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UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS
Faculdade de Engenharia Elétrica e de Computação
HELOISA HELENA MULLER
ANÁLISE DA ALOCAÇÃO ÓTIMA DE UNIDADES DE MEDIÇÃO FASORIAL
E ESTIMAÇÃO DE ESTADO
CAMPINAS
2016
HELOISA HELENA MULLER
ANÁLISE DA ALOCAÇÃO ÓTIMA DE UNIDADES DE MEDIÇÃO FASORIAL
E ESTIMAÇÃO DE ESTADO
Tese apresentada à Faculdade de Engenharia
Elétrica e de Computação / Departamento de
Sistemas e Energia da Universidade Estadual
de Campinas como parte dos requisitos
exigidos para a obtenção do título de doutora
em Engenharia Elétrica, na área de ENERGIA
ELÉTRICA
)
Orientador: PROF. DR. CARLOS ALBERTO DE CASTRO JÚNIOR
ESTE EXEMPLAR CORRESPONDE À VERSÃO FINAL
DA TESE DEFENDIDA PELA ALUNA HELOISA
HELENA MULLER, E ORIENTADA PELO PROF. DR.
CARLOS ALBERTO DE CASTRO JÚNIOR
CAMPINAS
2016
COMISSÃO JULGADORA - TESE DE DOUTORADO
Candidato: Heloisa Helena Muller RA: 830406
Data da Defesa: 22 de março de 2016
Título da Tese: "Análise da Alocação Ótima de Unidades de Medição Fasorial e
Estimação de Estado”.
Prof. Dr. Carlos Alberto de Castro Júnior (Presidente, FEEC/UNICAMP)
Prof. Dr. João Bosco Augusto London Júnior (EESC/USP)
Prof. Dr. Júlio César Stacchini de Souza (UFF)
Prof. Dr. Luiz Carlos Pereira da Silva (FEEC/UNICAMP)
Prof. Dr. Madson Cortes de Almeida (FEEC/UNICAMP)
A ata de defesa, com as respectivas assinaturas dos membros da Comissão
Julgadora, encontra-se no processo de vida acadêmica do aluno.
Dedico este trabalho aos meus pais Lucila Correa
Porto Müller (in memorian) e Walter Müller (in
memorian), à minha bisavó Anna Ferreira da Costa
(Vovó Donanna) (in memorian), e à minha amiga
Glória Souza de Almeida, por todos os
ensinamentos recebidos, pelo amor e amizade
incondicionais.
AGRADECIMENTOS
A Deus, por ter colocado em meu caminho todas as pessoas e instituições que mencionarei a
seguir, e por me permitir finalizar este trabalho.
Ao meu querido orientador Prof. Dr. Carlos Alberto de Castro Jr., pela supervisão e apoio
durante todo o desenvolvimento deste trabalho, pela sua paciência, amizade, respeito, e
compreensão comigo, transformando a minha forma de pensar e estimulando minha
criatividade.
À CAPES - Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior - pelo apoio
financeiro durante o desenvolvimento deste trabalho.
Aos meus amigos do DSE pela amizade, companheirismo, e solidariedade: Alexandre Hairuti
Anzai, Alison Rudá Camargo, Cássio Hideki Fujisawa, Carlos Eduardo Xavier, Daniel da
Conceição Pinheiro, David Andrés Sarmiento Nova, Diogo Salles Correa, Driele Plentz da
Silva Ribeiro, Elias Kento Tomiyama, Fabiano Schmidt, Fábio Alexandre Martins Monteiro,
Francisco David Moya Chaves, Gustavo Ognibeni Troiano, Hader Aguiar Dias Azzini, Jhon
Alexander Castrillón Largo, John Pavel Triveño Ramos, Jorge Fernando Gutiérrez Gómez,
Juan Sebastian Giraldo Chavarriaga, Lívia Maria de Rezende Raggi, Manfred Fritz Bedriñana
Aronés, Miguel Angel Yucra Ccahuana, Paulo Anderson Holanda Cavalcante, Paulo César
Magalhães Meira, Pedro Pablo Vergara Barrios, Priscila Alves dos Santos, Rafael Cuerda
Monzani, Rafael Schincariol da Silva, Regiane Rezende, Ricardo Augusto de Araújo, Ricardo
Torquato Borges, Santiago Patricio Torres Contreras, Thiago Ramos Fernandes, Tiago de
Moraes Barbosa, Tiago Rodarte Ricciardi, Victor Pellanda Dardengo,
Wilmer Edilberto Barreto Alferez.
A todos os funcionários da Faculdade de Engenharia Elétrica e de Computação, por todo o
suporte, respeito e colaboração.
Aos professores do Departamento de Sistemas e Energia, os da ativa e os da "ativa", porque
eles sempre estão trabalhando e colaborando, por este motivo ..., mesmo depois de se
aposentarem continuam na "ativa".
À minha querida professora de matemática Maria Helena Valente Buzato, por ser a responsável
em despertar meu gosto pela matemática, e por abrir várias perspectivas ao meu raciocínio e
pensamento.
Às minhas professoras e professores queridos do ensino fundamental e médio, que tanto
colaboraram na minha formação, as senhoras, Alba Arantes Marão, Angelina Barboza Gil,
Bernadete de Carvalho Almodovar, Carmen Eloise Figueiredo Müller, Célia Aparecida Ribeiro
Gallo (in memorian), Cleusa Silva Basaglia, Ester Pereira Silveira Rosado, Jovenir dos Reis
Gianoti, Maria Aparecida Rivera Ferreira, Maria Celeste Lopes de Oliveira Abbas, Maria
Cristina Soccio, Maria do Carmo Barbosa Racy (in memorian), Maria José da Silveira Trindade,
Maria José Rivera Villas Boas, Marialda Passos Pereira Chain, Marlene Alves Rugno, Nadir
Penha Gregório, Niusa Helena de Oliveira Zuanazzi, Rosalie Gallo y Sanches, Sueli de Paula
Toledo Ferrari, Vera Aparecida Rigo Tonini, Vera Maria Salgado Xavier, e os senhores, Abel
Inácio Ramos (in memorian), Ademir Rondini Engrácia, Armando Rafael D´Avoglio, Fabricio
Nogueira Carvalho (in memorian), Francisco Carlos Teixeira Pinto, José Flores da Cunha (in
memorian), José Garcia Martins (in memorian), Juracy Casagrande (in memorian), Lindolfo
Pellegrini (in memorian), Luiz Carlos de Paiva Vieira, Simpliciano Rodrigues Sant´Anna (in
memorian), Uelinton Garcia Perez, Valdemar Delavale, Waldir Basaglia, Wanderley Passoni
(in memorian).
À senhora Sílvia Maria Ribeiro Moleira, da Escola Estadual Professor Cícero Barbosa Lima
Jr., por me ajudar com os nomes de meus professores.
A minha querida amiga Marisa Maurício Carrasco Dionísio, por ter me ajudado no fechamento
dos nomes de meus professores do ensino médio e fundamental, mas principalmente por
partilhar comigo o pensamento de gratidão em relação a nossa formação básica.
A Valdinéia dos Santos Avelino e Frédio Soares Avelino, por me ajudarem a refletir com seu
exemplo de vida.
Aos meus queridos Larissa Müller Marques Troncoso, Eric Müller Troncoso Ruiz, e Luis
Miguel de Jesus Raimundo, pela amizade e carinho que extrapolam os laços familiares.
Aos meus amigos e a minha família.
"A Busca da Verdade"
"O que constitui o valor do homem não é a
verdade, que qualquer pessoa pode possuir ou
supõe possuir, mas o empenho sincero que o
homem empregou para descobrir a verdade. Pois é
por meio da busca pela verdade, e não com a posse
desta, que as suas forças se ampliam, e somente
nisto consiste a sua perfeição sempre crescente."
Gotthold Ephraim Lessing, in "Eine Duplik"
RESUMO
O objetivo principal deste trabalho é estudar os problemas da alocação ótima de PMUs (do
inglês Phasor Measurement Units) em redes de energia elétrica, sob a perspectiva de alguns
modelos de estimadores de estado existentes, utilizando o plano ótimo de alocação para reduzir
o risco da estimação de estado tornar-se insolúvel ou inadequada em algumas situações de
perdas de medidas e de PMUs. Os estudos compreendem alocação de PMUs assumindo o
modelo nó-ramo convencional da rede, e uma ampliação da análise considerando as
subestações, para atender às novas tendências da estimação de estado, onde o processo pode ser
dividido em diferentes níveis considerando as subestações, os sistemas interligados no nível nó-
ramo, o tipo de medida e sua frequência de coleta, e o tipo de estimador. Também é objetivo a
avaliação de estimadores de estado multiníveis, e as perspectivas de combinar alocações e
análises utilizando as Leis de Kirchhoff, para torná-los mais robustos em suas tarefas de
determinação da topologia da rede e obtenção de seu respectivo estado a partir das subestações.
Considera-se que, ao alocar uma PMU em um ponto de rede, estarão sendo contempladas
medidas dos fasores de tensão, fasores de injeções de correntes, e fasores de fluxos de corrente.
O plano de alocação básico deve fornecer o número mínimo de PMUs para que o sistema seja
observável, o máximo número de medidas e o máximo fator de redundância de medidas. Nos
testes foram avaliadas situações de perda de medidas de ramos, perdas de outras medidas,
perdas de equipamentos, perdas de PMU, e a necessidade de alocar quantidades pré-
estabelecidas de PMUs, que atinjam ou não a observabilidade completa da rede, e ainda
considerar a pré-alocação, nas situações onde já existirem PMUs alocadas. Todos estes aspectos
anteriores remetem a avaliações técnicas do problema de alocação e o reflexo na robustez dos
estimadores de estado. A análise econômica foi feita separadamente por ser considerada
complexa não interferindo nas melhores soluções técnicas. Sendo assim, temos dois estágios da
alocação ótima, o técnico e o econômico. O advento de novas tecnologias motiva o estudo e a
avaliação de soluções em diversos cenários dos sistemas de potência, e particularmente, o
advento das PMUs, a inteligência das subestações e seus novos padrões de automação, fizeram
com que alguns assuntos clássicos como a estimação de estado fossem revisitados. As
justificativas remetem ao fato de que as PMUs serão elementos cruciais na estimação de estado
na área de transmissão, possibilitando a observabilidade e a simplificação da estimação de
estado nos sistemas elétricos de potência. Este cenário, que começou na rede de transmissão,
atualmente está sendo estendido também para a rede de distribuição, devido aos adventos da
cogeração e de suas fontes alternativas, que são conectadas geralmente nos níveis de
distribuição ou sub-transmissão, além da necessidade de se ter um maior controle e uma melhor
observabilidade nestas áreas. Como o problema de alocação é de origem combinatória, foram
utilizados algoritmos genéticos e heurísticas. Nos testes realizados foram utilizados os sistemas
IEEE 14-barras, IEEE 24-barras, IEEE 30-barras, IEEE 57-barras, IEEE 118-barras, IEEE 300-
barras, New England 39-barras, e o sistema Polonês de 2.383 barras.
Palavras-chave: Alocação de PMUs, Estimador de Estado Multinível, Subestação,
Redundância de Medidas, Perdas de PMUs, Observabilidade, Análise Econômica, Algoritmo
Genético.
ABSTRACT
The main objective of this dissertation is to study the problem of optimal allocation of Phasor
Measurement Units (PMU) in power grids, from the perspective of some existing state estimator
models, providing an optimal allocation plan that reduces the risk of the state estimator
becoming insoluble or inadequate for certain situations of measurements loss. These studies
include the allocation of PMUs assuming the conventional branch-node model of the network,
and an expanded model of the substations to meet the new trends of state estimation. In the
latter model, the process can be divided into different levels considering the substations, the
systems interconnected in the node-branch level, the type of measurement and collect
frequency, and type of estimator. It is also an objective of this dissertation the evaluation of
multilevel state estimators, and the potential of combining allocations and analysis using
Kirchhoff's Laws, to make them more robust in determining the network topology and the
respective state of the substation. The optimal allocation method considers that in case a PMU
is allocated to a particular network node, voltages, injections currents, current flows will be
measured. The basic allocation plan should be designed to provide minimum number of PMUs,
the maximum number of measurements and the maximum redundancy of measurements. The
simulation tests evaluated outage situations, equipment loss, PMU loss, the need to allocate a
pre-defined number of PMUs, and consider the pre-allocation, in situations where there are
some PMUs already installed. All aspects above refer to technical aspects of the allocation
problem, which results in the robustness of state estimators. The economic aspect was tackled
separately due to its complexity, not interfering in the best technical solutions, therefore, the
optimal PMU allocation method has two stages, namely technical and economic. The advent of
new technologies motivates the study and evaluation of solutions in different scenarios of power
systems, and particularly the advent of PMUs, intelligent substations and its new automation
standards, has made some classic issues such as state estimation be revisited. PMUs are crucial
elements in the state estimation in the transmission area, enabling the maintenance of
observability and simplification of the state estimation in electric power systems. This scenario,
which began in the transmission network, is currently also being extended to the distribution
network, due to the advent of cogeneration and its alternative sources, which are usually
connected to the distribution or sub-transmission levels, and the need of more control and better
observability in these areas. As the allocation problem is combinatorial, genetic algorithms and
heuristics have been used. In the tests, the IEEE 14-, IEEE 24-, IEEE 30-, IEEE 57-,
IEEE 118-, and IEEE 300-bus systems, the New England 39-bus system, and the Polish 2,383-
bus systems were used.
Index Terms: PMU Placement, Multilevel State Estimator, Substation, Measurement
Redundancy, PMU loss, Observability, Economic Analysis, Genetic Algorithm.
LISTA DE ILUSTRAÇÕES
Figura 1-1: Notícias de jornal sobre a falta de energia [1] ....................................................... 24
Figura 1-2: Visão geral dos domínios do EMS adaptado de [7]. ............................................. 25
Figura 1-3: Funções de análise de rede em tempo real adaptado de [8] ................................... 26
Figura 1-4: PMUs instaladas nos Estados Unidos em 2009 de [13] ........................................ 31
Figura 1-5: PMUs instaladas nos Estados Unidos em 2014 de [13] ........................................ 32
Figura 1-6: Investimentos em instalações de PMUs nos Estados Unidos adaptado de [13] .... 33
Figura 2-1: Esquema geral da estimação de estado adaptado de [8]e [21] ............................... 38
Figura 2-2: Modelo de uma linha de transmissão adaptado de [47] .................................... 43
Figura 2-3: Rede exemplo adaptada de [14] ............................................................................. 45
Figura 2-4: Rede exemplo adaptada de [48] ............................................................................. 46
Figura 2-5: Rede exemplo de [48] ............................................................................................ 52
Figura 2-6: Estimador de estado multiárea adaptado de [10] e [11]. ....................................... 61
Figura 2-7: Subestação de seis barramentos ............................................................................. 63
Figura 2-8: Sistema IEEE 14 barras ......................................................................................... 65
Figura 3-1: Formato da matriz ganho após a fatoração triangular ........................................... 72
Figura 3-2: Rede exemplo para análise de observabilidade adaptado de [8] ........................... 73
Figura 3-3: Rede exemplo para análise observabilidade com ilhas adaptado de [8] ................ 76
Figura 3-4: Rede pós análise de observabilidade e montagem das ilhas, adaptado de [8] ....... 79
Figura 3-5: Rede exemplo para análise de observabilidade adaptado de [8] ........................... 82
Figura 3-6: Análise de árvore geradora mínima e observabilidade topológica de [21] ........... 85
Figura 4-1: rede de 3 barras para tipificação erros múltiplos interativos adaptado de [48] ..... 93
Figura 4-2: Rede de 3 barras adaptada de [8] ......................................................................... 100
Figura 4-3: rede de 3 barras adaptado de [8] .......................................................................... 102
Figura 4-4: Função densidade de probabilidade para a distribuição qui-quadrado adaptada de
[8] ........................................................................................................................................... 104
Figura 4-5: Função densidade de probabilidade da distribuição qui-quadrado ...................... 106
Figura 5-1. Sistema SCADA adaptado de [50] ...................................................................... 110
Figura 5-2: Arquitetura funcional da PMU adaptado de [45] ................................................ 119
Figura 5-3: Esquema exemplo de um sistema de medição fasorial adaptado de [50] ............ 120
Figura 7-1: Sistema de três nós............................................................................................... 132
Figura 7-2: Disco representativo da roleta ............................................................................. 136
Figura 7-3: CPI para diferentes sistemas e tipos de alocação de [118] .................................. 141
Figura 7-4: Rede exemplo baseada em [14] ........................................................................... 147
Figura 7-5: Rede IEEE 14 barras ............................................................................................ 150
Figura 7-6: Análise de observabilidade topológica de [111] .................................................. 155
Figura 7-7. Evolução da função y - simulação GA para o sistema IEEE 14 barras ............... 165
Figura 8-1: Subestação de seis barramentos ........................................................................... 169
Figura 8-2: Grafo da subestação e respectivas distâncias entre os barramentos .................... 177
Figura 8-3: Situação da subestação entre dois instantes da coleta de medidas ...................... 183
Figura 8-4: Código para determinação da topologia .............................................................. 187
Figura 8-5: Visão de um sistema de três subestações em um determinado instante t0 ........... 192
Figura 8-6: Visão de um sistema de três subestações em um determinado instante t1 ........... 192
Figura 8-7: Estimador de estado multinível de [11] modificado ............................................ 194
Figura 8-8: Estimador de estado da subestação de [10]e [11] modificado ............................. 195
Figura 8-9: Estimador de estado do centro de controle de [10] e [11] modificado ................ 196
Figura 8-10: Sistema IEEE 14 barras ..................................................................................... 204
Figura 8-11: Subestação de seis barramentos ......................................................................... 205
Figura 8-12: Número de casos testados apenas com a Lei das Correntes de Kirchhoff ......... 206
Figura 8-13: Número de casos testados com histórico ........................................................... 206
Figura 8-14: Visão de um sistema de três subestações em um determinado instante t0 ......... 207
Figura 8-15: Visão de um sistema de três subestações em um determinado instante t1 ......... 209
Figura 8-16: Sistema IEEE 14 barras ..................................................................................... 213
Figura Apêndice II - 1: Estrutura da subestação.................................................................... 260
LISTA DE TABELAS
Tabela 1-I: Censo de PMUs instaladas nos projetos SGIG/SGDP adaptada de [13] ............... 32
Tabela 2-I: Subestações na rede IEEE 14 barras ...................................................................... 66
Tabela 2-II: Medidas Internas................................................................................................... 67
Tabela 2-III: Medidas de Fonteira ............................................................................................ 68
Tabela 4-I: Exemplo de tipificação de erros múltiplos interativos adaptada de [48] ............... 94
Tabela 6-I: Aspectos gerais da alocação de medidas ............................................................. 122
Tabela 7-I: Adaptações do GA - parte 1 ................................................................................. 134
Tabela 7-II: Adaptações do GA - parte 2 ............................................................................... 135
Tabela 7-III: Cálculo de áreas da roleta.................................................................................. 136
Tabela 7-IV: Cálculo do parâmetro d ..................................................................................... 146
Tabela 7-V: Parâmetros da rede da figura 6-4 ........................................................................ 147
Tabela 7-VI: Alocação com contingências rede exemplo figura 6-4 ..................................... 148
Tabela 7-VII: Apresentação de várias soluções de alocação da rede IEEE 14 barras ............ 150
Tabela 7-VIII: Alocação mínima - comparativo com outros métodos ................................... 156
Tabela 7-IX: Alocação mínima - método proposto ................................................................ 156
Tabela 7-X: Alocação mínima de [98] ................................................................................... 157
Tabela 7-XI: Alocação mínima de [99] .................................................................................. 157
Tabela 7-XII: Alocação mínima de [103] .............................................................................. 157
Tabela 7-XIII: Alocação mínima de [109] ............................................................................. 157
Tabela 7-XIV: Casos não observáveis para a alocação mínima com o método proposto ...... 158
Tabela 7-XV: Alocação mínima considerando pré-alocação ................................................ 159
Tabela 7-XVI: Alocação mínima considerando a perda de uma PMU .................................. 160
Tabela 7-XVII: Alocação considerando perda de uma PMU - método proposto ................. 161
Tabela 7-XVIII: Alocação considerando perda de uma PMU - resultado de [98] ................. 161
Tabela 7-XIX: Alocação considerando perda de uma PMU - resultado de [106] .................. 162
Tabela 7-XX: Alocação considerando segurança (𝑛 − 1) - resultado de [107]..................... 162
Tabela 7-XXI: Valores utilizados na simulação financeira .................................................... 163
Tabela 7-XXII: Avaliação dos aspectos econômicos - sistema IEEE 14 barras .................... 164
Tabela 7-XXIII: Alocação de um número fixo de PMUs ...................................................... 165
Tabela 8-I: Planos de alocação e contingências de PMU na subestação ................................ 176
Tabela 8-II: Lista de precedência dos barramentos da subestação da Figura 8-1 .................. 178
Tabela 8-III: Modelo genérico de uma PMU ......................................................................... 178
Tabela 8-IV: Algoritmo de alocação convencional de medidas nas PMUs ........................... 179
Tabela 8-V: Algoritmo de cruzamento de alocação de medidas ............................................ 180
Tabela 8-VI: Algoritmo de verificação de existência de barramento vizinho com PMU ...... 181
Tabela 8-VII: Análise do critério de vizinhança para a subestação ....................................... 182
Tabela 8-VIII: Modelo exemplo de arquivo de histórico ....................................................... 187
Tabela 8-IX: Identificação do status dos disjuntores ............................................................. 187
Tabela 8-X: Relação entre status dos disjuntores e topologia ................................................ 188
Tabela 8-XI: Exemplo de arquivo de histórico segundo figura 7-2 ....................................... 188
Tabela 8-XII: Arquivos de histórico da subestação - exemplos ............................................. 189
Tabela 8-XIII: Planos de alocação de PMUs nas subestações ............................................... 192
Tabela 8-XIV: Subestações utilizadas nos testes de alocação mínima .................................. 199
Tabela 8-XV: Alocação mínima em subestações ................................................................... 199
Tabela 8-XVI: Alocação mínima com pré-alocação .............................................................. 200
Tabela 8-XVII: Alocação convencionais e contingências de PMU na subestação G6 .......... 201
Tabela 8-XVIII: Alocação cruzada e contingências de PMU na subestação G6 ................... 202
Tabela 8-XIX: Tabela de alocação convencional ................................................................... 202
Tabela 8-XX: Tabela de alocação depois do cruzamento de medidas ................................... 203
Tabela 8-XXI: Subestações na rede IEEE 14 barras .............................................................. 204
Tabela 8-XXII: Medidas das subestações no instante t0......................................................... 208
Tabela 8-XXIII: Resultados do estimador de estado das subestações no instante t0 .............. 208
Tabela 8-XXIV: Medidas passadas ao estimador de estado do centro de controle t0 ............ 208
Tabela 8-XXV: Medidas das subestações no instante t1 ........................................................ 210
Tabela 8-XXVI: Resultados do estimador de estado das subestações instante t1 .................. 210
Tabela 8-XXVII: Medidas passadas ao estimador de estado do centro de controle instante t1
................................................................................................................................................ 210
Tabela 8-XXVIII: Evolução do tratamento de erros normalizados da EE do centro de controle
................................................................................................................................................ 211
Tabela 8-XXIX: Falhas severas, coleta de medidas Instante t1 .............................................. 212
Tabela 8-XXX: Falhas severas, resultados do estimador de estado das subestações instante t1
................................................................................................................................................ 212
Tabela 8-XXXI: Falhas severas, medidas passadas a EE do centro de controle instante t1 .. 212
Tabela 8-XXXII: Tabela de identificação das áreas lineares e não lineares .......................... 213
Tabela 8-XXXIII: Medidas coletadas nas subestações da área 1 - t0 ..................................... 216
Tabela 8-XXXIV: Medidas coletadas nas subestações da área 2 - t0 ..................................... 217
Tabela 8-XXXV: Medidas coletadas nas subestações da área 4 - t0 ...................................... 217
Tabela 8-XXXVI: Medidas coletadas nas subestações da área 3 - t0 ..................................... 218
Tabela 8-XXXVII: Medidas coletadas nas subestações da área 5 - t0.................................... 219
Tabela 8-XXXVIII: Variáveis de estado das subestações estimadas da área 1 - t0 ................ 220
Tabela 8-XXXIX: Variáveis de estado das subestações estimadas da área 2 - t0 .................. 221
Tabela 8-XL: Variáveis de estado das subestações estimadas da área 3 - t0 .......................... 222
Tabela 8-XLI: Variáveis de estado das subestações estimadas da área 4 - t0 ......................... 222
Tabela 8-XLII: Variáveis de estado das subestações estimadas da área 5 - t0 ....................... 223
Tabela 8-XLIII: Variáveis de estado estimadas no centro de controle - t0 ............................. 223
Tabela 8-XLIV: Medidas coletadas nas subestações da área 1 – t1........................................ 224
Tabela 8-XLV: Medidas coletadas nas subestações da área 2 – t1 ......................................... 225
Tabela 8-XLVI: Medidas coletadas nas subestações da área 3 – t1........................................ 226
Tabela 8-XLVII: Medidas coletadas nas subestações da área 4 – t1 ...................................... 227
Tabela 8-XLVIII: Medidas coletadas nas subestações da área 5 – t1 ..................................... 227
Tabela 8-XLIX: Variáveis de estado das subestações estimadas da área 1 – t1 ..................... 228
Tabela 8-L: Variáveis de estado das subestações estimadas da área 2 – t1 ............................ 229
Tabela 8-LI: Variáveis de estado das subestações estimadas da área 3 – t1 ........................... 229
Tabela 8-LII: Variáveis de estado das subestações estimadas da área 4 – t1 .......................... 230
Tabela 8-LIII: Variáveis de estado das subestações estimadas da área 5 – t1 ........................ 231
Tabela 8-LIV: Processamento de erros normalizados da EE linear do centro de controle .... 231
Tabela 8-LV : Variáveis de estado estimadas no centro de controle – t1 ............................... 232
Tabela 8-LVI: Demonstrativo análise econômica – fluxos negativos .................................... 233
Tabela 8-LVII: Demonstrativo análise econômica – fluxos positivos ................................... 233
Tabela 8-LVIII: Valores individuais para o plano xp = 011011 ............................................ 234
Tabela 8-LIX: Análise para novo projeto com indicadores diferentes - fluxos negativos ..... 234
Tabela 8-LX: Análise para novo projeto com indicadores diferentes - fluxos positivos ....... 235
Tabela 8-LXI: Valores individuais para o plano xp = 011011com novas taxas ..................... 235
Tabela 8-LXII: Análises financeiras para planos de alocação diferentes na subestação ........ 236
Tabela Apêndice I - I: Barras ZIB do sistema polonês de 2383 barras ................................. 253
Tabela Apêndice I - II: Alocação mínima de PMUs sistema polonês de 2383 barras .......... 254
Tabela Apêndice I - III: Alocação considerando pré-alocação de PMUs ............................. 255
Tabela Apêndice I - IV: Alocação considerando perda de PMU .......................................... 257
Tabela Apêndice II - I: Estrutura das áreas ........................................................................... 259
Tabela Apêndice II - II: Estrutura dos nós ............................................................................ 259
Tabela Apêndice II - III: Estrutura das linhas ....................................................................... 260
Tabela Apêndice II - IV: Exemplo de estrutura de barramento da subestação 1 .................. 261
Tabela Apêndice II - V: Estrutura de ligação entre barramentos da subestação 1 ................. 261
LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS
3SHA - Three-Stage Heuristic Algorithm
AGO - Árvore Geradora Observável
AMI - Advanced Metering Infrastructure
ARRA - American Recovery and Reinvestment Act
BBDF - Bordered Block Diagonal Form
BEMS - Building and Energy Management System
BPS - Binary Particle Swarm
BSA - Binary Search Algorithm
CB - Circuit Breaker
CEMS - Community Energy Management System
CF - Cash Flow
CEPEL - Centro de Pesquisa de Energia Elétrica
CPI - Coverage Performance Indicator
D-EMS - Distributed Energy Management System
DESM - Demand Side Management
DFT - Discrete Fourier Transfom
DMS - Distribution Management System
EE - Estimação de Estado
EHV - Extra High Voltage
EMS - Energy Management System
EPS - Electric Power Systems
EV-EMS - Electric Vehicle Energy Management System
FEMS - Factory Energy Management System
FR- Finance Rate
FRASEC - Fraction of Second
GA - Genetic Algorithm
GNSS - Global Navigation Satellite System
GPS - Global Positioning Systems
HEMS - Home Energy Management System
IAT - International Atomic Time
IBGE - Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística
IED - Intelligent Eletronic Device
IEEE - The Institute of Electric and Electronic Engineers
IGA - Immunity Genetic Algorithm
ILP - Integer Linear Programming
IQP - Integer Quadratic Programming
MedFasee - Medição Fasorial Sincronizada com Aplicações em Sistemas de Energia
Elétrica
MIRR - Modified Internal Rate of Return
MMR - Maximum Measurement Redundancy
MNPV - Modified Net Present Value
NCF - Negative Cash Flow
NSGA - Non-dominated Sorting Genetic Algorithm
OPP - Optimal PMU Placement
PB - Pay Back
PCF - Positive Cash Flow
PDC – Phasor Data Concentrator
PMU - Phasor Measurement Units
PR - Pay Back Rate
RBMC - Rede brasileira de Monitoramento Contínuo dos Sistemas GNSS1
RFR - Reinvestment Finance Rate
RTU - Remote Terminal Unit
SA - Simulated Annealing
SAGE - Sistema Aberto de Gerenciamento de Energia
SCADA - Supervisory Control and Data Acquisition
SEP - Sistemas Elétricos de Potência
SGDP - Smart Grid Demonstration Projects
SGIG - Smart Grid Investment Grants
SOC - Second Of Century
TC – Transformadores de Corrente
TP – Transformadores de Potencial
TVE - Total Vector Error
UTC - Universal Time Coordinated
Virginia Tech - Instituto Politécnico da Virginia
1 http://www.ibge.gov.br/home/geociencias/geodesia/rbmc/rbmc.shtm acesso em 18/01/2016
WAMS - Wide Area Measurement System
WAN - Wide Area Network
WLS - Weighted Least Squares
ZIB - Zero Injection Bus
SUMÁRIO
1 Introdução ............................................................................................................................ 22
1.1 Justificativa ..................................................................................................................... 26
1.2 Instalação de PMUs no Brasil ......................................................................................... 30
1.3 Instalação de PMUs nos Estados Unidos e no Mundo .................................................... 30
1.4 Custos de Instalação de PMUs ........................................................................................ 33
1.5 Objetivos ......................................................................................................................... 34
1.6 Contribuições do Trabalho .............................................................................................. 35
1.7 Organização do texto....................................................................................................... 36
2 Estimação de Estado ............................................................................................................ 37
2.1 Definição Básica e Formulação ...................................................................................... 39
2.2 Alguns Modelos de Estimação de Estado ....................................................................... 41
2.3 Modelo Linear ................................................................................................................. 43
2.4 Modelo Não Linear ......................................................................................................... 48
2.5 Modelos Linearizados ..................................................................................................... 54
2.5.1 Modelo DC ................................................................................................................... 54
2.5.2 Modelo Desacoplado .................................................................................................... 57
2.6 Modelo Multinível Híbrido com Medidas Fasoriais e Convencionais ........................... 60
3 Análise de Observabilidade ................................................................................................. 69
3.1 Análise de Observabilidade Numérica ............................................................................ 72
3.2 Análise de Observabilidade Topológica ......................................................................... 80
3.3 Análise de Observabilidade Algébrica ............................................................................ 86
3.4 Análise de Observabilidade Híbrida ............................................................................... 87
3.5 Comentários Gerais sobre Observabilidade e PMUs ...................................................... 89
4 Tratamentos de Erros Grosseiros ......................................................................................... 91
4.1 Tipificação de Erros ........................................................................................................ 92
4.2 Detecção e Identificação de Erros ................................................................................... 94
4.3 Análise de Sensibilidade ................................................................................................. 95
4.4 Matriz de Covariância de Resíduos Normalizados ......................................................... 97
4.5 Teste do Maior Resíduo Normalizado ............................................................................ 98
4.6 Algoritmo de Tratamento de Erros Baseado em Resíduos Normalizados ...................... 99
4.7 Estudo de Caso .............................................................................................................. 100
4.8 Teste de Hipótese .......................................................................................................... 103
4.8.1 O Teste de Detecção 𝐽(𝑥) ........................................................................................... 103
4.8.2 O Teste de Detecção e Identificação do Resíduo Normalizado ................................. 106
5 Medições e Sistemas de Aquisição de Dados .................................................................... 108
5.1 Medições Scada ............................................................................................................. 109
5.2 Medições PMU ............................................................................................................. 111
5.2.1 Medidas Fasoriais ....................................................................................................... 112
5.2.2 Sincronização .............................................................................................................. 115
5.2.3 Sincronização da Base de Tempo ............................................................................... 116
5.2.4 Tag ou Etiqueta de Tempo .......................................................................................... 117
5.2.5 Precisão das Medidas Fasoriais .................................................................................. 118
5.2.6 Características das PMUs ........................................................................................... 119
6 A Alocação de PMUs – Linhas Gerais .............................................................................. 121
6.1 O Problema da Alocação de Medidas/PMUs ................................................................ 123
6.2 Comentários Gerais sobre os Métodos de Alocação ..................................................... 126
7 Alocação de PMUs – Modelo Nó-Ramo ........................................................................... 129
7.1 Ideia Geral ..................................................................................................................... 129
7.2 Algoritmo Genético ....................................................................................................... 130
7.3 Coverage Performance Indicator - CPI ......................................................................... 137
7.4 Função Fitness da Alocação Mínima ............................................................................ 141
7.5 Pré-Alocação de PMUs ................................................................................................. 144
7.6 Alocação Considerando Perda de PMU ........................................................................ 145
7.7 Análise Econômica........................................................................................................ 151
7.8 Resultado de testes ........................................................................................................ 153
7.8.1 Alocação Mínima - Modelo Nó-Ramo ....................................................................... 153
7.8.2 Alocação Considerando Pré-Alocação - modelo Nó-Ramo ....................................... 158
7.8.3 Alocação Considerando Perda de PMU Modelo Nó-ramo ......................................... 159
7.8.4 Discussão de Aspectos Econômicos - Modelo Nó-ramo ............................................ 162
7.8.5 Alocação de um Número específico de PMUs ........................................................... 165
8 Alocação de PMUs - Modelo Multinível de Estimação de Estado .................................... 166
8.1 Ideia Geral para Alocação de PMUs nas Subestações .................................................. 167
8.2 Algoritmo Genético para Alocação de PMUs nas Subestações .................................... 168
8.3 Coverage Perfomance Indicator (CPI) para a Subestação ............................................ 169
8.4 Função de Fitness para Alocação Mínima na Subestação ............................................ 172
8.5 Pré-Alocação de PMUs na Subestação ......................................................................... 174
8.6 Alocação Considerando Perdas de PMU na Subestação............................................... 175
8.6.1 Alocação Cruzada de Medidas nas PMUs da subestação ........................................... 176
8.6.2 Heurísticas das Correntes e a Lei de Kirchhoff na Subestação .................................. 181
8.6.3 Histórico da EE na Subestação ................................................................................... 186
8.6.4 Uso do Nível II da EE Multinível para Contornar problemas na Subestação ............ 190
8.7 Análise Econômica da Alocação EE Modelo Multinível ............................................. 196
8.8 Resultados de Testes para Alocação Subestações ......................................................... 198
8.8.1 Alocação Mínima de PMUs na Subestação ................................................................ 199
8.8.2 Alocação Considerando Pré-alocação na Subestação ................................................. 200
8.8.3 Alocação Cruzada Considerando Segurança na Subestação ...................................... 200
8.8.4 Alocação e Lei das Correntes de Kirchhoff Considerando Segurança na Subestação204
8.8.5 Uso do Histórico Considerando Segurança na Subestação ........................................ 206
8.8.6 Uso do Nível II da EE Considerando Segurança na Subestação ................................ 207
8.8.7 Discutindo Aspectos Econômicos na Subestação ....................................................... 232
9 Considerações Finais ......................................................................................................... 237
REFERÊNCIAS ..................................................................................................................... 241
APÊNDICE I – Resultados para o Sistema Polonês de 2383 barras ...................................... 253
APÊNDICE II – Sistema IEEE 14 Barras Adaptado ............................................................. 259
ANEXO I – PUBLICAÇÕES ................................................................................................ 262
22
Capítulo I
1 INTRODUÇÃO
Os Sistemas Elétricos de Potência (SEP, ou EPS, do inglês, Electric Power Systems)
podem ser definidos como um conjunto de equipamentos, máquinas, infraestrutura, e
funcionalidades, que juntos possibilitam a conexão das fontes de energia aos clientes, e
genericamente são divididos em geração, transmissão, distribuição e carga.
Os SEPs estão cada dia mais complexos e interligados, e podem ser submetidos a
situações extremas considerando aspectos climáticos, fenômenos da natureza, a deterioração de
seus ativos de rede, a intervenção de elementos vivos presentes na natureza, situações de
confronto entre carga e demanda, vulnerabilidade mediante aos fenômenos de falhas de
equipamentos de rede, escassez de recursos energéticos, problemas de infraestrutura, e a nova
realidade mercadológica. As consequências destas situações podem ser mais difíceis para um
mundo tão dependente da energia elétrica, o que pode tornar a vida das pessoas vulnerável em
relação a estas situações expostas [1].
Nas últimas décadas os SEPs têm apresentado características que anteriormente não
eram tão visíveis ou certamente não eram mais comuns, como por exemplo, [1]:
∘ Aumento no número de blackouts
∘ Aumento da demanda de energia, devido ao aumento da população, estilo
de vida e da chegada de novos dispositivos eletroeletrônicos
∘ Diminuição da demanda de energia em função de problemas econômicos
∘ Incerteza inerente relativa à integração das energias renováveis aos SEP
23
∘ Dificuldade crescente de instalação de novas linhas de transmissão
(aprovação de novas linhas, e reprovação da população local)
∘ Menor visibilidade (consciência situacional) da rede de distribuição (faltas
de energia não são conhecidas, a menos pela chamada de cliente)
∘ Operação das usinas baseada na previsão de carga e sequência da carga, isto
é, a usina geradora ajusta sua potência de saída de acordo com a demanda
flutuante ao longo do dia
∘ Aumento da complexidade com o tamanho do SEP, e a implementação dos
mercados de energia
Outras realidades também poderiam ser consideradas conforme [1]:
∘ De 30 a 40 % da força de trabalho do setor elétrico poderá se aposentar nos
próximos 5 anos
∘ Vulnerabilidade cibernética
∘ Restrições do meio ambiente, de sustentabilidade e econômicas
∘ Expectativas de alta confiabilidade frente a nova realidade, do aumento da
demanda de energia, novas fontes geradoras, situação e idade dos ativos da
rede, dinâmica do mercado de energia, restrições ambientais, fenômenos
ambientais extremos, restrições econômicas, entre tantos outros aspectos
∘ Idade do SEP, em que uma boa parte de seus equipamentos têm hoje mais
de 50 anos (muitas vezes não acompanhando a tecnologia)
Diante deste contexto os profissionais envolvidos na área tentam minimizar e evitar
situações difíceis mediante à pior situação que é da falta de energia, e suas imponderáveis
consequências, como representadas na Figura 1-1.
24
Figura 1-1: Notícias de jornal sobre a falta de energia [1]
Esta realidade que cruza o mundo real com o mundo da operação dos SEP impõe
uma necessidade de alta robustez e confiabilidade das funcionalidades do mesmo.
Neste sentido, o papel dos centros de operação de energia é extremamente
importante, e neste contexto de adversidades, eles enfrentam novos desafios considerando ainda
a demanda pelo recurso da energia, a perspectiva de uma nova realidade de mercado, que se
configura de forma diferente, onde é possível ter diversas fontes de energia, diversas empresas
fornecedoras, diversas empresas compradoras de energia [2], necessidade de ações de eficiência
operacional, redução das perdas técnicas [3], redução das perdas de energia não técnicas que
podem implicar na perda de faturamento [4], necessidade do uso consciente de energia [5], e
finalmente necessidade de redução dos custos de operação [6].
Os EMS (do inglês, Energy Management Systems) possuem muitas funcionalidades
em tempo real, e estão divididos por áreas e aplicações conforme os conceitos de domínios de
funcionalidades estabelecidos pelas redes inteligentes, representados na Figura 1-2.
25
Figura 1-2: Visão geral dos domínios do EMS adaptado de [7].
Estas divisões atendem funcionalidades específicas e pode-se visualizar os
domínios das gerências, a partir do nível do usuário, passando pelo nível da distribuição, e
finalmente pela geração, transmissão e armazenamento. Entre os domínios têm-se, os EMS
representados pelo nível da gerências dos ativos e informações da geração, transmissão, e
armazenamento, e a interface com as outras gerências através dos CEMS (do inglês, Community
Energy Management System), que podem ser divididos em várias unidades regionais de acordo
com a complexidade, geografia, e aplicação, e ser depois consolidados em outros CEMS,
reunindo e trabalhando com informações de diversos outros domínios de interesse, entre eles
tem-se, os DMS (do inglês, Distribution Management System). Outros domínios foram
apresentados com as evoluções de aplicações e suas divisões na área de energia como, D-EMS
(do inglês, Distributed Energy Management System), DESM (do inglês, Demand Side
Management), BEMS (do inglês, Building and Energy Management System), EV-EMS (do
inglês, Electric Vehicle Energy Management System), FEMS (do inglês, Factory Energy
Management System, HEMS (do inglês, Home Energy Management System), e finalmente a
infraestrutura de medições representada pelas AMI (do inglês, Advanced Metering
Infrastructure).
Em linhas gerais as funcionalidades de análise de rede em tempo real do EMS,
poderiam ser representadas pela Figura 1-3. Entre as funcionalidades pode-se destacar a
Estimação de Estado (EE, ou SE, do inglês, State Estimation) como uma funcionalidade básica
para as demais, sendo que estas dependem, para seu correto e bom funcionamento, de uma EE
26
eficiente e robusta [8]. Neste sentido as funcionalidades relativas à EE vêm sendo renovadas e
revisitadas com frequência, para acompanhar as novas tecnologias e novas realidades presentes
em um centro de operação [9].
Figura 1-3: Funções de análise de rede em tempo real adaptado de [8]
A reformulação da EE teve de considerar a capacidade de interconexão, e
consequentemente a ampliação da rede, sendo necessário contemplar na formulação as medidas
fasoriais na convivência com as medidas convencionais, criando uma forma que permita a
integração fácil, a modificação gradual dos estimadores facilitando a incorporação de novas
funcionalidades e novos trechos da rede a serem contemplados pela EE [9], [10] e [11].
1.1 JUSTIFICATIVA
27
O cenário apresentado na introdução funciona como elemento motivador para
pesquisas na área de sistemas de energia elétrica e utilização de tecnologias recentes. Entre as
diversas tecnologias recentes utilizadas nestes cenários podemos citar as PMUs (do inglês,
Phasor Measurement Units).
As tecnologias e sistemas de medição fasorial síncrona usam dispositivos de
monitoramento chamados PMU para medir a tensão instantânea, corrente e frequência em
locais específicos de um sistema de transmissão de energia elétrica (ou rede elétrica). As PMUs
convertem os parâmetros medidos em valores fasoriais, tipicamente 30 ou mais valores por
segundo. As PMUs também adicionam um carimbo de tempo preciso para estes valores
fasoriais, transformando-os em sincrofasores. As marcações de tempo permitem que esses
valores fasoriais, que são fornecidos pela PMU em diferentes locais e em diferentes
organizações do setor de energia, possam ser correlacionados e alinhados no tempo e depois
combinados e analisados. A informação resultante permite que planejadores das redes de
energia e os operadores possam ter uma "imagem" de alta resolução e das condições de toda a
rede em tempo real.
As PMUs e suas aplicações podem trabalhar na melhora da confiabilidade dos
sistemas de energia e de sua visibilidade através da ampliação da medição em grandes áreas de
forma sincronizada e a melhoria das ações de controle e operação em tempo real, e certamente
o planejamento do sistema de energia e análise detalhada de distúrbios da rede [12].
Oferecem grande benefício para a integração de recursos renováveis e
intermitentes, controles automatizados para transmissão e resposta à demanda, aumento da taxa
de transferência dos sistemas de transmissão, e melhora da modelagem e planejamento do
sistema. Assim como outras tecnologias prestam suas específicas contribuições na contenção
de situações adversas mencionadas na introdução deste trabalho [12].
O crescimento do uso de medições fasoriais através das PMUs tem sido
considerável, e estes dispositivos serão elementos cruciais utilizados pela EE na área de
transmissão, possibilitando a manutenção da observabilidade de nós dos SEPs. Este cenário,
que começou na rede de transmissão, atualmente está sendo estendido também para a rede de
distribuição, devido aos adventos da cogeração e de suas fontes alternativas, que são conectadas
geralmente nos níveis de distribuição ou sub-transmissão, além da necessidade de se ter um
maior controle e uma melhor observabilidade nestas áreas [12].
O interesse por estes dispositivos deve-se principalmente às necessidades de se
controlar e diminuir as chances de eventuais blecautes e utilizar as informações fasoriais para
28
ampliar a análise de estabilidade e reduzir os impactos dos problemas da rede sobre seus
usuários.
Informações obtidas a partir de sumários executivos do Departamento de Energia
Norte Americano [13], mostram que o uso de PMUs vem aumentando desde 2004, quando o
relatório de investigação sobre os problemas de apagão nos EUA-Canadá reconheceu que
muitos dos grandes apagões da América do Norte podem ter sido causados por situações
inadequadas para os operadores de rede, e recomendou o uso da tecnologia para fornecer em
tempo real visibilidade de toda a área da rede de energia. Embora a tecnologia dos sincrofasores
fora inventada na década de 1980, a sua presença em sistemas de energia de forma empresarial
foi limitada principalmente para pesquisar aplicações, pois a tecnologia raramente era usada em
um ambiente operacional. Para alcançar o seu potencial, a tecnologia sincrofasores requer:
∘ Instalação de numerosas PMU para criar uma "massa crítica" de sensores que
poderiam realmente caracterizar as operações de rede
∘ Sistema de comunicações com capacidade de transmitir grandes quantidades de
informação em uma escala de tempo curto o suficiente para que possa ser útil pelos
operadores das redes
∘ Sistemas de gestão de dados e manipulação com capacidade de processar grandes
volumes de dados dos sincrofasores em tempo real
∘ Software aplicativos para usar as informações dos sincrofasores para melhorar a
modelagem, previsão e controle da rede
∘ Normas para comunicações de dados e para permitir o compartilhamento de
informações de PMU em toda a rede
Algumas aplicações foram mapeadas no planejamento destes projetos, como se
segue [13]:
Tempo Real
∘ Detecção de oscilações
∘ Monitoramento do ângulo de fase dos nós e barras
∘ Detecção de eventos críticos de mudança de frequência
∘ Monitoramento da estabilidade de tensão
∘ Gerência de eventos, controle de alarmes e restauração da operação
∘ Detecção de eventos no geral
∘ Detecção de ilhas
29
∘ Consciência, conhecimento e visibilidade da rede de energia de forma ampla
e completa em todas as áreas
∘ Controle de da rede de energia de forma ampla e completa em todas as áreas
Aplicações em Modo de Estudo
∘ Melhoria e validação do modelo da rede
∘ Melhoria nos modelos de estimação de estado
∘ Melhoria no modelo das plantas de energia
∘ Análise pós-evento
∘ Treinamento da operação (operadores)
A melhoria da tarefa da EE utilizando sistemas de medições fasoriais está
relacionada nas estratégias. Considerando que já existem na rede de energia a presença de
medidas convencionais oriundas do sistema SCADA (do inglês, Supervisory Control and Data
Acquisition), cujos tempos de varredura e processamento de medidas são ordem de segundos,
e suas medidas são assíncronas, deve-se realizar tarefas para integração destes dois universos,
de medidas convencionais e de medidas fasoriais.
As medidas fasoriais tiveram sua incorporação na EE através de ajustes, para
acomodá-las juntamente com as medidas convencionais, e evoluir utilizando ambas
tecnologias.
As PMUs também são submetidas a normas, e procedimentos padrões para
calibração e sincronismo através da tecnologia GPS (do inglês, Global Positioning Systems), o
que permite criar uma sincronização entre diversas áreas da rede e tratar de maneira diferente
suas interconexões [14].
Apesar dos custos das PMUs estarem diminuindo, existem aspectos econômicos
relativos às instalações destes elementos em subestações já existentes e em novos projetos, além
de custos de comunicação e manutenção envolvidos [15]. Neste contexto as avaliações de
alocações ótimas e a possibilidade de estudos de melhoria e robustez dos estimadores de estado
são elementos extremamente importantes.
Considera-se justo e apropriado dizer que a instalação de PMUs nas redes de
transmissão de energia, nas WAMS (do inglês, Wide Area Measurement System) tem se tornado
uma tecnologia escolhida por uma grande quantidade de empresas de energia elétrica em todo
30
o mundo. Em muitos sistemas de energia é norma ter-se PMUs instaladas nas subestações de
transmissão EHV (do inglês, Extra High Voltage). Entre as aplicações que se utilizam das
PMUs, o estimador de estado linear com dados fasoriais é uma das aplicações mais comuns,
embora o caminho em direção à completa observabilidade é frequentemente adiado até que um
número suficiente de PMUs seja instalado [16].
1.2 INSTALAÇÃO DE PMUS NO BRASIL
Um dos primeiros projetos de instalação de PMUs no Brasil, foi o MedFasee, que
realiza o monitoramento do sistema interligado nacional. Conta com o apoio de diversas
universidades brasileiras, mas inicialmente foi idealizado pela Universidade Federal de Santa
Catarina [17]. Prioritariamente foram instaladas 4 PMUs nas redes de 525 kV, para o sistema
Eletrosul, respectivamente nas subestações Ivaiporã, Areia, C. Novos, e N. S. Rita.
Posteriormente foram ampliadas e instaladas PMUs nas redes de distribuição em
diversas universidades e hoje possuem mais de 22 PMUs instaladas [18].
Para avaliar e comprovar os ganhos para a segurança e confiabilidade da operação
do sistema elétrico brasileiro, obtidos com a instalação de PMUs, o ONS contratou uma
empresa para realizar estudos com o objetivo de identificar prováveis e possíveis aplicações de
medição fasorial sincronizada em sistemas de apoio a tomada de decisão em tempo real [19].
Foram escolhidas quatro entre as aplicações apresentadas para serem simuladas e terem seu
desempenho avaliado, entre elas, a Monitoração do Nível de Estresse do Sistema (do inglês,
System Stress Monitoring – StressMon), o Assistente para a Conexão de Ilhas Elétricas (do
inglês, Electrical Islands Connection Assist – SynchAssist), o Assistente para Fechamento de
Loop (do inglês, Loop Closing Assistant – LoopAssist) e a Monitoração de Oscilações do
Sistema (do inglês, System Ocillations Monitoring – 19 SOM). O CEPEL (Centro de Pesquisa
de Energia Elétrica), validou e realizou prova de conceito, e decidiu que a implantação seria
sobre a plataforma EMS/SCADA desenvolvida pelo próprio CEPEL, o Sistema SAGE (Sistema
Aberto de Gerenciamento de Energia).
1.3 INSTALAÇÃO DE PMUS NOS ESTADOS UNIDOS E NO MUNDO
31
Entre os programas de incentivo federais americanos pode-se citar a bolsa de
investimentos em redes inteligentes (SGIG, do inglês, Smart Grid Investment Grants), os
projetos de demonstração de redes inteligentes (SGDP, do inglês, Smart Grid Demonstration
Projects), e para sistemas de medições fasoriais e de comunicação tem-se os financiados pelo
programa ARRA (do inglês, American Recovery and Reinvestment Act) de 2009.
Entre 2009 e 2014, as subvenções federais e os correspondentes investimentos
privados (beneficiando desde 50% ou mais partes do custo) aumentaram a demanda por
produção em escala de aplicações que utilizam PMUs e de dados dos sincrofasores. Estas, por
sua vez, aceleraram a evolução dos padrões relevantes de interoperabilidade técnica e linhas de
desenvolvimento. Isso ajudou a trazer a tecnologia para a agenda da indústria de energia elétrica
em toda a rede americana. As Figuras 1-4 e 1-5 mostram respectivamente as implantações de
PMUs no período de 2009-2014 nos Estados Unidos, nota-se um aumento significativo.
Figura 1-4: PMUs instaladas nos Estados Unidos em 2009 de [13]
32
Figura 1-5: PMUs instaladas nos Estados Unidos em 2014 de [13]
O levantamento de PMUs instaladas por empresas concessionárias de energia nos
Estados Unidos considerando os projetos SGIG e SGDP encontra-se na Tabela 1-I.
Tabela 1-I: Censo de PMUs instaladas nos projetos SGIG/SGDP adaptada de [13]
Empresa Antes do Projeto
SGIG/SGDP
Quantidade
planejada pelo
SGIG/SGDP
Incluídas ao escopo
do SGIG/SGDP
Instaladas depois
do SGIG/SGDP
BPA 25 130 0 0
Idaho Power 2 8 0 16
PG&E 10 150 0 0
Duke 10 103 0 15
Entergy 21 45 0 17
MISO 15 144 74 0
ATC 20 49 10 0
Manitoba Hydro 1 6 26 2
Oncor (CCET) 0 9 8 0
Muitos países estão realizando projetos de instalação de sistemas de medição
fasoriais em suas redes de energia, Novosel e Wu em 2006 levantaram as principais aplicações
utilizando PMUs e em quais países existiam iniciativas com este foco. Entre os países elencados
estavam na Europa, França, Noruega, Finlândia, Dinamarca e Suécia (Escandinávia), Espanha,
33
Itália, na Ásia, Japão, Corea e China com pelo menos 150 instalações, e menciona o projeto
MedFasee do Brasil [20]. Não é exatamente um censo mas oferece uma dimensão do que ocorre
fora dos Estados Unidos.
1.4 CUSTOS DE INSTALAÇÃO DE PMUS
O custo total médio por PMU (custo para aquisição, instalação e comissionamento)
variou de US $ 40.000 a US $ 180.000. Sistemas de medição fasorial utilizados para a tomada
de decisões operacionais ou que dirigem e direcionam as ações de controle automáticos têm os
requisitos de sistema mais extensos e rígidos e, assim podem incorrer em custos mais elevados
[13]. Os custos dos projetos de instalação de PMUs têm diminuído, e o custo médio de aquisição
de um dispositivo PMU representado por uma média percentual dos custos globais de
instalações (aquisição, instalação e comissionamento) foi pequeno, geralmente menos de 10%.
No entanto, os principais determinantes dos custos totais geralmente são, a
infraestrutura existente para sistemas de suporte sincrofasores e as respectivas aplicações. A
tabela e mostra o montante de investimento realizado pelas empresas nos Estados Unidos em
projetos de instalação de PMUs.
Figura 1-6: Investimentos em instalações de PMUs nos Estados Unidos adaptado de [13]
34
1.5 OBJETIVOS
Diante das crescentes demandas pela utilização de PMUs, o objetivo principal deste
trabalho é estudar os problemas da alocação ótima de PMUs, e confrontá-la com alguns
modelos de estimadores de estado existentes, utilizando o plano de alocação para reduzir o risco
da EE tornar-se insolúvel ou inadequada em algumas situações de perda de observabilidade em
caso de problemas com medidas e equipamentos. Isto é considerado muito importante em
contraste com os outros sistemas de aquisição que retornam medidas de 4 a 10 segundos, e
assim ficam impossibilitados de realizar, por exemplo, a análise de transitórios e de tratamento
das aplicações em tempo real. A importância da EE em fornecer o estado de forma confiável,
robusta e rápida para que outras aplicações da área de controle se estabeleçam de forma segura
é fundamental, e para isto conta com a tecnologia das PMUs, e da robustez dos novos
estimadores de estado frentes a essa tecnologia e a possibilidade de integração com os modelos
tradicionais de EE já existentes sem prejuízo das características da estimação linear que pode
ser provida no âmbito da EE com PMUs.
Os estudos compreendem a alocação de PMUs assumindo o modelo nó-ramo
convencional da rede, e uma ampliação da análise considerando as subestações em maior
detalhe, para atender às novas tendências da EE, na situação onde temos estimadores de estado
multiníveis. Nestes estimadores, a EE pode ser dividida em diferentes níveis considerando as
subestações, os sistemas interligados no nível nó-ramo, o tipo de medida e sua frequência de
coleta, e o tipo de EE. Também é objetivo deste trabalho a avaliação destes estimadores de
estado multiníveis, e as perspectivas de poder-se analisar alocações nas subestações
detalhadamente e utilizar as Leis de Kirchhoff, para torná-los mais robustos em suas tarefas de
determinação da topologia da rede e obtenção das suas respectivas variáveis de estado a partir
das subestações em casos de falhas de equipamentos e consequente perda de observabilidade.
O plano de alocação básico de PMUs pode ter como objetivo, um número mínimo
de PMUs, que torne o sistema observável, o máximo de medidas decorrentes da instalação de
PMUs e o máximo fator de redundância de medidas.
Na avaliação de um plano de alocação pode-se classificá-lo como observável ou
não. Para realizar a análise de observabilidade foram desenvolvidos diversos métodos como por
exemplo métodos de análise topológica, numérica, algébrica e híbrida conforme as referências
[8] e [21].
Os planos de alocação também devem considerar as situações de perda de medidas
das linhas, perdas de equipamentos, perdas de PMU, a necessidade de poder alocar quantidades
35
pré-estabelecidas de PMUs, que atinjam ou não a observabilidade completa da rede, e ainda
considerar a pré-alocação nas situações onde já existam PMUs alocadas. Todos estes aspectos
anteriores remetem a avaliações técnicas do problema de alocação e possuem reflexos na
robustez dos estimadores de estado, e na melhoria de detecção de medidas com erros.
A análise dos planos de alocação de PMUs sob o ponto de vista econômico foi
realizada separadamente do procedimento técnico de alocação de PMUs, por ser considerada
complexa e analítica. Sendo assim, tem-se dois estágios da alocação ótima, o técnico e o
econômico.
1.6 CONTRIBUIÇÕES DO TRABALHO
As principais contribuições deste trabalho, podem ser elencadas como:
∘ Desenvolvimento e modelagem de métodos de alocação ótima de PMUs com
base no modelo de estimação de estado nó-ramo. Tais métodos apresentaram
resultados interessantes, atendendo às regras estabelecidas para melhora do
tratamento de contingências de medidas e dos níveis de observabilidade em
situações adversas. Os resultados encontrados foram melhores que os
mostrados na literatura sobre o tema.
∘ Extensão da análise de alocação de PMUs para outros modelos de estimação
de estado, no caso específico o modelo multinível, onde é necessário verificar
a alocação de PMUs no âmbito da subestação. A alocação convencional de
PMUs obriga a instalação de PMUs em todos os barramentos da subestação.
No entanto, foram apresentadas alternativas para redução do número de
PMUs alocadas, diminuindo os riscos de problemas em caso de falhas das
mesmas, e de descarte de medidas com erros, propiciando uma melhor
robustez nas funções da estimação de estado
∘ Melhoria na robustez das tarefas da EE utilizando alocações que aumentem a
redundância das medidas, tratamentos e validações do estado estimados da
rede em situações extremas de perda de medidas e de equipamentos.
36
∘ Incorporação da análise econômica nas funções de avaliação do plano de
alocação permitindo uma visualização analítica considerando os aspectos de
taxas de juros, taxas de remuneração, taxas de retorno, taxas de investimento,
taxas de reinvestimento, cronologia do projeto, e não somente a análise de
custo.
1.7 ORGANIZAÇÃO DO TEXTO
Este trabalho está estruturado em nove Capítulos. O primeiro é introdutório, para
contextualização do tema. O Capítulo dois remete às formulações da estimação de estado mais
comuns, e as mais recentes considerando os aspectos multiníveis. O Capítulo três versa sobre
os aspectos gerais da observabilidade e como pode ser tratada e entendida. O Capítulo quatro
trata da apresentação das técnicas de tratamento de erros grosseiros. O Capítulo cinco apresenta
e discute as medições fasoriais e SCADA, suas características principais e como elas
influenciam a modelagem dos estimadores. O Capítulo seis apresenta os aspectos gerais da
alocação de PMUs e faz uma revisão bibliográfica dos trabalhos sobre o tema. O Capítulo sete
apresenta o método de solução adotado para a alocação de PMUs para o modelo de EE nó-
ramo, e nele são apresentadas todas as formulações necessárias para o encaminhamento do
problema e os respectivos resultados e comparações com outras soluções. O Capítulo oito
contempla o método de solução adotado para a alocação de PMUs nas subestações
considerando o modelo de EE multinível, e os testes realizados. Finalmente, no Capítulo nove
são apresentadas as conclusões e considerações finais.
37
Capítulo II
2 ESTIMAÇÃO DE ESTADO
A EE é composta por um conjunto de aplicações que tem como intuito a construção
do modelo das redes de energia elétrica em tempo real. Esta aplicação é originária da
necessidade dos EMS de exercerem ações de controle e monitoramento das redes de energia.
Para exercer tais ações é necessário obter medições de grandezas da rede, avaliá-las e confrontá-
las com os parâmetros das mesmas para obter sua representação mais fidedigna possível e a
partir disto exercer as ações de controle.
O monitoramento e controle da rede e suas demais aplicações são extremamente
dependentes da EE, pois ela é responsável por criar o modelo da rede em tempo real e permite
que outras aplicações no centro de controle como análise de estabilidade, análise de segurança,
fluxos de carga com diversos objetivos, ações de proteção, e o despacho possam ser executadas
de forma segura.
A EE também pode ser definida como um processo que associa um valor a uma
variável de estado desconhecida do sistema baseado em medidas obtidas deste sistema de
acordo com algum critério. Usualmente envolve medidas, pseudomedidas, outras medidas
redundantes, e o processo de estimação de estado do sistema é baseado em critérios estatísticos,
que estimam o valor mais próximo possível do real das variáveis de estado através da
minimização ou maximização de uma função objetivo selecionada. A função objetivo mais
comum utilizada é minimizar a soma dos quadrados das diferenças entre as grandezas estimadas
e as medidas [22].
38
A ideia da EE em sistemas de energia foi proposta inicialmente por Schweppe em
[23], [24], e [25], e a introdução da função de EE ampliou muito a capacidade dos EMS.
Segundo Monticelli, Abur e Expósito respectivamente em [8] e [26], a EE trabalha com a coleta
de informações e medições para obter a melhor estimativa do estado da rede, minimizando o
erro entre o modelo virtual da EE e o modelo real da rede de energia. Esta tarefa é considerada
complexa se avaliarmos que é um problema de otimização, onde é necessário sincronismo
suficiente para capturar, processar, e armazenar todas as informações para o cálculo da EE em
tempo real. A EE é composta por várias funcionalidades conforme a Figura 2-1, sendo que
dentre elas podemos listar as seguintes funções básicas [8] e [26]:
Figura 2-1: Esquema geral da estimação de estado adaptado de [8]e [21]
a) Processador Topológico: a partir dos dados online dos estados dos disjuntores
e chaves e dos dados off-line das conexões entre os diversos equipamentos da
rede, obtém-se o diagrama unifilar do sistema.
b) Análise de observabilidade: determina se uma solução de estimação de estado
para todo o sistema pode ser obtida utilizando o conjunto de medições
disponíveis. Identifica os ramos não observáveis, observáveis, e as ilhas não
observáveis no sistema, se existirem. Também trabalha na restauração do
problema no caso de perda de observabilidade, procurando eventuais
pseudomedidas para restaurá-lo.
39
c) Processamento de parâmetros e identificação de erros de topologia: estima
parâmetros de rede, tais como parâmetros dos modelos de linhas de
transmissão, ajuste do tap de transformadores, parâmetros de capacitores shunt
e reatores, e erros de topologia na configuração da rede e estados de disjuntores
errados, desde que haja redundância suficiente de medidas.
d) Estimador de Estado: determina a estimativa para o estado do sistema, que é
composto pelas tensões complexas nodais, com base no modelo de rede e nas
medições obtidas. Também atua na estimação de parâmetros de rede.
e) Processamento de Erros Grosseiros: Detecta a existência de erros grosseiros
nas medições, e elimina ou corrige as medidas que os contêm desde que haja
redundância de medidas suficiente.
f) Montagem do modelo externo da rede: verifica quais são as barras internas e
as barras externas que são retidas, para representar a conexão com a rede
externa, definindo assim o sistema externo e o tipo de equivalente de rede a ser
utilizado e medidas envolvidas.
g) Modelo unificado de rede: recebe os dados da estimação de estado para os
dados internos, e juntamente com os dados gerados pelo modelo externo monta
a rede interconectada para a ação de outras funções no centro de controle.
As principais medidas tratadas pela EE são as tensões nodais, fluxos de potência
ativa, injeção de potência ativa nodal, fluxos de potência reativa, injeção de potência reativa
nodal, fluxos de corrente, e injeção de corrente nodal, magnitude do ajuste de taps de
transformadores, ângulo de defasagem de transformadores defasadores.
2.1 DEFINIÇÃO BÁSICA E FORMULAÇÃO
A formulação WLS (inglês, Weighted Least Squares) do problema de estimação de
estado é apresentada em (2.1) através de uma função de otimização que busca minimizar os
erros entre o estado estimado e o estado medido através de uma função de mínimos quadrados
ponderados [8]:
Min 𝐽(𝑥) =1
2𝑟𝑇 ∙ 𝑊 ∙ 𝑟
sujeito a 𝑧 = ℎ(𝑥) + 𝑟
(2.1)
40
A ideia do estimador de estado é minimizar uma função 𝐽(𝑥) baseada no vetor de
resíduos de medidas r representado por:
𝑟 = 𝑧 − ℎ(𝑥) (2.2)
onde 𝑧 é o vetor das 𝑚 medidas, 𝑥 é o vetor das 𝑛 variáveis de estado, 𝑊 é a inversa da matriz
de covariância das medidas 𝑅𝑧, ou matriz de pesos com dimensão (𝑚 × 𝑚) das medidas, e
ℎ(𝑥) é o vetor (𝑚 × 1) das funções que relacionam as medidas e as variáveis de estado, e , 𝑟
é o vetor dos 𝑚 resíduos das medidas.
Os modelos de EE podem variar de acordo com a função objetivo, com a montagem
da matriz de medidas e estado, com a forma como são resolvidas suas equações dependendo de
suas características, com o tipo de medições envolvidas (se são síncronas ou assíncronas), e
com o tipo de divisão das funcionalidades de cálculo.
No modelo nó-ramo da EE os ramos representam as linhas de transmissão e
transformadores, e os nós representam as subestações. É possível utilizar um modelo completo,
no qual na subestação são representadas as seções de barramento, chaves e ramos, onde os
ramos representam chaves, disjuntores, linhas de transmissão, transformadores, e os nós
representam as seções de barramento.
Existem atualmente vários modelos de EE para a transmissão, mas basicamente eles
podem ser divididos em não linear, linearizado e linear.
Os modelos não lineares possuem como principal característica a montagem da
matriz Jacobiana de medidas baseada em equações de potências nodais ativas e reativas, e
fluxos de potência ativa e reativa, e variáveis de estado representadas por ângulos de fase e
magnitudes das tensões nodais, onde um ângulo é usado como referência, e a resolução das
equações por método Gauss-Newton, conforme se observa o modelo AC.
Os modelos linearizados podem ser obtidos definindo na rede as tensões dos nós
iguais a 1,0 pu, ignorando a presença de elementos shunt, e a resistência das linhas. Neles são
usadas apenas medidas de potência ativa nodal, e fluxos de potência ativa para montagem da
matriz Jacobiana de medidas. As variáveis de estado são representadas por ângulos, sendo
usado um ângulo como referência. A resolução de suas equações é realizada de forma direta
sem iterações, este é o caso do modelo DC.
Nesta categoria podem-se enquadrar também o modelo desacoplado e o
desacoplado rápido, que também realizam simplificações nas equações e na formulação do
método de resoluções iterativos de Gauss-Newton ou de Newton-Raphson [8].
41
O modelo linear utiliza medidas fasoriais em sua formulação básica, que podem ser
tensões, injeções de corrente, fluxos de corrente, e geralmente as variáveis de estado são as
tensões complexas.
Atualmente, com o advento das PMUs, foram propostos modelos híbridos e
hierárquicos, que combinam medidas síncronas com assíncronas e formulações diferentes para
cada grupo de medidas [27], tendo porções do estimador de estado lineares e não lineares.
2.2 ALGUNS MODELOS DE ESTIMAÇÃO DE ESTADO
Durante o processo de investigação, inicialmente foi feita uma revisão da teoria da
estimação de estado clássica apresentada por Monticelli, Abur e Expósito respectivamente em
[8] e [26]. Como o tema de alocação de medidas pesquisado remete à instalação de PMUs foi
necessário conhecer melhor esta tecnologia e suas aplicações na EE através das publicações de
Phadke e Thorp, Thorp, Phadke, e Karimi e Nuqui e Phadke respectivamente em [14], [28] e
[29]. A EE linear geralmente é formulada usando os princípios da equação 𝐼 = 𝑌 ∙ 𝑉, e não
necessita de processos iterativos para buscar a solução do estado, somente utilizam o processo
iterativo na detecção e tratamento de erros. Geralmente assumem que, quando se define a
alocação de uma PMU em um nó, ela poderá medir a tensão neste nó e todos os fluxos de
corrente que saem dele, além de sua injeção de corrente.
Verificou-se também a existência vários estimadores de estado multiárea com
PMUs, conforme trabalhos publicados por Bose em [9] e [27], Yang, Sun e Bose em [10], [11],
Nuqui e Phadke em [29], Li, Zhou e Zhou em [30], Liang e Abur em [31], Sun e Zhang em
[32], Zhou, Centeno, Thorp e Phadke em [33], Jiang, Vittal e Heydt em [34] e [35].
Algumas destas novas propostas em [9], [10], e [11] enfatizam o estimador de
estado dividindo-o em níveis considerando separadamente o tratamento de cada subestação e
depois o tratamento do centro de controle, e, além desta divisão, também são consideradas as
características das medidas, ou seja, se são síncronas (fasoriais síncronas provenientes das
PMUs) ou não (convencionais assíncronas provenientes do sistema SCADA). Em [27], são
apresentados os desafios da modelagem de estimadores de estado hierárquicos multiníveis,
considerando que um estimador de estado para modelar um sistema interno exige um modelo
do sistema externo. Muitas vezes cada uma destas dezenas de estimadores de estado tem um
modelo externo exclusivo, que pode causar maiores erros de modelos em tempo real, e isto
afeta a precisão da estimativa de estado. Avaliam a possibilidade de como o modelo externo
42
pode ser modificado para melhorar os resultados do estimador de estado, considerando também
as áreas de fronteira diversas em estimadores de estado diversos em níveis hierárquicos
diversos. Em [29] foi proposto um modelo para melhorar a tarefa da EE com medições fasoriais
sincronizadas com base em uma abordagem de duas passagens. O primeiro passo consiste em
executar o problema de estimação de estado tradicional, sem as medições fasoriais. A segunda
passagem acrescenta o vetor de estado obtido no primeiro passo ao vetor de medições fasoriais
e resolve um problema linear de estimação de estado. O modelo é não-invasivo, no sentido de
que as medições fasoriais são não diretamente integradas como entradas da estimação de estado
tradicionais no primeiro passo. Em [30] o problema da EE foi dividido em duas partes, a
primeira apresenta técnicas para dividir um sistema de grande porte em partes, e com a alocação
de PMUs seguindo a estratégia de melhorar os algoritmos, com formulação do tipo bloco de
fronteira diagonal, BBDF (do inglês, Bordered Block Diagonal Form). Na segunda parte, o
algoritmo de como usar os dados de PMU para a EE em cada subsistema obtido na primeira
parte, é utilizado considerando a precisão dos dados da PMU, que são usados como condições
de fronteira, e assim o sistema é separado em muitas partes. Em [31], a EE de sistemas de
energia com grandes dimensões é investigada, onde geralmente se encontram diversas áreas de
controle. Uma abordagem da EE que coordena localmente e assim proporciona uma estimação
descentralizada enquanto melhora a capacidade de processamento de erros grosseiros nas áreas
fronteira é apresentada. Cada área é responsável por manter um número suficiente de medidas
redundantes para atingir o objetivo de processamento de erros grosseiros e a combinação com
as medidas fasoriais advindas de diversas áreas combinadas com as medidas convencionais.
Em [32], foi apresentado um estimador híbrido que integra a rede de transmissão e distribuição,
dividindo o problema em grupos de distribuição ligados a transmissão onde cada subsistema
pode ter sua modelagem da EE especializada. Em [33], também foi enfatizado o
particionamento da EE em áreas e a estratégia para definir suas fronteiras usando sincrofasores,
e a distribuição da EE. Em [34] é proposto um estimador distribuído para sistemas de grande
porte, utilizando os ângulos de fase das tensões complexas medidas de cada subsistema
decomposto na EE distribuída dos mesmos. Isto é feito através de análise de sensibilidade para
escolha das barras de fronteira entre estes subsistemas. Em [35] foi apresentado um modelo de
EE distribuído que desenvolveu técnicas para quebrar a EE em diversas partes considerando
sistemas de grande porte removendo as medidas das linhas de interligação, de forma que cada
parte fosse computacionalmente independente, gerando soluções intermediárias que
posteriormente eram enviadas a uma EE intermediária para consolidação. Em cada área foram
43
utilizadas medidas fasoriais para tornar o problema solúvel através da referência do ângulo de
tensão de cada subsistema.
Também foi feita uma revisão de assuntos relativos aos modelos de subestações e
como poderiam ser representados e incorporados na EE considerando as contribuições e
trabalhos de Monticelli e Garcia em [36] e [37] modelando ramos de impedância zero, e
disjuntores, Wu, Kezunovic e Kostic em [38] com a utilização de medidas que informam o
estado dos disjuntores de forma complementar para restauração da observabilidade e correção
de problemas, Jakovljevic e Kezunovic em [39] com o processamento de todas as informações
das subestações localmente e uma forma de exportá-los aos níveis de processamento acima,
Exposito e Villa Jaén em [40], com a redução do modelo das subestações para integrá-las ao
modelo da EE, Simões-Costa, Lourenço e Clements em [41] com a análise de observabilidade
topológica incluindo disjuntores.
Os padrões de comunicação e de rede relacionados às subestações, padrões de
interface de aplicações para o EMS, modelo de informações para sistemas de energia, padrões
e funcionalidades de gerenciamento de rede e a norma para sincrofasores também foram
investigados através das referências [42], [43], [44], [45], e [46].
2.3 MODELO LINEAR
Com o advento das PMUs, tornou-se possível a modelagem da EE linear, para o
qual podem ser consideradas as informações de corrente e tensão complexas. Considere uma
linha de transmissão cujo modelo π é mostrado na Figura 2-2.
Figura 2-2: Modelo de uma linha de transmissão adaptado de [47]
Neste caso as variáveis de estado (que compõem o vetor 𝑥) são as tensões 𝐸𝑘 e 𝐸𝑚.
Supondo que as tensões nodais e as correntes 𝐼𝑘𝑚 e 𝐼𝑚𝑘 pela linha sejam medidas (e compõem
44
o vetor 𝑧), a utilização do modelo linear de (2.3) resulta no sistema de equações mostrado na
forma matricial em (2.4) a (2.7) [28].
𝐼 = 𝑌 ∙ 𝐸 (2.3)
[
𝐸𝑘𝐸𝑚𝐼𝑘𝑚𝐼𝑚𝑘
]
⏟ 𝑧
= ∙ [𝐸𝑘𝐸𝑚]
⏟
+
(2.4)
= [𝐼𝐼𝑌𝐻]
(2.5)
𝑌𝐻 = 𝑦. 𝐴 + 𝑦𝑠 (2.6)
[
𝐸𝑘𝐸𝑚𝐼𝑘𝑚𝐼𝑚𝑘
]
⏟ 𝑧
= [
1 00 1
𝑦𝑘𝑚 + 𝑦𝑘0 −𝑦𝑘𝑚−𝑦𝑘𝑚 𝑦𝑘𝑚 + 𝑦𝑚0
]
⏟
∙ [𝐸𝑘𝐸𝑚]
⏟
+
(2.7)
Para a montagem do equacionamento da matriz , considere a matriz 𝐴 (𝑚 × 𝑛)
de incidência, cujas dimensão é dada por um número 𝑚 de medidas de corrente, e por 𝑛
correspondente ao número de nós da rede. A matriz de admitância adaptada 𝑦 (𝑚 × 𝑚),
montada a partir da admitância relacionada a cada nó, e a matriz de presença de admitâncias
shunt 𝑦𝑠 (𝑚 × 𝑛), e a matriz 𝐼𝐼 com dimensão (𝑛𝑣 × 𝑛), preenchida com valores iguais a
zeros e um, que representa a presença de 𝑛𝑣 medidas de tensão, e como o vetor de resíduos
das medidas.
A formulação básica da EE é representada em (2.8) e (2.9) onde 𝐽(𝑥) é a função
objetivo a ser minimizada, é a matriz de pesos (𝑛𝑣 + 𝑚 × 𝑛𝑣 +𝑚) inversa da matriz de
covariância das medidas 𝑧 , é o vetor de resíduos complexos, é o vetor complexo
das (𝑛𝑣 + 𝑚) medidas, é o vetor complexo das 𝑛 variáveis de estado, é a matriz
Jacobiana (𝑛𝑣 + 𝑚 × 𝑛), que relaciona medidas e variáveis de estado, e é o vetor das
funções que relacionam medidas e variáveis de estado.
𝑚𝑖𝑛 𝐽(𝑥) =1
2𝑇 ∙ ∙
(2.8)
𝑠𝑢𝑗𝑒𝑖𝑡𝑜 𝑎 = + (2.9)
A solução é obtida através do cálculo da variável com (2.10), onde é o vetor
complexo das 𝑚 medidas, é o vetor complexo das 𝑛 variáveis de estado, e é a matriz (𝑛𝑣 +
𝑚 × 𝑛) que relaciona medidas e variáveis de estado. Como o estimador é linear o cálculo da
variável de estado é realizado diretamente. O vetor de estado corresponde às tensões
45
complexas e as medidas representadas por podem ser de tensão, de fluxos de corrente, ou
injeções de corrente.
= (𝑇 ∙ ∙ )−1∙ 𝑇 ∙ ∙ (2.10)
No modelo linear nó-ramo tradicional apresentado temos a topologia pré-
determinada e assim as variáveis de estado são as tensões complexas dos nós. Considere a
Figura 2-3.
Figura 2-3: Rede exemplo adaptada de [14]
O vetor de estado e o vetor de medidas seriam respectivamente:
= [𝐸1 𝐸2 𝐸3 𝐸4 ]𝑇
= [𝐸1 𝐸2 𝐸4 𝐼1,2 𝐼2,1 𝐼2,3 𝐼2,4 𝐼4,2 𝐼4,3]𝑇
Montando as matrizes tem-se:
y =
𝐼1,2 𝐼2,1 𝐼2,3 𝐼2,4 𝐼4,2 𝐼4,3
𝑦1,2 0 0 0 0 0
0 𝑦1,2 0 0 0 0
0 0 𝑦2,3 0 0 0
0 0 0 𝑦2,4 0 0
0 0 0 0 𝑦2,4 0
0 0 0 0 0 𝑦3,4
𝐴=
1 2 3 4
1 -1 0 0 𝐼1,2
-1 1 0 0 𝐼2,1
0 1 -1 0 𝐼2,3
0 1 0 -1 𝐼2,4
0 -1 0 1 𝐼4,2
0 0 -1 1 𝐼4,3
46
y𝑠 =
1 2 3 4
𝑦1,2𝑠ℎ 0 0 0 𝐼1,2
0 𝑦1,2𝑠ℎ 0 0 𝐼2,1
0 𝑦2,3𝑠ℎ 0 0 𝐼2,3
0 𝑦2,4𝑠ℎ 0 0 𝐼2,4
0 0 0 𝑦2,4𝑠ℎ 𝐼4,2
0 0 0 𝑦3,4𝑠ℎ 𝐼4,3
y ∙ A =
1 2 3 4
𝑦1,2 −𝑦1,2 0 0 𝐼1,2
−𝑦1,2 𝑦1,2 0 0 𝐼2,1
0 𝑦2,3 −𝑦2,3 0 𝐼2,3
0 𝑦2,4 0 −𝑦2,4 𝐼2,4
0 −𝑦2,4 0 𝑦2,4 𝐼4,2
0 0 −𝑦3,4 𝑦3,4 𝐼4,3
Reescrevendo a partir de (2.4) tem-se:
[ 𝐸1𝐸2𝐸4𝐼1,2𝐼2,1𝐼2,3𝐼2,4𝐼4,2𝐼4,3]
⏟𝑧
=
[
1 0 0 00 1 0 00 0 0 1
𝑦12 + 𝑦12𝑠ℎ −𝑦12 0 0
−𝑦12 𝑦12 + 𝑦12𝑠ℎ 0 0
0 𝑦23 + 𝑦23𝑠ℎ −𝑦23 0
0 𝑦24 + 𝑦24𝑠ℎ 0 −𝑦24
0 −𝑦24 0 𝑦24 + 𝑦24𝑠ℎ
0 0 −𝑦34 𝑦34 + 𝑦34𝑠ℎ]
⏟
∙ [
𝐸1𝐸2𝐸3𝐸4
]
⏟
+
Entretanto, se for considerado o modelo generalizado, onde tem-se a representação
dos disjuntores, deve-se levar em conta os fluxos de corrente pelos disjuntores e as injeções de
correntes nas barras da subestação, e assim as variáveis de estado são acrescidas destes
elementos.
A Figura 2-4 mostra o diagrama unifilar de uma subestação que tem cinco barras e
está conectada a um nó externo. Há um gerador conectado ao nó 3, uma carga conectada ao nó
4 e um transformador conectando os nós 5 e externo 6, com uma reatância 𝑥5,6 = 0,02 pu.
Figura 2-4: Rede exemplo adaptada de [48]
47
Considerando que PMUs sejam instaladas nas barras 3, 4, 5 da subestação, e no nó
6, e que cada PMU instalada tenha medidas de tensão e corrente, então tem-se:
Construindo a matriz baseada nos vetores e tem-se:
H =
𝑉1 𝑉2 𝑉3 𝑉4 𝑉5 𝑉6 𝐼1,4 𝐼1,5 𝐼2,3 𝐼2,5 𝐼3,4
0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 𝑉3
0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 𝑉4
0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 𝑉5
0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 𝑉6
0 0 0 0 1 0 0 0 -1 0 0 𝐼3
0 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 𝐼4
0 0 0 0 0 0 0 -1 0 -1 0 𝐼5
0 0 0 0 -50 50 0 -1 0 -1 0 𝐼6
0 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 𝐼3,2
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 𝐼3,4
0 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 𝐼4,1
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 𝐼4,3
0 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 𝐼5,1
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 𝐼5,2
0 0 0 0 -50 50 0 0 0 0 0 𝐼6,5
A matriz de pesos é baseada no cálculo dos erros eventuais que as medidas
poderiam apresentar, e usualmente utilizam-se as variâncias das medidas fasoriais baseadas no
desvio padrão (𝜎) para a parte real e imaginária. Supondo que o desvio padrão seja de 10-2 para
as partes real e imaginária, que a variância seja 𝜎2, e que 𝑟 = 𝑖 = 𝜎𝑖−2, a matriz será:
= [𝑉1 𝑉2 𝑉3 𝑉4 𝑉5 𝑉6 𝐼1,4 𝐼1,5 𝐼2,3 𝐼2,5 𝐼3,4]𝑇
= [𝑉3 𝑉4 𝑉5 𝑉6 𝐼3 𝐼4 𝐼5 𝐼6 𝐼3,2 𝐼3,4 𝐼4,1 𝐼4,3 𝐼5,1 𝐼5,2 𝐼6,5]𝑇
48
𝑟=
𝑉3 𝑉4 𝑉5 𝑉6 𝐼3 𝐼4 𝐼5 𝐼6 𝐼3,2 𝐼3,4 𝐼4,1 𝐼4,3 𝐼5,1 𝐼5,2 𝐼6,5
104 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 𝑉3
0 104 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 𝑉4
0 0 104 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 𝑉5
0 0 0 104 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 𝑉6
0 0 0 0 104 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 𝐼3
0 0 0 0 0 104 0 0 0 0 0 0 0 0 0 𝐼4
0 0 0 0 0 0 104 0 0 0 0 0 0 0 0 𝐼5
0 0 0 0 0 0 0 104 0 0 0 0 0 0 0 𝐼6
0 0 0 0 0 0 0 0 104 0 0 0 0 0 0 𝐼3,2
0 0 0 0 0 0 0 0 0 104 0 0 0 0 0 𝐼3,4
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 104 0 0 0 0 𝐼4,1
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 104 0 0 0 𝐼4,3
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 104 0 0 𝐼5,1
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 104 0 𝐼5,2
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 104 𝐼6,5
2.4 MODELO NÃO LINEAR
O modelo não linear pode ser composto por medidas das magnitudes das tensões
nodais, fluxos de potência ativa, injeções de potências ativas nodais, fluxos de potência reativa
injeções de potência reativa nodais, magnitudes de fluxos de corrente em ramos, e magnitudes
de injeção de corrente nodal, magnitudes dos ajustes de taps de transformadores, ângulos de
defasagem de transformadores defasadores. O modelo da EE não linear é representado por:
Min 𝐽(𝑥) =1
2𝑟𝑇 ∙ 𝑊 ∙ 𝑟 (2.11)
sujeito a 𝑧 = ℎ(𝑥) + 𝑟 (2.12)
em que 𝑧 é o vetor de medidas (𝑚 × 1), 𝑊 (𝑚 × 𝑚) é a matriz de pesos das medidas e ℎ(𝑥) é
o vetor de funções que relacionam as medidas e as variáveis de estado, e 𝑥 é o vetor das
variáveis de estado do problema.
49
O problema é não linear em função da natureza de seu vetor ℎ(𝑥), que é composto
por funções não lineares baseadas em informações de medidas e das variáveis de estado
relativas a ângulos de fase e magnitudes das tensões.
O processo iterativo pode utilizar a formulação de Newton-Raphson, ou Gauss-
Newton para a resolução e cálculo do vetor de estado 𝑥. Após a iteração do cálculo do estado é
realizada a iteração de análise de erros grosseiros e o processo se repete até não existirem mais
erros.
O cálculo iterativo de 𝑥 pode ser resumido através das equações de (2.13) a (2.17),
onde 𝑥𝑘 é o vetor das 𝑛 variáveis de estado da iteração 𝑘, 𝑥𝑘+1 é o vetor das 𝑛 variáveis de
estado da iteração 𝑘 + 1, 𝐻(𝑥) é a matriz Jacobiana (𝑚 × 𝑛) obtida através da derivação de
primeira ordem de ℎ(𝑥), ℎ(𝑥) é o vetor das funções que relacionam medidas e variáveis de
estado, 𝑅𝑧−1 (𝑚 × 𝑚) é a inversa da matriz de covariância de medidas 𝑅𝑧 [8].
𝑥𝑘+1 = 𝑥𝑘 − [𝐺(𝑥𝑘)]−1 ∙ 𝑔(𝑥𝑘) (2.13)
𝐺(𝑥𝑘) = 𝐻𝑇(𝑥𝑘) ∙ 𝑊 ∙ 𝐻(𝑥𝑘) (2.14)
𝑔(𝑥𝑘) = −𝐻𝑇(𝑥𝑘) ∙ 𝑊 ∙ (𝑧 − ℎ(𝑥𝑘)) (2.15)
onde: 𝐻(𝑥) = [𝜕ℎ(𝑥)
𝜕𝑥]
(2.16)
𝑊 = 𝑅𝑧−1 = [
𝜎12 ⋯⋮ ⋱ ⋮
⋯ 𝜎𝑛2]
−1
(2.17)
50
A matriz 𝐻 é:
𝜃1 ... 𝜃𝑛 𝑉1 ... 𝑉𝑛
𝜕𝑃1𝜕𝜃1
⋮ 𝜕𝑃1𝜕𝜃𝑛
𝜕𝑃1𝜕𝑉1
⋮ 𝜕𝑃1𝜕𝑉𝑛
𝑃1
⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 𝜕𝑃𝑛
𝜕𝜃1 ⋮
𝜕𝑃𝑛𝜕𝜃𝑛
𝜕𝑃𝑛𝜕𝑉1
⋮ 𝜕𝑃𝑛𝜕𝑉𝑛
𝑃𝑛
𝜕𝑃𝑘𝑚𝜕𝜃1
⋮ 𝜕𝑃𝑘𝑚𝜕𝜃𝑛
𝜕𝑃𝑘𝑚𝜕𝑉1
⋮ 𝜕𝑃𝑘𝑚𝜕𝑉𝑛
𝑃𝑘𝑚
⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 𝜕𝑃𝑖𝑗
𝜕𝜃1 ⋮
𝜕𝑃𝑖𝑗
𝜕𝜃𝑛
𝜕𝑃𝑖𝑗
𝜕𝑉1 ⋮
𝜕𝑃𝑖𝑗
𝜕𝑉𝑛 𝑃𝑖𝑗
H = 𝜕𝑄1𝜕𝜃1
⋮ 𝜕𝑄1𝜕𝜃𝑛
𝜕𝑄1𝜕𝑉1
⋮ 𝜕𝑄1𝜕𝑉𝑛
𝑄1
⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮
𝜕𝑄𝑛𝜕𝜃1
⋮ 𝜕𝑄𝑛𝜕𝜃𝑛
𝜕𝑄𝑛𝜕𝑉1
⋮ 𝜕𝑄𝑛𝜕𝑉𝑛
𝑄𝑛
𝜕𝑄𝑘𝑚𝜕𝜃1
⋮ 𝜕𝑄𝑘𝑚𝜕𝜃𝑛
𝜕𝑄𝑘𝑚𝜕𝑉1
⋮ 𝜕𝑄𝑘𝑚𝜕𝑉𝑛
𝑄𝑘𝑚
⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 𝜕𝑄𝑖𝑗
𝜕𝜃1 ⋮
𝜕𝑄𝑖𝑗
𝜕𝜃𝑛
𝜕𝑄𝑖𝑗
𝜕𝑉1 ⋮
𝜕𝑄𝑖𝑗
𝜕𝑉𝑛 𝑄𝑖𝑗
0 0 0 1 0 0 𝑉1 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ 0 ⋮ 0 0 0 0 0 1 𝑉𝑛
Para a incorporação da generalização nos modelos da EE, todas as conexões devem
ser representadas, por exemplo, elementos de impedância nula ou desconhecida. Estes podem
seguir o modelo baseado em pseudomedidas mostrado nas equações (2.18) a (2.22) de acordo
com [8], [36], e [37].
Disjuntor Aberto 𝑃𝑖,𝑗 = 0 (2.18)
𝑄𝑖,𝑗 = 0 (2.19)
Disjuntor Fechado 𝑉𝑖,𝑗 = 𝑉𝑖 − 𝑉𝑗 = 0 (2.20)
𝜃𝑖,𝑗 = 𝜃𝑖 − 𝜃𝑗 = 0 (2.21)
Impedância Desconhecida ∆𝐼𝑖,𝑗 = 𝐼𝑖,𝑗 − 𝐼𝑗,𝑖 (2.22)
As medidas e variáveis de estado que poderiam ser considerados são os fluxos em
chaves, fluxos em ramos de impedância nula, fluxos em ramos de impedância desconhecida.
A matriz 𝐻 é:
51
𝜃1 𝜃𝑥 𝜃𝑘 𝜃𝑦 𝜃𝑚 𝜃𝑛 𝑃𝑘𝑚 𝑉1 𝑉𝑥 𝑉𝑘 𝑉𝑦 𝑉𝑚 ⋯ 𝑉𝑛 𝑄𝑘𝑚
𝜕𝑃1𝜕𝜃1
𝜕𝑃1𝜕𝜃𝑥
𝜕𝑃1𝜕𝜃𝑘
𝜕𝑃1𝜕𝜃𝑦
𝜕𝑃1𝜕𝜃𝑚
𝜕𝑃1𝜕𝜃𝑛
0 𝜕𝑃1𝜕𝑉1
𝜕𝑃1𝜕𝑉𝑥
𝜕𝑃1𝜕𝑉𝑘
𝜕𝑃1𝜕𝑉𝑦
𝜕𝑃1𝜕𝑉𝑚
⋯ 𝜕𝑃1𝜕𝑉𝑛
0 𝑃1
⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮
𝜕𝑃𝑛𝜕𝜃1
𝜕𝑃𝑛𝜕𝜃𝑥
𝜕𝑃𝑛𝜕𝜃𝑘
𝜕𝑃𝑛𝜕𝜃𝑦
𝜕𝑃𝑛𝜕𝜃𝑚
𝜕𝑃𝑛𝜕𝜃𝑛
0 𝜕𝑃𝑛𝜕𝑉1
𝜕𝑃𝑛𝜕𝑉𝑥
𝜕𝑃𝑛𝜕𝑉𝑘
𝜕𝑃𝑛𝜕𝑉𝑦
𝜕𝑃𝑛𝜕𝑉𝑚
⋯ 𝜕𝑃𝑛𝜕𝑉𝑛
0 𝑃𝑛
0 0 𝜕𝑃𝑘𝑚𝜕𝜃𝑘
0 𝜕𝑃𝑘𝑚𝜕𝜃𝑚
0 1 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 𝑃𝑘𝑚𝑝𝑠𝑒𝑢𝑑𝑜
⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮
𝜕𝑃𝑖𝑗𝜕𝜃1
𝜕𝑃𝑖𝑗
𝜕𝜃𝑥 𝜕𝑃𝑖𝑗
𝜕𝜃𝑘 𝜕𝑃𝑖𝑗
𝜕𝜃𝑦 𝜕𝑃𝑖𝑗
𝜕𝜃𝑚 𝜕𝑃𝑖𝑗
𝜕𝜃𝑛 0
𝜕𝑃𝑖𝑗𝜕𝑉1
𝜕𝑃𝑖𝑗
𝜕𝑉𝑥 𝜕𝑃𝑖𝑗
𝜕𝑉𝑘 𝜕𝑃𝑖𝑗
𝜕𝑉𝑦 𝜕𝑃𝑖𝑗
𝜕𝑉𝑚 ⋯
𝜕𝑃𝑖𝑗
𝜕𝑉𝑛 0 𝑃𝑖𝑗
0 1 0 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 ⋮ 𝜃𝑥𝑦𝑝𝑠𝑒𝑢𝑑𝑜
𝜕𝑄1𝜕𝜃1
𝜕𝑄1𝜕𝜃𝑥
𝜕𝑄1𝜕𝜃𝑘
𝜕𝑄1𝜕𝜃𝑦
𝜕𝑄1𝜕𝜃𝑚
𝜕𝑄1𝜕𝜃𝑛
0 𝜕𝑄1𝜕𝑉1
𝜕𝑄1𝜕𝑉𝑥
𝜕𝑄1𝜕𝑉𝑘
𝜕𝑄1𝜕𝑉𝑦
𝜕𝑄1𝜕𝑉𝑚
⋯ 𝜕𝑄1𝜕𝑉𝑛
0 𝑄1
⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮
𝜕𝑄𝑛𝜕𝜃1
𝜕𝑄𝑛𝜕𝜃𝑥
𝜕𝑄𝑛𝜕𝜃𝑘
𝜕𝑄𝑛𝜕𝜃𝑦
𝜕𝑄𝑛𝜕𝜃𝑚
𝜕𝑄𝑛𝜕𝜃𝑛
0 𝜕𝑄𝑛𝜕𝑉1
𝜕𝑄𝑛𝜕𝑉𝑥
𝜕𝑄𝑛𝜕𝑉𝑘
𝜕𝑄𝑛𝜕𝑉𝑦
𝜕𝑄𝑛𝜕𝑉𝑚
⋯ 𝜕𝑄𝑛𝜕𝑉𝑛
0 𝑄𝑛
0 ⋮ 0 ⋮ 0 0 0 0 0 𝜕𝑄𝑘𝑚𝜕𝑉𝑘
0 𝜕𝑄𝑘𝑚𝜕𝑉𝑚
⋯ 0 1 𝑄𝑘𝑚𝑝𝑠𝑒𝑢𝑑𝑜
⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮
𝜕𝑄𝑖𝑗
𝜕𝜃1 𝜕𝑄𝑖𝑗
𝜕𝜃𝑥 𝜕𝑄𝑖𝑗
𝜕𝜃𝑘 𝜕𝑄𝑖𝑗
𝜕𝜃𝑦 𝜕𝑄𝑖𝑗
𝜕𝜃𝑚 𝜕𝑄𝑖𝑗
𝜕𝜃𝑛 0
𝜕𝑄𝑖𝑗
𝜕𝑉1 𝜕𝑄𝑖𝑗
𝜕𝑉𝑥 𝜕𝑄𝑖𝑗
𝜕𝑉𝑘 𝜕𝑄𝑖𝑗
𝜕𝑉𝑦 𝜕𝑄𝑖𝑗
𝜕𝑉𝑚 ⋯
𝜕𝑄𝑖𝑗
𝜕𝑉𝑛 0 𝑄𝑖𝑗
0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 ⋯ 0 0 𝑉1
⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ 0 ⋮ ⋮ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⋯ 1 0 𝑉𝑛
0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 -1 0 ⋯ 0 0 𝑉𝑥𝑦𝑝𝑠𝑒𝑢𝑑𝑜
Considere o diagrama da Figura 2-5, e as medidas coletadas oriundas do sistema
SCADA representadas pela injeção de potência ativa e reativa no barramento 4 ,
𝑃4 e 𝑄4, a injeção de potência ativa e reativa no barramento 3, 𝑃3 e 𝑄3, o fluxo de potência
ativa e reativa entre o nó 6 e o barramento 5, 𝑃6,5 e 𝑄6,5 . O processamento topológico
identificou duas ilhas, respectivamente formadas pelo barramento 1, a segunda formada pelos
barramentos 2, 3, 4 e 5. Sendo assim deve-se ter dois ângulos de referência, respectivamente
𝜃1 , e 𝜃2 para cada uma das ilhas que serão suprimidos do vetor de variáveis de estado.
Considere ainda de acordo com o modelo generalizado as pseudomedidas, 𝑃1,4 , 𝑃1,5 ,
𝑄1,4 , 𝑄1,5 ≅ 0. Continuando a avaliação ainda se têm outras pseudomedidas como,
𝜃2,3 , 𝜃2,5 , 𝜃3,4 ≅ 0, e 𝑉2,3 , 𝑉2,5 , 𝑉3,4 ≅ 0. . Verificando os barramentos 1, 2, e 5 têm-se outras
possíveis pseudomedidas, 𝑃1 , 𝑃2 , 𝑃5 , 𝑄1 , 𝑄2, 𝑄5 ≅ 0.
52
Figura 2-5: Rede exemplo de [48]
Montando os principais elementos das equações e considerando o ângulo 𝜃1 e
𝜃2 como referência, tem-se z composta por 22 medidas e pseudomedidas, 𝑥 com 19 variáveis
de estado, e 𝐻 com dimensão (22 × 19).
𝑥 = [𝜃3 𝜃4 𝜃5 𝜃6 𝑃1,4 𝑃1,5 𝑃2,3 𝑃2,5 𝑃3,4 𝑉2 𝑉3 𝑉4 𝑉5 𝑉6 𝑄1,4 𝑄1,5 𝑄2,3 𝑄2,5 𝑄3,4]𝑇
𝑧 = [𝑃3 𝑃4 𝑃6,5 𝑃1,4 𝑃1,5 𝜃2,3 𝜃2,5 𝜃3,4 𝑃1 𝑃2 𝑃5 𝑄3 𝑄4 𝑄6,5 𝑄1,4 𝑄1,5𝑉2,3 𝑉2,5𝑉3,4 𝑄1 𝑄2 𝑄5]𝑇
A matriz 𝐻(𝑥) é representada por:
53
𝜃3 𝜃4 𝜃5 𝜃6 𝑃1,4 𝑃1,5 𝑃2,3 𝑃2,5 𝑃3,4 𝑉2 𝑉3 𝑉4 𝑉5 𝑉6 𝑄1,4 𝑄1,5 𝑄2,3 𝑄2,5 𝑄3,4
𝜕𝑃3𝜕𝜃3
𝜕𝑃3𝜕𝜃4
𝜕𝑃3𝜕𝜃5
𝜕𝑃3𝜕𝜃6
0 0 -1 0 1 𝜕𝑃3𝜕𝑉2
𝜕𝑃3𝜕𝑉3
𝜕𝑃3𝜕𝑉4
𝜕𝑃3𝜕𝑉5
𝜕𝑃3𝜕𝑉6
0 0 0 0 0 𝑃3
𝜕𝑃4𝜕𝜃3
𝜕𝑃4𝜕𝜃4
𝜕𝑃4𝜕𝜃5
𝜕𝑃4𝜕𝜃6
-1 0 0 0 -1 𝜕𝑃4𝜕𝑉2
𝜕𝑃4𝜕𝑉3
𝜕𝑃4𝜕𝑉4
𝜕𝑃4𝜕𝑉5
𝜕𝑃4𝜕𝑉6
0 0 0 0 0 𝑃4
0 0 𝜕𝑃6,5𝜕𝜃5
𝜕𝑃6,5𝜕𝜃6
0 0 0 0 0 0 0 0 𝜕𝑃6,5𝜕𝑉5
𝜕𝑃6,5𝜕𝑉6
0 0 0 0 0 𝑃6,5
0 𝜕𝑃1,4𝜕𝜃4
0 0 1 0 0 0 0 0 0 𝜕𝑃1,4𝜕𝑉4
0 0 0 0 0 0 0 𝑃1,4
0 0 𝜕𝑃1,5𝜕𝜃5
0 0 1 0 0 0 0 0 0 𝜕𝑃1,5𝜕𝑉5
0 0 0 0 0 0 𝑃1,5
-1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 𝜃2,3
0 0 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 𝜃2,5
1 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 𝜃3,4
𝜕𝑃1𝜕𝜃3
𝜕𝑃1𝜕𝜃4
𝜕𝑃1𝜕𝜃5
𝜕𝑃1𝜕𝜃6
1 1 0 0 0 𝜕𝑃1𝜕𝑉2
𝜕𝑃1𝜕𝑉3
𝜕𝑃1𝜕𝑉4
𝜕𝑃1𝜕𝑉5
𝜕𝑃1𝜕𝑉6
0 0 0 0 0 𝑃1
𝜕𝑃2𝜕𝜃3
𝜕𝑃2𝜕𝜃4
𝜕𝑃2𝜕𝜃5
𝜕𝑃2𝜕𝜃6
0 0 1 1 0 𝜕𝑃2𝜕𝑉2
𝜕𝑃2𝜕𝑉3
𝜕𝑃2𝜕𝑉4
𝜕𝑃2𝜕𝑉5
𝜕𝑃2𝜕𝑉6
0 0 0 0 0 𝑃2
𝜕𝑃5𝜕𝜃3
𝜕𝑃5𝜕𝜃4
𝜕𝑃5𝜕𝜃5
𝜕𝑃5𝜕𝜃5
0 -1 0 -1 0 𝜕𝑃5𝜕𝑉2
𝜕𝑃5𝜕𝑉3
𝜕𝑃5𝜕𝑉4
𝜕𝑃5𝜕𝑉5
𝜕𝑃5𝜕𝑉6
0 0 0 0 0 𝑃5
𝜕𝑄3𝜕𝜃3
𝜕𝑄3𝜕𝜃4
𝜕𝑄3𝜕𝜃5
𝜕𝑄3𝜕𝜃6
0 0 0 0 0 𝜕𝑄3𝜕𝑉2
𝜕𝑄3𝜕𝑉3
𝜕𝑄3𝜕𝑉4
𝜕𝑄3𝜕𝑉5
𝜕𝑄3𝜕𝑉6
0 0 0 0 0 𝑄3
𝜕𝑄4𝜕𝜃3
𝜕𝑄4𝜕𝜃4
𝜕𝑄4𝜕𝜃5
𝜕𝑄4𝜕𝜃6
0 0 0 0 0 𝜕𝑄4𝜕𝑉2
𝜕𝑄4𝜕𝑉3
𝜕𝑄4𝜕𝑉4
𝜕𝑄4𝜕𝑉5
𝜕𝑄4𝜕𝑉6
0 0 0 0 0 𝑄4
0 0 𝜕𝑄6,5𝜕𝜃5
𝜕𝑄6,5𝜕𝜃6
0 0 0 0 0 0 0 0 𝜕𝑄6,5𝜕𝑉5
𝜕𝑄6,5𝜕𝑉6
0 0 0 0 0 𝑄6,5
0 𝜕𝑄1,4𝜕𝜃4
0 0 0 0 0 0 0 0 0 𝜕𝑄1,4𝜕𝑉4
0 0 0 0 0 0 0 𝑄1,4
0 0 𝜕𝑄1,5𝜕𝜃5
0 0 0 0 0 0 0 0 0 𝜕𝑄1,5𝜕𝑉5
0 0 0 0 0 0 𝑄1,5
0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 𝑉2,3
0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 𝑉2,5
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 -1 0 0 0 0 0 0 0 𝑉3,4
𝜕𝑄1𝜕𝜃3
𝜕𝑄1𝜕𝜃4
𝜕𝑄1𝜕𝜃5
𝜕𝑄1𝜕𝜃6
0 0 0 0 0 𝜕𝑄1𝜕𝑉2
𝜕𝑄1𝜕𝑉3
𝜕𝑄1𝜕𝑉4
𝜕𝑄1𝜕𝑉5
𝜕𝑄1𝜕𝑉6
0 0 0 0 0 𝑄1
𝜕𝑄2𝜕𝜃3
𝜕𝑄2𝜕𝜃4
𝜕𝑄2𝜕𝜃5
𝜕𝑄2𝜕𝜃6
0 0 0 0 0 𝜕𝑄2𝜕𝑉2
𝜕𝑄2𝜕𝑉3
𝜕𝑄2𝜕𝑉4
𝜕𝑄2𝜕𝑉5
𝜕𝑄2𝜕𝑉6
0 0 0 0 0 𝑄2
𝜕𝑄5𝜕𝜃3
𝜕𝑄5𝜕𝜃4
𝜕𝑄5𝜕𝜃5
𝜕𝑄5𝜕𝜃6
0 0 0 0 0 𝜕𝑄5𝜕𝑉2
𝜕𝑄5𝜕𝑉3
𝜕𝑄5𝜕𝑉4
𝜕𝑄5𝜕𝑉5
𝜕𝑄5𝜕𝑉6
0 0 0 0 0 𝑄5
54
2.5 MODELOS LINEARIZADOS
Na Seção 2.2 foram mencionados alguns modelos linearizados, o modelo
linearizado é geralmente obtido através da simplificação do modelo não linear. Como exemplo
pode-se mencionar o modelo DC, o modelo desacoplado, o modelo desacoplado com método
BX, o modelo desacoplado com método XB, e o modelo desacoplado rápido, que serão
apresentados nas seções 2.5.1 e 2.5.2 deste Capítulo.
2.5.1 MODELO DC
Entre os modelos de estimador linearizado tem-se o modelo DC, onde são
consideradas as mesmas simplificações realizadas no modelo de fluxo de potência linearizado,
ou seja, as magnitudes das tensões dos nós são aproximadas para 1,0 pu, as resistências série e
admitâncias shunt são desprezadas, e a abertura angular, que é diferença entre o ângulo de uma
barra i e de uma barra j representado por (𝜃𝑖 − 𝜃𝑗) é considerada pequena, de forma a tornar
possível a aproximação mostrada em (2.23) e consequentemente formular o fluxo de potência
ativa 𝑃𝑖𝑗 com (2.24) e da injeção 𝑃𝑖 com (2.25) calculado a partir das barras 𝑗 adjacentes de 𝑖
pertencentes ao conjunto Ω𝑖. Assim, somente as injeções 𝑃𝑖 e fluxos de potência ativa 𝑃𝑖𝑗 são
considerados, em função dos ângulos de fase das tensões.
𝑠𝑒𝑛(𝜃𝑖 − 𝜃𝑗) ≈ 𝜃𝑖 − 𝜃𝑗 (2.23)
𝑃𝑖𝑗 =(𝜃𝑖 − 𝜃𝑗)
𝑥𝑖𝑗 (2.24)
𝑃𝑖 = ∑ 𝑃𝑖𝑗𝑗∈Ω𝑖
(2.25)
Desta forma, a matriz que relaciona medidas e variáveis de estado 𝐻 é modificada
e somente os ângulos permanecem como variáveis de estado onde tem-se 𝑛 nós, lembrando que
a coluna do ângulo de referência adotada deve ser retirada da matriz assim adotando 𝜃1 como
ângulo de referência retira-se a coluna 1, e tem-se:
55
𝜃1 𝜃2 ... 𝜃𝑝 ... 𝜃𝑞 ... 𝜃𝑛
𝜕𝑃1𝜕𝜃1
𝜕𝑃1𝜕𝜃2
... 𝜕𝑃1𝜕𝜃𝑝
⋮ ⋮ ⋮ 𝜕𝑃1𝜕𝜃𝑛
𝑃1
𝜕𝑃2𝜕𝜃1
𝜕𝑃2𝜕𝜃2
... 𝜕𝑃2𝜕𝜃𝑝
⋮ ⋮ ⋮ 𝜕𝑃2𝜕𝜃𝑛
𝑃2
⋮ ⋮ ... ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮
H = 𝜕𝑃𝑛𝜕𝜃1
𝜕𝑃𝑛𝜕𝜃2
... 𝜕𝑃𝑛𝜕𝜃𝑝
⋮ ⋮ ⋮ 𝜕𝑃𝑛𝜕𝜃𝑛
𝑃𝑛
𝜕𝑃𝑘𝑚𝜕𝜃1
𝜕𝑃𝑘𝑚𝜕𝜃2
... 𝜕𝑃𝑘𝑚𝜕𝜃𝑝
⋮ ⋮ ⋮ 𝜕𝑃𝑘𝑚𝜕𝜃𝑛
𝑃𝑘𝑚
⋮ ⋮ ... ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮
𝜕𝑃𝑖𝑗
𝜕𝜃1
𝜕𝑃𝑖𝑗
𝜕𝜃2 ...
𝜕𝑃𝑖𝑗
𝜕𝜃𝑝 ⋮ ⋮ ⋮
𝜕𝑃𝑖𝑗
𝜕𝜃𝑛 𝑃𝑖𝑗
A formulação linearizada da EE é representada resumidamente por:
Min 𝐽(𝑥) =1
2𝑟𝑇 ∙ 𝑊 ∙ 𝑟
sujeito a 𝑧 = 𝐻 ∙ 𝑥 + 𝑟
(2.26)
= (𝐻𝑇 ∙ 𝑊 ∙ 𝐻)−1 ∙ 𝐻𝑇 ∙ 𝑊 ∙ 𝑧 (2.27)
onde 𝑟 é o vetor de resíduos das 𝑚 medidas, 𝑧 é o vetor das 𝑚 medidas, 𝑥 é o vetor das 𝑛
variáveis de estado, 𝑊 é a matriz de pesos das medidas, inversa da matriz de covariância das
medidas 𝑅𝑧 com dimensão (𝑚 × 𝑚), 𝐻 é a matriz (𝑚 × 𝑛) que relaciona medidas e estado.
A formulação acima atende ao modelo nó-ramo, mas se forem considerados os
disjuntores tem-se uma nova representação, com variáveis de estado adicionais representando
o fluxo de potência pelos disjuntores, e algumas pseudomedidas como a injeção de potência
nos barramentos cujos disjuntores adjacentes estão abertos (neste caso igual a zero), e a
diferença angular entre barramentos cujo disjuntor está fechado, conforme equações (2.18) e
(2.21).
56
𝜃1 𝜃2 ⋯ 𝜃𝑥 𝜃𝑘 𝜃𝑦 𝜃𝑚 ⋯ 𝜃𝑝 ⋯ 𝜃𝑞 ⋯ 𝜃𝑛 𝑃𝑥𝑦 𝑃𝑥𝑚 𝑃𝑘𝑚
𝜕𝑃1𝜕𝜃1
𝜕𝑃1𝜕𝜃2
⋯ 𝜕𝑃1𝜕𝜃𝑥
𝜕𝑃1𝜕𝜃𝑘
𝜕𝑃1𝜕𝜃𝑦
𝜕𝑃1𝜕𝜃𝑚
⋯ 𝜕𝑃1𝜕𝜃𝑝
⋯ 𝜕𝑃1𝜕𝜃𝑞
⋯ 𝜕𝑃1𝜕𝜃𝑛
0 0 0 𝑃1
𝜕𝑃2𝜕𝜃1
𝜕𝑃2𝜕𝜃2
⋯ 𝜕𝑃2𝜕𝜃𝑥
𝜕𝑃2𝜕𝜃𝑘
𝜕𝑃2𝜕𝜃𝑦
𝜕𝑃2𝜕𝜃𝑚
⋯ 𝜕𝑃2𝜕𝜃𝑝
⋯ 𝜕𝑃2𝜕𝜃𝑞
⋯ 𝜕𝑃2𝜕𝜃𝑛
0 0 0 𝑃2
⋮ ⋮ ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋯ ⋮ ⋯ ⋮ ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮
0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 ⋯ 0 ⋯ 0 −1 −1 0 𝑃𝑥𝑝𝑠𝑒𝑢𝑑𝑜
⋮ ⋮ ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋯ ⋮ ⋯ ⋮ ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮
H=
𝜕𝑃𝑛𝜕𝜃1
𝜕𝑃𝑛𝜕𝜃2
⋯ 𝜕𝑃𝑛𝜕𝜃𝑥
𝜕𝑃𝑛𝜕𝜃𝑘
𝜕𝑃𝑛𝜕𝜃𝑦
𝜕𝑃𝑛𝜕𝜃𝑚
⋯ 𝜕𝑃𝑛𝜕𝜃𝑝
⋯ 𝜕𝑃𝑛𝜕𝜃𝑞
⋯ 𝜕𝑃𝑛𝜕𝜃𝑛
0 0 0 𝑃𝑛
0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 ⋯ 0 ⋯ 0 0 0 1 𝑃𝑘𝑚𝑝𝑠𝑒𝑢𝑑𝑜
⋮ ⋮ ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋯ ⋮ ⋯ ⋮ ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮
𝜕𝑃𝑖𝑗
𝜕𝜃1 𝜕𝑃𝑖𝑗
𝜕𝜃2 ⋯
𝜕𝑃𝑖𝑗
𝜕𝜃𝑥 𝜕𝑃𝑖𝑗
𝜕𝜃𝑘 𝜕𝑃𝑖𝑗
𝜕𝜃𝑦 𝜕𝑃𝑖𝑗
𝜕𝜃𝑚 ⋯
𝜕𝑃𝑖𝑗
𝜕𝜃𝑝 ⋯
𝜕𝑃𝑖𝑗
𝜕𝜃𝑞 ⋯
𝜕𝑃𝑖𝑗
𝜕𝜃𝑛 0 0 0 𝑃𝑖𝑗
0 0 ⋯ 1 0 −1 0 ⋯ 0 ⋯ 0 ⋯ 0 0 0 0 𝜃𝑥𝑦
Considere novamente o diagrama da Figura 2-5, e as medidas coletadas oriundas
do sistema SCADA representadas pela injeção de potência ativa no barramento 4 ,
𝑃4 , a injeção de potência ativa na barra 3, 𝑃3 , o fluxo de potência ativa entre o nó 6 e o
barramento 5, 𝑃6,5 O processamento topológico identificou duas ilhas, respectivamente
formadas pelo barramento 1, a segunda formada pelos barramentos 2, 3, 4 e 5. Sendo assim
deve-se ter dois ângulos de referência, respectivamente 𝜃1, e 𝜃2 para cada uma das ilhas que
serão suprimidos do vetor de variáveis de estado. Considere ainda de acordo com o modelo
generalizado as pseudomedidas, 𝑃1,4 , 𝑃1,5 ≅ 0. Continuando a avaliação ainda se têm outras
pseudomedida como, 𝜃2,3 , 𝜃2,5 , 𝜃3,4 ≅ 0. Verificando os barramentos 1, 2, e 5 têm-se outras
possíveis pseudomedidas, 𝑃1 , 𝑃2 , 𝑃5 ≅ 0.
Tem-se 𝑧 com 11 medidas, 𝑥 com 9 variáveis de estado, e H com dimensão (11 ×
9), resultando em:
𝑥 = [𝜃3 𝜃4 𝜃5 𝜃6 𝑃1,4 𝑃1,5 𝑃2,3 𝑃2,5 𝑃3,4]𝑇
𝑧 = [𝑃3 𝑃4 𝑃6,5 𝑃1,4 𝑃1,5 𝜃2,3 𝜃2,5 𝜃3,4 𝑃1 𝑃2 𝑃5]𝑇
57
2.5.2 MODELO DESACOPLADO
Um dos principais custos computacionais associados à EE pelos métodos de
mínimos quadrados é o cálculo relativo à decomposição triangular da matriz ganho. Uma
maneira de reduzir este esforço de cálculo é manter uma matriz de ganho constante com
algumas aproximações. Esta aproximação pode ser verificada quando se inicia a solução com
valores arbitrados para as variáveis de estado (ângulos em zero radianos, e tensões iguais a 1,0
pu), até o problema começar a iniciar sua convergência. Estas relações são obtidas através de
análise de sensibilidade e forte acoplamento entre os elementos relacionados às potências ativas
e os ângulos, e as potências reativas e as magnitudes das tensões na matriz Jacobiana do
estimador de estado [26].
Os modelos desacoplados são obtidos fazendo uma analogia com os métodos de
modelagem do fluxo de carga e simplificações assumidas de acordo com as características das
redes elétricas, e relaxações das equações pertinentes à matriz Jacobiana do estimador de
estado, e do método iterativo utilizado [8]. Em geral verificado para redes de transmissão de
extra e ultra altas tensões (tensões acima de 230 kV).
Estas relaxações são devidas às aproximações relativas aos elementos da diagonal
e fora da diagonal da matriz Jacobiana com as derivadas da matriz de funções de medidas e e
variáveis de estado ℎ(𝑥)do modelo AC.
H =
𝜃3 𝜃4 𝜃5 𝜃6 𝑃1,4 𝑃1,5 𝑃2,3 𝑃2,5 𝑃3,4
0 0 0 0 0 0 -1 0 1 𝑃3
0 0 0 0 -1 0 0 0 -1 𝑃4
0 0 -50 50 0 0 0 0 0 𝑃6,5
0 0 0 0 1 0 0 0 0 𝑃1,4
0 0 0 0 0 1 0 0 0 𝑃1,5
-1 0 0 0 0 0 0 0 0 𝜃2,3
0 0 -1 0 0 0 0 0 0 𝜃2,5
1 -1 0 0 0 0 0 0 0 𝜃3,4
0 0 0 0 1 1 0 0 0 𝑃1
0 0 0 0 0 0 1 1 0 𝑃2
0 0 50 -50 0 -1 0 -1 0 𝑃5
58
A linearização das equações pode ser considerada a partir do entendimento do
seguinte sistema de equações lineares:
(𝐴 𝐵𝐶 𝐷
) ∙ (𝑥𝑦) = (
𝑎𝑏) (2.28)
onde as dimensões dos vetores 𝑥 e 𝑎 são equivalentes a 𝑛, e as dimensões dos vetores 𝑦 e 𝑏
são equivalentes a 𝑚. Ao assumir que 𝐴 possui inversa e utilizando a fatoração de Gauss, tem-
se:
(𝐴 𝐵0 𝐷 − (𝐶 ∙ 𝐴)−1 ∙ 𝐵
) ∙ (𝑥𝑦) = (
𝑎𝑏 − (𝐶 ∙ 𝐴)−1 ∙ 𝑎)
(2.29)
Se o termo 𝐷 − (𝐶 ∙ 𝐴)−1 ∙ 𝐵 também possui inversa obtém-se 𝑦 a partir de:
𝑦 = [𝐷 − (𝐶 ∙ 𝐴)−1 ∙ 𝐵]−1 ∙ (𝐷 − (𝐶 ∙ 𝐴)−1 ∙ 𝐵) (2.30)
Consequentemente pode obter 𝑥 a partir de (2.28):
𝑥 = 𝐴−1 ∙ (𝑎 − 𝐵 ∙ 𝑦) (2.31)
Com as equações de (2.28) a (2.31) pode extrair o algoritmo iterativo para obtenção
da solução em três passos. Calcular o valor provisório de x desprezando o segundo termo de
(2.31), 𝑥𝑡𝑚𝑝 = 𝐴−1 ∙ 𝑎, posteriormente calcular y com (2.30), e finalmente atualizar o valor
de 𝑥, considerando novamente (2.31), os valores de y e 𝑥𝑡𝑚𝑝:
𝑥 = 𝑥𝑡𝑚𝑝 − 𝐴−1 ∙ 𝐵 ∙ 𝑦
Estas formulações podem ser estendidas à formulação da EE com método
desacoplado rápido adaptadas do método de Newton-Raphson para a solução do modelo
completo AC, considerando a matriz de derivadas a Jacobiana e as formulações de (2.28) a
(2.31) tem-se:
(𝐻𝑃𝜃 𝐻𝑃𝑉𝐻𝑄𝜃 𝐻𝑄𝑉
) ∙ (∆𝜃∆𝑉) = (
∆𝑧𝑃∆𝑧𝑄
) (2.32)
As matrizes 𝐻 de (2.32) são submatrizes da matriz Jacobiana do estimador de
estado, e assumindo que 𝐻𝑃𝜃 possui uma pseudo-inversa 𝐻𝐼𝑃𝜃e realizando a fatoração de Gauss
e admitindo medidas sem erros tem-se:
𝐻𝐼𝑃𝜃 = (𝐻𝑃𝜃𝑇 ∙ 𝐻𝑃𝜃)
−1∙ 𝐻𝑃𝜃
𝑇 (2.33)
(𝐻𝑃𝜃 𝐻𝑃𝑉0 𝑄𝑉
) ∙ (∆𝜃∆𝑉) = (
∆𝑧𝑃∆𝑄
) (2.34)
59
𝑄𝑉 = 𝐻𝑄𝑉 − 𝐻𝑄𝜃 ∙ 𝐻𝐼𝑃𝜃 ∙ 𝐻𝑃𝑉 (2.35)
∆𝑄 = ∆𝑧𝑞 − 𝐻𝑄𝜃 ∙ 𝐻𝐼𝑃𝜃 ∙ ∆𝑧𝑃 (2.36)
Se a existe a pseudoinversa 𝐻𝑄𝑉 de 𝑄𝑉 então
𝐻𝑄𝑉 = (𝑄𝑉𝑇 ∙ 𝑄𝑉)
−1∙ 𝑄𝑉 (2.37)
(𝑃𝜃 0
0 𝑄𝑉) ∙ (
∆𝜃∆𝑉) = (
∆𝑃∆𝑄
𝑁) (2.38)
∆𝑃 = ∆𝑧𝑃 − 𝐻𝑃𝑉 ∙ 𝐻𝑄𝑉 ∙ ∆𝑄 (2.39)
𝑃𝜃 = 𝐻𝑃𝜃 − 𝐻𝑃𝑉 ∙ 𝐻𝑄𝑉 ∙ 𝐻𝑄𝜃 (2.40)
∆𝑄𝑁 = ∆𝑞 − 𝐻𝑄𝜃 ∙ 𝐻𝑃𝜃 ∙ ∆𝑃 (2.41)
Para o cálculo da EE deve-se seguir os passos descritos a seguir. Assumir valores
iniciais para as tensões em 1,0 pu, e 0 radianos para os ângulos (em fase). Conforme (2.38),
ignorar elementos fora da diagonal da matriz Jacobiana de (2.32), e isto terá reflexos no cálculo
da matriz ganho do problema que ficará:
𝐺 = (𝑃𝜃 0
0 𝑄𝑉)
(2.42)
𝑅 = (𝑃𝜃 0
0 𝑄𝑉)
(2.43)
𝑃𝜃 = 𝑃𝜃𝑇 ∙ 𝑃𝜃
−1 ∙ 𝑃𝜃 (2.44)
𝑄𝑉 = 𝑄𝑉𝑇 ∙ 𝑄𝑉
−1 ∙ 𝑄𝑉 (2.45)
𝑇𝑃 = 𝑃𝜃𝑇 ∙ 𝑃𝜃
−1 ∙ ∆𝑃, (2.46)
𝑇𝑄 = 𝑄𝑉𝑇 ∙ 𝑄𝑉
−1 ∙ ∆𝑄𝑁, (2.47)
∆𝑃, =
∆𝑃𝑉
(2.48)
∆𝑄𝑁, = ∆𝑄
𝑁 (2.49)
O algoritmo ficaria como descrito em [26]:
1. Inicializar as tensões dos nós em 1,0 pu e os ângulos em 0 radianos
2. Construir a matriz 𝑅 de acordo com (2.43) com os desvios-padrão (𝜎 )
apresentados.
3. Construir a matriz 𝐺 de acordo com (2.42)
4. Calcular 𝑇𝑃 de acordo com (2.46)
5. Resolver 𝑃𝜃 ∙ ∆𝜃 = 𝑇𝑃 de acordo com (2.44)
60
6. Verificar se os valores de ∆𝜃 e ∆𝑉 são menores que o valor definido
para teste de convergência. Se sim parar o processo, senão continua
7. Atualizar 𝜃𝑘+1 = 𝜃𝑘 + ∆𝜃, da k-ésima iteração
8. Calcular 𝑇𝑄 de acordo com (2.47)
9. Resolver 𝑄𝑉 ∙ ∆𝑉 = 𝑇𝑄 de acordo com (2.45)
10. Verificar se os valores de ∆𝜃 e ∆𝑉 são menores que o valor definido
para teste de convergência. Se sim parar o processo, senão continua
11. Atualizar 𝑉𝑘+1 = 𝑉𝑘 + ∆𝑉, da k-ésima iteração
12. Vá para 4
Existem duas variações para as equações e métodos anteriormente assumidos,
essencialmente ligados às matrizes 𝑃𝜃 e 𝑄𝑉, onde são ignoradas as resistências série na sua
formação, e assim temos as formulações chamadas de XB e BX do método do estimador de
estado desacoplado rápido de acordo com [8].
2.6 MODELO MULTINÍVEL HÍBRIDO COM MEDIDAS FASORIAIS E CONVENCIONAIS
O modelo híbrido utiliza conceitos básicos da estimação de estado generalizada, e
procura combinar os modelos de estimação de estado linear e não linear, dividindo o
processamento em áreas e domínios por tipo de estimação e por tipo de medida
As medidas fasoriais são incorporadas ao estimador tradicional não linear, e
linearizado modificando a matriz Jacobiana 𝐻, e podem proporcionar algumas melhorias na
precisão do processo de estimação de estado de acordo com o tipo de variável incluída. Vários
modelos híbridos foram propostos na literatura, como em [49], [50] e [51]. As medidas fasoriais
que poderiam ser incorporadas à EE não linear são injeções e fluxos de potências, injeções e
fluxos de correntes e tensões, e seriam representados nas respectivas matrizes de medidas em
função das variáveis de estado dos modelos da estimação de estado.
Existem questionamentos sobre a conveniência de incluir medidas convencionais
assíncronas nos estimadores de estado lineares, e algumas correntes trabalham esta ideia de
modo diferente na EE multiárea como em [30], [31], [32], [33], [34] e [35], e na EE distribuída
em [10], [11], e em [27], [28], [29], e [30].
No modelo proposto em [10] e [11], conforme a Figura 2-6, no nível da EE das
subestações, a topologia, as variáveis de estado relativas às correntes e tensões, e as injeções de
fronteira são estimadas na própria subestação. O segundo nível ou nível da EE do centro de
controle, compreende a estimação das variáveis de estado de tensões dos nós, tendo em vista
61
todo o sistema dividido em áreas lineares e não lineares. Finalmente, o terceiro nível do
estimador de estado multiárea considera juntamente ambas áreas.
Figura 2-6: Estimador de estado multiárea adaptado de [10] e [11].
Na Figura 2-6 𝑛 é o número de áreas com EE linear do sistema, 𝑚 o número de áreas
com estimação não linear do sistema, 𝑙 é o número de subestações que possuem EE linear, 𝑛𝑙 é
o número de subestações que possuem EE não linear, são as medidas de fasores de tensão, 𝐼
são as medidas de fasores de injeção de corrente, 𝐼𝑝,𝑞 são as medidas de fasores dos fluxos de
correntes nos disjuntores que conectam os barramentos p e q, 𝑏𝑟𝑦 são as medidas fasoriais das
tensões e correntes de injeção nas fronteiras entre as áreas lineares e não lineares da EE,
𝑉, 𝑃, 𝑄, 𝑃𝑝,𝑞 , 𝑒 𝑄𝑝,𝑞 são respectivamente as medidas convencionais de magnitude tensão,
potência ativa de uma barra, potência reativa de uma barra, fluxos de potência ativa nos
disjuntores e fluxo de potência reativa nos disjuntores.
De acordo com [10] e [11], se existirem medidas de fasores de tensão e corrente
suficientes na subestação para atender os requisitos de observabilidade, as equações do
estimador de estado podem ser lineares. Analisando esta afirmação, verifica-se que embora
possamos ter muitas medidas fasoriais no sistema, algumas porções dele somente poderão ter
formulação linear se atenderem estes quesitos, do contrário somente será possível acoplar as
medições fasoriais em estimadores com a modelagem convencional, os modelos lineares, ou
linearizados.
62
Com a crescente capacidade de processamento das subestações, alguns cálculos e
processamentos da EE podem ser realizados no nível da subestação, e, ao contrário da estimação
tradicional, a topologia é determinada antes nas subestações, pois em cada subestação as
medições fasoriais atuais são usadas para resolver uma EE local para cada nível de tensão. Os
resultados das correntes dos disjuntores (CB, do inglês Circuit Breaker) são usados para
confirmar o status de cada disjuntor, ou seja, se ele está aberto ou fechado, e assim formando
naturalmente a topologia da subestação e de suas seções de barramento. O cálculo do estado é
dividido em duas partes. Primeiramente tem-se o cálculo das correntes dos disjuntores. Com
estas informações determina-se a formação dos barramentos e depois são calculadas as tensões
e a formulação padrão da EE leva a um cálculo simples como uma média dos valores.
A equação básica da EE da subestação para a parte da determinação das correntes
é:
𝑖 = (𝑖𝑛𝑗𝑐𝑏) = 𝐻𝑖𝑖 + (
𝑖𝑛𝑗𝑐𝑏) = 𝐻𝑖𝑖 + 𝑖 , (2.50)
onde o sobrescrito 𝑖 refere-se à subestação da área da EE linear, 𝑖 é um vetor que contém as
correntes complexas medidas nos barramentos da subestação, 𝑖𝑛𝑗𝑖 é o vetor das injeções de
corrente complexas medidas nos barramentos da subestação, 𝑐𝑏𝑖 é o vetor dos fluxos de
corrente complexas entre os barramentos da subestação, 𝐻𝑖 é a matriz função de medição, que
relaciona as medidas às variáveis de estado da EE da subestação, 𝑖 é o vetor das variáveis de
estado do estimador de estado da subestação, que neste caso são os fluxos de corrente
complexas nos disjuntores da subestação, e 𝑖 é o respectivo vetor de resíduos, para as medidas
de injeções de corrente complexas e das medidas de fluxos de corrente complexas
respectivamente 𝑖𝑛𝑗𝑖 e 𝑐𝑏
𝑖 .
As linhas da matriz 𝐻𝑖 correspondem às medidas de injeções de corrente e fluxos
de corrente nos disjuntores, e suas colunas correspondem às variáveis de estado da EE, que são
as correntes nos disjuntores. O vetor das variáveis de estado 𝑖 é obtido através de:
𝑖 = [(𝐻𝑖)𝑇𝑊𝑖𝐻𝑖]
−1
(𝐻𝑖)𝑇𝑊𝑖𝑖 , (2.51)
onde 𝑊𝑖 é a matriz de pesos relacionada às medidas de corrente da EE da subestação, e tem-se
para cada medida me de corrente uma covariância para parte real e outra para a parte imaginária
de 𝑚, decomposta em uma matriz (2 × 2) onde:
𝑚𝑒𝑖 = [
𝜎𝑚𝑒,𝑟𝑒𝑎𝑙−2 0
0 𝜎𝑚𝑒,𝑖𝑚𝑎𝑔−2 ]
63
A equação (2.51) tem solução se [(𝐻𝑖)𝑇∙𝑊𝑖 ∙ 𝐻𝑖] possui inversa, e assim o sistema
é dito observável. Portanto, a localização das medidas de corrente na subestação é crucial para
garantir a observabilidade do sistema, o processamento de erros grosseiros das medidas, e
consequentemente a robustez da EE da subestação. Considere a Figura 2-7 que mostra uma
subestação como exemplo.
Figura 2-7: Subestação de seis barramentos
A matriz 𝐻𝑖 do exemplo da Figura 2-7 é dada por:
𝐻𝑖=
I1,2 I1,6 I2,3 I3,4 I4,5 I5,6
0 0 0 0 0 0 𝐼1
1 0 -1 0 0 0 𝐼2
0 0 1 -1 0 0 𝐼3
0 0 0 0 0 0 𝐼4
0 0 0 0 1 -1 𝐼5
0 1 0 0 0 1 𝐼6
0 0 0 0 0 0 𝐼1,2
0 0 0 0 0 0 𝐼1,6
0 0 1 0 0 0 𝐼2,3
0 0 0 1 0 0 𝐼3,4
0 0 0 0 0 0 𝐼4,5
0 0 0 0 0 1 𝐼5,6
-1 0 0 0 0 0 𝐼2,1
0 -1 0 0 0 0 𝐼6,1
0 0 -1 0 0 0 𝐼3,2
0 0 0 0 0 0 𝐼4,3
0 0 0 0 -1 0 𝐼5,4
0 0 0 0 0 -1 𝐼6,5
64
Depois que a variável de estado 𝑖e a topologia 𝑇𝑖 são determinadas, as tensões na
subestação podem ser determinadas considerando cada nível de tensão por:
𝑣𝑖 = 𝐻𝑣
𝑖 𝑣𝑖 + 𝑣
𝑖 , (2.52)
onde 𝑣𝑖 é o vetor de medidas de tensão, 𝐻𝑣
𝑖 é a matriz de função de medidas para a estimação
das tensões ( que neste caso é uma matriz diagonal, já que as variáveis de estado são tensões),
𝑣𝑖 é o vetor de estado das tensões, e 𝑣
𝑖 é o vetor de resíduos das medidas de tensões.
Finalmente, tem-se:
𝑣,𝑟𝑒𝑎𝑙𝑖 =
∑ (𝑣(2𝑛𝑏−1,2𝑛𝑏−1)𝑖 𝑣(𝑛𝑏),𝑟𝑒𝑎𝑙
𝑖 )𝑠𝑏𝑛𝑏=1
∑ (𝑣(2𝑛𝑏−1,2𝑛𝑏−1)𝑖 )𝑠𝑏
𝑛𝑏=1
(2.53)
𝑣,𝑖𝑚𝑎𝑔𝑖 =
∑ (𝑣(2𝑛𝑏,2𝑛𝑏)𝑖 𝑧𝑣(𝑛𝑏),𝑖𝑚𝑎𝑔
𝑖 )𝑠𝑏𝑛𝑏=1
∑ (𝑣(2𝑛𝑏,2𝑛𝑏)𝑖 )𝑠𝑏
𝑛𝑏=1
, (2.54)
onde 𝑠𝑏 é o número total de barramentos da subestação i, 𝑛𝑏 é o número do barramento 𝑣,𝑟𝑒𝑎𝑙𝑖
e 𝑣,𝑖𝑚𝑎𝑔𝑖 correspondem respectivamente a parte real e imaginária da tensão do barramento
formado de acordo com a topologia 𝑇𝑖, 𝑣(2𝑘−1,2𝑘−1)𝑖 e 𝑣(2𝑘,2𝑘)
𝑖 correspondem aos elementos
da matriz pesos das medidas das tensões. A parte real 𝑣(𝑛𝑏),𝑟𝑒𝑎𝑙𝑖 corresponde à parte real da
medida de tensão do barramento nb da subestação i, e 𝑣(𝑛𝑏),𝑖𝑚𝑎𝑔𝑖 corresponde à parte
imaginária da medida de tensão do barramento nb da subestação i.
Após a determinação de todas as topologias das subestações de cada área, a EE do
centro de controle é representada por:
= (
𝑝,𝑏𝑢𝑠
𝐼𝑝,(𝑎,𝑏)
𝐼𝑝,𝑖𝑛𝑗
) = 𝑥 + = (
𝐼𝐼𝑝,(𝑎,𝑏)
𝑝
) + , (2.55)
onde 𝑝,(𝑏𝑢𝑠,𝑖) representa o vetor de todas as tensões de cada barramento formado de cada
subestação i da respectiva área linear 𝑝, com um número total de subestações equivalente a 𝑙,
𝐼𝑝,(𝑎,𝑏) corresponde ao fluxo de corrente entre os barramentos de duas subestações a e b
pertencentes a área linear 𝑝, II representa uma matriz identidade, 𝑝,(𝑎,𝑏)pode ser obtida a partir
da matriz de admitância 𝑝 correspondente a área linear 𝑝.
Cada área linear 𝑝 possui este conjunto de equações utilizadas pela EE do centro de
controle. Lembrando que o mesmo se aplica para cada área não linear 𝑞 com um número de
subestações equivalente a 𝑛𝑙. E finalmente a EE multiárea global é composta pelas seguintes
equações:
65
𝑚𝑖𝑛 ((∑ (𝑝)𝑇𝑝𝑛
𝑝=1 𝑝)⏟ + (∑ (𝑟𝑞)𝑇𝑚𝑞=1 𝑊𝑞𝑟𝑞)⏟
𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑟 𝑛ã𝑜 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑟) (2.56)
𝑠𝑎 𝑝 = 𝑝𝑝 + 𝑝 = 𝑝 [(𝑖𝑛𝑡
𝑝 )𝑇, (𝑏𝑟𝑦
𝑝 )𝑇]𝑇
+ 𝑝
𝑧𝑞 = ℎ𝑞𝑥𝑞 + 𝑟𝑝 = ℎ𝑞 [(𝑥𝑖𝑛𝑡𝑞 )
𝑇, (𝑥𝑏𝑟𝑦
𝑞 )𝑇]𝑇
+ 𝑟𝑞 (2.57)
onde 𝑛 representa o número de áreas lineares, 𝑚 representa o número de áreas não lineares da
EE multinível, 𝑝 corresponde a uma determinada área linear e 𝑞 corresponde a uma
determinada área não linear, 𝑊 é a matriz de pesos de cada área, 𝐻 é a matriz função de
medidas e variáveis de estado, e 𝑟 é o vetor de resíduos, int corresponde as barras internas e bry
corresponde as barras de fronteira.
Considere a Figura 2-8, onde existe uma divisão de áreas, respectivamente 5 para o
estimador de estado.
Figura 2-8: Sistema IEEE 14 barras
Considere a divisão do sistema em áreas distintas, com EE diferente, sendo as áreas
1 e 3 com PMUs e estimação de estado seguindo o modelo linear, e as áreas 2, 4 e 5 com
estimação não linear conforme Tabela 2-I.
66
Tabela 2-I: Subestações na rede IEEE 14 barras
Subestação Área Tipo
1 1 Linear
2 1 Linear
3 2 Não Linear
4 2 Não Linear
5 1 Linear
6 1 Linear
7 2 Não Linear
8 2 Não Linear
9 3 Linear
10 3 Linear
11 4 Não Linear
12 5 Não Linear
13 5 Não Linear
14 5 Não Linear
Depois que o devido processamento topológico das subestações consolidado
através da EE da subestação, onde não houve partições nos barramentos da subestação é
realizado, tem-se para cada subestação um nó correspondente, então ter-se-ia as medidas
internas (int) de cada área conforme a Tabela 2-II. Caso algum nó após o processamento da
topologia se desdobrasse teríamos mais variáveis internas de tensões, e de injeções, como por
exemplo se o nó 1 se desdobrasse em dois ter-se-ia 𝐼1,𝑎, 𝐼1,𝑏, 𝑉1,𝑎 e 𝑉1,𝑏.
67
Tabela 2-II: Medidas Internas
Área Medida Tipo
1
𝐼1,2 Fluxo de corrente
𝐼1,5 Fluxo de corrente
𝐼2,5 Fluxo de corrente
𝐼5,6 Fluxo de corrente
𝑉1 Tensão nodal
𝑉2 Tensão nodal
𝑉5 Tensão nodal
𝑉6 Tensão nodal
𝐼1 Injeção de corrente
𝐼2 Injeção de corrente
𝐼5 Injeção de corrente
𝐼6 Injeção de corrente
2
𝐼3,4 Fluxo de corrente
𝐼4,9 Fluxo de corrente
𝐼7,8 Fluxo de corrente
𝐼7,9 Fluxo de corrente
𝑉3 Tensão nodal
𝑉4 Tensão nodal
𝑉7 Tensão nodal
𝑉8 Tensão nodal
𝐼3 Injeção de corrente
𝐼4 Injeção de corrente
𝐼7 Injeção de corrente
𝐼8 Injeção de corrente
3
𝐼9,10 Fluxo de corrente
𝑉9 Tensão nodal
𝑉10 Tensão nodal
𝐼9 Injeção de corrente
𝐼10 Injeção de corrente
4 𝑉11 Tensão nodal
𝐼11 Injeção de corrente
5
𝐼12,13 Fluxo de corrente
𝐼13,14 Fluxo de corrente
𝑉12 Tensão nodal
𝑉13 Tensão nodal
𝑉14 Tensão nodal
𝐼12 Injeção de corrente
𝐼13 Injeção de corrente
𝐼14 Injeção de corrente
Para as variáveis de fronteira (bry) devemos considerar a análise área a área. Assim
temos então as variáveis de fronteira para as áreas não lineares considerando que o estimador
de estado multinível, não mistura as variáveis de estado oriundas do sistema SCADA com as
advindas da PMU, sendo que apenas, e tão somente as áreas com PMUs e com estimador de
estado linear fornecem variáveis para as áreas não lineares. Assim as variáveis de fronteira (bry)
seriam representadas pela Tabela 2-III.
68
Tabela 2-III: Medidas de Fonteira
Área
Origem
Área
Destino
Medida Tipo
1 2 𝐼2,3 Fluxo de Corrente
1 2 𝐼2,4 Fluxo de Corrente
1 2 𝐼5,4 Fluxo de Corrente
1 2 𝑉2 Tensão nodal
1 2 𝑉5 Tensão nodal
3 2 𝐼9,4 Fluxo de Corrente
3 2 𝐼9,7 Fluxo de Corrente
3 2 𝑉9 Tensão nodal
1 5 𝐼6,12 Fluxo de Corrente
1 5 𝐼6,13 Fluxo de Corrente
1 5 𝑉6 Tensão nodal
3 5 𝐼9,14 Fluxo de Corrente
3 5 𝑉9 Tensão nodal
1 4 𝐼6,11 Fluxo de Corrente
1 4 𝑉6 Tensão nodal
3 4 𝐼10,11 Fluxo de Corrente
3 4 𝑉9 Tensão nodal
Existem muitos modelos de EE multiárea na literatura. Entretanto, após uma
avaliação realizada o modelo proposto por Yang, Sun e Bose de [10] e [11] foi o mais simples
e completo apreciado, considerando aspectos da distribuição de aplicações, domínio de
medidas, facilidade de modularização e implementação, além da possibilidade de integração
com estimadores já existentes.
69
Capítulo III
3 ANÁLISE DE OBSERVABILIDADE
Em linhas gerais a análise de observabilidade pode ser entendida como uma
verificação se as medidas disponibilizadas e suas respectivas localizações tornam possível a
resolução do problema da estimação de estado. A observabilidade é dependente da quantidade,
do tipo e da localização das medidas.
Usualmente o projeto de alocação de medidas na rede procura garantir a
observabilidade, mas eventuais falhas nos dispositivos de medição ou de transmissão de
informações podem provocar a não observabilidade circunstancial, em função de não ser
possível calcular o estado da rede. Nestas circunstâncias, podem-se utilizar técnicas de alocação
de pseudomedidas, e tratamento de ilhas observáveis.
Monticelli em seus estudos realizou um levantamento sobre os estudos e trabalhos
sobre observabilidade [8]. Historicamente os estudos de análise de observabilidade remetem ao
trabalho de Clements e Wollenberg (1975) [52], que realizava a análise da topologia e utilizava
as Leis de Kirchhoff, introduzindo o conceito de ilhas observáveis. Esta primeira abordagem
serviu de base para que posteriormente Krumpholz, Clements e Davis (1980) em [53], e depois
em (1981,1982, e 1983) respectivamente em [54], [55] e [56] elaborassem conceitos sobre
observabilidade algébrica, numérica e topológica. Em (1982) Quintana, Simões Costa, e
Mandel [57] desenvolveram método de análise baseado em grafos e árvore geradora mínima
70
observável (árvore de medidas) fundamentada na intersecção de matróides2, onde matróides
seriam falsas matrizes ou matrizes fracas, muito utilizadas na teoria dos grafos, que lidam com
a essência da dependência linear relacionada com a topologia do grafo. Neste trabalho
desenvolveram métodos para identificação de circuitos disjuntos e a relação com posto das
matróides [8], [21], e [52]
Allemong e, Isisarri, e Sasson (1980) [58] realizaram uma avaliação crítica dos
métodos topológicos, e em (1985), Monticelli e Wu em [59] e [60] apresentaram uma
abordagem numérica para a análise de observabilidade, onde os aspectos topológicos e
numéricos eram considerados. Em (1986) os mesmos autores estenderam esta ideia aos
estimadores ortogonais [61]. Em (1988) Wu, Liu, e Lun em [62] estenderam o método para
equações normais com restrições de igualdade, e em (1993), Nucera, Brandwajn e Gilles, para
a formulação de bloqueio da matriz esparsa [63].
Ainda evoluindo nas proposições, em (1988) Contaxis e Korres em [64]
propuseram um método híbrido que combina análise topológica com numérica. Ainda em
(1990), Clements [65] publica uma análise dos principais algoritmos de análise de
observabilidade e alocação de medidores. Foi ampliada com a discussão sobre o impacto da
inclusão de ramos de impedância zero nos modelos convencionais da EE apresentado por
Monticelli e Garcia em (1992) em [36], e posteriormente a modelagem da rede no nível físico
por Monticelli em (1993), como modelo generalizado de estimação de estado em [8] e [37].
Na evolução dos métodos propostos, Castillo, Conejo, Pruneda e Solares em (2006)
[66] propuseram algoritmos de análise de observabilidade que, além de verificarem a
observabilidade, identificavam medições críticas, determinavam ilhas observáveis,
identificavam as injeções de fronteira irrelevantes, e selecionavam pseudomedidas para
restauração da observabilidade. O algoritmo de análise de observabilidade foi baseado na
formulação algébrica, e analisava de forma robusta, usando transformações ortogonais para o
cálculo dos espaços nulos da matriz Jacobiana que é utilizada na análise.
Continuando a evolução das formulações dos métodos propostos procurando
algoritmos de análise de observabilidade e identificação de ilhas observáveis com uma
eficiência maior, London Jr, Alberto e Bretas em (2007) [67] propuseram um método que
possibilita a análise e restauração da observabilidade (através de pseudomedidas críticas), assim
como a atualização das características qualitativas de um conjunto de medidas. Este método
2 Conceito introduzido e definido por Hassler Whitney em 1936
71
baseou-se na análise da estrutura da matriz modificada 𝐻∆ , obtida através da fatoração
triangular da matriz Jacobiana do estimador WLS.
Almeida, Asada e Garcia em (2008) em [68] e [69] apresentaram outro método
baseado na fatoração triangular da matriz de Gram, obtida a partir do produto da Jacobiana
pela sua transposta, para análise e restauração de observabilidade (via pseudomedidas críticas).
No Capítulo 2, foram apresentados alguns modelos da EE e suas principais
características de forma genérica. Para que a função da EE seja realizada com confiabilidade e
segurança é necessário garantir a observabilidade e um projeto que considere a redundância de
medidas [8], [10], [11], [26]. Deve-se considerar o local onde estas medidas serão instaladas,
seu tipo, isto é, se são tensões, injeções ou fluxos de correntes, injeções ou fluxos de potência
ativa, injeções ou fluxos de potência reativa, suas características, ou seja, se são fasoriais
síncronas ou convencionais assíncronas, e sua quantidade. Outros aspectos também devem ser
analisados, como a consideração de pseudomedidas e sua precisão e utilidade, e devem
completamente ser considerados na estimação de estado, e se houver medidas suficientes para
a realização desta tarefa, a rede ou sistema é considerado observável.
Estas informações contribuem para a formulação ℎ(𝑥) , vetor das funções que
relacionam as medidas e as variáveis de estado com dimensão (𝑚 × 1), e sua respectiva EE,
que são utilizadas nas análises de observabilidade, onde o posto da matriz ganho, representada
por (𝐻𝑇 ∙ 𝑊 ∙ 𝐻) deve ser avaliado para conclusões a respeito da observabilidade.
Além disto, para efeito de processamento outros aspectos também devem ser
considerados a respeito da redundância e cobertura das medidas entre si, no caso de haver perda
da mesma ou descarte por erros grosseiros.
A análise de observabilidade pode ser realizada considerando métodos de análise
topológicos, numéricos e híbridos [8]. Existem ainda variações de nomenclatura dos métodos
em [21], onde aparecem métodos algébricos, numéricos e topológicos.
Os métodos numéricos trabalham com as características da matriz de ganho, e os
métodos topológicos utilizam a teoria dos grafos para realizar suas análises, os métodos híbridos
combinam características destas duas técnicas [8].
Outros aspectos devem ser considerados também nos algoritmos de análise de
observabilidade, principalmente as questões de simetria das medições, as questões das medidas
de potências reativas realizadas aos pares com as medidas de potências ativas, e a existência de
pelo menos uma medida de tensão. Seguindo estes requisitos é valido afirmar que se um sistema
que utiliza o modelo ativo é 𝑃 − 𝜃 observável, ele também será para o modelo reativo 𝑄 − 𝑉,
observável, mas o inverso não é verdadeiro. Assim boa parte dos algoritmos utiliza-se destas
72
informações para serem propostos e implementados, considerando apenas medidas de potência
ativa e os ângulos como variáveis de estado, ou utilizando somente medidas de potência reativa
e tensões.
3.1 ANÁLISE DE OBSERVABILIDADE NUMÉRICA
Em [8] foi apresentado e demonstrado um teorema para dar sustentabilidade à
análise de observabilidade. Segundo o teorema tem-se:
Teorema: assumindo o modelo cc, e, portanto, tem-se, 𝑧 = 𝐻𝜃 + 𝑟, onde 𝐻 é
matriz de medidas em função de variáveis de estado, com dimensão (𝑚 × 𝑛). Considere que
para efeitos de testes os ângulos podem ser arbitrados, pode-se considerar um ângulo de
referência, e os valores das tensões não são consideradas nas análises. As afirmações dos itens
(i), (ii) e (iii) são equivalentes.
i. A rede é observável.
ii. Se é obtida a partir de 𝐻 eliminando uma coluna qualquer (escolha de um
ângulo para ser a referência), então possui posto completo.
iii. Realizando a fatoração triangular reduz a matriz ganho 𝐺 = 𝐻𝑇𝐻 na forma
mostrada na Figura 3-1, observando que a área preenchida em cinza
corresponde aos possíveis elementos não nulos:
Figura 3-1: Formato da matriz ganho após a fatoração triangular
A prova do teorema encontra-se na referência [8], páginas 165 e 166.
Com a obtenção do elemento nulo, correspondente ao elemento (𝑛, 𝑛) da matriz
ganho 𝐺 = 𝐻𝑇𝐻, de acordo com o mostrado na Figura 3-1, o teorema expressa que para se ter
um sistema observável, ao fatorar sua matriz ganho (sem a retirada do ângulo de referência)
somente um elemento nulo poderá aparecer no final do processo, pois seu posto deverá ser (𝑛 −
1).
73
Algumas considerações importantes devem ser observadas, a matriz possui posto
completo somente se a matriz ganho 𝐺 = 𝑇 não é singular. Esta condição é requerida para
que o estimador de estado tenha uma única solução. Consequentemente, este teorema implica
que a rede é observável se, e somente se, o problema da estimação de estado pode ser resolvido
com uma única solução.
Considere a Figura 3-2 onde se tem a presença de medições de fluxos de potência
(representadas por losangos), ou seja, (1 − 3), (3 − 7), (2 − 4), (4 − 6), (5 − 3), (7 − 4),
(7 − 8), e as variáveis de estado da rede são os ângulos de fase dos nós.
Figura 3-2: Rede exemplo para análise de observabilidade adaptado de [8]
Montando as matrizes de medidas em relação as variáveis de estado 𝐻 , sem a
retirada do ângulo de referência, com oito variáveis de estado correspondente aos oito ângulos
de fase, e a matriz ganho 𝐺 obtida através do cálculo (𝐻𝑇 ∙ 𝐻) tem-se:
𝐻=
𝜃1 𝜃2 𝜃6 𝜃5 𝜃8 𝜃4 𝜃3 𝜃7
1 0 0 0 0 0 -1 0 𝑃1,3
0 1 0 0 0 -1 0 0 𝑃2,4
0 0 0 0 0 0 1 -1 𝑃3,7
0 0 -1 0 0 1 0 0 𝑃4,6
0 0 0 1 0 0 -1 0 𝑃5,3
0 0 0 0 0 -1 0 1 𝑃7,4
0 0 0 0 -1 0 0 1 𝑃7,8
74
𝐺=
𝜃1 𝜃2 𝜃6 𝜃5 𝜃8 𝜃4 𝜃3 𝜃7
1 0 0 0 0 0 -1 0 𝜃1
0 1 0 0 0 -1 0 0 𝜃2
0 0 1 0 0 -1 0 0 𝜃6
0 0 0 1 0 0 -1 0 𝜃5
0 0 0 0 1 0 0 -1 𝜃8
0 -1 -1 0 0 3 0 -1 𝜃4
-1 0 0 -1 0 0 3 -1 𝜃3
0 0 0 0 -1 -1 -1 3 𝜃7
Realizando fatoração triangular da matriz ganho 𝐺 e sabendo que 𝐺 pode ser escrita
como 𝐺 = (𝐻𝑇 ∙ 𝐻), e obtendo a matriz de fatores triangulares 𝑈, tem-se:
𝑈=
𝜃1 𝜃2 𝜃6 𝜃5 𝜃8 𝜃4 𝜃3 𝜃7
1 0 0 0 0 0 -1 0 𝜃1
0 1 0 0 0 -1 0 0 𝜃2
0 0 1 0 0 -1 0 0 𝜃6
0 0 0 1 0 0 -1 0 𝜃5
0 0 0 0 1 0 0 -1 𝜃8
0 0 0 0 0 1 0 -1 𝜃4
0 0 0 0 0 0 1 -1 𝜃3
0 0 0 0 0 0 0 0 𝜃7
Considerando 𝜃8 como referência e montando as novas matrizes e ganho =
(𝑇 ⋅ ) verifica-se que a possui inversa através de 𝑆, que representa a matriz obtida a partir
de 𝑈 retirando-se a coluna e linha com pivô igual a zero. Então tem-se:
=
𝜃1 𝜃2 𝜃6 𝜃5 𝜃4 𝜃3 𝜃7
1 0 0 0 0 -1 0 𝑃1,3
0 1 0 0 -1 0 0 𝑃2,4
0 0 0 0 0 1 -1 𝑃3,7
0 0 -1 0 1 0 0 𝑃4,6
0 0 0 1 0 -1 0 𝑃5,3
0 0 0 0 -1 0 1 𝑃7,4
0 0 0 0 0 0 1 𝑃7,8
75
=
𝜃1 𝜃2 𝜃6 𝜃5 𝜃4 𝜃3 𝜃7
1 0 0 0 0 -1 0 𝜃1
0 1 0 0 -1 0 0 𝜃2
0 0 1 0 -1 0 0 𝜃6
0 0 0 1 0 -1 0 𝜃5
0 -1 -1 0 3 0 -1 𝜃4
-1 0 0 -1 0 3 -1 𝜃3
0 0 0 0 -1 -1 3 𝜃7
𝑆=
𝜃1 𝜃2 𝜃6 𝜃5 𝜃4 𝜃3 𝜃7
1 0 0 0 0 -1 0 𝜃1
0 1 0 0 -1 0 0 𝜃2
0 0 1 0 -1 0 0 𝜃6
0 0 0 1 0 -1 0 𝜃5
0 0 0 0 1 0 -1 𝜃4
0 0 0 0 0 1 -1 𝜃3
0 0 0 0 0 0 1 𝜃7
O algoritmo numérico foi posteriormente modificado para identificar as ilhas
observáveis que são importantes na solução da EE. Conforme [8] tem-se:
a) Inicialização
i. Inicializar conjunto de medidas de interesse de acordo com as
medidas disponíveis
ii. Inicializar rede completa com todos os nós e ramos existentes
iii. Inicializar a rede de interesse correspondente a todos os ramos onde
incidem pelo menos uma medida
b) Montar a matriz ganho em função de 𝜃, 𝐺𝜃 = 𝐻𝑇 ∙ 𝐻, e realizar a fatoração
triangular. Nesta etapa todas as medidas são consideradas, e todos as
variáveis de estado são consideradas, inclusive o ângulo de referência.
c) Incluir a pseudomedida de ângulos 𝜃𝑖 sempre que um pivô zero na linha 𝑖
for encontrado em 𝑈. Se somente um pivô zero acontecer, parar. O sistema
é então observável.
d) Resolver as equações do estimador de estado do tipo DC, assumindo que
todas as medidas são iguais a zero, exceto a pseudomedida 𝜃𝑖 , que pode
76
receber valores arbitrários atribuindo um valor diferente para cada ângulo
𝜃𝑖 correspondente ao pivô zero na linha 𝑖.
e) Atualizar e calcular 𝑈
i. Remover da rede de interesse os ramos com fluxos diferentes de zero
ii. Atualizar o conjunto de medidas de interesse retirando as injeções
de potência das barras adjacentes a pelo menos um dos ramos
removidos no passo anterior.
iii. Depois das modificações, atualizar a matriz fator angular 𝑈 e ir para
o passo (c).
f) Formar ilhas com os nós conectados pelos ramos com fluxo igual a zero.
Para verificar o algoritmo considere a Figura 3-3.
Figura 3-3: Rede exemplo para análise observabilidade com ilhas adaptado de [8]
a) Inicialização
i. Inicializar conjunto de medidas de interesse de acordo com as
medidas disponíveis, respectivamente 𝑃1,3, 𝑃4,6, 𝑃5,3, 𝑃3, 𝑃4, 𝑃7.
ii. Inicializar rede completa com nós de 1 a 8 e os ramos (1 −
3), (2 − 4), (3 − 5), (3 − 7), (4 − 6), (4 − 7), (5 − 8), (6 −
8), (7 − 8).
iii. Inicializar a rede de interesse correspondente a todos os ramos onde
incide pelo menos uma medida, verificando as Leis das Correntes
de Kirchhoff, (1 − 3), (2 − 4), (3 − 5), (3 − 7), (4 − 6), (4 −
7), (7 − 8)
b) Montar a matriz ganho em função de 𝜃, 𝐺𝜃e realizar a fatoração triangular
𝐺𝜃 = (𝐻𝑇 ∙ 𝐻) , considerando nesta etapa que todas as medidas entram,
inclusive o ângulo de referência.
77
𝐺=
𝜃1 𝜃2 𝜃6 𝜃5 𝜃8 𝜃4 𝜃3 𝜃7
2 0 0 1 0 0 -4 1 𝜃1
0 1 1 0 0 -3 0 1 𝜃2
0 1 2 0 0 -4 0 1 𝜃6
1 0 0 2 0 0 -4 1 𝜃5
0 0 0 0 1 1 1 -3 𝜃8
0 -3 -4 0 1 11 1 -6 𝜃4
-4 0 0 -4 1 1 12 -6 𝜃3
1 1 1 1 -3 -6 -6 11 𝜃7
𝑈=
𝜃1 𝜃2 𝜃6 𝜃5 𝜃8 𝜃4 𝜃3 𝜃7
-4,0000 0,0000 0,0000 -4,0000 1,0000 1,0000 12,0000 -6,0000 𝜃1
0 -3,0000 -4,0000 0,0000 1,0000 11,0000 1,0000 -6,0000 𝜃2
0 0 0,6667 0,0000 0,3333 -0,3333 0,3333 0,0000 𝜃6
0 0 0 1,0000 0,2500 0,2500 -1,0000 -0,5000 𝜃5
0 0 0 0 -2,2500 -2,2500 -2,2500 7,0000 𝜃8
0 0 0 0 0 0 -0,0556 0,0556 𝜃4
0 0 0 0 0 0 0,1667 -0,1667 𝜃3
0 0 0 0 0 0 0 0 𝜃7
𝐻=
𝜃1 𝜃2 𝜃6 𝜃5 𝜃8 𝜃4 𝜃3 𝜃7
1 0 0 0 0 0 -1 0 𝑃1,3
0 0 -1 0 0 1 0 0 𝑃4,6
0 0 0 1 0 0 -1 0 𝑃5,3
-1 0 0 -1 0 0 3 -1 𝑃3
0 -1 -1 0 0 3 0 -1 𝑃4
0 0 0 0 -1 -1 -1 3 𝑃7
78
c) Dois pivôs são iguais a zero, referentes aos nós 4 e 7. Assim escolhe-se 𝜃4
e 𝜃7 para se atribuir valores arbitrários como medidas para integrarem a
matriz 𝐻, respectivamente 𝜃4 = 0,0 e 𝜃7 = 1,0. A matriz 𝐺 pode ser obtida
somando 1 nas posições 𝑈(6,6) e 𝑈(8,8). Obter 𝑈 a partir de 𝐺.
d) Resolvendo as equações da EE com o modelo DC, e considerando o valor
de todas as medidas iguais zero menos as configuradas no item (c), tem-se:
𝑥=
1,0000 𝜃1
-1,0000 𝜃2
0,0000 𝜃6
1,0000 𝜃5
2,0000 𝜃8
0,0000 𝜃4
1,0000 𝜃3
1,0000 𝜃7
e) Atualizar sistema:
i. Os ramos (2 − 4), (4 − 7),e (7 − 8) são removidos da rede de
interesse, porque seus fluxos são diferentes de zero, por exemplo,
𝜃2 − 𝜃4 = −1,0000 − 0,0000 = −1,0000. A rede atualizada ficou
com (1 − 3), (3 − 5), (3 − 7), (4 − 6).
ii. As medidas de injeções relativas aos ramos removidos são também
removidas. Remover 𝑃4 , e 𝑃7 , e atualizar o conjunto de medidas
𝑃1,3, 𝑃4,6, 𝑃5,3, 𝑃3.
iii. A Figura 3-4 mostra o sistema e abaixo tem-se a nova matriz 𝑈.
𝑈=
𝜃1 𝜃2 𝜃6 𝜃5 𝜃8 𝜃4 𝜃3 𝜃7
-4,0000 0,0000 0 0 -4,0000 0 11,0000 -3,0000 𝜃1
0 0 0 0 0 0 0 0 𝜃2
0 0 1,0000 0 0 -1,0000 0 0 𝜃6
0 0 0 1,0000 0 0 -1,2500 0,25000 𝜃5
0 0 0 0 0 0 0 0 𝜃8
0 0 0 0 0 0 0 0 𝜃4
0 0 0 0 0 0 0,2500 -0,2500 𝜃3
0 0 0 0 0 0 0 0 𝜃7
79
Retornar ao Passo (c)
c) Passo (c) novamente, existem quatro pivôs iguais a zero, os nós, 2, 8, 4, e 7.
Atribuindo 𝜃2 = 0,0, 𝜃8 = 1,0, 𝜃4 = 2,0, e 𝜃7 = 3,0.
d) Resolvendo as equações da EE com o modelo DC, e considerando o valor
de todas as medidas iguais zero menos as configuradas no item (c), tem-se:
𝑥=
3,0000 𝜃1
0 𝜃2
2,0000 𝜃6
3,0000 𝜃5
1,0000 𝜃8
2,0000 𝜃4
3,0000 𝜃3
3,0000 𝜃7
e) Todos os ramos remanescentes, correspondentes a 𝑃1,3, 𝑃3,7, 𝑃4,6, 𝑃5,3 ,
possuem fluxos iguais a zero, portanto nenhum ramo necessita ser
removido.
f) Duas ilhas e dois nós isolados foram identificados conforme figura 3-4.
Figura 3-4: Rede pós análise de observabilidade e montagem das ilhas, adaptado de [8]
A análise numérica discutida e apresentada, ainda que garanta a observabilidade
para o sistema em questão, pode levar a EE a apresentar problemas de solvabilidade através das
soluções iterativas. Embora esta seja uma situação incomum ela pode acontecer, ou seja, tem-
se a observabilidade obtida através da análise numérica, mas não se tem a solvabilidade do
problema através da resolução das equações.
Para modelos nó-ramo com variáveis de estado como as tensões complexas como
o modelo linear com medições fasoriais, vamos assumir que a matriz possui posto completo
e que a matriz ganho 𝐺 = 𝑇 não deverá ser singular. Esta condição é requerida para que o
80
estimador de estado tenha uma única solução. Consequentemente, este teorema implica que a
rede é observável se, e somente se, o problema da estimação de estado pode ser resolvido com
uma única solução. A afirmação (𝑖𝑖) do Teorema apresentado será reformulada, assumindo a
seguinte forma: 𝐻 possui posto completo, para que quando tivermos medições fasoriais e que
as variáveis de estado são as tensões complexas em cada nó, possamos ter o posto completo da
matriz ganho.
3.2 ANÁLISE DE OBSERVABILIDADE TOPOLÓGICA
A análise topológica pode ser utilizada para construir ilhas observáveis do sistema
modeladas a partir do modelo nó-ramo, considerando somente fluxos de potência nestas redes.
Algumas definições foram apresentadas por Clements e Krumpholz, (1975) em [71], e também
observada em Almeida em 2007 [48] para o modelo nó-ramo de rede, como se segue:
a) Uma ilha é considerada uma parte conexa de uma determinada rede, onde
os seus nós representam as subestações e seus ramos representam linhas de
transmissão, transformadores e capacitores série.
b) Uma ilha observável é uma ilha em que todos os fluxos nos ramos podem
ser calculados a partir de medidas disponíveis independentemente do valor
adotado para referência.
Assim de acordo com (a) e (b) se existir um fluxo circulante, que seja não nulo em
uma rede observável, deve haver pelo menos um medidor coletando e medindo este fluxo. Da
mesma maneira, se todos os medidores coletarem valores nulos, não deve existir nenhum fluxo
circulante. Quando uma rede é não observável, pode haver fluxos calculados não nulos na rede,
enquanto todas as suas medidas são nulas. Isto acontece devido aos valores arbitrários
associados às referências angulares necessárias para tornar o problema da EE factível. Nessas
condições os ramos com fluxo não nulo são considerados não observáveis. Se adotarmos o
modelo generalizado com seções de barramento, disjuntores e ramos, o conceito de
observabilidade deverá ser estendido para tratar das novas variáveis de estado que são incluídas
no modelo devido a modelagem de chaves e ampliando o modelo nó-ramo. Generalizando as
definições (a) e (b) de acordo com Monticelli em [70] tem-se:
c) Uma ilha representa um conjunto de elementos conectados em que as seções
de barramento são representadas por nós, linhas de transmissão,
81
transformadores, chaves abertas, chaves fechadas e chaves com estado
desconhecido são representadas por ramos.
d) Uma ilha observável é uma ilha na qual todos os fluxos nos ramos podem
ser calculados a partir das medidas e pseudomedidas disponíveis. Os fluxos
independem dos valores das referências
As principais diferenças entre as definições (a), (b) confrontadas com (c) e (d) estão
no tratamento dado às pseudomedidas incluídas devido à presença de chaves, e os fluxos nas
chaves que devem ser obtidos durante a análise de observabilidade para o modelo generalizado.
O conceito de observabilidade topológica foi apresentado por Clements e
Wollenberg (1975) em [52], e se baseia na relação entre medidas disponíveis para a EE e o
grafo da rede cujas arestas representam os ramos e os vértices representam os nós do sistema.
A ideia do algoritmo topológico é associar as medidas de fluxo aos ramos onde elas são
realizadas e as medidas de injeção a um dos ramos incidentes à barra onde a medida de injeção
é realizada. Quando uma árvore é formada com estas associações, a rede é classificada como
topologicamente observável. Estes algoritmos por realizarem uma busca por uma árvore
geradora (spanning tree) observável, resultam em problemas combinatoriais.
Monticelli adaptou este algoritmo em [8], e elaborou o seguinte procedimento:
a) Inicializar 𝑛𝑏 ilhas, cada uma perfazendo um nó simples, onde 𝑛𝑏 é o número
de nós do sistema.
b) Selecione um ramo com medida de fluxo e, se os dois nós terminais do ramo
pertencerem a diferentes ilhas, junte as ilhas.
c) Pare quando todos os fluxos forem processados.
d) Declare como observável todos ramos relativos aos fluxos de potência
pertencentes à mesma ilha, e como não observável os ramos cujos fluxos de
potência conectem diferentes ilhas.
e) Declare como observáveis todos nós correspondentes as respectivas injeções
de potência e o ramo associado, cujos fluxos dos outros ramos incidentes são
observáveis, e como não observáveis os nós de fronteira correspondentes as
respectivas injeções de potência, isto é, nós onde pelo menos um dos fluxos
incidentes é não observável.
Utilizando a rede da Figura 3-3 como exemplo e aplicando o algoritmo tem-se:
a) Ilhas no total de oito, correspondentes a oito nós.
82
b) Selecionar o ramo 1-3 (medida de fluxo) e juntar os nós 1 e 3. Selecionar o
ramo 4-6 (medida de fluxo) e juntar os nós 4 e 6. Selecionar o ramo 3-5
(medida de fluxo) e juntar os nós 1, 3, e 5 (1 e 3 já estavam unidos). Todos
estes ramos são observáveis dentro das respectivas ilhas 1,3,5 e 4,6. Os
ramos 2-4, 4-7, 5-8, e 7-8 são não observáveis, e as ilhas 2, 7, 8 são não
observáveis.
c) Não existem mais medidas de fluxos a serem processadas
d) Processar medidas de injeção: selecionar injeção do nó 3, pelas Lei das
Correntes de Kirchhoff, o nó 3 é observável, e o ramo 1-3, e 3-5 são
observáveis, e, portanto, o ramo 3-7 é observável, então incluir o ramo 3-7,
formando uma ilha com 1, 3, 5, 7. Selecionar injeção do nó 4: não modificou
os nós e ramos observáveis. Selecionar injeção 7: não modificou os nós e ramos
observáveis.
e) Não existem mais medidas de injeção a serem processadas
f) Existem ramos que conectam ilhas diferentes, 1,3,5,7 com 8 usando ramo
7-8 ou 5-8, 1,3,5,7 com 4,6 usando ramo 4-7, 4,6 com 8 usando ramo
6-8, 4,6 com 2 usando ramo 2-4. Estes ramos são de fronteira. Os nós dos
ramos de fronteira são não observáveis a seguir, 2, 4, 5, 6, 7, 8
g) O conjunto total de nós 1, 3, 7, 5, 2, 4, 6, 8 é não observável.
h) Tem-se as seguintes ilhas observáveis: 1,3,5,7, 2,4 e dois nós isolados
respectivamente 2 e 8 conforme a Figura 3-4.
Utilizando a rede da Figura 3-5 como exemplo e aplicando o algoritmo tem-se:
Figura 3-5: Rede exemplo para análise de observabilidade adaptado de [8]
i) Ilhas no total de oito, correspondentes a oito nós.
j) Selecionar o ramo 1-3 (medida de fluxo) e juntar os nós 1 e 3. Selecionar o
ramo 2-4, e juntar os nós 2 e 4. Selecionar o ramo 3-7 e juntar os nós 1, 3, e 7
83
(1 e 3 já estavam juntos). Selecionar o ramo 4-6 e juntar os nós 2, 4 e 6 (2 e 4
já estavam juntos). Selecionar o ramo 3-5 e juntar os nós 1, 3, 7, e 5. Selecionar
ramo 4-7, e juntar os nós 1, 3, 7, 5 com os nós 2, 4, 6. Selecionar ramo 7-8 e
juntar os nós 1, 3, 7, 5, 2, 4, 6 com o nó 8.
k) Não existem mais medidas de fluxos a serem processadas
l) Não existem ramos que conectem ilhas diferentes, não existem ramos de
fronteira entre ilhas.
m) O conjunto de nós 1, 3, 7, 5, 2, 4, 6, 8 é observável.
Com relação a análise de observabilidade topológica, pode-se dizer também que um
sistema de potência é topologicamente observável com respeito a um plano de medição 𝑀 se
existir uma AGO (Árvore Geradora Observável) do grafo da rede do sistema com respeito a 𝑀.
Uma árvore geradora 𝑇 do grafo da rede elétrica é observável com respeito a um
plano de medição 𝑀, se for possível se definir uma associação de medidas em 𝑀 com as arestas
de 𝑇 tal que:
∘ Cada uma das arestas de 𝑇 está associada a uma medida;
∘ Não existem duas arestas de 𝑇 associadas à mesma medida.
Baseado nestas condições, foi apresentado em [21] um algoritmo que analisa a
existência de uma árvore geradora mínima considerando a rede elétrica formulada como um
grafo.
Seja a rede elétrica em questão com um plano de medidas associado representado
por 𝑍(𝑋𝑍, 𝐸𝑍), onde 𝑋𝑍 representa o conjunto de barras do sistema de potência, e 𝐸𝑍 representa
todas as arestas ou ramos, possíveis associáveis ao plano de medição 𝑀 fornecido. Considere
as seguintes regras para a montagem de uma AGO:
∘ Fluxo de potência 𝑖 − 𝑗 medido ⇒ aresta conectando vértices 𝑖 e 𝑗 é criada
em 𝑍 (aresta de fluxo).
∘ Injeção na barra 𝑖 é medida ⇒ vértice 𝑖 em 𝑍 conectado a todos os vértices
correspondentes às barras adjacentes à barra 𝑖 (arestas de injeção).
Os seguintes critérios de associação de medidas as arestas do grafo que representa
a rede foram definidas,
∘ Uma medida de fluxo de potência é associável ao ramo sobre o qual é
feita a medida;
84
∘ Uma medida de injeção é associável a qualquer ramo incidente na barra
onde a injeção é medida;
∘ Medidas de tensão são tratadas como medidas de fluxo reativo em linhas
fictícias conectando a barra em que é feita a medida ao nó terra (para a
análise de Observabilidade Q-V). Portanto o nó terra deverá ser anexado
ao grafo.
Os seguintes processos podem ser descritos com relação ao algoritmo apresentado
na Figura 3-6:
Etapas principais:
∘ Processamento de arestas de fluxo:
Busca de floresta observável 𝐹 no subgrafo de 𝑍 formado apenas por
arestas de fluxo;
∘ Processamento de arestas de injeção:
Arestas de injeção processadas individualmente, visando a expansão
da floresta corrente 𝐹;
Processamento sistemático, com sólida base matemática;
Faz uso de grafo bipartido auxiliar 𝐻, que orienta o remanejamento
das arestas de injeção em 𝐹.
85
Figura 3-6: Análise de árvore geradora mínima e observabilidade topológica de [21]
86
3.3 ANÁLISE DE OBSERVABILIDADE ALGÉBRICA
Conforme [21] um sistema pode ser considerado observável segundo a análise
algébrica, com respeito a um determinado plano de medição, se a matriz Jacobiana 𝐻 tem posto
igual ao número de variáveis de estado da rede elétrica.
Considere a matriz ganho 𝐺 = 𝐻𝑇 ∙ 𝑊 ∙ 𝐻 , onde 𝑊 é a matriz de pesos das
medidas, inversa da matriz de covariância das medidas 𝑅𝑧, considere que o posto de 𝐺 seja uma
função tal que 𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜(𝐺) = 𝑛 , onde 𝑛 é o número de variáveis de estado da EE, então,
𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜(𝐺) = 𝑛 → 𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜(𝐻) = 𝑛, e assim esta pode ser uma das alternativas para avaliar as
questões de observabilidade. Entretanto a formulação é considerada insuficiente em alguns
casos e deve ser utilizada em verificações específicas.
Fazendo um comparativo entre os algoritmos de análise de observabilidade, pode-
se dizer que existem uma relação de continência nestas análises conforme Tabela 3-I.
Tabela 3-I: Relação entre os algoritmos de análise de observabilidade
Observabilidade numérica ⇒ Observabilidade algébrica
Observabilidade numérica ⇒ Observabilidade topológica
Observabilidade algébrica ⇏ Observabilidade numérica
Observabilidade algébrica ⇒ Observabilidade topológica
Observabilidade topológica ⇏ Observabilidade numérica
Observabilidade topológica ⇏ Observabilidade algébrica
Assim como na análise numérica da observabilidade, o fato de termos a
observabilidade topológica não implica na observabilidade algébrica [21], mas o contrário
poderia ser afirmado. Assim, estendendo a análise o mesmo vale para a observabilidade
numérica, ou seja, ter a observabilidade topológica não implica em se ter a observabilidade
numérica.
Nas seções 3.1 a 3.3 foram vistas as questões de observabilidade analisadas do
ponto de vista numérico, topológico e algébrico. Embora não seja comum, pode-se ter um
problema que possua qualquer uma das possibilidades de observabilidade contempladas, mas
que apresente problemas no momento de resolução da EE. A EE muitas vezes pode utilizar um
método de resolução iterativo e no decorrer destas iterações para resolução do problema podem
ocorrer problemas de condicionamento da matriz Jacobiana de medidas do problema de acordo
com a formulação da estimação de estado, e do tratamento e identificação de erros.
87
Também pode acontecer de, ao iniciar as variáveis de estado para o processo
iterativo, os valores iniciais estarem muito longe da solução real do problema, causando
problemas de convergência [8] e [21].
3.4 ANÁLISE DE OBSERVABILIDADE HÍBRIDA
É baseada em algumas características dos algoritmos de análise de observabilidade
topológicos. Estes algoritmos quando processam medidas de fluxos, e medidas de injeção com
as transformações, isto é, quando processam medidas de fluxo, e medidas de injeção para as
quais todos exceto um ramo incidente são observáveis, são rápidos e simples. Para as outras
medidas de injeção para as quais a associação dos ramos não é tão direta, pode-se utilizar então
o algoritmo numérico baseado em fatoração triangular. Explorando a parte mais eficiente de
ambos algoritmos, somente são retidos os nós de fronteira depois de formada todas ilhas, através
do processamento da parte topológica com uma simples conversão de medidas de injeção, e
estas são utilizadas para análise numérica. Após a retenção das barras fronteiriças das ilhas
obtidas, associa-se pseudomedidas equivalentes a diferenças angulares, e juntamente com as
medidas de injeção ainda não processadas, realiza-se a avaliação numérica da observabilidade
através da montagem da matriz 𝐻.
Considere a Figura 3-3, de acordo com as condições do processamento através do
algoritmo de análise topológica tem-se quatro ilhas 1, 3, 5, 7, 2, 4, 6 e 8, obtidas
através do processamento das medidas de fluxo 𝑃1,3 , 𝑃2,4 , 𝑃4,6, 𝑃5,3 , da retenção dos
respectivos ramos e vértices associados, do nó 7 e do ramo 3 − 7 através da transformação da
medida de injeção 𝑃3, onde tem-se a injeção e duas medidas de fluxo considerando três ramos
incidentes no nó 3 (Lei de Kirchhoff).
Após estes processamentos deve-se reduzir a rede lembrando de reter somente os
nós de fronteira das ilhas, para poder associar as pseudomedidas de diferença angular. Na
primeira ilha serão retidos os nós 5,7, na segunda ilha temos o nó 2 e não é necessário
associar uma medida de ângulo de diferença angular, e na terceira ilha os nós 4,6, portanto
as pseudomedidas são: 𝜃5,7 e 𝜃4,6. Para a quarta ilha temos apenas o nó 8 e não é necessário
associar uma medida de ângulo de diferença angular. Além disso, existem ainda duas medidas
de injeção que não se encaixaram no critério direto de conversão, que são, 𝑃7 e 𝑃4. Montando
a matriz 𝐻 e calculando as demais tem-se:
88
𝐻=
𝜃6 𝜃5 𝜃8 𝜃4 𝜃7 𝜃2
0 1 0 0 -1 0 𝜃5,7
-1 0 0 1 0 0 𝜃4,6
0 0 -1 -1 2 0 𝑃7
-1 0 0 3 -1 -1 𝑃4
0 0 1 0 0 0 𝜃8
0 0 0 0 0 1 𝜃2
𝐺=
𝜃6 𝜃5 𝜃8 𝜃4 𝜃7 𝜃2
2 0 0 -4 1 1 𝜃6
0 1 0 0 -1 0 𝜃5
0 0 2 1 -2 0 𝜃8
-4 0 1 11 -5 -3 𝜃4
1 -1 -2 -5 6 1 𝜃7
1 0 0 -3 1 2 𝜃2
𝑈=
𝜃6 𝜃5 𝜃8 𝜃4 𝜃7 𝜃2
-3,0000 0 1,0000 11,0000 -5,0000 -3,0000 𝜃6
0 1,0000 0 0 -1,0000 0 𝜃5
0 0 2,0000 1,0000 -2,0000 0 𝜃8
0 0 0 -1,3750 2,0000 0,2500 𝜃4
0 0 0 0 0,8182 -0,2727 𝜃7
0 0 0 0 0 1,0000 𝜃2
Como 𝑈 não possui diagonais iguais a zero, então prosseguindo com a análise
numérica, analisando o vetor de variáveis de estado 𝑥 calculado a partir de valores arbitrados
em 𝑧 como:
𝑧=
0 𝜃5,7
0 𝜃4,6
0 𝑃7
0 𝑃4
1 𝜃8
2 𝜃2
tem-se:
89
𝑥=
1,6667 𝜃6
1,3333 𝜃5
1,0000 𝜃8
1,6667 𝜃4
1,3333 𝜃7
2,0000 𝜃2
Com os valores das variáveis de estado e retirando-se as medidas relativas aos
ramos cuja diferença angular é diferente de zero, e assim até não restarem mais medidas de
injeção, serão removidos os ramos (2 − 4), (4 − 7), (5 − 8), (6 − 8), (7 − 8), e assim remove-se
as medidas de injeção 𝑃7 e 𝑃4. E finaliza-se o processo assim diminui-se a complexidade e o
número de iterações, e pelo resultado do vetor de variáveis de estado 𝑥 verifica-se as ilhas
observáveis.
3.5 COMENTÁRIOS GERAIS SOBRE OBSERVABILIDADE E PMUS
As demandas recentes de modernização dos sistemas de potência têm provocado
discussões sobre a incorporação de medidas fasoriais provenientes das PMUs em suas
funcionalidades, e alguns questionamentos podem aparecer considerando os aspectos relativos
à EE:
(a) Quais são os requisitos e cuidados necessários para a instalação das PMUs
nos sistemas de potência, de forma que os benefícios esperados possam ser
mensurados adequadamente?
(b) Considerando que PMUs fornecem medidas diretas de alta qualidade do
estado de operação dos sistemas de potência, como integrar estas medidas
aos estimadores de estado atualmente em uso e quais os impactos neles
ocasionados?
Os argumentos que reforçam o item (a) devem considerar as localizações onde se
aproveite o máximo possível a utilização das PMUs podendo ser úteis na análise de
estabilidade, em fronteiras de duas redes importantes de empresas operadoras diferentes, e em
90
lugares estratégicos onde seja possível obter o máximo de observabilidade e redundância
considerando também a viabilidade econômica de sua instalação.
Para o item (b) reforçamos que as PMUs podem sim ser utilizadas como medidas
complementares dos estimadores de estado convencionais não lineares ou compatíveis com o
modelo DC e métodos desacoplados, pois são medidas geralmente precisas, entretanto, elas são
acrescentadas como medidas extras na estimação de estado convencional [50].
A análise de observabilidade passa a considerar os aspectos relativos aos tipos de
estimadores de estado, como são as simetrias das medições no caso de medições convencionais
e fasoriais, para que seja feita a análise deste requisito.
A disponibilidade de medições fasoriais aumentou consideravelmente e o interesse
pelas suas aplicações na área de sistemas elétricos também, mas a decisão de sua instalação em
sistemas de grande porte apresenta desafios especiais, a serem considerados.
91
Capítulo IV
4 TRATAMENTOS DE ERROS GROSSEIROS
Na EE as medidas portadoras de erros grosseiros ou medidas espúrias são aquelas
com erros maiores do que se admite no modelo de medição. As causas destes erros são diversas,
devido a problemas nos canais de comunicação, instrumentos de medição descalibrados ou
defeituosos, dados não confiáveis vindos de regiões de fronteira com áreas não supervisionadas,
entre outros. Os erros grosseiros podem ocorrer tanto em medições analógicas quanto digitais,
respectivamente representadas por medidas de tensão, fluxos e injeção de corrente, fluxos e
injeções de potência, e estados das chaves, disjuntores e parâmetros de rede. Erros analógicos
apresentam maior dificuldade de detecção quando são múltiplos e conformativos e erros de
estados de chaves e disjuntores são especialmente prejudiciais pois têm influência direta na
determinação da topologia da rede. Erros em parâmetros da rede são mais incomuns, mas seus
efeitos podem ser tão prejudiciais quanto os erros topológicos [48].
Conceitualmente uma medida possui erro grosseiro se ela está em desacordo com
as demais medidas disponíveis para estimação de estado, que possam atestar uma medida de
fato [48]. De acordo com Schweppe (1970) em [23], [24] e [25] e Merril e Schweppe (1971)
em [72], a verificação da existência de erro em uma medida depende do estado estimado para
a rede sem a presença da medida avaliada. Isto significa que se tivermos um conjunto de
𝑚 medidas será necessário estimar o estado 𝑚 vezes, entretanto isto computacionalmente pode
ser inviável o que propicia o uso de métodos indiretos segundo Monticelli e Garcia (1983) em
[73]. Dentro deste âmbito encontram-se as formulações do método dos multiplicadores de
Lagrange normalizados, o método do índice 𝐽(), e o método normalizado.
92
Em geral as propostas existentes na literatura utilizam o maior resíduo normalizado,
o maior multiplicador de Lagrange normalizado ou testes de hipóteses baseadas nas
propriedades estatísticas dos estimadores [48]. Na classe das propostas que utilizam o maior
resíduo normalizado há por exemplo a de Monticelli e Garcia (1983) em [73], de Wu et al
(1988a) em [62], de Slukster (1989) em [74], Vempati e Soults (1991) em [75], entre os que
utilizam testes de hipótese tem-se Milli et al (1984) em [76] e Abur (1990) em [77]. Entre as
propostas que utilizam os multiplicadores de Lagrange normalizado estão a de Wu (1988b) em
[78], Clements e Simões-Costa (1988) em [79], Asada et al (2005) em [80].
Atualmente outras técnicas no processamento da EE propostas por Pengxiang e
Abur em [81] permitem o isolamento de resíduos de erro em diferentes zonas da rede. A ideia
principal é baseada na observação de que as medições críticas têm a capacidade de bloquear
propagação de erro residual entre as zonas de propagação de erro. Assim, pela modificação
estratégica dos planos de medição, cada zona topológica pode ser feita de modo a comportar-
se como uma zona de bloqueio da propagação de erro residual. Esta modificação requer a
eliminação de algumas medidas redundantes nos limites da zona, para certificar-se que as
medições de fronteira restantes se tornam críticas e vão bloquear a propagação de resíduos de
erro para zonas vizinhas, foi desenvolvido baseado em índices e critérios de observabilidade
criados para a avaliação.
Antes da fase de detecção de erros grosseiros pode ser realizada uma pré-filtragem
dos erros críticos. Nesta fase são realizados testes como a comparação das medidas com seus
valores nominais, a comparação dos valores medidos com os valores medidos da coleta anterior,
a coerência com as Leis de Kirchhoff, a comparação dos valores medidos nas extremidades do
mesmo circuito, a coerência dos valores medidos com os estados das chaves e disjuntores. Após
a identificação das medidas portadoras de erros grosseiros, essas devem ser eliminadas,
corrigidas ou substituídas por pseudomedidas obtidas a partir da análise do comportamento
histórico da rede. Estas estratégias são principalmente utilizadas no Capítulo 8 sobre a alocação
de PMUs no modelo Multinível da EE.
Neste Capítulo serão apresentadas as duas técnicas utilizadas neste trabalho, o
método dos resíduos normalizados e o método do índice 𝐽().
4.1 TIPIFICAÇÃO DE ERROS
93
A presença de erros nas medidas que seja incompatível com o seu desvio- padrão
levam a estimação incorreta do estado da rede. Além disso, erros na topologia da rede e a
modelagem incorreta de seus componentes podem implicar em erros de estimação de estado
[48]. De acordo com sua ocorrência os erros podem ser classificados como:
∘ Erros Simples: quando há apenas uma medida com erro
∘ Erros Múltiplos: quando há mais de uma medida com erro
Os erros Múltiplos possuem uma subclassificação complementar para sua definição
e um detalhamento de acordo com a relação entre os eles, como segue:
∘ Múltiplos Não-Interativos: os erros não interagem e podem ser analisados
separadamente, e geralmente ocorrem em pontos eletricamente distantes
∘ Múltiplos Interativos: os erros ocorrem em medidas que possuem elevada
correlação entre si, e, portanto, com análise mais complexa.
Os erros Interativos também possuem uma subclassificação em relação a sua
concordância como segue:
∘ Múltiplos Interativos Não-Conformativos: os erros ocorrem em medidas
relacionadas, mas os erros não concordam entre si.
∘ Múltiplos Interativos Conformativos: os erros ocorrem em medidas
relacionadas, mas os erros concordam entre si.
Mas o que seria exatamente o termo concordância de erros, ou que os erros
concordam entre si. Para exemplificar isto, considere a Figura 4-1, e a tabela 4-I, que apresenta
os valores medidos para os fluxos e injeções de potência relativos à rede em questão.
Figura 4-1: rede de 3 barras para tipificação erros múltiplos interativos adaptado de [48]
Na primeira linha da tabela são apresentadas medidas sem erros. Na segunda linha
admite-se que há erros nas medidas dos fluxos de potência ativa 𝑃2,1, 𝑃2,3 e na medida de
injeção de potência ativa 𝑃2 . Esses erros possuem uma coerência entre si e o balanço das
94
potências na barra 2 está correto. Na terceira linha admitindo erros nas medidas 𝑃1,2, 𝑃2,1, mas
estes erros não são coerentes, ou seja, não há concordância entre si.
Tabela 4-I: Exemplo de tipificação de erros múltiplos interativos adaptada de [48]
𝑷𝟏,𝟐 𝑷𝟐,𝟏 𝑷𝟐,𝟑 𝑷𝟐 Tipo de Erro
1 pu -1 pu -1 pu -2 pu Sem erro
1 pu -2 pu -2 pu -4 pu Múltiplo Interativo Conformativo
2 pu -3 pu -1 pu -2 pu Múltiplo Interativo Não-Conformativo
A detecção e identificação de erros simples, erros múltiplos não interativos, erros
múltiplos interativos não-conformativos podem ser realizados através da análise de resíduos
normalizados e dos multiplicadores de Lagrange normalizados desde que se tenha redundância
adequada no conjunto de medidas.
Para análise dos erros múltiplos interativos conformativos existem algumas técnicas
utilizadas em Asada (2005) em [80].
4.2 DETECÇÃO E IDENTIFICAÇÃO DE ERROS
Seja um conjunto 𝑚 medidas de um determinado sistema com 𝑛 barras. O vetor de
resíduos é definido como = 𝑧 – onde 𝑧 é o vetor de medidas contendo 𝑚 medidas e é o
vetor contendo os valores calculados dessas medidas a partir das variáveis de estado estimadas
. Assim os resíduos representam a diferença entre as medidas reais coletadas e os valores
estimados para estas medidas mediante o equacionamento da EE. Os resíduos podem, portanto,
ser vistos como os valores que o modelo de medição não é capaz de explicar admitindo-se que
a topologia e os parâmetros da rede são perfeitamente conhecidos. Na obtenção de uma
determinada medida 𝑧𝑖 são utilizadas todas as medidas disponíveis, inclusive a própria 𝑧𝑖 [48].
Na formulação do modelo de medição supõe-se que o vetor de erros estimados para
as medidas apresenta uma distribuição normal com média zero e variância conhecida 𝑁(0, 𝜎2).
Portanto na ausência de erros grosseiro, 99,7% desses resíduos se encontrarão a uma distância
da média inferior a três vezes o desvio padrão 𝜎. Caso os resíduos violem tais suposições, pode-
se inferir que medidas contendo erros grosseiros foram coletadas e processadas. Além disso, a
95
análise dos resíduos permitirá a identificação das medidas com erros. Para isto considera-se que
há uma redundância no conjunto de medidas [48].
Após o cálculo do estado estimado , os resíduos normalizados para todas as
medidas são calculados e a medida 𝑧𝑖 , com maior resíduo normalizado 𝑖 em valor absoluto é
identificada. O valor calculado 𝑖 representa a forma como as demais medidas do sistema
disponíveis veem 𝑖. O valor de 𝑖 pode ser estimado a partir da análise de sensibilidade por:
𝑖 = 𝑧𝑖 −𝜎𝑖2
𝜌𝑖𝑖2 𝑖
(4.1)
onde 𝜎𝑖 é o desvio padrão da medida 𝑧𝑖, e 𝜌𝑖𝑖é o i-ésimo elemento da diagonal da matriz de
covariância dos resíduos estimados 𝑅 e 𝑖é o resíduo da medida 𝑖.
Se a medida 𝑧𝑖 é a única com erro grosseiro, 𝑖 é uma boa estimativa do valor
verdadeiro dessa variável e uma estimativa de erro grosseiro é dada por:
𝑖 = 𝑧𝑖 − 𝑖𝜎𝑖
= 𝜎𝑖
𝜌𝑖𝑖2 𝑖
(4.2)
Se houver redundância suficiente, o valor estimado de 𝑖 , apresentará bons
resultados mesmo na presença de várias medidas com erros grosseiros [8]. O índice 𝑖 obtido
em (4.2) representa a coerência entre a medida 𝑧𝑖 e a memória que o sistema possui desta
medida.
Para entender a formulação apresentada no cálculo dos resíduos deve-se entender a
análise de sensibilidade.
4.3 ANÁLISE DE SENSIBILIDADE
Para saber como o estado estimado e o vetor de resíduos de estimação são
sensíveis a uma perturbação no vetor de medidas 𝑧 , considera-se o modelo de estimação
representado por 𝑧 = ℎ() + 𝑟. De acordo com este modelo e partir do Capítulo 2 tem-se de
acordo com [8] e [48]:
∆ = [𝐺−1() ∙ 𝐻𝑇() ∙ 𝑊]∆𝑧 (4.3)
onde [𝐺−1() ∙ 𝐻𝑇() ∙ 𝑊] é a matriz sensibilidade do estado estimado com relação ao vetor
de medidas 𝑧, 𝑅𝑧 é a matriz covariância de medidas e 𝑊 é a sua inversa, ou seja, 𝑊 = 𝑅𝑧−1, e
𝐻 é a matriz Jacobiana (𝑚 𝑥 𝑛), de 𝑚 medidas e 𝑛 variáveis de estado, 𝐺 é a matriz ganho
representada por 𝐻𝑇() ∙ 𝑊 ∙ 𝐻().
96
O vetor de resíduos estimados é dado por = 𝑧 – , e = ℎ(). Após uma
perturbação no vetor de medidas e expandindo ℎ() tem-se:
+ ∆ = 𝑧 – ∆𝑧 − ℎ( + ∆) (4.4)
ℎ( + ∆) ≅ ℎ() + 𝐻()∆ (4.5)
+ ∆ = 𝑧 – ∆𝑧 − ℎ() + 𝐻()∆ (4.6)
∆ = ∆𝑧 − 𝐻()∆ (4.7)
De (4.3) e de (4.7) chega-se:
∆ = [𝐼 − 𝐻() ∙ 𝐺−1() ∙ 𝐻𝑇() ∙ 𝑊]∆𝑧 (4.8)
onde 𝐼 é uma matriz identidade de ordem 𝑚 que representa o número de medidas, e então a
matriz 𝑆 de sensibilidade dos resíduos estimados relativos ao vetor de medidas 𝑧 é:
𝑆 =𝜕
𝜕𝑧= [𝐼 − 𝐻() ∙ 𝐺−1() ∙ 𝐻𝑇() ∙ 𝑊] = 𝑅𝑊
(4.9)
As matrizes de covariância da estimação de estado utilizadas na detecção de erros
grosseiros são advindas das matrizes de sensibilidade 𝜕
𝜕𝑧 , 𝜕
𝜕𝑧 e 𝜕
𝜕𝑧 , respectivamente matriz de
sensibilidade das variáveis de estado estimadas, sensibilidade das medidas estimadas e
sensibilidade dos resíduos estimados, a última já apresentada em (4.9).
A partir de (4.3) tem-se que:
𝑆 =𝜕
𝜕𝑧= [𝐺−1() ∙ 𝐻𝑇() ∙ 𝑊]
(4.9)
Como:
∆ = 𝐻()∆ (4.10)
∆ = [𝐻() ∙ 𝐺−1() ∙ 𝐻𝑇() ∙ 𝑊]∆𝑧 (4.11)
𝑆 =𝜕
𝜕𝑧= [𝐺−1() ∙ 𝐻𝑇() ∙ 𝑊] = 𝐻() ∙ 𝑆
(4.12)
Sejam os vetores 𝑦 e 𝑣 dois vetores aleatórios que estão relacionados pela equação
𝑦 = 𝑀𝑣, onde 𝑀 é uma matriz de transformação com informações conhecidas, e considerando
que o valor esperado de 𝑦 é 𝐸(𝑦) = , e 𝐸(𝑣) = , a matriz de covariância de y é dada por:
𝑅𝑦 = 𝐸(𝑦 − )(𝑦 − )𝑇 (4.13)
𝑅𝑣 = 𝐸(𝑣 − )(𝑣 − )𝑇 (4.14)
𝑅𝑦 = 𝐸𝑀(𝑣 − )(𝑣 − 𝑣)𝑇𝑀𝑇 = 𝑀𝑅𝑣𝑀
𝑇 (4.15)
De (4.3), (4.13), (4.14) e (4.15) pode-se obter a matriz de covariância da estimação
de estado:
𝑅 = [𝐺−1() ∙ 𝐻𝑇() ∙ 𝑊]𝑅𝑧[𝐺
−1() ∙ 𝐻𝑇() ∙ 𝑊]𝑇 (4.16)
97
Como 𝑊 = 𝑅𝑧−1 tem-se:
𝑅 = 𝐺−1() (4.17)
Uma estimativa para o vetor de medidas 𝑧 coletado é dado a por
= 𝐻() ∙ , e, portanto, a matriz de covariância do vetor de medidas estimadas é:
𝑅 = 𝐻() ∙ 𝑅 ∙ 𝐻𝑇() = 𝐻() ∙ 𝐺−1() ∙ 𝐻𝑇() (4.18)
Do mesmo jeito considerando a equação (4.8), a matriz de covariância do vetor de
resíduos estimados é dada por:
𝑅 = [𝐼 − 𝐻() ∙ 𝐺−1() ∙ 𝐻𝑇() ∙ 𝑊] ∙ 𝑅𝑧 ∙ [𝐼 − 𝐻() ∙ 𝐺
−1() ∙ 𝐻𝑇() ∙ 𝑊]𝑇 (4.19)
𝑅 = [𝑅𝑧 − 𝐻() ∙ 𝐺−1() ∙ 𝐻𝑇()] (4.20)
𝑅 = [𝐼 − 𝐻() ∙ 𝐺−1() ∙ 𝐻𝑇() ∙ 𝑅𝑧
−1] ∙ 𝑅𝑧 = 𝑆 ∙ 𝑅𝑧 (4.21)
𝑅 = 𝑅𝑧 − 𝑅 (4.22)
Segundo (4.22), a matriz de covariância do vetor de resíduos estimados é a
diferença entre a matriz de covariância do vetor de medidas e a matriz de covariância do vetor
de medidas estimadas. Assim em qualquer medida não redundante a variância da medida
estimada é igual a variância da medida coletada e, portanto, a variância do resíduo estimado é
nula. Nesse caso a estimativa para medida não redundante é a própria medida e o resíduo da
sua estimação é nulo conforme [8] e [48].
Assim nestas circunstâncias pode-se dizer que estas medidas são críticas por causa
da variância nula, e quando se perde este tipo de medida a EE torna-se não observável. Uma
outra definição igualmente importante baseada nesta constatação é que também pode-se definir
um conjunto crítico de medidas, que é formado por medidas redundantes, mas a simples
eliminação de uma determinada medida pertencente a este conjunto torna as demais medidas
críticas, isto significa que potencialmente aquela medida eliminada era a medida redundante
das demais.
Estas informações são fundamentais em tratamento de erros grosseiros o no projeto
de redundância de medidas e de alocação delas na rede.
4.4 MATRIZ DE COVARIÂNCIA DE RESÍDUOS NORMALIZADOS
Dada uma medida não crítica (redundante) 𝑧𝑖 o seu resíduo normalizado 𝑟𝑖𝑛 pode
ser definido como a razão entre seu resíduo estimado 𝑖 = 𝑧𝑖 − 𝑖 e a sua variância estimada
𝜌𝑖𝑖. Assim o vetor de resíduos normalizados é definido por:
98
𝑟𝑛 = 𝑑𝑖𝑎𝑔(𝑅)−12 ∙
(4.23)
onde 𝑑𝑖𝑎𝑔(𝑅) é a matriz formada pelos elementos da diagonal da matriz de covariância dos
resíduos estimados 𝑅. A partir disso, a matriz de covariância dos resíduos normalizados pode
ser escrita como:
𝑅𝑟𝑛 = 𝑑𝑖𝑎𝑔(𝑅)−12 ∙ 𝑅 ∙ 𝑑𝑖𝑎𝑔(𝑅)
−12
(4.24)
𝑅𝑟𝑛 =
[ 1
1 𝜌𝑖𝑗2
𝜌𝑖𝑖𝜌𝑗𝑗
⋱
𝜌𝑖𝑗2
𝜌𝑖𝑖𝜌𝑗𝑗 1
1]
(4.25)
onde 𝜌𝑖𝑗2 é o elemento 𝑅(𝑖, 𝑗) e o coeficiente de correlação𝛾𝑖𝑗 = 𝑅𝑟𝑛(𝑖, 𝑗) tem seu valor
absoluto menor ou igual a um, ou seja |𝛾𝑖𝑗| ≤ 1 conforme mostrado em [8].
4.5 TESTE DO MAIOR RESÍDUO NORMALIZADO
Considere um conjunto de medidas perfeitas que possui redundância suficiente para
permitir a identificação de erros apresentada em [8] e [48]. Seja 𝑧𝑖 a única medida defeituosa.
Ela é afetada pelo erro grosseiro 𝑏𝑖 𝜎𝑖, onde 𝜎𝑖 é o desvio padrão da medida 𝑧𝑖. Assim, o vetor
de medidas é dado por:
𝑧 = + 𝑏𝑖𝜎𝑖𝑒𝑖 (4.26)
onde 𝑧𝑣 é valor calculado para medidas a partir de 𝑥𝑣, onde 𝑧𝑣 contém as medidas sem erros
grosseiros e nem erros aleatórios, 𝑥𝑣 é o vetor do estado verdadeiro e 𝑒𝑖 é um vetor nulo exceto
pelo 𝑖-ésimo elemento que é unitário. Se o estado for estimado a partir das medidas 𝑧𝑣 o vetor
de resíduos será nulo. Da relação de sensibilidade de (4.9) tem-se:
∆ = 𝑅𝑊∆𝑧 (4.27)
= 𝑅𝑊𝑧 = (𝑏𝑖𝜎𝑖−1)𝑅𝑒𝑖 (4.28)
onde 𝑅𝑒𝑖 é a 𝑖-ésima coluna de 𝑅.
99
O vetor de resíduos é dado por:
𝑟𝑛 = 𝑑𝑖𝑎𝑔(𝑅)−12 ∙ = 𝑏𝑖𝜎𝑖
−1 ∙ 𝑑𝑖𝑎𝑔(𝑅)−12 ∙ 𝑅𝑒𝑖
(4.29)
Na forma matricial (4.28) ficaria:
𝑟𝑛 = 𝑏𝑖𝜎𝑖−1 ∙
(
𝜌1𝑖2 𝜌11
−1
⋮𝜌𝑖𝑖⋮
𝜌𝑗𝑖2 𝜌𝑗𝑗
−1
⋮𝜌𝑚𝑖2 𝜌𝑚𝑚
−1 )
(4.30)
Dividindo um resíduo genérico 𝑟𝑗𝑛 pelo resíduo normalizado 𝑟𝑖
𝑛 que está associado à medida
que tem erro grosseiro tem-se:
𝑟𝑗𝑛
𝑟𝑖𝑛 =
|𝜌𝑗𝑖2 |
𝜌𝑗𝑗𝜌𝑖𝑖= |𝛾𝑗𝑖| ≤ 1
(4.31)
e portanto:
𝑟𝑖𝑛 ≥ 𝑟𝑗
𝑛 (4.32)
Assim no processo de estimação de estado quando somente uma medida possui erro
grosseiro e as demais medidas são perfeitas (livres de erros grosseiros e erros aleatórios), a
medida com erro grosseiro apresentará o maior resíduo normalizado em valor absoluto de
acordo com [8] e [48]. Podem existir outras medidas com resíduo normalizado de mesmo valor,
porém, nenhuma delas apresentará um resíduo normalizado maior que o da medida 𝑧𝑖.
4.6 ALGORITMO DE TRATAMENTO DE ERROS BASEADO EM RESÍDUOS NORMALIZADOS
Admitindo que as medidas realizadas por um medidor seguem uma distribuição
normal 99,7% dessas medidas está na ±3𝜎𝑖. Se 𝑖𝜎𝑖 está fora dessa faixa, então a medida 𝑧𝑖
contém erro grosseiro conforme [48]. O limite de detecção de erros grosseiros normalmente
adotado é de 3𝜎𝑖 ou 4𝜎𝑖 . O algoritmo de detecção e identificação é descrito a seguir:
a) Determine o estado estimado com todas as medidas disponíveis
b) Calcule os resíduos normalizados
100
𝑟𝑗𝑛 =
𝑟𝑗
𝜌𝑗𝑗=𝑧𝑗 − ℎ𝑗()
𝜌𝑗𝑗
(4.33)
para todas medidas 𝑗 = 1,2,⋯ ,𝑚
c) Encontre a medida 𝑖 com o maior resíduo normalizado em valor absoluto
|𝑟𝑖𝑛| obtido a partir de (𝑚𝑎𝑥|𝑟𝑛|)
d) Se |𝑟𝑖𝑛| > 3𝜎 vá para o passo (e). Caso contrário pare, 𝑧𝑖 não contém erro
grosseiro
e) Remova 𝑧𝑖 do vetor de medidas disponíveis. Volte ao passo (a)
f) Fim
No passo (e) tem-se a opção de remover medida que poderia ser ajustada por outros
procedimentos como por exemplo, substituir por pseudomedida definida, ou ainda efetuar
ajustes na medida de modo a torná-la corrigida.
4.7 ESTUDO DE CASO
Considere a rede de 3 barras da figura 4-2, com as seguintes medidas perfeitas,
𝑃1𝑚𝑒𝑎𝑠 = 4,00 𝑝𝑢, 𝑃2
𝑚𝑒𝑎𝑠 = −4,00 𝑝𝑢, 𝑃3𝑚𝑒𝑎𝑠 = 0,00 𝑝𝑢 e 𝑃1,3
𝑚𝑒𝑎𝑠 = 2,00 𝑝𝑢, e as variâncias
𝜎𝑃12 = 0,004, 𝜎𝑃2
2 = 0,004, 𝜎𝑃32 = 0,001e 𝜎𝑃1,3
2 = 0,002.
Figura 4-2: Rede de 3 barras adaptada de [8]
101
Se considerar 𝜃2e 𝜃3 como variáveis de estado e o modelo linearizado, a matriz
Jacobiana seria:
𝐻 =
𝑃1𝑃2𝑃3𝑃1,3
(
−50 −100 150 −100−100 200 0 −100
)
A matriz de covariância do vetor de medidas é:
𝑅𝑧 =
(
𝜎𝑃12 0 0 0
0 𝜎𝑃22 0 0
0 0 𝜎𝑃32 0
0 0 0 𝜎𝑃1,32)
A matriz de covariância do vetor de estado estimado é:
𝑅 = 𝐺−1 = (𝐻𝑇𝑅𝑧
−1𝐻)−1 = 10−7 (1,633 0,7350,735 0,531
)
A matriz de covariância do vetor de medidas estimada é:
𝑅 = 𝐻𝑅𝐻𝑇 = 10−3(
1,67 −1,43 −0,24 0,90−1,43 2,00 −0,57 −0,57−0,24 −0,57 0,81 −0,33 0,90 −0,57 −0,33 0,53
)
A matriz de covariância do vetor de resíduos estimada é:
𝑅 = 𝑅𝑧 − 𝑅 = 10−3(
2,33 1,43 0,24 0,90 1,43 2,00 0,57 0,57 0,24 0,57 0,18 0,33−0,90 0,57 0,33 1,47
)
O vetor de medidas estimado é:
= 𝐻 = 𝐻𝐺−1𝐻𝑇𝑊𝑧 = 𝑅𝑊𝑧
= 10−3(
1,67 −1,43 −0,24 0,90−1,43 2,00 −0,57 −0,57−0,24 −0,57 0,81 −0,33 0,90 −0,57 −0,33 0,53
)(
250 0 0 00 250 0 00 0 1000 00 0 0 500
)(
4,00−4,00 0,00 2,00
)
= (
4,00−4,00 0,00 2,00
) e = 𝑧 − = (
0,000,000,000,00
)
Se provocarmos uma perturbação na medida 𝑃1𝑚𝑒𝑎𝑠 e ela se tornar uma medida
ruim equivalente a 5,00 𝑝𝑢 ao invés de 4,00 𝑝𝑢 que é o valor correto, os resíduos estimados,
e os resíduos normalizados estimados seriam:
102
= (
0,58 0,36 0,06−0,22
) e 𝑟𝑛 = (
12,06 7,99 4,52−5,86
)
Considere um novo exemplo conforme a Figura 4-3. Com as medidas 𝑃2𝑚𝑒𝑎𝑠 =
−4,07 𝑝𝑢,sendo medida crítica, 𝑃3,1𝑚𝑒𝑎𝑠 = 1,90 𝑝𝑢 e 𝑃1,3
𝑚𝑒𝑎𝑠 = 2,04 𝑝𝑢, e as variâncias 𝜎𝑃22 =
0,004, 𝜎𝑃3,12 = 0,002, e 𝜎𝑃1,3
2 = 0,002.
Figura 4-3: rede de 3 barras adaptado de [8]
Se considerar 𝜃2e 𝜃3 como variáveis de estado e o modelo linearizado, a matriz
Jacobiana seria:
𝐻 =
𝑃2𝑃1,3𝑃3,1
( 150 −1000 −1000 100
)
A matriz de covariância do vetor de medidas é:
𝑅𝑧 = (
𝜎𝑃22 0 0
0 𝜎𝑃1,32 0
0 0 𝜎𝑃3,22
)
A matriz de covariância do vetor de estado estimado é:
𝑅 = 𝐺−1 = (𝐻𝑇𝑅𝑧
−1𝐻)−1 = 10−7 (2,222 0,6670,667 1,000
)
A matriz de covariância do vetor de medidas estimada é:
𝑅 = 𝐻𝑅𝐻𝑇 = 10−3 (
4 0 00 1 −10 −1 1
)
A matriz de covariância do vetor de resíduos estimada é:
103
𝑅 = 𝑅𝑧 − 𝑅 = 10−3 (
0 0 00 1 10 1 1
)
O vetor de medidas estimado é:
= 𝐻 = 𝐻𝐺−1𝐻𝑇𝑊𝑧 = 𝑅𝑊𝑧
= 10−3 (4 0 00 1 −10 −1 1
)( 250 0 00 500 00 0 500
)( 4,07 2,04−1,90
)
= (−4,07 1,97−1,97
)
Os resíduos estimados, e os resíduos normalizados estimados seriam:
= (0,000,070,07
) e 𝑟𝑛 = (
∗2,212,21
)
Note que a medida 𝑃2 não possui redundância e é crítica, assim seu resíduo é zero,
e em função disto o resíduo normalizado para esta medida não é definido. E nesta situação
também se ocorrerem erros nas medidas 𝑃1,3e 𝑃3,1 os seus erros serão os mesmos pois possuem
a mesma magnitude de resíduos, assim neste caso apesar da redundância entre elas não é
possível identificar os seus erros (erros conformativos).
4.8 TESTE DE HIPÓTESE
Na estimação de estado segundo Monticelli em [8], os dois principais problemas
são a obtenção dos valores estimados do estado e do vetor de medidas , e para testar a
hipótese de validação acerca deles, isto é, para conferir se estas estimativas são compatíveis na
precisão de seus respectivos desvios padrões. Serão apresentadas nesta Seção os testes de
hipóteses de 𝐽() e de 𝑟𝑛. A formulação está baseada na Distribuição Qui-quadrado 𝜒2, e o
último na Distribuição Normal padrão.
4.8.1 O TESTE DE DETECÇÃO 𝑱()
Considere variáveis aleatórias independentes representadas por 𝑥𝑖 , 𝑖 = 1, 2,⋯ ,𝑚,
que seguem uma Distribuição Normal com média zero e variância unitária (distribuição
104
𝑁(0,1) ), a Distribuição Qui-quadrado 𝜒2 com 𝑚 graus de liberdade é a distribuição de
variáveis aleatórias 𝑦 definida como 𝑦 = ∑ 𝑥𝑖2𝑚
𝑖=1 . Pode-se mostrar que a distribuição Χ𝑚2 tem
média 𝑚 e variância 2𝑚 . Quando variáveis aleatórias 𝑥𝑖 são limitadas por 𝑛 equações
independentes, a distribuição 𝑦 segue a distribuiçãoΧ𝑚−𝑛2 com o número de graus de liberdade
sendo reduzido pelo número 𝑛 das equações de limitantes.
Na visão do Teorema do Limite Central, a soma de um grande número de variáveis
aleatórias que segue qualquer distribuição com variância delimitada, se aproxima da
Distribuição Normal. Quando o número de graus de liberdade 𝜈 aumenta, a distribuição Χ𝜐2
também tende a uma Distribuição Normal. A Figura 4-4 mostra a função densidade de
probabilidade da Distribuição Qui-quadrado Χ𝜐2 em três situações distintas de acordo com seu
grau de liberdade 𝜈.
Figura 4-4: Função densidade de probabilidade para a distribuição qui-quadrado adaptada de [8]
Assumindo que os erros de medidas representados por 𝑒𝑖 , 𝑖 = 1,2,⋯ ,𝑚 , são
regidos por uma distribuição normal e independentes, cada um tendo média zero e variância
σ𝑖2 , 𝑁(0, 𝜎𝑖
2) , então o índice de performance 𝐽() é representado por (4.34), e segue a
distribuição Χ𝑚−𝑛2 , Distribuição Qui-Quadrado com 𝑚− 𝑛 graus de liberdade, com 𝑚 sendo o
número de medidas e 𝑛 o número de variáveis de estado.
𝐽() = ∑(𝑧𝑖𝑚𝑒𝑎𝑠 − 𝑖𝜎𝑖
)
2𝑚
𝑖=1
(4.34)
Sob estas condições o valor esperado de 𝐽() e sua variância seguem a formulação:
105
𝐸𝐽() = 𝑚 − 𝑛 e 𝐸[𝐽() − (𝑚 − 𝑛)]2 = 2(𝑚 − 𝑛) . Observe que para um sistema
observável com 𝑚 = 𝑛, o estado estimado se encaixa no modelo de medição perfeitamente,
isto é, todos os resíduos serão iguais a zero e consequentemente 𝐽() = 0.
Uma estimação de estado executada produz apenas uma observação 𝐽() da
variável aleatória 𝐽(𝑥). Baseada nesta observação, a decisão de saber se é ou não valido
realmente pertence o teste de hipótese da Distribuição Qui-Quadrado χ2, e deve ser realizada
impreterivelmente. As hipóteses feitas sobre o comportamento das variáveis aleatórias e𝑖
podem ser testados indiretamente para a distribuição normal, 𝑁(0, 𝜎𝑖2), ou o efeito de erros
grosseiros ou comportamento.
O primeiro passo é a consideração da hipótese nula 𝐻0 e uma hipótese alternativa
𝐻1: 𝐻0, 𝐸𝐽() = 𝑚 − 𝑛; 𝑒 𝐻1, 𝐸𝐽() > 𝑚 − 𝑛. A hipótese alternativa sugere a maneira de
realizar o teste em (4.35)
𝑆𝑒 𝐽() > 𝐶 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝑟𝑒𝑗𝑒𝑖𝑡𝑎 𝑎 ℎ𝑖𝑝ó𝑡𝑒𝑠𝑒 𝐻0 (4.35)
𝑆𝑒 𝐽() ≤ 𝐶 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝑎𝑐𝑒𝑖𝑡𝑎 𝑎 ℎ𝑖𝑝ó𝑡𝑒𝑠𝑒 𝐻0
onde 𝐶 é a constante de probabilidade a ser determinada. Se 𝛼 é o nível de significância do teste
a constante 𝐶 é calculada por:
𝐶 = 𝜒𝑚−𝑛,1−𝛼2 (4.36)
Isto significa que se 𝐻0 é verdadeiro a probabilidade 𝐽() > 𝐶 é 𝛼 (ou 𝛼 × 100% e assim:
∫𝑓(𝑡)𝑑𝑡
𝐶
0
= 1 − 𝛼
(4.37)
𝑓(𝑡) = 𝑡𝜈2−1𝑒−
𝑡2
2𝜈2Γ (
𝜈2)
(4.38)
onde 𝑓(𝑡) é a função densidade de probabilidade da distribuição qui-quadrado 𝜒𝜈2, com grau de
liberdade 𝜈 = 𝑚 − 𝑛 , e Γ é a função Gamma. A Figura 4-5 ilustra o entendimento da
distribuição qui-quadrado com grau de liberdade 𝜈 = 8, média 𝜇 = 8, desvio padrão 𝜎 = 4,
𝛼 = 0,05, constante de probabilidade a ser determinada 𝐶 = 𝜒8,(1−0,05)2 = 15,5 corresponde ao
quartil de 95% isto é, 𝑃𝑟𝑜𝑏(𝜒2 > 15,5) = 𝛼 = 0,05.
106
Figura 4-5: Função densidade de probabilidade da distribuição qui-quadrado
É importante notar o nível de significância 𝛼 também é equivalente à probabilidade
de um falso alarme ou ocorrência de um erro do tipo 1:
Erro tipo 1: rejeita 𝐻0 quando é na realidade verdadeiro
Erro tipo 2: aceita 𝐻0 quando é na realidade falso
4.8.2 O TESTE DE DETECÇÃO E IDENTIFICAÇÃO DO RESÍDUO NORMALIZADO
Conforme a Seção (4.8.1) os erros de medidas representador por 𝑒𝑖, 𝑖 = 1,2,⋯ ,𝑚,
são regidos por uma distribuição normal e independentes, cada um tendo média zero e variância
σ𝑖2 , 𝑁(0, 𝜎𝑖
2) . Assim o resíduo correspondente estimado 𝑖 é calculado através de uma
combinação linear dos erros das medidas de acordo com (4.28), e também é uma distribuição
normal com média zero e variância ρ𝑖𝑖2 , onde ρ𝑖𝑖
2 = 𝑅(𝑖, 𝑖) , equivalente ao elemento da
diagonal 𝑖 da matriz de covariância de resíduos. Consequentemente a distribuição periférica de
cada resíduo normalizado r𝑖𝑛 = 𝜌𝑖𝑖
−1𝑖 é normal com média zero e variância unitária, isto é,
𝐸|𝑟𝑖𝑛| = 0 e 𝐸(𝑟𝑖
𝑛)2 = 1.
O cálculo da estimação de estado produz apenas uma observação 𝑖 da variável
aleatória 𝑟𝑖 . Baseado nesta informação a decisão deve ser tomada quanto ao fato desta
observação na verdade pertencer à hipótese de distribuição normal ou é afetado por erros
grosseiros.
Duas hipóteses foram consideradas 𝐻0: 𝐸𝑟𝑖𝑛 = 0 e 𝐻1 : 𝐸|𝑟𝑖
𝑛| > 0. A hipótese
𝐻0 é rejeitada se |𝑟𝑖𝑛| > 𝐶𝑁 , onde 𝐶𝑁 é a constante a ser determinada. O nível significância do
107
teste é dado por 𝛼 e corresponde a probabilidade de um falso alarme, e significa que 𝛼 é a
probabilidade de |𝑟𝑖𝑛| > 𝐶𝑁 . Consequentemente:
𝐶𝑁 = 𝐾𝛼2 (4.39)
∫𝑓(𝑡)𝑑𝑡
𝐶
0
= 1 − 𝛼
(4.40)
𝑓(𝑡) = 𝑒−
𝑡2
2
√2𝜋
(4.41)
onde 𝑓(𝑡) é a função densidade de probabilidade da distribuição normal padrão, com média
zero e variância unitária, 𝑁(0, 1) . Consequentemente 𝐶 é em função 𝛼 , entretanto é mais
adequado escrever a equação de outra forma para facilitar o uso de tabelas da distribuição:
∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡
𝐶𝑁
−∞
= 1 −𝛼
2
(4.42)
Por exemplo se 𝛼 = 0,025 (2,5%), 𝐶𝑁 = 𝐾0,0125 = 2,24. Assim para cada medida é possível
realizar uma validação através da análise de hipóteses sobre os valores de cada resíduo
normalizado estimado 𝑟𝑖𝑛 , e se o valor de |𝑟𝑖
𝑛| < 𝐶𝑁 , ou seja, para a probabilidade 𝛼 =
0,025 (2,5%), se |𝑟𝑖𝑛| < 2,24, significa que a hipótese nula é aceita, e pode ser desconsiderada
a existência de erro grosseiro na medida 𝑧𝑖. Esta validação pode ser realizada para cada uma
das medidas, e em conjunto com o teste acumulativo de 𝐽() < 𝐶 , se constituem em
ferramentas importantes na detecção e tratamentos de erros, lembrando que as constantes de
probabilidade 𝐶𝑁 e 𝐶 são distintas uma calculada para a distribuição normal padrão e a outra
para a distribuição qui-quadrado.
108
Capítulo V
5 MEDIÇÕES E SISTEMAS DE AQUISIÇÃO DE DADOS
Um dos primeiros sistemas de aquisição e supervisão foi instalado na década de
1920 em instalações industriais. Estes podem ser considerados os sistemas precursores dos
atuais sistemas SCADA [82]. Na época, algumas subestações de alta tensão adjacentes às usinas
(estações geradoras) podiam ser monitoradas e controladas a partir da sala de controle da usina.
Isso eliminou a necessidade de pessoal nas subestações, mesmo que estas localizassem-se a
certa distância da sala de controle. Este sistema era composto por duas placas de controle e
monitoramento, uma na subestação e uma na usina. O centro de controle e de gerenciamento
da usina verificava a necessidade de alterar as saídas do gerador, baseada nos dados recebidos
das subestações, e as instruções eram passadas para a execução, mas era essencialmente uma
operação manual. Estes sistemas analógicos evoluíram e na década de 1960 foram
incrementados com o advento da computação digital. As funções do EMS no centro de controle
foram ampliadas e a coleta de medições convencionais assíncronas poderia ser obtida através
das unidades terminais remotas RTU (do inglês, Remote Terminal Unit). Na década de 1980 os
dispositivos de aquisição e medição se sofisticaram e foram criados os IED (do inglês,
Intelligent Eletronic Devices) [82].
Todos estes dispositivos de medição podem realizar coleta de magnitudes de
tensões, fluxos de potência ativa e reativa, injeções de potência ativa e reativa, injeções de
corrente, fluxos de corrente, posição do tap de transformadores, estado de disjuntores etc. Estas
medidas são encaminhadas para o EMS e processadas nos centros de controle. Estas funções
109
de aquisição e comunicação com os IEDs, RTUs e processamento de informações são realizadas
pelo sistema SCADA.
A tecnologia das PMUs remonta à década de 1980, e o primeiro protótipo das
modernas PMUs usando GPS foi desenvolvido no Instituto Politécnico da Virginia (do inglês,
Virginia Tech), e posteriormente instalado em algumas subestações da empresa prestadora de
serviços de energia Bonneville Power Administration [14].
As medidas fasoriais provenientes das PMUs podem ser obtidas através das técnicas
da teoria das séries e transformadas de Fourier e possuem características fortes de sincronismo,
permitindo assim obter dados complexos de tensões, fluxos de potência ativa e reativa, injeções
de potência ativa e reativa, injeções de corrente, fluxos de corrente, tanto grandezas de fase
como de sequência. O sincronismo pode ser obtido porque as PMUs utilizam a arquitetura GPS
podendo utilizar uma mesma referência de tempo, e marcar todas suas medidas
cronologicamente, e com a marcação do tempo é possível ter maior precisão e confiabilidade
das medidas. A periodicidade de sua aquisição pode girar em torno de 30 medidas por segundo,
ou até mais [14].
5.1 MEDIÇÕES SCADA
Os sistemas SCADA podem ser comercializados por diversos fornecedores, mas
usualmente possuem uma arquitetura similar, mesmo sendo utilizados em diferentes áreas como
automação predial, industrial, de redes de energia etc. A principal característica do sistema
SCADA é que ele é um sistema de automação e controle, e é operado e manipulado por
operadores dos SEPs. A Figura 5-1 ilustra em linhas gerais a arquitetura do sistema SCADA.
110
Figura 5-1. Sistema SCADA adaptado de [50]
O sistema SCADA pode utilizar basicamente dois tipos de comunicação, varredura
ou Polling e comunicação por interrupção/evento.
Na comunicação por polling, a unidade central denominada mestre controla todas
as comunicações, e realiza a sequência de polling ou varredura, para coletar os dados de cada
unidade remota denominada escrava, que responderá à estação central somente após receber
uma solicitação, ou seja, um método de comunicação denominado half-duplex.
Cada unidade remota é identificada por um endereço único, e se uma unidade
remota não responder durante um certo período de tempo pré-determinado às eventuais
solicitações que lhe são direcionadas, fará com que a unidade central realize novas tentativas
de polling antes de avançar para a próxima unidade remota. As vantagens desta técnica de
comunicação são a simplicidade no processo de aquisição de dados, inexistência do fenômeno
de colisões na rede, e é possível calcular a largura de banda necessária nas comunicações devido
às características funcionais determinísticas de dados, eventuais falhas de ligação são mais
facilmente detectadas, e não requer inteligência em todas as unidades remotas. Em
contrapartida, é limitada a ação das unidades remotas de comunicar eventos que exijam uma
atuação imediata pela unidade central, o número de estações remotas impacta negativamente
no tempo de espera e polling, toda comunicação entre as unidades remotas deve passar pela
unidade central [82].
111
Na comunicação por evento ou interrupção, a unidade remota monitora as entradas
de dados da planta e quando identifica alguma alteração significativa, ou valores que
ultrapassam limites configurados (alarmes), inicia a comunicação com a unidade central para
transferência de informações. Antes de iniciar a transmissão, a unidade remota atesta se o meio
de transmissão está sendo usado por outra unidade (remota, ou central). Caso isto seja
confirmado, aguarda um tempo determinado aleatoriamente antes da próxima tentativa de
transmissão. Em situações extremas onde o número de colisões é alto, a unidade remota cancela
os procedimentos de transmissão, e aguarda que a unidade central realize uma requisição
através do processo de varredura. Neste caso, evita-se a transferência de informações
desnecessárias o que reflete na diminuição do tráfego da rede, propicia uma detecção eficiente
e rápida de informações relevantes e prioritárias, e como trabalha por evento, torna possível a
comunicação entre as unidades remotas sem passar pela unidade central, ou seja, comunicação
direta. Entretanto, a unidade central identificará falhas na ligação somente após um período de
tempo (ocorrência do próximo evento, ou uma varredura), para obtenção dos últimos valores
dos dados o operador deverá disparar procedimento de coleta [82].
5.2 MEDIÇÕES PMU
As PMUs podem ser fabricadas por diferentes fornecedores e seus princípios e
arquitetura podem variar de um fabricante para outro em muitos aspectos. As PMUs se
desenvolveram baseadas em um projeto de desenvolvimento de um relé de distância baseado
em componentes simétricas. Um dos produtos deste desenvolvimento foi o algoritmo recursivo
para o cálculo das componentes simétricas das tensões e correntes, denominado Symmetrical
Component Discrete Fourier Transform. Este algoritmo possibilitou a obtenção dos valores de
sequência positiva das tensões e correntes de forma muito precisa, com os tempos de
processamento da ordem de um ciclo, e gerou interesse para a utilização desta técnica em
diversas aplicações [14].
A sequência deste foi a sincronização da base de tempo utilizada para a amostragem
das tensões e correntes, o que permitiu a obtenção de fasores sincronizados no tempo. Uma
sincronização precisa das bases de tempo foi viabilizada com o advento dos Sistemas de
Posicionamento Global (GPS, do inglês Global Positioning Systems) e tornou possível a
obtenção das diferenças angulares entre medidas localizadas em pontos distantes do sistema
elétrico [50].
112
5.2.1 MEDIDAS FASORIAIS
Steinmetz inicialmente propôs em 1893 o conceito de fasor para simplificar os
cálculos e análises envolvendo tensões e correntes elétricas alternadas. As formas de onda de
grandezas cossenoidais, tais como as tensões e correntes num sistema elétrico de potência
podem ser representadas no domínio do tempo, pela seguinte expressão [83]:
𝑔(𝑡) = √2. 𝐺𝑟𝑚𝑠 ∙ 𝑐𝑜𝑠(𝜔 ∙ 𝑡 + 𝜃) (5.1)
onde 𝐺𝑟𝑚𝑠 é o valor eficaz da forma de onda, que poderia ser de tensão ou corrente, 𝜔 é
velocidade angular de variação da grandeza dada por 𝜔 = 2𝜋𝑓 e 𝑓 é a frequência da grandeza,
𝜃 é o ângulo de fase da grandeza, que permite obter o valor da grandeza no instante 𝑡 = 0.
De acordo com Steinmetz, esta expressão pode ser representada de forma
simplificada por um vetor girando no plano complexo com velocidade 𝜔, chamado de fasor
girante, representado em coordenadas polares e retangulares respectivamente por [83]:
𝑔 = 𝐺𝑟𝑚𝑠. 𝑒𝑗𝜃 (5.2)
𝑔 = 𝐺𝑟𝑚𝑠(cos 𝜃 + 𝑗 sin 𝜃) (5.3)
A representação fasorial é independente da frequência do sinal, como pode ser
inferido a partir de (5.2) e (5.3), partindo-se do princípio de que todas as grandezas têm a mesma
frequência. A suposição de que as grandezas elétricas podem ser aproximadas por sinais
cossenoidais é largamente utilizada para a determinação das condições operativas de um
sistema de potência operando em regime permanente [14].
Em [14] foi apresentada uma técnica para a extração de um fasor de um sinal
alternado, representado pela DFT, (do inglês, Discrete Fourier Transform), em sua forma
recursiva.
Seja um número complexo representado por (5.4).
(𝑢, 𝑣) = 𝑟𝑒𝑎𝑙(𝑢, 𝑣) + 𝑗𝑖𝑚𝑎𝑔(𝑢, 𝑣) (5.4)
onde (𝑢, 𝑣) é designado coeficiente de frequência, com 𝑢 = 0,1,2,3… ,𝑁 − 1, e
𝑣 = 0,1,2,3… ,𝑀 − 1. Cada (𝑢, 𝑣), poderia então ser representado por uma soma ponderada
de exponenciais complexas para 𝑛 = 0,1,2,3… ,𝑁 − 1 , e 𝑘 = 0,1,2,3… ,𝑀 − 1 , conforme
(5.5).
113
(𝑢, 𝑣) = ∑ ∑𝑥(𝑛, 𝑘)
𝑁−1
𝑛=0
𝑒−𝑗2𝜋(𝑢 𝑛𝑁+𝑣 𝑘𝑀)
𝑀−1
𝑘=0
(5.5)
(𝑢, 𝑣) = ∑ ∑ 𝑥(𝑛, 𝑘)
𝑁−1
𝑛=0
[𝑐𝑜𝑠 (2𝜋 (𝑢𝑛
𝑁+𝑣𝑘
𝑀)) − 𝑠𝑒𝑛 (2𝜋 (
𝑢𝑛
𝑁+𝑣𝑘
𝑀))]
𝑀−1
𝑘=0
(5.6)
Para que seja possível calcular uma DFT deve-se considerar ainda alguns requisitos
como:
∘ Respeitar o critério de Nyquist;
∘ O sinal, a ser transformado, deverá ser de banda de frequências limitada;
∘ A transformada discreta de Fourier, pressupõe que o sinal amostrado é
necessariamente periódico.
Suponha que um determinado sinal contínuo no tempo seja um sinal de banda
limitada, cuja maior frequência é 𝑓𝑐 . O teorema de Nyquist demonstra que para que seja
preservada toda a informação contida nesse sinal, é necessário que o sinal seja amostrado em
períodos igualmente espaçados no tempo de tal forma que a frequência de amostragem 𝑓𝑠 seja
maior ou igual a duas vezes a frequência máxima 𝑓𝑐 do sinal [14].
Quanto ao requisito de limitação da banda do sinal, nem sempre é possível garantir
isso quando se considera sinais analógicos reais. Recomenda-se que sempre se utilize recursos
eletrônicos analógicos de filtragem passiva ou ativa, por exemplo, filtros tipo passa-baixas, para
definir melhor o limite da banda do sinal, antes de realizar amostragem por meio de conversores
Analógicos / Digitais. Esse tipo de filtragem é conhecido por filtragem anti-alias ou anti-
aliasing. Alguns conversores analógicos / digitais mais especializados, possuem internamente
uma filtragem para limitação de banda de frequências. Nesse caso, o filtro externo é opcional.
A ideia de que a DFT é calculada sobre sinais periódicos deve ser sempre levada
em consideração, pois se o sinal não o é, o resultado da DFT varia conforme o trecho que é
analisado, não traduzindo a transformada em resultado coerente.
Abstraindo-se da filtragem anti-aliasing necessária para a correta representação do
sinal medido, na DFT as amostras digitais de um sinal, tomadas em intervalos de tempo
regulares, compõem uma janela de dados deslizante, com 𝑁 amostras, utilizada para calcular,
a cada nova amostra, a parte real e imaginária do sinal. Desta forma, é possível obter o módulo
e o ângulo de fase do sinal.
Uma das formas de se obter a parte real e imaginária de uma grandeza 𝑥𝑘 é
apresentada a seguir:
114
𝑥𝑘,𝑟𝑒𝑎𝑙 = √2
𝑁∑ 𝑥𝑛,𝑘
𝑁−1
𝑛=0
∙ cos (2𝜋
𝑁𝑘 ∙ 𝑛) (5.7)
𝑥𝑘,𝑖𝑚𝑎𝑔 = √2
𝑁∑ 𝑥𝑛,𝑘
𝑁−1
𝑛=0
∙ sen (2𝜋
𝑁𝑘 ∙ 𝑛) (5.8)
𝑥𝑘 = 𝑥𝑘,𝑟𝑒𝑎𝑙 − 𝑗𝑥𝑘,𝑖𝑚𝑎𝑔 (5.9)
onde 𝑥𝑘,𝑟𝑒𝑎𝑙 é a parte real do fasor, 𝑥𝑘,𝑖𝑚𝑎𝑔 é a parte imaginária do fasor, 𝑘 corresponde 𝑘 −
é𝑠𝑖𝑚𝑎 componente harmônica, 𝑘 = 0,1,2,3… ,𝑀 − 1, e 𝑛 é o número da amostra no intervalo
∆𝑇, que é o intervalo de tempo uniforme entre as coletas do sinal, ou seja é o tempo entre a
coleta do primeiro zero até o número 4 totalizando 5 amostras. Por exemplo se a sequência
𝑥𝑛 = ⋯0,1,2,3,4,0,1,2,3,4,0,1,2,34,⋯ , pode-se dizer que 𝑁 = 5. Calculando por exemplo,
𝑥2,𝑟𝑒𝑎𝑙, tem-se:
𝑥2,𝑟𝑒𝑎𝑙 = √2
5∑𝑥𝑛,2
5−1
𝑛=0
∙ cos (2𝜋
52 ∙ 𝑛) (5.10)
Desdobrando (5.10), tem-se:
𝑥2,𝑟𝑒𝑎𝑙 = √2
5(
𝑥0,2 ∙ 𝑐𝑜𝑠 (2𝜋
52 ∙ 0) + 𝑥1,2 ∙ 𝑐𝑜𝑠 (
2𝜋
52 ∙ 1) +
𝑥2,2 ∙ 𝑐𝑜𝑠 (2𝜋
52 ∙ 2) + 𝑥3,2 ∙ 𝑐𝑜𝑠 (
2𝜋
52 ∙ 3) + 𝑥4,2 ∙ 𝑐𝑜𝑠 (
2𝜋
52 ∙ 4)
) (5.11)
A medição de um fasor pela DFT permite obter o ângulo de fase da grandeza, que
de acordo com (5.7), depende do instante de tempo em que a medição é iniciada.
Se o intervalo de amostragem for igual a um múltiplo inteiro do período da grandeza
medida (𝑇0 =1
𝑓0) , a DFT apresentará como resultado, a cada nova amostra, um fasor
constante. Caso contrário, isto é, se a frequência do sinal for diferente da frequência nominal
do sinal medido, a DFT apresentará como resultado uma sequência de fasores com magnitudes
quase constantes (pode ocorrer uma pequena diferença nas magnitudes que, para aplicações
práticas, normalmente vezes é negligenciado), mas com ângulos de fase variando
uniformemente numa taxa igual a (2𝜋(𝑓 − 𝑓0)𝑇0). Esta variação do ângulo de fase da grandeza
medida decorre do fato de que o instante (𝑡 = 0) da DFT correspondente ao início da janela de
medição, e se o período de amostragem não for múltiplo inteiro do período do sinal medido, o
instante inicial da medida ocorrerá em pontos diferentes da forma de onda cossenoidal. Isto
significa que, na prática, a aplicação da DFT a um sinal com frequência constante dará como
115
resultado um fasor com ângulo de fase constante, enquanto que se a frequência do sinal medido
for diferente da frequência nominal, será obtido um fasor girando com uma velocidade
proporcional à diferença entre a frequência do sinal e a frequência nominal.
A DFT permite obter convenientemente os valores de módulo e ângulo das
grandezas em diversos pontos do sistema. Entretanto, se as amostras das grandezas em cada
ponto de medição não forem obtidas no mesmo instante de tempo, os ângulos de fase resultantes
não estarão referidos a uma base de tempo comum, e não refletirão a defasagem entre os sinais.
Neste ponto importante é que a terminologia do sincronismo aparece, pois será
necessário haver uma sincronização de tempo no momento das medições, ou seja, uma única
referência de relógio.
Desta forma, para a medição da defasagem entre dois sinais é necessário sincronizar
os relógios utilizados para amostrar as duas grandezas. Para a sincronização das amostras em
um mesmo local, por exemplo, em uma subestação de energia, basta utilizar um mesmo relógio
para todas as medições.
Outros cuidados podem ser necessários (como a utilização de circuitos sample and
hold simultâneos) para garantir que os sinais foram obtidos no mesmo instante de tempo e
reduzir os erros de fase das medições. Estes circuitos são dispositivos analógicos que amostram
(captura, e retenção) a tensão de um sinal analógico continuamente variável e detém (bloqueios,
congelamentos) o seu valor a um nível constante por um período mínimo de tempo
especificado. Circuitos Sample and hold e detectores de pico relacionados são os dispositivos
elementares de memória analógicos, e são tipicamente usados em conversores analógicos /
digitais para eliminar variações no sinal de entrada, que pode corromper o processo de
conversão.
Quando os sinais a serem medidos estão afastados algumas centenas ou milhares de
quilômetros, o desafio é a obtenção de uma fonte de tempo única, com exatidão adequada à
medição e disponível em todos os locais de medição.
5.2.2 SINCRONIZAÇÃO
O sincrofasor, definido na norma C37.118 “IEEE Standard for Synchrophasors for
Power Systems” [46], é uma extensão do conceito de fasor, que utiliza uma base de tempo única
para a referência angular. O sincrofasor 𝑥 que representa um sinal 𝑥(𝑡) é uma grandeza
complexa. A base de tempo escolhida na norma é o UTC (do inglês, Universal Time
116
Coordinated). O UTC é um padrão de tempo baseado no IAT (do inglês, International Atomic
Time) com ajustes de um segundo adicionados em intervalos irregulares para compensar a
redução na rotação da Terra. Os ajustes de segundo são utilizados para fazer com que o tempo
UTC coincida com o tempo solar médio do meridiano de Greenwich (Reino Unido). O ângulo
da cossenóide é convencionado como 0∘ quando o valor máximo de 𝑥(𝑡) ocorre na transição
correspondente ao avanço do segundo (virada do segundo UTC), e –90° quando o cruzamento
por zero, no sentido positivo, ocorre na virada do segundo UTC. Esta convenção é definida na
norma C37.118 [46].
5.2.3 SINCRONIZAÇÃO DA BASE DE TEMPO
A precisão da sincronização da base de tempo das PMUs é fundamental para a
qualidade da medida. Uma diferença de 1μs na base de tempo de duas medidas fasoriais
corresponderá a uma diferença de fase de 0,022° (na frequência de 60 Hz). Estes números
mostram que é imprescindível a sincronização da base de tempo das PMUs para a exatidão
requerida para a maioria das aplicações desejadas, principalmente quando as grandezas a serem
medidas estejam localizadas em diferentes pontos do sistema elétrico [50].
Referências de tempo com disponibilidade em qualquer ponto do globo podem ser
obtidas através do GPS. Os GPS são sistemas compostos por diversos satélites, com o objetivo
principal de auxiliar a navegação, mas com aplicações em diversas outras áreas, como
cartografia, sincronização temporal, etc.
O sistema GPS mais utilizado atualmente é o NAVSTAR GPS desenvolvido pelos
Estados Unidos com finalidades militares e liberado para uso civil, sendo composto por uma
constelação de 32 satélites em órbita, sendo 30 operacionais, que transmitem sinais precisos de
tempo por ondas de rádio [84].
O sistema desenvolvido pela Rússia, o GLONASS que possui 28 satélites em órbita,
sendo 24 operacionais. O sistema GPS europeu denominado GALILEO, possui 8 satélites em
órbita e 4 operacionais. Ele foi desenvolvido para uso civil, e possui interoperabilidade com
GLONASS e o NAVSTAR GPS. O GALILEO pode ser utilizado como uma alternativa ao
sistema americano [84].
Existe também COMPASS ou BEIDOU que foi desenvolvido pela China,
possuindo 17 satélites em órbita, sendo 16 operacionais [84].
117
Há exatamente um ano a Rede Brasileira de Monitoramento Contínuo (RBMC) dos
sistemas GNSS passou a contar com mais de 100 estações, o que é considerado um marco para
o setor de Geodésia no Brasil. Cada estação da RBMC é equipada com um receptor GNSS
conectado a um link de internet, através do qual os dados são disponibilizados gratuitamente
no portal do Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE) [84].
5.2.4 TAG OU ETIQUETA DE TEMPO
As medidas fasoriais devem possuir uma etiqueta de tempo associada,
correspondente ao instante de tempo UTC em que a medida foi efetuada. A norma C37.118
estabelece que as etiquetas de tempo devam coincidir com a base de tempo UTC e com
múltiplos de períodos na frequência nominal do sistema de potência.
A etiqueta de tempo é composta por três números:
(i) a contagem do segundo do século, SOC (do inglês, Second Of Century),
correspondente ao número de segundos desde a meia noite do dia 01 de
janeiro de 1970;
(ii) a contagem da fração de segundo FRASEC (do inglês, Fraction of Second);
(iii) um indicador de status do tempo. O instante de tempo da medida é dado pela
expressão a seguir, onde TIME_BASE é o número inteiro de subdivisões do
segundo:
Time=SOC+FRASEC
TIME_BASE
(5.12)
O indicador de qualidade do tempo possui uma indicação de segundo bissexto, para
permitir o ajuste do tempo UTC com o tempo solar. Um detalhe importante do projeto de PMUs
está na forma como a etiqueta de tempo é anexada ao resultado medido. A determinação da
medida fasorial depende do tamanho da janela de medição utilizada pela DFT para calcular o
fasor. A exatidão da medida, em linhas gerais, está associada ao comprimento da janela de
medição utilizada, sendo seu comprimento um importante parâmetro para o projeto de uma
PMU [14]. Diversas formas de etiquetar os fasores calculados são possíveis (no início, no meio
ou no final da janela de medição), sendo que a mais utilizada corresponde ao posicionamento
da etiqueta de tempo no meio da janela de medição. Independente da discussão sobre a não
causalidade da PMU (se o tempo de medição seja definido como o início da janela de medição),
118
pode-se inferir que, se cada fabricante escolher uma forma diferente de etiquetar a medida, a
comparação dos resultados de diferentes PMUs apresentará erros de fase consideráveis, função
do comprimento da janela de medição utilizada e da técnica de etiquetagem [46].
Por exemplo, considere que duas PMUs possuam a mesma janela de medição, com
comprimento de cinco períodos da grandeza nominal (aproximadamente 83,3 milissegundos
num sinal em 60 Hz). Se um fabricante etiquetar o fasor no meio da janela de medição e o outro
no final da janela, as etiquetas de tempo estarão distantes uma da outra, aproximadamente 42
milissegundos, o que corresponderá a uma defasagem de 2,6 ciclos, na frequência de 60 Hz
[50].
5.2.5 PRECISÃO DAS MEDIDAS FASORIAIS
A precisão das medidas fasoriais é definida na norma C37.118 pelo TVE (do inglês,
Total Vector Error). A norma C37.118 requer que o TVE seja inferior a 1% para ambos os
níveis de conformidade (Nível 0 e 1), sendo que os mesmos se diferenciam pelos limites de
variação das grandezas de influência.
TVE = √(𝑥𝑟𝑒𝑎𝑙𝑚𝑒𝑑 − 𝑥𝑟𝑒𝑎𝑙)
2+ (𝑥𝑖𝑚𝑎𝑔
𝑚𝑒𝑑 − 𝑥𝑖𝑚𝑎𝑔)2
(𝑥𝑟𝑒𝑎𝑙2 + 𝑥𝑖𝑚𝑎𝑔
2 )
onde 𝑥𝑟𝑒𝑎𝑙 e 𝑥𝑖𝑚𝑎𝑔 são as partes real e imaginária do sinal de entrada, e 𝑥𝑟𝑒𝑎𝑙𝑚𝑒𝑑 e 𝑥𝑖𝑚𝑎𝑔
𝑚𝑒𝑑 são as
partes real e imaginária do sincrofasor medido.
A Tabela 5-I apresenta os limites das grandezas de influência para cada nível de
conformidade, variando de acordo com nível.
119
Tabela 5-I: Limites das grandezas de influência para cada nível de conformidade pela norma C37.118 [50]
Características Condições de Referência Limites das grandezas de influência
Nível 0 Nível 1
Frequência do Sinal 60 Hz ± 0,5 Hz ± 5 Hz
Magnitude do Sinal 100% da frequência
nominal
80% a 120% da
frequência nominal
10% a 120% da
frequência nominal
Ângulo de Fase 0 radianos ± π radianos ± π radianos
Distorção Harmônica
Total
< 0,2% 1% até qualquer
harmônica da ordem de
50ª
10% até qualquer
harmônica da ordem de
50ª
Sinal de Interferência
fora da Banda
< 0,2 % da magnitude do
sinal
1% da magnitude do sinal
de entrada
10% da magnitude do
sinal de entrada
Um TVE de 1% corresponde a um erro de fase máximo de 0,57°, se o erro de
módulo for considerado nulo. Este requisito de exatidão corresponde a um erro de tempo
máximo de ± 26 μs na frequência de 60 Hz.
5.2.6 CARACTERÍSTICAS DAS PMUS
Em linhas gerais as PMUs apresentam uma arquitetura funcional que descreve seu
funcionamento básico, ou seja, como é a sua composição em termos de componentes que a
compõe conforme a Figura 5-2.
Figura 5-2: Arquitetura funcional da PMU adaptado de [50]
120
As PMUs podem medir tensão, e corrente complexas, além da frequência, e
variação da frequência no tempo. As medições são apresentadas em grandezas de fase (A, B,
C), ou grandezas de sequência (positiva, negativa, zero), principalmente de sequência positiva.
Os fasores obtidos são transferidos às unidades de informação e concentradores de
dados das PMUs através dos protocolos estabelecidos pela Norma C37.118 [46]. Na
Figura 5-3 tem-se um diagrama exemplo de um sistema de medição fasorial, onde as PMUs
estão instaladas em pontos importantes de geração, e também estão conectadas aos satélites de
um sistema GPS, e conectadas aos seus servidores/concentradores de dados no centro de
controle, através de uma WAN (do inglês, Wide Area Network).
Figura 5-3: Esquema exemplo de um sistema de medição fasorial adaptado de [50]
121
Capítulo VI
6 A ALOCAÇÃO DE PMUS – LINHAS GERAIS
O problema de alocação de medidas em sistemas de energia elétrica faz parte das
funcionalidades da área de planejamento e engenharia de operações. A alocação de PMUs é um
problema de otimização que passa pela análise de observabilidade da EE para ter sua
formulação elaborada, e pode depender de aspectos topológicos e numéricos.
Para que seja possível monitorar e controlar os sistemas de energia elétrica é
necessário haver medições adequadas e redundantes para cada tipo de aplicação. O uso
adequado e a sobreposição e análise dos valores de medidas coletados e também a possibilidade
de relacionar estas informações a outras informações obtidas das redes cria um estágio de
inteligência que contribui para a melhoria das funcionalidades das áreas de operação e
planejamento.
Nos projetos de alocação de medidas devemos considerar os aspectos técnicos,
logísticos e econômicos e algumas questões genéricas devem ser consideradas, conforme
mostra a Tabela 6-I [12], [15] e [50].
Estes aspectos podem influenciar os protótipos de alocação de medidas
convencionais assíncronas e de PMUs, e nos estudos realizados tiveram influência na
montagem das funções de otimização. Na otimização da alocação técnica foram considerados
os aspectos da observabilidade numérica e topológica dos sistemas tratados, alocação mínima,
contingências de medidas (perda de uma medida, perda de duas medidas), contingência de
PMUs (perda de uma PMU), pré-alocação de PMUs e os aspectos de relevância de medidas
caracterizados pela MMR (do inglês, Maximum Measurement Redundancy).
122
Os aspectos mencionados acima foram adaptados para os modelos de rede nó-ramo,
com formulação linear, e modelo de rede multinível, onde são consideradas as subestações. Na
alocação não foram consideradas a inclusão de medidas assíncronas no intento de diminuir ou
modificar o número de PMUs alocadas, porque as formulações consideram a separação da EE
em domínio das medidas síncronas e domínio das medidas assíncronas, por entender-se que é
necessário separar a parte relativa aos dados da PMU, da parte relativa ao sistema SCADA
(assíncronas), por a primeira possuir um tempo de coleta muito inferior.
Foi realizada a separação da análise dos aspectos técnicos e econômicos para
facilitar o entendimento das diversas soluções e suas características.
Como existem muitas possibilidades de alocação de PMUs e, consequentemente,
de medidas, um conjunto pode ser mais apropriado que outro considerando uma cobertura mais
abrangente do que outro, embora ambos possam proporcionar uma EE com os critérios de
observabilidade atendidos, e ainda possuir custos próximos.
Tabela 6-I: Aspectos gerais da alocação de medidas
Técnicos ∘ Aplicações básicas do centro de controle às quais aquelas medidas
devem atender.
∘ Características das medidas a serem instaladas (síncronas ou
assíncronas).
∘ Tipos de medidas a serem consideradas (tensões, correntes, fluxos de
potência, etc).
∘ Quantidade de cada tipo de medida que deverá ser instalada.
∘ Equipamentos a serem utilizados e como aproveitar o máximo de suas
funcionalidades e configurações possíveis.
∘ Fornecedores dos equipamentos e suas políticas contratuais e de
vendas.
∘ Padrões de engenharia usados pelos fornecedores aprovados por órgão
competentes.
∘ Requisitos de telecomunicações, e de tecnologia de informações para
uma planta que tenha plano de continuidade e seja robusto no quesito
de falhas.
∘ Existência ou não de equipamentos de medição em determinadas áreas
da rede e suas características.
∘ Histórico de falhas ocorridas na rede.
Logísticos ∘ Geografia das medições em relação à topologia da rede, lugares de
difícil acesso, distâncias físicas das áreas de manutenção.
∘ Tempo necessário para restauração para cada conjunto de medição.
∘ Tipo de medição e possibilidade de intervenção remota ou não para
ajustes e configuração.
∘ Tipo de equipe de manutenção em função das tecnologias utilizadas.
Financeiros ∘ Custos de instalação em novas partes da rede.
∘ Custos de instalação em partes da rede já existentes.
∘ Custos de manutenção.
∘ Custos de telecomunicações, tecnologia da informação, de
continuidade dos negócios para a planta de medições.
123
6.1 O PROBLEMA DA ALOCAÇÃO DE MEDIDAS/PMUS
Uma revisão sobre a importância das análises de observabilidade foi introduzida no
Capítulo 3, com a apresentação de alguns métodos e pesquisas relacionadas.
Na década de 1990 Clements [65] publicou um trabalho onde os métodos de análise
de observabilidade foram apresentados, assim como técnicas para selecionar as medições para
as redes de energia elétrica. O conhecimento e teoria dos algoritmos de análise de
observabilidade foram discutidos e conceitos e definições de observabilidade foram
apresentadas. O autor utilizou um modelo linear de rede, e avaliou questões de observabilidade
numérica, observabilidade topológica, pseudomedidas e ilhas observáveis e a avaliação para
realização de alocação ótima de medidores.
Na década de 2000 London, Brito e Bretas [85] realizaram estudos e proposições
interessantes para alocação de medidores e RTUs do ponto de vista da EE.
Assim, a observabilidade completa é um requisito crucial para a EE, e medidas
devem ser estrategicamente distribuídas pela rede. Baseada nestas medidas, a EE provê uma
estimação do estado de operação do sistema, garantindo sua consistência com o conjunto de
medidas coletadas. Um sistema é dito observável se todos os seus fasores de tensão podem ser
estimados [14] e [86].
A tecnologia de medições fasoriais baseada no sistema GPS, em redes de
comunicação, em técnicas de processamento digital, tornou-se um importante recurso nos
sistemas de potência [14]. As PMUs proveem a sincronização cronológica de fasores em tempo
real e são elementos relevantes na estimação de estado de grandes áreas nas redes de
transmissão, porque elas podem proporcionar a melhoria da identificação de erros topológicos,
erros grosseiros, e erros de parâmetros desde que instaladas em locais estratégicos, e eventuais
reavaliações dos estudos sobre a observabilidade exigida pela EE concomitante com medidas
convencionais para propósitos de melhorar os estimadores convencionais, conforme [87], [88],
[89] e [90].
De fato, as PMUs melhoraram consideravelmente o monitoramento, análise e
controle dos SEP, como resultado de sua precisão e velocidade, se comparadas com as medições
convencionais. Suas vantagens sobre o sistema SCADA foram detalhadas e reconhecidas em
[91].
As PMUs se enquadram na categoria dos IEDs, e podem prover medidas
sincronizadas de fasores de tensões e correntes (podendo estas ser fluxo de corrente nos ramos
ou injeção nodal de corrente) incidentes nas barras onde estão conectadas. O sincronismo das
124
PMUs nos SEP é obtido através do uso da tecnologia GPS. Considerando a primeira Lei de
Ohm (𝑉 = 𝑍 ∙ 𝐼), sempre que uma PMU é conectada a um nó, todos seus vizinhos tornam-se
observáveis também, e estas informações são utilizadas no caso de termos a estimação no nível
nó-ramo [10]. Ainda, se os fasores de tensão estão disponíveis em ambas as extremidades de
um ramo, é possível obter a corrente do ramo usando a Lei das Tensões de Kirchhoff. Também
é possível utilizar a informação da tensão do nó e as correntes dos ramos adjacentes para obter
a tensão nos nós adjacentes. O uso da Lei das Correntes de Kirchhoff pode também ser usada
para determinar a corrente dos ramos [14].
Mesmo com o custo das PMUs diminuindo ultimamente, os aspectos logísticos,
econômicos e de arquitetura limitam a instalação de PMUs em todos os nós das redes de energia
elétrica, conforme [92] e [93]. De fato, é comum a prática de instalar PMUs nas subestações
que sofrem um remodelamento e modernização. Uma solução técnica e economicamente
eficiente consiste em instalar PMUs nos nós estratégicos, a fim de garantir a observabilidade
do sistema, ainda mais utilizando ferramentas de análise de circuitos elétricos, que pode ecoar
uma solução técnica e econômica viável.
O problema de alocação de PMUs pode ser definido como um problema de
otimização, e muitas propostas de soluções e abordagens estão disponíveis [94]. Com isto um
número de referências significativo pode ser avaliado e suas soluções comparadas.
Um método de otimização que utiliza BPS (do inglês, Binary Particle Swarm) para
prover a alocação mínima de PMUs, com MMR, e alocação na presença de medidas
convencionais foi proposta em [95].
Em [96] um método que utiliza SA (do inglês, Simulated Annealing) foi usado. Em
[97] um método que utiliza GA (do inglês, Genetic Algorithm) foi apresentado. A 3SHA (do
inglês, Three-stage Heuristic Algorithm) para alocação mínima de PMUs, considerando
contingências de PMUs, foi apresentado em [98]. Em [99] um método que utiliza IGA (do
inglês, Immunity Genetic Algorithm) foi aplicado. O algoritmo utiliza um critério de vacinação,
e assim exclui alguns nós do processo de alocação. Em [100] um NSGA (do inglês, Non-
dominated Sorting Genetic Algorithm) foi proposto para a realização simultânea da alocação
mínima de PMUs e a maximização do MMR, mas em alguns casos o algoritmo pode obter
resultados não observáveis. Um método de alocação ótima de PMUs com o mínimo número
medidas de fasores de corrente para observabilidade completa e incompleta foi apresentado em
[101]. Muitos dos métodos mencionados anteriormente não levam em conta alguns aspectos
como: perda de medidas das linhas, perda de PMUs, e melhoria da redundância.
125
Uma abordagem utilizando o duo informação-teórico (do inglês, Information-
theoretic) para a alocação de PMUs foi proposta em [102], baseada na informação mútua entre
as medidas da PMUs e o estado do SEP. Um rápido algoritmo de alocação de PMUs baseado
na matriz de covariância permitiu a alocação gradual de PMUs. Embora as perdas de certas
medidas tenham sido consideradas, o método proposto não considera a redundância de medidas,
perda de PMUs e perdas de medidas das linhas de transmissão.
Um BSA (do inglês, Binary Search Algorithm) foi proposto em [103]. O método
abordava a alocação mínima de PMUs, perdas de medidas de linhas, perdas de PMUs, e
considerava a presença de medidas convencionais. Entretanto, o MMR em certas condições não
é mencionado, e o uso de medidas convencionais deve ser discutido mais uma vez, pois os
benefícios de seu uso dependem do método e do modelo da EE utilizada.
Os métodos que utilizam ILP (do Inglês, Integer Linear Programming) têm sido
largamente utilizados para o problema de alocação de PMUs. Em [91] um método ILP baseado
na minimização da covariância dos erros da EE foi proposto considerando a saída aleatória de
componentes da rede, e usado para EE estática e dinâmica.
Um método de alocação de PMUs que considera algumas contingências e
restrições, como por exemplo, redundância de medidas e PMU, restrição para não alocação de
PMUs nos nós de injeção zero, foi proposto em [104], considerando os efeitos das perdas de
PMU e perdas de medidas das linhas. Entretanto, em alguns casos resultados infactíveis foram
apresentados segundos os critérios de observabilidade apresentados neste trabalho. Em [89] um
dos primeiros métodos que utilizavam ILP foi apresentado. Ele era capaz de alocar PMUs
suficientes na presença de barras ZIBs (do inglês, Zero Injection Buses) e medidas de fluxos de
potência.
Um método que considera a SEP com ou sem medidas convencionais foi proposto
em [105]. Entretanto, a ocorrência de contingências não foi levada em conta. Um método IQP
(do inglês, Integer Quadratic Programming) foi proposto em [106], considerando perda de
medidas das linhas, perda de PMU, e medidas convencionais, mas o número de PMUs foi maior
que o provido pelo método proposto nesta tese, e o MMR não foi abordado. Um método baseado
em restrições para a alocação mínima de PMUs foi apresentado em [107], com adição de duas
medidas de injeção, e que considerava contingências de linha e de PMU, mas neste caso o MMR
não foi tratado. Uma nova formulação baseada em ILP foi proposta para uma programação
multiestágio de alocação de PMUs em [92]. Embora o método considerasse a perda de PMU,
perda de medidas das linhas não foram incorporadas. Um ILP binário considerando a
126
observabilidade do sistema, e a máxima economia de medição como objetivo foi proposto em
[93]. A perda de medidas das linhas não foi considerada neste caso.
Recentemente um método de alocação de PMUs para observabilidade e detecção
de erros foi apresentado em [108] usando ILP e conceitos de conjuntos críticos de medidas. Um
método multiobjetivo com alocação mínima, considerando redundância de PMU, MMR, e
alocação considerando medidas convencionais foi proposto em [109], entretanto alguns
aspectos numéricos não foram levados em consideração. Em [110] um método de alocação
incremental de PMU foi proposto considerando aspectos de probabilísticos e eventos,
entretanto, a probabilidade deve ser convertida em aspectos MMR para classificar os planos de
alocação para observabilidade. Em [111] uma alocação ótima de PMUs considerando o controle
de ilhas do SEP foi apresentado. Este método considera MMR, alocação mínima e a
possibilidade de contingências.
6.2 COMENTÁRIOS GERAIS SOBRE OS MÉTODOS DE ALOCAÇÃO
A maioria dos métodos citados na Seção 6.1 são capazes de prover bons planos de
alocação de PMUs, e alguns deles são capazes de tratar perdas de PMU, e contingência de
linhas. A maioria deles considera aspectos topológicos, mas poucos consideram aspectos da
observabilidade algébrica e numérica. Alguns deles consideram os aspectos MMR e a presença
de medidas convencionais na formulação do problema. Na verdade, a observabilidade pode
sempre ser melhorada ou alcançada se medidas adicionais forem incluídas na formulação da
EE, e também a redundância de PMUs. Realmente, as medidas convencionais estão disponíveis
nos SEP, assim como as medidas fasoriais, mas as últimas estão sendo incluídas gradualmente
para melhorar o monitoramento e controle dos SEP. Também a presença de PMUs permite o
uso de modelos lineares da EE em algumas porções dos SEP conforme [110], e [111]. Embora
um número suficiente de medidas fasoriais não esteja disponível nos SEP, parece que se as
medidas convencionais assíncronas do SCADA forem incluídas no processo de otimização da
alocação de PMUs, a formulação da EE deve ser não linear, ou linearizada, e as vantagens
destes procedimentos não foram plenamente confirmadas ainda.
Neste trabalho, é assumido que todas as medidas são originárias das PMUs. O
estimador de estado baseado em PMUs também tem a vantagem de uma resposta dinâmica mais
rápida, devido a uma alta taxa de amostragem, e esta funcionalidade é particularmente
127
importante para o SEP, em um cenário envolvendo fontes de energia renováveis altamente
voláteis.
Há muitos trabalhos de pesquisa publicados em OPP (do inglês, Optimal PMU
Placement), mas é importante ressaltar algumas pequenas contribuições desta parte do trabalho.
Um GA está apto a prover não só uma solução ótima, mas um conjunto de soluções de boa
qualidade para o problema de alocação de PMUs. Embora em [94] os autores recomendem o
uso de métodos baseados em ILP, o GA pode ser facilmente implementado, e pode acomodar
mudanças na função de desempenho (fitness) e combinar objetivos complexos. O método
proposto considera a alocação mínima de PMUs, assim como considera a perda de PMU,
alocação que preserva a observabilidade exigida pela EE em caso de perdas de medidas das
linhas (perda de uma medida e perda de duas medidas). O método também combina aspectos
numéricos e topológicos na análise de observabilidade. É possível definir a pré-alocação de
PMUs nos nós considerados relevantes por quaisquer razões técnicas, assim como considerar
nós que já possuam PMUs previamente instaladas. O método também permite alocar um
determinado número de PMUs, para a completa observabilidade ou não. Metas como
indicadores de observabilidade, redundância de PMU, alocação mínima com cobertura para
redundância de perdas de medidas das linhas, foram consideradas. O CPI (do inglês, Coverage
Performance Indicator) é introduzido neste trabalho como um critério similar ao MMR.
Aspectos complementares como a presença de informação de ZIBs são também consideradas.
Múltiplos planos técnicos de alocação podem ser obtidos e confrontados economicamente, as
respectivas análises econômicas são avaliadas separadamente das análises técnicas, depois de
soluções técnicas de alta qualidade serem obtidas.
Vários artigos disponíveis na literatura foram selecionados para comparações de
resultados. Em termos de métodos de alocação foram encontrados métodos numéricos,
heurísticos, e metaheurísticos, como por exemplo, os algoritmos genéticos.
Os algoritmos de alocação de PMUs em sua grande maioria trabalham com o
modelo nó-ramo e com modelagem linear para o estimador de estado com a formulação 𝐼 =
𝑌 ∙ 𝑉. Assim, modelam suas funções e equações para formar as respectivas funções objetivo, e
assumem que quando se define a alocação de uma PMU em um nó ela poderá medir a tensão e
injeção de corrente no nó e todos os fluxos de corrente que saem dele.
Durante o processo de investigação verificou-se que a alocação no modelo nó-ramo
poderia não atender à expectativa das novas proposições dos estimadores de estado multiárea
distribuídos conforme trabalhos publicados em [29], [27], [28], [29], [30], [31], [32], [33], [34]
128
e [35]. Algumas destas novas propostas separam o estimador de estado em níveis e, além desta
divisão, consideram as características das medidas para separar as partes do estimador.
Também foi selecionado para estudos de alocação, além do modelo nó-ramo da EE,
considerando múltiplos níveis, o modelo da EE de Yang, Sun e Bose [10] e [11], por apresentar
vantagens sobre os demais no sentido de dividir a estimação de estado nos níveis da subestação
e nó-ramo, de forma a obter maior precisão, independência e portabilidade, podendo conviver
com os estimadores não lineares já existentes sem que seja necessário alterar significativamente
suas formulações. Também secciona o problema de forma a melhorar a sua precisão e facilitar
o processamento através da distribuição de funcionalidades.
Sendo assim o problema de alocação será dividido em duas partes, a alocação
considerando o modelo nó-ramo e a alocação considerando os estimadores multiníveis.
Há aspectos em comum entre ambos os problemas, embora as análises sejam
diferentes, sendo assim, os recursos do GA podem ser aplicados a ambos com alguns ajustes de
acordo com a formulação da EE.
129
Capítulo VII
7 ALOCAÇÃO DE PMUS – MODELO NÓ-RAMO
7.1 IDEIA GERAL
O problema de alocação de PMUs pertence à categoria dos problemas de alocação
de equipamentos, que têm natureza combinatória. Cada plano de alocação de PMUs deve ser
avaliado em termos da sua capacidade de atingir primeiramente requisitos técnicos e depois
econômicos. Neste trabalho, um plano de alocação é considerado de boa qualidade se prioriza
os seguintes requisitos:
a) Ter um número mínimo de PMUs alocadas aos nós da rede, para atender a
observabilidade exigida pelo estimador de estado, no caso da alocação mínima,
e da alocação com um número de PMUs maior que o mínimo;
b) Resultar em um sistema observável no caso de alocação mínima, da alocação
que considera a possibilidade de perda de PMU, alocação de um número de
PMUs maior que o mínimo quando o número de PMUs a serem
obrigatoriamente alocadas é especificado;
c) Resultar em um sistema não observável se, e somente se, por opção desejar-se
alocar um número de PMUs menor que o mínimo encontrado para atender a
observabilidade exigida pelo estimador de estado;
d) Ter um grande número de medidas fasoriais alocadas na rede, decorrentes da
alocação da PMU, baseado nos critérios adotados de associação de medidas à
PMU;
130
e) Prover a melhor possibilidade de cobertura no caso de perda de medidas.
O problema de alocação de PMUs com os requisitos citados acima é um problema
onde a formulação matemática pode se tornar complexa, assim como o método de solução.
Neste caso, metaheurísticas e em particular algoritmos genéticos, são recomendados [15],
[112], [113], [114], e [115]. A ideia então é definir uma função chamada de fitness (neste
trabalho representada por y), baseada nos requisitos de (a) a (e) mencionados nesta Seção
anteriormente, os quais medirão a qualidade de cada plano de alocação considerando os
aspectos técnicos. Para a parte econômica também são considerados aspectos e indicadores
econômicos como por exemplo o valor presente líquido entre outros, que serão detalhados na
Seção 7.5, e neste caso a função de fitness econômica será representada por 𝑓. Os problemas
técnico e econômico são respectivamente representados por:
min𝑦 (7.1)
e, portanto, o melhor plano de alocação de PMUs será aquele que tiver o menor valor de y, e:
min𝑓 (7.2)
e o melhor plano de alocação de PMUs será aquele que tiver o menor valor de f.
A ideia de separar análises em um primeiro momento é fundamentada na
importância de se ter uma excelente solução técnica primeiro analisando todas os objetivos e
restrições definidos representadas pela sua função de fitness 𝑦. A análise econômica é muito
importante mas pode variar muito mais que a parte técnica em função dos períodos de execução
do projeto, taxas de juros, taxas de remuneração, e de reinvestimento, lembrando que análise
econômica não se resume apenas a análise de custos e que têm objetivos que conflitam com os
objetivos da parte técnica. Na parte econômica também são considerados aspectos e
indicadores econômicos como por exemplo o valor presente líquido entre outros, que serão
detalhados na Seção 7.7, e neste caso a função de fitness econômica será representada por 𝑓.
7.2 ALGORITMO GENÉTICO
Para os estudos de alocação de PMUs/medidas o método de otimização utilizado
foi um GA. Esta metaheurística foi desenvolvida baseada nos critérios reprodutivos e de
seleção natural provenientes das teorias evolutivas das espécies iniciada com Charles Darwin
[116] e [117].
131
A técnica empregada parte da premissa que o problema de alocação mapeia um
local e um tipo de medida para ser alocada. Assim, a alocação pode ser representada por um
cromossomo, sendo suas características baseadas na presença ou não de um equipamento, ou
de uma medição em um determinado nó ou seção de barramento.
Existe uma recomendação para que os problemas de alocação de equipamentos que
possuam grandes possibilidades combinatórias sejam modelados utilizando GA [15].
Foram utilizados GAs tanto nos estudos de alocação no nível nó-ramo como
também nos estudos de alocação nas subestações, embora estes últimos possuam dimensões
menores. Isto foi possível porque a função de desempenho que avalia a alocação nos dois casos
foi desacoplada do GA funcionando como um parâmetro configurável. O algoritmo é dividido
basicamente em duas partes: a parte de inicialização e a parte de reprodução, que de forma
simplificada podem ser descritas como:
a) Inicializar parâmetros do GA
b) Definir tamanho e gerar População Inicial 𝑝(𝑡)
c) Selecionar uma parte de indivíduos mais aptos (função fitness)
d) Aplicar operadores de reprodução com estes indivíduos (cruzamento/
crossover)
e) Aplicar operadores de mutação em um percentual dos melhores indivíduos
f) Montar nova população de descendentes 𝑝(𝑡 + 1). Se o critério de parada foi
satisfeito, encerrar. Senão, voltar ao passo (c).
No GA implementado a população inicial pode ser gerada aleatoriamente, ou
escolhida a partir de uma simulação anterior cujos melhores resultados tenham sido gravados,
e a nova população é gerada aleatoriamente a partir destes dados. Foi definida uma função de
fitness para poder classificar e assim melhorar a variedade das populações descendentes através
da função de seleção de acordo com objetivos específicos norteado pelo problema de alocação
de PMUs expostos na Seção 6.2, e no início do Capítulo 7, por exemplo, alocação mínima com
máxima cobertura de medidas, alocação mínima com redundância de PMUs e máxima
cobertura de medidas. A função de seleção foi criada através da simulação de uma roleta com
as faixas para se escolher os melhores indivíduos para serem os genitores das futuras
populações, e esta é que realiza o processo virtual da seleção natural.
O controle da reprodução é tarefa importante no GA, onde um percentual de
indivíduos com excelente função de fitness é preservado nas próximas gerações e outros são
obtidos através de funções de cruzamento (crossover). A função de cruzamento foi elaborada
no estilo broadcast, onde um vetor aleatoriamente gerado define quais genes de cada
132
cromossomo genitor serão utilizados e em que posições no novo cromossomo do filho. Um
percentual da nova geração/população é obtido através do método da mutação obtido através
de pequenas mudanças aleatórias nos genes de alguns genitores escolhidos. Os critérios de
parada que podem ser utilizados são número de gerações, taxa de variação da função de fitness
de uma população para outra, limite do tempo de CPU, ou valor limite para a função de fitness.
Em linhas gerais cada plano de alocação de PMUs candidato é representado por um
cromossomo (vetor) chamado 𝑥𝑝, onde cada gene (posição) é preenchido com um ou zero,
respectivamente quando uma PMU é alocada ou não em um nó ou barra em particular.
Baseado no cromossomo 𝑥𝑝 um vetor expandido de medidas chamado 𝑥𝑚 é
obtido. Enquanto 𝑥𝑝 indica a localização das PMUs, 𝑥𝑚 contém as medidas disponíveis depois
que as PMUs são alocadas, respectivamente as medidas de injeção de corrente nodal, tensão
nodal, fluxo de corrente das linhas incidentes nos nós com PMUs. É importante notar que alguns
trabalhos na literatura não consideram as medidas de injeção de corrente nodal na formulação
dos problemas. Assim, a condição de observabilidade do plano de alocação de PMUs depende
do número e posição das medidas, e um certo plano de alocação pode ser observável ou não
dependendo de quais medidas são consideradas.
Considere a rede exemplo de três barras da Figura 7-1.
Figura 7-1: Sistema de três nós
Se PMUs forem instaladas nos nós 1 e 2, os vetores 𝑥𝑝 e 𝑥𝑚 serão:
1 2 3
xp = 1 1 0 e,
I1 I2 I3 I1,2 I1,3 I2,3 I2,1 I3,1 I2,3 V1 V2 V3
xm = 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0
É fato conhecido que não há garantias que um GA apresente convergência para uma
solução ótima global do problema de alocação, embora o GA proposto tenha obtido resultados
133
muito próximos dos fornecidos pelos métodos ILP (os quais serão apresentados na Seção 7.8).
É possível que o GA convirja para um ótimo local, e que ocorra uma convergência prematura.
Este fenômeno é chamado de deriva genética (genetic drift) [112], que significa que a
diminuição da variação na frequência relativa dos diferentes genótipos em uma pequena
população, devido à possibilidade desaparecimento de genes específicos, pelo descarte ou
morte de indivíduos que assim não se reproduzem, e isto ocorre com mais frequência em
populações pequenas. Um dos fatores mais importantes que determina o desempenho do GA é
a diversidade da população. Se a diferença média da função de fitness entre os indivíduos é
grande, a diversidade é alta, se a diferença média é pequena, a diversidade é baixa. Se a
diversidade é muito alta ou muito baixa, o algoritmo genético pode não ter um bom
desempenho.
Além disso, é mais provável que este problema ocorra quando um GA é usado para
resolver os problemas multiobjetivo onde uma única solução é pedida, em vez de um conjunto
de soluções de Pareto 3 [113], onde o conceito de dominação e não dominação pode ser
observado, considerando que um determinado plano de alocação 𝑥𝑝1 é dito não dominado por
um outro plano de alocação 𝑥𝑝2, quando em todos os aspectos da função fitness ela é tão boa
quanto 𝑥𝑝2, e em pelo menos um dos aspectos 𝑥𝑝1 é melhor que 𝑥𝑝2.
De modo a reduzir as chances de uma deriva genética, é crucial preservar a
diversidade da população ao longo do processo. Um grande número de técnicas tem sido
proposto para reduzir as chances de deriva genética e manter a diversidade da população. Entre
elas foram usadas, a pré-seleção, exclusão de indivíduos com cromossomos duplicados,
mudança dinâmica da função de seleção, para evitar e limitar os efeitos do superindivíduo como
pai. Também foram propostos métodos de aninhamento (niching) como a partilha da função de
fitness [112], onde na próxima geração a população é mesclada com indivíduos com os piores
resultados das funções fitness, e a separação das simulações de ordem técnica e econômica, e
método de aglomeração (crowding), onde um grupo de indivíduos não importando a geração
(filhos e pais) são preservados para a próxima geração de acordo com os critérios de seleção.
Outras técnicas foram implementadas como a inicialização da população com
(𝑛/4) genes aleatórios do cromossomo 𝑥𝑝 configurados com um para a alocação mínima, e
(𝑛/2) genes aleatórios para a alocação considerando perda de PMU. O tamanho inicial da
população pode ser automaticamente ajustado de acordo com o tamanho da rede. Finalmente
3 Crédito ao italiano Vilfredo Pareto, um dos primeiros a usar tal conceito em seus trabalhos
134
pode ser feita uma utilização apropriada da função de mutação nas operações da GA, para criar
a diversidade, por exemplo, caso ela fique escassa se mapeada através da variação da função de
fitness nos indivíduos, pode-se aumentar o percentual de descendentes que serão gerados pela
mutação e mudar o percentual da mutação. Assim, foram realizadas diversas adaptações nos
algoritmos genéticos básicos encontrados na literatura [114] e [115] para melhorar o
desempenho e a pesquisa de soluções, que são descritos nas Tabelas 7-I, e 7-II a seguir através
de objetos e métodos definidos.
Tabela 7-I: Adaptações do GA - parte 1
Objetos/Métodos Descrição
Cromossomo Cada indivíduo da população representa uma solução e possui um cromossomo, é
codificado por um array, cujas posições são os genes que representam uma
determinada PMU/medida em uma posição. O tamanho do indivíduo/cromossomo
pode corresponder ao número de nós, seções, ou medidas possíveis. Por exemplo,
uma rede com 14 nós poderá ter 14 posições para alocação de PMUs.
População É um conjunto de diferentes indivíduos/cromossomos de tamanho e caracterização
idêntica, e seu tamanho é fixado nos procedimentos de avaliação do GA.
Função de
Desempenho
Esta função é utilizada pelo GA, e é componente mais importante, nela são
desenvolvidas as equações que definem porque um indivíduo é melhor do que outro,
e qual é o seu indicador de performance equivalente a um valor que é utilizado nos
processos classificatórios, combinatórios realizados pelo GA durante a operação do
algoritmo.
Inicializa
parâmetros do
GA
Define tamanho da população, critérios de parada da simulação e qual ou quais serão
utilizados, o número de intervalos ni para ocorrer a migração de indivíduos entre a
população p e p+1, número nm de indivíduos que estarão no processo migratório
entre populações.
Inicializa a
população
Baseado em alguns parâmetros de entrada é possível gerar aleatoriamente uma
população de tamanho np considerando fatores como o número mínimo de
PMUs/medidas necessário, ou o número de PMUs/medidas desejado. Pode-se partir
do zero e gerar qualquer combinação de indivíduos sem nenhum critério, pode-se
recuperar a última população se uma simulação do histórico de simulações, e ainda
gerar população considerando os critérios de pre-alocação.
Seleciona
Função de
desempenho
Seleciona a função de desempenho (fitness) de acordo com o problema relacionado
permitindo um desacoplamento e portabilidade do algoritmo genético para fins
diversos.
135
Tabela 7-II: Adaptações do GA - parte 2
Objetos/Métodos Descrição
Seleção O processo de seleção é a operação que realiza a triagem verificando quais indivíduos
de acordo com os valores de sua função de desempenho serão selecionados para
serem os genitores da próxima população. Serão descritos posteriormente.
Escolhe função
de seleção
Foram desenvolvidas duas funções para este algoritmo, a função de roleta e de
torneio, por serem mais simples e mais comuns na literatura [117]. Entretanto outras
funções poderiam ser acopladas ao algoritmo já que o método realiza a seleção da
função permitindo a escolha de uma diferente que esteja na biblioteca de métodos.
Inicializa
parâmetros de
Cruzamento
(crossover)
Define percentual de cruzamento para o pai e para a mãe, ou seja, quantos genes o
filho herdará do pai e quanto herdará da mãe. Geralmente o valor padrão é 50% pai
e 50% mãe, onde a mãe possui função de desempenho maior ou igual ao pai, define
o número nc de indivíduos da população seguinte p+1 que serão gerados a partir do
cruzamento, o restante será gerado a partir de um único indivíduo através do processo
de mutação.
Geração de parte
da nova
População com
crossover
Preparar dois a dois os indivíduos/cromossomos da população p anterior (genitores)
para realizar a função de cruzamento (crossover) que resultará em um novo indivíduo
na nova população p+1, o número de indivíduos gerados na população p+1 é
equivalente à nc.
Geração de parte
da nova
População com
mutação
Selecionar os np-nc indivíduos da população p para serem a semente que dará
origem a um novo indivíduo através do processo de mutação de um número
específico de genes, para a próxima população p+1. Ou ainda pode ser especificado
o número de genes que sofrerão este processo. Os genes são escolhidos
aleatoriamente.
Geração de parte
da população
com migração
Após um número específico de iterações ni, o algoritmo substitui os nm piores
indivíduos da população p+1 pelos n melhores indivíduos da população p
Salvar os
melhores
resultados
Salva os melhores resultados de uma simulação do GA armazenando o sistema
utilizado e os k melhores resultados.
Funções de Seleção
Torneio
Cada indivíduo da população 𝑝 cujo tamanho é 𝑛𝑝 possui uma função de
desempenho e é classificado, recebendo um número inteiro de identificação no intervalo de
[1, 𝑛𝑝]. Feito isto, é escolhido o número de indivíduos 𝑛𝑖 que participarão do torneio. São
realizados 𝑛i sorteios e é escolhido o indivíduo que apresentar o melhor valor da função de
desempenho para ser um dos genitores da próxima geração [114], [115], [116], [117].
136
Roleta
Simula uma roleta com a área de cada seção proporcional à sua expectativa. O GA
usa então um número aleatório para selecionar uma das seções com uma probabilidade igual a
sua área, conforme exemplificado na Tabela 7-III. Quando existem diferenças muito grandes
de percentuais para os indivíduos, a diversidade do GA pode ficar comprometida [114], [115],
[116], [117].
Tabela 7-III: Cálculo de áreas da roleta
Indivíduo Cromossomo Função de Desempenho % Área Roleta Casa
1 101010 41 41% [1-41]
2 010101 29 29% [42-70]
3 110100 13 13% [71-83]
4 101001 8 8% [84-91]
5 011001 6 6% [92-97]
6 010101 3 3% [98-100]
Total 100 100%
Com a Tabela 7-III é possível construir a roleta representada pela Figura 7-2, e o
giro da roleta é simulado realizando uma geração aleatória de um número 𝑟 no intervalo de
[1,100], que representa a casa e assim, se por exemplo for sorteado o número 85, o indivíduo
4 será selecionado para ser um dos pais de um filho na população seguinte. E assim
sucessivamente são realizadas as escolhas para os respectivos genitores.
Figura 7-2: Disco representativo da roleta
Cruzamento Sortido
O cruzamento sortido é utilizado para criar uma diversidade maior na genética dos
descendentes. Para poder entendê-lo vamos primeiramente criar um vetor cujo tamanho é 𝑛, o
41%
29%
13%
8%
6%
3%
% Área Roleta
1
2
3
4
5
6
Indivíduos
Associados
Casas 1-41
Casas 42-70
Casas 71-83
Casas 84-91
Casas 92-97
Casas 92-100
137
mesmo do cromossomo do indivíduo descendente e dos genitores. Posteriormente, sorteia-se
um número no intervalo de zero até (2𝑛 − 1), e converte-o para o valor binário. Assim, temos
um vetor de código genético preenchido com valores iguais a zero e um. Este vetor de código
indica que, se em uma determinada posição temos o número 1 devemos pegar este gene na
mesma posição do cromossomo do progenitor pai, e se for igual a 0 devemos pegar o
correspondente gene na posição do cromossomo da mãe. Assim, fazemos a varredura do vetor
de código genético, para saber que gene se deve pegar de cada progenitor para montar o
cromossomo de cada indivíduo descendente.
Exemplo 1
Pai = [a b c d e f g h]
Mãe = [1 2 3 4 5 6 7 8]
Vetor código genético = [1 1 0 0 1 0 0 0]
Posições 1 virão do pai [1 2 5]
Posições 0 virão da mãe [3 4 6 7 8]
Descendente = [a b 3 4 e 6 7 8]
Exemplo 2
Pai = [1 0 1 0 1 0 0 1]
Mãe = [1 1 1 0 0 0 1 1]
Vetor código genético = [1 1 0 0 1 0 0 0]
Posições 1 virão do pai [1 2 5]
Posições 0 virão da mãe [3 4 6 7 8]
Descendente = [1 0 1 0 1 0 1 1]
Função de Mutação
A mutação realiza pequenas mudanças aleatórias nos indivíduos da população que
serão utilizados como semente para a próxima geração e podem proporcionar diversidade
genética e permitir ao GA caminhar em outras áreas do espaço de soluções.
Adiciona-se um número aleatório no intervalo discreto [0,1] correspondente cada
gene do cromossomo de um indivíduo semente, ou seja, poderá assumir apenas o valor zero ou
o valor um. Então, se o cromossomo do indivíduo tem oito genes, haverá oito números
aleatórios gerados. Depois, é realizada uma soma binária dos oito genes gerados que formaram
um novo cromossomo, com o cromossomo do indivíduo semente, para determinar o novo
descendente gerado [114], [115], [116].
7.3 COVERAGE PERFORMANCE INDICATOR - CPI
O CPI (do inglês, Coverage Performance Indicator) é um índice proposto neste
trabalho para comparar soluções obtidas pelo GA, provendo informações sobre o nível de
redundância do conjunto de medidas. Ele foi adotado como um parâmetro global para melhorar
a alocação de PMUs, e é utilizado como um critério de refinamento. Ele poderia ter sido baseado
em teorias sobre o conceito de medidas críticas, ou conjunto críticos, mas o objetivo maior da
138
alocação mínima é obter um número mínimo de PMUs, se for criada uma exigência de
atendimentos de critérios de redundância mínimos por nó poderia desencadear a alocação de
PMUs extras, e para este nível de redundância tem-se a alocação de PMUs com possibilidade
de perda de uma PMU e manutenção da observabilidade requerida.
O CPI é calculado usando informações das medidas e da matriz que relaciona
medidas em função das variáveis de estado 𝐻 da EE. Esta matriz contém informações
importantes sobre as medidas em si e a topologia do sistema, e é possível verificar a redundância
usando suas colunas e linhas. A matriz 𝐻 é construída a partir do cromossomo 𝑥𝑝 provido pelo
GA, baseada no vetor de medidas 𝑥𝑚 obtido a partir de 𝑥𝑝. Neste caso, a matriz 𝐻 é gerada
considerando as possíveis medidas como injeção de corrente nodal, tensão nodal, e fluxo de
corrente. Uma típica matriz 𝐻 pode ser dada por:
𝑉1 … 𝑉𝑘 … 𝑉𝑚 … 𝑉𝑛 𝑦𝑘,1 … 𝑦𝑘,𝑘 … 𝑦𝑘,𝑚 … 𝑦𝑘,𝑛 𝐼𝑘
𝑦𝑚,1 … 𝑦𝑚,𝑘 … 𝑦𝑚,𝑚 … 𝑦𝑚,𝑛 𝐼𝑚
H = 0 … 𝑦𝑘,𝑚 … −𝑦𝑘,𝑚 … 0 𝐼𝑘𝑚
0 … −𝑦𝑚,𝑘 … 𝑦𝑚,𝑘 … 0 𝐼𝑚𝑘
0 … 1 … 0 … 0 𝑉𝑘 0 … 0 … 1 … 0 𝑉𝑚
onde as colunas correspondem às variáveis de estado (tensões nos nós) e as linhas correspondem
às medidas associadas à alocação de determinadas PMUs.
Considere uma rede genérica com 𝑛 nós e 𝑛𝑏 ramos, e também a alocação de PMUs
em todos os 𝑛 nós. Para cada nó 𝑘 a corrente de injeção nodal, a tensão nodal, são medidas.
Para cada ramo 𝑘 −𝑚 ambos os fluxos de corrente, de 𝑘 para 𝑚 e de 𝑚 para 𝑘, também são
medidos. Portanto o máximo número de medidas 𝑚𝑚 (que neste caso particular é igual ao
número atual de medidas) é representado por:
𝑚𝑚 = 2 ∙ (𝑛 + 𝑛𝑏) (7.3)
No caso do sistema exemplo de três barras da Figura 7-1, 𝑚𝑚 é igual a 12. O CPI
para o plano de alocação de PMUs é definido por:
𝐶𝑃𝐼 = ∑𝐶𝑃𝐼𝑗
𝑚𝑚
𝑗=1
(7.4)
onde 𝐶𝑃𝐼𝑗 é o número de diferentes possibilidades de obter a medida j (qualquer medida, uma
tensão nodal, uma injeção de corrente nodal, ou um fluxo de corrente) baseada em outras
medidas disponíveis. 𝐶𝑃𝐼𝑗 leva em conta a possibilidade de uma ou mais medidas serem
139
perdidas e provê a ideia de como cobrir estas medidas em particular. 𝐶𝑃𝐼𝑗 é inicializado com
zero, e seu valor é atualizado dependendo do tipo de medida j, como descrito a seguir.
Medida 𝑗 é uma corrente de injeção 𝐼𝑘
Se 𝐼𝑘 puder ser calculada por
∑ 𝐼𝑘𝑖𝑖 ∈Ω𝑘
(7.5)
onde Ω𝑘 é o conjunto de nós vizinhos de 𝑘, então incrementar 𝐶𝑃𝐼𝑗.
Se 𝑘 for um nó ZIB, então incrementar 𝐶𝑃𝐼𝑗.
Para cada nó vizinho 𝑚
Se 𝐼𝑘 puder ser calculada por
∑ 𝐼𝑘𝑖𝑖 ∈Ω𝑘𝑖 ≠𝑚
+ (𝑦𝑘𝑚 + 𝑦𝑘𝑚𝑠ℎ ) ∙ 𝑉𝑘 − 𝑦𝑘𝑚 ∙ 𝑉𝑚 (7.6)
onde 𝑦𝑘𝑚 e 𝑦𝑘𝑚𝑠ℎ são respectivamente a admitância série e shunt de um ramo 𝑘 −
𝑚 , então incrementar 𝐶𝑃𝐼𝑗 . No caso do ramo 𝑘 −𝑚 ser um transformador a
admitância apropriada deve ser usada.
Se 𝐼𝑘 puder ser calculada por
∑(𝐺𝑘𝑖 + 𝑗𝐵𝑘𝑖)
𝑖 ∈Κ
∙ 𝑉𝑖 (7.7)
onde (𝐺𝑘𝑖 + 𝑗𝐵𝑘𝑖) é um elemento da matriz de admitância nodal e 𝐾 é o conjunto
de barras vizinhas de 𝑘 mais a barra 𝑘 própria (isto é, 𝐾 = Ω𝑘⋃𝑘 ), então
incrementar 𝐶𝑃𝐼𝑗.
Considere novamente o sistema exemplo da Figura 7-1. Assume-se que há PMUs
conectadas a todos os nós e que o nó 1 é ZIB. Se a medida 𝑗 é 𝐼1, então 𝐶𝑃𝐼𝑗 é 5.
Medida 𝑗 é fluxo de corrente 𝐼𝑘𝑚
Se 𝐼𝑘𝑚 puder ser calculada por
𝐼𝑘 − ∑ 𝐼𝑘𝑖𝑖 ∈Ω𝑘𝑖 ≠𝑚
(7.8)
então incrementar 𝐶𝑃𝐼𝑗.
Se o nó 𝑘 for ZIB e 𝐼𝑘𝑚 puder ser calculado por
140
− ∑ 𝐼𝑘𝑖𝑖 ∈Ω𝑘𝑖 ≠𝑚
(7.9)
então incrementar 𝐶𝑃𝐼𝑗.
Se 𝐼𝑘𝑚 puder ser calculado por
(𝑦𝑘𝑚 + 𝑦𝑘𝑚𝑠ℎ ) ∙ 𝑉𝑘 − 𝑦𝑘𝑚𝑉𝑚 (7.10)
então incrementar 𝐶𝑃𝐼𝑗. No caso do ramo 𝑘 −𝑚 ser um transformador, a admitância
apropriada deve ser usada.
Considere novamente o sistema exemplo da Figura 7-1. Assume-se que há PMUs
conectadas a todos os nós, e que o nó 1 é ZIB. Se a medida 𝑗 é 𝐼1,2, então 𝐶𝑃𝐼𝑗 é 3.
Medida j é a tensão 𝑉𝑘
Para cada nó vizinho 𝑚,
Se 𝑉𝑘 puder ser calculado por
1
(𝑦𝑘𝑚 + 𝑦𝑘𝑚𝑠ℎ )
(𝐼𝑘𝑚 − 𝑦𝑘𝑚𝑉𝑘𝑚) (7.11)
então incrementar 𝐶𝑃𝐼𝑗. No caso do ramo 𝑘 −𝑚 ser um transformador, a admitância
apropriada deve ser usada.
Se 𝑉𝑘 puder ser calculado por
1
𝑦𝑘𝑚[(𝑦𝑘𝑚 + 𝑦𝑘𝑚
𝑠ℎ ) ∙ 𝑉𝑚 − 𝐼𝑚𝑘] (7.12)
então incrementar 𝐶𝑃𝐼𝑗. No caso do ramo 𝑘 −𝑚 ser um transformador, a admitância
apropriada deve ser usada.
Considere ainda mais uma vez o sistema exemplo da Figura 7-1. Assume-se que há
PMUs conectadas a todos os nós, e que o nó 1 é ZIB. Se a medida 𝑗 é 𝑉1, então 𝐶𝑃𝐼𝑗 é 4.
Finalmente, o CPI para o sistema exemplo nas condições estabelecidas é igual a 39, de acordo
com (7.4).
Para fins de ilustração, a Figura 7-3 mostra diferentes valores de CPI calculados
para alguns sistemas exemplo sob as seguintes condições: (a) PMUs instaladas em todas as
barras, portanto resultando no seu máximo valor, (b) número mínimo de PMUs conectadas,
usando o método proposto neste trabalho, que será descrito posteriormente, e (c) o número
mínimo de PMUs conectadas de forma que garanta a observabilidade sob condições normais
141
de operação e sobre condições de perda de uma PMU, também usando o método proposto neste
trabalho que será descrito posteriormente.
O CPI que indica a redundância das medidas é um valor global calculado baseado
em valores locais do CPI de cada nó do sistema. É possível utilizar critérios que definam que
cada medida que entra na conta do CPI seja projetada para atender os critérios de não se tornar
uma medida crítica, ou ainda outros critérios que diminuam os conjuntos críticos de medidas,
ou seja definir um CPI mínimo para cada medida em questão. Entretanto esta opção não foi
implementada pois produziria em muitas situações uma alocação de um número superior de
PMUs em relação à alocação mínima. A alocação mínima utilizando o critério do CPI tenta
minimizar estes efeitos, mas não os eliminar, e para as situações de perdas de equipamentos já
está sendo considerada a perda de medidas relacionadas a uma linha, e a perda de PMUs.
Figura 7-3: CPI para diferentes sistemas e tipos de alocação de [118]
7.4 FUNÇÃO FITNESS DA ALOCAÇÃO MÍNIMA
Cada plano de alocação de PMU obtido pelo GA deve ser avaliado. A qualidade de
um plano de alocação é expressa através da função de fitness (ou função objetivo). Levando em
conta os requisitos de (a) até (e) mencionados na Seção 7.1, a função de fitness 𝑦 para a parte
técnica do problema é definida como:
𝑦 = ∑𝑝𝑖
5
𝑖=1
, (7.13)
onde os componentes 𝑝𝑖 são definidos em termos de prioridades de (a) até (e). É importante
mencionar que é impossível obter uma alocação prática que atenda todos os requisitos de (a) a
142
(e) da Seção 7.1 simultaneamente. Por exemplo, o item (a) é atendido se nenhuma PMU é
instalada ou conectada, que resulta em um caso não observável, assim conflitando com o item
(b). Também, se somente o item (e) for considerado, a solução ótima seria alocar PMUs em
todos os nós, que resultaria em uma cobertura máxima no caso de perda de medidas. Entretanto,
esta solução conflitaria com o item (a), que prioriza a alocação de um número mínimo de PMUs.
A componente 𝑝1 é relativa ao número de PMUs alocadas, e é definida como:
𝑝1 = ∑(𝑤𝑝𝑘 ∙ 𝑥𝑝𝑘)
𝑛
𝑘=1
(7.14)
onde 𝑥𝑝𝑘 é igual a 1 no caso de uma PMU ser alocada no nó k, e 0 caso contrário, e 𝑤𝑝𝑘 é o
peso associado a cada PMU. Neste trabalho, foram utilizados os mesmos pesos para todas as
PMUs alocadas. Neste caso, 𝑤𝑝𝑘 é definido como 𝑛3 , para 𝑘 = 1,2, … , 𝑛. Este valor do
peso foi ajustado depois de alguns testes e simulações e optou-se por defini-lo em função do
tamanho da rede em detrimento de uma constante, para que ele fosse automaticamente ajustado
durante as simulações sem necessidade de alterá-lo a todo momento.
O procedimento de escolha dos pesos 𝑤𝑝𝑘 e dos outros pesos será discutido a seguir
e merece uma atenção especial. Primeiramente, é importante notar que a função de fitness y tem
cinco termos, e cada um deles é associado a pesos. Estes pesos devem expressar o grau de
importância de cada termo na função y, de tal forma que a qualidade do indivíduo (ou plano de
alocação de PMU) seja corretamente avaliada do ponto de vista multiobjetivo. Também, estes
pesos são usualmente definidos através de um tipo de processo de tentativa e erro, até que
soluções balanceadas, coerentes, e de boa qualidade sejam obtidas. Neste trabalho, a ideia é
definir pesos baseados no tamanho dos sistemas, evitando assim a árdua tarefa de definir pesos
dependentes do sistema. É claro que seus valores apresentados aqui foram obtidos por processos
de tentativa e erro, mas após o término deste, não é necessário realizá-los novamente.
A componente 𝑝2 é relacionada com a predefinição de um número específico de
PMUs desejadas na instalação, independentemente de ser o valor mínimo ou não. Quando se
deseja que o número mínimo de PMUs seja alocado, este número específico de PMUs é passado
com valor zero e assim a componente 𝑝2 é zerada conforme (7.15).
𝑝2 = 𝛼 ∙ |𝑛𝑝 −∑𝑥𝑝𝑘
𝑛
𝑘=1
| , se 𝑛𝑝 > 0
0, se 𝑛𝑝 = 0
(7.15)
onde o peso 𝛼 é igual a 𝑛5 e 𝑛𝑝 é o número de PMUs que se deseja alocar. No caso de se usar
a opção de alocação mínima de PMUs, 𝑛𝑝 e portanto 𝑝2 serão iguais a 0. Se, devido a razões
143
operacionais, o número de PMUs deve ser 𝑛𝑝, 𝑝2 resultará em valor diferente de zero de forma
que os planos de alocação de PMUs com melhor qualidade realmente terão 𝑛𝑝 PMUs.
Naturalmente, suas localizações dependerão dos outros componentes 𝑝𝑖.
A componente 𝑝3 destina-se a priorizar planos de alocação observáveis. Portanto,
ela é relativa ao posto r da matriz de ganho 𝐶 = (𝐻𝑇 ∙ 𝑊 ∙ 𝐻), onde 𝑊 é a matriz de matriz
peso convencional com base nas variâncias das medições. A matriz de ganho 𝐶 tem dimensão
(𝑛 × 𝑛), em que 𝑛 é o número de nós da rede, e pode ser representada por:
𝐶 =
[ 𝑐1,1 𝑐1,2 ⋯ 𝑐1,𝑛−1 𝑐1,𝑛𝑐2,1 𝑐2,2 ⋯ 𝑐2,𝑛−1 𝑐2,𝑛⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮
𝑐𝑛−1,1 𝑐𝑛−1,2 ⋯ 𝑐𝑛−1,𝑛−1 𝑐𝑛−1,𝑛𝑐𝑛,1 𝑐𝑛,2 ⋯ 𝑐𝑛,𝑛−1 𝑐𝑛,𝑛 ]
Depois da fatoração LU [8] obtêm-se duas matrizes, respectivamente triangular
inferior 𝐿 e triangular superior 𝑈, dadas por:
𝐿 =
[ 𝑙1,1 0 ⋯ 0 0
𝑙2,1 𝑙2,2 ⋯ 0 0
⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮𝑙𝑛−1,1 𝑙𝑛−1,2 ⋯ 𝑙𝑛−1,𝑛−1 0
𝑙𝑛,1 𝑙𝑛,2 ⋯ 𝑙𝑛,𝑛−1 𝑙𝑛,𝑛]
e 𝑈 =
[ 𝑢1,1 𝑢1,2 ⋯ 𝑢1,𝑛−1 𝑢1,𝑛𝑢2,1 𝑢2,2 ⋯ 𝑢2,𝑛−1 𝑢2,𝑛⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮0 0 ⋯ 𝑢𝑛−1,𝑛−1 𝑢𝑛−1,𝑛0 0 ⋯ 0 𝑢𝑛,𝑛 ]
.
O posto 𝑟 da matriz 𝐶 é igual ao número de linhas linearmente independentes de 𝐶,
então, ao número de elementos diferentes de zero da diagonal de U. Finalmente,
𝑝3 = 𝛼 ∙ (𝑛 − 𝑟) (7.16)
De acordo com teoria de EE, um plano de alocação é observável quando a matriz
ganho possui posto completo [8]. Isto é verdade quando os ângulos das tensões são fornecidos
[8]. É importante ressaltar que o conjunto de medidas contém fasores de corrente e tensão, e as
variáveis de estado são os fasores de tensão. Então não é necessário estabelecer o ângulo de
referência, desde que assumimos que este aspecto é resolvido pelo GPS. Então, planos de
alocação de PMUs que resultam em uma matriz C com posto completo, e, portanto, um sistema
observável, encaminham-se para 𝑟 = 𝑛 e 𝑝3 = 0. Por outro lado, os planos para os quais 𝑟 <
𝑛 (sistema não observável) terão um valor muito grande de 𝑝3, sendo, portanto, descartados
pelo GA.
Se a matriz ganho 𝐶 é decomposta usando o método LU e a matriz 𝑈 tem elementos
diferentes de zero na diagonal, então 𝐶 possui posto completo. O termo (𝑛 − 𝑟) da componente
𝑝3 representa a ideia que se (𝑛 − 𝑟) é igual a zero, a matriz ganho possui posto completo,
portanto o sistema é observável, do contrário (𝑛 − 𝑟) não é igual a zero, a matriz ganho possui
posto incompleto, portanto não observável.
A quarta componente 𝑝4 é dada por:
144
𝑝4 = −𝑅𝑜𝑢𝑛𝑑 (1 +𝑛𝑏
𝑛) ∙∑𝑥𝑚𝑘
𝑚𝑚
𝑘=1
(7.17)
A componente p4 prioriza planos com número grande de medidas. Quanto maior o
número de medidas, menor o valor de 𝑝4
Finalmente, a quinta componente 𝑝5 é relativa ao CPI, de tal forma que aqueles
planos de alocação que apresentarem boa redundância terão preferência, e isto é representado
simplesmente por:
𝑝5 = −𝐶𝑃𝐼 (7.18)
Como resultado da definição dos termos 𝑝1 a 𝑝5, é claro que a pesquisa pelo melhor
plano de alocação de PMU deve atender à seguinte ordem de precedência:
Planos de alocação observáveis;
Planos de alocação com o menor número de PMUs; e
Planos de alocação com o maior número de medidas e a maior cobertura de
medidas em caso de perdas de equipamentos, ou defeito dos mesmos.
7.5 PRÉ-ALOCAÇÃO DE PMUS
Algumas situações práticas podem requerer a alocação a priori de PMUs em
determinados nós do sistema, dependendo da filosofia de operação da concessionária. Pode ser
definido que certos nós de carga importantes, e/ou certos nós de geração importantes devam
conter PMUs, bem como certas subestações que possuem transformadores de corrente e tensão
já instalados e deseja-se aproveitá-los.
A pré-alocação é importante porque pode permitir o aproveitamento de informações
provenientes de outros processos já realizados no nível dos sistemas. Esta possibilidade é útil
considerando que muitas vezes já existem PMUs instalados em determinados nós, e que a
possibilidade de alocação a partir do zero é muito menos provável, ou seja, não serão movidas
de lugar as PMUs previamente instaladas.
Portanto, a presença destas PMUs é mandatória no plano final de alocação. De
acordo com o modelo adotado neste trabalho, se a PMU é pré-alocada no nó k, então 𝑥𝑝(𝑘) =
1 e o respectivo peso associado a ela é reconfigurado para 𝑤𝑝𝑘 = −𝑛3.
145
7.6 ALOCAÇÃO CONSIDERANDO PERDA DE PMU
Na Seção 7.4 uma função de fitness foi definida de tal forma que a melhor solução
possui o menor número de PMUs. Entretanto, considerar a possibilidade de perda de PMUs (e
suas respectivas medidas) é um aspecto muito importante no processo de alocação de PMUs. O
plano de alocação de PMUs deve ser tal que reduza o risco de perda de observabilidade nos
eventos de falhas e perdas destes equipamentos. Atualmente, os EMSs estão sendo tratados
considerando aspectos físicos, lógicos, e também aspectos de falhas maliciosas ou provocadas
[119], e manter a observabilidade pode ajudar nestes muitos aspectos, já que a redundância
pode ser usada para melhorar a análise de resíduos das medidas e avaliar situações de erros das
mesmas.
Um plano de alocação de PMUs que leva em conta os aspectos de perda de PMU é
crucial para a segurança, continuidade da operação e funcionamento de um SEP. Este plano de
alocação conterá PMUs adicionais de forma mais prioritária que aqueles itens usados na função
fitness da Seção 7.4.
A literatura menciona que o número de PMUs necessárias é aproximadamente
metade do número de nós [92], [98], [104], [106], [107]. Esta informação aproximada pode ser
usada na geração da população inicial pelo GA. Apenas o critério da perda de uma PMU foi
considerado. Embora sua inclusão seja relativamente simples, o critério de perda de duas PMUs
não foi incluído, pois foi considerado uma situação extrema e muito pouco provável [98].
A função de fitness para o problema de alocação de PMUs considerando aspectos
de segurança é dada por:
𝑦 =∑𝑝𝑖
6
𝑖=1
(7.19)
ou seja, um termo 𝑝6 é adicionado a y. O termo 𝑝6 é dado por:
𝑝6 = 𝛼 ∙ 𝑑 (7.20)
onde 𝑑 indica a habilidade de um plano de alocação permanecer observável depois que alguma
PMU é perdida, e o cálculo de 𝑑 é descrito na Tabela 7-IV. O valor de 𝑑 tenta indicar se um
plano está perto de atender o critério de possibilitar a perda de PMU, então quanto mais próximo
de zero ele estiver melhor será classificado aquele plano de alocação. Quando o critério é
atendido o valor de 𝑑 é igual a zero.
146
Tabela 7-IV: Cálculo do parâmetro d
Considere a rede exemplo da Figura 7-4, com 4 nós e 4 linhas e seus parâmetros
apresentados através da Tabela 7-V.
01: se r < n 02: d = n - r + mm 03: retorna d 04: fim 05: Ha = H 06: 𝑣𝑠 = 𝐴 ∙ 𝑥𝑝𝑇 07: = 𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑖𝑛ℎ𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑣𝑠 𝑐𝑢𝑗𝑜𝑠 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑠ã𝑜 < 2 08: se é 𝑣𝑎𝑧𝑖𝑜 09: d = 0 10: retorna d 11: fim 12: 𝑐𝜔 = 𝑡𝑎𝑚𝑎𝑛ℎ𝑜(𝜔) 13: d = 0 14: 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑘 = 1 𝑎𝑡é 𝑛 𝑓𝑎𝑧𝑒𝑟 𝑣𝑖𝑠𝑖𝑡(𝑘) = 0 15: 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑘 = 1 𝑎𝑡é 𝑐𝜔 16: 𝑗 = 𝜔𝑘 17: = 𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑙𝑢𝑛𝑎𝑠 𝑑𝑎 𝑙𝑖𝑛ℎ𝑎 𝑗 𝑑𝑎 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝐴 𝑐𝑢𝑗𝑜𝑠 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑠ã𝑜 > 0 18: 𝑐𝑎 = 𝑡𝑎𝑚𝑎𝑛ℎ𝑜() 19: 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑚 = 1 𝑎𝑡é 𝑐𝑎 20: 𝑗𝑎 = 𝑘 21: 𝑖𝑓 𝑥𝑝(𝑗𝑎) = 1 𝑒 𝑣𝑖𝑠𝑖𝑡(𝑗𝑎) = 0 22: 𝐻 = 𝐻𝑎 23: 𝑣𝑖𝑠𝑖𝑡(𝑗𝑎) = 1 24: ℎ = 𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑖𝑛ℎ𝑎𝑠 𝑑𝑎 𝑐𝑜𝑙𝑢𝑛𝑎 𝑗𝑎 𝑑𝑒 𝐻 𝑐𝑢𝑗𝑜𝑠 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑠ã𝑜 > 0
25: 𝑐ℎ = 𝑡𝑎𝑚𝑎𝑛ℎ𝑜(ℎ)
26: 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑠 = 1 𝑎𝑡é 𝑐ℎ 27: 𝑗ℎ = ℎ𝑠 28: 𝑠𝑒 𝑗ℎ > 𝑛 𝑓𝑎𝑧𝑒𝑟 𝐻(𝑗ℎ, : ) = 0 29: 𝑠𝑒𝑛ã𝑜 𝑠𝑒 𝑗ℎ𝑛ã𝑜 𝑓𝑜𝑟 𝑍𝐼𝐵 𝑓𝑎𝑧𝑒𝑟 𝐻(𝑗ℎ, : ) = 0 26: fim #26 27: 𝐶 = 𝐻𝑇 .𝑊 . 𝐻 28: Realizar fatoração LU em C 29: Fazer d ser igual ao número de elementos iguais a zero na diagonal de U 30: if d > 0 então 31: 𝑠𝑒𝑡 𝑑 = 𝑐𝜔 − 𝑘 + 1 32: retorna d 33: fim 34: fim #21 35: fim #19 36: fim #15 37: retorna d
147
Figura 7-4: Rede exemplo baseada em [14]
Tabela 7-V: Parâmetros da rede da figura 6-4
𝒚 Nó Nó 𝒓 𝒙 Shunt (2x)
𝑦1,2 1 2 0,01938 0,05917 0,0528
𝑦2,3 2 3 0,04699 0,19797 0,0438
𝑦2,4 2 4 0,05811 0,17632 0,0340
𝑦2,5 3 4 0,06701 0,17103 0,0128
Diversas alocações estão apresentadas na Tabela 7-VI, para análise de contingência
de PMUs, com situação regular (OK), onde a contingência é atendida e a situação irregular
(NOK), onde a contingência não é atendida. Repare que existem várias possibilidades de
alocação que resultam em quantidades de PMUs iguais ou diferentes, localizações diferentes,
que resultam em valores do parâmetro 𝑑 diferentes, valores da função de fitness diferentes e
consequentemente situações diferentes. A linha grifada em fundo cinza corresponde a solução
encontrada para o problema.
148
Tabela 7-VI: Alocação com contingências rede exemplo figura 6-4
𝑥𝑝 No. PMUs Posto (𝑟) CPI 𝑑 𝑦 Situação
1111 4 4 48 0 176 OK
1011 3 4 16 1 1178 NOK
0111 3 4 36 1 1154 NOK
1101 3 4 26 0 142 OK
1110 3 4 26 0 142 OK
1001 2 4 5 3 3181 NOK
1100 2 4 15 2 2145 NOK
0110 2 4 15 1 1119 NOK
1010 2 4 5 3 3181 NOK
0101 2 4 15 1 1119 NOK
0011 2 4 14 5 6242 NOK
0100 1 4 4 4 4146 NOK
0010 1 3 3 5 6197 NOK
Considerando-se o plano 𝑥𝑝=1111, com 𝑚𝑚 = 16, 𝑟 = 4 e 𝑛 = 4, a matriz completa
𝐻 seria:
4,9991 − 𝑗15,2367 −4,9991 + 𝑗15,2631 0 0
−4,9991 + 𝑗15,2631 7,8202 − 𝑗25,0955 −1,1350 + 𝑗4,7819 −1,6860 + 𝑗5,1158
0 −1,1350 + 𝑗4,7819 3,1210 − 𝑗9,8224 −1,9860 + 𝑗5,0688
0 −1,6860 + 𝑗5,1158 −1,9860 + 𝑗5,0688 3,6720 − 𝑗10,1613
−4,9727 + 𝑗15,2631 4,9991 − 𝑗15,2631 0 0
0 −1,1131 + 𝑗4,7819 1,1350 − 𝑗4,7819 0
0 −1,6690 + 𝑗5,1158 0 1,6860 − 𝑗5,1158
0 0 −1,9796 + 𝑗5,0688 1,9860 − 𝑗5,0688
4,9991 − 𝑗15,2631 −4,9727 + 𝑗15,2631 0 0
0 1,1350 − 𝑗4,7819 −1,1131 + 𝑗4,7819 0
0 1,6860 − 𝑗5,1158 0 −1,6690 + 𝑗5,1158
0 0 1,9860 − 𝑗5,0688 −1,9796 + 𝑗5,0688
1,0000 0 0 0
0 1,0000 0 0
0 0 1,0000 0
0 0 0 1,0000
O valor de 𝑑 seria 𝑑 = 0, e os valores da matriz 𝐴,do vetor 𝑣𝑠 e do vetor seriam:
𝐴 = [
1 1 0 01 1 1 10 1 1 10 1 1 1
] , 𝑣𝑠 = [
2433
] 𝑒 = [ ]
Considerando-se o plano 𝑥𝑝=1011, com 𝑚𝑚 = 16, 𝑟 = 4 e 𝑛 = 4, os vetores 𝑣𝑠 e
seriam:
𝑣𝑠 = [
1322
] 𝑒 = [1 1]
Assim será analisada a ausência da PMU1 e todos as suas medidas serão retiradas
de 𝐻, porque ela não é barra ZIB, o que fará com que a matriz ganho 𝐶 resultante seja singular,
e nestas condições 𝑑 = 1.
149
Considerando-se o plano 𝑥𝑝=0111, com 𝑚𝑚 = 16, 𝑟 = 4 e 𝑛 = 4, os vetores 𝑣𝑠 e
seriam:
𝑣𝑠 = [
1333
] 𝑒 = [1 1]
Assim será analisada a ausência da PMU1 e todos as suas medidas serão retiradas
de 𝐻, porque ela não é barra ZIB, o que fará com que a matriz ganho 𝐶 resultante seja singular,
e nestas condições 𝑑 = 1.
Considerando-se o plano 𝑥𝑝=1100, com 𝑚𝑚 = 16, 𝑟 = 4 e 𝑛 = 4, os vetores 𝑣𝑠 e
seriam:
𝑣𝑠 = [
2211
] 𝑒 = [3 14 1]
Assim será analisada a ausência da PMU2 e todos as suas medidas serão retiradas
de 𝐻, porque ela não é barra ZIB, o que fará com que a matriz ganho 𝐶 resultante seja singular,
e nestas condições 𝑑 = 2.
Considerando-se o plano 𝑥𝑝=1101, com 𝑚𝑚 = 16, 𝑟 = 4 e 𝑛 = 4, os vetores 𝑣𝑠 e
seriam:
𝑣𝑠 = [
2322
] 𝑒 = [ ]
Nestas condições não existe nenhuma situação de análise de retirada de medidas de
𝐻, e nestas condições 𝑑 = 0.
Considere a Figura 7-5 com a Rede IEEE 14 barras [121], na Tabela 7-VII diversas
alocações foram apresentadas para análise de contingência de PMUs. Repare que existem várias
possibilidades de alocação que resultam em quantidades de PMUs diferentes, localizações
diferentes, que resultam em valores de 𝑑 diferentes, valores da função de fitness diferentes e,
consequentemente situações diferentes. A linha grifada em fundo cinza corresponde a solução
encontrada para o problema.
150
Figura 7-5: Rede IEEE 14 barras
Tabela 7-VII: Apresentação de várias soluções de alocação da rede IEEE 14 barras
Plano 𝒙𝒑 No.PMUS Posto 𝒅 𝒚 Situação
1. 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 14 14 0 37964 OK
2. 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 11 14 0 29833 OK
3. 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 11 14 0 29846 OK
4. 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 11 14 0 29860 OK
5. 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 10 14 0 27140 OK
6. 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 10 14 0 27147 OK
7. 0 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 10 14 1 565002 NOK
8. 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 9 14 0 24415 OK
9. 0 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 0 1 1 9 14 0 24437 OK
10. 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 9 14 1 562263 NOK
11. 0 1 1 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 9 14 1 562291 NOK
12. 0 1 0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 8 14 0 21700 OK
13. 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1 0 8 14 0 21700 OK
14. 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 0 8 14 5 2710859 NOK
15. 1 0 0 1 1 0 1 1 1 0 0 1 1 0 8 13 15 8626918 NOK
16. 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 0 8 13 15 8626950 NOK
17. 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 7 14 0 18992 OK
18. 0 1 0 1 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 7 14 0 18992 OK
19. 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 7 14 0 19004 OK
20. 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 1 1 7 14 3 1632507 NOK
21. 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 7 14 4 1632516 NOK
22. 1 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 7 14 6 3245958 NOK
23. 0 1 0 1 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 6 14 2 1091919 NOK
24. 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 0 6 14 4 1629787 NOK
25. 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 1 1 6 14 4 1629791 NOK
26. 0 1 1 1 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 6 14 7 3243242 NOK
27. 1 0 1 1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 6 13 15 8621507 NOK
151
7.7 ANÁLISE ECONÔMICA
Todos os seis componentes da função de fitness 𝑦 são relativos a aspectos técnicos.
É claro que os aspectos econômicos devem ser levados em conta no momento da tomada de
decisão sobre o melhor plano de alocação.
Avaliar os projetos sobre o ponto de vista de investimentos financeiros é uma tarefa
difícil e crítica de tomada de decisão. Então, modelos cada vez mais sofisticados de análise
econômica têm sido elaborados. Atualmente os modelos mais utilizados são aqueles que
conseguem avaliar projetos a curto, médio e longo prazos considerando as possibilidades de
investimento e suas taxas financeiras, e também a possibilidade de retorno financeiro dos ativos
instalados, possibilidades de reinvestimento, confrontados com o cronograma de investimentos
e execução dos projetos. Ou seja, cada projeto deve ter seu tempo de vida analisado, não
somente sob a ótica da execução de suas atividades ou aspectos técnicos, mas o que o projeto
proporciona em termos financeiros.
Neste trabalho, os aspectos econômicos são avaliados considerando algumas
modelagens clássicas [120], depois que as melhores soluções considerando os aspectos técnicos
são obtidas. O GA armazena os melhores planos de alocação (baseados nos aspectos técnicos)
e eles são comparados considerando aspectos econômicos. O custo (investimento inicial) 𝑐𝑝𝑘
de uma PMU alocada em um determinado nó 𝑘 do sistema, leva em conta fatores como
logística, informação tecnológica e telecomunicações, instalação, manutenção e software.
Também, o custo pode mudar se uma subestação é nova ou existente (subestação sob
remodelação, por exemplo). Finalmente, cada medida 𝑗 da PMU no nó 𝑘 tem seu próprio custo
𝑐𝑚𝑗, associado à sua conexão e instalação. O custo 𝑧𝑘 de um plano de alocação é, portanto,
dado por:
𝑧𝑘 =∑𝑐𝑝𝑘 ∙
𝑛
𝑘=1
𝑥𝑝𝑘 +∑𝑐𝑚𝑗
𝑚𝑚
𝑗=1
∙ 𝑥𝑚𝑗 (7.21)
Seja 𝑀𝑁𝑃𝑉𝑘 o valor presente modificado (do inglês, Modified Net Present Value)
da PMU no nó 𝑘, dado por:
𝑃𝑉𝑘𝑖 = ∑ 𝐶𝐹𝑘
𝑡 ∙
𝑡𝑚𝑎𝑥
𝑡=𝑡𝑖+1
(1 + 𝑅𝐹𝑅𝑘)𝑡𝑚𝑎𝑥−𝑡
(1 + 𝐾𝑘)𝑡𝑚𝑎𝑥 (7.22)
152
𝑃𝑉𝑘𝑜 =∑
𝑧𝑘𝑡
(1 + 𝐹𝑅𝑘)𝑡
𝑡𝑖
𝑡=0
(7.23)
𝑀𝑁𝑃𝑉𝑘 = 𝑃𝑉𝑘𝑖 − 𝑃𝑉𝑘
𝑜 (7.24)
onde 𝑘 é o número do nó, 𝑀𝑁𝑃𝑉𝑘 é o valor presente líquido modificado da PMU no nó 𝑘, 𝑃𝑉𝑘𝑖
é o valor presente de entrada em unidades monetárias, 𝑃𝑉𝑘𝑜 é valor presente de saída em
unidades monetárias, 𝑧𝑘 é o investimento inicial considerando a instalação de uma PMU no nó
𝑘, 𝑡 é o tempo em meses ou anos, 𝑡𝑚𝑎𝑥 é o máximo período de tempo permitido para a completa
instalação das PMUs alocadas definido em meses ou anos, 𝑡𝑖 é o período de tempo de
investimentos em meses ou anos, 𝐶𝐹𝑘 é o fluxo de caixa do período 𝑡 relativo ao nó 𝑘, 𝑧𝑘𝑡 são
os investimentos em cada período próximo, 𝐾𝑘 é a taxa de desconto ajustada ao risco (a taxa de
retorno), 𝑅𝐹𝑅𝑘 é a taxa de reinvestimento, e 𝐹𝑅𝑘é a taxa financeira da PMU no nó 𝑘 . Se
𝑀𝑁𝑃𝑉𝑘 é negativo, é necessário considerar que a instalação de PMU no nó 𝑘 não é
economicamente viável.
Seja também 𝑀𝐼𝑅𝑅𝑘 a taxa de retorno interna modificada da PMU (do inglês,
Modified Internal Rate of Return) do nó 𝑘, dada por:
𝑃𝐶𝐹𝑘 = ∑ 𝑃𝐶𝐹𝑘𝑡 ∙
𝑡𝑚𝑎𝑥
𝑡=𝑡𝑖+1
(1 + 𝑅𝐹𝑅𝑘)𝑡𝑚𝑎𝑥−𝑡 (7.25)
𝑁𝐶𝐹𝑘 =∑𝑁𝐶𝐹𝑘𝑡 ∙
𝑡𝑖
𝑡=0
(1 + 𝐹𝑅𝑘)𝑡 (7.26)
𝑀𝐼𝑅𝑅𝑘 = (𝑃𝐶𝐹𝑘𝑁𝐶𝐹𝐾
)
1𝑡𝑚𝑎𝑥
− 1 (7.27)
onde 𝑃𝐶𝐹𝑘 é o fluxo de caixa positivo (do inglês, Positive Cash Flow), 𝑁𝐶𝐹𝑘é o fluxo de caixa
negativo (do inglês, Negative Cash Flow), 𝐹𝑅𝑘 é a taxa financeira (do inglês, Finance Rate),
𝑅𝐹𝑅𝑘 é a taxa de reinvestimento (do inglês, Reinvestment Finance Rate), 𝑡𝑖 é o período de
investimento da PMU, relativos ao nó 𝑘.
Se o 𝑀𝐼𝑅𝑅𝑘 é negativo, é também necessário considerar que a instalação de PMU
no nó 𝑘 não é economicamente viável. Finalmente, o retorno 𝑃𝐵𝑘 (do inglês, Pay Back) e a taxa
de retorno 𝑃𝑅𝑘 (do inglês, Payback Rate) são:
𝑃𝐵𝑘 =𝑧𝑘𝐾𝑘
(7.28)
𝑃𝑅𝑘 = 𝑃𝐵𝑘𝑚𝑎𝑥 − 𝑃𝐵𝑘 (7.29)
153
onde 𝑃𝐵𝑘𝑚𝑎𝑥é o máximo retorno admitido no projeto. A função de fitness econômica relativa a
um plano de alocação é representada por f, dada por:
𝑓 = −1 ∙∑(𝑀𝑁𝑃𝑉𝑘 +𝑀𝐼𝑅𝑅𝑘 − 𝑃𝑅𝑘)
𝑛
𝑘=1
(7.30)
A pré-alocação de PMUs (conforme discutido anteriormente) pode receber um
tratamento especial, e em algumas situações os valores de 𝑐𝑝𝑘 (para PMU pré-alocada no nó 𝑘)
e seus respectivos 𝑐𝑚𝑗 (medidas resultantes da alocação de PMU nó 𝑘) podem ser configuradas
com valor zero, assim como seus respectivos indicadores nos casos das PMUs já estarem
alocadas, se nenhum investimento for necessário, caso contrário, calcular seus indicadores
componentes da função 𝑓.
7.8 RESULTADO DE TESTES
Oito sistemas foram usados nas simulações, sendo os cinco sistemas padrão do
IEEE (14, 24, 30, 57, 118, e 300 barras), [121], [122], o sistema New England de 39 barras
[123], e o sistema polonês de 2383 barras que acompanha o pacote MATPOWER [124].
7.8.1 ALOCAÇÃO MÍNIMA - MODELO NÓ-RAMO
A Tabela 7-VIII, mostra o número de PMUs alocadas de acordo com vários
métodos propostos na literatura comparados com o método proposto neste trabalho,
considerando que o objetivo é a alocação mínima de PMUs e garantia da observabilidade
requisitada pela EE. Alguns deles mostram apenas o número de PMUs alocadas, mas não
especificam onde (em que nó) elas foram alocadas, respectivamente [92], [93], [96], [97], [105].
As referências [91], [95], [98], [99], [100], [101], [103], [104], [106] e [107] fornecem o
número de PMUs e suas respectivas localizações.
Alguns métodos alocam mais PMUs que o método proposto, como [89], [91], [92],
[93], [95], [97], [101], [105], e [106]. A referência [125] parece definir o plano de alocação sem
considerar os nós ZIB, então uma comparação com o método proposto, poderia não ser
adequada. Na referência [126], de acordo com a Tabela 7-VIII, o número de PMUs alocadas
154
para o sistema IEEE 300 barras é menor que o método proposto, entretanto, a referência [126]
usa medidas complementares para reduzir o número de PMUs para 68.
O número de PMUs alocadas por [111] para os sistemas IEEE 14 barras, IEEE 30
barras, são similares ao método proposto, mas o número de PMUs alocadas e o plano de
alocação para o sistema New England mostrou-se não observável. O número de PMUs alocadas
para o sistema IEEE 118 barras é igual a 28, menor do que o método proposto, porém o número
de PMUs alocadas e o plano de alocação mostrou-se não observável, conforme análise numérica
avaliada, e a avaliação topológica conforme a Figura 7-6, com um corte da rede só com a área
de interesse para ilustrar. As barras assinaladas com um quadrado e com um símbolo indicando
a presença de PMUs, no corte da figura respectivamente os nós 34, 37, 38, 42, 45, 49, 53, 56,
62, 77, 80, e os outros sem a presença de PMU. Os nós representados com rachuras representam
nós ZIB, respectivamente 37, 63, 64, e 81. Repare que as barras 63 e 64 são ZIBs, mas não são
observáveis. A parte em que é proposto o controle de ilhas onde teoricamente se controla a
perda de medidas das linhas, com 29 PMUs, para a rede de IEEE 118, também se mostrou não
observável, caindo no mesmo caso exposto anteriormente para uma alocação de 28 PMUs. O
método não controla a vizinhança das barras ZIB para evitar este efeito, o que pode ter reflexos
negativos na alocação mínima, e é lógico causa uma diminuição do número de PMUs em
sistemas com muitas ZIBs vizinhas como é o caso do sistema Polonês 2383 barras.
Ainda em [111], para o sistema polonês 2383 barras, o método proposto apresentou
553 PMUs, mas para garantir a possibilidade de perda de medidas de uma linha, o respectivo
método apresenta 1134 PMUs. Comparando os resultados temos que o método proposto
encontra 746, teoricamente pior que [111] na alocação mínima, mas garante a observabilidade
no caso de perda de medidas de uma linha com esta alocação, ao passo que em [111] são
necessárias 1134 PMUs. A localização das PMUs em [111] não foi informada para comparar e
verificar a observabilidade já que o método apresentou soluções não observáveis para duas
redes específicas com menos barras que o sistema polonês.
Note que algumas referências marcadas na Tabela 7-VIII têm problemas de
observabilidade segundo os critérios adotados pelo método proposto, como em [95], [98], [100],
[103], [104], [107] e [111]. Os resultados do método proposto são apresentados na Tabelas 7-
IX. Para o sistema polonês, os resultados do método proposto estão no Apêndice I.
Os resultados da referência [98] são apresentados na Tabela 7-X e as soluções
factíveis possuem CPIs menores do que o método proposto. A Tabela 7-XI mostra os resultados
de [99], onde as maiores diferenças estão nos CPIs dos sistemas IEEE 30 barras, 57 barras e
118 barras. Os resultados da referência [103] são mostrados na Tabela 7-XII, juntamente com
155
o cálculo de CPI, que é inferior ao do método proposto, além de terem sido detectados alguns
problemas de observabilidade. Os resultados da referência [109] na Tabela 7-XIII são muito
próximos do método proposto, mas para o sistema IEEE 118 barras o CPI do método proposto
foi superior ao do método de [109].
Figura 7-6: Análise de observabilidade topológica de [111]
156
Tabela 7-VIII: Alocação mínima - comparativo com outros métodos
Método / Sistema 14 24 30 39 57 118 300 2383
Integer Programming [89] 3 - - - 12 29 - -
Random Component Outage ILP Algorithm
[91]
- - - 13 - 32 - -
Multistage Integer Programming [92] 3 - - - 14 29 - -
Unified Approach – BILP [93] 4 - 7 - 13 29 - -
Particle Swarm [95] 3 - 7 - 13 29 † - -
Simulated Annealing [96] 3 - - 8 - 29 - -
Genetic Algorithm [97] 3 - 7 - 12 29 - -
Two Stage [98] 3 6 7 8 † 11 28 † - -
Immunity Genetic Algorithm [99] 3 - 7 - 11 29 - -
NSGA Algorithm [100] - - - 8 † - - - -
Binary Genetic Algorithm [101] 4 - 10 - - - - -
Binary Search Algorithm [103] 3 6† 7 8 † - - - -
Integer Programming [104] 3 - 7 8 † 11 28 † - -
Generalized ILP Programming [105] 4 - 10 - 17 - - -
Integer Quadratic Programming [106] - - 10 - 17 32 - -
Suitable Constraints with two IM [107] - - 7 - 11 28 †
Multi Objective [109] 3 - 7 8 11 29 - -
OPP (controlling Island) [111] 3 7 8† - 28 † - 553©
Weight Least Square [125] 4 - 10 - 17 32 - -
Redundant Observability ILP [126] 3 - - - 11 28 68 ϝ -
Proposto 3 6 7 8 11 29 73 756
ϝ O método utiliza medidas de fluxo
complementares.
© Não foi possível verificar a observabilidade
† O plano de alocação encontrado, resulta em um
sistema não observável, mas não está claro se medidas
complementares foram usadas.
Tabela 7-IX: Alocação mínima - método proposto
Sistema Barras ZIB Alocação PMUs CPI
14 7 2, 6, 9 3 16
24 11, 12, 17, 24 2, 8, 9, 10, 19, 21 6 43 *
30 6, 9, 22, 25, 27, 28 2, 4, 10, 12, 15, 18, 27 7 73 *
39 2, 6, 9, 10, 12, 14, 17, 19, 20, 22,
23, 25, 29
2, 5, 8, 10, 16, 19, 23, 26, 8 69 *
57 4, 7, 11, 21, 22, 24, 26, 34, 36, 37,
39, 40, 45, 46, 48
1, 4, 13, 19, 25, 29, 32, 38, 41, 51, 54 11 57 *
118 5, 9, 30, 37, 38, 63, 64, 68, 71, 81 3, 9, 11, 12, 15, 17, 21, 27, 31, 32, 34,
40, 45, 49, 52, 56, 59, 62, 72, 75, 77,
80, 85, 86, 90, 94, 101, 105, 110
29 267*
300 4, 7, 12, 16, 19, 24, 34, 35, 36, 39,
42, 45, 46, 51, 60, 62, 64, 69, 74,
78, 81, 85, 86, 87, 88, 100, 115,
116, 128, 129, 130, 131, 132, 133,
134, 144, 150, 151, 158, 160, 165,
168, 169, 174, 193, 194, 195, 210,
212, 219, 226, 237, 244, 1201,
2040, 9001, 9005, 9006, 9007,
9012, 9023, 9044
1, 2, 3, 11, 15, 17, 21, 23, 24, 26, 37,
41, 43, 44, 49, 55, 57, 61, 63, 70, 71,
72, 77, 81, 89, 102, 104, 105, 108, 109,
114, 119, 120, 122, 130, 137, 139, 140,
145, 153, 155, 159, 166, 173, 178, 183,
184, 188, 198, 205, 210, 211, 214, 217,
223, 225, 229, 231, 232, 234, 237, 238,
240, 245, 249, 9002, 9003, 9004,
9005, 9007, 9021, 9023, 9053
73 695
(*) mais de uma solução encontrada com o mesmo CPI.
157
Tabela 7-X: Alocação mínima de [98]
Sistema Barras ZIB Alocação PMUs CPI
14 7 2, 6, 9 3 16
24 11, 12, 17, 24 1, 2, 8, 16, 21, 23 6 34
30 6, 9, 22, 25, 27, 28 2, 3, 10, 12, 18, 24, 30 7 31
39 1, 2, 5, 6, 9, 10, 11, 13, 14, 17, 19,
22
3, 8, 12, 16, 20, 23, 25, 29
8 † 50
57 4, 7, 11, 21, 22, 24, 26, 34, 36, 37,
39, 40, 45, 46, 48
1, 6, 13, 19, 25, 29, 32, 38, 51, 54, 56 11 50
118 5, 9, 30, 37, 38, 63, 64, 68, 71, 81 1, 6, 8, 12, 15, 17, 21, 25, 29, 34, 40,
45, 49, 53, 56, 62, 72, 75, 77, 80, 85,
86, 90, 94, 101, 105, 110, 114
28 † 193
(†) O plano de alocação encontrado, resulta em um sistema não observável
Tabela 7-XI: Alocação mínima de [99]
Sistema Barras ZIB buses Alocação PMUs CPI
14 7 2, 6, 9 3 16
30 6, 9, 22, 25, 27, 28 1, 5, 10, 12, 18, 24, 30 7 29
57 4, 7, 11, 21, 22, 24, 26, 34, 36, 37,
39, 40, 45, 46, 48
1, 6, 13, 19, 25, 29, 32, 38, 51, 54, 56 11 50
118 5, 9, 30, 37, 38, 63, 64, 68, 71, 81 3, 8, 11, 12, 17, 21, 25, 28, 34, 35, 40, 45,
49, 53, 56, 62, 63, 72, 75, 77, 80, 85, 86,
90, 94, 102, 105, 110, 114
29 207
Tabela 7-XII: Alocação mínima de [103]
Sistema Barras ZIB Alocação PMUs CPI
14 7 2, 6, 9 3 16
24 11, 12, 17, 24 2, 8, 10, 15, 20, 21 6 † 41
30 6, 9, 22, 25, 27, 28 1, 2, 10, 12, 15, 19, 27 ou
1, 2, 10, 12, 15, 20, 27
7
7
55
63
39 1, 2, 5, 6, 9, 10, 11, 13, 14, 17, 19,
22
3, 8, 10, 16, 20, 23, 25, 29 ou
3, 8, 12, 16, 20, 23, 25, 29 ou
3, 8, 13, 16, 20, 23, 25, 29 ou
8, 13, 16, 18, 20, 23, 25, 29
8 †
8 †
8 †
8 †
52
50
48
47
(†) O plano de alocação encontrado, resulta em um sistema não observável
Tabela 7-XIII: Alocação mínima de [109]
Sistema Barras ZIB Alocação PMUs CPI
14 7 2, 6, 9 3 16
30 6, 9, 22, 25, 27, 29 2, 4, 10, 12, 15, 18, 27 7 73
39 1, 2, 5, 6, 9, 10, 11, 13, 14, 17, 19,
22
3, 8, 10, 16, 20, 23, 25, 29 8 37
57 4, 7, 11, 21, 22, 24, 26, 34, 36, 37,
39, 40, 45, 46, 48
1, 4, 13, 20, 25, 29, 32, 38, 51, 54, 56 11 57
118 5, 9, 30, 37, 38, 63, 64, 68, 71, 81 2, 8, 11, 12, 15, 19, 21, 27, 31, 32, 34,
40, 45, 49, 52, 56, 62, 65, 72, 75, 77, 80,
85, 86, 90, 94, 101, 105, 110
29 243
Embora o número de PMUs determinado pelo método proposto seja o mesmo de
[109], as diferentes localizações resultam em diferentes condições de redundância, e
consequentemente, diferentes CPIs. Isto é consequência direta do modo como a função de
fitness y foi definida neste trabalho. O método proposto resulta em melhoria na redundância
para sistemas maiores.
O método proposto aplicado ao sistema polonês com 552 ZIBs resultou em 746
158
PMUs alocadas e um CPI de 3896.
Em [97] um método de alocação baseado em GA também foi proposto, e sua função
de fitness leva em conta o número de PMUs e o número de nós não observáveis em cada plano
de alocação, mas para o sistema IEEE 57-bus o número de PMUs é maior que o resultado do
método proposto. A função de fitness proposta neste trabalho leva adicionalmente em
consideração o número de medidas associadas a cada PMU, e o grau de redundância, como
descrito anteriormente. A Tabela 7-XIV mostra os números de casos não observáveis
considerando perdas de linhas e medidas.
Tabela 7-XIV: Casos não observáveis para a alocação mínima com o método proposto
Perda de
Sistema Uma
Medida
Medidas associadas
a uma Linha
Duas
Medidas
Medidas associadas
a duas Linhas
14 0 0 11 0
24 1 0 10 0
30 0 0 15 1
39 0 0 15 3
57 2 0 28 4
118 1 0 92 7
300 2 0 144 6
2383 0 0 0 0
7.8.2 ALOCAÇÃO CONSIDERANDO PRÉ-ALOCAÇÃO - MODELO NÓ-RAMO
A Tabela 7-XV mostra os resultados da alocação mínima considerando a pré-
alocação, isto é, considerando que em um ou mais nós, já existe PMU conectada. A segunda
coluna da Tabela 7-XIV mostra o nó onde a PMU é pré-alocada. Em geral, a pré-alocação
resulta em um aumento do número de PMUs no plano final de alocação, assim como o CPI.
Entretanto, os resultados para o sistema IEEE 118 barras mostram que o nó 34 é também parte
do plano de alocação mínima (veja Tabela 7-VIII), portanto, o resultado final quando o nó 34
tem uma PMU previamente alocada não se modifica, como é esperado.
159
Tabela 7-XV: Alocação mínima considerando pré-alocação
Sistema Pré-alocação Alocação PMUs CPI
14 1 1, 2, 6, 9 4 36
24 11 2, 8, 9, 10, 11, 19, 21 7 69
30 20 2, 4, 10, 12, 15, 20, 27 7 73
39 3 2, 3, 8, 11, 16, 22, 29, 33 8 54
57 5 1, 5, 13, 19, 25, 29, 32, 38, 41, 51, 54 12 63
118 34 3, 8, 11, 12, 17, 20, 23, 28, 34, 37, 42, 45, 49, 53, 56, 62, 71,
75, 77, 80, 85, 86, 89, 92, 94, 100, 105, 110, 115
29 267
300 526 1, 2, 3, 11, 15, 17, 21, 23, 24, 26, 37, 41, 43, 44, 49, 55, 57, 61,
70, 71, 72, 77, 81, 89, 102, 104, 105, 108, 109, 114, 119, 120,
122, 130, 137, 139, 140, 145, 153, 155, 159, 166, 173, 178, 183,
184, 188, 198, 205, 210, 211, 214, 217, 223, 225, 229, 231, 232,
234, 237, 238, 240, 245, 249, 526, 9002, 9003, 9004, 9005,
9007, 9021, 9023, 9053
73 685
7.8.3 ALOCAÇÃO CONSIDERANDO PERDA DE PMU MODELO NÓ-RAMO
Embora os planos de alocação obtidos na Seção 7.8.1 satisfaçam o objetivo da
alocação de um número mínimo de PMUs, é importante notar que a perda de algumas medidas
pode resultar em um sistema não observável. Considerando os planos de alocação mínima da
Seção 7.8.1, medidas críticas quando perdidas por motivos técnico, podem ocasionar um
sistema não observável. Quatro testes exaustivos foram realizados usando a perda de uma
medida, de medidas relativas a uma linha, de duas medidas simultâneas quaisquer, e de medidas
relativas a duas linhas simultaneamente, e os resultados dos casos não observáveis foram
apresentados na Tabela 7-XIV.
O plano de alocação de PMUs considerando a possibilidade de perdas de uma PMU,
deve garantir que a observabilidade do sistema seja mantida nestas as situações, sendo que a
perda simultânea de duas ou mais PMUs é considerado um evento muito improvável. Nestas
circunstâncias os casos documentados na Tabela 7-XIV também estariam completamente
atendidos.
A Tabela 7-XVI mostra algumas referências que formulam a alocação considerando
a perda de PMUs, e a Tabela 7-XVII mostra a solução apresentada pelo método proposto. O
resultado da referência [92] é similar ao proposto, mas no caso do sistema IEEE 118 barras o
número de PMUs é maior. Entretanto, os planos de alocação de [92] não foram apresentados, e
a comparação usando CPI é limitada. Em [93] os resultados para os sistemas IEEE 14 barras e
30 barras são maiores que o método proposto. Por outro lado, os resultados para outros sistemas
testados são similares, mas os planos de alocação também não foram apresentados.
160
Tabela 7-XVI: Alocação mínima considerando a perda de uma PMU
Método / Sistema 14 24 30 39 57 118 300 2383 Multistage Integer Programming [92] 7 - - - 29 64 - -
Unified Approach – BILP [93] 9 - 16 - 25 61 - -
Two Stage [98] 7 13 15 18 26 64
Generalized ILP Programming [103] 7 9 10 11 - - - -
Integer Programming [104] 8 - 17 22 26 65 - -
Integer Quadratic Programming [106] - - 21 - 33 68 - -
Suitable Constraints with two IM [107] - - 15† - 25 61 - -
OPP (controlling Island) [111] 10 - 18 21 - 65 - 1422©
Redundant Observability ILP [126] 7 - - - 26 63 163 -
Proposto 7 11 14 17 25 61 161 1767
© Não foi possível verificar a observabilidade
A referência [98] aloca mais PMUs em todos os sistemas testados em relação ao
método proposto, mas para avaliar e comparar as soluções com maiores detalhes foi usada a
Tabela 7-XVIII. A referência [103] tem plano de alocação, mas considera somente a perda de
uma medida simples de linha, e neste caso a comparação não pode ser realizada de forma
apropriada. Em [104] a perda de medidas e perdas de medidas relacionadas a linha foram
consideradas, e os resultados são maiores que os obtidos pelo método proposto. A referência
[106] considera perda de PMU mas aloca mais PMUs que o método proposto, e seus resultados
são apresentados na Tabela 7-XIX. A referência [107] aloca mais PMUs somente para o sistema
IEEE 30 barras e os resultados estão na Tabela 7-XX. A referência [111] também aloca um
número maior de PMUs que o método proposto para todos os sistemas, mas somente para o
sistema polonês o valor é menor, mas as alocações não foram apresentadas para que fosse
possível comparar os resultados com mais detalhes, e alguns resultados foram não observáveis.
Finalmente, a referência [126] apresenta resultados interessantes, mas os planos de alocação
não foram apresentados para que fosse possível uma comparação detalhada. Para o sistema
polonês, 1721 PMUs foram alocadas, resultando em um CPI de 19957, e os resultados
encontram-se no Apêndice I.
161
Tabela 7-XVII: Alocação considerando perda de uma PMU - método proposto
Sistema Alocação PMU CPI
14 2, 4, 5, 6, 9, 10, 13 7 90
24 1, 2, 7, 8, 9, 10, 16, 20, 21, 22, 23 11 104
30 1, 2, 4, 5, 10, 12, 13, 15, 16, 19, 20, 24, 27, 29 14 144 *
39 1, 2, 3, 4, 7, 8, 10, 11, 16, 19, 20, 22 ,23, 26, 29 15 161
57 1, 2, 4, 9, 10, 12, 13, 15, 18, 19, 25, 28, 29, 30, 32, 33, 38, 41, 48, 49, 50,
52, 54, 55, 56
25 307
118 1, 2, 6, 8, 9, 11, 12, 15, 17, 19, 20, 21, 23, 27, 28, 29, 32, 34, 35, 40, 41,
43, 45, 46, 49, 50, 51, 52, 53, 56, 59, 62, 66, 68, 70, 71, 72, 75, 76, 77, 78,
80, 83, 85, 86, 87, 89, 90, 92, 94, 96, 100, 101, 105, 106, 108, 110, 111,
112, 114, 117
61 747
300 1, 2, 3, 8, 9, 11, 12, 15, 17, 20, 23, 24, 26, 27, 37, 40, 41, 43, 44, 47, 49,
54, 55, 57, 58, 61, 63, 70, 71, 72, 77, 78, 88, 89, 97, 99, 102, 103, 104, 105,
108, 109, 110, 114, 118, 119, 120, 122, 123, 130, 136, 137, 139, 140, 141,
143, 145, 146, 153, 154, 155, 159, 164, 166, 175, 177, 178, 179, 181, 183,
184, 185, 188, 189, 191, 198, 204, 207, 208, 210, 211, 213, 214, 216, 217,
221, 222, 223, 225, 227, 229, 230, 231, 232, 233, 234, 236, 237, 238, 239,
240, 245, 246, 248, 249, 250, 281, 319, 320, 322, 324, 526, 528, 531, 552,
609, 1190, 1200, 2040, 7001, 7002, 7003, 7011, 7017, 7023, 7044, 7049,
7055, 7057, 7061, 7071, 7130, 7139, 7166, 9002, 9003, 9004, 9005, 9007,
9021, 9022, 9023, 9024, 9025, 9031, 9032, 9033, 9034, 9035, 9036, 9037,
9038, 9041, 9042, 9043, 9052, 9053, 9054, 9055, 9072, 9533
161 1721
(*) Mais de uma solução com o mesmo CPI foi encontrada.
Tabela 7-XVIII: Alocação considerando perda de uma PMU - resultado de [98]
Sistema Alocação PMU CPI
14 1, 2, 4, 6, 9, 10, 13 7 81
24 1, 2, 7, 8, 9, 10, 11, 15, 16, 17, 20, 21, 23 13 155
30 1, 2, 3, 5, 6, 10, 12, 13, 15, 16, 18, 19, 24, 27, 30 15 167
39 2, 3, 5, 6, 8, 13, 16, 17, 20, 22, 23, 25, 26, 29, 34, 36, 37, 38 18 195
57 1, 2, 4, 6, 9, 12, 15, 18, 19, 22, 24, 25, 27, 29, 30, 32, 33, 36, 38, 41, 47,
50, 51, 53, 54, 56
26 252
118 1, 2, 3, 5, 6, 8, 9, 11, 12, 15, 17, 19, 20, 21, 23, 25, 27, 28, 29, 32, 34, 35,
37, 40, 41, 43, 45, 46, 49, 50, 51, 52, 53, 56, 59, 62, 66, 68, 70, 71, 72, 75,
76, 77, 78, 80, 83, 85, 86, 87, 89, 90, 92, 94, 96, 100, 101, 105, 106, 108,
110, 111, 112, 114, 117
64 841
É possível notar que o número de PMUs alocadas pelo método proposto é menor
ou igual ao número de PMUs alocadas em [98]. Para o sistema IEEE 14 barras o número de
PMUs é o mesmo, mas a localização é diferente resultando em diferentes CPIs. O método
proposto apresenta melhores condições de redundância para os outros sistemas, alocando menor
número de PMUs. Consequentemente, o CPI é também menor. É claro que é importante
ressaltar que os resultados dependem fortemente da forma como a função de fitness y é definida.
O método proposto prioriza a minimização de PMUs, garantindo adicionalmente a
observabilidade do sistema em caso de perdas de PMUs.
162
Tabela 7-XIX: Alocação considerando perda de uma PMU - resultado de [106]
Sistema Alocação PMU CPI
30 1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 11, 12, 13, 15, 16, 18, 19, 22, 24, 25, 26, 27, 28, 29 21 287
57 1, 3, 4, 6, 9, 11, 12, 15, 19, 20, 22, 24, 25, 26, 28, 29, 30, 32, 33, 35, 36,
37, 38, 41, 45, 46, 47, 50, 51, 53, 54, 56, 57
33 365
118 1, 3, 5, 6, 9, 10, 11, 12, 15, 17, 19, 20, 22, 23,
25, 27, 29, 30, 31, 32, 34, 35, 37, 40, 41, 44, 45,
46, 49, 51, 52, 54, 56, 57, 59, 61, 62, 64, 66, 68,
70, 71, 73, 75, 77, 79, 80, 83, 85, 86, 87, 89, 90,
92, 94, 96, 100, 101, 105, 106, 108, 110, 111, 112, 114, 116, 117, 118
68 943
No que diz respeito à perda de medidas relacionadas a uma linha, o plano de
alocação mínima preserva a observabilidade do sistema. Planos de alocação que levam em conta
a perda de uma PMU preservam a observabilidade exigida pela EE para perda de medidas
relacionadas a duas linhas. No caso da perda de medidas relacionadas a uma determinada linha
ℓ que conecta os nós k e m, assume-se que as medidas 𝐼𝑘𝑚 e 𝐼𝑚𝑘 sairão da base do conjunto de
medidas.
Tabela 7-XX: Alocação considerando segurança (𝑛 − 1) - resultado de [107]
Sistema Alocação PMU CPI
30 1, 2, 3, 5, 10, 12, 13, 15, 17, 19, 20, 23, 25, 27, 30 15 † 158
57 1, 3, 4, 6, 9, 10, 12, 13, 15, 19, 20, 25, 27, 29, 30, 32, 33, 37, 38, 41, 49,
51, 53, 54, 56
25 275
118 3, 5, 7, 9, 11, 12, 15, 17, 19, 21, 22, 23, 27, 29, 31, 32, 34, 35, 37, 40, 42,
44, 45, 46, 49, 50, 51, 53, 54, 56, 59, 62, 65, 66, 70, 71, 75, 76, 77, 78, 80,
83, 85, 86, 87, 89, 90, 92, 94, 96, 100, 102, 105, 106, 109, 110, 111, 112,
115, 117
61*
60 †
845
* Embora o método apresente 61 PMUs alocadas, o plano de alocação mostra somente 60 PMUs.
† O plano de alocação encontrado resulta em um sistema não observável considerando o critério utilizado
neste trabalho. Não fica claro se o autor usou outras medidas complementares.
7.8.4 DISCUSSÃO DE ASPECTOS ECONÔMICOS - MODELO NÓ-RAMO
O GA gera planos de alocação que podem ser comparados e ordenados em termos
das suas respectivas funções de fitness 𝑦. Novamente é importante notar que a função 𝑦 leva
em conta aspectos técnicos, como observabilidade e segurança, minimizando o número de
PMUs. A Tabela 7-XXI mostra algumas simulações utilizando o sistema IEEE 14 barras. A
melhores soluções encontradas durante o processo iterativo foram armazenadas para análise
posterior considerando aspectos econômicos. O plano de alocação foi classificado de acordo
com seu respectivo valor da função de fitness 𝑦, e 𝑓 é a função de fitness econômica total para
um certo plano de alocação. Cada PMU a ser instalada em um determinado nó 𝑘, recebeu um
valor de custo geral 𝑧𝑘 , as outras taxas financeiras e os parâmetros cronológicos foram
configurados usando valores arbitrários. Em particular, os parâmetros cronológicos foram
163
limitados a 𝑡𝑚𝑎𝑥 para cada nó 𝑘 , e valores foram arbitrados para os seguintes parâmetros
𝑃𝐵𝑘𝑚𝑎𝑥, 𝑡𝑚𝑎𝑥, 𝑡𝑖, 𝐾𝑘, 𝑅𝐹𝑅𝑘, e 𝐹𝑅𝑘, onde 𝛼 é um valor aleatório inteiro entre zero e três, criado
somente para dar forma aos fluxos de caixa positivo mês a mês, ou ano a ano, de cada nó 𝑘,
conforme Tabela 7-XXI.
Tabela 7-XXI: Valores utilizados na simulação financeira
𝑘 𝐹𝑅 𝐾 𝑅𝐹𝑅 𝑡𝑖 𝑡𝑚𝑎𝑥 𝑃𝐵𝑚𝑎𝑥 𝑧𝑘 𝛼 ∙ 𝐶𝐹𝑘𝑡 𝑧𝑘
𝑡 1 0,23 0,1600 0,1700 6 9 8 203000 𝛼 ∙22555,55 33833,33
2 0,27 0,1600 0,1600 1 11 10 207000 𝛼 ∙18818,18 207000,00
3 0,20 0,1600 0,2500 1 7 7 202000 𝛼 ∙28857,14 202000,00
4 0,28 0,2600 0,3000 2 10 9 203000 𝛼 ∙20300,00 101500,00
5 0,18 0,2700 0,2000 5 9 9 352000 𝛼 ∙39111,11 70400,00
6 0,22 0,1800 0,2500 4 8 7 206000 𝛼 ∙25750,00 51500,00
7 0,21 0,2300 0,1600 2 7 7 202000 𝛼 ∙28857,14 101000,00
8 0,26 0,3000 0,2100 5 11 8 450000 𝛼 ∙40909,09 90000,00
9 0,27 0,1700 0,1900 7 10 7 356000 𝛼 ∙35600,00 50857,14
10 0,22 0,2500 0,2100 1 9 7 202000 𝛼 ∙22444,44 202000,00
11 0,16 0,1700 0,1700 5 8 8 452000 𝛼 ∙56500,00 90400,00
12 0,17 0,1600 0,2500 4 10 9 352000 𝛼 ∙35200,00 88000,00
13 0,18 0,2000 0,2000 2 7 7 452000 𝛼 ∙64571,43 226000,00
14 0,29 0,1800 0,1600 2 11 9 202000 𝛼 ∙18363,63 101000,00
Cada solução possui um valor diferente de fitness econômico 𝑓 considerando a
relevância de 𝑀𝑁𝑃𝑉, 𝑀𝐼𝑅𝑅, e 𝑃𝑅, que são refletidos na função financeira 𝑓𝑘 para cada nó 𝑘
e, portanto, na totalização de 𝑓. Os valores de 𝑀𝑁𝑃𝑉 sugerem que alguns planos de alocação
são melhores do que outros sob o ponto de vista econômico. Planos com valores negativos de
𝑀𝑁𝑃𝑉 ou 𝑀𝐼𝑅𝑅 não são economicamente viáveis. A coluna 𝑃𝑅 é o total da taxa de retorno
(payback rate), e um valor médio é dado dividindo o valor total pelo número de nós com PMUs
instaladas. Economicamente é interessante, e é possível comparar, os planos 1 e 3. Embora o
plano 1 possua a melhor solução técnica, e seu custo financeiro 𝑧 seja menor que o plano 2, os
parâmetros econômicos do plano 3 mostram que a sua possibilidade de retorno financeiro é
maior que a do plano1, considerando 𝑀𝑁𝑃𝑉, 𝑀𝐼𝑅𝑅 e o valor da função financeira 𝑓.
O primeiro plano de alocação é a melhor solução no sentido de que ele resulta em
um menor número de PMUs alocados, em um melhor valor de 𝑦, e o custo 𝑧 é o menor, e os
parâmetros financeiros 𝑀𝑁𝑃𝑉 e 𝑀𝐼𝑅𝑅 são positivos, além de garantir a observabilidade, e uma
boa situação de redundância. Uma análise interessante consiste em comparar nos planos de
alocação que possuem o mesmo número de PMUs. Considere os planos de alocação que
apresentam quatro PMUs (planos de 2 a 16). Os planos possuem o mesmo número de PMUs,
entretanto, os planos 2, 4, 5, 10, 11, e 13 apresentaram valores negativos de 𝑀𝑁𝑃𝑉 e, portanto,
não são viáveis economicamente. Os planos 8,12,15, e 16 apesar de possuírem taxas positivas
apresentaram um 𝑃𝑅 negativo o que indica que as taxas de desconto ajustadas ao risco (taxa de
164
retorno) e o máximo tempo de payback podem estar mal dimensionadas, e, portanto, foram
retirados da análise. Os planos 3, 6, 7, 9, e 14 possuem a mesma quantidade de PMUs,
entretanto, a posição de PMUs de acordo com o plano 3 resulta em uma condição de
redundância melhor. Isto pode ser visto pelos valores de 𝑦 e então, o plano 3 é melhor do que
o plano 4 e assim sucessivamente até o plano 14. Por outro lado, o plano de alocação 3 é melhor
que os planos 6, 7, e pior que os planos 9 e 14, considerando os aspectos econômicos, porque o
valor de 𝑓 do plano 3 é menor que 𝑓 dos planos 6, 7, e maior que 9 e 14. Finalmente, a Figura
7-7 ilustra o desempenho do GA para os resultados obtidos da Tabela 7-XXII, em termos da
evolução da função de fitness 𝑦.
A simulação foi realizada com 50 iterações e mostra-se a evolução de 𝑦 para a
solução ótima e o valor médio de 𝑦 considerando todas as soluções. Note que muitos planos de
alocação de boa qualidade são obtidos após poucas gerações.
Tabela 7-XXII: Avaliação dos aspectos econômicos - sistema IEEE 14 barras
Plano Alocação PMUs 𝑦 MNPV MIRR PR 𝑧 𝑓
1 01000100100000 3 8156 48039,44 0,25 23,86 269000,00 -48063,55
2 01010100100000 4 10857 -80835,83 0,30 31,59 476000,00 80803,94
3 01001100100000 4 10861 85349,63 0,23 15,19 1475000,00 -85365,05
4 11000100100000 4 10865 -299954,64 0,19 22,86 1474000,00 299931,59
5 01000110100000 4 10872 -219505,65 0,15 29,86 1474000,00 219475,64
6 01000100100010 4 10873 36676,13 0,30 25,77 1624000,00 -36702,19
7 01100100100000 4 10877 83509,44 0,26 1,52 1623000,00 -83511,23
8 01000100110000 4 10877 37421,84 0,29 -0,48 1623000,00 -37421,65
9 01000100101000 4 10877 141667,49 0,40 37,30 1473000,00 -141705,19
10 01000100100100 4 10877 -137044,25 0,21 24,36 1473000,00 137019,68
11 01000100100001 4 10877 -105501,68 0,30 24,77 1723000,00 105476,62
12 01000000110010 4 10881 310537,56 0,25 -9,57 1522000,00 -310528,24
13 01000101100000 4 10889 -62932,25 0,33 29,19 1622000,00 62902,73
14 01000000101010 4 10889 302757,11 0,31 28,21 1372000,00 -302785,63
15 01000010010010 4 10892 520729,08 0,24 -11,42 1371000,00 -520717,90
16 01000001010010 4 10901 552841,64 0,36 -12,09 1519000,00 -552829,91
17 01010100100010 5 13574 -138431,09 0,42 33,50 1831000,00 138397,17
18 01010100110000 5 13578 249515,52 0,46 7,26 1830000,00 -249523,24
19 01010000110010 5 13582 190157,01 0,40 -1,83 1729000,00 -190155,57
20 01001100110000 5 13582 202572,10 0,35 -9,14 1829000,00 -202563,30
21 01001100100001 5 13582 48148,28 0,26 16,10 1929000,00 -48164,64
22 01001100101000 5 13582 -149489,13 0,31 28,63 1679000,00 149460,19
23 01101100100000 5 13582 -116673,03 0,15 -7,14 1829000,00 116680,02
24 01000100111000 5 13588 24953,84 0,37 12,97 1827000,00 -24967,18
25 11000100110000 5 13586 162146,38 0,34 -1,48 1828000,00 -162145,24
26 01000000110011 5 13593 101365,86 0,29 -8,66 1976000,00 -101357,49
27 01000110100010 5 13589 140247,38 0,32 31,77 1829000,00 -140279,47
28 01000110110000 5 13593 156488,03 0,29 5,52 828000,00 -156493,85
29 01100100100010 5 13594 -245221,42 0,23 3,43 978000,00 245217,76
30 01000100110010 5 13594 206830,76 0,40 1,43 1978000,00 -206832,59
31 01001000110010 5 13594 26954,30 0,17 -18,23 1728000,00 -26936,24
32 01000100110001 5 13598 222947,95 0,40 0,43 2077000,00 -222948,79
33 01000100100101 5 13598 -61387,00 0,36 25,27 1927000,00 61361,37
34 01100100110000 5 13598 270769,71 0,33 -22,81 1977000,00 -270747,23
35 01000100101100 5 13598 -104078,51 0,44 37,80 1677000,00 104040,27
165
Figura 7-7. Evolução da função y - simulação GA para o sistema IEEE 14 barras
7.8.5 ALOCAÇÃO DE UM NÚMERO ESPECÍFICO DE PMUS
Para demostrar como se realiza a alocação quando um número de PMUs é
especificado, independentemente de se alcançar a observabilidade ou não será utilizada a rede
de IEEE 57 barras. Esta rede requer um número mínimo de 11 PMUs para se ter a
observabilidade completa. Nestes testes será alocado um número menor e um número maior de
PMUs.
No primeiro teste oito PMUs foram solicitadas. O método proposto obteve o melhor
CPI possível, a fim de otimizar as condições de redundância, mas a observabilidade não pode
ser garantida. Neste teste o valor de 𝛼 programado foi de 𝑛7 para o parâmetro 𝑝2 e 𝑛5 para o
parâmetro 𝑝3.
No segundo teste 16 PMUs foram solicitadas. Da mesma forma, foi obtido o maior
CPI possível com a alocação criteriosa das PMUs. Neste teste o valor de 𝛼 programado foi de
𝑛7 para o parâmetro 𝑝2 e 𝑛7 para o parâmetro 𝑝3. A Tabela 7-XXIII traz os resultados para os
dois casos.
Tabela 7-XXIII: Alocação de um número fixo de PMUs
Sistema Barras ZIB Alocação Posto PMUs CPI y Observ.
57 4, 7, 11, 21, 22, 24,
26, 34, 36, 37, 39, 40,
45, 46, 48
1, 6, 9, 13, 19, 25, 29, 32 50 9 48 4815017826 Não
57 4, 7, 11, 21, 22, 24, 26,
34, 36, 37, 39, 40, 45,
46, 48
3, 4, 8, 9, 12, 13, 18, 27,
30, 32, 38, 49, 50, 53, 54,
56
57 16 168 2962712 Sim
166
Capítulo VIII
8 ALOCAÇÃO DE PMUS - MODELO MULTINÍVEL DE
ESTIMAÇÃO DE ESTADO
Conforme visto no Capítulo 2, a utilização de modelos multiníveis implica em
processamento da EE no nível da subestação. Dentro do âmbito das subestações existe mais
uma subdivisão relativa aos aspectos da origem das medidas, ou seja, também é separado o
estimador, pois nas subestações têm-se medidas fasoriais que permitem um estimador linear e
medidas convencionais que podem ser processadas por outros tipos de estimadores [10] e [11].
O interesse é realizar um estudo à parte de alocação PMUs relativa às subestações,
e a ideia de analisar este caso em particular remete à situação da alocação utilizada para o
modelo nó-ramo não atender especificamente os casos onde, ao invés de termos estimadores no
nível nó-ramo, teremos estimadores multiníveis. Neste caso vale também a observação já feita
de que, embora os custos da PMUs estejam diminuindo, é importante considerar as
possibilidades de redução de instalação de PMUs nas subestações, contempladas no modelo
multinível da EE. A alocação ótima de equipamentos na rede levando em conta a possibilidade
de perda dos mesmos e de medidas é considerada muito relevante segundo [110], [111], e [127].
O uso de estimadores multiníveis e o processamento de informações na subestação diminui a
complexidade e melhora a robustez das funcionalidades da EE [38], [39], e [40]. De acordo
com [128], a nova subestação e suas funcionalidades devem atender a critérios de
confiabilidade, segurança, interoperabilidade, reconfigurabilidade, controlabilidade,
manutenção, flexibilidade, custos reduzidos e impactos ambientais reduzidos, e os quatro
167
critérios mais restritivos comumente realçados para as subestações são confiabilidade, custos,
flexibilidade operacional, e avaliação do impacto ambiental.
Algumas normas como a IEC 61850, as novas recomendações para a comunicação
de subestações, e os recentes desenvolvimentos de padrões para a integração da automação das
subestações, permitiu a interconexão de IEDs, assim como a distribuição de aplicações como,
por exemplo, a EE. Portanto, frente a esta nova realidade algumas funções do centro de controle
foram remodeladas conforme [129], [130] e [131]. Considerando estes aspectos, os novos
recursos e os recursos já existentes da EE foram divididos em domínios, considerando o tipo de
medição, as subestações, a área da rede, nível de rede, e o tipo de EE considerando as suas
equações e formulação. Esta concepção faz a EE ser mais fácil de ser implantada e controlada
e permite o aumento das suas funcionalidades, e dos seus dados gradualmente.
8.1 IDEIA GERAL PARA ALOCAÇÃO DE PMUS NAS SUBESTAÇÕES
Para a resolução do problema de alocação de PMUs na subestação, conforme
mencionado no Capítulo 2, foi utilizado o modelo multinível de Yang, Sun e Bose [10], [11].
Nesta situação é utilizada a formulação do estimador de estado das subestações e é feito um
desdobramento da função da alocação nó-ramo da Seção 7.1. Assim como na alocação nó-ramo,
planos de alocação de boa qualidade são considerados aqueles que priorizam os seguintes
requisitos:
a) Ter um número mínimo de PMUs alocadas na subestação para atender as
exigências de observabilidade da EE, no caso de alocação mínima e de alocação
de um número de PMUs maior que o mínimo;
b) Resultar em um sistema observável no caso de alocação mínima, de alocação
que considera a possibilidade de perda de PMU, de alocação de um número de
PMUs maior que o número mínimo nos casos onde o número de PMUs a serem
obrigatoriamente alocadas é especificado para a subestação;
c) Ter um grande número de medidas fasoriais alocadas na subestação, decorrentes
da alocação da PMU, considerando os critérios adotados de associação de
medidas à PMU;
d) Prover a melhor possibilidade de cobertura no caso de perda de medidas na
subestação.
O processo de alocação mínima de PMUs em subestações é similar ao utilizado na
alocação segundo o modelo da EE nó-ramo. A instalação de uma PMU em um barramento
168
pressupõe a medição de tensão, injeção de corrente e fluxo de corrente nos ramos adjacentes à
barra, e a instalação de TCs (transformadores para coleta de corrente) e TPs (transformadores
de potencial, para coleta de tensão) necessários nestas áreas da subestação.
Neste processo não estão sendo consideradas medidas digitais que indicam os
estados dos disjuntores provenientes das PMUs para estes planos de alocação, que poderiam
ser utilizadas em eventuais validações, porque o modelo multinível não trabalha com estas
medidas em sua formulação.
Para a alocação é considerada uma PMU ideal com um número de entradas
exatamente idêntica ao número de medidas necessárias em cada barra.
O problema de alocação de PMUs na subestação também possui uma função de
fitness chamada de 𝑦 , semelhante à apresentada na Seção 7.1 e adaptada para este caso
particular, baseada nos requisitos de (a) a (d) acima mencionados e que medirão a qualidade
técnica do plano de alocação. Tem-se também uma função de análise econômica 𝑓 no âmbito
da subestação, onde podem ser usados os mesmos indicadores financeiros. Os problemas
técnico e econômico da subestação são respectivamente representados por:
min𝑦 (8.1)
e portanto o melhor plano de alocação de PMUs será aquele que tiver o menor valor de y, e:
min𝑓 (8.2)
onde o melhor plano de alocação de PMUs será aquele que tiver o menor valor de f.
8.2 ALGORITMO GENÉTICO PARA ALOCAÇÃO DE PMUS NAS SUBESTAÇÕES
A dimensão do problema de alocação de PMUs em subestações é bem menor que
o de alocação no sistema como um todo, e em princípio outras heurísticas mais simples que o
GA poderiam ser utilizadas. No entanto, para aproveitar a possibilidade de diversidade
proporcionada pelo GA foi mantida a mesma estrutura proposta na Seção 7.2, tendo sido
alterada apenas a função de fitness. Neste modelo também foi definido um cromossomo 𝑥𝑝 com
valores iguais a 0 ou 1 indicando a presença da PMU em um determinado barramento da
subestação, e um cromossomo 𝑥𝑚 expandido que representa as medições oriundas da presença
de PMU em um determinado barramento da subestação.
Neste caso, é proposta uma combinação de GA com outras heurísticas mais simples
para atingir todos os objetivos definidos para este tipo de alocação. A estrutura construída para
o GA permite que a função de fitness e outros parâmetros sejam modificados e ajustados
169
automaticamente de acordo com o tipo de subestação. No caso do modelo nó-ramo são
exploradas as características da rede, e neste caso específico são exploradas as características
da subestação, como por exemplo, quais são os barramentos, como eles são interligados, e quais
são os disjuntores que os interligam, o que está ligado em cada barramento, e o tipo do mesmo.
Os princípios gerais do GA foram todos mantidos, mas suas dimensões foram alteradas.
8.3 COVERAGE PERFOMANCE INDICATOR (CPI) PARA A SUBESTAÇÃO
Na EE apresentada no Capítulo 2, Seção 2.6 existe uma subdivisão do
processamento do estimador no nível da subestação. Tem-se primeiro a estimação das correntes
dos disjuntores na subestação e, de posse destas, a definição das seções de barramento para a
estimação das tensões.
O CPI da subestação pode ser calculado baseado nas informações das medidas de
corrente da matriz de estado e medidas 𝐻𝑖 do estimador de estado da subestação que trata da
estimação das correntes nos disjuntores. Esta matriz contém informações importantes sobre as
medidas em si e a topologia da subestação e é possível verificar a redundância usando suas
colunas e linhas. A matriz 𝐻𝑖 também é construída a partir do cromossomo 𝑥𝑝 provido pelo
GA, baseada no vetor de medidas 𝑥𝑚 obtido a partir de 𝑥𝑝. Neste caso, a matriz 𝐻𝑖 é gerada
considerando as possíveis medidas como injeções de corrente nodais, e fluxos de corrente.
Considere a Figura 8-1 que mostra uma subestação como exemplo. A subestação possui seis
barramentos. No barramento 1 há um gerador conectado. Uma carga é conectada ao barramento
2. Linhas de transmissão são conectadas aos demais barramentos. Nota-se que há quatro PMUs,
conectadas aos barramentos 2, 3, 5 e 6. Assume-se que cada PMU mede todas as correntes que
incidem no respectivo barramento.
Figura 8-1: Subestação de seis barramentos
A matriz 𝐻𝑖 do exemplo da Figura 8-1 seria representada por:
170
𝐻𝑖=
I1,2 I1,6 I2,3 I3,4 I4,5 I5,6
0 0 0 0 0 0 𝐼1
1 0 -1 0 0 0 𝐼2
0 0 1 -1 0 0 𝐼3
0 0 0 0 0 0 𝐼4
0 0 0 0 1 -1 𝐼5
0 1 0 0 0 1 𝐼6
0 0 0 0 0 0 𝐼1,2
0 0 0 0 0 0 𝐼1,6
0 0 1 0 0 0 𝐼2,3
0 0 0 1 0 0 𝐼3,4
0 0 0 0 0 0 𝐼4,5
0 0 0 0 0 1 𝐼5,6
-1 0 0 0 0 0 𝐼2,1
0 -1 0 0 0 0 𝐼6,1
0 0 -1 0 0 0 𝐼3,2
0 0 0 0 0 0 𝐼4,3
0 0 0 0 -1 0 𝐼5,4
0 0 0 0 0 -1 𝐼6,5
onde as colunas correspondem às variáveis de estado (correntes dos disjuntores) e as linhas
correspondem as medidas de corrente associadas a alocação de determinadas PMUs. Note que
a primeira linha da matriz, por exemplo, é composta por zeros, já que esta linha corresponde à
medida 𝐼1, e não há PMU no barramento 1.
Considere uma subestação genérica com 𝑠𝑏 barramentos e 𝑛𝑑 disjuntores, e
também a alocação de PMUs em todos os 𝑠𝑏 barramentos. Para cada barramento 𝑘 são medidas
as correntes incidentes, ou seja, as injeções de corrente e as correntes pelos disjuntores vizinhos,
e a tensão da barra. Para cada disjuntor 𝑘 −𝑚, que interliga duas barras respectivamente 𝑘 e
𝑚, ambos fluxos de corrente, de 𝑘 para 𝑚 e de 𝑚 para 𝑘, podem ser medidos. Portanto, o
número máximo de medidas 𝑚𝑠 é representado por (8.3).
𝑚𝑠 = 2 ∙ (𝑠𝑏 + 𝑛𝑑) (8.3)
No caso do sistema exemplo de seis barras da Figura 8-1, o número máximo de
medidas 𝑚𝑠 é igual a 24. O CPI para o plano de alocação de PMUs para subestação foi
adaptado considerando que as medidas de tensão são calculadas separadamente e após a
definição da topologia, então a cobertura será restrita às informações de injeções de corrente e
fluxos de corrente da matriz 𝐻𝑖 e é definido por:
171
𝐶𝑃𝐼 = ∑ 𝐶𝑃𝐼𝑗
𝑠𝑏+2𝑛𝑑
𝑗=1
(8.4)
onde 𝐶𝑃𝐼𝑗 é o número de diferentes possibilidades de calcular a medida 𝑗 (qualquer medida,
uma injeção de corrente nodal, ou um fluxo de corrente) baseada em outras medidas
disponíveis. O indicador 𝐶𝑃𝐼𝑗 leva em conta a possibilidade de uma ou mais medidas serem
perdidas e provê a ideia de como é cobrir estas medidas em particular. 𝐶𝑃𝐼𝑗 é inicializado com
zero, e seu valor é atualizado dependendo do tipo de medida 𝑗, como descrito a seguir.
Medida j é uma corrente de injeção 𝐼𝑘
Se 𝐼𝑘 pode ser calculado por:
∑ 𝐼𝑘𝑖𝑖 ∈Ω𝑘
(8.5)
onde Ω𝑘 é o conjunto de barramentos vizinhas de 𝑘, então incrementar 𝐶𝑃𝐼𝑗.
Se 𝑘 é um barramento com injeção zero, então decrementar 𝐶𝑃𝐼𝑗. Este caso tem a função
de evitar a alocação de PMUs em barramentos menos importantes da subestação
considerando a ligação com outros elementos da rede.
Medida 𝑗 é fluxo de corrente 𝐼𝑘𝑚
Se 𝐼𝑘𝑚 pode ser calculada por:
𝐼𝑘 − ∑ 𝐼𝑘𝑖𝑖 ∈Ω𝑘𝑖 ≠𝑚
(8.6)
então incrementa 𝐶𝑃𝐼𝑗.
Se 𝐼𝑘𝑚 pode ser calculadar por:
−𝐼𝑚𝑘 (8.7)
então incrementar 𝐶𝑃𝐼𝑗.
Considerando a subestação exemplo da Figura 7-1 tem-se um CPI total de 16. Se
escolhêssemos o barramento 2, e a medida j fosse 𝐼2, então ela teria 𝐶𝑃𝐼𝑗 equivalente a 1, mas
se a medida fosse 𝐼2,3 teria 𝐶𝑃𝐼𝑗 equivalente a 2. Se tivéssemos uma PMU em cada barra da
subestação o CPI seria máximo e equivalente a 30.
172
8.4 FUNÇÃO DE FITNESS PARA ALOCAÇÃO MÍNIMA NA SUBESTAÇÃO
Cada plano de alocação de PMUs obtido pelo GA para a subestação deve ser
avaliado. A qualidade de um plano de alocação é expressa através da função de fitness (ou
função objetivo). Levando em conta os requisitos de (a) a (d) mencionados na Seção 8.1, a
função de fitness 𝑦 para a parte técnica do problema é definida como:
𝑦 = ∑𝑝𝑖
5
𝑖=1
(8.8)
onde os componentes 𝑝𝑖 são definidos em termos de prioridades de (a) a (d) da Seção 8.1. É
importante mencionar novamente que é impossível obter uma alocação prática que atenda aos
requisitos de (a) a (d) da Seção 8.1 simultaneamente. Por exemplo, o item (a) é atendido se
nenhuma PMU é instalada ou conectada, que resulta em um caso não observável, assim
conflitando com o item (b). Também, se somente o item (d) for considerado, a solução ótima
seria alocar PMUs em todas as barras, que resultaria em uma cobertura máxima no caso de
perda de medidas. Entretanto, esta solução conflitaria com o item (a), que prioriza a alocação
de um número mínimo de PMUs.
A componente 𝑝1 é relativa ao número de PMUs alocadas, e é definida como:
𝑝1 = ∑(𝑤𝑝𝑘 ∙ 𝑥𝑝𝑘)
𝑠𝑏
𝑘=1
(8.9)
onde 𝑥𝑝𝑘 é igual a 1 no caso de uma PMU ser alocada no barramento k, e 0 caso contrário, e
𝑤𝑝𝑘 é o peso associado para cada PMU. Neste trabalho, foram utilizados os mesmos pesos
para todas as PMUs alocadas. Neste caso, 𝑤𝑝𝑘 é definido como 𝑛3 , para 𝑘 = 1,2, … , 𝑛.
Assim como na alocação para a EE modelo nó-ramo, a escolha de um peso 𝑤𝑝𝑘
bem como a escolha de outros pesos serão apresentadas a seguir e merecem uma atenção
especial. Primeiramente, é importante notar que a função de fitness 𝑦 tem cinco termos, e cada
um deles é associado a pesos. Estes pesos devem expressar o grau de importância de cada termo
na função 𝑦, de tal forma que a qualidade do indivíduo (ou plano de alocação de PMU) seja
corretamente avaliada considerando um significado multiobjetivo já mencionado na Seção 7.1.
Também, estes pesos são usualmente definidos através de um tipo de processo de tentativa e
erro, até que soluções balanceadas, coerentes, e de boa qualidade sejam obtidas. Neste caso
utilizou-se também a ideia é definir pesos baseados no tamanho das subestações, evitando assim
a árdua tarefa de definir pesos dependentes de cada modelo da subestação.
173
A componente 𝑝2 é relacionada com a especificação de um número de PMUs
específica que se deseja alocar independentemente de ser o número mínimo ou não pode
assumir qualquer valor, e é definida como:
𝑝2 = 𝛼 ∙ |𝑛𝑝 −∑𝑥𝑝𝑘
𝑠𝑏
𝑘=1
| , 𝑠𝑒 𝑛𝑝 > 0
0, 𝑠𝑒 𝑛𝑝 = 0
(8.10)
onde o peso 𝛼 é igual a 𝑛5 e 𝑛𝑝 é o número de PMUs que se deseja alocar. No caso de se usar
a opção de alocação mínima de PMUs, 𝑛𝑝 e portanto 𝑝2 serão iguais a 0. Se, devido a razões
operacionais, o número de PMUs deve ser 𝑛𝑝, 𝑝2 resultará em valor diferente de zero de forma
que os planos de alocação de PMUs com melhor qualidade realmente terão 𝑛𝑝 PMUs, embora
as suas localizações dependam dos outros componentes 𝑝𝑖.
A componente 𝑝3 destina-se a priorizar planos de alocação observáveis. Portanto,
ela é relativa ao posto 𝑟 da matriz de ganho 𝐶 = (𝐻𝑖)𝑇∙𝑊𝑖
∙𝐻𝑖, obtida no Capítulo 2, a partir
de (2.48), onde 𝑊𝑖 é a matriz de matriz peso convencional com base nas variâncias das
medições. A matriz ganho 𝐶 tem dimensão (𝑛𝑑 × 𝑛𝑑) e pode ser representada por:
𝐶 =
[ 𝑐1,1 𝑐1,2 ⋯ 𝑐1,𝑛𝑑−1 𝑐1,𝑛𝑑𝑐2,1 𝑐2,2 ⋯ 𝑐2,𝑛𝑑−1 𝑐2,𝑛𝑑⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮
𝑐𝑛𝑑−1,1 𝑐𝑛𝑑−1,2 ⋯ 𝑐𝑛𝑑−1,𝑛𝑑−1 𝑐𝑛𝑑−1,𝑛𝑑𝑐𝑛𝑑,1 𝑐𝑛𝑑,2 ⋯ 𝑐𝑛𝑑,𝑛𝑑−1 𝑐𝑛𝑑,𝑛𝑑 ]
Depois da fatoração LU [8] obtêm-se duas matrizes, uma triangular inferior 𝐿 e
outra triangular superior 𝑈, dadas por:
𝐿 =
[ 𝑙1,1 0 ⋯ 0 0
𝑙2,1 𝑙2,2 ⋯ 0 0
⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮𝑙𝑛𝑑−1,1 𝑙𝑛𝑑−1,2 ⋯ 𝑙𝑛𝑑−1,𝑛𝑑−1 0
𝑙𝑛𝑑,1 𝑙𝑛𝑑,2 ⋯ 𝑙𝑛𝑑,𝑛𝑑−1 𝑙𝑛𝑑,𝑛𝑑]
e 𝑈 =
[ 𝑢1,1 𝑢1,2 ⋯ 𝑢1,𝑛𝑑−1 𝑢1,𝑛𝑑𝑢2,1 𝑢2,2 ⋯ 𝑢2,𝑛𝑑−1 𝑢2,𝑛𝑑⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮0 0 ⋯ 𝑢𝑛𝑑−1,𝑛𝑑−1 𝑢𝑛𝑑−1,𝑛𝑑0 0 ⋯ 0 𝑢𝑛𝑑,𝑛𝑑 ]
.
O posto 𝑟 da matriz 𝐶 é igual ao número de linhas linearmente independentes de 𝐶,
ou, ao número de elementos diferentes de zero da diagonal de 𝑈. Finalmente, considerando o
peso 𝛽 é igual a 𝑛7, e 𝑛𝑑 o número de disjuntores tem-se:
𝑝3 = 𝛽 ∙ (𝑛𝑑 − 𝑟) (8.11)
De acordo com teoria de estimação de estado, um plano de alocação é observável
quando a matriz ganho possui posto completo [8]. Isto é verdade quando os ângulos das
correntes são fornecidos [8]. É importante ressaltar que o conjunto de medidas contém fasores
de corrente e tensão, mas aqui estão sendo analisados os fasores de corrente, pois as variáveis
de estado são as correntes pelos disjuntores na parte que trata das correntes do estimador da
subestação. Então, não é necessário estabelecer o ângulo de referência, desde que assumimos
174
que isto também é resolvido pelo GPS. Então, planos de alocação de PMUs que resultem em
uma matriz 𝐶 com posto completo, e, portanto, um sistema observável, resultam em 𝑟 = 𝑛𝑑 e
𝑝3 = 0. Por outro lado, os planos para os quais 𝑟 < 𝑛𝑑 (sistema não observável) terão um
valor muito grande de 𝑝2, sendo, portanto descartados pelo GA.
Se a matriz ganho 𝐶 é decomposta usando o método LU e a matriz 𝑈 tem elementos
diferentes de zero na diagonal, então 𝐶 possui posto completo. O termo (𝑛𝑑 − 𝑟) da
componente 𝑝2 representa a ideia de que se (𝑛𝑑 − 𝑟) é igual a zero, a matriz ganho possui posto
completo, portanto o sistema é observável, do contrário (𝑛𝑑 − 𝑟) não é igual a zero, a matriz
ganho possui posto incompleto, portanto não observável.
A quarta componente 𝑝4 é dada por:
𝑝4 = −𝑅𝑜𝑢𝑛𝑑 (1 +𝑛𝑑
𝑠𝑏) ∙ ∑ 𝑥𝑚𝑘
2∙(𝑠𝑏+𝑛𝑑)
𝑘=1
(8.12)
A componente 𝑝4 prioriza planos com grande número de medidas. Quanto maior o
número de medidas, menor o valor da componente 𝑝4.
Finalmente, a quinta componente 𝑝5 relaciona-se com o CPI, de tal forma que
aqueles planos de alocação que proverem boa redundância terão preferência, e isto é
representado simplesmente por:
𝑝5 = −𝐶𝑃𝐼 (8.13)
Como resultado da definição dos termos 𝑝1 a 𝑝5, é claro que a busca pelo melhor
plano de alocação de PMUs deve atender à seguinte ordem de precedência:
Planos de alocação observáveis;
Planos de alocação com o menor número de PMUs; e
Planos de alocação com o maior número de medidas e a maior cobertura de
medidas em caso de perdas.
8.5 PRÉ-ALOCAÇÃO DE PMUS NA SUBESTAÇÃO
Algumas situações práticas podem requerer a alocação de PMUs a priori em
determinados barramentos da subestação, dependendo da filosofia de operação da
concessionária.
A pré-alocação é importante porque pode permitir o aproveitamento de informações
provenientes de outros processos já realizados no nível das subestações. Esta possibilidade é
útil considerando que muitas vezes já existem PMUs instalados nas subestações, e que a
175
possibilidade de alocação a partir do zero é muito menos provável, ou seja, não serão movidos
de lugar TPs, TCs ou PMUs, bem como representar a situação onde uma barra relevante pode
ser aquela que que recebe uma linha de transmissão, ou aquela conectada a uma carga
importante, etc.
Portanto, a presença destas PMUs pode ser mandatória no plano final de alocação.
De acordo com o modelo adotado neste trabalho, se uma PMU é pré-alocada no barramento k,
então 𝑥𝑝(𝑘) = 1 e o respectivo peso associado a ela é reconfigurado para 𝑤𝑝𝑘 = −𝑛7.
8.6 ALOCAÇÃO CONSIDERANDO PERDAS DE PMU NA SUBESTAÇÃO
De acordo com [10], se existir um número suficiente de fasores de tensão e corrente
na subestação para termos a observabilidade, as equações da EE da subestação podem ser
lineares. Estes requisitos são necessários para se ter a formulação linear, ou seja, número
suficiente de fasores de tensão e corrente de forma que torne a subestação observável, porque
do contrário tem-se os fasores, mas se não se têm a observabilidade, não é possível realizar a
formulação linear na subestação. Neste caso, embora existam medições fasoriais, estas deverão
ser incorporadas no nível de um estimador não linear generalizado, para que seja possível
determinar a topologia e dar prosseguimento com estimação. A estimação linear na subestação
na EE multinível, além de requerer medidas fasoriais, necessita também que estas medidas
sejam suficientes para prover a observabilidade. Ao contrário da EE tradicional, a topologia
não é determinada primeiro, e ao invés disto, as informações dos fasores são utilizadas
localmente na subestação para determinar a topologia da própria e posteriormente as tensões de
cada nível e de cada barramento da subestação.
Para que seja possível suportar a perda de uma PMU e manter a observabilidade,
seria necessário ter PMUs em todos os barramentos, salvo quando temos um barramento de
passagem ou manobra na subestação, onde não temos cargas, geração, ou linhas conectadas a
ele. Isto pode ser verificado tomando a Figura 8-1 como exemplo e trabalhando e avaliando os
planos de alocação têm-se os resultados representados na Tabela 8-I. Analisando os planos de
alocação vê-se apenas uma situação na qual se pode perder qualquer uma das PMUs instaladas.
176
Tabela 8-I: Planos de alocação e contingências de PMU na subestação
Plano 𝑥𝑝 𝑥𝑚 No.
PMUs
Observável 𝑦 PMUs que não podem
ser perdidas
1 010101 010101001010110101010101 3 Y 615 2,4,6
2 101010 101010110101001010101010 3 Y 615 1,3,5
3 101110 101110110111001110101110 4 Y 816 1,3,5
4 101101 101101110110011101101101 4 Y 816 1,3,4,6
5 110110 110110111011100110110110 4 Y 816 1,2,4,5
6 010111 010111001011110111010111 4 Y 816 2,4,6
7 011011 011011001101111011011011 4 Y 816 2,3,5,6
8 110101 110101111010110101110101 4 Y 816 2,4,6
9 011101 011101001110111101011101 4 Y 816 2,4,6
10 101011 101011110101011011101011 4 Y 816 1,3,5
11 111010 111010111101101010111010 4 Y 816 1,3,5
12 111011 111011111101111011111011 5 Y 1017 3,5
13 111101 111101111110111101111101 5 Y 1017 4,6
14 110111 110111111011110111110111 5 Y 1017 2,4
15 111110 111110111111101110111110 5 Y 1017 1,5
16 101111 101111110111011111101111 5 Y 1017 1,3
17 011111 011111001111111111011111 5 Y 1017 2,6
18 111111 111111111111111111111111 6 Y 1218 -
Para contornar esta situação algumas alternativas foram estudadas e serão
apresentas nas próximas seções.
8.6.1 ALOCAÇÃO CRUZADA DE MEDIDAS NAS PMUS DA SUBESTAÇÃO
A alocação cruzada de medições foi assim denominada quando se analisou a
possibilidade de distribuir entre as PMUs existentes na subestação as medidas referentes um
determinado barramento da subestação, porque no processo convencional, quando se aloca uma
PMU a um barramento, são alocadas nesta PMU medidas de tensão, de injeção de corrente e de
fluxos de corrente pelos disjuntores incidentes no barramento. Assim considera não alocar todas
as medidas de um determinado barramento na PMU alocada para aquele barramento específico.
Este processo foi realizado considerando os aspectos das vizinhanças de PMUs, vizinhança
próxima, representada pelas vizinhas adjacentes, e vizinhança longe, representadas por
barramentos que não são adjacentes, e a quantos barramentos distam do barramento onde está
sendo alocada a PMU. Esta alocação tem por objetivo no caso de perda da PMU, aliviar os
impactos considerando a perda de medidas variadas associadas a diversos barramentos e não
somente a um único, considerando a alocação convencional, que coloca todas as informações
de um barramento em uma única PMU. Isto pode ser realizado considerando a proximidade
geográfica em uma mesma subestação. No caso da alocação cruzada opta-se por alocar a
medida de injeção de corrente do barramento em uma PMU que tenha vizinhança mais longe
177
possível dentro da subestação.
Para realizar este processo de alocação cruzada, foi criada uma lista de precedências
dos barramentos candidatos a serem avaliados no caso de haver PMU nos mesmos. Esta lista
de precedência é construída utilizando algoritmos de custo mínimo de distância entre um
barramento da subestação e os demais, ordenada de forma decrescente, ou seja, os caminhos
menores ficarão por último, e cada aresta deste grafo possui peso 1, conforme mostrado na
Figura 8-2. As arestas tracejadas apresentam os caminhos de custo mínimo entre cada nó do
grafo, com seus respectivos valores.
Figura 8-2: Grafo da subestação e respectivas distâncias entre os barramentos
A lista de precedência da subestação da Figura 8-1 é mostrada na Tabela 8-II.
Repare que na lista de precedência procura-se evitar que colunas sejam idênticas nos casos onde
se tem caminhos de custo mínimo equivalentes. Assim, por exemplo, na linha 2 da tabela as
distâncias entre os barramentos 2 e 4, e entre os barramentos 2 e 6 são equivalentes a 2, e eles
aparecem na ordem 4, 6. Na linha 4 a distância entre os barramentos 4 e 2, e 4 e 6 são
equivalentes a 2, mas eles aparecem na ordem 6, 2, ao invés de 2, 6, porque na coluna 3 da linha
2 já existe o número seis, então para criar uma diversificação dos candidatos a cruzamento na
medida do possível não se repetem as colunas.
178
Tabela 8-II: Lista de precedência dos barramentos da subestação da Figura 8-1 Barramento Precedência
Barramentos
Distância
1 4, 3, 5, 2, 6, 1 3, 2, 2, 1, 1, 0
2 5, 4, 6, 1, 3, 2 3, 2, 2, 1, 1, 0
3 6, 5, 1, 4, 2, 3 3, 2, 2, 1, 1, 0
4 1, 6, 2, 3, 5, 4 3, 2, 2, 1, 1, 0
5 2, 1, 3, 6, 4, 5 3, 2, 2, 1, 1, 0
6 3, 2, 4, 5, 1, 6 3, 2, 2, 1, 1, 0
A efetividade desta estratégia está relacionada ao plano de alocação que foi
escolhido, porque na verdade a distribuição depende da existência ou não de PMUs em
barramentos favoráveis para um determinado plano. Na referência [127] foi realizado um
procedimento de análise de alocação das medidas, relacionadas às respectivas RTUs de um
sistema, e como seria uma distribuição adequada de medidas.
Pode-se considerar para efeitos de alocação um modelo simplificado genérico
associado a cada PMU, que, por exemplo, poderia conter as informações mostradas na Tabela
8-III.
Tabela 8-III: Modelo genérico de uma PMU
PMU(1).pmuId Número sequencial que identifica o equipamento
PMU(1).pmuCod Modelo do equipamento
PMU(1).pmuManufacture Nome do fabricante
PMU(1).nCardsC Número de cartões de entrada de medidas de corrente
PMU(1).nSlotsC Número de slots para cartões de entrada de medidas de
corrente
PMU(1).nCardsV Número de cartões de entrada de tensão
PMU(1).nSlotsV Número de slots para cartões de entrada de medidas tensão
PMU(1).nInputsC Número de entradas para cada cartão de entrada de medidas de
corrente
PMU(1).nInputsV Número de entradas para cada cartão de entrada de medidas de
tensão
PMU(1).allocC Tabela de alocação de medidas de corrente
PMU(1).allocV Tabela de alocação de medidas de tensão
Dentro do modelo da PMU, distribui-se as medidas de acordo com o número de
cartões e número de entradas de forma a utilizar os recursos disponíveis da PMU, considerando
que cada barramento da subestação pode possuir PMU alocada, com um determinado modelo
associado, de acordo com o algoritmo da tabela
179
Tabela 8-IV: Algoritmo de alocação convencional de medidas nas PMUs
1 Ler configuração da subestação
2 Ler modelo de PMU associado a cada barramento 𝑛𝑏 da subestação
3 Montar vetor de medidas 𝑥𝑚 a partir de 𝑥𝑝
4 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑐 = 1 % contador de cartões de corrente
5 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑐𝑖 = 1 % contador de entradas do cartão de corrente
6 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑣 = 1 % contador de cartões de tensão
7 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑣𝑖 = 1 % contador de entradas do cartão de tensão
8 Para cada medida 𝑝
9 Se 𝑝 é medida de corrente então
10 Se 𝑝 é injeção de corrente então
11 𝑥𝑚(𝑝, 2) = 0
12 𝑥𝑚(𝑝, 3) = 𝑝
13 𝑥𝑚(𝑝, 4) = 1
14 Senão 𝑥𝑚(𝑝, 2) = 1
15 Fim (10)
16 𝑥𝑚(𝑝, 5) = 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑐 17 𝑥𝑚(𝑝, 6) = 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑐𝑖 18 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑐 = 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑜(𝑐𝑜𝑛𝑡𝑐 / 𝑃𝑀𝑈(𝑛𝑏). 𝑛𝐶𝑎𝑟𝑑𝑠𝐶) + 1
19 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑐𝑖 = 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑜(𝑐𝑜𝑛𝑡𝑐𝑖 / 𝑃𝑀𝑈(𝑛𝑏). 𝑛𝐼𝑛𝑝𝑢𝑡𝑠𝐶) + 1
20 Senão %tensão
21 𝑥𝑚(𝑝, 2) = 2
22 𝑥𝑚(𝑝, 4) = 1
23 𝑥𝑚(𝑝, 3) = 𝑝 − 𝑛𝑏 + 2𝑛𝑑
24 𝑥𝑚(𝑝, 5) = 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑣
25 𝑥𝑚(𝑝, 6) = 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑣𝑖 26 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑣 = 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑜(𝑐𝑜𝑛𝑡𝑣 / 𝑃𝑀𝑈(𝑛𝑏). 𝑛𝐶𝑎𝑟𝑑𝑠𝑉) + 1
27 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑣𝑖 = 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑜(𝑐𝑜𝑛𝑡𝑣𝑖 / 𝑃𝑀𝑈(𝑛𝑏). 𝑛𝐼𝑛𝑝𝑢𝑡𝑠𝑉) + 1
28 Fim (9)
29 𝑥𝑚(𝑝, 7) = 0
30 Fim (8)
31 Para cada barramento k
32 Ordenar medidas de fluxos 𝑝 por barra de origem (𝑘) e barra destino (𝑚) 33 Para cada medida 𝑝 de fluxo de corrente
34 𝑘 = 𝑜𝑟𝑖𝑔𝑒𝑚(𝑝) 35 𝑖 = 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑚(𝑝) 36 𝑥𝑚(𝑝, 3) = 𝑘
37 𝑥𝑚(𝑝, 4) = 𝑖 38 Fim (33)
39 Fim (31)
39 Fim (1)
A heurística de alocação cruzada representada pela Tabela 8-V usa como base o
GA para as devidas alocações de PMUs nos barramentos da subestação e para obtenção de uma
alocação padrão. Posteriormente a alocação cruzada define como serão distribuídas as medidas
entre as PMUs existentes. Primeiramente, são consideradas as injeções de corrente e tenta-se
alocá-las em outras PMUs distribuídas ao longo da subestação de acordo com a ordem de
precedência.
180
Depois destas alocações, procede-se à alocação de medidas de fluxos de corrente,
que devem ser distribuídas nas PMUs existentes seguindo os mesmos critérios, mas procurando
PMUs diferentes daquelas onde houve a alocação de medidas de injeção de corrente.
Tabela 8-V: Algoritmo de cruzamento de alocação de medidas
1 Ler configuração da subestação
2 Montar lista de precedência
3 Para cada plano P de alocação disponível
4 Alocar medidas de forma convencional (PMU ideal por barra) Tabela 8-IV
5 Para cada medida k de injeção
6 Para cada barramento p da lista de precedência
7 b = precedencia(k,p)
8 Se b < 0 ir para 6
9 Senão
10 Se medida k ainda não trocada
11 Marcar k como trocada
12 Trocar medida k alocada com medida b alocada
13 precedencia(k,p) = -1 . precedencia(k,p)
14 precedencia(b,p) = -1 . precedencia(b,p)
15 ir para 6
16 Fim (10)
17 Fim (8)
18 Fim (6)
19 Fim (5)
20 Para cada medida k de fluxo de corrente
21 Se medida k ainda não trocada
22 Se k for a primeira medida de fluxo de corrente do barramento p
23 Manter medida k na PMU associada ao barramento p
24 Marcar medida k como trocada
25 Ir para 20
26 Fim (22)
27 Para cada barramento p da lista de precedência
28 b = precedencia(k,p)
29 Se b < 0 ir para 27
31 Procurar medidas de fluxo m alocadas na PMU b para troca
32 Se encontrou medida m para troca
33 Se ordem da medida k > 2 e k não trocada e medida m não trocada
34 Trocar medida k com medida m
35 Marcar medidas k e m como trocadas
36 precedencia(k,p) = -1 . precedencia(k,p)
37 Senão se ordem da medida m > 2 e trocou medida m
38 Então precedencia(m,p) = -1 . precedencia(m,p)
39 Fim (33)
40 Fim (32)
41 Fim (27)
42 Fim (21)
43 Fim (20)
44 Se existe alguma medida k do barramento p não trocada
45 precedencia( k,p)= -1 . precedencia(k,p)
46 Ir para 20
47 Fim (44)
5 Para cada medida k de tensão marcar como trocada
48 Fim (3)
49 Fim
181
8.6.2 HEURÍSTICAS DAS CORRENTES E A LEI DE KIRCHHOFF NA SUBESTAÇÃO
A limitação da observabilidade em situações de perda de PMUs na subestação
foi apresentada no início da Seção 8.6, confrontados os diversos planos de alocação de uma
subestação exemplo. A ideia é minimizar a alocação de PMUs e superar problemas de falta de
observabilidade em caso de perda de PMU utilizando a Lei das Correntes de Kirchhoff,
informações do estado anterior (armazena-se somente o último estado), a ampliação parcial do
plano de medição com a inclusão de PMUs extras de tal forma que cada PMU instalada possua
pelo menos uma vizinha (critério de vizinhança). Para realizar esta tarefa são considerados os
diversos planos de alocação obtidos pelo GA para a subestação e uma heurística que verifica se
o plano cumpre a regra da alocação com vizinhança representada na Tabela 8-VI.
Tabela 8-VI: Algoritmo de verificação de existência de barramento vizinho com PMU
1 Para cada barramento k verifica(k) = 0;
2 Para cada plano P de alocação
3 Para cada posição k do cromossomo xp ≠ 0 com verifica(k) = 0
4 vizinho = pegar vizinhos do barramento k
5 Para cada vizinho m de k
6 Se xp(m) == 1
7 verifica (k) = 1;
8 verifica(m) = 1;
9 Fim (5)
10 Fim (3)
11 Fim (2)
12 cxp = soma(xp)
13 cverifica = soma(verifica);
14 if cverifica == cxp retorna 1 % com vizinhas
15 senão retorna 0 % sem vizinhas
16 Fim
Tomando a subestação utilizada como exemplo teríamos o julgamento dos planos
de alocação representados na Tabela 8-VII.
Pode-se verificar a existência de alguns planos de alocação que atendem ao critério
de vizinhança. Nota-se em particular que as alocações mínimas não atendem a este critério,
portanto, seria necessário considerar alocações de mais de três PMUs, mas nota-se que em
alguns casos mesmo com PMUs adicionais este critério não é satisfeito. A segunda etapa, depois
de analisados os planos de alocação candidatos, consiste em escolher um plano, e realizar a
análise baseada na Lei das Correntes de Kirchhoff para as situações de perda de uma
determinada PMU.
182
Tabela 8-VII: Análise do critério de vizinhança para a subestação
Plano 𝑥𝑝 𝑥𝑚 No.
PMUs
Observável 𝑦 Critério de
Vizinhança
1 010101 010101001010110101010101 3 Y 615 NOK
2 101010 101010110101001010101010 3 Y 615 NOK
3 101110 101110110111001110101110 4 Y 816 NOK
4 101101 101101110110011101101101 4 Y 816 OK
5 110110 110110111011100110110110 4 Y 816 OK
6 010111 010111001011110111010111 4 Y 816 NOK
7 011011 011011001101111011011011 4 Y 816 OK
8 110101 110101111010110101110101 4 Y 816 NOK
9 011101 011101001110111101011101 4 Y 816 NOK
10 101011 101011110101011011101011 4 Y 816 NOK
11 111010 111010111101101010111010 4 Y 816 NOK
12 111011 111011111101111011111011 5 Y 1017 OK
13 111101 111101111110111101111101 5 Y 1017 OK
14 110111 110111111011110111110111 5 Y 1017 OK
15 111110 111110111111101110111110 5 Y 1017 OK
16 101111 101111110111011111101111 5 Y 1017 OK
17 011111 011111001111111111011111 5 Y 1017 OK
18 111111 111111111111111111111111 6 Y 1218 OK
A estratégia proposta para lidar com a perda de medidas e PMUs está baseada na
premissa que mudanças de status dos disjuntores não ocorrem com frequência, ou seja, a
frequência de mudança é menor que a frequência de coleta dos dados das PMUs. Assim, é
razoável supor que se possa usar o estado anterior, e sua topologia associada, e as medidas
correntes para inferir algumas medidas usando a Lei das Correntes de Kirchhoff. Um simples
exemplo será apresentado para dar uma visão rápida do processo como um todo. Considere a
subestação exemplo da Figura 8-3, e assume-se que no instante 𝑡𝑖−1 todos os disjuntores estão
fechados e todas as PMUs operam normalmente. Neste caso, a EE do nível da subestação é
capaz de determinar a topologia de todas as subestações bem como suas variáveis de estado.
Assuma agora que no instante 𝑡𝑖 os seguintes eventos ocorram simultaneamente: (a) a PMU 3
da subestação falha e não disponibiliza suas medidas, (b) os disjuntores 2 − 3 e 3 − 4 abram.
Note que esta é uma situação pouco provável, e crítica, e que esta combinação de eventos
conduz a um sistema não observável no nível da subestação.
Assim, antes de processar a EE da subestação algum processamento deverá ser
feito, e neste caso particular tem-se:
𝐼3𝑖 = −𝐼3,2
𝑖 − 𝐼3,4𝑖
onde 𝐼3,2𝑖 , 𝐼3,4
𝑖 são as correntes dos disjuntores 2 − 3 e 3 − 4, e 𝐼3𝑖 é a corrente de injeção no
barramento 3, que basicamente corresponde à corrente de linha 𝐿𝑇1(2 − 1). Embora a corrente
𝐼3,2𝑖 não esteja disponível (a PMU 3 está em falha), ela pode ser aproximada e substituída por
183
−𝐼2,3𝑖 considerando que a PMU 2 vizinha está funcionando sem falhas. Assumindo algumas
premissas anteriormente apresentadas, pode-se aproximar 𝐼3𝑖 por 𝐼3
𝑖−1 conduzindo a:
𝐼3𝑖−1 = 𝐼2,3
𝑖 − 𝐼3,4𝑖
𝐼3,4𝑖 = 𝐼2,3
𝑖 − 𝐼3𝑖−1
Figura 8-3: Situação da subestação entre dois instantes da coleta de medidas
Agora, a decisão sobre o status 𝑆𝑖(3 − 4), sobre o disjuntor não observável 3 − 4
é tomada por:
𝑠𝑒 |𝐼3,4𝑖 | ≤ |
𝐼3,4𝑖−1
2|
então faça 𝑆𝑖(3 − 4) aberto e 𝐼3,4 = 0
senão faça 𝑆𝑖(3 − 4) fechado e 𝐼3,4 = 𝐼3,4𝑖
Como os valores de 𝐼3,2𝑖 , 𝐼3,4
𝑖 e 𝐼3𝑖 não estão disponíveis e foram inferidos, seus
valores de desvio padrão serão ajustados para valores mais altos. Depois desta etapa, a EE da
subestação estima o estado e envia ao centro de controle. E todos as variáveis de estado
estimadas de todas as subestações (topologia e estado) são combinados e a EE do centro de
controle é executada. Nesta ocasião, as eventuais decisões erradas tomadas no nível da
subestação podem, e tem a chance de serem corrigidas através do processamento de erros
grosseiros. O problema então é dividido em duas partes:
= [] , = [
] 𝑒 𝑢 = [
𝑟𝐻𝑠]
(8.14)
onde é o vetor de resíduos das medidas fasoriais atuais coletadas, é o vetor de resíduos da
medidas fasoriais inferidas, é o vetor de resíduos modificado é a matriz de pesos das
184
medidas atuais coletadas, é a matriz de pesos das medidas fasoriais inferidas, é a matriz de
pesos das medidas modificada, 𝑟 é matriz de medidas em função das variáveis de estado
estimadas a partir de medidas coletadas, e 𝑠 é a matriz de medidas em função das variáveis de
estado obtidas através das medidas inferidas, e 𝐻𝑢 é matriz de medidas modificada. O mesmo
se aplica à parte relativa às medidas convencionais:
𝑢 = [𝑟𝑠] , 𝑈 = [
𝑊𝑆] 𝑒 ℎ𝑢 = [
ℎ𝑟ℎ𝑠]
(8.15)
Na Seção 8.6.4 será mostrado como o nível da EE do centro de controle pode
utilizar as informações providas e como atua para concluir a estimação de estado em caso de
problemas.
Para demonstrar a heurística das correntes aqui descrita, será escolhido o plano
número sete da Tabela 8-VI com alocação equivalente a 𝑥𝑝 = 011011, ou seja, com PMUs
instaladas nos barramentos dois, três, cinco e seis da subestação exemplo da Figura 8-1,
assumindo que a distribuição de medidas é realizada de forma tradicional, ou seja, cada PMU
ideal contém suas medidas de tensão, injeção de corrente, e fluxos de corrente para os
barramentos adjacentes, e, portanto, sem a aplicação dos recursos de cruzamento de medidas
entre PMUs. Assume-se ainda que no instante 𝑡(0) de coleta de medidas tem-se um status 𝑆𝑡(0)
associado, que retrata a situação de todos os disjuntores da subestação, e uma topologia 𝑇𝑡(0)
associada, que indica qual é a ligação e combinação das seções de barramento, indicando quais
deles estão juntos (formando um único nó elétrico) e quais estão separados. No instante seguinte
𝑡(1) de coleta de medidas, tem-se respectivamente um status 𝑆𝑡(1) associado e uma topologia
𝑇𝑡(1) associada. As medidas coletadas nos instantes 𝑡(0) e 𝑡(1) serão respectivamente:
𝑉2, 𝑉3, 𝑉5, 𝑉6, 𝐼2, 𝐼3, 𝐼5, 𝐼6, 𝐼2,1, 𝐼2,3, 𝐼3,2, 𝐼3,4, 𝐼5,4, 𝐼5,6, 𝐼6,1,, 𝐼6,5𝑡(0)
𝑉2, 𝑉3, 𝑉5, 𝑉6, 𝐼2, 𝐼3, 𝐼5, 𝐼6, 𝐼2,1, 𝐼2,3, 𝐼3,2, 𝐼3,4, 𝐼5,4, 𝐼5,6, 𝐼6,1,, 𝐼6,5𝑡(1)
Imagine que no instante 𝑡(1) ocorra a perda da PMU referente ao barramento três
conforme representado na Figura 8-3. Assim, o conjunto de medidas 𝑉3, 𝐼3, 𝐼3,2, 𝐼3,4𝑡(1) seria
perdido e não seria coletado.
Na situação representada pela Figura 8-3, temos no instante 𝑡(0) o status 𝑆𝑡(0) =
111111 e topologia 𝑇𝑡(0) = 111111, significando respectivamente que os disjuntores estão
todos fechados e que a topologia equivale a uma única seção de barramento (um único nó
elétrico) numerada em 1.
185
Suponha as correntes ilustradas na Figura 8-2 e que, no instante 𝑡(1), a PMU do
barramento 3 apresenta problemas, e, ao mesmo tempo, três disjuntores mudam de estado (são
abertos), resultando 𝑆𝑡(1) = 110001 e topologia 𝑇𝑡(0) = 112311. Como a PMU 3 está com
problemas, não é possível concluir sobre a topologia, porque o sistema é não observável
considerando os equacionamentos para obtenção da topologia da Seção 2.6.
Agora, através da Lei das Correntes de Kirchhoff será realizada uma aproximação
para um provável valor de corrente do disjuntor, no caso das injeções de corrente e dos fluxos
de corrente correspondentes ao barramento 3, respectivamente 𝐼3, 𝐼3,2, 𝐼3,4𝑡(1) , utilizando
informações dos balanços nos nós e eventualmente avaliar as vizinhanças para averiguação dos
valores. Como temos a PMU no barramento 2 assume-se que 𝐼3,2 = −𝐼2,3 através de (8.17) e
(8.18). Ainda falta o cálculo de 𝐼3,4, que poderia ser obtido considerando que as injeções de
corrente mudam relativamente menos que os fluxos de corrente, e que é possível utilizar o valor
da estimação anterior para o instante 𝑡(0) para tentar inferir o novo valor através de (8.19),
(8.20), (8.21), e (8.22). Portanto:
𝐼2,31 = 0 (8.16)
𝐼3,21 = −𝐼2,3
1 (8.17)
𝐼3,21 = 0 (valor inferido) (8.18)
𝐼31 = −𝐼3,2
1 − 𝐼3,41 (8.19)
𝐼30 = 𝐼2,3
1 − 𝐼3,41 (8.20)
3 = 0 − 𝐼3,41 (8.21)
𝐼3,41 = −3 (valor inferido) (8.22)
Após a estimativas das correntes de fluxos os seguintes testes deveriam ser
realizados:
|𝐼3,41 | ≤ |
𝐼3,40
2| (disjuntor aberto)
(8.23)
|𝐼3,41 | > |
𝐼3,40
2| (disjuntor fechado)
(8.24)
Verificando as equações (8.23) e (8.24) verifica-se que a condição para disjuntor
fechado, e para verificar se este valor está correto, será estendido o raciocínio utilizando
informações da PMU do barramento 5 conforme (8.25) a (8.31):
𝐼5,41 = 0 (8.25)
𝐼41 = 𝐼3,4
1 + 𝐼5,41 (8.26)
𝐼40 = 𝐼3,4
1 + 𝐼5,41 (8.28)
186
𝐼40 = 𝐼3,4
1 + 𝐼5,41 (8.29)
0 = −3 + 𝐼5,41 (8.30)
𝐼5,41 = 3 (valor inferido) (8.31)
Neste caso o valor de 𝐼5,41 = 3 e a conclusão seria que o disjuntor (5 − 4) está
fechado, mas a medição de 𝐼5,41 real aponta para o valor zero. Então, admitindo que a PMU está
medindo corretamente obtém-se a conclusão de que o disjuntor (5 − 4) está aberto, e que
também, como acusou um erro no fechamento do balanço das correntes segundo a Lei das
Correntes de Kirchhoff, o disjuntor (3 − 4) está aberto e o que 𝐼3,41 = 0. Estas análises devem
ser feitas nas subestações na tentativa de obter a topologia localmente e evitar o uso de
pseudomedidas que não sejam fasoriais, e também diminuir a possibilidade de enviar para os
níveis superiores da EE a dúvida topológica, para que o estimador de estado do nível superior
fora da subestação decida a topologia, porque pela estratégia do estimador de estado da
subestação deve-se estimar a topologia localmente naquele nível.
8.6.3 HISTÓRICO DA EE NA SUBESTAÇÃO
No nível da subestação a EE pode estimar o estado, e se o estado é estimado sem a
ocorrência de erros ou situações limites de perda de equipamentos, este então poderia ser
gravado em um arquivo de histórico. A formação do nome do arquivo de histórico deveria
identificar unicamente a subestação, o status dos disjuntores, e uma marcação de tempo do tipo
timestamp. Neste arquivo seriam gravadas informações sobre identificação de subestação, área
de estimação de estado, o estado dos disjuntores e consequente topologia da subestação. Cada
medida estimada também é armazenada e registrada em módulo e ângulo, e as medidas
estimadas seriam de tensão, injeção de corrente e fluxos de corrente. O histórico poderia ser
representado pelo esquema da Tabela 8-VIII.
Depois que a EE da subestação estima o estado sem dados com erros, o histórico
pode ser gravado e se já existir algum arquivo com o mesmo status com outro timestamp
(identificação de tempo) os valores são comparados e se a variação for maior que 3% (valor
arbitrado neste trabalho) para algum valor do estado estimado e o correspondente no histórico,
o arquivo anterior é substituído pelo novo com a mesma informação do status dos disjuntores e
um aviso é gerado para a operação. Obviamente esta opção poderia ser adotada ou não
187
dependendo da ocorrência e frequência destes acontecimentos em um ambiente de operação
real.
Tabela 8-VIII: Modelo exemplo de arquivo de histórico
Linha Comando
1 <xsd:schema xmlns:xsd="http://www.w3.org/2001/XMLSchema">
2 <xsd:complexType name="history">
3 <xsd:attribute name="substationName" type="xsd:string" use="required"/>
4 <xsd:attribute name="seArea" type="xsd:unsignedInt" use="required"/>
5 <xsd:attribute name="id" type="xsd:ID" use="required"/>
6 <xsd:attribute name="CircuitBreakersStatus" type="xsd:string" use="required"/>
7 <xsd:attribute name="Topology" type="xsd:string" use="required"/>
8 <xsd:sequence>
9 <xsd:element name="measType" type="xs:string"/>
10 <xsd:element name="measDesc" type="xs:string"/>
11 <xsd:element name="measId" type="xs:unsignedInt"/>
12 <xsd:element name="measValuepu" type="xs:decimal"/>
13 <xsd:element name="measAnglerad" type="xs:decimal"/>
14 </xsd:sequence>
15 </xsd:complexType>
16 </xsd:schema>
Considere novamente a subestação da Figura 8-2 como exemplo. Imagine que todos
os disjuntores estão fechados, então o status S dos disjuntores poderia ser representado como S
= 111111 com seis posições relativas a seis disjuntores, e a topologia T representada por T =
111111. Agora imagine que os fluxos de corrente estimados pelos disjuntores 1-2 e 5-6 são
próximos de zero, de tal forma que os disjuntores 1-2 e 5-6 sejam estimados como abertos,
então o status S dos disjuntores poderia ser representado pelo vetor S = 011110, como
representado na Tabela 8-IX, e a topologia T representada pelo vetor T = 122221.
Tabela 8-IX: Identificação do status dos disjuntores
Posição Disjuntor Status do disjuntor:
Aberto/Fechado (0/1)
1 1-2 0
2 1-6 1
3 2-3 1
4 3-4 1
5 4-5 1
6 5-6 0
Para um melhor entendimento de como fica a topologia, pode-se considerar a Figura
8-4, e verificar como ficam os barramentos com o fechamento ou abertura dos disjuntores.
Figura 8-4: Código para determinação da topologia
188
Muitas combinações de status dos disjuntores e consequentes topologias podem
ocorrer, como por exemplo, representadas na tabela 8-X.
Tabela 8-X: Relação entre status dos disjuntores e topologia
Status S Topologia T
111110 111111
100111 112222
100101 112233
011110 122221
Considerando a Figura 8-2 do instante 𝑡(0) e o respectivo plano de medição com
xp = 011011, as informações seriam gravadas em pu no histórico da EE de acordo com a Tabela
8-XI. Pode-se observar que o número das medidas de injeção de corrente e fluxo de corrente
correspondem aos números das linhas da matriz 𝐻𝑖 da Seção 8.3. Os valores de tensão
completam a numeração para a montagem da matriz 𝐻𝑣𝑖 .
Tabela 8-XI: Exemplo de arquivo de histórico segundo figura 7-2
Linha Identificação Conteúdo
1 Timestamp “201407141729270005” "2014 07 14 17:29:27 0005"
2 Substation name Example 8-2
3 Substation ID 2
4 State Estimation Area 1
5 Circuit Breaker Status 111111
6 Topology 111111
7 Current injection Busbar 1 1 1,0000 0,0000
8 Current injection Busbar 2 2 -2,0000 0,0000
9 Current injection Busbar 3 3 -3,0000 0,0000
10 Current injection Busbar 4 4 -4,0000 0,0000
11 Current injection Busbar 5 5 -3,0000 0,0000
12 Current injection Busbar 6 6 11,0000 0,0000
13 Current flow Disjuntor 1-2 7 7,0000 0,0000
14 Current flow Disjuntor 1-6 8 -6,0000 0,0000
15 Current flow Disjuntor 2-3 9 5,0000 0,0000
16 Current flow Disjuntor 3-4 10 2,0000 0,0000
17 Current flow Disjuntor 4-5 11 -2,0000 0,0000
18 Current flow Disjuntor 5-6 12 -5,0000 0,0000
19 Current flow Disjuntor 2-1 13 -7,0000 0,0000
20 Current flow Disjuntor 6-1 14 6,0000 0,0000
21 Current flow Disjuntor 3-2 15 -5,0000 0,0000
22 Current flow Disjuntor 4-3 16 -2,0000 0,0000
23 Current flow Disjuntor 5-4 17 2,0000 0,0000
24 Current flow Disjuntor 6-5 18 5,0000 0,0000
25 Voltage Busbar 1 21 1,0098 0,0000
26 Voltage Busbar 2 22 1,0060 0,0000
27 Voltage Busbar 3 23 0.9980 0,0000
28 Voltage Busbar 4 24 1,0005 0,0000
29 Voltage Busbar 5 25 1,0070 0,0000
30 Voltage Busbar 6 26 0,9805 0,0000
Realizando simulações para todas as possibilidades de status dos disjuntores da
subestação da Figura 8-2, com xp = 011011, tem-se os arquivos de histórico conforme Tabela
8-XII.
189
Tabela 8-XII: Arquivos de histórico da subestação - exemplos Diretório: C:\hhmuller\SUB02\Hist
Mode LastWriteTime Length Name
---- ------------- ------ ----
-a---- 20/10/2015 01:51 1216 000000.hic
-a---- 20/10/2015 01:51 1377 000001.hic
-a---- 20/10/2015 01:51 1359 000010.hic
-a---- 20/10/2015 01:51 1477 000011.hic
-a---- 20/10/2015 01:51 1358 000100.hic
-a---- 20/10/2015 01:51 1556 000101.hic
-a---- 20/10/2015 01:51 1486 000110.hic
-a---- 20/10/2015 01:51 1636 000111.hic
-a---- 20/10/2015 01:51 1321 001000.hic
-a---- 20/10/2015 01:51 1474 001001.hic
-a---- 20/10/2015 01:51 1457 001010.hic
-a---- 20/10/2015 01:51 1606 001011.hic
-a---- 20/10/2015 01:51 1455 001100.hic
-a---- 20/10/2015 01:51 1586 001101.hic
-a---- 20/10/2015 01:51 1562 001110.hic
-a---- 20/10/2015 01:51 1675 001111.hic
-a---- 20/10/2015 01:51 1324 010000.hic
-a---- 20/10/2015 01:51 1452 010001.hic
-a---- 20/10/2015 01:51 1462 010010.hic
-a---- 20/10/2015 01:51 1547 010011.hic
-a---- 20/10/2015 01:51 1470 010100.hic
-a---- 20/10/2015 01:51 1586 010101.hic
-a---- 20/10/2015 01:51 1593 010110.hic
-a---- 20/10/2015 01:51 1679 010111.hic
-a---- 20/10/2015 01:51 1434 011000.hic
-a---- 20/10/2015 01:51 1552 011001.hic
-a---- 20/10/2015 01:51 1532 011010.hic
-a---- 20/10/2015 01:51 1642 011011.hic
-a---- 20/10/2015 01:51 1554 011100.hic
-a---- 20/10/2015 01:51 1665 011101.hic
-a---- 20/10/2015 01:51 1655 011110.hic
-a---- 20/10/2015 01:51 1738 011111.hic
-a---- 20/10/2015 01:51 1328 100000.hic
-a---- 20/10/2015 01:51 1488 100001.hic
-a---- 20/10/2015 01:51 1458 100010.hic
-a---- 20/10/2015 01:51 1590 100011.hic
-a---- 20/10/2015 01:51 1396 100100.hic
-a---- 20/10/2015 01:51 1593 100101.hic
-a---- 20/10/2015 01:51 1555 100110.hic
-a---- 20/10/2015 01:51 1675 100111.hic
-a---- 20/10/2015 01:51 1426 101000.hic
-a---- 20/10/2015 01:51 1580 101001.hic
-a---- 20/10/2015 01:51 1556 101010.hic
-a---- 20/10/2015 01:51 1675 101011.hic
-a---- 20/10/2015 01:51 1510 101100.hic
-a---- 20/10/2015 01:51 1653 101101.hic
-a---- 20/10/2015 01:51 1613 101110.hic
-a---- 20/10/2015 01:51 1725 101111.hic
-a---- 20/10/2015 01:51 1415 110000.hic
-a---- 20/10/2015 01:51 1522 110001.hic
-a---- 20/10/2015 01:51 1557 110010.hic
-a---- 20/10/2015 01:51 1624 110011.hic
-a---- 20/10/2015 01:51 1549 110100.hic
-a---- 20/10/2015 01:51 1665 110101.hic
-a---- 20/10/2015 01:51 1664 110110.hic
-a---- 20/10/2015 01:51 1735 110111.hic
-a---- 20/10/2015 01:51 1529 111000.hic
-a---- 20/10/2015 01:51 1662 111001.hic
-a---- 20/10/2015 01:51 1671 111010.hic
-a---- 20/10/2015 01:51 1729 111011.hic
-a---- 20/10/2015 01:51 1618 111100.hic
-a---- 20/10/2015 01:51 1727 111101.hic
-a---- 20/10/2015 01:51 1724 111110.hic
-a---- 20/10/2015 01:51 1814 111111.hic
190
Após aplicar a heurística da Lei das Correntes de Kirchhoff na subestação, estimar
o estado mais provável, e consequentemente o status de disjuntores mais provável, a heurística
deve tomar este status estimado mais provável, e procurar um arquivo de histórico compatível.
Se encontrar, o mesmo deverá comparar os valores, e se a diferença entre as variáveis de estado
estimadas e as variáveis de estado armazenadas no histórico for maior que 50% (valor arbitrado
neste trabalho), deverá rever os valores atribuídos e trocar os estados (status) dos disjuntores
que foram inferidos e ajustar a injeção da barra onde a PMU entrou em falha, utilizando a matriz
𝐻𝑖. Assim, é possível verificar que se os valores são muito diferentes do último histórico para
uma determinada variável de estado e consequente dos status dos disjuntores associados, é
provável que a inferência realizada das medidas esteja errada e consequentemente o estado
estimado também.
Na Seção 8.6.4 o algoritmo da EE com histórico foi incorporado na EE multinível
modificada.
8.6.4 USO DO NÍVEL II DA EE MULTINÍVEL PARA CONTORNAR PROBLEMAS NA
SUBESTAÇÃO
Nas seções 8.6.1, 8.6.2, 8.6.3, foram apresentadas as restrições relativas às
contingências de PMUs e algumas alternativas para minimizar o problema. Nesta Seção será
apresentada mais uma ideia complementar para tornar a EE provida pela subestação a mais
robusta possível, e permitir que a EE seja resolvida sempre no nível da subestação. Algumas
técnicas poderiam ser usadas no nível da EE do centro de controle para dirimir eventuais
problemas não resolvidos apropriadamente no caso de perdas de PMU na subestação.
Com o avanço do processamento das subestações, muitos cálculos podem ser
realizados no nível da subestação, e inclusive os cálculos da EE. Comparando a EE multinível
adotado com a EE tradicional, verifica-se que o processamento da topologia não é determinado
primeiro, mas os fasores de corrente são usados para resolver a estimação local na subestação
para cada nível de tensão. As correntes resultantes dos disjuntores são usadas para verificar o
status dos disjuntores.
As PMUs destinam-se a fornecer medidas periódicas de tensão e corrente, em
determinados instantes de tempo, 𝑡0, 𝑡1, 𝑡2 e assim por diante. Muito além das mudanças de
comportamento e nas medições da rede elétrica, alguns eventos podem ocorrer isoladamente ou
combinados entre ciclos de medição, como abertura ou fechamento de disjuntores,
191
indisponibilidade de medidas, indisponibilidade de PMUs, e/ou outras falhas de equipamento
que acarretam medições ruins e com erros. Alguns eventos podem por processadas sem
problemas, e a EE da subestação torna-se apta a determinar a topologia correta da subestação e
estima com confiabilidade as condições de operação. Entretanto, alguns eventos severos,
especialmente se combinados (perda de PMU, e abertura ou fechamento dos disjuntores
associados à PMU, e consequente alteração dos fluxos de correntes pelos disjuntores) podem
resultar em um sistema não observável.
A ideia principal é assegurar que a EE da subestação resolva a topologia, e o estado
de operação da subestação, mesmo nas situações onde se tem problemas de observabilidade.
Nas situações críticas onde há problemas de observabilidade na EE da subestação, as grandezas
estimadas através das pseudomedidas de inferência são marcadas como suspeitas, isto é, a EE
reporta ao nível superior (EE do centro de controle) este evento e que está usando
pseudomedidas. Isto é feito associando desvios padrões altos (pesos baixos) às medidas
suspeitas. A EE do centro de controle deve lidar com estas medidas marcadas, com as outras
medidas oriundas da subestação e o processamento integrado de todas essas medições, e assim
permitir a identificação das estimativas de estado com problemas, que podem ter sido feitas em
primeiro lugar no nível da subestação. Na estimação de estado do centro de controle eventuais
medidas inferidas com problemas, poderão eventualmente apresentar erros grosseiros.
A estratégia proposta para lidar com a perda de medições/PMUs baseia-se no
pressuposto de que alterações do estado do disjuntor não ocorrem o tempo todo e, portanto, têm
menor frequência de mudança comparada com a frequência da coleta de dados fornecida pela
PMU, e que é razoável o uso de variáveis de estado anteriores, associados à topologia, e os
valores das correntes para inferir algumas medidas usando Lei das Correntes de Kirchhoff como
foi apresentado na Seção 8.6.2. Esta ideia se apoia no fato de criar a noção de EE multinível
com autocorreção (self healing) [132], para prover a possibilidade de inferir medidas na
subestação em caso de falhas graves, e diminuir os esforços do estimador de estado no centro
de controle na detecção de erros topológicos.
Um simples exemplo será descrito para fornecer uma compreensão de todo o
processo. Considere a Figura 8-5, e assumindo que no instante 𝑡𝑖−1 todos os disjuntores estão
fechados e todas as PMUs estão trabalhando adequadamente, e que a alocação de medidas na
PMU é convencional, ou seja, as medidas relativas a um determinado barramento são todas
alocadas na PMU instalada para aquele barramento, e que o plano de alocação adotado para
cada subestação está representado na Tabela 8-XIII.
192
Tabela 8-XIII: Planos de alocação de PMUs nas subestações
Subestações
SUBa SUBb SUBc
Barramentos 2,3,5 1,3,4,6 2,3,5,6
Neste caso, a EE no nível das subestações está apta a determinar a topologia de cada
uma delas, e seu respectivo estado.
Figura 8-5: Visão de um sistema de três subestações em um determinado instante t0
Considere agora o instante 𝑡1e a ocorrência dos seguintes eventos: PMU 2 da
subestação SUBc falha, e nenhuma medida está disponível, os disjuntores 1-2 e 2-3 da SUBc
estão abertos, conforme a Figura 8-6.
Figura 8-6: Visão de um sistema de três subestações em um determinado instante t1
Note que esta é uma situação improvável, crítica, onde uma combinação de eventos
ocorre em questão de milissegundos, levando a um sistema não observável, se considerarmos
somente a subestação SUBc. A EE da subestação tem como entradas as medidas
Instante t0
Instante t1
193
correspondentes às PMUs 3, 5, e 6, além da informação que a PMU2 está com problemas e está
fora de serviço. Neste caso, algum pré-processamento é necessário antes de executar a EE, a
fim de atribuir valores aproximados para as medições em falta. Neste caso particular tem-se:
𝐼2,1𝑖 = −𝐼2
𝑖 − 𝐼2,3𝑖
onde 𝐼2,1𝑖 e 𝐼2,3
𝑖 são os fluxos de corrente pelos disjuntores 1-2 e 2-3, e 𝐼2𝑖 é a injeção de corrente
no barramento 2, basicamente correspondente à corrente pela linha 𝑎 − 𝑐. Mesmo que 𝐼2,3𝑖 não
esteja disponível uma vez que a PMU2 está fora de operação, esta corrente pode ser substituída
por 𝐼3,2𝑖 a partir da PMU3. Levando em conta os pressupostos discutidos anteriormente, 𝐼2
𝑖 pode
ser aproximada por 𝐼2𝑖−1, levando a:
𝐼2,1𝑖 = −𝐼2
𝑖−1 − 𝐼3,2𝑖
Agora a decisão sobre o estado 𝑠1,2 do disjuntor não observável 1-2, é feita através
de:
se |𝐼2,1
𝑖 | > |𝐼2,1𝑖−1
2| então definir 𝑠1,2 como fechado e 𝐼2,1
𝑖 = 𝐼2,1𝑖
caso contrário definir 𝑠1,2 como aberto e 𝐼2,1𝑖 = 0
Como 𝐼2,1𝑖 , 𝐼2,3
𝑖 e 𝐼2𝑖 estão indisponíveis e apenas foram inferidas com base numa
aproximação, os seus desvios padrão são ajustados em valores maiores. Após este pré-
processamento, a EE do nível de subestação é executada e os resultados (topologia e estado)
são enviados para o nível da EE centro de controle. Neste nível, todas as informações de todas
as subestações são combinadas, e uma nova EE é executada. Agora, as decisões erradas
ocasionais feitas no nível da subestação poderão ser corrigidas por meio de verificação de erros
grosseiros (bad data).
Neste ponto a EE multinível de [11] sofre algumas modificações. A matriz de pesos
𝑊é modificada e chamada de matriz 𝑈 considerando as medidas atuais e as inferidas devido à
alteração dos valores do desvio padrão, e as medidas marcadas como suspeitas através do vetor
𝑢, a partir de (8.14) e (8.15) tem-se:
min ((∑ (𝑝)𝑇𝑝𝑛
𝑝=1 𝑝)⏟ + (∑ (𝑢𝑞)𝑇𝑚𝑞=1 𝑈𝑞𝑢𝑞)⏟
linear não linear)
sujeito a 𝑝 = 𝑢
𝑝𝑝 + 𝑝 = 𝑢𝑝 [(𝑖𝑛𝑡
𝑝 )𝑇, (𝑏𝑟𝑦
𝑝 )𝑇]𝑇
+ 𝑝
𝑧𝑞 = ℎ𝑢𝑞𝑥𝑞 + 𝑢𝑝 = ℎ𝑢
𝑞 [(𝑥𝑖𝑛𝑡𝑞 )
𝑇, (𝑥𝑏𝑟𝑦
𝑞 )𝑇]𝑇
+ 𝑢𝑞
194
onde 𝑛 representa o número de áreas lineares, 𝑚 representa o número de áreas não lineares da
EE multinível, 𝑝 corresponde a uma determinada área linear e 𝑞 corresponde a uma
determinada área não linear, é a matriz de pesos de cada medida, é a matriz função de
medidas em relação a variáveis de estado, e 𝑢 é o vetor de resíduos, 𝑖𝑛𝑡 corresponde as barras
internas e 𝑏𝑟𝑦 corresponde as barras de fronteira.
As partes linear e não linear da EE do centro de controle devem ser formuladas
utilizando esta estratégia apresentada. Ainda mais um detalhe deverá ser alterado no estimador
de estado multinível com relação à confirmação das grandezas de fronteira. No caso de haver
falha de PMUs ou ocorrência de problemas de observabilidade, de tal forma que ocorra a
inferência de medidas e a marcação de suspeição delas, e se as mesmas forem medidas de
fronteiras utilizadas pela EE não linear do centro de controle, seus valores deverão ser
confirmados pela EE linear do centro de controle, conforme a Figura 8-7.
Figura 8-7: Estimador de estado multinível de [11] modificado
As alterações propostas na EE multinível da Figura 8-7, e as propostas apresentadas
nas seções 8.6.2, 8.6.3, e 8.6.4 proporcionaram mudanças no algoritmo da EE nos níveis da
subestação e do centro de controle, conforme Figuras 8-8, e 8-9 respectivamente. Nesta versão
é incluída a versão com heurística da Lei das Correntes de Kirchhoff, e o processamento do
histórico na subestação. Nestes algoritmos que realizam a restauração do estimador de estado
no nível da subestação e no nível do centro de controle (self healing) [132], foi definido um
controle que indica se houve ou não a restauração da observabilidade anulando o efeito de
alguma medida crítica, este controle foi chamado de isNullify.
195
Figura 8-8: Estimador de estado da subestação de [10]e [11] modificado
196
Figura 8-9: Estimador de estado do centro de controle de [10] e [11] modificado
8.7 ANÁLISE ECONÔMICA DA ALOCAÇÃO EE MODELO MULTINÍVEL
Assim como na análise feita para o modelo nó-ramo na Seção 7.7, na análise
realizada por subestações para o modelo da EE multinível, os componentes da função de fitness
y são relativos aos aspectos técnicos. É importante a avaliação do projeto no nível da subestação,
mas as variações são um pouco menores se considerarmos que dentro da subestação existe o
mesmo ambiente e a coincidência geográfica, de forma que alguns custos podem ser
considerados constantes, e também aspectos relativos ao projeto da subestação se são uma
instalação nova, ou uma remodelação da subestação. Pode-se usar a análise financeira da Seção
7.7 para replicar a analogia quando queremos avaliar economicamente somente uma subestação
isoladamente. A GA que calcula os planos de alocação na subestação também armazena as
melhores soluções e planos de alocação considerando os aspectos técnicos, para que sejam
avaliados e comparados considerando aspectos econômicos. O custo (investimento inicial) 𝑐𝑝𝑘
de uma PMU alocada em um determinado barramento 𝑘 da subestação pode ser definido
197
separadamente assim como na Seção 7.5, mas os fatores que são levados em conta podem ser
diferentes, geralmente informações de tipos de equipamentos de diferentes fabricantes, tipo de
instalação, aspectos tecnológicos e de telecomunicações, manutenção e software. Finalmente,
cada medida 𝑗 da PMU no barramento 𝑘 tem seu próprio custo 𝑐𝑚𝑗, associado à sua conexão.
O custo 𝑧𝑘 de um plano de alocação é, portanto, dado por:
𝑧𝑘 =∑𝑐𝑝𝑘 ∙
𝑠𝑏
𝑘=1
𝑥𝑝𝑘 +∑𝑐𝑚𝑗
𝑚𝑠
𝑗=1
∙ 𝑥𝑚𝑗 (8.32)
Seja 𝑀𝑁𝑃𝑉𝑘 o valor presente modificado (do inglês, Modified Net Present Value)
da PMU no barramento k, dado por:
𝑃𝑉𝑘𝑖 = ∑ 𝐶𝐹𝑘
𝑡 ∙
𝑡𝑚𝑎𝑥
𝑡=𝑡𝑖+1
(1 + 𝑅𝐹𝑅𝑘)𝑡𝑚𝑎𝑥−𝑡
(1 + 𝐾𝑘)𝑡𝑚𝑎𝑥 (8.33)
𝑃𝑉𝑘𝑜 =∑
𝑧𝑘𝑡
(1 + 𝐹𝑅𝑘)𝑡
𝑡𝑖
𝑡=0
(8.34)
𝑀𝑁𝑃𝑉𝑘 = 𝑃𝑉𝑘𝑖 − 𝑃𝑉𝑘
𝑜 (8.35)
onde k é o número do barramento, 𝑀𝑁𝑃𝑉𝑘 é o valor presente líquido modificado da PMU
no barramento 𝑘, 𝑃𝑉𝑘𝑖 é o valor presente de entrada, 𝑃𝑉𝑘
0 é valor presente de saída, 𝑧𝑘 é o
investimento inicial considerando a instalação de uma PMU no barramento 𝑘, 𝑡 é o tempo
em meses ou anos, 𝑡𝑚𝑎𝑥é o máximo período de tempo permitido para a completa instalação
das PMUs alocadas em meses ou anos, ti é o período de tempo de investimentos em meses
ou anos, 𝐶𝐹𝑘 é o fluxo de caixa do período t relativo ao barramento 𝑘 , 𝑧𝑘𝑡 são os
investimentos em cada período próximo, 𝐾𝑘 é a taxa de desconto ajustada ao risco (a taxa
de retorno), 𝑅𝐹𝑅𝑘 é a taxa de reinvestimento, e 𝐹𝑅𝑘 é a taxa financeira da PMU no
barramento 𝑘. Se o 𝑀𝑁𝑃𝑉𝑘 é negativo, é necessário considerar que a instalação de PMU no
barramento 𝑘 não é economicamente viável.
Seja também 𝑀𝐼𝑅𝑅𝑘 a taxa de retorno interna modificada da PMU (do inglês,
Modified Internal Rate of Return) do barramento k, dada por:
𝑃𝐶𝐹𝑘 = ∑ 𝑃𝐶𝐹𝑘𝑡 ∙
𝑡𝑚𝑎𝑥
𝑡=𝑡𝑖+1
(1 + 𝑅𝐹𝑅𝑘)𝑡𝑚𝑎𝑥−𝑡 (8.36)
198
𝑁𝐶𝐹𝑘 =∑𝑁𝐶𝐹𝑘𝑡 ∙
𝑡𝑖
𝑡=0
(1 + 𝐹𝑅𝑘)𝑡 (8.37)
𝑀𝐼𝑅𝑅𝑘 = (𝑃𝐶𝐹𝑘𝑁𝐶𝐹𝑘
)
1𝑡𝑚𝑎𝑥
− 1 (8.38)
onde 𝑃𝐶𝐹𝑘 é o fluxo de caixa positivo (do inglês, Positive Cash Flow), 𝑁𝐶𝐹𝑘 é fluxo de
caixa negativo (do inglês, Negative Cash Flow), 𝐹𝑅𝑘 é a taxa financeira (do inglês, Finance
Rate), 𝑅𝐹𝑅𝑘 é a taxa de reinvestimento (do inglês, Reinvestment Finance Rate), 𝑡𝑖 é o
período de investimento da PMU no barramento 𝑘.
Se o 𝑀𝐼𝑅𝑅𝑘 é negativo, é também necessário considerar que a instalação de PMU
no barramento 𝑘 não é economicamente viável. Finalmente, o retorno 𝑃𝐵𝑘 (do inglês, Pay
Back) e a taxa de retorno 𝑃𝑅𝑘 (do inglês, Payback Rate) são:
𝑃𝐵𝑘 =𝑧𝑘𝐾𝑘
(8.39)
𝑃𝑅𝑘 = 𝑃𝐵𝑘𝑚𝑎𝑥 − 𝑃𝐵𝑘 (8.40)
onde 𝑃𝐵𝑘𝑚𝑎𝑥 é o máximo retorno. A função de fitness econômica relativa a um plano de
alocação é representada por 𝑓, dada por:
𝑓 = −1 ∙∑(𝑀𝑁𝑃𝑉𝑘 +𝑀𝐼𝑅𝑅𝑘 − 𝑃𝑅𝑘)
𝑠𝑏
𝑘=1
(8.41)
A pré-alocação de PMUs (conforme discutido na Seção 8.5) pode receber um
tratamento especial, e em algumas situações seus 𝑐𝑝𝑘 (PMU pré-alocada no barramento 𝑘) e
seus respectivos 𝑐𝑚𝑗 (medidas resultantes no barramento 𝑘, mediante a alocação de PMU)
podem ser configuradas com zero, assim como seus respectivos indicadores nos casos das
PMUs já estarem alocadas, do contrário, se houver algum investimento deverão ser calculados
seus indicadores componentes da função 𝑓.
8.8 RESULTADOS DE TESTES PARA ALOCAÇÃO SUBESTAÇÕES
Para realização dos testes de alocação de PMUs em subestações, alguns modelos
de subestações foram utilizados. Parte deles foi criada exclusivamente para os testes,
correspondente aos oito primeiros itens da Tabela 8-XIII, e a outra parte obtida a partir de [133],
correspondente respectivamente aos oito primeiros itens, e aos três últimos itens da Tabela 8-
XIV.
199
Tabela 8-XIV: Subestações utilizadas nos testes de alocação mínima
Subestação Barramentos Disjuntores
G4A 1:4 1-2,1-4,2-3,3-4
G4 1:4 1-2,2-3,3-4
G5 1:5 1-2,1-5,2-3,3-4,4-5
G6 1:6 1-2,1-6,2-3,3-4,4-5,5-6 G7 1:7 1-2,1-5,1-6,2-3,3-4,3-7,4-5,6-7
G9 1:9 1-2,1-6,2-3,3-4,4-5,5-6,5-7,5-9,6-7,7-8,8-9
G18 1:18 1-2,1-6,2-3,3-4,4-5,4-12,4-13,5-6,5-7,5-9,6-7,7-8,8-9,8-10,8-10,9-10,10-11,
10-15,11-12,11-15,12-13,12-14,13-14,13-18,14-15,14-17,15-16,16-17,16-
18
G40 1:40 1-2,1-3,1-4,1-7,1-21,1-21,1-21,2-3,2-3,2-4,2-4,2-4,2-4,2-4,2-4,2-4,2-5,2-6,
2-6,2-6,2-6,2-6,2-7,2-8,4-14,4-14,4-14, 8-9,8-9,8-9,8-10,8-10,9-11,10-12,11-
18,
11-18,12-19,12-19,13-14,13-17,13-18,14-15,14-16,15-16,15-20,21-22,21-
26,22-23,23-24,24-25,24-32,24-33,24-39,25-26,25-27,25-29,26-27,27-28,28-
29,
28-30,28-30,28-30,30-31,30-35,31-32,31-35,32-33,32-34,33-34,33-38,34-35,
34-37,35-36,36-37,36-38,37-38,39-40,39-40,39-40
EX1 1:16 1-2,1-3,1-7,2-5,2-9,2-11,2-13,3-4,3-8,4-6,4-10,4-12,4-14,5-6,11-12,13-14,
13-15,14-16
TQ1 1:29 1-5,1-26,2-5,2-26,3-5,3-26,4-5,4-26,5-6,5-9,5-10,5-11,5-12,5-13,5-14,5-15,
5-16, 5-17,5-18,5-19,7-8,7-15,7-22,7-23,7-25,9-20,10-20,11-20,12-20,13-20,
14-20,16-21,17-21,18-21,19-21,20-27,21-28,22-24,23-24, 24-29
S2 1:38 1-5,1-26,2-5,2-26,3-5,3-26,4-5,4-26,5-6,5-9,5-10,5-11,5-12,5-13,5-14,
5-15,5-16,5-17,5-18,5-19,7-8,7-15,7-22,7-23,7-25,9-20,10-20,11-20,
12-20,13-20,14-20,16-21,17-21,18-21,19-21,20-27,21-28,22-30,22-32,
23-24,24-29,30-31,31-32,32-33,33-34,34-35,35-36,36-37,36-38
8.8.1 ALOCAÇÃO MÍNIMA DE PMUS NA SUBESTAÇÃO
Para algumas subestações existe a possibilidade de mais de uma solução com a
mesma função técnica 𝑦, que estão marcadas na Tabela 8-XV. Repare que o valor de 𝑦 é
diferente mesmo alocando o mesmo número de PMUs em subestações diferentes, isto porque
alguns componentes de 𝑦 são ajustados em função da dimensão da subestação dado pelo
número de barramentos e número de disjuntores.
Tabela 8-XV: Alocação mínima em subestações
Subestação No.
PMUs
Localização (barramentos) CPI 𝑦
G4A 2 2,4 6 106*
G4 2 2,3 8 104
G5 3 2,3,5 11 340*
G6 3 1,3,5 9 615*
G7 4 1,3,5,6 18 1318*
G9 5 1,3,5,7,8 22 3577*
G18 11 2,4,5,6,8,10,12,13,15,17,18 71 63895 *
G40 20 1,2,8,11,12,13,14,15,22,24,25,26,28,30,31,33,34,36, 38,39 144 1279454*
EX1 8 1,2,3,4,5,11,13,14 50 32634*
TQ1 6 5,7,20,21,24,26 46 146184
S2 10 5,7,20,21,24,26,30,32,34,36 59 548523
* mais de uma solução com mesmo CPI
200
8.8.2 ALOCAÇÃO CONSIDERANDO PRÉ-ALOCAÇÃO NA SUBESTAÇÃO
Para os testes da pré-alocação foram reproduzidos dois tipos de pré-alocação, a
primeira usando uma barra que tenha sido alocada na solução mínima, e a outra uma barra
diferente, os resultados da Tabela 8-XVI mostram que algumas soluções foram mantidas com
os mesmos planos de alocação, mas com função 𝑦 diferente, como por exemplo, a subestação
modelo G6, em outras o plano de alocação mudou, mas o número de PMUs permaneceu o
mesmo e a função 𝑦 se modificou, como por exemplo, a subestação modelo G9, e por último o
plano de alocação, o número de PMUs e a função y se modificaram, como por exemplo, a
subestação modelo G40.
Tabela 8-XVI: Alocação mínima com pré-alocação
Subestação No. PMUs Pré Barramentos CPI 𝑦
G4A 2 1 1,3 6 -22
G4 2 3 2,3 8 -24
G5 3 4 2,4,5 11 90*
G6 3 5 1,3,5 9 183
G7 4 2 2,3,5,6 15 637
G9 5 2,3 2,3,5,6,8 22 661
G18 11 12,15 2,4,5,6,8,10,12,13,15,17,18 71 40567*
G40 22 4,21 1,2,4,8,9,11,12,13,14,15,21,
23,25,26,28,30,32,33,35,36,37,39
194 1151344 *
EX1 9 10,16 1,2,3,4,6,10,11,13,16 48 20346*
TQ1 8 1,29 1,5, 7,20,21,24,26,29 57 97381
S2 14 2,3,38 2,3,5,7,20,21,22,24,26,30,32,34,36,38 87 438719*
* mais de uma solução com o mesmo CPI
8.8.3 ALOCAÇÃO CRUZADA CONSIDERANDO SEGURANÇA NA SUBESTAÇÃO
Na alocação considerando a perda de PMUs na subestação procurou-se evitar o
fenômeno da alocação completa. Para isso, e para reforçar os testes, foram testadas
separadamente cada uma das estratégias, para verificar sua efetividade na diminuição do
número de PMUs alocadas a partir das soluções propostas pelo GA. O primeiro teste foi
executado com a alocação cruzada, o segundo considerando a heurística da alocação com
vizinhança e a Lei das Correntes de Kirchhoff, o terceiro considerando o histórico na
subestação, e por último o uso do nível dois da EE multinível para detectar eventuais correções
na topologia.
Na Seção 8.6 foi mostrado que, para a subestação G6, se fosse considerada a perda
de uma PMU na subestação, seria necessário ter PMUs em todos os barramentos para satisfazer
as condições de observabilidade, caso fosse realizada uma alocação convencional de entradas
201
na PMU. Na alocação convencional, cada PMU alocada em um barramento receberá as entradas
de medidas de tensão do barramento, injeção de corrente do barramento, e fluxos de corrente
dos disjuntores adjacentes ao barramento.
Para os testes de alocação cruzada será considerada subestação G6, com suas
alocações convencionais de medidas por PMUs conforme Tabela 8-XVII.
Tabela 8-XVII: Alocação convencionais e contingências de PMU na subestação G6
Plano 𝑥𝑝 𝑥𝑚 No.
PMUs
Observável 𝑦 PMUs que não
podem ser
perdidas
1 010101 010101001010110101010101 3 Y 615 2,4,6
2 101010 101010110101001010101010 3 Y 615 1,3,5
3 101110 101110110111001110101110 4 Y 816 1,3,5
4 101101 101101110110011101101101 4 Y 816 1,3,4,6
5 110110 110110111011100110110110 4 Y 816 1,2,4,5
6 010111 010111001011110111010111 4 Y 816 2,4,6
7 011011 011011001101111011011011 4 Y 816 2,3,5,6
8 110101 110101111010110101110101 4 Y 816 2,4,6
9 011101 011101001110111101011101 4 Y 816 2,4,6
10 101011 101011110101011011101011 4 Y 816 1,3,5
11 111010 111010111101101010111010 4 Y 816 1,3,5
12 111011 111011111101111011111011 5 Y 1017 3,5
13 111101 111101111110111101111101 5 Y 1017 4,6
14 110111 110111111011110111110111 5 Y 1017 2,4
15 111110 111110111111101110111110 5 Y 1017 1,5
16 101111 101111110111011111101111 5 Y 1017 1,3
17 011111 011111001111111111011111 5 Y 1017 2,6
18 111111 111111111111111111111111 6 Y 1218 -
Repare que considerando a alocação convencional todos os planos não suportam a
perda de PMUs, e assim será usada a estratégia de alocação cruzada.
Assume-se que cada PMU possua três cartões de entrada para medidas de corrente
e um cartão para medidas de tensão, e foi realizada a alocação cruzada para todos os planos de
alocação obtidos pelo GA e verificados seus resultados considerando a perda de PMUs na
subestação conforme a Tabela 8-XVIII.
Comparando os resultados da Tabela 8-XVII com a Tabela 8-XVIII, nota-se que
apenas com um cruzamento simples os diferentes planos de alocação ficaram menos sensíveis
a perda de PMUs.
Como escolher o melhor resultado, esta pergunta depende do objeto traçado para a
alocação da subestação se é a alocação mínima, será a solução já apresentada representada pelos
planos 1 e 2, se for com a possibilidade de perda de uma PMU sem prejuízo à EE da subestação
deverão ser analisados os planos 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, com 4 PMUs, e os planos 12 a 18 com
mais de 4 PMUs. Considerando o critério vizinhança, apresentado na Seção 8.6.2 deverão ser
considerados os planos 5, e 8. As duplas de planos podem ser submetidas a análises financeiras
202
ou outros aspectos técnicos para seu desempate como por exemplo as disposições de
equipamentos na subestação.
Tabela 8-XVIII: Alocação cruzada e contingências de PMU na subestação G6
Plano 𝑥𝑝 𝑥𝑚 No. de
PMUs
CPI Observável 𝑦 PMUs que não
podem ser perdidas
1 101010 101010110101001010101010 3 9 Y 615 3,5
2 010101 010101001010110101010101 3 9 Y 615 4,6
3 101011 101011110101011011101011 4 12 Y 816 --
4 111010 111010111101101010111010 4 12 Y 816 --
5 011011 011011001101111011011011 4 12 Y 816 --
6 010111 010111001011110111010111 4 12 Y 816 --
7 101110 101110110111001110101110 4 12 Y 816 --
8 110110 110110111011100110110110 4 12 Y 816 --
9 110101 110101111010110101110101 4 12 Y 816 --
10 101101 101101110110011101101101 4 12 Y 816 --
11 011101 011101001110111101011101 4 12 Y 816 6
12 111011 111011111101111011111011 5 15 Y 1017 --
13 101111 101111110111011111101111 5 15 Y 1017 --
14 111110 111110111111101110111110 5 15 Y 1017 --
15 111101 111101111110111101111101 5 15 Y 1017 --
16 110111 110111111011110111110111 5 15 Y 1017 --
17 011111 011111001111111111011111 5 15 Y 1017 --
18 111111 111111111111111111111111 6 18 Y 1218 --
Para detalhar uma determinada solução escolhida em particular, será mostrado o
cruzamento para o plano de alocação equivalente a 𝑥𝑝 = 011011. Inicialmente será mostrada a
alocação padrão convencional na Tabela 8-XIX.
Tabela 8-XIX: Tabela de alocação convencional Medida xm' Tipo de
Medida
No.
PMU
Ordem
Medidas
No.
Cartão
No. da Entrada no
Cartão
𝐼1 0 0 -- -- -- --
𝐼2 1 0 2 1 1 1
𝐼3 1 0 3 1 1 1
𝐼4 0 0 -- -- -- --
𝐼5 1 0 5 1 1 1
𝐼6 1 0 6 1 1 1
𝐼1,2 0 1 -- -- -- --
𝐼1,6 0 1 -- -- -- --
𝐼2,3 1 1 2 3 2 1
𝐼3,4 1 1 3 3 2 1
𝐼4,5 0 1 -- -- -- --
𝐼5,6 1 1 5 3 2 1
𝐼2,1 1 1 2 2 3 1
𝐼6,1 1 1 6 2 2 1
𝐼3,2 1 1 3 2 3 1
𝐼4,3 0 1 -- -- -- --
𝐼5,4 1 1 5 2 3 1
𝐼6,5 1 1 6 3 3 1
𝑉1 0 2 -- -- -- --
𝑉2 1 2 2 1 1 1
𝑉3 1 2 3 1 1 1
𝑉4 0 2 -- -- -- --
𝑉5 1 2 5 1 1 1
𝑉6 1 2 6 1 1 1
203
As linhas em cinza nas tabelas correspondem às medidas que não estão sendo
coletadas, porque não estão no plano de alocação. O tipo de medida é composto pelo conjunto
injeção de corrente = 0, fluxo de corrente = 1, tensão = 2, tem-se ainda a informação que
indica se medida trocou de posição ou não na alocação (não trocou = 0, e trocou=1). A ordem
das medidas é definida no momento de criação da matriz 𝐻𝑖 𝑒 𝐻𝑣. A alocação convencional
aloca na mesma PMU as medidas de tensão, injeção de corrente e fluxos nos disjuntores
adjacentes, e distribui estas medidas nos cartões disponíveis da PMU. Para os testes em questão
a lista de precedência montada foi equivalente a:
precedência = 4 5 3 6 2 1;
5 6 4 3 1 2;
6 1 5 2 4 3;
1 2 6 5 3 4;
2 3 1 4 6 5;
3 4 2 1 5 6
Depois da realização do cruzamento de medidas tem-se o resultado da alocação de
medidas em PMUs representada na Tabela 8-XX.
Tabela 8-XX: Tabela de alocação depois do cruzamento de medidas
Medida xm' Tipo de
Medida
No.
PMU
Ordem
Medidas
No.
Cartão
No. da
Entrada no
Cartão
Trocou de
Posição
𝐼1 0 0 -- -- -- -- --
𝐼2 1 0 5 1 1 1 Sim
𝐼3 1 0 6 1 1 1 Sim
𝐼4 0 0 -- -- -- -- --
𝐼5 1 0 2 1 1 1 Sim
𝐼6 1 0 3 1 1 1 Sim
𝐼1,2 0 0 -- -- -- -- --
𝐼1,6 0 0 -- -- -- -- --
𝐼2,3 1 1 6 3 3 1 Sim
𝐼3,4 1 1 5 3 2 1 Sim
𝐼4,5 0 1 -- -- -- -- --
𝐼5,6 1 1 3 3 2 1 Sim
𝐼2,1 1 1 2 2 3 1 Não
𝐼6,1 1 1 6 2 2 1 Não
𝐼3,2 1 1 3 2 3 1 Não
𝐼4,3 0 1 -- -- -- -- --
𝐼5,4 1 1 5 2 3 1 Não
𝐼6,5 1 1 2 3 2 1 Sim
𝑉1 0 2 -- -- -- -- --
𝑉2 1 2 2 1 1 1 Não
𝑉3 1 2 3 1 1 1 Não
𝑉4 0 2 -- -- -- -- --
𝑉5 1 2 5 1 1 1 Não
𝑉6 1 2 6 1 1 1 Não
204
8.8.4 ALOCAÇÃO E LEI DAS CORRENTES DE KIRCHHOFF CONSIDERANDO SEGURANÇA
NA SUBESTAÇÃO
O segundo teste foi realizado considerando a alocação considerando a vizinhança
de PMU e o uso da Lei das Correntes de Kirchhoff. Novamente a subestação modelo G6 foi
avaliada só que agora utilizando outro contexto. Considere o sistema IEEE 14 barras [121] da
Figura 8-10, onde cada nó foi modelado como uma subestação, e cada uma delas com um
modelo específico.
Figura 8-10: Sistema IEEE 14 barras
Considere a divisão do sistema em áreas diferentes, com estimação de estado
diferente, sendo as áreas 1 e 3 com PMUs e estimação de estado seguindo o modelo linear, e as
áreas 2,4 e 5 com estimação não linear conforme Tabela 8-XXI.
Tabela 8-XXI: Subestações na rede IEEE 14 barras
Subestação Modelo Área Tipo
1 'G4A' 1 Linear
2 'G6' 1 Linear
3 'G4A' 2 Não Linear
4 'G6' 2 Não Linear
5 'G5' 1 Linear
6 'G6' 1 Linear
7 'G4A' 2 Não Linear
8 'G4A' 2 Não Linear
9 'G6' 3 Linear
10 'G4A' 3 Linear
11 'G4A' 4 Não Linear
12 'G4A' 5 Não Linear
13 'G5' 5 Não Linear
14 'G4A' 5 Não Linear
205
Considere destacadamente o nó 2 da subestação 2 para testes, e que esta possua um
plano de alocação 𝑥𝑝 = 011011, conforme Figura 8.11. A partir do plano tem-se PMUs nos
barramentos 2,3,5 e 6. Para efeitos de testes não será utilizada a alocação cruzada para podermos
verificar situações limites.
Figura 8-11: Subestação de seis barramentos
Os valores gerados para o teste são obtidos através de vários fluxos de carga para a
rede IEEE 14 barras, preparados para atender diversas situações topológicas diferentes, com
valores diferentes, e provocação de erros nas medidas de acordo com o desvio padrão
equivalente a 𝜎 = 0,01, seguindo uma distribuição de probabilidade normal 𝑁(0, 𝜎2).
Testes foram realizados com a combinação das seguintes situações, perda de todas
as PMUs separadamente, aplicação da heurística com todas as combinações de estados de
disjuntores estimados e todas as combinações de estados de disjuntores da última estimação de
estado possíveis. Após submeter a EE da subestação cobrindo todas as combinações de estados
de disjuntores anteriores e estados de disjuntores vigentes, com a heurística da Lei das
Correntes de Kirchhoff, e gerando perturbações nas medidas dentro da faixa admissível em
torno do seu desvio padrão, as situações dos testes foram mapeadas conforme a Figura 8-12.
No arquivo de resultados são gravadas todas as simulações contendo informações do arquivo
da EE da subestação e as informações sobre a estimativa, por exemplo, estimativa errada, estado
real = 011100, estado calculado 111100, estado anterior 011101, por exemplo, para um arquivo
011100_30_20151120234827.mat.
206
Figura 8-12: Número de casos testados apenas com a Lei das Correntes de Kirchhoff
8.8.5 USO DO HISTÓRICO CONSIDERANDO SEGURANÇA NA SUBESTAÇÃO
Considere novamente o nó 2 correspondendo à subestação 2, e as mesmas
condições do teste anterior, só que agora assume-se a existência de vários arquivos de histórico
e não somente o estágio anterior. Após submeter a estimação utilizando a Lei das Correntes de
Kirchhoff, o uso de informações históricas disponíveis, e combinando todos os tipos de estados
anteriores dos disjuntores com estados atuais dos disjuntores, as seguintes situações foram
mapeadas conforme a Figura 8-13.
Figura 8-13: Número de casos testados com histórico
17802011 1927 2023
23162085 2169 2073
4096 4096 4096 4096
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
4500
2 3 5 6
PMUs Testadas Subestação 2
Incorretas
Corretas
Total de Casos
501
797
1322
705
3595
3299
2774
3391
4096 4096 4096 4096
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
4500
2 3 5 6
PMUs Testadas Subestação 2
Incorretas
Corretas
Total de Casos
207
É possível notar que houve uma melhora em relação aos testes da Seção 8.8.4 onde
somente era feita a heurística da Lei das Correntes de Kirchhoff com o último estado estimado,
mediante a situação onde estejam disponíveis vários arquivos de histórico registrados de acordo
com a combinação de vários estados de disjuntores.
8.8.6 USO DO NÍVEL II DA EE CONSIDERANDO SEGURANÇA NA SUBESTAÇÃO
Para os testes de alocação com segurança na subestação considerando o uso do nível
dois da EE multinível para detectar eventuais correções na topologia, foram consideradas para
efeitos de testes as alocações de PMU convencionais, sem a tática de cruzamento na alocação,
e também não foram utilizadas as informações de histórico, e somente a inferência usando a Lei
das Correntes de Kirchhoff foi utilizada. Os testes foram definidos desta maneira, porque assim
as situações adversas e extremas se tornam mais frequentes e torna-se possível verificar a
eficiência ou não do nível II na identificação de problemas topológicos, pois a incidência de
estimativas erradas provindas da subestação é um pouco maior.
Considere o sistema com três subestações da Figura 8-14. As impedâncias série por
unidade são 𝑧𝑎𝑏 = 𝑗0,02, 𝑧𝑎𝑐 = 𝑗0,02, 𝑧𝑏𝑐 = 𝑗0,02, e as admitâncias shunt de linha são 𝑏𝑎𝑏 =
𝑏𝑎𝑐 = 𝑏𝑏𝑐 = 𝑗0,002, sendo todos esses valores em por unidade.
Figura 8-14: Visão de um sistema de três subestações em um determinado instante t0
Instante t0
208
Assume-se que os valores das medidas possuem desvios padrão 𝜎 = 0,01, e que a
distribuição dos erros das medidas seja uma normal 𝑁(0, 𝜎2). Assume-se também que os
desvios-padrão em caso de inferência de medidas usado sejam iguais a 𝜎𝑢 = 0,02. Considere o
instante 𝑡0, as medidas coletadas estão na Tabela 8-XXII.
Tabela 8-XXII: Medidas das subestações no instante t0
Subestação Medidas
SUBa 𝐼2,1 = 2 + j0,0050, 𝐼2,3= 3-j0,0100, 𝐼3,2= 3+j0,0100, 𝐼3,4= 12+j0,0400, 𝐼5,1= -2-j0,0050,
𝐼5,4= -4-j0,0200, 𝐼2 = -1-j0,0050, 𝐼3 = 15+j0,0500, 𝐼5 = -6-j0,0250, 𝑉2 = 1,03-j0,001, 𝑉3 =
1,04-j0,002, 𝑉5 = 1,02-j0,15
SUBb 𝐼1,2 = -2,7+ j0,001, 𝐼1,5 = 3,2+ j0,004, 𝐼1,6 = -0,5-j0,005, 𝐼3,2 = 11+j0,05, 𝐼3,4 = -1-j0,03,
𝐼3,7 = 7+j0,03, 𝐼4,3 = 1+j0,03, 𝐼4,5 = -3-j0,02, 𝐼6,1= 0,5+j0,005,
𝐼6,7 = -6,5-j0,03, 𝐼1 = 0, 𝐼3 = 17+j0,04, 𝐼4 = -2+j0,01, 𝐼6 = -6-j0,025,
𝑉1 = 1,01+j0,02, 𝑉3 = 0,98+j0,017, 𝑉4 = 1,02+j0,015, 𝑉6 = 0,99-j0,01
SUBc 𝐼2,1 = -6-j0,01, 𝐼2,3 = -2-j0,01, 𝐼3,2 = 2+j0,01, 𝐼3,4 = -3-j0,03,
𝐼5,4 = 3+ j0,03, 𝐼5,6 = -5-j0,02, 𝐼6,1 = 3+j0,06, 𝐼6,5 = 5+j0,02,
𝐼2 = -8 - j0,02, 𝐼3 = -1-j0,02, 𝐼5 = -2+j0,01, 𝐼6 = 8+j0,08,
𝑉2 = 1,01+j0,02, 𝑉3 = 1,02-j0.01, 𝑉5 = 1,03-j0,025, 𝑉6 = 0,98+j0,017
Após a coleta das informações da Tabela 8-XXII, a EE das respectivas subestações
calcula suas respectivas variáveis de estado e topologias representados pela Tabela 8-XXIII.
Tabela 8-XXIII: Resultados do estimador de estado das subestações no instante t0
Subestação Estado Estimados nas Subestações
SUBa 𝐼2,1 = −2 − j0,005, 𝐼1,5 = 2 + j0,005, 𝐼2,3 = -3 - j0,01, 𝐼3,4 = 12 + j0,04,
𝐼4,5 = 4 + j0,02, 𝑉𝑎1 = 1,03-j0,051
SUBb 𝐼1,2 = -2,7 + j0,001, 𝐼1,5 = 3.2 + j0,004, 𝐼1,6 = -0.5 - j0,005, 𝐼2,3 = -11 - j0,05,
𝐼3,4 = -1 – j0,03, 𝐼3,7 = 7 + j0,02, 𝐼4,5 = -3 - j0,02, 𝐼6,7 = -6.5 - j0,03, 𝑉𝑏1= 1 + j0,0105
S
SUBc 𝐼1,2 = 2 + j0,01, 𝐼1,6 = -3 - j0,06, 𝐼2,3 = -2 - j0,01, 𝐼3,4 = -3 - j0,03, 𝐼4,5 = -3 - j0,03,
𝐼5,6 = -5 - j0,02, 𝑉𝑐1 = 1,01+j0,0005
As medidas consolidadas pela EE da subestação, depois da estimação e da formação
das seções de barramento estão na Tabela 8-XXIV. A EE do centro de controle calcula 𝑉𝑎1 =
1.0134 − 𝑗0.1067, 𝑉𝑏1 = 1.0131 + 𝑗0.0133 e 𝑉𝑐1 = 1.0133 − 𝑗0.0533 , valores por
unidade (pu).
Tabela 8-XXIV: Medidas passadas ao estimador de estado do centro de controle t0
Subestação Estado oriundo das subestações
SUBa 𝑉𝑎1 = 1,03 − 𝑗0,051, 𝐼𝑎1 = 14 + 𝑗0,045, 𝐼𝑎𝑏 = −6 − 𝑗0,025, 𝐼𝑎𝑐 = −8− 𝑗0,02
SUBb 𝑉𝑏1 = 1 + 𝑗0.0105, 𝐼𝑏1 = 4 + 𝑗0,035, 𝐼𝑏𝑎 = 6 + 𝑗0,025, 𝐼𝑏𝑐 = −2 + 𝑗0,01
SUBc 𝑉𝑐1 = 1,01 + 𝑗0,0005, 𝐼𝑐1 = 6 + 𝑗0,01, 𝐼 𝑐𝑎 = 4 + 𝑗0,02, 𝐼𝑐𝑏 = −2 + 𝑗0,01
209
Considere o próximo instante 𝑡1 representado pela Figura 8-15, onde os seguintes
eventos ocorrem: perda da PMU2 da subestação SUBc, abertura dos disjuntores 1 − 2, 1 − 6 e
2 − 3. Se somente a EE convencional da subestação for utilizada, problemas de observabilidade
ocorrerão (lembrando que os testes estão sendo realizados com a alocação sem cruzamento).
Figura 8-15: Visão de um sistema de três subestações em um determinado instante t1
Note que a diferença de tempo entre 𝑡0 e 𝑡1 é da ordem de milissegundos, e assume-
se que os quatro eventos ocorrem praticamente ao mesmo tempo. Novamente esta é uma
combinação de eventos muito severa e muito improvável. Usando a heurística de inferência de
pré-processamento, a EE da subestação SUBc associará valores inferidos para as medidas
perdidas, que correspondem respectivamente a, 𝑉2 = 1,0100 + 𝑗0,0005 , 𝐼2,1 = −8 −
𝑗0,0200, 𝐼2,3 = 0, 𝐼2 = −8 − 𝑗0,0200. Os disjuntores 3 − 4 e 4 − 5 da subestação SUBa, e
1 − 6 e 2 − 3 da subestação SUBc são identificados como abertos, o que está correto,
entretanto, 1 − 2 da subestação SUBc é inferido como fechado o que está incorreto, conforme
representado pela coleta de medidas na tabela 8-XXV, e a EE da subestação na Tabela 8-XXVI.
Instante t1
210
Tabela 8-XXV: Medidas das subestações no instante t1
Subestação Medidas
SUBa 𝐼2,1 = 14 + 𝑗0,04, 𝐼2,3 = −15 − 𝑗0,05, 𝐼3,2 = 15 + 𝑗0,05,
𝐼3,4 = 0, 𝐼5,1 = − 14 − 𝑗0,04, 𝐼5,4 = 0, 𝐼2 = − 1 − 𝑗0,01, 𝐼3 = 15 + 𝑗0,05, 𝐼5 = −14 − 𝑗0,04, 𝑉2 = 1 − 𝑗0,01, 𝑉3 = 0,98 − 𝑗0,002, 𝑉5 = 1,02 − 𝑗0,05
SUBb 𝐼6 = −14− 𝑗0,04, 𝑉1 = 1,01 + 𝑗0,15, 𝑉3 = 1+ 𝑗0,30, 𝐼6,7 = −6,5 − 𝑗0,035, 𝐼1 = 0, 𝐼3 = 9+ 𝑗0,04, 𝐼4 = −2+ 𝑗0,01, 𝐼4,3 = −1− 𝑗0,01, 𝐼4,5 = −1+ 𝑗0,02, 𝐼6,1 = −7,5 − 𝑗0,005, 𝐼3,2 = 4+ 𝑗0,01, 𝐼3,4 = 1+ 𝑗0,01, 𝐼3,7 = 4+ 𝑗0,02, 𝐼1,2 = 4,3 + 𝑗0,005, 𝐼1,5 = −11,8 − 𝑗0,01, 𝐼1,6 = 7,5 + 𝑗0,005, 𝑉4 = 0,98 − 𝑗0,17, 𝑉6 = 0,97− 𝑗0,02
SUBc 𝑉5 = 1,01 + 𝑗0,20, 𝑉6 = 1,01 − 𝑗0,05𝐼5 = −2+ 𝑗0,01, 𝐼6 = 5+ 𝑗0,02, 𝑉2 ∗, 𝑉3 = 0,98+ 𝑗0,15, 𝐼5,6 = −5− 𝑗0,02, 𝐼6,1 = 0, 𝐼6,5 = 5+ 𝑗0,02, 𝐼2 ∗, 𝐼3 = −3− 𝑗0,03, 𝐼2,1 ∗, 𝐼2,3 ∗, 𝐼3,2 = 0, 𝐼3,4 = −3− 𝑗0,03, 𝐼5,4 = 3+ 𝑗0,03
Tabela 8-XXVI: Resultados do estimador de estado das subestações instante t1
Subestação Estado Estimado pela EE das Subestações
SUBa 𝐼1,2 = −14 − 𝑗0,04, 𝐼1,5 = 14 + 𝑗0,04, 𝐼2,3 = −15 − 𝑗0,05,
𝐼3,4 = 0, 𝐼4,5 = 0, 𝑉𝑎1 = 1 − 𝑗0,0207, 𝑉𝑎2 = 0
SUBb 𝐼1,5 = −11,8 − 𝑗0.01𝑖, 𝐼1,6 = 7,5 + 𝑗0,005
𝐼4,5 = −1 + 𝑗0,02, 𝐼6,7 = −6,5 − 𝑗0,035,
𝐼3,7 = 4 + 𝑗0,02, 𝐼1,2 = 4,3 + 𝑗0,005,
𝑉𝑏1 = 0,9993 + 𝑗0,26, 𝐼2,3 = −4 − 𝑗0,01, 𝐼3,4 = 1 + 𝑗0,01,
SUBc 𝑉𝑐2 = 1,0067 + 𝑗0,0067, 𝐼4,5 = − 3 − 𝑗0,03,
𝐼5,6 = − 5 − 𝑗0,02, 𝑉𝑐1 = 1,01 + 𝑗0.0005,
𝐼1,2 = 8 + 𝑗0,02, 𝐼1,6 = 0, 𝐼2,3 = 0, 𝐼3,4 = − 3 − 𝑗0,03
Depois de receber o estado estimado das subestações representado pela Tabela 8-
XXVII, e depois de quatro iterações a EE do centro de controle estima: 𝑉𝑎1 = 1,0188 −
𝑗0.0035, 𝑉𝑎2 = 0 , 𝑉𝑏1 = 1,0089 − 𝑗0,0035, 𝑉𝑐1 = 0 , e 𝑉𝑐2 = 0. ,9991 − 𝑗0,0033 . No
processamento de erros grosseiros cujos resultados são mostrados na Tabela 8-XXVIII, pode-
se ver a EE do centro de controle trabalhando na identificação dos problemas criados
decorrentes da topologia equivocada.
Tabela 8-XXVII: Medidas passadas ao estimador de estado do centro de controle instante t1
Subestação Estado oriundos das subestações
SUBa 𝐼𝑎𝑐 = 0, 𝑉𝑎1 = 1 − 𝑗0,0207, 𝑉𝑎2 = 0𝐼𝑎1 = 14 + 𝑗0,04, 𝐼𝑎2 = 0, 𝐼𝑎𝑏 = − 14 − 𝑗0,04
SUBb 𝑉𝑏1 = 0,9993 + 𝑗0,26, 𝐼𝑏1 = 12 + 𝑗0,05, 𝐼𝑏𝑎 = 14 + 𝑗0,04, 𝐼𝑏𝑐 = −2+ 𝑗0,01
SUBc 𝐼𝑐𝑏 = 2 − 𝑗0,01, 𝑉𝑐1 = 1,01 + 𝑗0,0005, 𝑉𝑐2 = 0,9990 + 𝑗0,3, 𝐼𝑐1 = 8 + 𝑗0,02, 𝐼𝑐2 = 2 − 𝑗0,01, 𝐼𝑐𝑎 = −8+ 𝑗0,02
211
Tabela 8-XXVIII: Evolução do tratamento de erros normalizados da EE do centro de controle
Medida Iteração 1 Iteração 2 Iteração 3 Iteração 4
𝑉𝑎1 0,805 - j16,518 0,760 - j0,056 0,760 - j0,056 0,760 - j0,056
𝑉𝑎2 -45,168 - j0,881 -45,168 - j0,881 -45,169 - j0,499 -45,170 - j0,022
𝑉𝑏1 -0,375 + j1,857 -0,370 + j0,028 -0,370 + j0,028 -0,370 + j0,028
𝑉𝑐1 45,174 - j1,981 45,174 - j1,981 45,172 - j1,091 *45,170 + j0,022
𝑉𝑐2 -0,411 + j6,430 -0,394 + j0,028 -0,394 + j0,028 -0,394 + j0,028
𝐼𝑎𝑏 -871,953 - j2,774 0,063 - j0,414 0,063 - j0,414 0,063 - j0,414
𝐼𝑎𝑐 206,566 + j0,704 206,566 + j0,704 119,261+ j0,527 -0,000 + j0,286
𝐼𝑏𝑎 -217,989 - j0,811 0,066 - j0,215 0,066 - j0,215 0,066 - j0,215
𝐼𝑏𝑐 872,044 + j2,310 -0,0032 - j0,084 -0,003 - j0,084 -0,003 - j0,084
𝐼𝑐𝑎 337,311 + j0,724 *337,311+j0,724 0,000 + j0,000 0,000 + j0,000
𝐼𝑐𝑏 218,102 + j0,348 0,065 - j0,251 0,065 - j0,251 0,065 - j0,251
𝐼𝑎1 *2397,787 + j6,568 0,000 + j0,000 0,000 + j0,000 0,000 + j0,000
𝐼𝑎2 206,566 + j0,704 206,566 + j0,704 119,261 + j0,527 -0,000 + j0,286
𝐼𝑏1 723,072 + j1,657 0,073 - j0,339 0,073 - j0,339 0,073 - j0,339
𝐼𝑐1 337,311 + j0,724 337,311 + j0,724 *377,124 + j0,809 0,000 + j0,000
𝐼𝑐2 96,662 + j0,154 0,029 - j0,111 0,029 - j0,1111 0,029 - j0,111
Foram testados mais de 28 mil casos com diferentes combinações de erros, perdas
de PMUs, e perdas de medidas, com o uso da inferência pela Lei das Correntes de Kirchhoff e
o uso do nível II (centro de controle) da estimação multinível, e os resultados foram
considerados muito positivos. Nota-se que o mesmo procedimento poderia ser utilizado para as
medições oriundas do sistema SCADA.
Situações onde a EE do centro de controle do nível II não é capaz de obter a
topologia correta e o estado de operação, mesmo usando a heurística da Lei das Correntes de
Kirchhoff e a alteração dos pesos das medidas inferidas com o estado anterior, foram
extremamente severas e pouco prováveis de acontecer, no intervalo de tempo entre os instantes
de coleta. A seguir tem-se um exemplo deste tipo de situação. Considere novamente o sistema
da Figura 8-14. No instante 𝑡0 todas as PMUs estão funcionando e todos os disjuntores estão
fechados. No próximo instante 𝑡1, a PMU2 da subestação SUBc e a PMU3 da SUBa falham
completamente, e não enviam nenhuma medida. Além disso os disjuntores 1 − 6 e 2 − 3 da
subestação SUBc estão abertos, e os disjuntores 3 − 4 e 4 − 5 da subestação SUBa estão
fechados, e existe um erro grosseiro relativo à medida 𝐼2,3 da subestação SUBa de acordo com
a Tabela 8-XXIX.
212
Tabela 8-XXIX: Falhas severas, coleta de medidas Instante t1
Subestação Medidas
SUBa 𝐼2,1 = 14 + 𝑗0,04, 𝐼2,3 = −2 − 𝑗0,03, 𝐼3,2 = ∗,
𝐼3,4 =∗, 𝐼5,1 = − 14 − 𝑗0,04, 𝐼5,4 = 0, 𝐼2 = − 1 − 𝑗0,01,
𝐼3 = 15 + 𝑗0,05, 𝐼5 = −14 − 𝑗0,04, 𝑉2 = 1,01 + 𝑗0,02, 𝑉3 = ∗, 𝑉5 = 1,03 − 𝑗0,025
SUBb 𝐼1,2 = 4,3 + 𝑗0,005, 𝐼1,5 = −11,8 − 𝑗0,01, 𝐼1,6 = 7,5 + 𝑗0,005, 𝐼3,2 = 4+ 𝑗0,01, 𝐼3,4 = 1+ 𝑗0,01, 𝐼3,7 = 4+ 𝑗0,02, 𝐼4,3 = −1− 𝑗0,01, 𝐼4,5 = −1+ 𝑗0,02, 𝐼6,1 = −7,5 − 𝑗0,005, 𝐼6,7 = −6,5− 𝑗0,035, 𝐼1 = 0, 𝐼3 = 9+ 𝑗0,04, 𝐼6,7 = −6,5 − 𝑗0,035, 𝐼1 = 0, 𝐼3 = 9+ 𝑗0,04, 𝐼4 = −2+ 𝑗0,01, 𝐼6 = −14− 𝑗0,04, 𝑉1 = 1,01 + 𝑗0,02, 𝑉3 = 0,98+ 𝑗0,017, 𝑉4 = 1,02− 𝑗0,015, 𝑉6 = 0,99− 𝑗0,01
SUBc 𝐼2,1 ∗, 𝐼2,3 ∗, 𝐼3,2 = 0, 𝐼3,4 = −3− 𝑗0,03, 𝐼5,4 = 3+ 𝑗0,03,
𝐼5,6 = −5− 𝑗0,02, 𝐼6,1 = 0, 𝐼6,5 = 5+ 𝑗0,02, 𝐼2 = ∗, 𝐼3 = −3−𝑗0,03,
𝐼5 = −2+ 𝑗0,01, 𝐼6 = 5+ 𝑗0,02, 𝑉2 = ∗, 𝑉3 = 1,02+ 𝑗0,01, 𝑉5 = 1,03 − 𝑗0,025, 𝑉6 = 0,98− 𝑗0,017
Neste caso, a EE da subestação identifica o disjuntor 3-4 da subestação SUBa e o
disjuntor 1-2 da SUBc como fechados (estimado errado, conforme Tabela 8-XXX, e os valores
passados à EE do centro de controle representados pela tabela 8-XXXI), e a EE do centro de
controle não é capaz de detectar o erro, e estima o estado como 𝑉𝑎1 = 1,0168 − 𝑗0,2542,
𝑉𝑏1 = 1,0160 − 𝑗0,0258, 𝑉𝑐1 = 1,0164 − 𝑗0,0058 e 𝑉𝑐2 = 1,0158 − 𝑗0,0142.
Tabela 8-XXX: Falhas severas, resultados do estimador de estado das subestações instante t1
Subestação Estado Estimado pela EE das Subestações
SUBa 𝐼1,2 = −14 − 𝑗0,04, 𝐼1,5 = 14 + 𝑗0,04, 𝐼2,3 = −2 − 𝑗0,03,
𝐼3,4 = 13 + 𝑗0,02, 𝐼4,5 = 0,𝑉𝑎1 = 1,02 + 𝑗0,005
SUBb 𝐼1,5 = −11,8 − 𝑗0,01, 𝐼1,6 = 7,5 + 𝑗0,005
𝐼4,5 = −1 + 𝑗0,02, 𝐼6,7 = −6,5 − 𝑗0,035,
𝐼3,7 = 4 + 𝑗0,02, 𝐼1,2 = 4,3 + 𝑗0,005,
𝑉𝑏1 = 1,0157 + 𝑗0,0024, 𝐼2,3 = −4 − 𝑗0,01, 𝐼3,4 = 1 + 𝑗0,01,
SUBc 𝑉𝑐2 = 1,0125 + 𝑗0,015, 𝐼4,5 = − 3 − 𝑗0,03,
𝐼5,6 = − 5 − 𝑗0,02, 𝑉𝑐1 = 1,035 + 𝑗0,015,
𝐼1,2 = 8 + 𝑗0,02, 𝐼1,6 = 0, 𝐼2,3 = 0, 𝐼3,4 = − 3 − 𝑗0,03
Tabela 8-XXXI: Falhas severas, medidas passadas a EE do centro de controle instante t1
Subestação Estado oriundo das subestações
SUBa 𝐼𝑎𝑐 = − 13 − 𝑗0,02, 𝐼𝑎𝑏 = − 14− 𝑗0,04,
𝐼𝑎1 = 27+ 𝑗0,06, 𝑉𝑎1 = 1,02− 𝑗0,0005
SUBb 𝑉𝑏1 = 1,0157+ 𝑗0,0024, 𝐼𝑏1 = 16+ 𝑗0,03, 𝐼𝑏𝑎 = 14+ 𝑗0,04, 𝐼𝑏𝑐 = 2− 𝑗0,01
SUBc 𝐼𝑐𝑏 = −2 + 𝑗0,01, 𝑉𝑐1 = 1,035 + 𝑗0,015, 𝑉𝑐2 = 1,0125 + 𝑗0,015, 𝐼𝑐1 = 8 + 𝑗0,02, 𝐼𝑐2 = 2 − 𝑗0,01, 𝐼𝑐𝑎 = 8 + 𝑗0,02
Considere ainda o sistema IEEE14 barras [121] representado pela Figura 8-16.
213
Figura 8-16: Sistema IEEE 14 barras
Suponha que cada nó do sistema seja modelado por uma subestação conforme a
Tabela 8-XXI do capítulo 8, seção 8.8.4. Utilizando dados advindos de um fluxo de carga e
modelando erros baseados em uma distribuição normal às medidas, e seguindo divisão das áreas
lineares e não lineares tem-se a Tabela 8-XXXII.
Seguindo as diretrizes da EE multinível primeiramente serão realizados a EE no
nível da subestação, lineares e não lineares. Quando se tem PMU na barra mede-se tensão,
injeção e fluxos de corrente nos disjuntores, e quando se tem medições convencionais para o
sistema SCADA tem-se medidas de tensão, potência ativa, potência reativa, injeção de potência
ativa e reativa nos barramentos.
Tabela 8-XXXII: Tabela de identificação das áreas lineares e não lineares
Subestação Modelo Área Tipo Medições
1 'G4A' 1 Linear PMUs barramentos 2 e 4
2 'G6' 1 Linear PMUs barramentos 2, 3, 5, e 6
3 'G4A' 3 não linear SCADA, barramentos 1, 2, e 3
4 'G6' 3 não linear SCADA, barramentos 2, 3, 4 e 5
5 'G5' 1 Linear PMUs barramentos 2, 3, e 5
6 'G6' 1 Linear PMUs barramentos 2, 3, e 5
7 'G4A' 3 não linear SCADA, barramentos 1, 2, e 3
8 'G4A' 3 não linear SCADA, barramentos 2 e 4
9 'G6' 2 Linear PMUs barramentos 2, 3, 4, e 5
10 'G4A' 2 Linear PMUs barramentos 1, 2, e 3
11 'G4A' 4 não linear SCADA, barramentos 1, 2, e 3
12 'G4A' 5 não linear SCADA, barramentos 1, 2, e 3
13 'G5' 5 não linear SCADA, barramentos 2, 3, 4 e 5
14 'G4A' 5 não linear SCADA, barramentos 1, 2, e 3
Posteriormente será executada a EE do centro de controle linear e não linear,
basicamente utilizando os dados enviados pelas subestações.
214
Considere que no instante 𝑡0 tem-se a medida de corrente em todos os disjuntores
de todas as subestações, e eles se encontram fechados, e os valores das medidas são fornecidos
no sistema por unidade (pu) e os ângulos das medidas fasoriais em radianos, foram coletados
nas 14 subestações conforme as Tabelas 8-XXXIII, 8-XXXIV, 8-XXXV, 8-XXXVI, e 8-
XXXVII, respectivamente correspondendo a cinco áreas da estimação de estado multinível.
Após a estimação de estado pela EE das subestações lineares e não lineares tem-se as
respectivas tabelas 8-XXXVIII, 8-XXXIX, 8-XL, 8-XLI, e 8-XLII.
Após estas operações a EE do centro de controle recebe estas informações das
subestações e processa o estimador para as subestações da área linear, respectivamente áreas 1
e 2, separa-se as medidas de fronteira (boundary) para as áreas não lineares, e executa-se a EE
não linear do centro de controle, correspondente as áreas 3, 4, e 5. As medidas de fronteira serão
representadas neste caso pela tensão complexa do barramento da subestação interconectado
com o barramento da outra subestação na área não linear, por exemplo, tensão do barramento
5 da subestação 2 que está interconectado com o barramento 4 da subestação 3. No apêndice II
encontram-se representadas estas interconexões.
A EE da parte linear depois de executada a partir dos dados da subestação, e a EE
da parte não linear executado em sequência, apresentam seus resultados de acordo com a
Tabelas 8-XLIII.
No instante 𝑡1, alguns eventos acontecem, a abertura dos disjuntores 2 − 3 e 3 − 4
da subestação 2 e a abertura dos disjuntores 1 − 2 e 2 − 3 da subestação 1, que representa o
desligamento da linha de transmissão entre os nós 1 e 2, correspondente às subestações 1 e 2, e
a falha da PMU 3 da subestação 2. Nesta situação será utilizado o estado anterior armazenado
do instante 𝑡0, para a inferências dos valores das correntes perdidas para a estimação do estado.
As Tabelas de 8-XLIV, 8-XLV, 8-XLVI, 8-XLVII e 8-XLVIII mostram as medidas coletadas
no instante 𝑡1, e as Tabelas de 8-XLIX, 8-L, 8-LI, 8-LII, e 8-LIII mostram as variáveis de estado
estimadas pela EE da subestação. Note que a subestação 2 apresenta medidas sobre suspeita
que foram inferidas utilizando a Lei das Correntes de Kirchhoff e o estado anterior do instante
𝑡0. Como a PMU 3 apresenta problemas todas as medidas relativas a ela estão sob suspeita e
terão seu desvio padrão ajustados. Como temos a PMU2 vizinha de 3 na subestação 2, pode
inferir 𝐼3,2𝑖 com (8.42). Usando o estado anterior, e a corrente inferida pode-se chegar a (8.43) e
(8.45), e a corrente inferida:
𝐼3𝑡1 = −𝐼3,2
𝑡1 − 𝐼3,4𝑡1 (8.42)
𝐼3,2𝑡1 = −𝐼2,3
𝑡1 (8.43)
215
𝐼3𝑡0 = 𝐼2,3
𝑡1 − 𝐼3,4𝑡1 (8.44)
𝐼3,4𝑡1 = −𝐼3
𝑡0 + 𝐼2,3𝑡1 (8.45)
Substituindo os valores tem-se:
𝐼3,2𝑡1 = 0,0000 + 𝑗0,0000
𝐼3𝑡0 = 𝐼2,3
𝑡1 − 𝐼3,4𝑡1
𝐼3,4𝑡1 = 1,4790 + 𝑗0,1373 + 0,0000 − 𝑗0,0000
𝐼3,4𝑡1 = 1,4790 + 𝑗0,1373
𝐼3,4𝑡0 = 1,6169 + 𝑗0,1347
se |𝐼3,4
𝑡1 | > |𝐼3,4𝑡0
2| então definir 𝑠3,4 como aberto e 𝐼3,4
𝑡1 = 0
senão definir 𝑠3,4 como fechado e 𝐼3,4𝑡1 = 𝐼3,4
𝑡1
A conclusão é que o disjuntor está fechado, e, portanto, a subestação estimará o
estado com este erro, e deverá tomar a tensão também do estado anterior 𝑉3 = 1,0435 +
0,0918. Caso o disjuntor fosse diagnosticado aberto a tensão teria valor nulo. A EE da
subestação passará adiante ao centro de controle indicando que estas medidas estão sob
suspeita. Na Tabela 8-LIV têm-se os erros apresentados pela EE linear do centro de controle.
Pode-se verificar que após 5 iterações, não são mais encontrados erros significativos e o
processo se encerra. Os valores marcados em cinza representam as medidas que foram
descartadas. As medidas marcadas como suspeitas encontram-se na segunda coluna também
marcadas em cinza. Na tabela 8-LV têm-se os resultados da EE do centro de controle. Vários
testes foram realizados com diversas combinações, onde se tem variações topológicas entre
subestações da mesma área linear, da mesma área não linear, ou através de barras de fronteiras
entre a área linear e não linear, saídas de geradores, de carga, de shunt.
Várias alterações possíveis que podem simular mudanças topológicas nas
subestações foram criadas, mas, entretanto, é necessária a obtenção de convergência para o
fluxo de carga, considerando que ele é ferramenta básica para a geração e representação de
valores como entradas para os testes nos estimadores das subestações, parte linear e não linear.
Bons resultados foram obtidos, e somente quando temos perdas de 2 PMUs na mesma área onde
houve mudanças de topologia, e erros muito grosseiros em barras adjacentes a estas áreas, onde
ocorreu a perda, é que temos o risco de estimar valores de tensão muito fora da faixa desejável.
O mesmo raciocínio pode ser aplicado às áreas não lineares.
216
Tabela 8-XXXIII: Medidas coletadas nas subestações da área 1 - t0
Área Subestação Medida Real Imaginária
1
1
I2 1,4814 0,1928
I4 -4,3877 -0,2932
I23 -2,3589 0,2514
I21 0,8775 0,0586
I41 1,3163 0,0880
I43 3,0714 0,2052
V2 1,0617 -0,0011
V4 1,0594 0,0015
2
I2 -0,1963 0,1391
I3 -1,4790 -0,1373
I5 0,6963 -0,0949
I6 0,4375 0,4923
I23 0,1379 -0,0027
I34 1,6169 0,1347
I56 0,5251 0,2876
I21 0,0584 -0,1365
I61 0,0876 -0,2047
I32 -0,1379 0,0027
I54 -1,2214 -0,1927
I65 -0,5251 -0,2876
V2 1,0430 0,0897
V3 1,0435 0,0918
V5 1,0450 -0,0890
V6 1,0434 -0,0909
5 I2 -0,7087 0,0970
I3 -0,3912 0,0935
I5 0,6024 0,0171
I23 0,7372 -0,1078
I34 1,1285 -0,2013
I21 -0,0286 0,0108
I51 0,1000 -0,0377
I32 -0,7372 0,1078
I54 -0,7025 0,0206
V2 1,0067 -0,1546
V3 1,0069 -0,1533
V5 1,0042 -0,1548
6 I2 -0,0839 0,0939
I3 -0,3971 0,1683
I5 0,0655 -0,0466
I6 0,1429 -0,1295
I23 0,1375 -0,0536
I34 0,5346 -0,2220
I56 0,4144 -0,0823
I21 -0,0536 -0,0403
I61 0,2715 0,0472
I32 -0,1375 0,0536
I54 -0,4798 0,1289
I65 -0,4144 0,0823
V2 1,0380 -0,2628
V3 1,0366 -0,2652
V5 1,0369 -0,2672
V6 1,0382 -0,2663
217
Tabela 8-XXXIV: Medidas coletadas nas subestações da área 2 - t0
Área Subestação Medida Real Imaginária
2
9
I2 0,0427 -0,0090
I3 -0,2347 0,2282
I5 -0,2170 0,2091
I6 0,0799 -0,0287
I23 0,0512 -0,0823
I34 0,2859 -0,3106
I56 0,6437 -0,5746
I21 -0,0939 0,0913
I61 0,5638 -0,5459
I32 -0,0512 0,0823
I54 -0,4267 0,3654
I65 -0,6437 0,5746
V2 0,9993 -0,2642
V3 0,9985 -0,2627
V5 1,0004 -0,2645
V6 1,0015 -0,2638
10 I1 -0,0696 0,0769
I2 -0,0427 0,0090
I3 -0,0269 0,0679
I12 0,0278 -0,0307
I14 0,0418 -0,0461
I23 0,0706 -0,0397
I34 0,0974 -0,1076
I21 -0,0278 0,0307
I32 -0,0706 0,0397
V1 0,9970 -0,2659
V2 0,9987 -0,2673
V3 0,9984 -0,2673
Tabela 8-XXXV: Medidas coletadas nas subestações da área 4 - t0
Área Subestação Medida Ativa ou
módulo
Reativa
4
11
S1 0,0350 0,0180
S2 -0,0804 -0,0795
S3 0,0454 0,0615
S12 -0,0140 -0,0072
S14 -0,0210 -0,0108
S23 0,0664 0,0723
S34 0,0210 0,0108
S21 0,0140 0,0072
S32 -0,0664 -0,0723
V1 1,0138
V2 1,0145
V3 1,0137
218
Tabela 8-XXXVI: Medidas coletadas nas subestações da área 3 - t0
Área Subestação Medida Ativa ou
módulo
Reativa
3
3
S1 -0,0000 -0,2712
S2 0,9420 0,1900
S3 -0,2318 0,0647
S12 0,3768 -0,0325
S14 -0,3768 0,3036
S23 -0,5652 -0,2225
S34 -0,3334 -0,2872
S21 -0,3768 0,0325
S32 0,5652 0,2225
V1 0,9859
V2 0,9858
V3 0,9862
4 S2 0,2357 -0,0680
S3 0,2723 -0,0592
S5 -0,5982 0,1258
S6 0,1553 0,0303
S23 -0,4269 0,0836
S34 -0,6991 0,1428
S56 0,4421 0,0069
S21 0,1912 -0,0156
S61 0,2868 -0,0234
S32 0,4269 -0,0836
S54 0,1561 -0,1327
I65 -0,4421 -0,0069
V2 0,9977
V3 0,9982
V5 0,9979
V6 0,9997
7 S2 0,0000 -0,2358
S4 -0,0000 -0,0000
S23 0,1089 0,2061
S21 -0,1089 0,0297
S41 -0,1634 0,0446
S43 0,1634 -0,0446
V2 1,0220
V4 1,0233
8 S2 0,0000 0,2447
S4 0,0000 -0,4894
S23 0,0000 -0,3426
S21 0,0000 0,0979
S41 0,0000 0,1468
S43 0,0000 0,3426
V2 1,0609
V4 1,0607
219
Tabela 8-XXXVII: Medidas coletadas nas subestações da área 5 - t0
Área Subestação Medida Ativa ou
módulo
Reativa
5
12
S1 0,0610 0,0160
S2 0,0185 0,0132
S3 -0,0795 -0,0292
S12 -0,0244 -0,0064
S14 -0,0366 -0,0096
S23 -0,0429 -0,0196
S34 0,0366 0,0096
S21 0,0244 0,0064
S32 0,0429 0,0196
V1 1,0164
V2 1,0168
V3 1,0174
13 S2 -0,0184 -0,0131
S3 0,0634 0,0464
S4 -0,1801 -0,0913
S5 0,0000 0,0000
S23 -0,0356 -0,0101
S34 -0,0991 -0,0565
S45 0,0810 0,0348
S21 0,0540 0,0232
S51 0,0810 0,0348
S32 0,0356 0,0101
S43 0,0991 0,0565
S54 -0,0810 -0,0348
V2 1,0122
V3 1,0095
V4 1,0108
V5 1,0107
14 S1 0,1490 0,0500
S2 -0,0625 -0,0444
S3 -0,0865 -0,0056
S12 -0,0596 -0,0200
S14 -0,0894 -0,0300
S23 0,0029 0,0244
S34 0,0894 0,0300
S21 0,0596 0,0200
S32 -0,0029 -0,0244
V1 0,9820
V2 0,9817
V3 0,9819
220
Tabela 8-XXXVIII: Variáveis de estado das subestações estimadas da área 1 - t0
Área Subestação Item Real Imaginária
1
1
I1 2,1939 0,1466
I2 1,4814 0,1928
I3 0,7125 -0,0462
I4 -4,3877 -0,2932
I12 -0,8775 -0,0586
I14 -1,3163 -0,0880
I23 -2,3589 -0,2514
I34 -3,0714 -0,2052
V1a 1,0606 0,0002
2 I1 0,1460 -0,3411
I2 -0,1963 0,1391
I3 -1,4790 -0,1373
I4 0,3955 -0,0581
I5 0,6963 -0,0949
I6 0,4375 0,4923
I12 -0,0584 0,1365
I16 -0,0876 0,2047
I23 0,1379 -0,0027
I34 1,6169 0,1347
I45 1,2214 0,1927
I56 0,5251 0,2876
V2a 1,0437 -0,0904
5 I1 0,0714 -0,0269
I2 -0,7087 0,0970
I3 -0,3912 0,0935
I4 0,4260 -0,1806
I5 0,6024 0,0171
I12 0,0286 -0,0108
I15 -0,1000 0,0377
I23 0,7372 -0,1078
I34 1,1285 -0,2013
I45 0,7025 -0,0206
V5a 1,0059 -0,1542
6 I1 0,2179 0,0069
I2 -0,0839 0,0939
I3 -0,3971 0,1683
I4 0,0547 -0,0931
I5 0,0655 -0,0466
I6 0,1429 -0,1295
I12 0,0536 0,0403
I16 -0,2715 -0,0472
I23 0,1375 -0,0536
I34 0,5346 -0,2220
I45 0,4798 -0,1289
I56 0,4144 -0,0823
V6a 1,0374 -0,2654
221
Tabela 8-XXXIX: Variáveis de estado das subestações estimadas da área 2 - t0
Área Subestação Item Real Imaginária
2
9
I1 0,4699 -0,4546
I2 0,0427 -0,0090
I3 -0,2347 0,2282
I4 -0,1408 0,0549
I5 -0,2170 0,2091
I6 0,0799 -0,0287
I12 0,0939 -0,0913
I16 -0,5638 0,5459
I23 0,0512 -0,0823
I34 0,2859 -0,3106
I45 0,4267 -0,3654
I56 0,6437 -0,5746
V9a 0,9999 -0,2638
10 I1 -0,0696 0,0769
I2 -0,0427 0,0090
I3 -0,0269 0,0679
I4 0,1392 -0,1537
I12 0,0278 -0,0307
I14 0,0418 -0,0461
I23 0,0706 -0,0397
I34 0,0974 -0,1076
V10a 0,9980 -0,2668
222
Tabela 8-XL: Variáveis de estado das subestações estimadas da área 3 - t0
Área Subestação Item Real Imaginária
3
3
S1 -0,0000 -0,2712
S2 0,9420 0,1900
S3 -0,2318 0,0647
S4 -0,7102 0,0164
S12 0,3768 -0,0325
S14 -0,3768 0,3036
S23 -0,5652 -0,2225
S34 -0,3334 -0,2872
V3a 0,9860 -0,2216
4 S1 0,4780 -0,0390
S2 0,2357 -0,0680
S3 0,2723 -0,0592
S4 -0,5430 0,0101
S5 -0,5982 0,1258
S6 0,1553 0,0303
S12 -0,1912 0,0156
S16 -0,2868 0,0234
S23 -0,4269 0,0836
S34 -0,6991 0,1428
S45 -0,1561 0,1327
S56 0,4421 0,0069
V4a 0,9984 -0,1793
7 S1 -0,2723 0,0743
S2 0,0000 -0,2358
S3 0,2723 0,1615
S4 -0,0000 -0,0000
S12 0,1089 -0,0297
S14 0,1634 -0,0446
S23 0,1089 0,2061
S34 -0,1634 0,0446
V7a 1,0227 -0,2396
8 S1 0,0000 0,2447
S2 0,0000 0,2447
S3 0,0000 0,0000
S4 0,0000 -0,4894
S12 0,0000 -0,0979
S16 0,0000 -0,1468
S23 0,0000 -0,3426
S34 0,0000 -0,3426
V8a 1,0608 -0,2481
Tabela 8-XLI: Variáveis de estado das subestações estimadas da área 4 - t0
Área Subestação Item Real Imaginária
4
11
S1 0,0350 0,0180
S2 -0,0804 -0,0795
S3 0,0454 0,0615
S4 -0,0000 -0,0000
S12 -0,0140 -0,0072
S14 -0,0210 -0,0108
S23 0,0664 0,0723
S34 0,0210 0,0108
V11a 1,0140 -0,2675
223
Tabela 8-XLII: Variáveis de estado das subestações estimadas da área 5 - t0
Área Subestação Item Real Imaginária
5
12
S1 0,0610 0,0160
S2 0,0185 0,0132
S3 -0,0795 -0,0292
S4 -0,0000 -0,0000
S12 -0,0244 -0,0064
S14 -0,0366 -0,0096
S23 -0,0429 -0,0196
S34 0,0366 0,0096
V12a 1,0169 -0,2778
13 S1 0,1350 0,0580
S2 -0,0184 -0,0131
S3 0,0634 0,0464
S4 -0,1801 -0,0913
S5 0,0000 0,0000
S12 -0,0540 -0,0232
S15 -0,0810 -0,0348
S23 -0,0356 -0,0101
S34 -0,0991 -0,0565
S45 0,0810 0,0348
V13a 1,0108 -0,2754
14 S1 0,1490 0,0500
S2 -0,0625 -0,0444
S3 -0,0865 -0,0056
S4 0,0000 -0,0000
S12 -0,0596 -0,0200
S14 -0,0894 -0,0300
S23 0,0029 0,0244
S34 0,0894 0,0300
V14a 0,9819 -0,2816
Tabela 8-XLIII: Variáveis de estado estimadas no centro de controle - t0
Área Subestação Item V (tensão) θ (ângulo)
1 1 V1 1,0612 0,0006
2 V2 1,0461 -0,0863
5 V3 (V5) 1,0184 -0,1522
6 V4 (V6) 1,0711 -0,2507
2 9 V1 (V9) 1,0342 -0,2578
10 V2 (V10) 1,0330 -0,2614
3 3 V1 (V3) 1,0098 -0,2209
4 V2 (V4) 1,0147 -0,1779
7 V3 (V7) 1,0293 -0,2308
8 V4 (V8) 1,0699 -0,2307
4 11 V1 (V11) 1,0482 -0,2579
5 12 V1 (V12) 1,0543 -0,2653
13 V2 (V13) 1,0479 -0,2660
14 V3 (V14) 1,0220 -0,2793
224
Tabela 8-XLIV: Medidas coletadas nas subestações da área 1 – t1
Área Subestação Medida Real Imaginária
1
1
I2 0,0000 0,00000
I4 -4,9584 0,8859
I23 0,0000 0,00000
I21 0,0000 0,00000
I41 2,4792 -0,4429
I43 2,4792 -0,4429
V2 0,0017 0,0009
V4 1,0607 0,0010
2
I2 -0,0008 0,1196
I3 (inf) 1,4790 0,1373
I5 -0,4835 0,0647
I6 -0,0012 0,1794
I23 0,0000 0,0000
I34 (inf) 1,4790 0,1373
I56 0,0000 0,0000
I21 0,0008 -0,1196
I61 0,0012 -0,1794
I32 (inf) 0,0000 0,0000
I54 0,4835 -0,0647
I65 0,0000 0,0000
V2 0,8522 -0,6063
V3 (inf) 1,0435 0,0918
V5 0,7825 -0,6043
V6 0,8518 -0,6065
5 I2 -2,4662 0,4892
I3 0,4835 -0,0647
I5 1,4474 -0,1386
I23 2,4889 -0,5116
I34 2,0053 -0,4469
I21 -0,0227 0,0223
I51 0,0793 -0,0782
I32 -2,4889 0,5116
I54 -1,5267 0,2168
V2 0,8231 -0,5265
V3 0,8233 -0,5263
V5 0,8243 -0,5272
6 I2 -0,0365 0,1206
I3 -0,4461 0,2144
I5 0,0426 -0,0737
I6 0,0836 -0,1941
I23 0,1535 -0,0439
I34 0,5996 -0,2583
I56 0,5298 -0,0463
I21 -0,1170 -0,0767
I61 0,4461 0,1478
I32 -0,1535 0,0439
I54 -0,5724 0,1199
I65 -0,5298 0,0463
V2 0,8305 -0,6764
V3 0,8258 -0,6771
V5 0,8285 -0,6768
V6 0,8281 -0,6760
225
Tabela 8-XLV: Medidas coletadas nas subestações da área 2 – t1
Área Subestação Medida Real Imaginária
2
9
I2 0,0173 0,0031
I3 -0,1141 0,3112
I5 -0,0771 0,2669
I6 0,0482 -0,0416
I23 0,0283 -0,1276
I34 0,1424 -0,4388
I56 0,3233 -0,7870
I21 -0,0456 0,1245
I61 0,2751 -0,7454
I32 -0,0283 0,1276
I54 -0,2462 0,5200
I65 -0,3233 0,7870
V2 0,7770 -0,6625
V3 0,7770 -0,6632
V5 0,7759 -0,6616
V6 0,7775 -0,6615
10 I1 -0,0300 0,1004
I2 -0,0173 -0,0031
I3 -0,0127 0,1035
I12 0,0120 -0,0402
I14 0,0180 -0,0602
I23 0,0293 -0,0370
I34 0,0420 -0,1405
I21 -0,0120 0,0402
I32 -0,0293 0,0370
V1 0,7797 -0,6628
V2 0,7770 -0,6633
V3 0,7763 -0,6619
226
Tabela 8-XLVI: Medidas coletadas nas subestações da área 3 – t1
Área Subestação Medida Ativa ou módulo Reativa
3
3
S1 -0,0000 -0,7635
S2 0,9420 0,1900
S3 -0,5340 0,3659
S12 0,3768 -0,2294
S14 -0,3768 0,9930
S23 -0,5652 -0,4194
S34 -0,0312 -0,7853
S21 -0,3768 0,2294
S32 0,5652 0,4194
V1 0,7381
V2 0,7394
V3 0,7377
4 S2 0,5618 -0,3076
S3 0,2369 -0,1251
S5 -1,2339 0,7388
S6 0,1344 0,0039
S23 -0,7530 0,3232
S34 -0,9899 0,4483
S56 0,4212 -0,0195
S21 0,1912 -0,0156
S61 0,2868 -0,0234
S32 0,7530 -0,3232
S54 0,8126 -0,7194
I65 -0,4212 0,0195
V2 0,7974
V3 0,7951
V5 0,7977
V6 0,7974
7 S2 0,0000 -0,3044
S4 0,0000 -0,0000
S23 0,0948 0,2485
S21 -0,0948 0,0559
S41 -0,1422 0,0839
S43 0,1422 -0,0839
V2 0,8066
V4 0,8080
8 S2 0.0000 0.3195
S4 0.0000 -0.6391
S23 0.0000 -0.4474
S21 0.0000 0.1278
S41 0.0000 0.1917
S43 0.0000 0.4474
V2 0.8480
V4 0.8466
227
Tabela 8-XLVII: Medidas coletadas nas subestações da área 4 – t1
Área Subestação Medida Ativa ou módulo Reativa
4
11
S1 0,0350 0,0180
S2 -0,1145 -0,0920
S3 0,0795 0,0740
S12 -0,0140 -0,0072
S14 -0,0210 -0,0108
S23 0,1005 0,0848
S34 0,0210 0,0108
S21 0,0140 0,0072
S32 -0,1005 -0,0848
V1 0,7986
V2 0,7984
V3 0,7989
Tabela 8-XLVIII: Medidas coletadas nas subestações da área 5 – t1
Área Subestação Medida Ativa ou
módulo
Reativa
5
12
S1 0,0610 0,0160
S2 0,0233 0,0142
S3 -0,0843 -0,0302
S12 -0,0244 -0,0064
S14 -0,0366 -0,0096
S23 -0,0477 -0,0206
S34 0,0366 0,0096
S21 0,0244 0,0064
S32 0,0477 0,0206
V1 0,8055
V2 0,8048
V3 0,8043
13 S2 -0,0232 -0,0140
S3 0,0861 0,0541
S4 -0,1979 -0,0980
S5 0,0000 0,0000
S23 -0,0308 -0,0092
S34 -0,1169 -0,0632
S45 0,0810 0,0348
S21 0,0540 0,0232
S51 0,0810 0,0348
S32 0,0308 0,0092
S43 0,1169 0,0632
S54 -0,0810 -0,0348
V2 0,7983
V3 0,7984
V4 0,7984
V5 0,7982
14 S1 0,1490 0,0500
S2 -0,0845 -0,0508
S3 -0,0645 0,0008
S12 -0,0596 -0,0200
S14 -0,0894 -0,0300
S23 0,0249 0,0308
S34 0,0894 0,0300
S21 0,0596 0,0200
S32 -0,0249 -0,0308
V1 0,7619
V2 0,7602
V3 0,7604
228
Tabela 8-XLIX: Variáveis de estado das subestações estimadas da área 1 – t1
Área Subestação Item Real Imaginária
1
1
I1 2,4792 -0,4429
I2 0,0000 0,0000
I3 2,4792 -0,4429
I4 -4,9584 0,8859
I12 0,0000 0,0000
I14 -2,4792 0,4429
I23 0,0000 0,0000
I34 -2,4792 0,4429
V1a 1,0607 0,0010
V1b 0,0017 -0,0009
2 I1 0,0020 -0,2990
I2 -0,0008 0,1196
I3 1,4786 0,1128
I4 -0,9951 -0,1774
I5 -0,4835 0,0647
I6 -0,0012 0,1794
I12 -0,0008 0,1196
I16 -0,0012 0,1794
I23 0,0000 0,0000
I34 -1,4786 -0,1128
I45 -0,4835 0,0647
I56 0,0000 -0,0000
V2a 0,8518 -0,6053
V2b 0,7803 -0,6042
V2c 0,7803 -0,6042
5 I1 0,0566 -0,0559
I2 -2,4662 0,4892
I3 0,4835 -0,0647
I4 0,4786 -0,2301
I5 1,4474 -0,1386
I12 0,0227 -0,0223
I15 -0,0793 0,0782
I23 2,4889 -0,5116
I34 2,0053 -0,4469
I45 1,5267 -0,2168
V5a 0,8228 -0,5259
6 I1 0,3291 0,0711
I2 -0,0365 0,1206
I3 -0,4461 0,2144
I4 0,0272 -0,1384
I5 0,0426 -0,0737
I6 0,0836 -0,1941
I12 0,1170 0,0767
I16 -0,4461 -0,1478
I23 0,1535 -0,0439
I34 0,5996 -0,2583
I45 0,5724 -0,1199
I56 0,5298 -0,0463
V6a 0,8291 -0,6776
229
Tabela 8-L: Variáveis de estado das subestações estimadas da área 2 – t1
Área Subestação Item Real Imaginária
2
9
I1 0,2295 -0,6209
I2 0,0173 0,0031
I3 -0,1141 0,3112
I4 -0,1037 0,0812
I5 -0,0771 0,2669
I6 0,0482 -0,0416
I12 0,0456 -0,1245
I16 -0,2751 0,7454
I23 0,0283 -0,1276
I34 0,1424 -0,4388
I45 0,2462 -0,5200
I56 0,3233 -0,7870
V9a 0,7778 -0,6626
10 I1 -0,0300 0,1004
I2 -0,0173 -0,0031
I3 -0,0127 0,1035
I4 0,0600 -0,2008
I12 0,0120 -0,0402
I14 0,0180 -0,0602
I23 0,0293 -0,0370
I34 0,0420 -0,1405
V10a 0,7773 -0,6646
Tabela 8-LI: Variáveis de estado das subestações estimadas da área 3 – t1
Área Subestação Item Real Imaginária
3
3
S1 -0,0000 -0,7635
S2 0,9420 0,1900
S3 -0,5340 0,3659
S4 -0,4080 0,2077
S12 0,3768 -0,2294
S14 -0,3768 0,9930
S23 -0,5652 -0,4194
S34 -0,0312 -0,7853
V3a 0,7384
4 S1 0,4780 -0,0390
S2 0,5618 -0,3076
S3 0,2369 -0,1251
S4 -0,1773 -0,2711
S5 -1,2339 0,7388
S6 0,1344 0,0039
S12 -0,1912 0,0156
S16 -0,2868 0,0234
S23 -0,7530 0,3232
S34 -0,9899 0,4483
S45 -0,8126 0,7194
S56 0,4212 -0,0195
V4a 0,7969
7 S1 -0,2369 0,1398
S2 -0,0000 -0,3044
S3 0,2369 0,1646
S4 0,0000 -0,0000
S12 0,0948 -0,0559
S14 0,1422 -0,0839
S23 0,0948 0,2485
S34 -0,1422 0,0839
230
V7a 0,8073
8 S1 0,0000 0,3195
S2 0,0000 0,3195
S3 0,0000 0,0000
S4 0,0000 -0,6391
S12 0,0000 -0,1278
S16 0,0000 -0,1917
S23 0,0000 -0,4474
S34 0,0000 -0,4474
V8a 0,8473
Tabela 8-LII: Variáveis de estado das subestações estimadas da área 4 – t1
Área Subestação Item Real Imaginária
4
11
S1 0,0350 0,0180
S2 -0,1145 -0,0920
S3 0,0795 0,0740
S4 0,0000 -0,0000
S12 -0,0140 -0,0072
S14 -0,0210 -0,0108
S23 0,1005 0,0848
S34 0,0210 0,0108
V11a 0,7986
231
Tabela 8-LIII: Variáveis de estado das subestações estimadas da área 5 – t1
Área Subestação Item Real Imaginária
5
12
S1 0,0610 0,0160
S2 0,0233 0,0142
S3 -0,0843 -0,0302
S4 -0,0000 0,0000
S12 -0,0244 -0,0064
S14 -0,0366 -0,0096
S23 -0,0477 -0,0206
S34 0,0366 0,0096
V12a 0,8049
13 S1 0,1350 0,0580
S2 -0,0232 -0,0140
S3 0,0861 0,0541
S4 -0,1979 -0,0980
S5 0,0000 0,0000
S12 -0,0540 -0,0232
S15 -0,0810 -0,0348
S23 -0,0308 -0,0092
S34 -0,1169 -0,0632
S45 0,0810 0,0348
V13a 0,7983
14 S1 0,1490 0,0500
S2 -0,0845 -0,0508
S3 -0,0645 0,0008
S4 -0,0000 -0,0000
S12 -0,0596 -0,0200
S14 -0,0894 -0,0300
S23 0,0249 0,0308
S34 0,0894 0,0300
V14a 0,7608
Tabela 8-LIV: Processamento de erros normalizados da EE linear do centro de controle No Variáveis
de Estado
Iteração1 Iteração2 Iteração 3 Iteração 4 Iteração 5 Iteração 6
1 V1a 0,2299 - j0,3938 0,2299 - j0,3938 0,7665 + j0,3726 0,0250 + j0,0182 0,0250 + j0,0182 0,0250 + j0,0182
2 V1b -2,4930 + j8,6318 -1,7074 + j9,6850 -1,7074 + j9,6850 -1,7074 + j9,6850 -0,0000 - j0,0000 -0,0000 - j0,0000
3 V2a -0,0000 + j0,0000 -0,0000 + j0,0000 -0,0000 + j0,0000 -0,0000 + j0,0000 -0,0000 + j0,0000 -0,0000 + j0,0000
4 V2b -1,0683 + j1,4013 -1,0683 + j1,4013 -2,3965 - j1,7015 -0,0427 + j0,0971 -0,0427 + j0,0971 -0,0427 + j0,0971
5 V2c 11,7494 - j23,0658 12,0330 - j22,4978 12,0330 - j22,4978 12,0330 - j22,4978 0,0000 + j0,0000 0,0000 + j0,0000
6 V5a -0,0748 - j0,1435 -0,0748 - j0,1435 0,1326 - j0,1694 -0,0149 - j0,0600 -0,0149 - j0,0600 -0,0149 - j0,0600
7 V6a 0,3401 - j0,4320 0,3401 - j0,4320 0,7163 + j0,4928 0,0292 - j0,0520 0,0292 - j0,0520 0,0292 - j0,0520
8 I1,2 12,5725 - j5,8598 0,2047 - j0,0053 0,2047 - j0,0053 0,2047 - j0,0053 -0,0000 - j0,0010 -0,0000 - j0,0010
9 I1,5 -1,1467 - j1,4493 -1,1467 - j1,4493 2,5491 - j2,0964 -0,0004 - j0,0033 -0,0004 - j0,0033 -0,0004 - j0,0033
10 I2,1 53,9514 - j19,4523 0,0000 + j0,0000 0,0000 + j0,0000 0,0000 + j0,0000 0,0000 + j0,0000 0,0000 + j0,0000
11 I2,5 -47,9202 + j7,5420 -47,9202 + j7,5420 0,0000 + j0,0000 0,0000 + j0,0000 0,0000 + j0,0000 0,0000 + j0,0000
12 I5,1 1,1625 + j1,4486 1,1625 + j1,4486 -2,5521 + j2,1181 0,0021 - j0,0003 0,0021 - j0,0003 0,0021 - j0,0003
13 I5,2 -5,7550 - j7,3569 -5,7550 - j7,3569 12,8613 - j11,2238 -0,0152 + j0,0002 -0,0152 + j0,0002 -0,0152 + j0,0002
14 I5,6 1,2756 + j1,6023 1,2756 + j1,6023 -2,8143 + j2,3209 0,0066 + j0,0023 0,0066 + j0,0023 0,0066 + j0,0023
15 I6,5 -1,1580 - j1,4947 -1,1580 - j1,4947 2,6266 - j2,1071 -0,0060 - j0,0022 -0,0060 - j0,0022 -0,0060 - j0,0022
16 I1a -1,1467 - j1,4493 -1,1467 - j1,4493 2,5491 - j2,0964 -0,0004 - j0,0033 -0,0004 - j0,0033 -0,0004 - j0,0033
17 I1b 12,5725 - j5,8598 0,2047 - j0,0053 0,2047 - j0,0053 0,2047 - j0,0053 -0,0000 - j0,0010 -0,0000 - j0,0010
18 I2a 17,7421 - j10,2924 17,7421 - j10,2924 17,7421 - j10,2924 17,7421 - j10,2924 17,7421 - j10,2924 0,0000 + j0,0000
19 I2b 39,1073 - j19,1315 39,1073 - j19,1315 20,3158 - j17,2496 0,0000 + j0,0000 0,0000 + j0,0000 0,0000 + j0,0000
20 I2c -6,2478 + j2,0250 -0,2922 - j0,1179 -0,2922 - j0,1179 -0,2922 - j0,1179 0,0003 - j0,0038 0,0003 - j0,0038
21 I5a -3,8702 - j4,2236 -3,8702 - j4,2236 7,3740 - j7,1824 -0,0058 + j0,0011 -0,0058 + j0,0011 -0,0058 + j0,0011
22 I6a -1,1580 - j1,4947 -1,1580 - j1,4947 2,6266 - j2,1071 -0,0060 - j0,0022 -0,0060 - j0,0022 -0,0060 - j0,0022
Teste de convergência 𝐽(𝑥) = ∑ 𝑟𝑖22𝑖 , 𝐽(𝑥) ≤ 𝐶, onde 𝐶 = 25,6821, 𝐽(𝑥)6 = 0,0187
232
Tabela 8-LV : Variáveis de estado estimadas no centro de controle – t1
Área Subestação Item V (tensão) θ (ângulo)
1 1 V1a 1,0605 0,0007
1 V1b 0,0019 0,5116
2 V2a 1,0450 -0,6178
2 V2b 0,9881 -0,6589
2 V2c 0,0019 0,5120
3 3 V3a 1,0087 -0,7505
4 V4a 0,9896 -0,6343
1 5 V5a 0,9764 -0,5700
6 V6a 1,0699 -0,6860
3 7 V7a 1,0181 -0,6820
8 V8a 1,0710 -0,6819
2 9 V9a 1,0216 -0,7056
10 V10a 1,0224 -0,7070
4 11 V11a 1,0425 -0,6982
5 12 V12a 1,0532 -0,7018
13 V13a 1,0457 -0,7032
14 V14a 1,0137 -0,7229
8.8.7 DISCUTINDO ASPECTOS ECONÔMICOS NA SUBESTAÇÃO
Considere ainda a subestação do tipo G6 da Figura 8-1, com plano de alocação igual
a xp = 011011. Imagine que para um determinado fabricante, cada barramento com PMU custa
15 mil unidades monetárias, ou seja para cada 𝑐𝑝𝑘 , e que o custo unitário por medida seja
respectivamente 500 unidades monetárias para toda e qualquer medida.
Seja o período de investimentos equivalente a 𝑡𝑖 = 12 meses, o período máximo
suportado pelo projeto de 24 meses (𝑡𝑚𝑎𝑥 = 24), que os fluxos de caixa são todos equivalentes
a 𝐶𝐹𝑘𝑡 = 450,00 o valor da taxa de reinvestimento 𝑅𝐹𝑅𝑘 seja de 10%, que a taxa de desconto
ajustada a o risco 𝐾𝑘 seja equivalente a 8%, que a taxa financeira 𝐹𝑅𝑘 seja 4%, e que 𝑃𝐶𝐹𝑘𝑡 =
500,00 e 𝑁𝐶𝐹𝑘𝑡 = 1050,00. Considere ainda o tempo de retorno máximo 𝑃𝐵𝑘
𝑚𝑎𝑥 equivalente a
28 meses no total. Observe que neste caso os valores para cada barramento da subestação são
equivalentes, então os valores para planos com o mesmo número de PMUs são similares.
Vamos ainda supor que o valor de 𝑧𝑘𝑡 é uniforme pelo período de investimentos. Assim será
realizada uma demonstração visando apenas a avaliar o plano de investimentos e projetos como
um todo, considerando a subestação, e o rateio dos valores financeiros entre cada barra 𝑘 com
PMU, um tanto diferente quando temos a análise nó ramo.
Pode-se variar estes indicadores para simular as diversas situações referentes à
alocação em uma determinada subestação como, por exemplo, mudar o fabricante que pratica
um custo diferente, mudar taxas de remuneração e de reinvestimento, e até modificar as
233
cronologias do projeto e avaliar sua viabilidade, lembrando-se dos critérios definidos na Seção
8.7 para um projeto saudável financeiramente. Com estas informações atribuídas aos
indicadores financeiros tem-se os resultados mostrados nas Tabelas 8-LVI, 8-LVII, e 8-LVIII.
Tabela 8-LVI: Demonstrativo análise econômica – fluxos negativos
Mês (t) 𝑧𝑘𝑡 𝑃𝑉𝑘
𝑡 Tipo 𝑁𝐶𝐹𝑘𝑡 𝑁𝐹𝐶𝑘
𝑡 ∙ (1 + 𝐹𝑅𝑘)𝑡
1 1.000,00 1.000,00 Saída 1.050,00 1.050,00
2 1.000,00 961,54 Saída 1.050,00 1.092,00
3 1.000,00 924,56 Saída 1.050,00 1.135,68
4 1.000,00 889,00 Saída 1.050,00 1.181,11
5 1.000,00 854,80 Saída 1.050,00 1.228,35
6 1.000,00 821,93 Saída 1.050,00 1.277,49
7 1.000,00 790,31 Saída 1.050,00 1.328,58
8 1.000,00 759,92 Saída 1.050,00 1.381,73
9 1.000,00 730,69 Saída 1.050,00 1.437,00
10 1.000,00 702,59 Saída 1.050,00 1.494,48
11 1.000,00 675,56 Saída 1.050,00 1.554,26
12 1.000,00 649,58 Saída 1.050,00 1.616,43
𝑷𝑽𝒌𝒐 9.760,48 𝑵𝑪𝑭𝒌 15.777,10
Tabela 8-LVII: Demonstrativo análise econômica – fluxos positivos
Mês (t) 𝐶𝐹𝑘𝑡 𝑃𝑉𝑘
𝑡 Tipo 𝑃𝐶𝐹𝑘𝑡 𝑃𝐹𝐶𝑘
𝑡 ∙ (1 + 𝑅𝐹𝑅𝑘)𝑡
13 450,00 202,47 Entrada 500,00 1.426,56
14 450,00 184,06 Entrada 500,00 1.296,87
15 450,00 167,33 Entrada 500,00 1.178,97
16 450,00 152,12 Entrada 500,00 1.071,79
17 450,00 138,29 Entrada 500,00 974,36
18 450,00 125,72 Entrada 500,00 885,78
19 450,00 114,29 Entrada 500,00 805,26
20 450,00 103,90 Entrada 500,00 732,05
21 450,00 94,45 Entrada 500,00 665,50
22 450,00 85,87 Entrada 500,00 605,00
23 450,00 78,06 Entrada 500,00 550,00
24 450,00 70,96 Entrada 500,00 500,00
𝑷𝑽𝒌𝒊 1.517,53 𝑷𝑪𝑭𝒌 10.692,14
234
Tabela 8-LVIII: Valores individuais para o plano xp = 011011
𝑧𝑘 =∑𝑐𝑝𝑘 ∙
𝑠𝑏
𝑘=1
𝑥𝑝𝑘 +∑𝑐𝑚𝑗
𝑚𝑠
𝑗=1
∙ 𝑥𝑚𝑗 𝑧𝑘 = 48000,00
𝑧𝑘𝑡 =
𝑧𝑘𝑡𝑖
4000,00/4
𝑀𝑁𝑃𝑉𝑘 = 𝑃𝑉𝑘𝑖 − 𝑃𝑉𝑘
𝑜 𝑀𝑁𝑃𝑉𝑘 = -8.242,95
𝑀𝐼𝑅𝑅𝑘 = (𝑃𝐶𝐹𝑘𝑁𝐶𝐹𝑘
)
1𝑡𝑚𝑎𝑥
− 1
𝑀𝐼𝑅𝑅𝑘 =-0,016079742
𝑃𝑅𝑘 = 𝑃𝐵𝑘𝑚𝑎𝑥 − 𝑃𝐵𝑘 𝑃𝑅𝑘 = 15,5
𝑓𝑘 = −1 ∙∑(𝑀𝑁𝑃𝑉𝑘 +𝑀𝐼𝑅𝑅𝑘 − 𝑃𝑅𝑘)
𝑠𝑏
𝑘=1
𝑓𝑘 = 8.258,46
Pela análise dos indicadores verifica-se que MNPV e MIRR são negativos, o que
torna o projeto inviável economicamente. Então, buscando alternativas, pode-se por exemplo
reduzir os investimentos, melhorar as taxas financeiras, e melhorar os fluxos de caixa negativos,
reduzindo despesas, ou ainda aumentar o tempo do projeto. Então considerando a nova situação
para cada barramento 𝑘 com PMU, com o período de investimentos equivalente a 𝑡𝑖 = 12
meses, o período máximo suportado pelo projeto de 24 meses (𝑡𝑚𝑎𝑥 = 24), que os fluxos de
caixa são todos equivalentes a 𝐶𝐹𝑘𝑡 = 1200,00 o valor da taxa de reinvestimento 𝑅𝐹𝑅𝑘 seja de
25%, que a taxa de desconto ajustada a o risco 𝐾𝑘 seja equivalente a 8%, que a taxa financeira
𝐹𝑅𝑘 seja 4%. Seja ainda 𝑃𝐶𝐹𝑘𝑡 = 1200,00 e 𝑁𝐶𝐹𝑘
𝑡 = 1000,00 e considere ainda o tempo de
retorno máximo 𝑃𝐵𝑘𝑚𝑎𝑥 equivalente a 28 meses no total. Após análise tem-se as Tabelas 8-LIX
e 8-LX.
Tabela 8-LIX: Análise para novo projeto com indicadores diferentes - fluxos negativos
Mês (t) 𝑧𝑘𝑡 𝑃𝑉𝑘
𝑡 Tipo 𝑁𝐶𝐹𝑘𝑡 𝑁𝐹𝐶𝑘
𝑡 ∙ (1 + 𝐹𝑅𝑘)𝑡
1 1.000,00 1.000,00 Saída 1.000,00 1.000,00
2 1.000,00 961,54 Saída 1.000,00 1.040,00
3 1.000,00 924,56 Saída 1.000,00 1.081,60
4 1.000,00 889,00 Saída 1.000,00 1.124,86
5 1.000,00 854,80 Saída 1.000,00 1.169,86
6 1.000,00 821,93 Saída 1.000,00 1.216,65
7 1.000,00 790,31 Saída 1.000,00 1.265,32
8 1.000,00 759,92 Saída 1.000,00 1.315,93
9 1.000,00 730,69 Saída 1.000,00 1.368,57
10 1.000,00 702,59 Saída 1.000,00 1.423,31
11 1.000,00 675,56 Saída 1.000,00 1.480,24
12 1.000,00 649,58 Saída 1.000,00 1.539,45
𝑷𝑽𝒌𝒐 9.760,48 𝑵𝑪𝑭𝒌 15.025,81
235
Tabela 8-LX: Análise para novo projeto com indicadores diferentes - fluxos positivos
Mês (t) 𝐶𝐹𝑘𝑡 𝑃𝑉𝑘
𝑡 Tipo 𝑃𝐶𝐹𝑘𝑡 𝑃𝐹𝐶𝑘
𝑡 ∙ (1 + 𝑅𝐹𝑅𝑘)𝑡
13 1.200,00 2.203,03 Entrada 1.200,00 13.969,84
14 1.200,00 1.762,43 Entrada 1.200,00 11.175,87
15 1.200,00 1.409,94 Entrada 1.200,00 8.940,70
16 1.200,00 1.127,95 Entrada 1.200,00 7.152,56
17 1.200,00 902,36 Entrada 1.200,00 5.722,05
18 1.200,00 721,89 Entrada 1.200,00 4.577,64
19 1.200,00 577,51 Entrada 1.200,00 3.662,11
20 1.200,00 462,01 Entrada 1.200,00 2.929,69
21 1.200,00 369,61 Entrada 1.200,00 2.343,75
22 1.200,00 295,69 Entrada 1.200,00 1.875,00
23 1.200,00 236,55 Entrada 1.200,00 1.500,00
24 1.200,00 189,24 Entrada 1.200,00 1.200,00
𝑷𝑽𝒌𝒊 10.258,21 𝑷𝑪𝑭𝒌 65.049,19
Aplicando o cálculo dos indicadores tem-se a tabela 8-LXI, lembrando que temos
4 PMUs alocadas em quatro barramentos. Então devemos multiplicar os valores por quatro.
Este projeto de alocação tornou-se viável, porque foram alteradas taxas. Como geograficamente
a subestação é uma unidade, a variação dos custos pode estar atrelada talvez apenas a tecnologia
dos equipamentos e suas eventuais manutenções para cada barramento 𝑘 da subestação em
questão, diferentemente do modelo nó ramo onde pode-se ter muitas subestações
geograficamente dispersas, cujos custos podem variar bastante considerando mais variáveis de
análise para cada nó específico no modelo nó-ramo.
Tabela 8-LXI: Valores individuais para o plano xp = 011011com novas taxas
𝑧𝑘 =∑𝑐𝑝𝑘 ∙
𝑠𝑏
𝑘=1
𝑥𝑝𝑘 +∑𝑐𝑚𝑗
𝑚𝑠
𝑗=1
∙ 𝑥𝑚𝑗 𝑧𝑘 = 48000,00
𝑧𝑘𝑡 =
𝑧𝑘𝑡𝑖
4000,00
𝑀𝑁𝑃𝑉𝑘 = 𝑃𝑉𝑘𝑖 − 𝑃𝑉𝑘
𝑜 𝑀𝑁𝑃𝑉𝑘 = 497,74
𝑀𝐼𝑅𝑅𝑘 = (𝑃𝐶𝐹𝑘𝑁𝐶𝐹𝑘
)
1𝑡𝑚𝑎𝑥
− 1
𝑀𝐼𝑅𝑅𝑘 =0,062959798
𝑃𝑅𝑘 = 𝑃𝐵𝑘𝑚𝑎𝑥 − 𝑃𝐵𝑘 𝑃𝑅𝑘 = 15,5
𝑓𝑘 = −1 ∙∑(𝑀𝑁𝑃𝑉𝑘 +𝑀𝐼𝑅𝑅𝑘 − 𝑃𝑅𝑘)
𝑠𝑏
𝑘=1
𝑓𝑘 = 482,30
Executando a análise para todos os planos de alocação da Tabela 8-LXII baseado
nas Tabelas 8-LX, e 8-LXI, aplicando as novas taxas verifica-se que eles são factíveis e é claro
236
que em função dos valores idênticos colocados para cada PMU em cada barramento os valores
tornaram similares para quantidades iguais de PMUs alocadas, conforme Tabela 8-LXII.
O aspecto interessante nesta análise é a interpretação do MIRR para quatro PMUs
que possui uma taxa atrativa em torno de 25% o que é considerado um valor bastante razoável,
o que poderia indicar o favorecimento para alocação de 4 PMUs, respeitando o critério de que
uma PMU tenha pelo menos uma vizinha para atender outros métodos de contingenciamento
no caso de perdas previstos pelas heurísticas da Lei das Correntes de Kirchhoff das seções 8.6.2
e 8.6.3, previsto nos planos 7 e 11 marcados em cinza.
Tabela 8-LXII: Análises financeiras para planos de alocação diferentes na subestação Plano Xp No.
PMUs
Y MNPV MIRR PR
(total)
z (total) PR
(médio)
F
1 010101 3 3861 1493.21 0.19 46.50 36000.00 15.50 -1446.90
2 101010 3 3861 1493.21 0.19 46.50 36000.00 15.50 -1446.90
3 111010 4 5144 1990.95 0.25 62.00 48000.00 15.50 -1929.20
4 010111 4 5144 1990.95 0.25 62.00 48000.00 15.50 -1929.20
5 101101 4 5144 1990.95 0.25 62.00 48000.00 15.50 -1929.20
6 110101 4 5144 1990.95 0.25 62.00 48000.00 15.50 -1929.20
7 011011 4 5144 1990.95 0.25 62.00 48000.00 15.50 -1929.20
8 101011 4 5144 1990.95 0.25 62.00 48000.00 15.50 -1929.20
9 011101 4 5144 1990.95 0.25 62.00 48000.00 15.50 -1929.20
10 101110 4 5144 1990.95 0.25 62.00 48000.00 15.50 -1929.20
11 110110 4 5144 1990.95 0.25 62.00 48000.00 15.50 -1929.20
12 110111 5 6427 2488.69 0.31 77.50 60000.00 15.50 -2411.50
13 111101 5 6427 2488.69 0.31 77.50 60000.00 15.50 -2411.50
14 011111 5 6427 2488.69 0.31 77.50 60000.00 15.50 -2411.50
15 111011 5 6427 2488.69 0.31 77.50 60000.00 15.50 -2411.50
16 101111 5 6427 2488.69 0.31 77.50 60000.00 15.50 -2411.50
17 111110 5 6427 2488.69 0.31 77.50 60000.00 15.50 -2411.50
18 111111 6 7710 2986.43 0.38 93.00 72000.00 15.50 -2893.81
237
Capítulo IX
9 CONSIDERAÇÕES FINAIS
Desde a década de 1980 o estudo do uso de sistemas de medição fasorial em
aplicações no EMS vêm sendo discutido e ampliado. Estes dispositivos são elementos cruciais
utilizados pela EE na área de transmissão, possibilitando uma melhor visibilidade de nós dos
SEPs. Este cenário, que começou na rede de transmissão, atualmente está sendo estendido
também para a rede de distribuição, devido aos adventos da cogeração e de suas fontes
alternativas, que são conectadas geralmente nos níveis de distribuição ou sub-transmissão, além
da necessidade de se ter um maior controle e uma visão de rede de forma mais ampla nestas
áreas. O interesse por estes dispositivos se deve principalmente às necessidades de se controlar
e diminuir as chances de eventuais blecautes e utilizar as informações fasoriais para ampliar a
análise de estabilidade e reduzir os impactos dos problemas da rede sobre seus usuários, e suas
aplicações em modo de estudo e em tempo real
Neste trabalho, estudo de alocação de PMUs nos SEP foi realizado e comparado
com diversos trabalhos realizados sobre o tema. A alocação foi realizada considerando critérios
específicos ligados a EE modelo nó-ramo com enfoque na possibilidade de considerar a
redundância de medidas, de equipamentos refletidas nas restrições e na formulação do problema
de otimização. A análise inicial considerou somente alocação de medidas fasoriais e não as
medidas convencionais assíncronas, por entender a importância da divisão e separação destes
universos de alocação com o objetivo de prover a EE linear em certas porções da rede. Esta
motivação também foi confirmada pelos estudos e implementação da EE modelo multinível
238
onde a EE das subestações é tratada separadamente e possui um processamento independente.
Também foram realizadas ações complementares como o desenvolvimento de algoritmo
genético usado nos projetos de alocação, desenvolvimento de um estimador de estado
multinível básico, implementação de heurísticas acopladas a formulação básica da EE
multinível que consideram as propriedades das Leis de Kirchhoff, a implementação de rotinas
que garantam histórico nas subestações, e algoritmos que promovam a restauração da EE em
caso de perdas de equipamentos e medidas tornando a EE mais robusta. Também foi realizada
uma análise focada dos planos de alocação na subestação no modelo da EE multinível,
complementados pela alocação cruzada. A análise técnica foi realizada em um estágio e a
análise econômica em um segundo estágio. A análise econômica considerou modelos clássicos
de avaliação de viabilidade econômica utilizando conceitos de fluxo de investimentos, receitas,
taxas de remuneração, e taxas financeiras.
As PMUs têm uma missão e tarefa agregadora, pois são tecnologias recentes das
últimas décadas, que fornecem medições mais precisas, e ciclos de coleta em tempo real. A EE
deverá cumprir seu papel de realizar não somente o diagnóstico e encaminhamento do estado
vigente das redes de energia, mas através de seus algoritmos de funcionamento ampliar a sua
tarefa, se oferecendo para ajudar a melhorar a confiabilidade dos processos, criticar medidas e
diagnosticar as medições da rede de forma mais contundente.
Existe uma necessidade crescente de melhor utilização dos ativos de medição da
rede com o objetivo de melhorar a operação da mesma e incrementar as funcionalidades já
existentes nos centros de controle.
O paradigma contemporâneo de redes inteligentes força-nos a uma reflexão sobre
toda a inteligência da operação dos sistemas, porque antes mesmo de chegar-se até a casa do
consumidor com ênfase em ações que visam o melhor uso da energia, e criação de uma relação
pró-ativa entre consumidores e fornecedores, deve-se garantir a operação eficiente e confiável
dos ativos da rede desde a geração, transmissão, e distribuição em diversos níveis de tensão e
de topologia de rede. Estas tarefas estão cada vez mais difíceis, porque as redes também estão
envelhecendo, e junto com elas muitos dos ativos de medição também.
Se a expectativa é que o número de medições aumente, que o número de
interconexões aumente, o número de usuários aumente e que finalmente a complexidade da
rede aumente, juntamente com sua idade, e que os ativos novos deverão conviver com os ativos
antigos, a responsabilidade de funções como a estimação de estado é ampliada, porque deve
lidar com vários universos diferentes de forma transparente e controlada, para que seja possível
239
acompanhar todas estas mudanças de forma gradual, e por estes fatores foi escolhido um
modelo de EE multinível muito flexível para ancorar os desenvolvimentos.
A ideia de realizar estudos dos projetos de alocação de medições fasoriais alinhada
com a estimação de estado, seu tipo, suas características e seus pré-requisitos podem ser úteis
considerando este cenário de transformação e evolução das aplicações do EMS. Os aspectos da
divisão de informações, domínios da estimação de estado, devem ser considerados para a
redução do tamanho e da complexidade da EE, e para que seus algoritmos possam ser
facilmente implementados, melhorando a robustez e rapidez dos mesmos. Os avanços da
tecnologia das subestações têm sido grandes nas últimas décadas e isto está se tornando um
fator preponderante na divisão de tarefas e setorização da rede e da operação, tendo em vista
que dividir as funcionalidades pode ajudar a reduzir a complexidade, melhorar seu
monitoramento, sua confiabilidade, seu desempenho e sua implementação gradual e
construtiva.
A escolha de metaheurísticas para a realização dos estudos de alocação, em
particular os algoritmos genéticos, mostrou-se eficiente e os resultados obtidos foram muito
bons comparados com diversas soluções com diversas abordagens como, por exemplo,
heurísticas, outras metaheurísticas, como busca tabu, outras formulações de algoritmos
genéticos, e métodos ancorados na programação linear inteira.
A utilização de conceitos de redundância, e avaliação de observabilidade, sob
condições normais e sob condições adversas de perdas de equipamentos e medidas, foram
definidas e adicionadas aos modelos. Nestas situações particulares é importante definir o
modelo e o tipo de estimação do estado vigente, e o consequente reflexo na função de fitness
dos algoritmos, estas situações foram demostradas através de simulações.
Além disto, a situação realista da necessidade de se considerar pré-alocações foi
tratada, juntamente também com outra situação bem realista que são as avaliações econômicas
sob o prisma do virtuosismo da solução em termos econômicos, ou seja, para ser possível
analisar economicamente, necessita-se comparar soluções, e o compromisso de armazenar
sempre e classificar as melhores soluções técnicas encontradas para posterior análise técnica e
econômica detalhada.
Existe uma expectativa que estes estudos também possam ser utilizados e
aproveitados na área de distribuição, desde que sejam adequados aos parâmetros da rede, e ao
tipo de medida vigente embora o crescimento da automação das subestações sugira a
possibilidade destas aplicações.
240
Os bons resultados das simulações das diversas proposições deste trabalho sugerem
que estes estudos podem ser efetivamente utilizados em projetos de alocação de PMUs e de
reformulação de estimação de estado para torná-la mais robusta.
Sobre a avaliação das contribuições deste trabalho pode-se considerar a
implementação de um modelo de alocação de PMUs, com uma possibilidade de redundância
de medidas e de equipamentos flexível que propiciou bons resultados nos planos de alocação.
A ampliação das funcionalidades do modelo de EE multinível tornando mais robusto quanto ao
plano de alocação de PMUs na subestação. Alteração da EE multinível para contemplar
histórico, heurísticas das correntes e a confirmação das variáveis de fronteira para evitar a
propagação de erros e problemas.
Em uma avaliação das possibilidades de ampliação do trabalho realizado, foram
consideradas importantes a inclusão opcional de medidas convencionais assíncronas na
formulação do problema de alocação no nível nó-ramo. Também foi avaliada a possibilidade
de incluir uma opção de restrição ampla do número de medidas críticas e conjuntos críticos de
medidas nas regras de formulação da função de cálculo do fator de redundância CPI, bem como
criar a opção de realizar a análise econômica concomitante com a análise técnica, já que no
modelo atual elas são realizadas em dois estágios independentes. No nível de alocação de
medidas fasoriais na subestação considerar outros elementos técnicos na análise, como o uso
dos canais de comunicação, e também estender a análise para a parte assíncrona da subestação
tratando então as RTUs.
Considerando que a EE multinível divide o problema em vários domínios e como
ela é derivada da EE generalizada, estender todo o método para uma formulação trifásica
pensando na expansão do modelo de forma a contemplar a rede de distribuição.
241
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253
APÊNDICE I – Resultados para o Sistema POLONÊS DE 2383 BARRAS
Tabela Apêndice I - I: Barras ZIB do sistema polonês de 2383 barras
Sistema Barras ZIB (total = 552)
Polonês de
2383
barras
1,2,3,4,5,6,7,8,9,11,12,13,14,15,19,20,21,22,23,24,25,26,27,28,32,33,34,35,36,37,38,39,40,46,
47,48,49,50,51,52,53,54,55,56,59,60,61,62,66,68,69,70,71,72,73,74,75,76,77,78,79,80,81,82,88,
89,90,91,92,94,96,98,99,100,101,102,106,107,108,112,113,114,115,116,117,118,119,120,121,
122,128,129,130,133,134,135,136,137,138,141,142,143,144,145,146,147,148,149,150,151,152,
153,154,155,156,157,158,159,160,161,162,163,164,165,166,167,168,169,170,171,172,173,174,
175,178,179,194,204,243,280,309,310,312,321,322,332,336,355,361,362,374,375,449,450,470,
513,516,517,518,519,539,546,564,565,568,569,576,587,614,617,634,644,645,662,663,682,726,
727,734,751,777,786,789,791,797,799,800,801,806,807,812,817,819,821,822,825,826,829,833,
836,840,844,848,854,855,856,863,864,869,874,876,879,880,881,885,893,898,903,915,916,921,
923,924,926,927,928,931,932,933,934,936,937,938,940,941,946,953,956,966,967,969,971,972,
977,981,984,985,986,987,989,990,991,1003,1006,1007,1008,1013,1017,1018,1019,1021,1023,
1025,1031,1040,1043,1044,1047,1048,1049,1050,1052,1057,1062,1063,1065,1069,1070,1081,
1085,1092,1093,1095,1096,1098,1101,1108,1111,1112,1114,1115,1119,1120,1121,1123,1127,
1129,1131,1135,1151,1152,1153,1157,1158,1159,1161,1162,1164,1166,1167,1178,1180,1188,
1189,1196,1199,1200,1208,1209,1212,1213,1219,1222,1225,1226,1227,1230,1231,1239,1243,
1248,1252,1253,1256,1257,1261,1264,1265,1271,1274,1275,1279,1281,1288,1298,1299,1300,
1305,1306,1307,1315,1318,1319,1321,1323,1334,1335,1341,1343,1344,1350,1353,1362,1365,
1370,1371,1376,1378,1382,1383,1384,1392,1394,1396,1397,1400,1401,1407,1412,1413,1423,
1431,1432,1439,1440,1443,1448,1449,1455,1456,1459,1460,1465,1466,1468,1470,1484,1491,
1494,1498,1499,1502,1503,1511,1520,1522,1523,1524,1531,1532,1539,1548,1560,1561,1562,
1563,1564,1569,1570,1577,1581,1583,1589,1591,1592,1601,1618,1621,1631,1632,1636,1647,
1648,1649,1650,1665,1670,1681,1695,1713,1732,1736,1740,1747,1748,1762,1774,1775,1777,
1780,1783,1790,1797,1802,1811,1812,1814,1822,1823,1835,1840,1846,1851,1865,1872,1877,
1878,1880,1881,1885,1887,1896,1899,1902,1903,1906,1907,1914,1919,1920,1922,1944,1948,
1956,1958,1972,1982,1987,2009,2014,2017,2019,2025,2031,2059,2060,2061,2062,2063,2064,
2065,2066,2067,2068,2069,2070,2071,2072,2073,2074,2075,2076,2077,2078,2079,2080,2081,
2089,2090,2092,2109,2111,2112,2113,2133,2134,2157,2158,2163,2165,2166,2169,2170,2181,
2186,2187,2188,2227,2257,2258,2261,2280,2314,2325,2340,2357,2362,2365,2366,2367,2377,
2378
254
Tabela Apêndice I - II: Alocação mínima de PMUs sistema polonês de 2383 barras
Sistema Alocação (total = 746 PMUs) CPI = 3913, y = 57326976775535919000,00
Polonês de
2383
barras
6, 23, 25, 28, 29, 34, 39, 55, 68, 73, 74, 79, 81, 89, 100, 104, 109, 110, 114, 118, 120, 129, 133, 135,
143, 152, 156, 163, 168, 174, 185, 186, 187, 190, 191, 196, 197, 198, 199, 200, 208, 209, 212, 213,
214, 219, 223, 224, 229, 230, 231, 232, 236, 237, 241, 242, 245, 251, 252, 256, 257, 259, 261, 262,
265, 266, 267, 269, 270, 271, 273, 276, 277, 278, 282, 283, 284, 285, 288, 290, 294, 298, 300, 302,
312, 313, 314, 316, 317, 327, 331, 335, 337, 340, 341, 344, 345, 348, 349, 357, 358, 364, 367, 370,
375, 378, 382, 383, 386, 390, 392, 393, 394, 395, 397, 398, 400, 401, 405, 407, 410, 411, 413, 414,
419, 429, 432, 437, 441, 443, 447, 451, 453, 456, 457, 459, 465, 467, 469, 472, 474, 477, 479, 480,
482, 486, 489, 492, 493, 494, 497, 501, 502, 504, 508, 510, 517, 521, 527, 528, 531, 532, 535, 536,
537, 544, 545, 548, 549, 550, 553, 559, 560, 565, 566, 567, 569, 570, 574, 578, 579, 580, 585, 591,
594, 595, 597, 600, 604, 605, 607, 610, 612, 618, 619, 622, 623, 625, 627, 630, 635, 640, 648, 649,
650, 657, 665, 672, 674, 677, 678, 683, 685, 687, 688, 690, 694, 697, 698, 701, 703, 718, 720, 722,
724, 728, 735, 736, 738, 741, 743, 744, 746, 748, 749, 750, 751, 753, 755, 758, 759, 763, 765, 771,
772, 773, 774, 779, 782, 784, 785, 787, 792, 797, 798, 812, 814, 818, 821, 824, 827, 829, 830, 839,
855, 858, 865, 866, 868, 869, 870, 871, 874, 877, 878, 894, 908, 910, 916, 921, 923, 925, 927, 930,
937, 943, 947, 950, 951, 953, 957, 961, 964, 966, 968, 969, 972, 973, 981, 984, 985, 986, 989, 990,
992, 997, 1002, 1005, 1006, 1011, 1015, 1017, 1018, 1020, 1024, 1029, 1032, 1034, 1036, 1041,
1053, 1057, 1059, 1061, 1065, 1068, 1069, 1072, 1076, 1079, 1081, 1082, 1087, 1088, 1092, 1093,
1096, 1097, 1107, 1114, 1117, 1121, 1129, 1133, 1137, 1141, 1143, 1149, 1151, 1153, 1154, 1157,
1161, 1164, 1167, 1169, 1170, 1174, 1175, 1177, 1185, 1188, 1189, 1190, 1193, 1195, 1200, 1201,
1204, 1206, 1208, 1211, 1214, 1216, 1225, 1230, 1232, 1233, 1235, 1245, 1248, 1250, 1257, 1264,
1269, 1272, 1273, 1277, 1280, 1283, 1285, 1289, 1293, 1294, 1295, 1296, 1303, 1306, 1308, 1311,
1315, 1318, 1323, 1328, 1330, 1334, 1335, 1336, 1340, 1341, 1345, 1347, 1350, 1354, 1356, 1357,
1362, 1365, 1368, 1370, 1375, 1379, 1381, 1392, 1393, 1394, 1399, 1404, 1407, 1410, 1415, 1416,
1418, 1419, 1421, 1426, 1427, 1430, 1433, 1437, 1440, 1442, 1445, 1447, 1448, 1450, 1460, 1461,
1469, 1476, 1478, 1482, 1483, 1485, 1492, 1493, 1501, 1502, 1511, 1514, 1515, 1517, 1518, 1523,
1528, 1534, 1535, 1540, 1542, 1547, 1556, 1563, 1569, 1571, 1572, 1574, 1576, 1577, 1582, 1585,
1589, 1592, 1596, 1604, 1610, 1614, 1615, 1617, 1619, 1628, 1631, 1633, 1635, 1637, 1639, 1641,
1644, 1646, 1657, 1658, 1661, 1663, 1669, 1671, 1672, 1675, 1679, 1683, 1685, 1689, 1691, 1692,
1697, 1698, 1699, 1703, 1706, 1715, 1716, 1717, 1721, 1722, 1723, 1727, 1728, 1734, 1737, 1739,
1742, 1744, 1747, 1750, 1753, 1754, 1755, 1759, 1763, 1764, 1766, 1769, 1770, 1775, 1776, 1779,
1780, 1781, 1782, 1785, 1786, 1787, 1794, 1795, 1797, 1803, 1805, 1807, 1809, 1812, 1815, 1816,
1821, 1826, 1831, 1832, 1837, 1839, 1842, 1843, 1848, 1855, 1856, 1857, 1858, 1862, 1863, 1875,
1879, 1881, 1882, 1883, 1884, 1885, 1888, 1889, 1895, 1902, 1909, 1910, 1912, 1913, 1915, 1916,
1918, 1921, 1923, 1924, 1926, 1929, 1930, 1936, 1938, 1940, 1941, 1945, 1949, 1951, 1953, 1956,
1960, 1961, 1965, 1969, 1973, 1974, 1976, 1978, 1983, 1985, 1986, 1988, 1989, 1994, 1996, 1997,
2001, 2005, 2006, 2011, 2014, 2015, 2021, 2024, 2032, 2036, 2037, 2038, 2041, 2045, 2049, 2050,
2053, 2056, 2057, 2066, 2070, 2071, 2079, 2087, 2095, 2096, 2099, 2102, 2113, 2118, 2123, 2124,
2127, 2128, 2134, 2136, 2137, 2138, 2144, 2146, 2149, 2152, 2154, 2159, 2161, 2164, 2167, 2168,
2169, 2170, 2175, 2178, 2191, 2194, 2195, 2196, 2202, 2208, 2209, 2212, 2214, 2215, 2216, 2221,
2223, 2224, 2228, 2229, 2232, 2234, 2235, 2236, 2237, 2239, 2242, 2244, 2247, 2248, 2251, 2252,
2253, 2256, 2257, 2259, 2264, 2272, 2276, 2285, 2286, 2291, 2294, 2299, 2300, 2301, 2310, 2312,
2315, 2316, 2320, 2323, 2324, 2328, 2330, 2332, 2333, 2334, 2338, 2339, 2342, 2345, 2349, 2350,
2355, 2356, 2362, 2363, 2367, 2369, 2373, 2374, 2381, 2383
255
Tabela Apêndice I - III: Alocação considerando pré-alocação de PMUs
Sistema Alocação (total = 750 PMUs) CPI = 3951, y = -7954386987952419900000,00
Polonês de
2383
barras
2, 28, 36, 39, 43, 46, 49, 55, 57, 61, 65, 71, 72, 77, 90, 91, 96, 97, 102, 105, 106, 107, 115, 116, 117,
118, 121, 123, 125, 126, 129, 130, 133, 135, 136, 137, 138, 139, 142, 143, 145, 146, 147, 149, 150,
152, 156, 160, 161, 162, 163, 166, 170, 171, 172, 174, 178, 179, 184, 185, 187, 188, 189, 190, 191,
192, 194, 195, 197, 198, 199, 200, 201, 202, 204, 205, 206, 207, 209, 210, 211, 213, 214, 215, 217,
218, 220, 223, 226, 227, 228, 229, 230, 231, 232, 233, 234, 235, 236, 240, 243, 244, 245, 246, 247,
248, 249, 251, 252, 254, 255, 256, 258, 259, 260, 261, 262, 264, 265, 268, 269, 270, 271, 274, 275,
276, 277, 278, 279, 280, 281, 282, 284, 286, 287, 288, 289, 291, 292, 293, 294, 295, 297, 299, 300,
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2139, 2140, 2141, 2142, 2144, 2145, 2146, 2147, 2148, 2149, 2150, 2153, 2154, 2155, 2157, 2158,
2159, 2160, 2161, 2162, 2163, 2164, 2165, 2166, 2167, 2168, 2169, 2170, 2171, 2172, 2173, 2174,
2176, 2177, 2178, 2179, 2180, 2182, 2183, 2184, 2185, 2186, 2187, 2189, 2190, 2191, 2193, 2194,
2195, 2196, 2199, 2201, 2202, 2203, 2204, 2207, 2208, 2209, 2210, 2214, 2215, 2217, 2218, 2219,
2221, 2223, 2224, 2227, 2228, 2229, 2231, 2232, 2233, 2235, 2236, 2237, 2238, 2242, 2243, 2244,
2245, 2246, 2247, 2248, 2249, 2251, 2252, 2253, 2255, 2257, 2259, 2260, 2261, 2262, 2265, 2266,
2268, 2270, 2271, 2272, 2274, 2275, 2276, 2277, 2279, 2283, 2284, 2285, 2287, 2288, 2289, 2290,
2291, 2292, 2294, 2295, 2296, 2301, 2302, 2303, 2304, 2305, 2306, 2307, 2308, 2310, 2311, 2312,
2313, 2314, 2315, 2318, 2319, 2320, 2321, 2322, 2323, 2324, 2325, 2326, 2327, 2329, 2330, 2331,
2332, 2333, 2334, 2335, 2336, 2338, 2339, 2340, 2342, 2344, 2346, 2347, 2349, 2350, 2352, 2353,
2355, 2356, 2357, 2361, 2362, 2363, 2364, 2365, 2366, 2367, 2369, 2370, 2371, 2372, 2373, 2374,
2375, 2376, 2377, 2378, 2379, 2380, 2381, 2383
257
Tabela Apêndice I - IV: Alocação considerando perda de PMU
Sistema Alocação (total = 1715 PMUs) CPI = 19847, y =131867415746407690000,00
Polonês de
2383
barras
2, 28, 36, 39, 43, 46, 49, 55, 57, 61, 65, 71, 72, 77, 90, 91, 96, 97, 102, 105, 106, 107, 115, 116, 117,
118, 121, 123, 125, 126, 129, 130, 133, 135, 136, 137, 138, 139, 142, 143, 145, 146, 147, 149, 150,
152, 156, 160, 161, 162, 163, 166, 170, 171, 172, 174, 178, 179, 184, 185, 187, 188, 189, 190, 191,
192, 194, 195, 197, 198, 199, 200, 201, 202, 204, 205, 206, 207, 209, 210, 211, 213, 214, 215, 217,
218, 220, 223, 226, 227, 228, 229, 230, 231, 232, 233, 234, 235, 236, 240, 243, 244, 245, 246, 247,
248, 249, 251, 252, 254, 255, 256, 258, 259, 260, 261, 262, 264, 265, 268, 269, 270, 271, 274, 275,
276, 277, 278, 279, 280, 281, 282, 284, 286, 287, 288, 289, 291, 292, 293, 294, 295, 297, 299, 300,
301, 302, 304, 305, 306, 307, 308, 310, 312, 313, 314, 316, 317, 318, 319, 322, 323, 324, 325, 326,
327, 328, 331, 332, 334, 335, 337, 339, 340, 341, 342, 344, 345, 348, 349, 350, 352, 353, 356, 357,
358, 359, 360, 361, 362, 363, 364, 365, 366, 367, 368, 370, 371, 372, 373, 374, 375, 377, 378, 380,
382, 383, 384, 386, 387, 388, 389, 390, 391, 392, 394, 397, 398, 399, 400, 401, 402, 403, 404, 408,
410, 411, 412, 413, 414, 417, 418, 419, 421, 422, 424, 425, 426, 427, 431, 432, 433, 435, 436, 437,
438, 439, 440, 442, 443, 444, 445, 446, 448, 449, 450, 451, 452, 453, 454, 456, 458, 459, 460, 462,
463, 464, 466, 467, 468, 469, 473, 475, 476, 477, 478, 479, 480, 481, 482, 483, 488, 489, 490, 492,
493, 494, 495, 496, 497, 498, 499, 500, 502, 503, 504, 507, 508, 510, 511, 512, 513, 514, 515, 516,
517, 518, 519, 520, 521, 522, 523, 525, 526, 527, 528, 529, 530, 532, 533, 534, 537, 538, 539, 541,
542, 543, 544, 545, 546, 547, 548, 549, 550, 551, 552, 554, 556, 557, 558, 562, 563, 564, 565, 567,
568, 569, 571, 572, 574, 575, 576, 577, 578, 580, 582, 583, 584, 585, 586, 587, 588, 590, 591, 592,
594, 595, 596, 597, 599, 601, 603, 604, 605, 608, 609, 610, 611, 612, 613, 615, 616, 617, 618, 619,
621, 622, 623, 626, 627, 629, 630, 633, 634, 635, 636, 638, 639, 640, 641, 645, 646, 647, 648, 649,
652, 653, 655, 657, 658, 659, 660, 664, 665, 666, 669, 670, 672, 673, 674, 675, 677, 678, 680, 681,
683, 684, 685, 686, 687, 688, 689, 690, 692, 693, 694, 696, 697, 698, 699, 700, 702, 703, 705, 706,
707, 709, 710, 711, 712, 713, 714, 716, 717, 718, 721, 724, 725, 726, 727, 729, 731, 733, 735, 736,
737, 738, 739, 741, 742, 743, 744, 745, 746, 748, 750, 752, 753, 754, 757, 758, 760, 761, 763, 764,
765, 766, 767, 768, 769, 772, 773, 775, 776, 777, 778, 779, 780, 781, 782, 783, 785, 786, 787, 788,
789, 790, 791, 792, 793, 796, 797, 798, 799, 800, 801, 803, 805, 806, 807, 809, 811, 812, 814, 816,
817, 818, 819, 820, 821, 822, 823, 824, 825, 826, 827, 829, 830, 832, 833, 834, 835, 836, 837, 838,
839, 840, 842, 844, 845, 846, 847, 848, 849, 850, 851, 852, 853, 854, 855, 856, 857, 858, 859, 861,
862, 863, 864, 865, 867, 868, 869, 870, 871, 873, 874, 876, 877, 878, 879, 881, 884, 885, 886, 888,
892, 893, 894, 896, 897, 898, 899, 901, 902, 903, 907, 908, 909, 910, 911, 912, 914, 915, 916, 919,
920, 921, 922, 923, 924, 925, 926, 927, 928, 929, 930, 931, 932, 933, 935, 936, 937, 938, 939, 941,
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965, 966, 967, 968, 969, 970, 971, 972, 973, 974, 975, 976, 978, 979, 980, 981, 982, 983, 984, 985,
986, 987, 988, 989, 990, 993, 995, 997, 999, 1000, 1001, 1002, 1003, 1006, 1007, 1008, 1009, 1010,
1011, 1013, 1014, 1015, 1016, 1017, 1019, 1020, 1021, 1022, 1023, 1024, 1025, 1027, 1028, 1029,
1030, 1031, 1032, 1034, 1035, 1036, 1037, 1038, 1040, 1042, 1043, 1044, 1046, 1047, 1048, 1049,
1050, 1051, 1052, 1053, 1054, 1055, 1056, 1057, 1059, 1061, 1062, 1063, 1065, 1067, 1068, 1069,
1070, 1073, 1074, 1076, 1080, 1081, 1082, 1084, 1086, 1087, 1090, 1091, 1093, 1096, 1097, 1098,
1100, 1101, 1102, 1103, 1108, 1111, 1113, 1114, 1115, 1116, 1117, 1118, 1119, 1120, 1121, 1123,
1124, 1125, 1126, 1127, 1129, 1130, 1131, 1132, 1133, 1134, 1135, 1136, 1137, 1138, 1139, 1140,
1141, 1143, 1144, 1146, 1147, 1149, 1150, 1151, 1152, 1153, 1154, 1155, 1156, 1157, 1158, 1159,
1160, 1161, 1162, 1163, 1164, 1165, 1166, 1167, 1169, 1170, 1172, 1173, 1174, 1176, 1177, 1178,
1180, 1182, 1183, 1184, 1186, 1187, 1188, 1189, 1190, 1192, 1193, 1195, 1196, 1197, 1198, 1199,
1200, 1201, 1202, 1203, 1205, 1206, 1207, 1208, 1209, 1210, 1211, 1212, 1213, 1214, 1215, 1216,
1217, 1219, 1220, 1221, 1222, 1225, 1226, 1227, 1228, 1230, 1231, 1232, 1233, 1234, 1235, 1237,
1239, 1240, 1241, 1242, 1243, 1244, 1245, 1246, 1247, 1250, 1251, 1252, 1253, 1254, 1255, 1256,
1257, 1258, 1261, 1262, 1263, 1264, 1265, 1266, 1269, 1271, 1273, 1274, 1275, 1277, 1279, 1281,
1283, 1284, 1285, 1286, 1288, 1290, 1291, 1292, 1293, 1295, 1296, 1297, 1298, 1299, 1302, 1303,
1304, 1305, 1306, 1307, 1310, 1312, 1315, 1316, 1318, 1319, 1321, 1322, 1323, 1324, 1326, 1327,
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258
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1418, 1420, 1422, 1423, 1424, 1425, 1426, 1427, 1428, 1429, 1430, 1431, 1432, 1433, 1434, 1437,
1438, 1439, 1440, 1441, 1442, 1443, 1444, 1445, 1446, 1447, 1448, 1449, 1450, 1451, 1452, 1454,
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1494, 1496, 1497, 1498, 1501, 1502, 1503, 1504, 1505, 1506, 1507, 1510, 1511, 1512, 1514, 1516,
1517, 1518, 1519, 1520, 1521, 1522, 1523, 1524, 1527, 1528, 1529, 1530, 1531, 1532, 1534, 1535,
1536, 1537, 1538, 1539, 1540, 1541, 1542, 1543, 1544, 1546, 1547, 1548, 1549, 1550, 1551, 1553,
1554, 1555, 1556, 1558, 1559, 1562, 1563, 1564, 1566, 1567, 1569, 1572, 1575, 1576, 1577, 1578,
1580, 1581, 1582, 1583, 1585, 1586, 1588, 1589, 1591, 1592, 1596, 1599, 1600, 1601, 1602, 1603,
1604, 1605, 1606, 1607, 1608, 1609, 1610, 1611, 1612, 1613, 1614, 1615, 1616, 1618, 1619, 1620,
1621, 1623, 1624, 1625, 1626, 1627, 1630, 1633, 1635, 1636, 1639, 1640, 1642, 1643, 1645, 1646,
1647, 1648, 1651, 1656, 1657, 1658, 1659, 1660, 1661, 1662, 1663, 1664, 1665, 1666, 1669, 1670,
1671, 1672, 1673, 1674, 1675, 1676, 1678, 1679, 1680, 1682, 1684, 1685, 1686, 1687, 1688, 1689,
1690, 1691, 1692, 1693, 1694, 1695, 1696, 1697, 1698, 1699, 1703, 1706, 1707, 1709, 1710, 1711,
1712, 1714, 1715, 1717, 1718, 1720, 1721, 1722, 1725, 1726, 1728, 1729, 1730, 1731, 1732, 1733,
1734, 1735, 1736, 1737, 1738, 1739, 1741, 1743, 1744, 1745, 1747, 1749, 1750, 1751, 1753, 1755,
1756, 1757, 1760, 1761, 1762, 1763, 1765, 1766, 1769, 1770, 1771, 1772, 1773, 1774, 1776, 1778,
1779, 1780, 1782, 1785, 1786, 1787, 1790, 1791, 1792, 1793, 1795, 1796, 1797, 1798, 1799, 1801,
1802, 1803, 1804, 1805, 1806, 1807, 1808, 1809, 1810, 1812, 1813, 1814, 1815, 1816, 1817, 1818,
1821, 1822, 1823, 1824, 1825, 1830, 1831, 1832, 1833, 1834, 1836, 1838, 1839, 1840, 1841, 1842,
1844, 1845, 1846, 1847, 1849, 1850, 1851, 1852, 1853, 1856, 1857, 1858, 1859, 1860, 1861, 1862,
1865, 1866, 1867, 1869, 1870, 1871, 1872, 1873, 1874, 1875, 1876, 1878, 1879, 1880, 1882, 1883,
1884, 1886, 1887, 1888, 1889, 1890, 1891, 1892, 1893, 1894, 1895, 1896, 1898, 1899, 1901, 1902,
1904, 1905, 1906, 1907, 1908, 1909, 1910, 1912, 1914, 1915, 1918, 1919, 1920, 1921, 1922, 1923,
1924, 1925, 1926, 1927, 1929, 1931, 1932, 1933, 1936, 1937, 1938, 1939, 1940, 1941, 1942, 1945,
1947, 1949, 1950, 1951, 1952, 1953, 1954, 1955, 1957, 1958, 1959, 1960, 1961, 1962, 1963, 1965,
1968, 1970, 1971, 1972, 1973, 1974, 1976, 1977, 1978, 1979, 1980, 1981, 1983, 1984, 1985, 1988,
1990, 1991, 1992, 1993, 1994, 1996, 1997, 1998, 2000, 2001, 2002, 2003, 2004, 2005, 2006, 2007,
2008, 2009, 2010, 2011, 2014, 2015, 2016, 2017, 2018, 2020, 2021, 2022, 2023, 2024, 2025, 2026,
2029, 2030, 2032, 2034, 2036, 2037, 2038, 2039, 2040, 2042, 2044, 2045, 2047, 2048, 2049, 2050,
2051, 2052, 2053, 2054, 2055, 2056, 2057, 2059, 2060, 2062, 2063, 2064, 2065, 2066, 2067, 2068,
2069, 2072, 2073, 2074, 2076, 2077, 2078, 2079, 2080, 2081, 2082, 2083, 2085, 2086, 2087, 2090,
2091, 2094, 2096, 2098, 2099, 2100, 2101, 2102, 2104, 2105, 2107, 2108, 2109, 2110, 2111, 2112,
2113, 2115, 2117, 2119, 2120, 2122, 2124, 2126, 2127, 2128, 2130, 2131, 2134, 2135, 2136, 2137,
2139, 2140, 2141, 2142, 2144, 2145, 2146, 2147, 2148, 2149, 2150, 2153, 2154, 2155, 2157, 2158,
2159, 2160, 2161, 2162, 2163, 2164, 2165, 2166, 2167, 2168, 2169, 2170, 2171, 2172, 2173, 2174,
2176, 2177, 2178, 2179, 2180, 2182, 2183, 2184, 2185, 2186, 2187, 2189, 2190, 2191, 2193, 2194,
2195, 2196, 2199, 2201, 2202, 2203, 2204, 2207, 2208, 2209, 2210, 2214, 2215, 2217, 2218, 2219,
2221, 2223, 2224, 2227, 2228, 2229, 2231, 2232, 2233, 2235, 2236, 2237, 2238, 2242, 2243, 2244,
2245, 2246, 2247, 2248, 2249, 2251, 2252, 2253, 2255, 2257, 2259, 2260, 2261, 2262, 2265, 2266,
2268, 2270, 2271, 2272, 2274, 2275, 2276, 2277, 2279, 2283, 2284, 2285, 2287, 2288, 2289, 2290,
2291, 2292, 2294, 2295, 2296, 2301, 2302, 2303, 2304, 2305, 2306, 2307, 2308, 2310, 2311, 2312,
2313, 2314, 2315, 2318, 2319, 2320, 2321, 2322, 2323, 2324, 2325, 2326, 2327, 2329, 2330, 2331,
2332, 2333, 2334, 2335, 2336, 2338, 2339, 2340, 2342, 2344, 2346, 2347, 2349, 2350, 2352, 2353,
2355, 2356, 2357, 2361, 2362, 2363, 2364, 2365, 2366, 2367, 2369, 2370, 2371, 2372, 2373, 2374,
2375, 2376, 2377, 2378, 2379, 2380, 2381, 2383
259
APÊNDICE II – SISTEMA IEEE 14 BARRAS ADAPTADO
Tabela Apêndice II - I: Estrutura das áreas
Área Barramentos
1 1 2 5 6
2 9 10
3 3 4 7 8
4 11
5 12 13 14
Tabela Apêndice II - II: Estrutura dos nós
Nó Tipo V θ
Geração
Potência
Ativa
Geração
Potência
Reativa
Carga
Potência
Ativa
Carga
Potência
Reativa
Shunt
de
Barra Área
Tipo de EE
0-linear
1-não linear Subestação
1 3 1,06 0 232,4 -16,9 0 0 0 1 0 1
2 2 1,045 -4,98 40 42,4 21,7 12,7 0 1 0 2
3 2 1,01 -12,72 0 23,4 94,2 19 0 3 1 3
4 0 1,019 -10,33 0 0 47,8 -3,9 0 3 1 4
5 0 1,02 -8,78 0 0 7,6 1,6 0 1 0 5
6 2 1,07 -14,22 0 12,2 11,2 7,5 0 1 0 6
7 0 1,062 -13,37 0 0 0 0 0 3 1 7
8 2 1,09 -13,36 0 17,4 0 0 0 3 1 8
9 0 1,056 -14,94 0 0 29,5 16,6 0,19 2 0 9
10 0 1,051 -15,1 0 0 9 5,8 0 2 0 10
11 0 1,057 -14,79 0 0 3,5 1,8 0 4 0 11
12 0 1,055 -15,07 0 0 6,1 1,6 0 5 1 12
13 0 1,05 -15,16 0 0 13,5 5,8 0 5 1 13
14 0 1,036 -16,04 0 0 14,9 5 0 5 1 14
260
Tabela Apêndice II - III: Estrutura das linhas
No.
Sub.
Origem
Sub.
Destino Área
Tipo 0-interna linear
1-interna não linear
2-externa r x b tap
Barramento
Subestação
origem
Barramento
Subestação
Destino
1 1 2 1 0 0,01938 0,05917 0,0528 0 2 3
2 1 5 1 0 0,05403 0,22304 0,0492 0 3 2
3 2 3 1 2 0,04699 0,19797 0,0438 0 5 4
4 2 4 1 2 0,05811 0,17632 0,034 0 6 4
5 2 5 1 0 0,05695 0,17388 0,0346 0 4 3
6 3 4 3 1 0,06701 0,17103 0,0128 0 3 2
7 4 5 1 2 0,01335 0,04211 0 0 5 5
8 4 7 3 1 0 0,20912 0 0,978 3 1
9 4 9 2 2 0 0,55618 0 0,969 6 4
10 5 6 1 0 0 0,25202 0 0,932 4 3
11 6 11 1 2 0,09498 0,1989 0 0 4 2
12 6 12 1 2 0,12291 0,25581 0 0 5 3
13 6 13 1 2 0,06615 0,13027 0 0 6 4
14 7 8 3 1 0 0,17615 0 0 2 2
15 7 9 2 2 0 0,11001 0 0 3 5
16 9 10 2 0 0,03181 0,0845 0 0 2 2
17 9 14 2 2 0,12711 0,27038 0 0 6 3
18 10 11 2 2 0,08205 0,19207 0 0 3 3
19 12 13 5 1 0,22092 0,19988 0 0 2 2
20 13 14 5 1 0,17093 0,34802 0 0 3 2
Sistema = array(n) of Sub: vetor com tamanho equivalente ao número de nós ou subestações
que aponta para uma outra estrutura que descreve cada subestação.
Sub = structsub, bus, barr, nBus, nCB, area: estrutura da subestação, onde sub indica o
modelo da subestação, bus é uma estrutura que descreve os barramentos da subestação,
branches é uma estrutura que descreve as ligações entre os barramentos da subestação, nBus é
o número de barramentos, e nCB, é o dobro do número de disjuntores, e área é a área do
estimador que a subestação pertence.
Figura Apêndice II - 1: Estrutura da subestação
261
Tabela Apêndice II - IV: Exemplo de estrutura de barramento da subestação 1
Bus
Barramento
Reservado Para uso
futuro
Tipo 1-geração
2 - ligação com linha interna a área 3- ligação com linha fronteira com outra área
4 –barramento extra
Número da linha na
estrutura linha
1 1 1 0
2 1 2 1
3 1 2 2
4 1 4 0
Tabela Apêndice II - V: Estrutura de ligação entre barramentos da subestação 1
Branches
Barramento Origem
Barramento Destino
Identificador = 0 - estado > 0 - sequência
1 2 0
1 4 0
2 3 0
3 4 0
1 2 1
1 4 2
2 3 3
3 4 4
262
ANEXO I – PUBLICAÇÕES
Müller H. H.; Castro C. A. Optimal Substation PMU Placement Method for the Two-Level
State Estimator. 2013 3rd International Conference on Electric Power and Energy
Conversion Systems, Yildiz Technical University, Istanbul, Turkey, October 2-4, 2013.
Müller H. H.; Castro C. A. Robust Self-Healing Two-level State Estimation in Systems with
Optimally Allocated PMUs. Powertech 2015 Conference, Eindhoven, Nederland, 29 June
- 2 July, pp. 1-6, 2015.
Heloisa H. Müller; Carlos A. Castro. Genetic algorithm-based measurement unit placement
method considering observability and security criteria. IET Generation, Transmission &
Distribution, ISSN 1751-8687, Received on 12th May 2015, Accepted on 20th September
2015, doi: 10.1049/iet-gtd.2015.1005, www.ietdl.org
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