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VETORES
Definição
Ente matemático representado por um segmento
de reta orientado:
A
Elementos
•Direção:
Reta r suporte onde o vetor é traçado
•Sentido:
Lado sobre a reta r para o qual o vetor aponta
•Módulo:
Valor numérico associado ao vetor
•Ponto de aplicação:
Local inicial o vetor
Exemplo
Observe o vetor:
Direção: horizontal
Sentido: para direita
Módulo: 12,92 cm
Aplicação: Objeto O
12,92 cm
Componentes dos Vetores
Se os vetores estiverem inclinados, faz-se a
projeção dos mesmos sobre eixos horizontais
e verticais:
A
A
xA
yAA
Valores das Componentes
• Componente Horizontal
• Componente Vertical
senVVy
cosVVx
Depois de calcular as componentes de um
vetor, pode-se escrevê-lo em termos delas, por
meio da expressão:
Expressão de um Vetor
jViVV yxˆˆ
ExemploDado o vetor abaixo, determinar:
(a) suas componentes ortogonais
(b) sua expressão vetorial.
(a) suas componentesN 100V
º 30
N50º30sen100
sen
N6,86º30cos100
cos
y
y
x
x
V
VV
V
VV
(b) sua expressão
N ˆ50ˆ6,86
ˆˆ
jiV
jViVV yx
Adição de Vetores
Pode ser feita de três modos:
• regra do polígono
• regra do paralelogramo
• regra das componentes
Regra do polígono
• Os vetores são unidos de modo que o vetor
seguinte esteja conectado à extremidade do
vetor anterior;
• O vetor soma inicia-se junto ao primeiro e
termina junto ao último vetor.
A
B
C
ExemploDados os vetores a seguir, determine a soma:
A
B
C
S
CBAS
Regra do Paralelogramo
• Os vetores são iniciados a partir de um
ponto comum;
• Da extremidade de cada vetor se traça uma
linha paralela ao outro vetor;
• O vetor soma inicia no ponto comum e
termina onde as paralelas se encontram
A
B
ExemploDados os vetores a seguir, determine a soma:
A
B
S
BAS
Regra das Componentes
• Decompor o vetor nas componentes horizontal e
vertical;
• Efetuar a soma das componentes, separadamente.
ExemploDados os vetores a seguir, determine a soma:
A B
C
CBAS
Solução:
•Somar as componentes:
•Escrever cada vetor na
forma das componentes:
jiC
jiB
jiA
2
22
32
jiS
jiC
jiB
jiA
35
2
22
32
•Representar o vetor soma:
S
Módulo de um Vetor
Dado o vetor:
S
Seu módulo será dado aplicando-se o
Teorema de Pitágoras:
222 ˆˆ jSiSS yx
Seja o Vetor S, representado a seguir. Qual seu módulo?
Exemplo
S
Solução:
uS
S
jSiSS yx
83,534
92535
ˆˆ
222
222
Produto Vetorial
Pode ocorrer de três modos distintos:
• produto de vetor por escalar
• produto escalar entre vetores
• produto vetorial entre vetores
Produto por escalar
Quando se multiplica um vetor por uma
grandeza escalar qualquer:
vkm
.
B
ExemploDetermine o produto:
B
BP
3
B
B
P
Produto escalar
Quando se multiplica um vetor por outro
vetor e se obtém uma grandeza escalar, tal
como o trabalho:
BAP
.Que tem como módulo:
cos..BAP
ExemploDados os vetores a seguir, determine seu produto escalar:
A
B
º45
14
4
67,5
4444 22
arctgarctgiA
jAarctg
uA
AjiA
x
y
uP
BAP
BAP
02,12
º45cos.3.67,5cos..
.
Produto Vetorial
Quando se multiplica um vetor por outro
vetor e se obtém novo vetor, tal como o torque:
BAP
Que tem como módulo:
sen..BAP
ExemploDados os vetores a seguir, determine seu produto vetorial:
A
B
º45
14
4
67,5
4444 22
arctgarctgiA
jAarctg
uA
AjiA
x
y
uP
BAP
BAP
02,12
º45sen.3.67,5sen..
.
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