∞,

(ii) Lp(Ω) com 1 < p <∞.

Prova. Provaremos somente o item (i). Sabemos que(`p)∗ ≡ `q com p e q conjugados.

Segue-se daı que(`p)∗∗ ≡ (`q)∗ ≡ `p.

6.1.1 Teorema de Goldstine

O resultado a seguir estabelece uma relacao importante entre a topologia σ(X∗∗, X∗) e aaplicacao J .

Teorema 6.1.4 Seja X um espaco de Banach. Entao,

J(BX)σ(X∗∗,X∗)

= BX∗∗ .

Prova. Do Teorema de Banach-Alaoglu podemos concluir que BX∗∗σ(X∗∗,X∗) = BX∗∗ . Como

J e uma isometria, segue-se que J(BX) ⊂ BX∗∗ . Portanto, passando o fecho, vemos que

J(BX)σ(X∗∗,X∗) ⊂ BX∗∗

σ(X∗∗,X∗) = BX∗∗ .

Deixamos a prova da inclusao contraria como exercıcio. (Veja por exemplo, [1])

6.1.2 Caracterizacao de Espacos Reflexivos

O principal resultado deste capıtulo e o seguinte.

Teorema 6.1.5 Um espaco de Banach X e reflexivo se, e somente se, a bola BX e compactana topologia fraca.

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Prova. Suponha X reflexivo. Entao, J(X) = X∗∗ e, portanto, J(BX) = BX∗∗ . Sabemos, peloTeorema de Banach-Alaoglu, que BX∗∗ e σ(X∗∗, X∗)-compacta em X∗∗. Agora, afirmamosque a aplicacao inversa J−1 :

(X∗∗, σ(X∗∗, X∗)

)→(X,σ(X,X∗)

)e contınua com relacao as

topologias indicadas. Pela Proposicao 3.3.4, e suficiente mostrarmos que se f ∈ X∗, entaof J−1 :

(X∗∗, σ(X∗∗, X∗)

)→ R e contınua. Isso de fato ocorre. Com efeito, dado qualquer

φ ∈(X∗∗, σ(X∗∗, X∗)

)existe x ∈ X tal que J(x) = φ. Assim, (f J−1)(φ) = f(x) = J(x)(f) =

ϕf (φ), o que implica dizer que f J−1 ≡ ϕf . Lembrando a definicao de topologia fraca*,concluımos que ϕf pertence a famılia que gera σ(X∗∗, X∗) e, portanto, f J−1 e contınua.Segue-se, em particular, que BX e fracamente compacta em X.

Recıprocamente, se BX e fracamente compacta, entao como J e linear, J(BX) e σ(X∗∗, X∗)-compacta (e portanto, σ(X∗∗, X∗)-fechada) em X∗∗. Por outro lado, sabemos pelo Teorema

6.1.4, que J(BX)σ(X∗∗,X∗)

= BX∗∗ . Portanto, J(BX) = BX∗∗ . Isso implica que X e reflexivo.

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Bibliografia

[1] H. Brezis, Functional Analysis, Masson, Paris (1983) (in French).

[2] N. Dunford and J. T. Schwartz, Linear Operators, Part I: General Theory. Interscience,New York (1958).

[3] E. L. Lima, lgebra Linear, 4a Ed., Coleo Matemtica Universitria, IMPA, RJ, 2000.

[4] J. R. Munkres, Topology, 2nd. Ed. Upper Saddle River. NJ: Prentice Hall. 2000.

63