universidade federal de itajubá ell 105 elementos básicos e fasores prof. carlos henrique unifei

Universidade Federal de ItajubáUniversidade Federal de Itajubá

ELL 105 Elementos básicos e

Fasores

Prof. Carlos HenriqueProf. Carlos HenriqueUNIFEI UNIFEI

ELEMENTOS BÁSICOS E FASORES

ELEMENTOS BÁSICOS

Resposta dos elementos básicos R, L e C a uma tensão ou corrente senoidal.

RESISTÊNCIA

RESISTÊNCIA

m ( )v V sen wt

v ti t

R

viR

ou

RESISTÊNCIA

TENSÃO E CORRENTE EM FASE

m ( ) ( )mV

i sen wt I sen wtR

onde mm

VI

R

INDUTOR

INDUTOR

INDUTOR

Ldiv Ldt

cos( )L mv wL I wt

m ( )i I sen wt

INDUTOR

m mV wL I

( 90 )oL mv V sen wt Tensão está adiantada da corrente de 90 graus

A tensão induzida se opõe à circulação de corrente, atrasa a corrente !!!

REATÂNCIA INDUTIVA

2LX wL f L

A reatância indutiva é uma oposição à corrente elétrica que resulta numa troca contínua de energia entre a fonte e o campo magnético do indutor. Não há dissipação de energia !!!

NO INDUTOR, A TENSÃO VEM ANTES DA CORRENTE !!!

TENSÃO ADIANTADA DE 90

CAPACITOR

CAPACITOR

CAPACITOR

Cdvi Cdt

cos( )C mi wCV wt

m ( )v V sen wt

CAPACITOR

m mI wCV

( 90 )oC mi I sen wt Corrente está adiantada da tensão de 90 graus

Ao se ligar a fonte ao capacitor, inicia-se o movimento de corrente elétrica, e em seguida, a tensão entre as placas começa a crescer !!!

REATÂNCIA CAPACITIVA1 1

2CX wC f C

A reatância capacitiva é uma oposição à corrente elétrica que resulta numa troca contínua de energia entre a fonte e o campo elétrico do capacitor. Não há dissipação de energia !!!

NO CAPACITOR, A CORRENTE VEM ANTES DA TENSÃO !!!

CORRENTE ADIANTADA DE 90

EXEMPLO 1

EXEMPLO 2

EXEMPLO 3

VARIAÇÃO COM A FREQUÊNCIA

Os elementos básicos R, L e C têm seus valores dependentes da frequência f.

A resistência é constante para frequências até centenas de kHz.

VARIAÇÃO COM A FREQUÊNCIAEM CORRENTE CONTÍNUA f=0

2 0LX f L EM ALTAS FREQUÊNCIAS

2LX f L

CURTO CIRCUITO

CIRCUITO ABERTO

VARIAÇÃO COM A FREQUÊNCIAEM CORRENTE CONTÍNUA f=0

12CX f C

EM ALTAS FREQUÊNCIAS

CURTO CIRCUITO

CIRCUITO ABERTO

1 02CX f C

RESISTOR DE CARBONO

RESISTOR DE CARBONO

VARIAÇÃO DA REAT. INDUTIVA

VARIAÇÃO DA REAT. CAPACITIVA

Resumindo

POTÊNCIA MÉDIA

POTÊNCIA MÉDIA

POTÊNCIA MÉDIA

m ( )vv V sen wt

m ( )ii I sen wt

m ( ) ( )m v ip vi V I sen wt sen wt

POTÊNCIA INSTANTÂNEA

POTÊNCIA MÉDIA

m mcos( ) cos(2 )2 2

m mv i v i

V I V Ip wt

VALOR FIXO VARIANTE COM O TEMPO

FAZENDO v i POTÊNCIA MÉDIA

m cos cos2

mef ef

V Ip V I

POTÊNCIA MÉDIAPARA O RESISTOR

A POTÊNCIA MÉDIA ABSORVIDA POR UM CAPACITOR OU POR UM INDUTOR É NULA

PARA O INDUTOR E CAPACITOR

22m

2efm

ef ef ef

VV Ip V I RI

R

0 1COS

90o 0COS 0P

FATOR DE POTÊNCIA

CARGA RESISTIVA

FP COS

0 90o Indutivo ef ef

PFPV I

1FP

ef efS V IPOTÊNCIA APARENTE

0 Resistivoo

90 0o o Capacitivo

EXEMPLO

EXEMPLO

EXEMPLO

NÚMEROS COMPLEXOS – FORMA RETANGULAR

C X jY

NÚMEROS COMPLEXOS – FORMA RETANGULAR

NÚMEROS COMPLEXOS – FORMA RETANGULAR

NÚMEROS COMPLEXOS – FORMA POLAR

C Z

NÚMEROS COMPLEXOS – FORMA POLAR

NÚMEROS COMPLEXOS – FORMA POLAR

NÚMEROS COMPLEXOS – FORMA POLAR

CONVERSÃO POLAR - RETANGULAR

2 2Z X Y 1 YtgX

RETANGULAR PARA POLAR

CONVERSÃO POLAR - RETANGULAR

cosX Z

Y Z senPOLAR PARA RETANGULAR

CONVERSÃO POLAR - RETANGULAR

CONVERSÃO POLAR - RETANGULAR

CONVERSÃO POLAR - RETANGULAR

SOMA DE FASORES

1 1 1C X jY 2 2 2C X jY

1 2 1 2 1 2C C X X j Y Y

SUBTRAÇÃO DE FASORES

MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO DE FASORES

1 1 1C Z 2 2 2C Z

1 2 1 2 1 2.C C Z Z

1 11 2

2 2

C ZC Z

SOLUÇÃO DE CIRCUITOS

SOLUÇÃO DE CIRCUITOS

No circuito CA, os elementos básicos L e C têm respostas diferentes do resistor R, por defasar a corrente e a tensão. A solução deixa de ser uma simples soma e subtração de tensões e correntes, como no circuito CC.

A solução é uma equação diferencial.

EQUAÇÃO DIFERENCIALCIRCUITO RL

cos( )mv V wtEQUAÇÃO DIFERENCIAL SOLUÇÃO DO CIRCUITO

cos( )mdiL Ri V wtdt

TENSÃO DA FONTE

CORRENTE PROCURADA

2 2 2cosmV wLi wt arctg

RR w L

MELHOR SAÍDA? Somar as duas tensões ponto a ponto

é uma solução mas muito imprecisa e demorada!!!

A melhor solução é utilizar os FASORES.

O fasor é um vetor girante no tempo. Tem intensidade e fase (ângulo)

porém não é estacionário, como o vetor.

NECESSIDADE DOS ALUNOS

COMPRAR UMA CALCULADORA CIENTÍFICA

QUE FAÇA CONVERSÃO POLAR – RETANGULAR E RETANGULAR – POLAR.

Produção de tensão trifásica

Geradores Síncronos

v = Valor eficaz da tensão

O sistema trifásico possui maior eficiência em relação ao monofásico, em torno de 150% para mesma potência.

FASORES

FASORES

cos( )mv V wt

SEJA A FORMA DE ONDA DA TENSÃO

O FASOR SERÁ

2mVV SEMPRE O VALOR EFICAZ, POR CONVENÇÀO

V V V É O VALOR EFICAZ DA TENSÃO

OPERAÇÕES COM FASORES Para somar ou subtrair duas funções

senoidais, devemos convertê-las para a forma fasorial, calcular usando a álgebra dos complexos e depois, o resultado é novamente transformado para obter a desejada função do tempo.

A álgebra dos fasores só pode ser aplicada a sinais senoidais e de mesma frequência

OPERAÇÕES COM FASORES O uso da notação fasorial

significa IMPLICITAMENTE que as tensões e as correntes são SENOIDAIS.

A FREQUÊNCIA não é representada.

EXEMPLOS Calcule a tensão de entrada no

circuito a seguir, sendo:

50 (377 30 )oav sen t

30 (377 60 )obv sen t

EXEMPLOS

EXEMPLOS Calcule a corrente i2 no circuito

a seguir, sendo:

120 ( 60 )oTi sen wt

1 80 ( )i sen wt

EXEMPLOS