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Esta é a transformada de Fourier. Você tem que agradecer a ela pela música que ouve no

streaming todos os dias, por espremer as imagens que você vê na internet em pequenos

arquivos JPG, e até mesmo pela tecnologia dos fones de ouvido com cancelamento de ruído.

Eis como ela funciona.

A equação permite aos matemáticos compreender rapidamente a frequência de qualquer

tipo de sinal. É uma façanha. E não sou só eu que estou dizendo: em 1867, o físico Lord

Kelvin também expressou seu amor eterno por esta obra da matemática. Ele escreveu: “o

teorema de Fourier não é apenas um dos mais belos resultados da análise moderna, mas

podemos dizer que ele fornece um instrumento indispensável no tratamento de quase todas

as perguntas recônditas na física moderna”. E é assim até hoje.

A transformada de Fourier foi desenvolvida pelo matemático Jean-Baptiste Joseph Fourier e

publicada em seu livro A Teoria Analítica do Calor, de 1822. Ele estava interessado em

como o calor fluía para dentro e em torno de materiais. No processo de estudar este

fenômeno, ele obteve sua transformada. Na época, ele não teria como perceber como era

importante a contribuição que estava dando — não apenas à matemática e à física, mas

também à engenharia, à tecnologia e à ciência como um todo.

Sua maior descoberta foi perceber que os sinais complicados poderiam ser representados

através da simples soma de uma série de sinais mais simples. Ele escolheu fazer isso por

meio da soma de senoides — aquelas ondas oscilantes que você viu na escola, que vagueiam

entre o pico e o vale com regularidade previsível. Digamos que você toca três teclas em um

piano. Você produz três notas diferentes, todas com frequências bem definidas — chamadas

de altura, quando estamos falando de som — que parecem ondas senoidais. Assim:

Follow 86 milCurtirCurtir

A música digital não existiria sem a transformada de Fourier - Gizmod... http://gizmodo.uol.com.br/transformada-fourier-usos/

1 de 7 27/05/2015 12:59

Mas ao somá-las, aquele agradável acorde parece bem mais bagunçado. Assim:

Parece complicado, mas sabemos que, fundamentalmente, são apenas três ondas senoidais

agrupadas no tempo e somadas. A grande sacada de Fourier foi perceber que, por mais

complicada que seja a forma da onda final, ela sempre pode ser representada como uma

combinação de senoides — mesmo que isso signifique usar um número infinito.

A genialidade dessa descoberta, para mim, é que, se você pode descobrir quais senoides

precisam ser adicionadas para criar a forma da onda final, você sabe exatamente quais as

frequências das ondas que precisam ser somadas — e em quais quantidades — para

representar o sinal. Com esse conhecimento, você sabe o conteúdo exato da sua onda

resultante.

Isso é o que a equação na parte superior da página faz em uma só tacada. O

termo x(t) representa o grande e complicado sinal que você está tentando representar por

mais simples. O termo e-jπ2ft parece um pouco assustador, mas na verdade é apenas o que

os matemáticos usam para representar essas senoides de que estamos falando.

A parte legal é que multiplicá-los e colocá-los juntos numa integral — aquela linha curva na

parte da frente e o dt no final — permite que a equação separe um por um os componentes

das senoides que são necessários para representar o sinal. Assim, o resultado da equação,

X(f), fornece a magnitude e tempo de atraso de cada um dos sinais simples que você precisa

somar.

Isto é a transformada de Fourier: uma função que explica exatamente que frequências estão

sobrepostas no sinal original. Isso pode parecer trivial, mas não é.

Imagine que você trabalhe com o envio de arquivos de áudio pela internet. Você poderia

simplesmente mandar a música inteira na forma como a gravadora a registrou, só que o

arquivo é grande demais quando está desse jeito. A razão para o seu tamanho é que é uma

gravação sem perdas, completa: cada frequência é preservada desde a gravação, por toda a

mixagem, até a faixa final. Aplique a transformada de Fourier em um pequeno trecho de

uma música, no entanto, e você vai descobrir que existem alguns componentes de

frequência que são incrivelmente dominantes e outros que mal aparecem.

O formato de arquivo MP3 faz exatamente isso; ele também joga fora os componentes de

frequência quase imperceptível para economizar espaço, bem como alguns dos que estão na

extremidade superior de nossa faixa de audição, porque temos dificuldade de distinguir


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Ele faz isso por toda a música, cortando-a em milhões de trechos, determinando os

componentes de frequência importantes e jogando fora aqueles que são sem importância. O

que resta são apenas as mais importantes frequências — ou notas — que podem ser tocadas

em seus ouvidos para representar (com bastante precisão) a música original. Ah, e este

arquivo tem menos de um décimo do tamanho original.

Também é muito semelhante à forma como funciona o Ogg Vorbis, o tipo de arquivo usado

pelo Spotify em seu aplicativo de desktop. Na verdade, o Vorbis usa uma versão

computacional extremamente rápida da transformada de Fourier, chamada de transformada

discreta de cosseno, mas em termos gerais é a mesma ideia.

Aliás, o Shazam usa essas mesmas transformadas: ele tem um banco de dados de

frequências distintas em canções, que ele compara com o que você coloca para o app ouvir,

porque isso é mais confiável do que tentar comparar uma gravação de áudio com outra.

E, já que estamos falando de áudio, os fones de ouvido com cancelamento de ruído também

usam transformadas de Fourier: um microfone grava o ruído do ambiente ao seu redor,

mede o conteúdo da freqüência em todo o espectro, e, em seguida, inverte o conteúdo para

adicionar um som em seu mix de áudio que vai anular os bebês chorando e ruídos da estrada

ao seu redor.

Mas a equação de Fourier não é um craque de uma jogada só, não. Até agora eu só falei

sobre ondas temporais como áudio — mas a transformada foi desenvolvida, em primeiro

lugar, para ajudar Fourier a resolver problemas relacionados com o fluxo de calor através de

materiais. Isso significa que ela também funciona em problemas que são espaciais.

Para Fourier, isso significava somar simples tipos de fluxos de calor em 2D para representar

os mais complexos. Mas, da mesma forma, a transformada de Fourier pode ser usada para

construir imagens digitais de forma mais eficiente do que a fazê-lo de pixel a pixel.

Arquivos de imagem sem perdas têm a cor de cada pixel definida separadamente. Quando

você salva como JPG, a imagem é dividida em pedaços pequenos e a transformada de

Fourier é aplicada a cada um dos blocos. Ela fornece uma descrição das frequências

espaciais sobre como cor e brilho variam ao longo deste pequeno pedaço da imagem. Assim

como no caso de MP3, o JPG joga fora alguns componentes de alta freqüência, que, no caso

de uma imagem, fornecem os detalhes nítidos.

Para a maioria de nós, nossos olhos não podem detectar diferenças sutis de cor. Portanto,

jogar fora os componentes que dão a variação de pixel para a pixel não altera a aparência da

imagem. Obviamente, se você aumenta a compressão, começa a jogar no lixo frequências

mais baixas, também — e é aí que as coisas podem começar a ficar meio pixeladas, à medida

que as variações de cor entre os sub-blocos se tornam mais aparentes.

Exceto para os ouvidos e olhos muito treinados, sistemas de compressão como MP3 e JPG

são pouco perceptíveis na maioria das vezes — os sons e imagens ficam ótimos e ainda

conseguem ocupar apenas uma fração do espaço que seus irmãos sem perdas demandam.

Em outras palavras, eles transformam imagens e músicas digitais em coisas práticas, o que

nos permite compartilhá-los facilmente — um feito absolutamente incrível para uma única

equação. Sem dúvida Fourier, prático o suficiente para escrever um livro sobre o fluxo de

calor, aprovaria.

Imagens por Christine Daniloff/MIT


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Dane-se o Chrome, eu vou voltar para o

Firefox

A pirâmide mais antiga do Egito está

sendo destruída pela empresa contratada

para restaurá-la

A música digital não existiria sem a

transformada de Fourier

Dois novos buracos gigantes são

encontrados na Sibéria, e cientistas

ainda estão perplexos


4 de 7 27/05/2015 12:59

68 Comentários Gizmodo Brasil Iniciar sessão

• •

Karel Cristian •

Simplesmente incrível. Nunca tinha ido atrás pra entender a mágica por trás doShazam. Quando uso ele pareço uma criança olhando pra um truque e meperguntando: Como? Como tão rápido?

• •

Murphy •

ué

• •

Renato Biancalana da Silva •

O que você leu aqui foi só uma ínfima (pra não dizer insignificante) parte damágica.

Se souber inglês, dá uma lida aqui:http://www.soyoucode.com/2011/...

• •

Karel Cristian •

Caramba, muito interessante. Agora vou tentar explicar isso prapróxima pessoa que usar ele rsrsrsrs

• •

Matheus Schettino •

Parabéns pela matéria. Gostaria de ver mais pautas como essa, temas mais técnicostransmitidos com uma abordagem mais aberta, bem como quando publicaram sobreprogramação de baixo nível em jogos.

• •

Pacificador •

Pagode então, deve ter a seguinte transformada de Fourier:2+2=5

• •

Legolas •

e funk? 2+2= 11.. Acerto miséravi

• •

Voadora do Bran Stark •

ESSE VIDEO >> ALL

• •

Clonex8 •

Tonico e Tinoco algo como....:____________________________________

• •

Someuser10 •

Sera que vc poderia deixar o link dessa materia?Obrigado

• •

Joao Paulo •

Estou estudando essas transformadas no meu curso de engenharia elétrica.Essas transformadas são extremante úteis para calculo de circuito elétrico .Com uma somatória de integrais sen e cos é possível reproduzir qualquer gráfico,mesmo este sendo uma reta ,o que é muito louco ,gráficos de sen e cos sãoondulados (similar a onda de rádio) .Com certeza uma das formulas mais loucas e úteis que já vi .

SomeUser •

Eu fiz elétrica tb. E esta reportagem me lembrou deste tempo. Mas eu nãosabia que eram utilizadas nestes casos da reportagem, como na compressãode imagens.

É uma fórmula realmente impressionante.


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