unidade 1 faculdade católica salesiano - profº. msc. jerry adriane domingos matrizes matrizes

UNIDADE 1UNIDADE 1

Faculdade Católica Salesiano - Profº. Msc. Jerry Adriane Domingos

MATRIZESMATRIZES

Definição de Matrizes

Matriz: Tabela de elementos dispostos em linhas e colunas.

Amxn = [a11 a12 L a1n

a21 a22 L a2n

M M Mam1 am2 K amn

] = [aij]mxn

matriz A de m linhas e n colunas

Elemento da linha ie coluna j

Elemento da 2 ª linha e 1ª coluna

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Tipos de Matrizes

214

311

221

Matriz quadrada

m = n (x linhas = x colunas)

Esta é uma matriz quadrada de ordem 3 (3 x 3)

Diagonais

Só tem sentido falar de diagonais em matrizes quadradas.

Diagonal principal (i = j) Diagonal secundária = (n + 1 = i + j)

Elementos dadiagonal principal:

1, 1 e 2

Elementos dadiagonal secundária:

2, 1 e 4

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400

210

112

Matriz triangular superior

Matrizes Triangulares

2754

0432

0011

0002

Matriz triangular inferior

500

020

004

Elementos acima ou abaixo da diagonal principal são todos nulos.

Lembre-se o ou da matemática não é exclusivo, ou seja, vale também

quando ambos são verdade!

Esta também é uma matriz triangular!

Falou em diagonal, falou em matriz quadrada! Todas as triangulares

são quadradas.

Casos especiais de Matrizes Triangulares.

700

040

002

Matriz diagonal

Apenas os elementos da diagonal principal são diferentes de zero

Falou em diagonal, falou em matriz quadrada! Todas as triangulares são quadradas. Chatice hein!Faculdade Católica Salesiano - Profº. Msc. Jerry Adriane Domingos

Matriz identidade

A identidade é uma matriz diagonal cujo elementos da diagonal principal são todos iguais a um.

100

010

001

Chamamos a matriz acima de I3 (identidade de ordem 3)

No geral, In onde n é a ordem da matriz.

Obs.Todas as Triangulares são quadradas, logo, a diagonal e a identidade são quadradas.

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0000

0000

0000

Matriz nula

Todos os elementos são nulos.

Chamamos a matriz nula de OmxnEntão essa é O3x4

A Matriz nula não precisa ser quadrada!

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Igualdade de Matrizes

Duas matrizes são ditas idênticas quando seus elementos correspondentes são iguais.

421

21 3

112

421

21 3

112

Caso ao olhar essas duas matrizes e não ver que elas são iguais, favor procurar o oculista.

=

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Matriz Transposta

3x2 41

30

12

=A

.

431

102

2x3

=At

Matriz A transposta

É formada pela troca de linha por coluna (m x n => n x m )

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Matriz Simétrica Matriz quadrada tal que At = A

2x2 23

31

=A

2x2 23

31

=At

Matriz A transposta

Matriz Antissimétrica Matriz quadrada tal que At = -A

3x3 013

102

320

=A

3x3 013

102

320

=At

=

Os elementos da transposta

são os opostos da original.

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Operações com MatrizesAdição

[1 −14 02 5 ]+[ 0 4

−2 51 0 ] = [1 3

2 53 5 ]

Dadas duas matrizes A e B, somaremos os elementos de A com seus correspondentes em B, ou seja, se tomarmos um elemento na primeira linha e primeira coluna de A devemos somá-los com o elemento na primeira linha e primeira coluna de B.

É sempre possível somar matrizes?

Não!

Somente quando estas forem de mesma ordem.

+ =

Se liguem, o mesmo vale pra subtração.

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3231

2221

1211

3231

2221

1211

3231

2221

1211

cc

cc

cc

bb

bb

bb

aa

aa

aa +

c11 = a11 + b11 c21 = a21 + b21 c31 = a31 + b31

c12 = a12 + b12 c22 = a22 + b22 c32 = a32 + b32

Regra Pratica Para Soma De Matrizes

A 3 x 2 B 3 x 2 C 3 x 2

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c11 = 2 + (-5) = -3 c21 = 1 + 3 = 4 c31 = -1 + 4 = 3

c12 = 3 + 3 = 6 c22 = 4 + (-2) = 2 c32 = 3 + 1 = 4

3231

2221

1211

cc

cc

cc

14

2-3

35-

31-

41

32 +

Exemplo A B C

3231

2221

1211

cc

cc

cc

43

24

63- =

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Multiplicação por escalar

Multiplicação por escalar ( número real qualquer) multiplicamos todos os elementos da matriz por este número.

31

102 2.

2.3 2.1

2.102.2=

6 2

204=

Matriz A Matriz -2A

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Multiplicação de Matriz por Matriz

CONDIÇÃO: Só podemos efetuar o produto de duas matrizes Am x n

e Bl x p SE O NÚMERO DE COLUNAS da primeira for igual ao NÚMERO DE LINHAS da segunda (n = l). A matriz C = AB será de ordem m x p.

2x2

3x2

40

11 .

35

24

12

3x2 3.4153.05.1

2.4142.04.1

1.4121.02.1

+)(+

+)(+

+)(+=

Ihhh... Aqui ..!

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O produto da primeira linha pela primeira coluna, gera o elemento C11.

O produto da primeira linha pela segunda coluna, gera o elemento C12.

Em geral AB BA, ou seja, o produto de matrizes não comutativo

Pode ser possível efetuar AB e não ser possível efetuar BA.

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x

EXEMPLO:

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[2 14 25 3 ]3x2

.[1 −10 4 ]

2x2

75

44

22=2.1 + 1.0 2.(-1) + 1.4

4.1 + 2.0 4.(-1) + 2.45.1 + 3.0 5.(-1) + 3.4

Observe, multiplicamos

ordenadamente os termos, ou seja, multiplicamos o

primeiro elemento da linha com o

primeiro da coluna e por aí vai...

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Exemplos para resolver

1) Seja A =

143201

e seja B =

012

411

Calcule A + B.

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2) Seja A =

143201 e seja B =

012

411 .

Calcule A – B.

20

3) Calcule o produto das matrizes:

205312

.021102321

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4) A matriz A de ordem 2 x 3 definida por , .i ja i j é dada por:

a)

321642

b)

1242621

c)

642321

d)

321111

e)

321642

21

5) Determine x, y e z para que A + B = C

143

50234113

2023 y

zax

. A B C

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6) Dadas as matrizes

654321

A

102231

B

calcule a matriz A – Bt é:

22Faculdade Católica Salesiano - Profº. Msc. Jerry Adriane Domingos

Matriz INVERSA

nIAA 1.

Seja A uma matriz quadrada. Dizemos que A é matriz inversível se existir uma matriz B tal que A.B = B.A = I.

Calcule a inversa da matriz A =

Resolvendo os sistemas temos a matriz inversa de A.Faculdade Católica Salesiano - Profº. Msc. Jerry Adriane Domingos

Exercício.

Use a definição para calcular a inversa da matriz

A =

3121

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