tt009 matem´atica aplicada i prova final, 3 set 2003 prof ... · 3 [1,5] complete a tabela abaixo,...
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TT009 Matematica Aplicada IProva Final, 3 Set 2003Prof. Nelson Luıs DiasNOME: ANDRESSA GUADAGNIN Assinatura:
ATENCAO: Leia atentamente todas as questoes, e comece pelas mais faceis para voce. Resolvaas questoes de forma limpa e organizada, nos espacos designados: o texto fora destes espacos naosera considerado na correcao. Boa prova.
1 [2,0] Usando a identidade de Jacobi,
[a× [b× c]] = (a · c)b− (a · b)c,
Mostre que[a× [b× c]] + [c× [a× b]] + [b× [c× a]] = 0.
SOLUCAO DA 1a Questao:
Continue a solucao no verso =⇒
2 [1,5] Considere a funcaof(z) = (3y2 − x3) + i(6xy2 − 3yx2).
Responda, justificando:
a) [0,5] As equacoes de Cauch-Riemman sao satisfeitas em todos os pontos do eixo real?
b) [0,5] As derivadas parciais∂u
∂x,
∂u
∂y,
∂v
∂x,
∂v
∂y
sao contınuas em todos os pontos do eixo real?
c) [0,5] A funcao f(z) e analıtica em todos os pontos do eixo real?
SOLUCAO DA 2a Questao:
Continue a solucao no verso =⇒
3 [1,5] Complete a tabela abaixo, seguindo o exemplo dado; nao escreva fora dos espacos designados, eseja sucinto(a)! Nas equacoes abaixo, a, b e c sao constantes reais genericas, e f(x) e g(x) sao funcoes reaisgenericas.
Equacao diferencial Classificacao Encaminhamento da solucao
y′ + f(x)y = g(x) EDO, linear, ordem 1,nao-homogenea
Faca y = u(x)v(x), substitua e resolva umaequacao homogenea para u(x).
ay′′ + by′ + cy = f(x)
x2y′′ + xy′ + y = 0
x2y′′ + xy′ + (x2 − 1)y = 0
4 [2,0] Se a transformada de Laplace de f(t) e (2s2 + s + 1)/(s3 + s2 + s + 1), obtenha f(t).
SOLUCAO DA 4a Questao:
Continue a solucao no verso =⇒
5 [3,0] Sabendo que a transformada de Fourier, definida por
F [f(x)](k) ≡∫ ∞
−∞f(x)e−ikx dx
tem a propriedadeF [f ′(x)](k) = ikF [f ],
e que F [δ(x)] = 1, calcule F [H(x)], onde H(x), a funcao de Heaviside, e a antiderivada (ouseja: a primitiva) da delta de Dirac δ(x) (no sentido, naturalmente, da teoria de Distribuicoes).
SOLUCAO DA 5a Questao:
Continue a solucao no verso =⇒
TT009 Matematica Aplicada IProva Final, 3 Set 2003Prof. Nelson Luıs DiasNOME: CLARISSA SEKULA Assinatura:
ATENCAO: Leia atentamente todas as questoes, e comece pelas mais faceis paravoce. Resolva as questoes de forma limpa e organizada, nos espacos designados:o texto fora destes espacos nao sera considerado na correcao. Boa prova.
1 [2,0] Usando a identidade de Jacobi,
[a× [b× c]] = (a · c)b− (a · b)c,
Mostre que[a× [b× c]] + [c× [a× b]] + [b× [c× a]] = 0.
SOLUCAO DA 1a Questao:
Continue a solucao no verso =⇒
2 [1,5] Considere a funcao
f(z) = (3y2 − x3) + i(6xy2 − 3yx2).
Responda, justificando:
a) [0,5] As equacoes de Cauch-Riemman sao satisfeitas em todos os pontos do eixo real?
b) [0,5] As derivadas parciais∂u
∂x,
∂u
∂y,
∂v
∂x,
∂v
∂y
sao contınuas em todos os pontos do eixo real?
c) [0,5] A funcao f(z) e analıtica em todos os pontos do eixo real?
SOLUCAO DA 2a Questao:
Continue a solucao no verso =⇒
3 [1,5] Complete a tabela abaixo, seguindo o exemplo dado; nao escreva fora dos espacosdesignados, e seja sucinto(a)! Nas equacoes abaixo, a, b e c sao constantes reais genericas,e f(x) e g(x) sao funcoes reais genericas.
Equacao diferencial Classificacao Encaminhamento da solucao
y′ + f(x)y = g(x) EDO, linear, ordem 1,nao-homogenea
Faca y = u(x)v(x), substitua e re-solva uma equacao homogenea parau(x).
ay′′ + by′ + cy = f(x)
x2y′′ + xy′ + y = 0
x2y′′ + xy′ + (x2 − 1)y = 0
4 [2,0] Se a transformada de Laplace de f(t) e (2s2 + s + 1)/(s3 + s2 + s + 1), obtenha f(t).
SOLUCAO DA 4a Questao:
Continue a solucao no verso =⇒
5 [3,0] Sabendo que a transformada de Fourier, definida por
F [f(x)](k) ≡∫ ∞
−∞f(x)e−ikx dx
tem a propriedadeF [f ′(x)](k) = ikF [f ],
e que F [δ(x)] = 1, calcule F [H(x)], onde H(x), a funcao de Heaviside, e a antiderivada (ouseja: a primitiva) da delta de Dirac δ(x) (no sentido, naturalmente, da teoria de Distribuicoes).
SOLUCAO DA 5a Questao:
Continue a solucao no verso =⇒
TT009 Matematica Aplicada IProva Final, 3 Set 2003Prof. Nelson Luıs DiasNOME: CESAR A. DA SILVA Assinatura:
ATENCAO: Leia atentamente todas as questoes, e comece pelas mais faceis paravoce. Resolva as questoes de forma limpa e organizada, nos espacos designados:o texto fora destes espacos nao sera considerado na correcao. Boa prova.
1 [2,0] Usando a identidade de Jacobi,
[a× [b× c]] = (a · c)b− (a · b)c,
Mostre que[a× [b× c]] + [c× [a× b]] + [b× [c× a]] = 0.
SOLUCAO DA 1a Questao:
Continue a solucao no verso =⇒
2 [1,5] Considere a funcao
f(z) = (3y2 − x3) + i(6xy2 − 3yx2).
Responda, justificando:
a) [0,5] As equacoes de Cauch-Riemman sao satisfeitas em todos os pontos do eixo real?
b) [0,5] As derivadas parciais∂u
∂x,
∂u
∂y,
∂v
∂x,
∂v
∂y
sao contınuas em todos os pontos do eixo real?
c) [0,5] A funcao f(z) e analıtica em todos os pontos do eixo real?
SOLUCAO DA 2a Questao:
Continue a solucao no verso =⇒
3 [1,5] Complete a tabela abaixo, seguindo o exemplo dado; nao escreva fora dos espacosdesignados, e seja sucinto(a)! Nas equacoes abaixo, a, b e c sao constantes reais genericas,e f(x) e g(x) sao funcoes reais genericas.
Equacao diferencial Classificacao Encaminhamento da solucao
y′ + f(x)y = g(x) EDO, linear, ordem 1,nao-homogenea
Faca y = u(x)v(x), substitua e re-solva uma equacao homogenea parau(x).
ay′′ + by′ + cy = f(x)
x2y′′ + xy′ + y = 0
x2y′′ + xy′ + (x2 − 1)y = 0
4 [2,0] Se a transformada de Laplace de f(t) e (2s2 + s + 1)/(s3 + s2 + s + 1), obtenha f(t).
SOLUCAO DA 4a Questao:
Continue a solucao no verso =⇒
5 [3,0] Sabendo que a transformada de Fourier, definida por
F [f(x)](k) ≡∫ ∞
−∞f(x)e−ikx dx
tem a propriedadeF [f ′(x)](k) = ikF [f ],
e que F [δ(x)] = 1, calcule F [H(x)], onde H(x), a funcao de Heaviside, e a antiderivada (ouseja: a primitiva) da delta de Dirac δ(x) (no sentido, naturalmente, da teoria de Distribuicoes).
SOLUCAO DA 5a Questao:
Continue a solucao no verso =⇒
TT009 Matematica Aplicada IProva Final, 3 Set 2003Prof. Nelson Luıs DiasNOME: GIANE R. GMACH Assinatura:
ATENCAO: Leia atentamente todas as questoes, e comece pelas mais faceis paravoce. Resolva as questoes de forma limpa e organizada, nos espacos designados:o texto fora destes espacos nao sera considerado na correcao. Boa prova.
1 [2,0] Usando a identidade de Jacobi,
[a× [b× c]] = (a · c)b− (a · b)c,
Mostre que[a× [b× c]] + [c× [a× b]] + [b× [c× a]] = 0.
SOLUCAO DA 1a Questao:
Continue a solucao no verso =⇒
2 [1,5] Considere a funcao
f(z) = (3y2 − x3) + i(6xy2 − 3yx2).
Responda, justificando:
a) [0,5] As equacoes de Cauch-Riemman sao satisfeitas em todos os pontos do eixo real?
b) [0,5] As derivadas parciais∂u
∂x,
∂u
∂y,
∂v
∂x,
∂v
∂y
sao contınuas em todos os pontos do eixo real?
c) [0,5] A funcao f(z) e analıtica em todos os pontos do eixo real?
SOLUCAO DA 2a Questao:
Continue a solucao no verso =⇒
3 [1,5] Complete a tabela abaixo, seguindo o exemplo dado; nao escreva fora dos espacosdesignados, e seja sucinto(a)! Nas equacoes abaixo, a, b e c sao constantes reais genericas,e f(x) e g(x) sao funcoes reais genericas.
Equacao diferencial Classificacao Encaminhamento da solucao
y′ + f(x)y = g(x) EDO, linear, ordem 1,nao-homogenea
Faca y = u(x)v(x), substitua e re-solva uma equacao homogenea parau(x).
ay′′ + by′ + cy = f(x)
x2y′′ + xy′ + y = 0
x2y′′ + xy′ + (x2 − 1)y = 0
4 [2,0] Se a transformada de Laplace de f(t) e (2s2 + s + 1)/(s3 + s2 + s + 1), obtenha f(t).
SOLUCAO DA 4a Questao:
Continue a solucao no verso =⇒
5 [3,0] Sabendo que a transformada de Fourier, definida por
F [f(x)](k) ≡∫ ∞
−∞f(x)e−ikx dx
tem a propriedadeF [f ′(x)](k) = ikF [f ],
e que F [δ(x)] = 1, calcule F [H(x)], onde H(x), a funcao de Heaviside, e a antiderivada (ouseja: a primitiva) da delta de Dirac δ(x) (no sentido, naturalmente, da teoria de Distribuicoes).
SOLUCAO DA 5a Questao:
Continue a solucao no verso =⇒
TT009 Matematica Aplicada IProva Final, 3 Set 2003Prof. Nelson Luıs DiasNOME: GILBERTO MAZER KUBIS Assinatura:
ATENCAO: Leia atentamente todas as questoes, e comece pelas mais faceis paravoce. Resolva as questoes de forma limpa e organizada, nos espacos designados:o texto fora destes espacos nao sera considerado na correcao. Boa prova.
1 [2,0] Usando a identidade de Jacobi,
[a× [b× c]] = (a · c)b− (a · b)c,
Mostre que[a× [b× c]] + [c× [a× b]] + [b× [c× a]] = 0.
SOLUCAO DA 1a Questao:
Continue a solucao no verso =⇒
2 [1,5] Considere a funcao
f(z) = (3y2 − x3) + i(6xy2 − 3yx2).
Responda, justificando:
a) [0,5] As equacoes de Cauch-Riemman sao satisfeitas em todos os pontos do eixo real?
b) [0,5] As derivadas parciais∂u
∂x,
∂u
∂y,
∂v
∂x,
∂v
∂y
sao contınuas em todos os pontos do eixo real?
c) [0,5] A funcao f(z) e analıtica em todos os pontos do eixo real?
SOLUCAO DA 2a Questao:
Continue a solucao no verso =⇒
3 [1,5] Complete a tabela abaixo, seguindo o exemplo dado; nao escreva fora dos espacosdesignados, e seja sucinto(a)! Nas equacoes abaixo, a, b e c sao constantes reais genericas,e f(x) e g(x) sao funcoes reais genericas.
Equacao diferencial Classificacao Encaminhamento da solucao
y′ + f(x)y = g(x) EDO, linear, ordem 1,nao-homogenea
Faca y = u(x)v(x), substitua e re-solva uma equacao homogenea parau(x).
ay′′ + by′ + cy = f(x)
x2y′′ + xy′ + y = 0
x2y′′ + xy′ + (x2 − 1)y = 0
4 [2,0] Se a transformada de Laplace de f(t) e (2s2 + s + 1)/(s3 + s2 + s + 1), obtenha f(t).
SOLUCAO DA 4a Questao:
Continue a solucao no verso =⇒
5 [3,0] Sabendo que a transformada de Fourier, definida por
F [f(x)](k) ≡∫ ∞
−∞f(x)e−ikx dx
tem a propriedadeF [f ′(x)](k) = ikF [f ],
e que F [δ(x)] = 1, calcule F [H(x)], onde H(x), a funcao de Heaviside, e a antiderivada (ouseja: a primitiva) da delta de Dirac δ(x) (no sentido, naturalmente, da teoria de Distribuicoes).
SOLUCAO DA 5a Questao:
Continue a solucao no verso =⇒
TT009 Matematica Aplicada IProva Final, 3 Set 2003Prof. Nelson Luıs DiasNOME: HELDER RAFAEL NOCKO Assinatura:
ATENCAO: Leia atentamente todas as questoes, e comece pelas mais faceis paravoce. Resolva as questoes de forma limpa e organizada, nos espacos designados:o texto fora destes espacos nao sera considerado na correcao. Boa prova.
1 [2,0] Usando a identidade de Jacobi,
[a× [b× c]] = (a · c)b− (a · b)c,
Mostre que[a× [b× c]] + [c× [a× b]] + [b× [c× a]] = 0.
SOLUCAO DA 1a Questao:
Continue a solucao no verso =⇒
2 [1,5] Considere a funcao
f(z) = (3y2 − x3) + i(6xy2 − 3yx2).
Responda, justificando:
a) [0,5] As equacoes de Cauch-Riemman sao satisfeitas em todos os pontos do eixo real?
b) [0,5] As derivadas parciais∂u
∂x,
∂u
∂y,
∂v
∂x,
∂v
∂y
sao contınuas em todos os pontos do eixo real?
c) [0,5] A funcao f(z) e analıtica em todos os pontos do eixo real?
SOLUCAO DA 2a Questao:
Continue a solucao no verso =⇒
3 [1,5] Complete a tabela abaixo, seguindo o exemplo dado; nao escreva fora dos espacosdesignados, e seja sucinto(a)! Nas equacoes abaixo, a, b e c sao constantes reais genericas,e f(x) e g(x) sao funcoes reais genericas.
Equacao diferencial Classificacao Encaminhamento da solucao
y′ + f(x)y = g(x) EDO, linear, ordem 1,nao-homogenea
Faca y = u(x)v(x), substitua e re-solva uma equacao homogenea parau(x).
ay′′ + by′ + cy = f(x)
x2y′′ + xy′ + y = 0
x2y′′ + xy′ + (x2 − 1)y = 0
4 [2,0] Se a transformada de Laplace de f(t) e (2s2 + s + 1)/(s3 + s2 + s + 1), obtenha f(t).
SOLUCAO DA 4a Questao:
Continue a solucao no verso =⇒
5 [3,0] Sabendo que a transformada de Fourier, definida por
F [f(x)](k) ≡∫ ∞
−∞f(x)e−ikx dx
tem a propriedadeF [f ′(x)](k) = ikF [f ],
e que F [δ(x)] = 1, calcule F [H(x)], onde H(x), a funcao de Heaviside, e a antiderivada (ouseja: a primitiva) da delta de Dirac δ(x) (no sentido, naturalmente, da teoria de Distribuicoes).
SOLUCAO DA 5a Questao:
Continue a solucao no verso =⇒
TT009 Matematica Aplicada IProva Final, 3 Set 2003Prof. Nelson Luıs DiasNOME: LEANDRO BERGMANN TAYTELBAUM Assinatura:
ATENCAO: Leia atentamente todas as questoes, e comece pelas mais faceis paravoce. Resolva as questoes de forma limpa e organizada, nos espacos designados:o texto fora destes espacos nao sera considerado na correcao. Boa prova.
1 [2,0] Usando a identidade de Jacobi,
[a× [b× c]] = (a · c)b− (a · b)c,
Mostre que[a× [b× c]] + [c× [a× b]] + [b× [c× a]] = 0.
SOLUCAO DA 1a Questao:
Continue a solucao no verso =⇒
2 [1,5] Considere a funcao
f(z) = (3y2 − x3) + i(6xy2 − 3yx2).
Responda, justificando:
a) [0,5] As equacoes de Cauch-Riemman sao satisfeitas em todos os pontos do eixo real?
b) [0,5] As derivadas parciais∂u
∂x,
∂u
∂y,
∂v
∂x,
∂v
∂y
sao contınuas em todos os pontos do eixo real?
c) [0,5] A funcao f(z) e analıtica em todos os pontos do eixo real?
SOLUCAO DA 2a Questao:
Continue a solucao no verso =⇒
3 [1,5] Complete a tabela abaixo, seguindo o exemplo dado; nao escreva fora dos espacosdesignados, e seja sucinto(a)! Nas equacoes abaixo, a, b e c sao constantes reais genericas,e f(x) e g(x) sao funcoes reais genericas.
Equacao diferencial Classificacao Encaminhamento da solucao
y′ + f(x)y = g(x) EDO, linear, ordem 1,nao-homogenea
Faca y = u(x)v(x), substitua e re-solva uma equacao homogenea parau(x).
ay′′ + by′ + cy = f(x)
x2y′′ + xy′ + y = 0
x2y′′ + xy′ + (x2 − 1)y = 0
4 [2,0] Se a transformada de Laplace de f(t) e (2s2 + s + 1)/(s3 + s2 + s + 1), obtenha f(t).
SOLUCAO DA 4a Questao:
Continue a solucao no verso =⇒
5 [3,0] Sabendo que a transformada de Fourier, definida por
F [f(x)](k) ≡∫ ∞
−∞f(x)e−ikx dx
tem a propriedadeF [f ′(x)](k) = ikF [f ],
e que F [δ(x)] = 1, calcule F [H(x)], onde H(x), a funcao de Heaviside, e a antiderivada (ouseja: a primitiva) da delta de Dirac δ(x) (no sentido, naturalmente, da teoria de Distribuicoes).
SOLUCAO DA 5a Questao:
Continue a solucao no verso =⇒
TT009 Matematica Aplicada IProva Final, 3 Set 2003Prof. Nelson Luıs DiasNOME: MARCELO ANDRIONI Assinatura:
ATENCAO: Leia atentamente todas as questoes, e comece pelas mais faceis paravoce. Resolva as questoes de forma limpa e organizada, nos espacos designados:o texto fora destes espacos nao sera considerado na correcao. Boa prova.
1 [2,0] Usando a identidade de Jacobi,
[a× [b× c]] = (a · c)b− (a · b)c,
Mostre que[a× [b× c]] + [c× [a× b]] + [b× [c× a]] = 0.
SOLUCAO DA 1a Questao:
Continue a solucao no verso =⇒
2 [1,5] Considere a funcao
f(z) = (3y2 − x3) + i(6xy2 − 3yx2).
Responda, justificando:
a) [0,5] As equacoes de Cauch-Riemman sao satisfeitas em todos os pontos do eixo real?
b) [0,5] As derivadas parciais∂u
∂x,
∂u
∂y,
∂v
∂x,
∂v
∂y
sao contınuas em todos os pontos do eixo real?
c) [0,5] A funcao f(z) e analıtica em todos os pontos do eixo real?
SOLUCAO DA 2a Questao:
Continue a solucao no verso =⇒
3 [1,5] Complete a tabela abaixo, seguindo o exemplo dado; nao escreva fora dos espacosdesignados, e seja sucinto(a)! Nas equacoes abaixo, a, b e c sao constantes reais genericas,e f(x) e g(x) sao funcoes reais genericas.
Equacao diferencial Classificacao Encaminhamento da solucao
y′ + f(x)y = g(x) EDO, linear, ordem 1,nao-homogenea
Faca y = u(x)v(x), substitua e re-solva uma equacao homogenea parau(x).
ay′′ + by′ + cy = f(x)
x2y′′ + xy′ + y = 0
x2y′′ + xy′ + (x2 − 1)y = 0
4 [2,0] Se a transformada de Laplace de f(t) e (2s2 + s + 1)/(s3 + s2 + s + 1), obtenha f(t).
SOLUCAO DA 4a Questao:
Continue a solucao no verso =⇒
5 [3,0] Sabendo que a transformada de Fourier, definida por
F [f(x)](k) ≡∫ ∞
−∞f(x)e−ikx dx
tem a propriedadeF [f ′(x)](k) = ikF [f ],
e que F [δ(x)] = 1, calcule F [H(x)], onde H(x), a funcao de Heaviside, e a antiderivada (ouseja: a primitiva) da delta de Dirac δ(x) (no sentido, naturalmente, da teoria de Distribuicoes).
SOLUCAO DA 5a Questao:
Continue a solucao no verso =⇒
TT009 Matematica Aplicada IProva Final, 3 Set 2003Prof. Nelson Luıs DiasNOME: OTHAVIO TONIASSO TAKEDA Assinatura:
ATENCAO: Leia atentamente todas as questoes, e comece pelas mais faceis paravoce. Resolva as questoes de forma limpa e organizada, nos espacos designados:o texto fora destes espacos nao sera considerado na correcao. Boa prova.
1 [2,0] Usando a identidade de Jacobi,
[a× [b× c]] = (a · c)b− (a · b)c,
Mostre que[a× [b× c]] + [c× [a× b]] + [b× [c× a]] = 0.
SOLUCAO DA 1a Questao:
Continue a solucao no verso =⇒
2 [1,5] Considere a funcao
f(z) = (3y2 − x3) + i(6xy2 − 3yx2).
Responda, justificando:
a) [0,5] As equacoes de Cauch-Riemman sao satisfeitas em todos os pontos do eixo real?
b) [0,5] As derivadas parciais∂u
∂x,
∂u
∂y,
∂v
∂x,
∂v
∂y
sao contınuas em todos os pontos do eixo real?
c) [0,5] A funcao f(z) e analıtica em todos os pontos do eixo real?
SOLUCAO DA 2a Questao:
Continue a solucao no verso =⇒
3 [1,5] Complete a tabela abaixo, seguindo o exemplo dado; nao escreva fora dos espacosdesignados, e seja sucinto(a)! Nas equacoes abaixo, a, b e c sao constantes reais genericas,e f(x) e g(x) sao funcoes reais genericas.
Equacao diferencial Classificacao Encaminhamento da solucao
y′ + f(x)y = g(x) EDO, linear, ordem 1,nao-homogenea
Faca y = u(x)v(x), substitua e re-solva uma equacao homogenea parau(x).
ay′′ + by′ + cy = f(x)
x2y′′ + xy′ + y = 0
x2y′′ + xy′ + (x2 − 1)y = 0
4 [2,0] Se a transformada de Laplace de f(t) e (2s2 + s + 1)/(s3 + s2 + s + 1), obtenha f(t).
SOLUCAO DA 4a Questao:
Continue a solucao no verso =⇒
5 [3,0] Sabendo que a transformada de Fourier, definida por
F [f(x)](k) ≡∫ ∞
−∞f(x)e−ikx dx
tem a propriedadeF [f ′(x)](k) = ikF [f ],
e que F [δ(x)] = 1, calcule F [H(x)], onde H(x), a funcao de Heaviside, e a antiderivada (ouseja: a primitiva) da delta de Dirac δ(x) (no sentido, naturalmente, da teoria de Distribuicoes).
SOLUCAO DA 5a Questao:
Continue a solucao no verso =⇒
TT009 Matematica Aplicada IProva Final, 3 Set 2003Prof. Nelson Luıs DiasNOME: PALOMA GIOVANA FARIA Assinatura:
ATENCAO: Leia atentamente todas as questoes, e comece pelas mais faceis paravoce. Resolva as questoes de forma limpa e organizada, nos espacos designados:o texto fora destes espacos nao sera considerado na correcao. Boa prova.
1 [2,0] Usando a identidade de Jacobi,
[a× [b× c]] = (a · c)b− (a · b)c,
Mostre que[a× [b× c]] + [c× [a× b]] + [b× [c× a]] = 0.
SOLUCAO DA 1a Questao:
Continue a solucao no verso =⇒
2 [1,5] Considere a funcao
f(z) = (3y2 − x3) + i(6xy2 − 3yx2).
Responda, justificando:
a) [0,5] As equacoes de Cauch-Riemman sao satisfeitas em todos os pontos do eixo real?
b) [0,5] As derivadas parciais∂u
∂x,
∂u
∂y,
∂v
∂x,
∂v
∂y
sao contınuas em todos os pontos do eixo real?
c) [0,5] A funcao f(z) e analıtica em todos os pontos do eixo real?
SOLUCAO DA 2a Questao:
Continue a solucao no verso =⇒
3 [1,5] Complete a tabela abaixo, seguindo o exemplo dado; nao escreva fora dos espacosdesignados, e seja sucinto(a)! Nas equacoes abaixo, a, b e c sao constantes reais genericas,e f(x) e g(x) sao funcoes reais genericas.
Equacao diferencial Classificacao Encaminhamento da solucao
y′ + f(x)y = g(x) EDO, linear, ordem 1,nao-homogenea
Faca y = u(x)v(x), substitua e re-solva uma equacao homogenea parau(x).
ay′′ + by′ + cy = f(x)
x2y′′ + xy′ + y = 0
x2y′′ + xy′ + (x2 − 1)y = 0
4 [2,0] Se a transformada de Laplace de f(t) e (2s2 + s + 1)/(s3 + s2 + s + 1), obtenha f(t).
SOLUCAO DA 4a Questao:
Continue a solucao no verso =⇒
5 [3,0] Sabendo que a transformada de Fourier, definida por
F [f(x)](k) ≡∫ ∞
−∞f(x)e−ikx dx
tem a propriedadeF [f ′(x)](k) = ikF [f ],
e que F [δ(x)] = 1, calcule F [H(x)], onde H(x), a funcao de Heaviside, e a antiderivada (ouseja: a primitiva) da delta de Dirac δ(x) (no sentido, naturalmente, da teoria de Distribuicoes).
SOLUCAO DA 5a Questao:
Continue a solucao no verso =⇒
TT009 Matematica Aplicada IProva Final, 3 Set 2003Prof. Nelson Luıs DiasNOME: RAFAEL CABRAL GONCALVES Assinatura:
ATENCAO: Leia atentamente todas as questoes, e comece pelas mais faceis paravoce. Resolva as questoes de forma limpa e organizada, nos espacos designados:o texto fora destes espacos nao sera considerado na correcao. Boa prova.
1 [2,0] Usando a identidade de Jacobi,
[a× [b× c]] = (a · c)b− (a · b)c,
Mostre que[a× [b× c]] + [c× [a× b]] + [b× [c× a]] = 0.
SOLUCAO DA 1a Questao:
Continue a solucao no verso =⇒
2 [1,5] Considere a funcao
f(z) = (3y2 − x3) + i(6xy2 − 3yx2).
Responda, justificando:
a) [0,5] As equacoes de Cauch-Riemman sao satisfeitas em todos os pontos do eixo real?
b) [0,5] As derivadas parciais∂u
∂x,
∂u
∂y,
∂v
∂x,
∂v
∂y
sao contınuas em todos os pontos do eixo real?
c) [0,5] A funcao f(z) e analıtica em todos os pontos do eixo real?
SOLUCAO DA 2a Questao:
Continue a solucao no verso =⇒
3 [1,5] Complete a tabela abaixo, seguindo o exemplo dado; nao escreva fora dos espacosdesignados, e seja sucinto(a)! Nas equacoes abaixo, a, b e c sao constantes reais genericas,e f(x) e g(x) sao funcoes reais genericas.
Equacao diferencial Classificacao Encaminhamento da solucao
y′ + f(x)y = g(x) EDO, linear, ordem 1,nao-homogenea
Faca y = u(x)v(x), substitua e re-solva uma equacao homogenea parau(x).
ay′′ + by′ + cy = f(x)
x2y′′ + xy′ + y = 0
x2y′′ + xy′ + (x2 − 1)y = 0
4 [2,0] Se a transformada de Laplace de f(t) e (2s2 + s + 1)/(s3 + s2 + s + 1), obtenha f(t).
SOLUCAO DA 4a Questao:
Continue a solucao no verso =⇒
5 [3,0] Sabendo que a transformada de Fourier, definida por
F [f(x)](k) ≡∫ ∞
−∞f(x)e−ikx dx
tem a propriedadeF [f ′(x)](k) = ikF [f ],
e que F [δ(x)] = 1, calcule F [H(x)], onde H(x), a funcao de Heaviside, e a antiderivada (ouseja: a primitiva) da delta de Dirac δ(x) (no sentido, naturalmente, da teoria de Distribuicoes).
SOLUCAO DA 5a Questao:
Continue a solucao no verso =⇒
TT009 Matematica Aplicada IProva Final, 3 Set 2003Prof. Nelson Luıs DiasNOME: RICARDO FURLAN Assinatura:
ATENCAO: Leia atentamente todas as questoes, e comece pelas mais faceis paravoce. Resolva as questoes de forma limpa e organizada, nos espacos designados:o texto fora destes espacos nao sera considerado na correcao. Boa prova.
1 [2,0] Usando a identidade de Jacobi,
[a× [b× c]] = (a · c)b− (a · b)c,
Mostre que[a× [b× c]] + [c× [a× b]] + [b× [c× a]] = 0.
SOLUCAO DA 1a Questao:
Continue a solucao no verso =⇒
2 [1,5] Considere a funcao
f(z) = (3y2 − x3) + i(6xy2 − 3yx2).
Responda, justificando:
a) [0,5] As equacoes de Cauch-Riemman sao satisfeitas em todos os pontos do eixo real?
b) [0,5] As derivadas parciais∂u
∂x,
∂u
∂y,
∂v
∂x,
∂v
∂y
sao contınuas em todos os pontos do eixo real?
c) [0,5] A funcao f(z) e analıtica em todos os pontos do eixo real?
SOLUCAO DA 2a Questao:
Continue a solucao no verso =⇒
3 [1,5] Complete a tabela abaixo, seguindo o exemplo dado; nao escreva fora dos espacosdesignados, e seja sucinto(a)! Nas equacoes abaixo, a, b e c sao constantes reais genericas,e f(x) e g(x) sao funcoes reais genericas.
Equacao diferencial Classificacao Encaminhamento da solucao
y′ + f(x)y = g(x) EDO, linear, ordem 1,nao-homogenea
Faca y = u(x)v(x), substitua e re-solva uma equacao homogenea parau(x).
ay′′ + by′ + cy = f(x)
x2y′′ + xy′ + y = 0
x2y′′ + xy′ + (x2 − 1)y = 0
4 [2,0] Se a transformada de Laplace de f(t) e (2s2 + s + 1)/(s3 + s2 + s + 1), obtenha f(t).
SOLUCAO DA 4a Questao:
Continue a solucao no verso =⇒
5 [3,0] Sabendo que a transformada de Fourier, definida por
F [f(x)](k) ≡∫ ∞
−∞f(x)e−ikx dx
tem a propriedadeF [f ′(x)](k) = ikF [f ],
e que F [δ(x)] = 1, calcule F [H(x)], onde H(x), a funcao de Heaviside, e a antiderivada (ouseja: a primitiva) da delta de Dirac δ(x) (no sentido, naturalmente, da teoria de Distribuicoes).
SOLUCAO DA 5a Questao:
Continue a solucao no verso =⇒
TT009 Matematica Aplicada IProva Final, 3 Set 2003Prof. Nelson Luıs DiasNOME: ALUNO GENERICO Assinatura:
ATENCAO: Leia atentamente todas as questoes, e comece pelas mais faceis paravoce. Resolva as questoes de forma limpa e organizada, nos espacos designados:o texto fora destes espacos nao sera considerado na correcao. Boa prova.
1 [2,0] Usando a identidade de Jacobi,
[a× [b× c]] = (a · c)b− (a · b)c,
Mostre que[a× [b× c]] + [c× [a× b]] + [b× [c× a]] = 0.
SOLUCAO DA 1a Questao:
Continue a solucao no verso =⇒
2 [1,5] Considere a funcao
f(z) = (3y2 − x3) + i(6xy2 − 3yx2).
Responda, justificando:
a) [0,5] As equacoes de Cauch-Riemman sao satisfeitas em todos os pontos do eixo real?
b) [0,5] As derivadas parciais∂u
∂x,
∂u
∂y,
∂v
∂x,
∂v
∂y
sao contınuas em todos os pontos do eixo real?
c) [0,5] A funcao f(z) e analıtica em todos os pontos do eixo real?
SOLUCAO DA 2a Questao:
Continue a solucao no verso =⇒
3 [1,5] Complete a tabela abaixo, seguindo o exemplo dado; nao escreva fora dos espacosdesignados, e seja sucinto(a)! Nas equacoes abaixo, a, b e c sao constantes reais genericas,e f(x) e g(x) sao funcoes reais genericas.
Equacao diferencial Classificacao Encaminhamento da solucao
y′ + f(x)y = g(x) EDO, linear, ordem 1,nao-homogenea
Faca y = u(x)v(x), substitua e re-solva uma equacao homogenea parau(x).
ay′′ + by′ + cy = f(x)
x2y′′ + xy′ + y = 0
x2y′′ + xy′ + (x2 − 1)y = 0
4 [2,0] Se a transformada de Laplace de f(t) e (2s2 + s + 1)/(s3 + s2 + s + 1), obtenha f(t).
SOLUCAO DA 4a Questao:
Continue a solucao no verso =⇒
5 [3,0] Sabendo que a transformada de Fourier, definida por
F [f(x)](k) ≡∫ ∞
−∞f(x)e−ikx dx
tem a propriedadeF [f ′(x)](k) = ikF [f ],
e que F [δ(x)] = 1, calcule F [H(x)], onde H(x), a funcao de Heaviside, e a antiderivada (ouseja: a primitiva) da delta de Dirac δ(x) (no sentido, naturalmente, da teoria de Distribuicoes).
SOLUCAO DA 5a Questao:
Continue a solucao no verso =⇒
TT009 Matematica Aplicada IProva Final, 3 Set 2003Prof. Nelson Luıs DiasNOME: ALUNO GENERICO Assinatura:
ATENCAO: Leia atentamente todas as questoes, e comece pelas mais faceis paravoce. Resolva as questoes de forma limpa e organizada, nos espacos designados:o texto fora destes espacos nao sera considerado na correcao. Boa prova.
1 [2,0] Usando a identidade de Jacobi,
[a× [b× c]] = (a · c)b− (a · b)c,
Mostre que[a× [b× c]] + [c× [a× b]] + [b× [c× a]] = 0.
SOLUCAO DA 1a Questao:
Continue a solucao no verso =⇒
2 [1,5] Considere a funcao
f(z) = (3y2 − x3) + i(6xy2 − 3yx2).
Responda, justificando:
a) [0,5] As equacoes de Cauch-Riemman sao satisfeitas em todos os pontos do eixo real?
b) [0,5] As derivadas parciais∂u
∂x,
∂u
∂y,
∂v
∂x,
∂v
∂y
sao contınuas em todos os pontos do eixo real?
c) [0,5] A funcao f(z) e analıtica em todos os pontos do eixo real?
SOLUCAO DA 2a Questao:
Continue a solucao no verso =⇒
3 [1,5] Complete a tabela abaixo, seguindo o exemplo dado; nao escreva fora dos espacosdesignados, e seja sucinto(a)! Nas equacoes abaixo, a, b e c sao constantes reais genericas,e f(x) e g(x) sao funcoes reais genericas.
Equacao diferencial Classificacao Encaminhamento da solucao
y′ + f(x)y = g(x) EDO, linear, ordem 1,nao-homogenea
Faca y = u(x)v(x), substitua e re-solva uma equacao homogenea parau(x).
ay′′ + by′ + cy = f(x)
x2y′′ + xy′ + y = 0
x2y′′ + xy′ + (x2 − 1)y = 0
4 [2,0] Se a transformada de Laplace de f(t) e (2s2 + s + 1)/(s3 + s2 + s + 1), obtenha f(t).
SOLUCAO DA 4a Questao:
Continue a solucao no verso =⇒
5 [3,0] Sabendo que a transformada de Fourier, definida por
F [f(x)](k) ≡∫ ∞
−∞f(x)e−ikx dx
tem a propriedadeF [f ′(x)](k) = ikF [f ],
e que F [δ(x)] = 1, calcule F [H(x)], onde H(x), a funcao de Heaviside, e a antiderivada (ouseja: a primitiva) da delta de Dirac δ(x) (no sentido, naturalmente, da teoria de Distribuicoes).
SOLUCAO DA 5a Questao:
Continue a solucao no verso =⇒
TT009 Matematica Aplicada IProva Final, 3 Set 2003Prof. Nelson Luıs DiasNOME: ALUNO GENERICO Assinatura:
ATENCAO: Leia atentamente todas as questoes, e comece pelas mais faceis paravoce. Resolva as questoes de forma limpa e organizada, nos espacos designados:o texto fora destes espacos nao sera considerado na correcao. Boa prova.
1 [2,0] Usando a identidade de Jacobi,
[a× [b× c]] = (a · c)b− (a · b)c,
Mostre que[a× [b× c]] + [c× [a× b]] + [b× [c× a]] = 0.
SOLUCAO DA 1a Questao:
Continue a solucao no verso =⇒
2 [1,5] Considere a funcao
f(z) = (3y2 − x3) + i(6xy2 − 3yx2).
Responda, justificando:
a) [0,5] As equacoes de Cauch-Riemman sao satisfeitas em todos os pontos do eixo real?
b) [0,5] As derivadas parciais∂u
∂x,
∂u
∂y,
∂v
∂x,
∂v
∂y
sao contınuas em todos os pontos do eixo real?
c) [0,5] A funcao f(z) e analıtica em todos os pontos do eixo real?
SOLUCAO DA 2a Questao:
Continue a solucao no verso =⇒
3 [1,5] Complete a tabela abaixo, seguindo o exemplo dado; nao escreva fora dos espacosdesignados, e seja sucinto(a)! Nas equacoes abaixo, a, b e c sao constantes reais genericas,e f(x) e g(x) sao funcoes reais genericas.
Equacao diferencial Classificacao Encaminhamento da solucao
y′ + f(x)y = g(x) EDO, linear, ordem 1,nao-homogenea
Faca y = u(x)v(x), substitua e re-solva uma equacao homogenea parau(x).
ay′′ + by′ + cy = f(x)
x2y′′ + xy′ + y = 0
x2y′′ + xy′ + (x2 − 1)y = 0
4 [2,0] Se a transformada de Laplace de f(t) e (2s2 + s + 1)/(s3 + s2 + s + 1), obtenha f(t).
SOLUCAO DA 4a Questao:
Continue a solucao no verso =⇒
5 [3,0] Sabendo que a transformada de Fourier, definida por
F [f(x)](k) ≡∫ ∞
−∞f(x)e−ikx dx
tem a propriedadeF [f ′(x)](k) = ikF [f ],
e que F [δ(x)] = 1, calcule F [H(x)], onde H(x), a funcao de Heaviside, e a antiderivada (ouseja: a primitiva) da delta de Dirac δ(x) (no sentido, naturalmente, da teoria de Distribuicoes).
SOLUCAO DA 5a Questao:
Continue a solucao no verso =⇒
TT009 Matematica Aplicada IProva Final, 3 Set 2003Prof. Nelson Luıs DiasNOME: ALUNO(A) PERFEITO(A) Assinatura:
ATENCAO: Leia atentamente todas as questoes, e comece pelas mais faceis para voce. Resolvaas questoes de forma limpa e organizada, nos espacos designados: o texto fora destes espacos naosera considerado na correcao. Boa prova.
1 [2,0] Usando a identidade de Jacobi,
[a× [b× c]] = (a · c)b− (a · b)c,
Mostre que[a× [b× c]] + [c× [a× b]] + [b× [c× a]] = 0.
SOLUCAO DA 1a Questao:
Solucao:
[a× [b× c]] + [c× [a× b]] + [b× [c× a]] = (a · c)b− (a · b)c+ (c · b)a− (c · a)b+ (b · a)c− (b · c)a = 0
Continue a solucao no verso =⇒
2 [1,5] Considere a funcaof(z) = (3y2 − x3) + i(6xy2 − 3yx2).
a) [0,5] As equacoes de Cauch-Riemman sao satisfeitas em todos os pontos do eixo real?
b) [0,5] As derivadas parciais∂u
∂x,
∂u
∂y,
∂v
∂x,
∂v
∂y
sao contınuas em todos os pontos do eixo real?
c) [0,5] A funcao f(z) e analıtica em todos os pontos do eixo real?
SOLUCAO DA 2a Questao:
Item a:
∂u
∂x= −3x2;
∂v
∂y= 12xy − 3x2; y = 0 ⇒ ∂u
∂x=
∂v
∂y.
∂u
∂y= 6y; −∂v
∂x= 6xy − 6y2; y = 0 ⇒ ∂u
∂y= −∂v
∂x.
Sim, as condicoes sao satisfeitas em todos os pontos em que y = 0 (eixo real).Item b:Sim: Todas as derivadas parciais acima sao polinomios em x e y, e consequentemente funcoes contınuas.Item c:As equacoes de Cauchy-Riemman sao uma condicao necessaria, porem nao suficiente, de analiticidade em umponto. Quando, alem de valerem as equacoes de C-R, as derivadas ∂u/∂x, ∂u/∂y, ∂v/∂x e ∂v/∂y sao contınuasno ponto, f(z) e analıtica no ponto. Portanto, f(z) e analıtica em todos os pontos do eixo y = 0.
Continue a solucao no verso =⇒
3 [1,5] Complete a tabela abaixo, seguindo o exemplo dado; nao escreva fora dos espacos designados, eseja sucinto(a)! Nas equacoes abaixo, a, b e c sao constantes reais genericas, e f(x) e g(x) sao funcoes reaisgenericas.
Equacao diferencial Classificacao Encaminhamento da solucao
y′ + f(x)y = g(x) EDO, linear, ordem 1,nao-homogenea
Faca y = u(x)v(x), substitua e resolva umaequacao homogenea para u(x).
ay′′ + by′ + cy = f(x) EDO, linear, ordem 2,nao-homogenea
Posso usar:
• o metodo da variacao de constantes,y = A(x)eλ1x + B(x)eλ2x, onde λ1 eλ2 sao raızes (talvez complexas) deaλ2 + bλ + c = 0, ou
• transformada de Laplace, ou
• transformada de Fourier (entre ou-tros).
x2y′′ + xy′ + y = 0 EDO, linear, ordem 2,homogenea (coeficientesnao-constantes)
Equacao de Euler: tente y = xα.
x2y′′ + xy′ + (x2 − 1)y = 0 EDO, linear, ordem 2,homogenea (coeficientesnao-constantes)
Equacao de Bessel de ordem 1: solucaopelo metodo de Frobenius (series): uma vezobtida uma solucao de 1a especie, J1(x),posso tentar uma solucao LI (de 2a es-pecie) do tipo A(x)J1(x), ou ln xJ1(x) +∑
anxn+s.
4 [2,0] Se a transformada de Laplace de f(t) e (2s2 + s + 1)/(s3 + s2 + s + 1), obtenha f(t).
SOLUCAO DA 2a Questao:
A decomposicao em fracoes parciais e
2s2 + s + 1
s3 + s2 + s + 1=
s
s2 + 1︸ ︷︷ ︸L−1 cos t
+1
s + 1︸ ︷︷ ︸L−1e−t
;
donde:f(t) = e−t + cos t
Continue a solucao no verso =⇒
5 [3,0] Sabendo que a transformada de Fourier, definida por
F [f(x)](k) ≡∫ ∞
−∞f(x)e−ikx dx
tem a propriedadeF [f ′(x)](k) = ikF [f ],
e que F [δ(x)] = 1, calcule F [H(x)], onde H(x), a funcao de Heaviside, e a antiderivada (ouseja: a primitiva) da delta de Dirac δ(x) (no sentido, naturalmente, da teoria de Distribuicoes).
SOLUCAO DA 5a Questao:
Aplicando diretamente a relacao acima,
F [δ(x)] = 1 = ikF [H(x)] ⇒ F [H(x)] =1
ik
Continue a solucao no verso =⇒
TT009 Matematica Aplicada IP10, 11 Jul 2003Prof. Nelson Luıs DiasNOME: ALUNO GENERICO Assinatura:
ATENCAO: Leia atentamente todas as questoes, e comece pelas mais faceis para voce. Resolvaas questoes de forma limpa e organizada, nos espacos designados: o texto fora destes espacos naosera considerado na correcao. Boa prova.
1 [10,0] A viga em balanco da figura tem um carregamento distribuıdo triangular variando de 0 em x = 0 atew0 em x = 2L. Ha tambem uma carga concentrada de intensidade w0L em x = L.
a) Escreva uma equacao para o carregamento distribuıdo total sobre a viga, w(x), que inclua as reacoes deapoio A e B, a carga concentrada em x = L e o carregamento triangular, usando as distribuicoes δ(x) eH =
∫ x
−∞ δ(ξ) dξ.
b) Integre as condicoes de equilıbrio∫∞−∞ w(x) dx = 0,
∫∞−∞ xw(x) dx = 0, e calcule as reacoes de apoio A
e B. O uso dos conceitos de teoria das distribuicoes e obrigatorio: resultados obtidos comconceitos elementares de mecanica nao serao considerados.
SOLUCAO DA 1a Questao:O carregamento distribuıdo total e
w(x) = Aδ(x) + Bδ(x− L)− w0Lδ(x− L)− [H(x)−H(x− 2L)]w0x
2L.
A 1a equacao de equilıbrio sera∫ +∞
−∞w(x) dx = A
∫ +∞
−∞δ(x) dx + B
∫ +∞
−∞δ(x− L) dx− w0L
∫ +∞
−∞δ(x− L) dx−
∫ +∞
−∞[H(x)−H(x− 2L)]
w0x
2Ldx
= A + B − w0L−w0
2L
∫ +∞
−∞[H(x)−H(x− 2L)]︸ ︷︷ ︸
u
x dx︸︷︷︸dv
= A + B − w0L−w0
2L
[x2
2[H(x)−H(x− 2L)]
]+∞
−∞︸ ︷︷ ︸=0
−∫ +∞
−∞
x2
2[δ(x)− δ(x− 2L)] dx
= A + B − w0L− w0L
= A + B − 2w0L = 0
A 2a equacao de equilıbrio sera∫ +∞
−∞xw(x) dx = A
∫ +∞
−∞xδ(x) dx + B
∫ +∞
−∞xδ(x− L) dx− w0L
∫ +∞
−∞xδ(x− L) dx−
∫ +∞
−∞[H(x)−H(x− 2L)]
w0x2
2Ldx
= 0 + BL− w0L2 − w0
2L
∫ +∞
−∞[H(x)−H(x− 2L)]︸ ︷︷ ︸
u
x2 dx︸ ︷︷ ︸dv
= 0 + BL− w0L2 − w0
2L
[x3
3[H(x)−H(x− 2L)]
]+∞
−∞︸ ︷︷ ︸=0
−∫ +∞
−∞
x3
3[δ(x)− δ(x− 2L)] dx
= 0 + BL− w0L
2 − 4w0L2
3
= 0 + BL− 7w0L2
3= 0
Resolvendo o sistema de equacoes,
A = −13w0L,
B =73w0L
Continue a solucao no verso =⇒
TT009 Matematica Aplicada IP11, 25 Jul 2003Prof. Nelson Luıs DiasNOME: ALUNO(A) PERFEITO(A) Assinatura:
ATENCAO: Leia atentamente todas as questoes, e comece pelas mais faceis para voce. Resolvaas questoes de forma limpa e organizada, nos espacos designados: o texto fora destes espacos naosera considerado na correcao. Boa prova.
1 [10,0] Obedecendo as definicoes,
f(k) ≡∫ ∞
−∞f(x)e−ikx dx,
f(x) ≡ 12π
∫ ∞
−∞f(k)eikx dk,
se f(x) = e−|x|, calcule f(k). Sugestao: ao calcular f(k), use o fato de que f(x) e par, e use a formula deEuler para separar a parte real da parte imaginaria de eikx; uma das integrais resultantes, entao, se anulara;prossiga, calculando a integral restante.SOLUCAO DA 1a Questao:
f(k) =∫ ∞
−∞e−|x|e−ikx dx
=∫ ∞
−∞e−|x| (cos kx− ik sen kx) dx
=∫ ∞
−∞e−|x| cos kx dx− i
∫ ∞
−∞e−|x| sen kx dx︸ ︷︷ ︸
=0
= 2∫ ∞
0
e−x cos kx dx.
Para calcular esta ultima integral, uso novamente a formula de Euler: note que
<∫ ∞
0
e−xeikx dx
=
∫ ∞
0
e−x cos kx dx
(< significa a parte real). A integral complexa e mais facil!∫ ∞
0
e−xeikx dx =∫ ∞
0
e(ik−1)x dx
=1
(ik − 1)
∫ ∞
0
e(ik−1)x(ik − 1) dx
=1
(ik − 1)e(ik−1)x
∣∣∣∣∞0
= − 1(ik − 1)
=1 + ik
1 + k2.
Como desejamos duas vezes a parte real,
f(k) =2
1 + k2.
ATENCAO: Muitos de voces tentaram integrar∫ +∞
−∞e−|x| cos kx dx
por partes. Mas isto e impossıvel, pois a funcao e−|x| nao e diferenciavel em x = 0 (desenhe seu grafico paraconfirmar isto). Portato, era imprescindıvel usar a simetria do integrando, passar para 2
∫∞0
, e, para 0 ≤ x ≤ ∞,usar e−|x| = e−x.
TT009 Matematica Aplicada IP12, 04 Ago 2003Prof. Nelson Luıs DiasNOME: ALUNO(A) PERFEITO(A) Assinatura:
ATENCAO: Leia atentamente todas as questoes, e comece pelas mais faceis para voce. Resolvaas questoes de forma limpa e organizada, nos espacos designados: o texto fora destes espacos naosera considerado na correcao. Boa prova.
1 [10,0] Usando, necessariamente, a transformada de Fourier definida por
f(ω) ≡∫ ∞
−∞f(t)e−iωt dt ↔ f(t) =
12π
∫ ∞
−∞f(ω)eiωt dω,
Resolva a equacaodf
dt+
1T
f = δ(t).
Use o seguinte fato:12π
∫ ∞
−∞
eiωt
ω − adω =
ieiat, t > 0,
0 t < 0.
SOLUCAO DA 1a Questao:A transformada de Fourier da equacao diferencial e
iωf +1T
f = 1,
f
(iω +
1T
)= 1,
f
(ω +
1iT
)=
1i,
f =1i
1ω − i
T
Portanto
f(t) =1i
12π
∫ ∞
−∞
1ω − i
T
eiωt dω
=1i
12π
∫ ∞
−∞
eiωt
ω − iT
dω
=1iiei i
T t = e−t/T .
Continue a solucao no verso =⇒
TT009 Matematica Aplicada IP13, 08 Ago 2003Prof. Nelson Luıs DiasNOME: ALUNO(A) PERFEITO(A) Assinatura:
ATENCAO: Leia atentamente todas as questoes, e comece pelas mais faceis para voce. Resolvaas questoes de forma limpa e organizada, nos espacos designados: o texto fora destes espacos naosera considerado na correcao. Boa prova.
1 [10,0] Se f(t), f(ω) sao um par transformada/transformada inversa de Fourier, e f e uma funcao par comf(0) ≥ f(t),∀t, uma forma de enunciar o princıpio da incerteza e:
T ≡[∫ +∞
−∞|f(t)| dt
]/f(0), Ω ≡
[∫ +∞
−∞f(ω) dω
]/fmax, ΩT ≥ 2π.
Considere o par transformada/transformada inversa de Fourier de funcoes gaussianas:
f(t) =1√π
e−( tσ )2
↔ f(ω) = σe−(ωσ2 )2
.
Use a formula bem conhecida∫ +∞−∞ e−u2
du =√
π para mostrar que, no caso das gaussianas acima, ΩT = 2π,ou seja: vale a igualdade. No sentido de reduzir a incerteza, portanto, as gaussianas sao uma escolha otima.Sugestao: as gaussianas sao sempre positivas, portanto esqueca-se do modulo nas definicoes acima; alem disto,tanto f quanto f tem seus maximos na origem.
SOLUCAO DA 1a Questao:
As integrais que aparecem nas definicoes de T e de Ω sao∫ +∞
−∞f(t) dt =
∫ +∞
−∞
1√π
e−(t/σ)2 dt
=σ√π
∫ +∞
−∞e−(t/σ)2 d(t/σ)
= σ;∫ +∞
−∞f(ω) dω =
2σ
∫ +∞
−∞σe−(ωσ/2)2 d(ωσ/2)
= 2√
π.
Portanto,
T =√
πσ,
Ω = 2√
π/σ,
ΩT = 2π
Continue a solucao no verso =⇒
TT009 Matematica Aplicada IP14, 15 Ago 2003Prof. Nelson Luıs DiasNOME: ALUNO(A) PERFEITO(A) Assinatura:
ATENCAO: Leia atentamente todas as questoes, e comece pelas mais faceis para voce. Resolvaas questoes de forma limpa e organizada, nos espacos designados: o texto fora destes espacos naosera considerado na correcao. Boa prova.
1 [10,0] Seja o problema∂2u
∂x2+
∂2u
∂y2= 0
Sujeito as condicoes de contorno
u(0, y) = 0, 0 < y < b,
u(a, y) = f(y) 0 < y < b,
u(x, 0) = u(x, b) = 0, 0 < x < a,
no domınio D retangular da figura.
a) [5,0] Faca u = X(x)Y (y); obtenha as equacoes diferenciais X ′′ − λX = 0 e Y ′′ + λY = 0. Resolva asequacoes diferenciais ordinarias e mostre que, a menos de uma constante multiplicativa, as solucoes temque ser X = senh(nπy/b) e Y = sen(nπx/b).
b) [5,0] Deduza que a solucao geral e u =∑∞
n=1 Qnsenh(nπx/b) sen(nπy/b), com
Qn =2
b senhnπab
∫ b
0
f(y) sennπy
bdy.
SOLUCAO DA 1a Questao:
Tente
u = X(x)Y (y) ⇒ ∂2u
∂x2= X ′′Y,
∂2u
∂y2= XY ′′;
entao,
X ′′Y + XY ′′ = 0 ⇒ X ′′
X= −Y ′′
Y= λ ⇒ X ′′ − λX = 0, Y ′′ + λY = 0.
Neste ponto, a maioria dos alunos supos λ > 0 sem justificar o fato; isto e um erro grave. E preciso chegar aesta conclusao com o auxılio das condicoes de contorno. De fato,
Y =
λ < 0 ⇒ c1e
√−λx + c2e
−√−λx,
λ = 0 ⇒ c3 + c4x,
λ > 0 ⇒ c5 cos(√
λx) + c6 sen(√
λx).
De u(x, 0) = u(x, b) = 0, tem-se Y (0) = Y (b) = 0; note que uma solucao nao-trivial somente e possıvel noultimo caso, donde:
c5 cos(0) + c6 sen(0) = 0 ⇒ c5 = 0,
c6 sen(√
λb) = 0 ⇒√
λb = nπ, n = 1, 2, 3, . . . , ⇒ λ =n2π2
b2.
Levando este valor de λ na equacao diferencial ordinaria para X,
X ′′ − n2π2
b2= 0 ⇒ X(x) = d1 cosh
nπx
b+ d2senh
nπx
b.
Esta forma e equivalente a soma de duas exponenciais, e mais conveniente neste caso. Se voce utilizasseexponenciais, seria levado necessariamente ao mesmo resultado. Da condicao de contorno X(0) = 0, deduzo qued1 = 0, de forma que os u’s que atendem automaticamente as condicoes de contorno homogeneas sao do tipo
u = c6d2senhnπx
bsen
nπx
b.
Tento portanto uma solucao em serie do tipo
u(x, y) =∞∑
n=1
Qnsenhnπx
bsen
nπx
b.
Para calcular os Qn’s, uso a ultima condicao de contorno que resta, e que e nao-homogenea:
u(a, y) =∞∑
n=1
Qnsenhnπa
bsen
nπx
b= f(y)
∫ b
0
∞∑n=1
Qnsenhnπa
bsen
nπx
bsen
mπy
bdy =
∫ b
0
f(y) senmπy
bdy
Uso agora o fato de que∫ b
0sennπx
b senmπyb dy = 0, quando n 6= m, para obter:
Qnsenhnπa
b
∫ b
0
sen2 nπx
bdy =
∫ b
0
f(y) sennπy
bdy.
A integral do seno ao quadrado precisa ser calculada:∫ b
0
sen2 nπx
bdy =
b
nπ
∫ nπ
0
sen2 nπy
bdnπy
b
=b
nπ
∫ nπ
0
sen2u du
=b
nπ
[12
∫ nπ
0
(1− cos 2u) du
]=
b
2.
Finalmente,
Qnsenhnπa
b
b
2=
∫ b
0
f(y) sennπy
bdy,
Qn =2
b senhnπab
∫ b
0
f(y) sennπy
bdy.
Continue a solucao no verso =⇒
TT009 Modelos Matemáticos em Engenharia Ambiental I
P1, 30 Abr 2003
Prof. Nelson Luís Dias
NOME: Assinatura:
IMPORTANTE: Leia atentamente todas as questões, e comece pelas mais fáceis para você. Re-solva as questões de forma limpa e organizada, nos espaços designados: o texto fora destesespaços não será considerado na correção. Boa prova.
1 [5,0] Seja E = e1, e2, e3 a base canônica em R3. Desejo construir uma base ortonormal dextrógira F =f1, f2, f3. Os vetores f1 e f2 são
f1 =1√3(1, 1, 1), (1)
f2 =1√6(2,−1,−1). (2)
a) [2,0] Mostre que
f3 =1√2(0, 1,−1). (3)
b) [3,0] Calcule a matriz de rotação [C] cujos elementos atendem a fj =∑
i Cijei.
SOLUÇÃO DA 1a Questão:
1a) é óbvia: f3 = f1 × f2.1b) é resolvida com Cij = (fj · ei), donde
[C] =
1/√
3 2/√
6 01/√
3 −1/√
6 1/√
21/√
3 −1/√
6 −1/√
2
.
Continue a solução no verso =⇒
2 [5,0] Calcule a área da superfície externa do parabolóide de revolução z = x2 + y2, x2 + y2 ≤ 1.SOLUÇÃO DA 2a Questão:
Com f(x, y) = x2 + y2, ∂f∂x = 2x, ∂f
∂y = 2y, e
S =∫∫
x2+y2≤1
√1 + 4x2 + 4y2 dydx
=∫ 2π
θ=0
∫ 1
r=0
√1 + 4r2 r drdθ
= π5√
5− 16
Continue a solução no verso =⇒
TT009 Modelos Matemáticos em Engenharia Ambiental I
P2, 09 Mai 2003
Prof. Nelson Luís Dias
NOME: Assinatura:
IMPORTANTE: Leia atentamente todas as questões, e comece pelas mais fáceis para você. Re-solva as questões de forma limpa e organizada, nos espaços designados: o texto fora destesespaços não será considerado na correção. Boa prova.
1 [5,0] Resolva a equação diferencial com a condição inicial a seguir:
dy
dx+ x2y = exp
(−x3
3
), y(0) = 1.
SOLUÇÃO DA 1a Questão:
Faça y = uv e obtenha
udv
dx+ v
du
dx+ x2uv = exp
(−x3
3
), (1)
u
[dv
dx+ x2v
]+ v
du
dx= exp
(−x3
3
); (2)
forçando o termo dentro dos colchetes a ser zero,
dv
v= −x2 dx (3)
ln |v| = −x3
3(4)
v = exp(−x3
3
). (5)
Levando de volta este resultado na equação diferencial,
du
dx= 1, (6)
u = x + C. (7)
A solução geral será y(x) = (x + C) exp(−x3
3 ); de y(0) = 1, C = 1 e, nalmente,
y(x) = (x + 1) exp(−x3
3). (8)
Continue a solução no verso =⇒
2 [5,0] Obtenha a solução geral de y′′ − 2y′ + y = exp(x)SOLUÇÃO DA 2a Questão:
A equação característica é λ2 − 2λ + 1 = 0, que possui raiz λ = 1 dupla. Uma solução da equaçãohomogênea, portanto, é y = C1 exp(x), onde C1 é uma constante. Para obter uma segunda solução LI, substituay = v(x) exp(x) na equação homogênea associada, obtendo
d2v
dx2exp(x) = 0, (9)
d2v
dx2= 0, (10)
v(x) = k1x + k2. (11)
Mas k2 simplesmente se incorporaria à primeira solução já obtida, de forma que a solução geral da equaçãohomogênea tem a forma yh(x) = C1 exp(x)+C2x exp(x). A busca da segunda solução LI da equação homogêneaassociada torna a obtenção da solução particular quase óbvia: tente de novo y = u(x) exp(x), mas agora substituana equação não-homogênea, obtendo
d2u
dx2exp(x) = exp(x), (12)
u(x) =x2
2. (13)
A solução particular desejada, portanto, é yp = x2
2 exp(x) e a solução geral da equação não-homogênea é
y(x) =[C1 + C2x +
x2
2
]exp(x). (14)
Continue a solução no verso =⇒
TT009 Modelos Matemáticos em Engenharia Ambiental I
P3, 16 Mai 2003
Prof. Nelson Luís Dias
NOME: Assinatura:
IMPORTANTE: Leia atentamente todas as questões, e comece pelas mais fáceis para você. Re-solva as questões de forma limpa e organizada, nos espaços designados: o texto fora destesespaços não será considerado na correção. Boa prova.
1 [10,0] Encontre a solução geral (isto é: encontre as séries de y1(x) e y2(x), onde y1 e y2 são duas soluçõeslinearmente independentes) de
y′′ + 5x3y = 0
pelo método de Frobenius.SOLUÇÃO DA 1a Questão:
Faça
y =∞∑
n=0
cnxn+s; (1)
derive termo a termo duas vezes e substitua na equação diferencial:
∞∑n=0
cn(n + s− 1)(n + s)xn+s−2 +∞∑
n=5
5cn−5xn+s−2 = 0. (2)
Isolando os 5 primeiros termos,
4∑n=0
cn(n + s− 1)(n + s)xn+s−2 +∞∑
n=5
[cn(n + s− 1)(n + s) + 5cn−5] = 0. (3)
Termo a termo, os 5 primeiros dão:
c0(s− 1)s = 0, (4)
c1s(s + 1) = 0, (5)
c2(s + 1)(s + 2) = 0, (6)
c3(s + 2)(s + 3) = 0, (7)
c4(s + 3)(s + 4) = 0. (8)
Então s = 0 ou s = 1 na equação em c0. Neste caso, as raízes da equação indicial diferem por um inteiro. Então,de acordo com Butkhov, s = 0 (a menor raiz) fornecerá a solução geral. Com s = 0, c0 e c1 são arbitrários (sãoas constantes da solução geral); c2 = c3 = c4 = 0 e a relação de recorrência é
cn = − 5cn−5
(n− 1)n. (9)
As duas soluções LI desejadas serão
y1 = 1− 14x5 +
172
x10 − 13024
x15 + . . . (10)
y2 = x− 16x6 +
1132
x11 − 16336
x16 + . . . (11)
Continue a solução no verso =⇒
TT009 Modelos Matemáticos em Engenharia Ambiental I
P4, 23 Mai 2003
Prof. Nelson Luís Dias
NOME: Assinatura:
IMPORTANTE: Leia atentamente todas as questões, e comece pelas mais fáceis para você. Re-solva as questões de forma limpa e organizada, nos espaços designados: o texto fora destesespaços não será considerado na correção. Boa prova.
1 [10,0] Encontre a solução geral da equação diferencial
2x2y′′ + 2xy′ + y = 0
na forma y = Ay1 + By2, onde y1 e y2 são duas soluções reais e linearmente independentes, e A e B sãoconstantes reais.SOLUÇÃO DA 1a Questão:
Esta é uma equação de Euler. Tente
y = xm, (1)
y′ = mxm−1, (2)
y′′ = m(m− 1)xm−2. (3)
Substituindo na equação diferencial,
(2m2 + 1)xm = 0 ⇒ m = ±√
22
i. (4)
As soluções portanto são do tipo
y = x±√
22 i = exp(±i
√2
2lnx), (5)
ou seja: há duas soluções LI complexas do tipo
yI = K1
[cos
(√2
2lnx
)+ i sen
(√2
2lnx
)], (6)
yII = K2
[cos
(√2
2lnx
)− i sen
(√2
2lnx
)]. (7)
Agora, escolha duas constantes complexas
K1 =A− iB
2, (8)
K2 =A + iB
2(9)
com A,B ∈ R e some yI e yII para obter, nalmente
y = A cos
(√2
2lnx
)+ B sen
(√2
2lnx
). (10)
Continue a solução no verso =⇒
TT009 Matematica Aplicada I P5, 23 Mai 2003Prof. Nelson Luıs DiasNOME: GABARITO
Assinatura:
ATENCAO: Leia atentamente todas as questoes, e comece pelas mais faceis para voce. Resolvaas questoes de forma limpa e organizada, nos espacos designados: o texto fora destes espacos naosera considerado na correcao. Boa prova.
1 [5,0] Usando a formula classica da serie de Taylor,
f(z) =∞∑
n=0
f (n)(a)n!
(z − a)n,
mostre que (Voce tem que deduzir) a serie de Taylor de f(z) = 1/(z + i) em torno de z = i e
1z + i
= − i
2+
z − i
4+
i(z − i)2
8− (z − i)3
16− i(z − i)4
32+ . . .
(basta chegar ate a quarta potencia).SOLUCAO DA 1a Questao:
f(z) =1
(z + i)⇒ f(i) =
−i
2, (1)
f (1)(z) =−1
(z + i)2⇒ f (1)(i) =
14, (2)
f (2)(z) =2
(z + i)3⇒ f (2)(i)
2!=
i
8, (3)
f (3)(z) =−6
(z + i)4⇒ f (3)(i)
3!=−116
, (4)
f (4)(z) =24
(z + i)5⇒ f (4)(i)
4!=−i
32. (5)
Observe que o sinal do termo em (z − i)3 no enunciado esta errado.
Continue a solucao no verso =⇒
2 [5,0] Agora, mesmo que voce nao tenha feito a 1a questao, use o seu resultado para mostrar rapidamenteque a serie de Laurent de
g(z) =1
z2 + 1em torno de z = i e
g(z) =−i
2(z − i)+
14
+i(z − i)
8− (z − i)2
16− i(z − i)3
32+ . . .
Sugestao: (z2 + 1) = (z − i)(z + i).SOLUCAO DA 2a Questao:
1z2 + 1
=1
(z − i)1
(z + i)(6)
=1
(z − i)
[− i
2+
z − i
4+
i(z − i)2
8− (z − i)3
16− i(z − i)4
32+ . . .
](7)
=−i
2(z − i)+
14
+i(z − i)
8− (z − i)2
16− i(z − i)3
32+ . . . (8)
Continue a solucao no verso =⇒
TT009 Modelos Matematicos em Engenharia Ambiental IP5, 23 Mai 2003Prof. Nelson Luıs DiasNOME: ALEXANDRE SUZUKI KEMMELMEIERAssinatura:
ATENCAO: Leia atentamente todas as questoes, e comece pelas maisfaceis para voce. Resolva as questoes de forma limpa e organizada,nos espacos designados: o texto fora destes espacos nao sera consi-derado na correcao. Boa prova.
1 [5,0] Usando a formula classica da serie de Taylor,
f(z) =∞∑
n=0
f (n)(a)
n!(z − a)n,
mostre que (Voce tem que deduzir) a serie de Taylor de f(z) = 1/(z + i) emtorno de z = i e
1
z + i= − i
2+
z − i
4+
i(z − i)2
8+
(z − i)3
16− i(z − i)4
32+ . . .
(basta chegar ate a quarta potencia).SOLUCAO DA 1a Questao:
Continue a solucao no verso =⇒
2 [5,0] Agora, mesmo que voce nao tenha feito a 1a questao, use o seu resultadopara mostrar rapidamente que a serie de Laurent de
g(z) =1
z2 + 1
em torno de z = i e
g(z) =−i
2(z − i)+
1
4+
i(z − i)
8− (z − i)2
16− i(z − i)3
32+ . . .
Sugestao: (z2 + 1) = (z − i)(z + i).SOLUCAO DA 2a Questao:
Continue a solucao no verso =⇒
TT009 Modelos Matematicos em Engenharia Ambiental IP5, 23 Mai 2003Prof. Nelson Luıs DiasNOME: ALEX CONSELVAN DE OLIVEIRAAssinatura:
ATENCAO: Leia atentamente todas as questoes, e comece pelas maisfaceis para voce. Resolva as questoes de forma limpa e organizada,nos espacos designados: o texto fora destes espacos nao sera consi-derado na correcao. Boa prova.
1 [5,0] Usando a formula classica da serie de Taylor,
f(z) =∞∑
n=0
f (n)(a)
n!(z − a)n,
mostre que (Voce tem que deduzir) a serie de Taylor de f(z) = 1/(z + i) emtorno de z = i e
1
z + i= − i
2+
z − i
4+
i(z − i)2
8+
(z − i)3
16− i(z − i)4
32+ . . .
(basta chegar ate a quarta potencia).SOLUCAO DA 1a Questao:
Continue a solucao no verso =⇒
2 [5,0] Agora, mesmo que voce nao tenha feito a 1a questao, use o seu resultadopara mostrar rapidamente que a serie de Laurent de
g(z) =1
z2 + 1
em torno de z = i e
g(z) =−i
2(z − i)+
1
4+
i(z − i)
8− (z − i)2
16− i(z − i)3
32+ . . .
Sugestao: (z2 + 1) = (z − i)(z + i).SOLUCAO DA 2a Questao:
Continue a solucao no verso =⇒
TT009 Modelos Matematicos em Engenharia Ambiental IP5, 23 Mai 2003Prof. Nelson Luıs DiasNOME: ALEXANDER C. HABITHAssinatura:
ATENCAO: Leia atentamente todas as questoes, e comece pelas maisfaceis para voce. Resolva as questoes de forma limpa e organizada,nos espacos designados: o texto fora destes espacos nao sera consi-derado na correcao. Boa prova.
1 [5,0] Usando a formula classica da serie de Taylor,
f(z) =∞∑
n=0
f (n)(a)
n!(z − a)n,
mostre que (Voce tem que deduzir) a serie de Taylor de f(z) = 1/(z + i) emtorno de z = i e
1
z + i= − i
2+
z − i
4+
i(z − i)2
8+
(z − i)3
16− i(z − i)4
32+ . . .
(basta chegar ate a quarta potencia).SOLUCAO DA 1a Questao:
Continue a solucao no verso =⇒
2 [5,0] Agora, mesmo que voce nao tenha feito a 1a questao, use o seu resultadopara mostrar rapidamente que a serie de Laurent de
g(z) =1
z2 + 1
em torno de z = i e
g(z) =−i
2(z − i)+
1
4+
i(z − i)
8− (z − i)2
16− i(z − i)3
32+ . . .
Sugestao: (z2 + 1) = (z − i)(z + i).SOLUCAO DA 2a Questao:
Continue a solucao no verso =⇒
TT009 Modelos Matematicos em Engenharia Ambiental IP5, 23 Mai 2003Prof. Nelson Luıs DiasNOME: ANDRESSA GUADAGNINAssinatura:
ATENCAO: Leia atentamente todas as questoes, e comece pelas maisfaceis para voce. Resolva as questoes de forma limpa e organizada,nos espacos designados: o texto fora destes espacos nao sera consi-derado na correcao. Boa prova.
1 [5,0] Usando a formula classica da serie de Taylor,
f(z) =∞∑
n=0
f (n)(a)
n!(z − a)n,
mostre que (Voce tem que deduzir) a serie de Taylor de f(z) = 1/(z + i) emtorno de z = i e
1
z + i= − i
2+
z − i
4+
i(z − i)2
8+
(z − i)3
16− i(z − i)4
32+ . . .
(basta chegar ate a quarta potencia).SOLUCAO DA 1a Questao:
Continue a solucao no verso =⇒
2 [5,0] Agora, mesmo que voce nao tenha feito a 1a questao, use o seu resultadopara mostrar rapidamente que a serie de Laurent de
g(z) =1
z2 + 1
em torno de z = i e
g(z) =−i
2(z − i)+
1
4+
i(z − i)
8− (z − i)2
16− i(z − i)3
32+ . . .
Sugestao: (z2 + 1) = (z − i)(z + i).SOLUCAO DA 2a Questao:
Continue a solucao no verso =⇒
TT009 Modelos Matematicos em Engenharia Ambiental IP5, 23 Mai 2003Prof. Nelson Luıs DiasNOME: ANTONIO ORIEL DA ROCHA JR.Assinatura:
ATENCAO: Leia atentamente todas as questoes, e comece pelas maisfaceis para voce. Resolva as questoes de forma limpa e organizada,nos espacos designados: o texto fora destes espacos nao sera consi-derado na correcao. Boa prova.
1 [5,0] Usando a formula classica da serie de Taylor,
f(z) =∞∑
n=0
f (n)(a)
n!(z − a)n,
mostre que (Voce tem que deduzir) a serie de Taylor de f(z) = 1/(z + i) emtorno de z = i e
1
z + i= − i
2+
z − i
4+
i(z − i)2
8+
(z − i)3
16− i(z − i)4
32+ . . .
(basta chegar ate a quarta potencia).SOLUCAO DA 1a Questao:
Continue a solucao no verso =⇒
2 [5,0] Agora, mesmo que voce nao tenha feito a 1a questao, use o seu resultadopara mostrar rapidamente que a serie de Laurent de
g(z) =1
z2 + 1
em torno de z = i e
g(z) =−i
2(z − i)+
1
4+
i(z − i)
8− (z − i)2
16− i(z − i)3
32+ . . .
Sugestao: (z2 + 1) = (z − i)(z + i).SOLUCAO DA 2a Questao:
Continue a solucao no verso =⇒
TT009 Modelos Matematicos em Engenharia Ambiental IP5, 23 Mai 2003Prof. Nelson Luıs DiasNOME: CAROLINE VALENTE BUHRERAssinatura:
ATENCAO: Leia atentamente todas as questoes, e comece pelas maisfaceis para voce. Resolva as questoes de forma limpa e organizada,nos espacos designados: o texto fora destes espacos nao sera consi-derado na correcao. Boa prova.
1 [5,0] Usando a formula classica da serie de Taylor,
f(z) =∞∑
n=0
f (n)(a)
n!(z − a)n,
mostre que (Voce tem que deduzir) a serie de Taylor de f(z) = 1/(z + i) emtorno de z = i e
1
z + i= − i
2+
z − i
4+
i(z − i)2
8+
(z − i)3
16− i(z − i)4
32+ . . .
(basta chegar ate a quarta potencia).SOLUCAO DA 1a Questao:
Continue a solucao no verso =⇒
2 [5,0] Agora, mesmo que voce nao tenha feito a 1a questao, use o seu resultadopara mostrar rapidamente que a serie de Laurent de
g(z) =1
z2 + 1
em torno de z = i e
g(z) =−i
2(z − i)+
1
4+
i(z − i)
8− (z − i)2
16− i(z − i)3
32+ . . .
Sugestao: (z2 + 1) = (z − i)(z + i).SOLUCAO DA 2a Questao:
Continue a solucao no verso =⇒
TT009 Modelos Matematicos em Engenharia Ambiental IP5, 23 Mai 2003Prof. Nelson Luıs DiasNOME: CLARISSA SEKULAAssinatura:
ATENCAO: Leia atentamente todas as questoes, e comece pelas maisfaceis para voce. Resolva as questoes de forma limpa e organizada,nos espacos designados: o texto fora destes espacos nao sera consi-derado na correcao. Boa prova.
1 [5,0] Usando a formula classica da serie de Taylor,
f(z) =∞∑
n=0
f (n)(a)
n!(z − a)n,
mostre que (Voce tem que deduzir) a serie de Taylor de f(z) = 1/(z + i) emtorno de z = i e
1
z + i= − i
2+
z − i
4+
i(z − i)2
8+
(z − i)3
16− i(z − i)4
32+ . . .
(basta chegar ate a quarta potencia).SOLUCAO DA 1a Questao:
Continue a solucao no verso =⇒
2 [5,0] Agora, mesmo que voce nao tenha feito a 1a questao, use o seu resultadopara mostrar rapidamente que a serie de Laurent de
g(z) =1
z2 + 1
em torno de z = i e
g(z) =−i
2(z − i)+
1
4+
i(z − i)
8− (z − i)2
16− i(z − i)3
32+ . . .
Sugestao: (z2 + 1) = (z − i)(z + i).SOLUCAO DA 2a Questao:
Continue a solucao no verso =⇒
TT009 Modelos Matematicos em Engenharia Ambiental IP5, 23 Mai 2003Prof. Nelson Luıs DiasNOME: CRISTIANE SCHAPPOAssinatura:
ATENCAO: Leia atentamente todas as questoes, e comece pelas maisfaceis para voce. Resolva as questoes de forma limpa e organizada,nos espacos designados: o texto fora destes espacos nao sera consi-derado na correcao. Boa prova.
1 [5,0] Usando a formula classica da serie de Taylor,
f(z) =∞∑
n=0
f (n)(a)
n!(z − a)n,
mostre que (Voce tem que deduzir) a serie de Taylor de f(z) = 1/(z + i) emtorno de z = i e
1
z + i= − i
2+
z − i
4+
i(z − i)2
8+
(z − i)3
16− i(z − i)4
32+ . . .
(basta chegar ate a quarta potencia).SOLUCAO DA 1a Questao:
Continue a solucao no verso =⇒
2 [5,0] Agora, mesmo que voce nao tenha feito a 1a questao, use o seu resultadopara mostrar rapidamente que a serie de Laurent de
g(z) =1
z2 + 1
em torno de z = i e
g(z) =−i
2(z − i)+
1
4+
i(z − i)
8− (z − i)2
16− i(z − i)3
32+ . . .
Sugestao: (z2 + 1) = (z − i)(z + i).SOLUCAO DA 2a Questao:
Continue a solucao no verso =⇒
TT009 Modelos Matematicos em Engenharia Ambiental IP5, 23 Mai 2003Prof. Nelson Luıs DiasNOME: CRISTINA OPPERMANNAssinatura:
ATENCAO: Leia atentamente todas as questoes, e comece pelas maisfaceis para voce. Resolva as questoes de forma limpa e organizada,nos espacos designados: o texto fora destes espacos nao sera consi-derado na correcao. Boa prova.
1 [5,0] Usando a formula classica da serie de Taylor,
f(z) =∞∑
n=0
f (n)(a)
n!(z − a)n,
mostre que (Voce tem que deduzir) a serie de Taylor de f(z) = 1/(z + i) emtorno de z = i e
1
z + i= − i
2+
z − i
4+
i(z − i)2
8+
(z − i)3
16− i(z − i)4
32+ . . .
(basta chegar ate a quarta potencia).SOLUCAO DA 1a Questao:
Continue a solucao no verso =⇒
2 [5,0] Agora, mesmo que voce nao tenha feito a 1a questao, use o seu resultadopara mostrar rapidamente que a serie de Laurent de
g(z) =1
z2 + 1
em torno de z = i e
g(z) =−i
2(z − i)+
1
4+
i(z − i)
8− (z − i)2
16− i(z − i)3
32+ . . .
Sugestao: (z2 + 1) = (z − i)(z + i).SOLUCAO DA 2a Questao:
Continue a solucao no verso =⇒
TT009 Modelos Matematicos em Engenharia Ambiental IP5, 23 Mai 2003Prof. Nelson Luıs DiasNOME: CESAR A. DA SILVAAssinatura:
ATENCAO: Leia atentamente todas as questoes, e comece pelas maisfaceis para voce. Resolva as questoes de forma limpa e organizada,nos espacos designados: o texto fora destes espacos nao sera consi-derado na correcao. Boa prova.
1 [5,0] Usando a formula classica da serie de Taylor,
f(z) =∞∑
n=0
f (n)(a)
n!(z − a)n,
mostre que (Voce tem que deduzir) a serie de Taylor de f(z) = 1/(z + i) emtorno de z = i e
1
z + i= − i
2+
z − i
4+
i(z − i)2
8+
(z − i)3
16− i(z − i)4
32+ . . .
(basta chegar ate a quarta potencia).SOLUCAO DA 1a Questao:
Continue a solucao no verso =⇒
2 [5,0] Agora, mesmo que voce nao tenha feito a 1a questao, use o seu resultadopara mostrar rapidamente que a serie de Laurent de
g(z) =1
z2 + 1
em torno de z = i e
g(z) =−i
2(z − i)+
1
4+
i(z − i)
8− (z − i)2
16− i(z − i)3
32+ . . .
Sugestao: (z2 + 1) = (z − i)(z + i).SOLUCAO DA 2a Questao:
Continue a solucao no verso =⇒
TT009 Modelos Matematicos em Engenharia Ambiental IP5, 23 Mai 2003Prof. Nelson Luıs DiasNOME: ELLEN CHRISTINE PRESTESAssinatura:
ATENCAO: Leia atentamente todas as questoes, e comece pelas maisfaceis para voce. Resolva as questoes de forma limpa e organizada,nos espacos designados: o texto fora destes espacos nao sera consi-derado na correcao. Boa prova.
1 [5,0] Usando a formula classica da serie de Taylor,
f(z) =∞∑
n=0
f (n)(a)
n!(z − a)n,
mostre que (Voce tem que deduzir) a serie de Taylor de f(z) = 1/(z + i) emtorno de z = i e
1
z + i= − i
2+
z − i
4+
i(z − i)2
8+
(z − i)3
16− i(z − i)4
32+ . . .
(basta chegar ate a quarta potencia).SOLUCAO DA 1a Questao:
Continue a solucao no verso =⇒
2 [5,0] Agora, mesmo que voce nao tenha feito a 1a questao, use o seu resultadopara mostrar rapidamente que a serie de Laurent de
g(z) =1
z2 + 1
em torno de z = i e
g(z) =−i
2(z − i)+
1
4+
i(z − i)
8− (z − i)2
16− i(z − i)3
32+ . . .
Sugestao: (z2 + 1) = (z − i)(z + i).SOLUCAO DA 2a Questao:
Continue a solucao no verso =⇒
TT009 Modelos Matematicos em Engenharia Ambiental IP5, 23 Mai 2003Prof. Nelson Luıs DiasNOME: GIANE R. GMACHAssinatura:
ATENCAO: Leia atentamente todas as questoes, e comece pelas maisfaceis para voce. Resolva as questoes de forma limpa e organizada,nos espacos designados: o texto fora destes espacos nao sera consi-derado na correcao. Boa prova.
1 [5,0] Usando a formula classica da serie de Taylor,
f(z) =∞∑
n=0
f (n)(a)
n!(z − a)n,
mostre que (Voce tem que deduzir) a serie de Taylor de f(z) = 1/(z + i) emtorno de z = i e
1
z + i= − i
2+
z − i
4+
i(z − i)2
8+
(z − i)3
16− i(z − i)4
32+ . . .
(basta chegar ate a quarta potencia).SOLUCAO DA 1a Questao:
Continue a solucao no verso =⇒
2 [5,0] Agora, mesmo que voce nao tenha feito a 1a questao, use o seu resultadopara mostrar rapidamente que a serie de Laurent de
g(z) =1
z2 + 1
em torno de z = i e
g(z) =−i
2(z − i)+
1
4+
i(z − i)
8− (z − i)2
16− i(z − i)3
32+ . . .
Sugestao: (z2 + 1) = (z − i)(z + i).SOLUCAO DA 2a Questao:
Continue a solucao no verso =⇒
TT009 Modelos Matematicos em Engenharia Ambiental IP5, 23 Mai 2003Prof. Nelson Luıs DiasNOME: GILBERTO MAZER KUBISAssinatura:
ATENCAO: Leia atentamente todas as questoes, e comece pelas maisfaceis para voce. Resolva as questoes de forma limpa e organizada,nos espacos designados: o texto fora destes espacos nao sera consi-derado na correcao. Boa prova.
1 [5,0] Usando a formula classica da serie de Taylor,
f(z) =∞∑
n=0
f (n)(a)
n!(z − a)n,
mostre que (Voce tem que deduzir) a serie de Taylor de f(z) = 1/(z + i) emtorno de z = i e
1
z + i= − i
2+
z − i
4+
i(z − i)2
8+
(z − i)3
16− i(z − i)4
32+ . . .
(basta chegar ate a quarta potencia).SOLUCAO DA 1a Questao:
Continue a solucao no verso =⇒
2 [5,0] Agora, mesmo que voce nao tenha feito a 1a questao, use o seu resultadopara mostrar rapidamente que a serie de Laurent de
g(z) =1
z2 + 1
em torno de z = i e
g(z) =−i
2(z − i)+
1
4+
i(z − i)
8− (z − i)2
16− i(z − i)3
32+ . . .
Sugestao: (z2 + 1) = (z − i)(z + i).SOLUCAO DA 2a Questao:
Continue a solucao no verso =⇒
TT009 Modelos Matematicos em Engenharia Ambiental IP5, 23 Mai 2003Prof. Nelson Luıs DiasNOME: GUILHERME WENDLER ALVESAssinatura:
ATENCAO: Leia atentamente todas as questoes, e comece pelas maisfaceis para voce. Resolva as questoes de forma limpa e organizada,nos espacos designados: o texto fora destes espacos nao sera consi-derado na correcao. Boa prova.
1 [5,0] Usando a formula classica da serie de Taylor,
f(z) =∞∑
n=0
f (n)(a)
n!(z − a)n,
mostre que (Voce tem que deduzir) a serie de Taylor de f(z) = 1/(z + i) emtorno de z = i e
1
z + i= − i
2+
z − i
4+
i(z − i)2
8+
(z − i)3
16− i(z − i)4
32+ . . .
(basta chegar ate a quarta potencia).SOLUCAO DA 1a Questao:
Continue a solucao no verso =⇒
2 [5,0] Agora, mesmo que voce nao tenha feito a 1a questao, use o seu resultadopara mostrar rapidamente que a serie de Laurent de
g(z) =1
z2 + 1
em torno de z = i e
g(z) =−i
2(z − i)+
1
4+
i(z − i)
8− (z − i)2
16− i(z − i)3
32+ . . .
Sugestao: (z2 + 1) = (z − i)(z + i).SOLUCAO DA 2a Questao:
Continue a solucao no verso =⇒
TT009 Modelos Matematicos em Engenharia Ambiental IP5, 23 Mai 2003Prof. Nelson Luıs DiasNOME: HELDER RAFAEL NOCKOAssinatura:
ATENCAO: Leia atentamente todas as questoes, e comece pelas maisfaceis para voce. Resolva as questoes de forma limpa e organizada,nos espacos designados: o texto fora destes espacos nao sera consi-derado na correcao. Boa prova.
1 [5,0] Usando a formula classica da serie de Taylor,
f(z) =∞∑
n=0
f (n)(a)
n!(z − a)n,
mostre que (Voce tem que deduzir) a serie de Taylor de f(z) = 1/(z + i) emtorno de z = i e
1
z + i= − i
2+
z − i
4+
i(z − i)2
8+
(z − i)3
16− i(z − i)4
32+ . . .
(basta chegar ate a quarta potencia).SOLUCAO DA 1a Questao:
Continue a solucao no verso =⇒
2 [5,0] Agora, mesmo que voce nao tenha feito a 1a questao, use o seu resultadopara mostrar rapidamente que a serie de Laurent de
g(z) =1
z2 + 1
em torno de z = i e
g(z) =−i
2(z − i)+
1
4+
i(z − i)
8− (z − i)2
16− i(z − i)3
32+ . . .
Sugestao: (z2 + 1) = (z − i)(z + i).SOLUCAO DA 2a Questao:
Continue a solucao no verso =⇒
TT009 Modelos Matematicos em Engenharia Ambiental IP5, 23 Mai 2003Prof. Nelson Luıs DiasNOME: JOAO PAULO CASTAGNOLIAssinatura:
ATENCAO: Leia atentamente todas as questoes, e comece pelas maisfaceis para voce. Resolva as questoes de forma limpa e organizada,nos espacos designados: o texto fora destes espacos nao sera consi-derado na correcao. Boa prova.
1 [5,0] Usando a formula classica da serie de Taylor,
f(z) =∞∑
n=0
f (n)(a)
n!(z − a)n,
mostre que (Voce tem que deduzir) a serie de Taylor de f(z) = 1/(z + i) emtorno de z = i e
1
z + i= − i
2+
z − i
4+
i(z − i)2
8+
(z − i)3
16− i(z − i)4
32+ . . .
(basta chegar ate a quarta potencia).SOLUCAO DA 1a Questao:
Continue a solucao no verso =⇒
2 [5,0] Agora, mesmo que voce nao tenha feito a 1a questao, use o seu resultadopara mostrar rapidamente que a serie de Laurent de
g(z) =1
z2 + 1
em torno de z = i e
g(z) =−i
2(z − i)+
1
4+
i(z − i)
8− (z − i)2
16− i(z − i)3
32+ . . .
Sugestao: (z2 + 1) = (z − i)(z + i).SOLUCAO DA 2a Questao:
Continue a solucao no verso =⇒
TT009 Modelos Matematicos em Engenharia Ambiental IP5, 23 Mai 2003Prof. Nelson Luıs DiasNOME: LEANDRO BERGMANN TAYTELBAUMAssinatura:
ATENCAO: Leia atentamente todas as questoes, e comece pelas maisfaceis para voce. Resolva as questoes de forma limpa e organizada,nos espacos designados: o texto fora destes espacos nao sera consi-derado na correcao. Boa prova.
1 [5,0] Usando a formula classica da serie de Taylor,
f(z) =∞∑
n=0
f (n)(a)
n!(z − a)n,
mostre que (Voce tem que deduzir) a serie de Taylor de f(z) = 1/(z + i) emtorno de z = i e
1
z + i= − i
2+
z − i
4+
i(z − i)2
8+
(z − i)3
16− i(z − i)4
32+ . . .
(basta chegar ate a quarta potencia).SOLUCAO DA 1a Questao:
Continue a solucao no verso =⇒
2 [5,0] Agora, mesmo que voce nao tenha feito a 1a questao, use o seu resultadopara mostrar rapidamente que a serie de Laurent de
g(z) =1
z2 + 1
em torno de z = i e
g(z) =−i
2(z − i)+
1
4+
i(z − i)
8− (z − i)2
16− i(z − i)3
32+ . . .
Sugestao: (z2 + 1) = (z − i)(z + i).SOLUCAO DA 2a Questao:
Continue a solucao no verso =⇒
TT009 Modelos Matematicos em Engenharia Ambiental IP5, 23 Mai 2003Prof. Nelson Luıs DiasNOME: MARCELO ANDRIONIAssinatura:
ATENCAO: Leia atentamente todas as questoes, e comece pelas maisfaceis para voce. Resolva as questoes de forma limpa e organizada,nos espacos designados: o texto fora destes espacos nao sera consi-derado na correcao. Boa prova.
1 [5,0] Usando a formula classica da serie de Taylor,
f(z) =∞∑
n=0
f (n)(a)
n!(z − a)n,
mostre que (Voce tem que deduzir) a serie de Taylor de f(z) = 1/(z + i) emtorno de z = i e
1
z + i= − i
2+
z − i
4+
i(z − i)2
8+
(z − i)3
16− i(z − i)4
32+ . . .
(basta chegar ate a quarta potencia).SOLUCAO DA 1a Questao:
Continue a solucao no verso =⇒
2 [5,0] Agora, mesmo que voce nao tenha feito a 1a questao, use o seu resultadopara mostrar rapidamente que a serie de Laurent de
g(z) =1
z2 + 1
em torno de z = i e
g(z) =−i
2(z − i)+
1
4+
i(z − i)
8− (z − i)2
16− i(z − i)3
32+ . . .
Sugestao: (z2 + 1) = (z − i)(z + i).SOLUCAO DA 2a Questao:
Continue a solucao no verso =⇒
TT009 Modelos Matematicos em Engenharia Ambiental IP5, 23 Mai 2003Prof. Nelson Luıs DiasNOME: MARIANNE SCHAEFER FRANCAAssinatura:
ATENCAO: Leia atentamente todas as questoes, e comece pelas maisfaceis para voce. Resolva as questoes de forma limpa e organizada,nos espacos designados: o texto fora destes espacos nao sera consi-derado na correcao. Boa prova.
1 [5,0] Usando a formula classica da serie de Taylor,
f(z) =∞∑
n=0
f (n)(a)
n!(z − a)n,
mostre que (Voce tem que deduzir) a serie de Taylor de f(z) = 1/(z + i) emtorno de z = i e
1
z + i= − i
2+
z − i
4+
i(z − i)2
8+
(z − i)3
16− i(z − i)4
32+ . . .
(basta chegar ate a quarta potencia).SOLUCAO DA 1a Questao:
Continue a solucao no verso =⇒
2 [5,0] Agora, mesmo que voce nao tenha feito a 1a questao, use o seu resultadopara mostrar rapidamente que a serie de Laurent de
g(z) =1
z2 + 1
em torno de z = i e
g(z) =−i
2(z − i)+
1
4+
i(z − i)
8− (z − i)2
16− i(z − i)3
32+ . . .
Sugestao: (z2 + 1) = (z − i)(z + i).SOLUCAO DA 2a Questao:
Continue a solucao no verso =⇒
TT009 Modelos Matematicos em Engenharia Ambiental IP5, 23 Mai 2003Prof. Nelson Luıs DiasNOME: MARTIN HOLDSCHMIDTAssinatura:
ATENCAO: Leia atentamente todas as questoes, e comece pelas maisfaceis para voce. Resolva as questoes de forma limpa e organizada,nos espacos designados: o texto fora destes espacos nao sera consi-derado na correcao. Boa prova.
1 [5,0] Usando a formula classica da serie de Taylor,
f(z) =∞∑
n=0
f (n)(a)
n!(z − a)n,
mostre que (Voce tem que deduzir) a serie de Taylor de f(z) = 1/(z + i) emtorno de z = i e
1
z + i= − i
2+
z − i
4+
i(z − i)2
8+
(z − i)3
16− i(z − i)4
32+ . . .
(basta chegar ate a quarta potencia).SOLUCAO DA 1a Questao:
Continue a solucao no verso =⇒
2 [5,0] Agora, mesmo que voce nao tenha feito a 1a questao, use o seu resultadopara mostrar rapidamente que a serie de Laurent de
g(z) =1
z2 + 1
em torno de z = i e
g(z) =−i
2(z − i)+
1
4+
i(z − i)
8− (z − i)2
16− i(z − i)3
32+ . . .
Sugestao: (z2 + 1) = (z − i)(z + i).SOLUCAO DA 2a Questao:
Continue a solucao no verso =⇒
TT009 Modelos Matematicos em Engenharia Ambiental IP5, 23 Mai 2003Prof. Nelson Luıs DiasNOME: NAYANA G. M. SILVAAssinatura:
ATENCAO: Leia atentamente todas as questoes, e comece pelas maisfaceis para voce. Resolva as questoes de forma limpa e organizada,nos espacos designados: o texto fora destes espacos nao sera consi-derado na correcao. Boa prova.
1 [5,0] Usando a formula classica da serie de Taylor,
f(z) =∞∑
n=0
f (n)(a)
n!(z − a)n,
mostre que (Voce tem que deduzir) a serie de Taylor de f(z) = 1/(z + i) emtorno de z = i e
1
z + i= − i
2+
z − i
4+
i(z − i)2
8+
(z − i)3
16− i(z − i)4
32+ . . .
(basta chegar ate a quarta potencia).SOLUCAO DA 1a Questao:
Continue a solucao no verso =⇒
2 [5,0] Agora, mesmo que voce nao tenha feito a 1a questao, use o seu resultadopara mostrar rapidamente que a serie de Laurent de
g(z) =1
z2 + 1
em torno de z = i e
g(z) =−i
2(z − i)+
1
4+
i(z − i)
8− (z − i)2
16− i(z − i)3
32+ . . .
Sugestao: (z2 + 1) = (z − i)(z + i).SOLUCAO DA 2a Questao:
Continue a solucao no verso =⇒
TT009 Modelos Matematicos em Engenharia Ambiental IP5, 23 Mai 2003Prof. Nelson Luıs DiasNOME: NILO AUGUSTO SANTOSAssinatura:
ATENCAO: Leia atentamente todas as questoes, e comece pelas maisfaceis para voce. Resolva as questoes de forma limpa e organizada,nos espacos designados: o texto fora destes espacos nao sera consi-derado na correcao. Boa prova.
1 [5,0] Usando a formula classica da serie de Taylor,
f(z) =∞∑
n=0
f (n)(a)
n!(z − a)n,
mostre que (Voce tem que deduzir) a serie de Taylor de f(z) = 1/(z + i) emtorno de z = i e
1
z + i= − i
2+
z − i
4+
i(z − i)2
8+
(z − i)3
16− i(z − i)4
32+ . . .
(basta chegar ate a quarta potencia).SOLUCAO DA 1a Questao:
Continue a solucao no verso =⇒
2 [5,0] Agora, mesmo que voce nao tenha feito a 1a questao, use o seu resultadopara mostrar rapidamente que a serie de Laurent de
g(z) =1
z2 + 1
em torno de z = i e
g(z) =−i
2(z − i)+
1
4+
i(z − i)
8− (z − i)2
16− i(z − i)3
32+ . . .
Sugestao: (z2 + 1) = (z − i)(z + i).SOLUCAO DA 2a Questao:
Continue a solucao no verso =⇒
TT009 Modelos Matematicos em Engenharia Ambiental IP5, 23 Mai 2003Prof. Nelson Luıs DiasNOME: OTHAVIO TONIASSO TAKEDAAssinatura:
ATENCAO: Leia atentamente todas as questoes, e comece pelas maisfaceis para voce. Resolva as questoes de forma limpa e organizada,nos espacos designados: o texto fora destes espacos nao sera consi-derado na correcao. Boa prova.
1 [5,0] Usando a formula classica da serie de Taylor,
f(z) =∞∑
n=0
f (n)(a)
n!(z − a)n,
mostre que (Voce tem que deduzir) a serie de Taylor de f(z) = 1/(z + i) emtorno de z = i e
1
z + i= − i
2+
z − i
4+
i(z − i)2
8+
(z − i)3
16− i(z − i)4
32+ . . .
(basta chegar ate a quarta potencia).SOLUCAO DA 1a Questao:
Continue a solucao no verso =⇒
2 [5,0] Agora, mesmo que voce nao tenha feito a 1a questao, use o seu resultadopara mostrar rapidamente que a serie de Laurent de
g(z) =1
z2 + 1
em torno de z = i e
g(z) =−i
2(z − i)+
1
4+
i(z − i)
8− (z − i)2
16− i(z − i)3
32+ . . .
Sugestao: (z2 + 1) = (z − i)(z + i).SOLUCAO DA 2a Questao:
Continue a solucao no verso =⇒
TT009 Modelos Matematicos em Engenharia Ambiental IP5, 23 Mai 2003Prof. Nelson Luıs DiasNOME: PALOMA GIOVANA FARIAAssinatura:
ATENCAO: Leia atentamente todas as questoes, e comece pelas maisfaceis para voce. Resolva as questoes de forma limpa e organizada,nos espacos designados: o texto fora destes espacos nao sera consi-derado na correcao. Boa prova.
1 [5,0] Usando a formula classica da serie de Taylor,
f(z) =∞∑
n=0
f (n)(a)
n!(z − a)n,
mostre que (Voce tem que deduzir) a serie de Taylor de f(z) = 1/(z + i) emtorno de z = i e
1
z + i= − i
2+
z − i
4+
i(z − i)2
8+
(z − i)3
16− i(z − i)4
32+ . . .
(basta chegar ate a quarta potencia).SOLUCAO DA 1a Questao:
Continue a solucao no verso =⇒
2 [5,0] Agora, mesmo que voce nao tenha feito a 1a questao, use o seu resultadopara mostrar rapidamente que a serie de Laurent de
g(z) =1
z2 + 1
em torno de z = i e
g(z) =−i
2(z − i)+
1
4+
i(z − i)
8− (z − i)2
16− i(z − i)3
32+ . . .
Sugestao: (z2 + 1) = (z − i)(z + i).SOLUCAO DA 2a Questao:
Continue a solucao no verso =⇒
TT009 Modelos Matematicos em Engenharia Ambiental IP5, 23 Mai 2003Prof. Nelson Luıs DiasNOME: PETTY CRISTINA CORREA FERREIRAAssinatura:
ATENCAO: Leia atentamente todas as questoes, e comece pelas maisfaceis para voce. Resolva as questoes de forma limpa e organizada,nos espacos designados: o texto fora destes espacos nao sera consi-derado na correcao. Boa prova.
1 [5,0] Usando a formula classica da serie de Taylor,
f(z) =∞∑
n=0
f (n)(a)
n!(z − a)n,
mostre que (Voce tem que deduzir) a serie de Taylor de f(z) = 1/(z + i) emtorno de z = i e
1
z + i= − i
2+
z − i
4+
i(z − i)2
8+
(z − i)3
16− i(z − i)4
32+ . . .
(basta chegar ate a quarta potencia).SOLUCAO DA 1a Questao:
Continue a solucao no verso =⇒
2 [5,0] Agora, mesmo que voce nao tenha feito a 1a questao, use o seu resultadopara mostrar rapidamente que a serie de Laurent de
g(z) =1
z2 + 1
em torno de z = i e
g(z) =−i
2(z − i)+
1
4+
i(z − i)
8− (z − i)2
16− i(z − i)3
32+ . . .
Sugestao: (z2 + 1) = (z − i)(z + i).SOLUCAO DA 2a Questao:
Continue a solucao no verso =⇒
TT009 Modelos Matematicos em Engenharia Ambiental IP5, 23 Mai 2003Prof. Nelson Luıs DiasNOME: PRISCILA KARINA ALTVATERAssinatura:
ATENCAO: Leia atentamente todas as questoes, e comece pelas maisfaceis para voce. Resolva as questoes de forma limpa e organizada,nos espacos designados: o texto fora destes espacos nao sera consi-derado na correcao. Boa prova.
1 [5,0] Usando a formula classica da serie de Taylor,
f(z) =∞∑
n=0
f (n)(a)
n!(z − a)n,
mostre que (Voce tem que deduzir) a serie de Taylor de f(z) = 1/(z + i) emtorno de z = i e
1
z + i= − i
2+
z − i
4+
i(z − i)2
8+
(z − i)3
16− i(z − i)4
32+ . . .
(basta chegar ate a quarta potencia).SOLUCAO DA 1a Questao:
Continue a solucao no verso =⇒
2 [5,0] Agora, mesmo que voce nao tenha feito a 1a questao, use o seu resultadopara mostrar rapidamente que a serie de Laurent de
g(z) =1
z2 + 1
em torno de z = i e
g(z) =−i
2(z − i)+
1
4+
i(z − i)
8− (z − i)2
16− i(z − i)3
32+ . . .
Sugestao: (z2 + 1) = (z − i)(z + i).SOLUCAO DA 2a Questao:
Continue a solucao no verso =⇒
TT009 Modelos Matematicos em Engenharia Ambiental IP5, 23 Mai 2003Prof. Nelson Luıs DiasNOME: RAFAEL CABRAL GONCALVESAssinatura:
ATENCAO: Leia atentamente todas as questoes, e comece pelas maisfaceis para voce. Resolva as questoes de forma limpa e organizada,nos espacos designados: o texto fora destes espacos nao sera consi-derado na correcao. Boa prova.
1 [5,0] Usando a formula classica da serie de Taylor,
f(z) =∞∑
n=0
f (n)(a)
n!(z − a)n,
mostre que (Voce tem que deduzir) a serie de Taylor de f(z) = 1/(z + i) emtorno de z = i e
1
z + i= − i
2+
z − i
4+
i(z − i)2
8+
(z − i)3
16− i(z − i)4
32+ . . .
(basta chegar ate a quarta potencia).SOLUCAO DA 1a Questao:
Continue a solucao no verso =⇒
2 [5,0] Agora, mesmo que voce nao tenha feito a 1a questao, use o seu resultadopara mostrar rapidamente que a serie de Laurent de
g(z) =1
z2 + 1
em torno de z = i e
g(z) =−i
2(z − i)+
1
4+
i(z − i)
8− (z − i)2
16− i(z − i)3
32+ . . .
Sugestao: (z2 + 1) = (z − i)(z + i).SOLUCAO DA 2a Questao:
Continue a solucao no verso =⇒
TT009 Modelos Matematicos em Engenharia Ambiental IP5, 23 Mai 2003Prof. Nelson Luıs DiasNOME: RICARDO FURLANAssinatura:
ATENCAO: Leia atentamente todas as questoes, e comece pelas maisfaceis para voce. Resolva as questoes de forma limpa e organizada,nos espacos designados: o texto fora destes espacos nao sera consi-derado na correcao. Boa prova.
1 [5,0] Usando a formula classica da serie de Taylor,
f(z) =∞∑
n=0
f (n)(a)
n!(z − a)n,
mostre que (Voce tem que deduzir) a serie de Taylor de f(z) = 1/(z + i) emtorno de z = i e
1
z + i= − i
2+
z − i
4+
i(z − i)2
8+
(z − i)3
16− i(z − i)4
32+ . . .
(basta chegar ate a quarta potencia).SOLUCAO DA 1a Questao:
Continue a solucao no verso =⇒
2 [5,0] Agora, mesmo que voce nao tenha feito a 1a questao, use o seu resultadopara mostrar rapidamente que a serie de Laurent de
g(z) =1
z2 + 1
em torno de z = i e
g(z) =−i
2(z − i)+
1
4+
i(z − i)
8− (z − i)2
16− i(z − i)3
32+ . . .
Sugestao: (z2 + 1) = (z − i)(z + i).SOLUCAO DA 2a Questao:
Continue a solucao no verso =⇒
TT009 Modelos Matematicos em Engenharia Ambiental IP5, 23 Mai 2003Prof. Nelson Luıs DiasNOME: RODRIGO REKSIDLERAssinatura:
ATENCAO: Leia atentamente todas as questoes, e comece pelas maisfaceis para voce. Resolva as questoes de forma limpa e organizada,nos espacos designados: o texto fora destes espacos nao sera consi-derado na correcao. Boa prova.
1 [5,0] Usando a formula classica da serie de Taylor,
f(z) =∞∑
n=0
f (n)(a)
n!(z − a)n,
mostre que (Voce tem que deduzir) a serie de Taylor de f(z) = 1/(z + i) emtorno de z = i e
1
z + i= − i
2+
z − i
4+
i(z − i)2
8+
(z − i)3
16− i(z − i)4
32+ . . .
(basta chegar ate a quarta potencia).SOLUCAO DA 1a Questao:
Continue a solucao no verso =⇒
2 [5,0] Agora, mesmo que voce nao tenha feito a 1a questao, use o seu resultadopara mostrar rapidamente que a serie de Laurent de
g(z) =1
z2 + 1
em torno de z = i e
g(z) =−i
2(z − i)+
1
4+
i(z − i)
8− (z − i)2
16− i(z − i)3
32+ . . .
Sugestao: (z2 + 1) = (z − i)(z + i).SOLUCAO DA 2a Questao:
Continue a solucao no verso =⇒
TT009 Modelos Matematicos em Engenharia Ambiental IP5, 23 Mai 2003Prof. Nelson Luıs DiasNOME: THAIS CRISTINA CAMPOS DE ABREUAssinatura:
ATENCAO: Leia atentamente todas as questoes, e comece pelas maisfaceis para voce. Resolva as questoes de forma limpa e organizada,nos espacos designados: o texto fora destes espacos nao sera consi-derado na correcao. Boa prova.
1 [5,0] Usando a formula classica da serie de Taylor,
f(z) =∞∑
n=0
f (n)(a)
n!(z − a)n,
mostre que (Voce tem que deduzir) a serie de Taylor de f(z) = 1/(z + i) emtorno de z = i e
1
z + i= − i
2+
z − i
4+
i(z − i)2
8+
(z − i)3
16− i(z − i)4
32+ . . .
(basta chegar ate a quarta potencia).SOLUCAO DA 1a Questao:
Continue a solucao no verso =⇒
2 [5,0] Agora, mesmo que voce nao tenha feito a 1a questao, use o seu resultadopara mostrar rapidamente que a serie de Laurent de
g(z) =1
z2 + 1
em torno de z = i e
g(z) =−i
2(z − i)+
1
4+
i(z − i)
8− (z − i)2
16− i(z − i)3
32+ . . .
Sugestao: (z2 + 1) = (z − i)(z + i).SOLUCAO DA 2a Questao:
Continue a solucao no verso =⇒
TT009 Modelos Matematicos em Engenharia Ambiental IP5, 23 Mai 2003Prof. Nelson Luıs DiasNOME: WAGNER AKIHITO HIGASHIYAMAAssinatura:
ATENCAO: Leia atentamente todas as questoes, e comece pelas maisfaceis para voce. Resolva as questoes de forma limpa e organizada,nos espacos designados: o texto fora destes espacos nao sera consi-derado na correcao. Boa prova.
1 [5,0] Usando a formula classica da serie de Taylor,
f(z) =∞∑
n=0
f (n)(a)
n!(z − a)n,
mostre que (Voce tem que deduzir) a serie de Taylor de f(z) = 1/(z + i) emtorno de z = i e
1
z + i= − i
2+
z − i
4+
i(z − i)2
8+
(z − i)3
16− i(z − i)4
32+ . . .
(basta chegar ate a quarta potencia).SOLUCAO DA 1a Questao:
Continue a solucao no verso =⇒
2 [5,0] Agora, mesmo que voce nao tenha feito a 1a questao, use o seu resultadopara mostrar rapidamente que a serie de Laurent de
g(z) =1
z2 + 1
em torno de z = i e
g(z) =−i
2(z − i)+
1
4+
i(z − i)
8− (z − i)2
16− i(z − i)3
32+ . . .
Sugestao: (z2 + 1) = (z − i)(z + i).SOLUCAO DA 2a Questao:
Continue a solucao no verso =⇒
TT009 Matematica Aplicada IP7, 13 Jun 2003Prof. Nelson Luıs DiasNOME: ALEXANDRE SUZUKI KEMMELMEIER Assinatura:
ATENCAO: Leia atentamente todas as questoes, e comece pelas mais faceis para voce. Resolva
as questoes de forma limpa e organizada, nos espacos designados: o texto fora destes espacos nao
sera considerado na correcao. Boa prova.
1 [10,0] A funcao
f(s) =est
s2 + ω2
possui dois polos simples em a = ±iω. O calculo dos resıduos (isto e: dos coeficientes c−1 das series de Laurent)no caso de polos simples e dado por
c−1 = lims→a
(s − a)f(s).
Sabendo que, para t > 0,
limR→∞
∫
ABCD
f(s) ds = 0,
use integracao sobre o contorno
ABCDA mostrado na figura juntamente com o teorema dos resıduos paracalcular a integral
1
2πi
∫ γ+i∞
γ−i∞
f(s) ds
para t > 0. Nao ha necessidade de integrar por partes!
x
y
γ
R
C
BA
D
−iω
+iω
SOLUCAO DA 1a Questao:
Em s = ±ω:1
s2 + ω2=
1
(s − iω)(s + iω). (1)
Como os polos sao de ordem 1:
c−1(−iω) = lims→(−iω)
(s + iω)e−iωt
(s − iω)(s + iω)=
e−iωt
−2ωi, (2)
c−1(+iω) = lims→(iω)
(s − iω)eiωt
(s − iω)(s + iω)=
eiωt
2ωi. (3)
Pelo Teorema dos Resıduos, no limite quando R → ∞:
1
2πi
∫
ABCDA
f(s) ds =1
2πi
∫
DA
f(s) ds (4)
=1
2πi2πi [c−1(−iω) + c−1(iω)] (5)
=1
2ωi
[
eiωt− e−iωt
]
(6)
=1
ωsen ωt. (7)
Continue a solucao no verso =⇒
TT009 Matematica Aplicada IP7, 13 Jun 2003Prof. Nelson Luıs DiasNOME: ALEX CONSELVAN DE OLIVEIRA Assinatura:
ATENCAO: Leia atentamente todas as questoes, e comece pelas mais faceis para voce. Resolva
as questoes de forma limpa e organizada, nos espacos designados: o texto fora destes espacos nao
sera considerado na correcao. Boa prova.
1 [10,0] A funcao
f(s) =est
s2 + ω2
possui dois polos simples em a = ±iω. O calculo dos resıduos (isto e: dos coeficientes c−1 das series de Laurent)no caso de polos simples e dado por
c−1 = lims→a
(s − a)f(s).
Sabendo que, para t > 0,
limR→∞
∫
ABCD
f(s) ds = 0,
use integracao sobre o contorno
ABCDA mostrado na figura juntamente com o teorema dos resıduos paracalcular a integral
1
2πi
∫ γ+i∞
γ−i∞
f(s) ds
para t > 0. Nao ha necessidade de integrar por partes!
x
y
γ
R
C
BA
D
−iω
+iω
SOLUCAO DA 1a Questao:
Em s = ±ω:1
s2 + ω2=
1
(s − iω)(s + iω). (8)
Como os polos sao de ordem 1:
c−1(−iω) = lims→(−iω)
(s + iω)e−iωt
(s − iω)(s + iω)=
e−iωt
−2ωi, (9)
c−1(+iω) = lims→(iω)
(s − iω)eiωt
(s − iω)(s + iω)=
eiωt
2ωi. (10)
Pelo Teorema dos Resıduos, no limite quando R → ∞:
1
2πi
∫
ABCDA
f(s) ds =1
2πi
∫
DA
f(s) ds (11)
=1
2πi2πi [c−1(−iω) + c−1(iω)] (12)
=1
2ωi
[
eiωt− e−iωt
]
(13)
=1
ωsen ωt. (14)
Continue a solucao no verso =⇒
TT009 Matematica Aplicada IP7, 13 Jun 2003Prof. Nelson Luıs DiasNOME: ALEXANDER C. HABITH Assinatura:
ATENCAO: Leia atentamente todas as questoes, e comece pelas mais faceis para voce. Resolva
as questoes de forma limpa e organizada, nos espacos designados: o texto fora destes espacos nao
sera considerado na correcao. Boa prova.
1 [10,0] A funcao
f(s) =est
s2 + ω2
possui dois polos simples em a = ±iω. O calculo dos resıduos (isto e: dos coeficientes c−1 das series de Laurent)no caso de polos simples e dado por
c−1 = lims→a
(s − a)f(s).
Sabendo que, para t > 0,
limR→∞
∫
ABCD
f(s) ds = 0,
use integracao sobre o contorno
ABCDA mostrado na figura juntamente com o teorema dos resıduos paracalcular a integral
1
2πi
∫ γ+i∞
γ−i∞
f(s) ds
para t > 0. Nao ha necessidade de integrar por partes!
x
y
γ
R
C
BA
D
−iω
+iω
SOLUCAO DA 1a Questao:
Em s = ±ω:1
s2 + ω2=
1
(s − iω)(s + iω). (15)
Como os polos sao de ordem 1:
c−1(−iω) = lims→(−iω)
(s + iω)e−iωt
(s − iω)(s + iω)=
e−iωt
−2ωi, (16)
c−1(+iω) = lims→(iω)
(s − iω)eiωt
(s − iω)(s + iω)=
eiωt
2ωi. (17)
Pelo Teorema dos Resıduos, no limite quando R → ∞:
1
2πi
∫
ABCDA
f(s) ds =1
2πi
∫
DA
f(s) ds (18)
=1
2πi2πi [c−1(−iω) + c−1(iω)] (19)
=1
2ωi
[
eiωt− e−iωt
]
(20)
=1
ωsen ωt. (21)
Continue a solucao no verso =⇒
TT009 Matematica Aplicada IP7, 13 Jun 2003Prof. Nelson Luıs DiasNOME: ANDRESSA GUADAGNIN Assinatura:
ATENCAO: Leia atentamente todas as questoes, e comece pelas mais faceis para voce. Resolva
as questoes de forma limpa e organizada, nos espacos designados: o texto fora destes espacos nao
sera considerado na correcao. Boa prova.
1 [10,0] A funcao
f(s) =est
s2 + ω2
possui dois polos simples em a = ±iω. O calculo dos resıduos (isto e: dos coeficientes c−1 das series de Laurent)no caso de polos simples e dado por
c−1 = lims→a
(s − a)f(s).
Sabendo que, para t > 0,
limR→∞
∫
ABCD
f(s) ds = 0,
use integracao sobre o contorno
ABCDA mostrado na figura juntamente com o teorema dos resıduos paracalcular a integral
1
2πi
∫ γ+i∞
γ−i∞
f(s) ds
para t > 0. Nao ha necessidade de integrar por partes!
x
y
γ
R
C
BA
D
−iω
+iω
SOLUCAO DA 1a Questao:
Em s = ±ω:1
s2 + ω2=
1
(s − iω)(s + iω). (22)
Como os polos sao de ordem 1:
c−1(−iω) = lims→(−iω)
(s + iω)e−iωt
(s − iω)(s + iω)=
e−iωt
−2ωi, (23)
c−1(+iω) = lims→(iω)
(s − iω)eiωt
(s − iω)(s + iω)=
eiωt
2ωi. (24)
Pelo Teorema dos Resıduos, no limite quando R → ∞:
1
2πi
∫
ABCDA
f(s) ds =1
2πi
∫
DA
f(s) ds (25)
=1
2πi2πi [c−1(−iω) + c−1(iω)] (26)
=1
2ωi
[
eiωt− e−iωt
]
(27)
=1
ωsen ωt. (28)
Continue a solucao no verso =⇒
TT009 Matematica Aplicada IP7, 13 Jun 2003Prof. Nelson Luıs DiasNOME: ANTONIO ORIEL DA ROCHA JR. Assinatura:
ATENCAO: Leia atentamente todas as questoes, e comece pelas mais faceis para voce. Resolva
as questoes de forma limpa e organizada, nos espacos designados: o texto fora destes espacos nao
sera considerado na correcao. Boa prova.
1 [10,0] A funcao
f(s) =est
s2 + ω2
possui dois polos simples em a = ±iω. O calculo dos resıduos (isto e: dos coeficientes c−1 das series de Laurent)no caso de polos simples e dado por
c−1 = lims→a
(s − a)f(s).
Sabendo que, para t > 0,
limR→∞
∫
ABCD
f(s) ds = 0,
use integracao sobre o contorno
ABCDA mostrado na figura juntamente com o teorema dos resıduos paracalcular a integral
1
2πi
∫ γ+i∞
γ−i∞
f(s) ds
para t > 0. Nao ha necessidade de integrar por partes!
x
y
γ
R
C
BA
D
−iω
+iω
SOLUCAO DA 1a Questao:
Em s = ±ω:1
s2 + ω2=
1
(s − iω)(s + iω). (29)
Como os polos sao de ordem 1:
c−1(−iω) = lims→(−iω)
(s + iω)e−iωt
(s − iω)(s + iω)=
e−iωt
−2ωi, (30)
c−1(+iω) = lims→(iω)
(s − iω)eiωt
(s − iω)(s + iω)=
eiωt
2ωi. (31)
Pelo Teorema dos Resıduos, no limite quando R → ∞:
1
2πi
∫
ABCDA
f(s) ds =1
2πi
∫
DA
f(s) ds (32)
=1
2πi2πi [c−1(−iω) + c−1(iω)] (33)
=1
2ωi
[
eiωt− e−iωt
]
(34)
=1
ωsen ωt. (35)
Continue a solucao no verso =⇒
TT009 Matematica Aplicada IP7, 13 Jun 2003Prof. Nelson Luıs DiasNOME: CAROLINE VALENTE BUHRER Assinatura:
ATENCAO: Leia atentamente todas as questoes, e comece pelas mais faceis para voce. Resolva
as questoes de forma limpa e organizada, nos espacos designados: o texto fora destes espacos nao
sera considerado na correcao. Boa prova.
1 [10,0] A funcao
f(s) =est
s2 + ω2
possui dois polos simples em a = ±iω. O calculo dos resıduos (isto e: dos coeficientes c−1 das series de Laurent)no caso de polos simples e dado por
c−1 = lims→a
(s − a)f(s).
Sabendo que, para t > 0,
limR→∞
∫
ABCD
f(s) ds = 0,
use integracao sobre o contorno
ABCDA mostrado na figura juntamente com o teorema dos resıduos paracalcular a integral
1
2πi
∫ γ+i∞
γ−i∞
f(s) ds
para t > 0. Nao ha necessidade de integrar por partes!
x
y
γ
R
C
BA
D
−iω
+iω
SOLUCAO DA 1a Questao:
Em s = ±ω:1
s2 + ω2=
1
(s − iω)(s + iω). (36)
Como os polos sao de ordem 1:
c−1(−iω) = lims→(−iω)
(s + iω)e−iωt
(s − iω)(s + iω)=
e−iωt
−2ωi, (37)
c−1(+iω) = lims→(iω)
(s − iω)eiωt
(s − iω)(s + iω)=
eiωt
2ωi. (38)
Pelo Teorema dos Resıduos, no limite quando R → ∞:
1
2πi
∫
ABCDA
f(s) ds =1
2πi
∫
DA
f(s) ds (39)
=1
2πi2πi [c−1(−iω) + c−1(iω)] (40)
=1
2ωi
[
eiωt− e−iωt
]
(41)
=1
ωsen ωt. (42)
Continue a solucao no verso =⇒
TT009 Matematica Aplicada IP7, 13 Jun 2003Prof. Nelson Luıs DiasNOME: CLARISSA SEKULA Assinatura:
ATENCAO: Leia atentamente todas as questoes, e comece pelas mais faceis para voce. Resolva
as questoes de forma limpa e organizada, nos espacos designados: o texto fora destes espacos nao
sera considerado na correcao. Boa prova.
1 [10,0] A funcao
f(s) =est
s2 + ω2
possui dois polos simples em a = ±iω. O calculo dos resıduos (isto e: dos coeficientes c−1 das series de Laurent)no caso de polos simples e dado por
c−1 = lims→a
(s − a)f(s).
Sabendo que, para t > 0,
limR→∞
∫
ABCD
f(s) ds = 0,
use integracao sobre o contorno
ABCDA mostrado na figura juntamente com o teorema dos resıduos paracalcular a integral
1
2πi
∫ γ+i∞
γ−i∞
f(s) ds
para t > 0. Nao ha necessidade de integrar por partes!
x
y
γ
R
C
BA
D
−iω
+iω
SOLUCAO DA 1a Questao:
Em s = ±ω:1
s2 + ω2=
1
(s − iω)(s + iω). (43)
Como os polos sao de ordem 1:
c−1(−iω) = lims→(−iω)
(s + iω)e−iωt
(s − iω)(s + iω)=
e−iωt
−2ωi, (44)
c−1(+iω) = lims→(iω)
(s − iω)eiωt
(s − iω)(s + iω)=
eiωt
2ωi. (45)
Pelo Teorema dos Resıduos, no limite quando R → ∞:
1
2πi
∫
ABCDA
f(s) ds =1
2πi
∫
DA
f(s) ds (46)
=1
2πi2πi [c−1(−iω) + c−1(iω)] (47)
=1
2ωi
[
eiωt− e−iωt
]
(48)
=1
ωsen ωt. (49)
Continue a solucao no verso =⇒
TT009 Matematica Aplicada IP7, 13 Jun 2003Prof. Nelson Luıs DiasNOME: CRISTIANE SCHAPPO Assinatura:
ATENCAO: Leia atentamente todas as questoes, e comece pelas mais faceis para voce. Resolva
as questoes de forma limpa e organizada, nos espacos designados: o texto fora destes espacos nao
sera considerado na correcao. Boa prova.
1 [10,0] A funcao
f(s) =est
s2 + ω2
possui dois polos simples em a = ±iω. O calculo dos resıduos (isto e: dos coeficientes c−1 das series de Laurent)no caso de polos simples e dado por
c−1 = lims→a
(s − a)f(s).
Sabendo que, para t > 0,
limR→∞
∫
ABCD
f(s) ds = 0,
use integracao sobre o contorno
ABCDA mostrado na figura juntamente com o teorema dos resıduos paracalcular a integral
1
2πi
∫ γ+i∞
γ−i∞
f(s) ds
para t > 0. Nao ha necessidade de integrar por partes!
x
y
γ
R
C
BA
D
−iω
+iω
SOLUCAO DA 1a Questao:
Em s = ±ω:1
s2 + ω2=
1
(s − iω)(s + iω). (50)
Como os polos sao de ordem 1:
c−1(−iω) = lims→(−iω)
(s + iω)e−iωt
(s − iω)(s + iω)=
e−iωt
−2ωi, (51)
c−1(+iω) = lims→(iω)
(s − iω)eiωt
(s − iω)(s + iω)=
eiωt
2ωi. (52)
Pelo Teorema dos Resıduos, no limite quando R → ∞:
1
2πi
∫
ABCDA
f(s) ds =1
2πi
∫
DA
f(s) ds (53)
=1
2πi2πi [c−1(−iω) + c−1(iω)] (54)
=1
2ωi
[
eiωt− e−iωt
]
(55)
=1
ωsen ωt. (56)
Continue a solucao no verso =⇒
TT009 Matematica Aplicada IP7, 13 Jun 2003Prof. Nelson Luıs DiasNOME: CRISTINA OPPERMANN Assinatura:
ATENCAO: Leia atentamente todas as questoes, e comece pelas mais faceis para voce. Resolva
as questoes de forma limpa e organizada, nos espacos designados: o texto fora destes espacos nao
sera considerado na correcao. Boa prova.
1 [10,0] A funcao
f(s) =est
s2 + ω2
possui dois polos simples em a = ±iω. O calculo dos resıduos (isto e: dos coeficientes c−1 das series de Laurent)no caso de polos simples e dado por
c−1 = lims→a
(s − a)f(s).
Sabendo que, para t > 0,
limR→∞
∫
ABCD
f(s) ds = 0,
use integracao sobre o contorno
ABCDA mostrado na figura juntamente com o teorema dos resıduos paracalcular a integral
1
2πi
∫ γ+i∞
γ−i∞
f(s) ds
para t > 0. Nao ha necessidade de integrar por partes!
x
y
γ
R
C
BA
D
−iω
+iω
SOLUCAO DA 1a Questao:
Em s = ±ω:1
s2 + ω2=
1
(s − iω)(s + iω). (57)
Como os polos sao de ordem 1:
c−1(−iω) = lims→(−iω)
(s + iω)e−iωt
(s − iω)(s + iω)=
e−iωt
−2ωi, (58)
c−1(+iω) = lims→(iω)
(s − iω)eiωt
(s − iω)(s + iω)=
eiωt
2ωi. (59)
Pelo Teorema dos Resıduos, no limite quando R → ∞:
1
2πi
∫
ABCDA
f(s) ds =1
2πi
∫
DA
f(s) ds (60)
=1
2πi2πi [c−1(−iω) + c−1(iω)] (61)
=1
2ωi
[
eiωt− e−iωt
]
(62)
=1
ωsen ωt. (63)
Continue a solucao no verso =⇒
TT009 Matematica Aplicada IP7, 13 Jun 2003Prof. Nelson Luıs DiasNOME: CESAR A. DA SILVA Assinatura:
ATENCAO: Leia atentamente todas as questoes, e comece pelas mais faceis para voce. Resolva
as questoes de forma limpa e organizada, nos espacos designados: o texto fora destes espacos nao
sera considerado na correcao. Boa prova.
1 [10,0] A funcao
f(s) =est
s2 + ω2
possui dois polos simples em a = ±iω. O calculo dos resıduos (isto e: dos coeficientes c−1 das series de Laurent)no caso de polos simples e dado por
c−1 = lims→a
(s − a)f(s).
Sabendo que, para t > 0,
limR→∞
∫
ABCD
f(s) ds = 0,
use integracao sobre o contorno
ABCDA mostrado na figura juntamente com o teorema dos resıduos paracalcular a integral
1
2πi
∫ γ+i∞
γ−i∞
f(s) ds
para t > 0. Nao ha necessidade de integrar por partes!
x
y
γ
R
C
BA
D
−iω
+iω
SOLUCAO DA 1a Questao:
Em s = ±ω:1
s2 + ω2=
1
(s − iω)(s + iω). (64)
Como os polos sao de ordem 1:
c−1(−iω) = lims→(−iω)
(s + iω)e−iωt
(s − iω)(s + iω)=
e−iωt
−2ωi, (65)
c−1(+iω) = lims→(iω)
(s − iω)eiωt
(s − iω)(s + iω)=
eiωt
2ωi. (66)
Pelo Teorema dos Resıduos, no limite quando R → ∞:
1
2πi
∫
ABCDA
f(s) ds =1
2πi
∫
DA
f(s) ds (67)
=1
2πi2πi [c−1(−iω) + c−1(iω)] (68)
=1
2ωi
[
eiωt− e−iωt
]
(69)
=1
ωsen ωt. (70)
Continue a solucao no verso =⇒
TT009 Matematica Aplicada IP7, 13 Jun 2003Prof. Nelson Luıs DiasNOME: ELLEN CHRISTINE PRESTES Assinatura:
ATENCAO: Leia atentamente todas as questoes, e comece pelas mais faceis para voce. Resolva
as questoes de forma limpa e organizada, nos espacos designados: o texto fora destes espacos nao
sera considerado na correcao. Boa prova.
1 [10,0] A funcao
f(s) =est
s2 + ω2
possui dois polos simples em a = ±iω. O calculo dos resıduos (isto e: dos coeficientes c−1 das series de Laurent)no caso de polos simples e dado por
c−1 = lims→a
(s − a)f(s).
Sabendo que, para t > 0,
limR→∞
∫
ABCD
f(s) ds = 0,
use integracao sobre o contorno
ABCDA mostrado na figura juntamente com o teorema dos resıduos paracalcular a integral
1
2πi
∫ γ+i∞
γ−i∞
f(s) ds
para t > 0. Nao ha necessidade de integrar por partes!
x
y
γ
R
C
BA
D
−iω
+iω
SOLUCAO DA 1a Questao:
Em s = ±ω:1
s2 + ω2=
1
(s − iω)(s + iω). (71)
Como os polos sao de ordem 1:
c−1(−iω) = lims→(−iω)
(s + iω)e−iωt
(s − iω)(s + iω)=
e−iωt
−2ωi, (72)
c−1(+iω) = lims→(iω)
(s − iω)eiωt
(s − iω)(s + iω)=
eiωt
2ωi. (73)
Pelo Teorema dos Resıduos, no limite quando R → ∞:
1
2πi
∫
ABCDA
f(s) ds =1
2πi
∫
DA
f(s) ds (74)
=1
2πi2πi [c−1(−iω) + c−1(iω)] (75)
=1
2ωi
[
eiωt− e−iωt
]
(76)
=1
ωsen ωt. (77)
Continue a solucao no verso =⇒
TT009 Matematica Aplicada IP7, 13 Jun 2003Prof. Nelson Luıs DiasNOME: GIANE R. GMACH Assinatura:
ATENCAO: Leia atentamente todas as questoes, e comece pelas mais faceis para voce. Resolva
as questoes de forma limpa e organizada, nos espacos designados: o texto fora destes espacos nao
sera considerado na correcao. Boa prova.
1 [10,0] A funcao
f(s) =est
s2 + ω2
possui dois polos simples em a = ±iω. O calculo dos resıduos (isto e: dos coeficientes c−1 das series de Laurent)no caso de polos simples e dado por
c−1 = lims→a
(s − a)f(s).
Sabendo que, para t > 0,
limR→∞
∫
ABCD
f(s) ds = 0,
use integracao sobre o contorno
ABCDA mostrado na figura juntamente com o teorema dos resıduos paracalcular a integral
1
2πi
∫ γ+i∞
γ−i∞
f(s) ds
para t > 0. Nao ha necessidade de integrar por partes!
x
y
γ
R
C
BA
D
−iω
+iω
SOLUCAO DA 1a Questao:
Em s = ±ω:1
s2 + ω2=
1
(s − iω)(s + iω). (78)
Como os polos sao de ordem 1:
c−1(−iω) = lims→(−iω)
(s + iω)e−iωt
(s − iω)(s + iω)=
e−iωt
−2ωi, (79)
c−1(+iω) = lims→(iω)
(s − iω)eiωt
(s − iω)(s + iω)=
eiωt
2ωi. (80)
Pelo Teorema dos Resıduos, no limite quando R → ∞:
1
2πi
∫
ABCDA
f(s) ds =1
2πi
∫
DA
f(s) ds (81)
=1
2πi2πi [c−1(−iω) + c−1(iω)] (82)
=1
2ωi
[
eiωt− e−iωt
]
(83)
=1
ωsen ωt. (84)
Continue a solucao no verso =⇒
TT009 Matematica Aplicada IP7, 13 Jun 2003Prof. Nelson Luıs DiasNOME: GILBERTO MAZER KUBIS Assinatura:
ATENCAO: Leia atentamente todas as questoes, e comece pelas mais faceis para voce. Resolva
as questoes de forma limpa e organizada, nos espacos designados: o texto fora destes espacos nao
sera considerado na correcao. Boa prova.
1 [10,0] A funcao
f(s) =est
s2 + ω2
possui dois polos simples em a = ±iω. O calculo dos resıduos (isto e: dos coeficientes c−1 das series de Laurent)no caso de polos simples e dado por
c−1 = lims→a
(s − a)f(s).
Sabendo que, para t > 0,
limR→∞
∫
ABCD
f(s) ds = 0,
use integracao sobre o contorno
ABCDA mostrado na figura juntamente com o teorema dos resıduos paracalcular a integral
1
2πi
∫ γ+i∞
γ−i∞
f(s) ds
para t > 0. Nao ha necessidade de integrar por partes!
x
y
γ
R
C
BA
D
−iω
+iω
SOLUCAO DA 1a Questao:
Em s = ±ω:1
s2 + ω2=
1
(s − iω)(s + iω). (85)
Como os polos sao de ordem 1:
c−1(−iω) = lims→(−iω)
(s + iω)e−iωt
(s − iω)(s + iω)=
e−iωt
−2ωi, (86)
c−1(+iω) = lims→(iω)
(s − iω)eiωt
(s − iω)(s + iω)=
eiωt
2ωi. (87)
Pelo Teorema dos Resıduos, no limite quando R → ∞:
1
2πi
∫
ABCDA
f(s) ds =1
2πi
∫
DA
f(s) ds (88)
=1
2πi2πi [c−1(−iω) + c−1(iω)] (89)
=1
2ωi
[
eiωt− e−iωt
]
(90)
=1
ωsen ωt. (91)
Continue a solucao no verso =⇒
TT009 Matematica Aplicada IP7, 13 Jun 2003Prof. Nelson Luıs DiasNOME: GUILHERME WENDLER ALVES Assinatura:
ATENCAO: Leia atentamente todas as questoes, e comece pelas mais faceis para voce. Resolva
as questoes de forma limpa e organizada, nos espacos designados: o texto fora destes espacos nao
sera considerado na correcao. Boa prova.
1 [10,0] A funcao
f(s) =est
s2 + ω2
possui dois polos simples em a = ±iω. O calculo dos resıduos (isto e: dos coeficientes c−1 das series de Laurent)no caso de polos simples e dado por
c−1 = lims→a
(s − a)f(s).
Sabendo que, para t > 0,
limR→∞
∫
ABCD
f(s) ds = 0,
use integracao sobre o contorno
ABCDA mostrado na figura juntamente com o teorema dos resıduos paracalcular a integral
1
2πi
∫ γ+i∞
γ−i∞
f(s) ds
para t > 0. Nao ha necessidade de integrar por partes!
x
y
γ
R
C
BA
D
−iω
+iω
SOLUCAO DA 1a Questao:
Em s = ±ω:1
s2 + ω2=
1
(s − iω)(s + iω). (92)
Como os polos sao de ordem 1:
c−1(−iω) = lims→(−iω)
(s + iω)e−iωt
(s − iω)(s + iω)=
e−iωt
−2ωi, (93)
c−1(+iω) = lims→(iω)
(s − iω)eiωt
(s − iω)(s + iω)=
eiωt
2ωi. (94)
Pelo Teorema dos Resıduos, no limite quando R → ∞:
1
2πi
∫
ABCDA
f(s) ds =1
2πi
∫
DA
f(s) ds (95)
=1
2πi2πi [c−1(−iω) + c−1(iω)] (96)
=1
2ωi
[
eiωt− e−iωt
]
(97)
=1
ωsen ωt. (98)
Continue a solucao no verso =⇒
TT009 Matematica Aplicada IP7, 13 Jun 2003Prof. Nelson Luıs DiasNOME: HELDER RAFAEL NOCKO Assinatura:
ATENCAO: Leia atentamente todas as questoes, e comece pelas mais faceis para voce. Resolva
as questoes de forma limpa e organizada, nos espacos designados: o texto fora destes espacos nao
sera considerado na correcao. Boa prova.
1 [10,0] A funcao
f(s) =est
s2 + ω2
possui dois polos simples em a = ±iω. O calculo dos resıduos (isto e: dos coeficientes c−1 das series de Laurent)no caso de polos simples e dado por
c−1 = lims→a
(s − a)f(s).
Sabendo que, para t > 0,
limR→∞
∫
ABCD
f(s) ds = 0,
use integracao sobre o contorno
ABCDA mostrado na figura juntamente com o teorema dos resıduos paracalcular a integral
1
2πi
∫ γ+i∞
γ−i∞
f(s) ds
para t > 0. Nao ha necessidade de integrar por partes!
x
y
γ
R
C
BA
D
−iω
+iω
SOLUCAO DA 1a Questao:
Em s = ±ω:1
s2 + ω2=
1
(s − iω)(s + iω). (99)
Como os polos sao de ordem 1:
c−1(−iω) = lims→(−iω)
(s + iω)e−iωt
(s − iω)(s + iω)=
e−iωt
−2ωi, (100)
c−1(+iω) = lims→(iω)
(s − iω)eiωt
(s − iω)(s + iω)=
eiωt
2ωi. (101)
Pelo Teorema dos Resıduos, no limite quando R → ∞:
1
2πi
∫
ABCDA
f(s) ds =1
2πi
∫
DA
f(s) ds (102)
=1
2πi2πi [c−1(−iω) + c−1(iω)] (103)
=1
2ωi
[
eiωt− e−iωt
]
(104)
=1
ωsen ωt. (105)
Continue a solucao no verso =⇒
TT009 Matematica Aplicada IP7, 13 Jun 2003Prof. Nelson Luıs DiasNOME: JOAO PAULO CASTAGNOLI Assinatura:
ATENCAO: Leia atentamente todas as questoes, e comece pelas mais faceis para voce. Resolva
as questoes de forma limpa e organizada, nos espacos designados: o texto fora destes espacos nao
sera considerado na correcao. Boa prova.
1 [10,0] A funcao
f(s) =est
s2 + ω2
possui dois polos simples em a = ±iω. O calculo dos resıduos (isto e: dos coeficientes c−1 das series de Laurent)no caso de polos simples e dado por
c−1 = lims→a
(s − a)f(s).
Sabendo que, para t > 0,
limR→∞
∫
ABCD
f(s) ds = 0,
use integracao sobre o contorno
ABCDA mostrado na figura juntamente com o teorema dos resıduos paracalcular a integral
1
2πi
∫ γ+i∞
γ−i∞
f(s) ds
para t > 0. Nao ha necessidade de integrar por partes!
x
y
γ
R
C
BA
D
−iω
+iω
SOLUCAO DA 1a Questao:
Em s = ±ω:1
s2 + ω2=
1
(s − iω)(s + iω). (106)
Como os polos sao de ordem 1:
c−1(−iω) = lims→(−iω)
(s + iω)e−iωt
(s − iω)(s + iω)=
e−iωt
−2ωi, (107)
c−1(+iω) = lims→(iω)
(s − iω)eiωt
(s − iω)(s + iω)=
eiωt
2ωi. (108)
Pelo Teorema dos Resıduos, no limite quando R → ∞:
1
2πi
∫
ABCDA
f(s) ds =1
2πi
∫
DA
f(s) ds (109)
=1
2πi2πi [c−1(−iω) + c−1(iω)] (110)
=1
2ωi
[
eiωt− e−iωt
]
(111)
=1
ωsen ωt. (112)
Continue a solucao no verso =⇒
TT009 Matematica Aplicada IP7, 13 Jun 2003Prof. Nelson Luıs DiasNOME: LEANDRO BERGMANN TAYTELBAUM Assinatura:
ATENCAO: Leia atentamente todas as questoes, e comece pelas mais faceis para voce. Resolva
as questoes de forma limpa e organizada, nos espacos designados: o texto fora destes espacos nao
sera considerado na correcao. Boa prova.
1 [10,0] A funcao
f(s) =est
s2 + ω2
possui dois polos simples em a = ±iω. O calculo dos resıduos (isto e: dos coeficientes c−1 das series de Laurent)no caso de polos simples e dado por
c−1 = lims→a
(s − a)f(s).
Sabendo que, para t > 0,
limR→∞
∫
ABCD
f(s) ds = 0,
use integracao sobre o contorno
ABCDA mostrado na figura juntamente com o teorema dos resıduos paracalcular a integral
1
2πi
∫ γ+i∞
γ−i∞
f(s) ds
para t > 0. Nao ha necessidade de integrar por partes!
x
y
γ
R
C
BA
D
−iω
+iω
SOLUCAO DA 1a Questao:
Em s = ±ω:1
s2 + ω2=
1
(s − iω)(s + iω). (113)
Como os polos sao de ordem 1:
c−1(−iω) = lims→(−iω)
(s + iω)e−iωt
(s − iω)(s + iω)=
e−iωt
−2ωi, (114)
c−1(+iω) = lims→(iω)
(s − iω)eiωt
(s − iω)(s + iω)=
eiωt
2ωi. (115)
Pelo Teorema dos Resıduos, no limite quando R → ∞:
1
2πi
∫
ABCDA
f(s) ds =1
2πi
∫
DA
f(s) ds (116)
=1
2πi2πi [c−1(−iω) + c−1(iω)] (117)
=1
2ωi
[
eiωt− e−iωt
]
(118)
=1
ωsen ωt. (119)
Continue a solucao no verso =⇒
TT009 Matematica Aplicada IP7, 13 Jun 2003Prof. Nelson Luıs DiasNOME: MARCELO ANDRIONI Assinatura:
ATENCAO: Leia atentamente todas as questoes, e comece pelas mais faceis para voce. Resolva
as questoes de forma limpa e organizada, nos espacos designados: o texto fora destes espacos nao
sera considerado na correcao. Boa prova.
1 [10,0] A funcao
f(s) =est
s2 + ω2
possui dois polos simples em a = ±iω. O calculo dos resıduos (isto e: dos coeficientes c−1 das series de Laurent)no caso de polos simples e dado por
c−1 = lims→a
(s − a)f(s).
Sabendo que, para t > 0,
limR→∞
∫
ABCD
f(s) ds = 0,
use integracao sobre o contorno
ABCDA mostrado na figura juntamente com o teorema dos resıduos paracalcular a integral
1
2πi
∫ γ+i∞
γ−i∞
f(s) ds
para t > 0. Nao ha necessidade de integrar por partes!
x
y
γ
R
C
BA
D
−iω
+iω
SOLUCAO DA 1a Questao:
Em s = ±ω:1
s2 + ω2=
1
(s − iω)(s + iω). (120)
Como os polos sao de ordem 1:
c−1(−iω) = lims→(−iω)
(s + iω)e−iωt
(s − iω)(s + iω)=
e−iωt
−2ωi, (121)
c−1(+iω) = lims→(iω)
(s − iω)eiωt
(s − iω)(s + iω)=
eiωt
2ωi. (122)
Pelo Teorema dos Resıduos, no limite quando R → ∞:
1
2πi
∫
ABCDA
f(s) ds =1
2πi
∫
DA
f(s) ds (123)
=1
2πi2πi [c−1(−iω) + c−1(iω)] (124)
=1
2ωi
[
eiωt− e−iωt
]
(125)
=1
ωsen ωt. (126)
Continue a solucao no verso =⇒
TT009 Matematica Aplicada IP7, 13 Jun 2003Prof. Nelson Luıs DiasNOME: MARIANNE SCHAEFER FRANCA Assinatura:
ATENCAO: Leia atentamente todas as questoes, e comece pelas mais faceis para voce. Resolva
as questoes de forma limpa e organizada, nos espacos designados: o texto fora destes espacos nao
sera considerado na correcao. Boa prova.
1 [10,0] A funcao
f(s) =est
s2 + ω2
possui dois polos simples em a = ±iω. O calculo dos resıduos (isto e: dos coeficientes c−1 das series de Laurent)no caso de polos simples e dado por
c−1 = lims→a
(s − a)f(s).
Sabendo que, para t > 0,
limR→∞
∫
ABCD
f(s) ds = 0,
use integracao sobre o contorno
ABCDA mostrado na figura juntamente com o teorema dos resıduos paracalcular a integral
1
2πi
∫ γ+i∞
γ−i∞
f(s) ds
para t > 0. Nao ha necessidade de integrar por partes!
x
y
γ
R
C
BA
D
−iω
+iω
SOLUCAO DA 1a Questao:
Em s = ±ω:1
s2 + ω2=
1
(s − iω)(s + iω). (127)
Como os polos sao de ordem 1:
c−1(−iω) = lims→(−iω)
(s + iω)e−iωt
(s − iω)(s + iω)=
e−iωt
−2ωi, (128)
c−1(+iω) = lims→(iω)
(s − iω)eiωt
(s − iω)(s + iω)=
eiωt
2ωi. (129)
Pelo Teorema dos Resıduos, no limite quando R → ∞:
1
2πi
∫
ABCDA
f(s) ds =1
2πi
∫
DA
f(s) ds (130)
=1
2πi2πi [c−1(−iω) + c−1(iω)] (131)
=1
2ωi
[
eiωt− e−iωt
]
(132)
=1
ωsen ωt. (133)
Continue a solucao no verso =⇒
TT009 Matematica Aplicada IP7, 13 Jun 2003Prof. Nelson Luıs DiasNOME: MARTIN HOLDSCHMIDT Assinatura:
ATENCAO: Leia atentamente todas as questoes, e comece pelas mais faceis para voce. Resolva
as questoes de forma limpa e organizada, nos espacos designados: o texto fora destes espacos nao
sera considerado na correcao. Boa prova.
1 [10,0] A funcao
f(s) =est
s2 + ω2
possui dois polos simples em a = ±iω. O calculo dos resıduos (isto e: dos coeficientes c−1 das series de Laurent)no caso de polos simples e dado por
c−1 = lims→a
(s − a)f(s).
Sabendo que, para t > 0,
limR→∞
∫
ABCD
f(s) ds = 0,
use integracao sobre o contorno
ABCDA mostrado na figura juntamente com o teorema dos resıduos paracalcular a integral
1
2πi
∫ γ+i∞
γ−i∞
f(s) ds
para t > 0. Nao ha necessidade de integrar por partes!
x
y
γ
R
C
BA
D
−iω
+iω
SOLUCAO DA 1a Questao:
Em s = ±ω:1
s2 + ω2=
1
(s − iω)(s + iω). (134)
Como os polos sao de ordem 1:
c−1(−iω) = lims→(−iω)
(s + iω)e−iωt
(s − iω)(s + iω)=
e−iωt
−2ωi, (135)
c−1(+iω) = lims→(iω)
(s − iω)eiωt
(s − iω)(s + iω)=
eiωt
2ωi. (136)
Pelo Teorema dos Resıduos, no limite quando R → ∞:
1
2πi
∫
ABCDA
f(s) ds =1
2πi
∫
DA
f(s) ds (137)
=1
2πi2πi [c−1(−iω) + c−1(iω)] (138)
=1
2ωi
[
eiωt− e−iωt
]
(139)
=1
ωsen ωt. (140)
Continue a solucao no verso =⇒
TT009 Matematica Aplicada IP7, 13 Jun 2003Prof. Nelson Luıs DiasNOME: NAYANA G. M. SILVA Assinatura:
ATENCAO: Leia atentamente todas as questoes, e comece pelas mais faceis para voce. Resolva
as questoes de forma limpa e organizada, nos espacos designados: o texto fora destes espacos nao
sera considerado na correcao. Boa prova.
1 [10,0] A funcao
f(s) =est
s2 + ω2
possui dois polos simples em a = ±iω. O calculo dos resıduos (isto e: dos coeficientes c−1 das series de Laurent)no caso de polos simples e dado por
c−1 = lims→a
(s − a)f(s).
Sabendo que, para t > 0,
limR→∞
∫
ABCD
f(s) ds = 0,
use integracao sobre o contorno
ABCDA mostrado na figura juntamente com o teorema dos resıduos paracalcular a integral
1
2πi
∫ γ+i∞
γ−i∞
f(s) ds
para t > 0. Nao ha necessidade de integrar por partes!
x
y
γ
R
C
BA
D
−iω
+iω
SOLUCAO DA 1a Questao:
Em s = ±ω:1
s2 + ω2=
1
(s − iω)(s + iω). (141)
Como os polos sao de ordem 1:
c−1(−iω) = lims→(−iω)
(s + iω)e−iωt
(s − iω)(s + iω)=
e−iωt
−2ωi, (142)
c−1(+iω) = lims→(iω)
(s − iω)eiωt
(s − iω)(s + iω)=
eiωt
2ωi. (143)
Pelo Teorema dos Resıduos, no limite quando R → ∞:
1
2πi
∫
ABCDA
f(s) ds =1
2πi
∫
DA
f(s) ds (144)
=1
2πi2πi [c−1(−iω) + c−1(iω)] (145)
=1
2ωi
[
eiωt− e−iωt
]
(146)
=1
ωsen ωt. (147)
Continue a solucao no verso =⇒
TT009 Matematica Aplicada IP7, 13 Jun 2003Prof. Nelson Luıs DiasNOME: NILO AUGUSTO SANTOS Assinatura:
ATENCAO: Leia atentamente todas as questoes, e comece pelas mais faceis para voce. Resolva
as questoes de forma limpa e organizada, nos espacos designados: o texto fora destes espacos nao
sera considerado na correcao. Boa prova.
1 [10,0] A funcao
f(s) =est
s2 + ω2
possui dois polos simples em a = ±iω. O calculo dos resıduos (isto e: dos coeficientes c−1 das series de Laurent)no caso de polos simples e dado por
c−1 = lims→a
(s − a)f(s).
Sabendo que, para t > 0,
limR→∞
∫
ABCD
f(s) ds = 0,
use integracao sobre o contorno
ABCDA mostrado na figura juntamente com o teorema dos resıduos paracalcular a integral
1
2πi
∫ γ+i∞
γ−i∞
f(s) ds
para t > 0. Nao ha necessidade de integrar por partes!
x
y
γ
R
C
BA
D
−iω
+iω
SOLUCAO DA 1a Questao:
Em s = ±ω:1
s2 + ω2=
1
(s − iω)(s + iω). (148)
Como os polos sao de ordem 1:
c−1(−iω) = lims→(−iω)
(s + iω)e−iωt
(s − iω)(s + iω)=
e−iωt
−2ωi, (149)
c−1(+iω) = lims→(iω)
(s − iω)eiωt
(s − iω)(s + iω)=
eiωt
2ωi. (150)
Pelo Teorema dos Resıduos, no limite quando R → ∞:
1
2πi
∫
ABCDA
f(s) ds =1
2πi
∫
DA
f(s) ds (151)
=1
2πi2πi [c−1(−iω) + c−1(iω)] (152)
=1
2ωi
[
eiωt− e−iωt
]
(153)
=1
ωsen ωt. (154)
Continue a solucao no verso =⇒
TT009 Matematica Aplicada IP7, 13 Jun 2003Prof. Nelson Luıs DiasNOME: OTHAVIO TONIASSO TAKEDA Assinatura:
ATENCAO: Leia atentamente todas as questoes, e comece pelas mais faceis para voce. Resolva
as questoes de forma limpa e organizada, nos espacos designados: o texto fora destes espacos nao
sera considerado na correcao. Boa prova.
1 [10,0] A funcao
f(s) =est
s2 + ω2
possui dois polos simples em a = ±iω. O calculo dos resıduos (isto e: dos coeficientes c−1 das series de Laurent)no caso de polos simples e dado por
c−1 = lims→a
(s − a)f(s).
Sabendo que, para t > 0,
limR→∞
∫
ABCD
f(s) ds = 0,
use integracao sobre o contorno
ABCDA mostrado na figura juntamente com o teorema dos resıduos paracalcular a integral
1
2πi
∫ γ+i∞
γ−i∞
f(s) ds
para t > 0. Nao ha necessidade de integrar por partes!
x
y
γ
R
C
BA
D
−iω
+iω
SOLUCAO DA 1a Questao:
Em s = ±ω:1
s2 + ω2=
1
(s − iω)(s + iω). (155)
Como os polos sao de ordem 1:
c−1(−iω) = lims→(−iω)
(s + iω)e−iωt
(s − iω)(s + iω)=
e−iωt
−2ωi, (156)
c−1(+iω) = lims→(iω)
(s − iω)eiωt
(s − iω)(s + iω)=
eiωt
2ωi. (157)
Pelo Teorema dos Resıduos, no limite quando R → ∞:
1
2πi
∫
ABCDA
f(s) ds =1
2πi
∫
DA
f(s) ds (158)
=1
2πi2πi [c−1(−iω) + c−1(iω)] (159)
=1
2ωi
[
eiωt− e−iωt
]
(160)
=1
ωsen ωt. (161)
Continue a solucao no verso =⇒
TT009 Matematica Aplicada IP7, 13 Jun 2003Prof. Nelson Luıs DiasNOME: PALOMA GIOVANA FARIA Assinatura:
ATENCAO: Leia atentamente todas as questoes, e comece pelas mais faceis para voce. Resolva
as questoes de forma limpa e organizada, nos espacos designados: o texto fora destes espacos nao
sera considerado na correcao. Boa prova.
1 [10,0] A funcao
f(s) =est
s2 + ω2
possui dois polos simples em a = ±iω. O calculo dos resıduos (isto e: dos coeficientes c−1 das series de Laurent)no caso de polos simples e dado por
c−1 = lims→a
(s − a)f(s).
Sabendo que, para t > 0,
limR→∞
∫
ABCD
f(s) ds = 0,
use integracao sobre o contorno
ABCDA mostrado na figura juntamente com o teorema dos resıduos paracalcular a integral
1
2πi
∫ γ+i∞
γ−i∞
f(s) ds
para t > 0. Nao ha necessidade de integrar por partes!
x
y
γ
R
C
BA
D
−iω
+iω
SOLUCAO DA 1a Questao:
Em s = ±ω:1
s2 + ω2=
1
(s − iω)(s + iω). (162)
Como os polos sao de ordem 1:
c−1(−iω) = lims→(−iω)
(s + iω)e−iωt
(s − iω)(s + iω)=
e−iωt
−2ωi, (163)
c−1(+iω) = lims→(iω)
(s − iω)eiωt
(s − iω)(s + iω)=
eiωt
2ωi. (164)
Pelo Teorema dos Resıduos, no limite quando R → ∞:
1
2πi
∫
ABCDA
f(s) ds =1
2πi
∫
DA
f(s) ds (165)
=1
2πi2πi [c−1(−iω) + c−1(iω)] (166)
=1
2ωi
[
eiωt− e−iωt
]
(167)
=1
ωsen ωt. (168)
Continue a solucao no verso =⇒
TT009 Matematica Aplicada IP7, 13 Jun 2003Prof. Nelson Luıs DiasNOME: PETTY CRISTINA CORREA FERREIRA Assinatura:
ATENCAO: Leia atentamente todas as questoes, e comece pelas mais faceis para voce. Resolva
as questoes de forma limpa e organizada, nos espacos designados: o texto fora destes espacos nao
sera considerado na correcao. Boa prova.
1 [10,0] A funcao
f(s) =est
s2 + ω2
possui dois polos simples em a = ±iω. O calculo dos resıduos (isto e: dos coeficientes c−1 das series de Laurent)no caso de polos simples e dado por
c−1 = lims→a
(s − a)f(s).
Sabendo que, para t > 0,
limR→∞
∫
ABCD
f(s) ds = 0,
use integracao sobre o contorno
ABCDA mostrado na figura juntamente com o teorema dos resıduos paracalcular a integral
1
2πi
∫ γ+i∞
γ−i∞
f(s) ds
para t > 0. Nao ha necessidade de integrar por partes!
x
y
γ
R
C
BA
D
−iω
+iω
SOLUCAO DA 1a Questao:
Em s = ±ω:1
s2 + ω2=
1
(s − iω)(s + iω). (169)
Como os polos sao de ordem 1:
c−1(−iω) = lims→(−iω)
(s + iω)e−iωt
(s − iω)(s + iω)=
e−iωt
−2ωi, (170)
c−1(+iω) = lims→(iω)
(s − iω)eiωt
(s − iω)(s + iω)=
eiωt
2ωi. (171)
Pelo Teorema dos Resıduos, no limite quando R → ∞:
1
2πi
∫
ABCDA
f(s) ds =1
2πi
∫
DA
f(s) ds (172)
=1
2πi2πi [c−1(−iω) + c−1(iω)] (173)
=1
2ωi
[
eiωt− e−iωt
]
(174)
=1
ωsen ωt. (175)
Continue a solucao no verso =⇒
TT009 Matematica Aplicada IP7, 13 Jun 2003Prof. Nelson Luıs DiasNOME: PRISCILA KARINA ALTVATER Assinatura:
ATENCAO: Leia atentamente todas as questoes, e comece pelas mais faceis para voce. Resolva
as questoes de forma limpa e organizada, nos espacos designados: o texto fora destes espacos nao
sera considerado na correcao. Boa prova.
1 [10,0] A funcao
f(s) =est
s2 + ω2
possui dois polos simples em a = ±iω. O calculo dos resıduos (isto e: dos coeficientes c−1 das series de Laurent)no caso de polos simples e dado por
c−1 = lims→a
(s − a)f(s).
Sabendo que, para t > 0,
limR→∞
∫
ABCD
f(s) ds = 0,
use integracao sobre o contorno
ABCDA mostrado na figura juntamente com o teorema dos resıduos paracalcular a integral
1
2πi
∫ γ+i∞
γ−i∞
f(s) ds
para t > 0. Nao ha necessidade de integrar por partes!
x
y
γ
R
C
BA
D
−iω
+iω
SOLUCAO DA 1a Questao:
Em s = ±ω:1
s2 + ω2=
1
(s − iω)(s + iω). (176)
Como os polos sao de ordem 1:
c−1(−iω) = lims→(−iω)
(s + iω)e−iωt
(s − iω)(s + iω)=
e−iωt
−2ωi, (177)
c−1(+iω) = lims→(iω)
(s − iω)eiωt
(s − iω)(s + iω)=
eiωt
2ωi. (178)
Pelo Teorema dos Resıduos, no limite quando R → ∞:
1
2πi
∫
ABCDA
f(s) ds =1
2πi
∫
DA
f(s) ds (179)
=1
2πi2πi [c−1(−iω) + c−1(iω)] (180)
=1
2ωi
[
eiωt− e−iωt
]
(181)
=1
ωsen ωt. (182)
Continue a solucao no verso =⇒
TT009 Matematica Aplicada IP7, 13 Jun 2003Prof. Nelson Luıs DiasNOME: RAFAEL CABRAL GONCALVES Assinatura:
ATENCAO: Leia atentamente todas as questoes, e comece pelas mais faceis para voce. Resolva
as questoes de forma limpa e organizada, nos espacos designados: o texto fora destes espacos nao
sera considerado na correcao. Boa prova.
1 [10,0] A funcao
f(s) =est
s2 + ω2
possui dois polos simples em a = ±iω. O calculo dos resıduos (isto e: dos coeficientes c−1 das series de Laurent)no caso de polos simples e dado por
c−1 = lims→a
(s − a)f(s).
Sabendo que, para t > 0,
limR→∞
∫
ABCD
f(s) ds = 0,
use integracao sobre o contorno
ABCDA mostrado na figura juntamente com o teorema dos resıduos paracalcular a integral
1
2πi
∫ γ+i∞
γ−i∞
f(s) ds
para t > 0. Nao ha necessidade de integrar por partes!
x
y
γ
R
C
BA
D
−iω
+iω
SOLUCAO DA 1a Questao:
Em s = ±ω:1
s2 + ω2=
1
(s − iω)(s + iω). (183)
Como os polos sao de ordem 1:
c−1(−iω) = lims→(−iω)
(s + iω)e−iωt
(s − iω)(s + iω)=
e−iωt
−2ωi, (184)
c−1(+iω) = lims→(iω)
(s − iω)eiωt
(s − iω)(s + iω)=
eiωt
2ωi. (185)
Pelo Teorema dos Resıduos, no limite quando R → ∞:
1
2πi
∫
ABCDA
f(s) ds =1
2πi
∫
DA
f(s) ds (186)
=1
2πi2πi [c−1(−iω) + c−1(iω)] (187)
=1
2ωi
[
eiωt− e−iωt
]
(188)
=1
ωsen ωt. (189)
Continue a solucao no verso =⇒
TT009 Matematica Aplicada IP7, 13 Jun 2003Prof. Nelson Luıs DiasNOME: RICARDO FURLAN Assinatura:
ATENCAO: Leia atentamente todas as questoes, e comece pelas mais faceis para voce. Resolva
as questoes de forma limpa e organizada, nos espacos designados: o texto fora destes espacos nao
sera considerado na correcao. Boa prova.
1 [10,0] A funcao
f(s) =est
s2 + ω2
possui dois polos simples em a = ±iω. O calculo dos resıduos (isto e: dos coeficientes c−1 das series de Laurent)no caso de polos simples e dado por
c−1 = lims→a
(s − a)f(s).
Sabendo que, para t > 0,
limR→∞
∫
ABCD
f(s) ds = 0,
use integracao sobre o contorno
ABCDA mostrado na figura juntamente com o teorema dos resıduos paracalcular a integral
1
2πi
∫ γ+i∞
γ−i∞
f(s) ds
para t > 0. Nao ha necessidade de integrar por partes!
x
y
γ
R
C
BA
D
−iω
+iω
SOLUCAO DA 1a Questao:
Em s = ±ω:1
s2 + ω2=
1
(s − iω)(s + iω). (190)
Como os polos sao de ordem 1:
c−1(−iω) = lims→(−iω)
(s + iω)e−iωt
(s − iω)(s + iω)=
e−iωt
−2ωi, (191)
c−1(+iω) = lims→(iω)
(s − iω)eiωt
(s − iω)(s + iω)=
eiωt
2ωi. (192)
Pelo Teorema dos Resıduos, no limite quando R → ∞:
1
2πi
∫
ABCDA
f(s) ds =1
2πi
∫
DA
f(s) ds (193)
=1
2πi2πi [c−1(−iω) + c−1(iω)] (194)
=1
2ωi
[
eiωt− e−iωt
]
(195)
=1
ωsen ωt. (196)
Continue a solucao no verso =⇒
TT009 Matematica Aplicada IP7, 13 Jun 2003Prof. Nelson Luıs DiasNOME: RODRIGO REKSIDLER Assinatura:
ATENCAO: Leia atentamente todas as questoes, e comece pelas mais faceis para voce. Resolva
as questoes de forma limpa e organizada, nos espacos designados: o texto fora destes espacos nao
sera considerado na correcao. Boa prova.
1 [10,0] A funcao
f(s) =est
s2 + ω2
possui dois polos simples em a = ±iω. O calculo dos resıduos (isto e: dos coeficientes c−1 das series de Laurent)no caso de polos simples e dado por
c−1 = lims→a
(s − a)f(s).
Sabendo que, para t > 0,
limR→∞
∫
ABCD
f(s) ds = 0,
use integracao sobre o contorno
ABCDA mostrado na figura juntamente com o teorema dos resıduos paracalcular a integral
1
2πi
∫ γ+i∞
γ−i∞
f(s) ds
para t > 0. Nao ha necessidade de integrar por partes!
x
y
γ
R
C
BA
D
−iω
+iω
SOLUCAO DA 1a Questao:
Em s = ±ω:1
s2 + ω2=
1
(s − iω)(s + iω). (197)
Como os polos sao de ordem 1:
c−1(−iω) = lims→(−iω)
(s + iω)e−iωt
(s − iω)(s + iω)=
e−iωt
−2ωi, (198)
c−1(+iω) = lims→(iω)
(s − iω)eiωt
(s − iω)(s + iω)=
eiωt
2ωi. (199)
Pelo Teorema dos Resıduos, no limite quando R → ∞:
1
2πi
∫
ABCDA
f(s) ds =1
2πi
∫
DA
f(s) ds (200)
=1
2πi2πi [c−1(−iω) + c−1(iω)] (201)
=1
2ωi
[
eiωt− e−iωt
]
(202)
=1
ωsen ωt. (203)
Continue a solucao no verso =⇒
TT009 Matematica Aplicada IP7, 13 Jun 2003Prof. Nelson Luıs DiasNOME: THAIS CRISTINA CAMPOS DE ABREU Assinatura:
ATENCAO: Leia atentamente todas as questoes, e comece pelas mais faceis para voce. Resolva
as questoes de forma limpa e organizada, nos espacos designados: o texto fora destes espacos nao
sera considerado na correcao. Boa prova.
1 [10,0] A funcao
f(s) =est
s2 + ω2
possui dois polos simples em a = ±iω. O calculo dos resıduos (isto e: dos coeficientes c−1 das series de Laurent)no caso de polos simples e dado por
c−1 = lims→a
(s − a)f(s).
Sabendo que, para t > 0,
limR→∞
∫
ABCD
f(s) ds = 0,
use integracao sobre o contorno
ABCDA mostrado na figura juntamente com o teorema dos resıduos paracalcular a integral
1
2πi
∫ γ+i∞
γ−i∞
f(s) ds
para t > 0. Nao ha necessidade de integrar por partes!
x
y
γ
R
C
BA
D
−iω
+iω
SOLUCAO DA 1a Questao:
Em s = ±ω:1
s2 + ω2=
1
(s − iω)(s + iω). (204)
Como os polos sao de ordem 1:
c−1(−iω) = lims→(−iω)
(s + iω)e−iωt
(s − iω)(s + iω)=
e−iωt
−2ωi, (205)
c−1(+iω) = lims→(iω)
(s − iω)eiωt
(s − iω)(s + iω)=
eiωt
2ωi. (206)
Pelo Teorema dos Resıduos, no limite quando R → ∞:
1
2πi
∫
ABCDA
f(s) ds =1
2πi
∫
DA
f(s) ds (207)
=1
2πi2πi [c−1(−iω) + c−1(iω)] (208)
=1
2ωi
[
eiωt− e−iωt
]
(209)
=1
ωsen ωt. (210)
Continue a solucao no verso =⇒
TT009 Matematica Aplicada IP7, 13 Jun 2003Prof. Nelson Luıs DiasNOME: WAGNER AKIHITO HIGASHIYAMA Assinatura:
ATENCAO: Leia atentamente todas as questoes, e comece pelas mais faceis para voce. Resolva
as questoes de forma limpa e organizada, nos espacos designados: o texto fora destes espacos nao
sera considerado na correcao. Boa prova.
1 [10,0] A funcao
f(s) =est
s2 + ω2
possui dois polos simples em a = ±iω. O calculo dos resıduos (isto e: dos coeficientes c−1 das series de Laurent)no caso de polos simples e dado por
c−1 = lims→a
(s − a)f(s).
Sabendo que, para t > 0,
limR→∞
∫
ABCD
f(s) ds = 0,
use integracao sobre o contorno
ABCDA mostrado na figura juntamente com o teorema dos resıduos paracalcular a integral
1
2πi
∫ γ+i∞
γ−i∞
f(s) ds
para t > 0. Nao ha necessidade de integrar por partes!
x
y
γ
R
C
BA
D
−iω
+iω
SOLUCAO DA 1a Questao:
Em s = ±ω:1
s2 + ω2=
1
(s − iω)(s + iω). (211)
Como os polos sao de ordem 1:
c−1(−iω) = lims→(−iω)
(s + iω)e−iωt
(s − iω)(s + iω)=
e−iωt
−2ωi, (212)
c−1(+iω) = lims→(iω)
(s − iω)eiωt
(s − iω)(s + iω)=
eiωt
2ωi. (213)
Pelo Teorema dos Resıduos, no limite quando R → ∞:
1
2πi
∫
ABCDA
f(s) ds =1
2πi
∫
DA
f(s) ds (214)
=1
2πi2πi [c−1(−iω) + c−1(iω)] (215)
=1
2ωi
[
eiωt− e−iωt
]
(216)
=1
ωsen ωt. (217)
Continue a solucao no verso =⇒
TT009 Matematica Aplicada IP7, 13 Jun 2003Prof. Nelson Luıs DiasNOME: ALUNO GENERICO Assinatura:
ATENCAO: Leia atentamente todas as questoes, e comece pelas mais faceis para voce. Resolva
as questoes de forma limpa e organizada, nos espacos designados: o texto fora destes espacos nao
sera considerado na correcao. Boa prova.
1 [10,0] A funcao
f(s) =est
s2 + ω2
possui dois polos simples em a = ±iω. O calculo dos resıduos (isto e: dos coeficientes c−1 das series de Laurent)no caso de polos simples e dado por
c−1 = lims→a
(s − a)f(s).
Sabendo que, para t > 0,
limR→∞
∫
ABCD
f(s) ds = 0,
use integracao sobre o contorno
ABCDA mostrado na figura juntamente com o teorema dos resıduos paracalcular a integral
1
2πi
∫ γ+i∞
γ−i∞
f(s) ds
para t > 0. Nao ha necessidade de integrar por partes!
x
y
γ
R
C
BA
D
−iω
+iω
SOLUCAO DA 1a Questao:
Em s = ±ω:1
s2 + ω2=
1
(s − iω)(s + iω). (218)
Como os polos sao de ordem 1:
c−1(−iω) = lims→(−iω)
(s + iω)e−iωt
(s − iω)(s + iω)=
e−iωt
−2ωi, (219)
c−1(+iω) = lims→(iω)
(s − iω)eiωt
(s − iω)(s + iω)=
eiωt
2ωi. (220)
Pelo Teorema dos Resıduos, no limite quando R → ∞:
1
2πi
∫
ABCDA
f(s) ds =1
2πi
∫
DA
f(s) ds (221)
=1
2πi2πi [c−1(−iω) + c−1(iω)] (222)
=1
2ωi
[
eiωt− e−iωt
]
(223)
=1
ωsen ωt. (224)
Continue a solucao no verso =⇒
TT009 Matematica Aplicada IP7, 13 Jun 2003Prof. Nelson Luıs DiasNOME: ALUNO GENERICO Assinatura:
ATENCAO: Leia atentamente todas as questoes, e comece pelas mais faceis para voce. Resolva
as questoes de forma limpa e organizada, nos espacos designados: o texto fora destes espacos nao
sera considerado na correcao. Boa prova.
1 [10,0] A funcao
f(s) =est
s2 + ω2
possui dois polos simples em a = ±iω. O calculo dos resıduos (isto e: dos coeficientes c−1 das series de Laurent)no caso de polos simples e dado por
c−1 = lims→a
(s − a)f(s).
Sabendo que, para t > 0,
limR→∞
∫
ABCD
f(s) ds = 0,
use integracao sobre o contorno
ABCDA mostrado na figura juntamente com o teorema dos resıduos paracalcular a integral
1
2πi
∫ γ+i∞
γ−i∞
f(s) ds
para t > 0. Nao ha necessidade de integrar por partes!
x
y
γ
R
C
BA
D
−iω
+iω
SOLUCAO DA 1a Questao:
Em s = ±ω:1
s2 + ω2=
1
(s − iω)(s + iω). (225)
Como os polos sao de ordem 1:
c−1(−iω) = lims→(−iω)
(s + iω)e−iωt
(s − iω)(s + iω)=
e−iωt
−2ωi, (226)
c−1(+iω) = lims→(iω)
(s − iω)eiωt
(s − iω)(s + iω)=
eiωt
2ωi. (227)
Pelo Teorema dos Resıduos, no limite quando R → ∞:
1
2πi
∫
ABCDA
f(s) ds =1
2πi
∫
DA
f(s) ds (228)
=1
2πi2πi [c−1(−iω) + c−1(iω)] (229)
=1
2ωi
[
eiωt− e−iωt
]
(230)
=1
ωsen ωt. (231)
Continue a solucao no verso =⇒
TT009 Matematica Aplicada IP7, 13 Jun 2003Prof. Nelson Luıs DiasNOME: ALUNO GENERICO Assinatura:
ATENCAO: Leia atentamente todas as questoes, e comece pelas mais faceis para voce. Resolva
as questoes de forma limpa e organizada, nos espacos designados: o texto fora destes espacos nao
sera considerado na correcao. Boa prova.
1 [10,0] A funcao
f(s) =est
s2 + ω2
possui dois polos simples em a = ±iω. O calculo dos resıduos (isto e: dos coeficientes c−1 das series de Laurent)no caso de polos simples e dado por
c−1 = lims→a
(s − a)f(s).
Sabendo que, para t > 0,
limR→∞
∫
ABCD
f(s) ds = 0,
use integracao sobre o contorno
ABCDA mostrado na figura juntamente com o teorema dos resıduos paracalcular a integral
1
2πi
∫ γ+i∞
γ−i∞
f(s) ds
para t > 0. Nao ha necessidade de integrar por partes!
x
y
γ
R
C
BA
D
−iω
+iω
SOLUCAO DA 1a Questao:
Em s = ±ω:1
s2 + ω2=
1
(s − iω)(s + iω). (232)
Como os polos sao de ordem 1:
c−1(−iω) = lims→(−iω)
(s + iω)e−iωt
(s − iω)(s + iω)=
e−iωt
−2ωi, (233)
c−1(+iω) = lims→(iω)
(s − iω)eiωt
(s − iω)(s + iω)=
eiωt
2ωi. (234)
Pelo Teorema dos Resıduos, no limite quando R → ∞:
1
2πi
∫
ABCDA
f(s) ds =1
2πi
∫
DA
f(s) ds (235)
=1
2πi2πi [c−1(−iω) + c−1(iω)] (236)
=1
2ωi
[
eiωt− e−iωt
]
(237)
=1
ωsen ωt. (238)
Continue a solucao no verso =⇒
TT009 Matematica Aplicada IP7, 13 Jun 2003Prof. Nelson Luıs DiasNOME: ALUNO GENERICO Assinatura:
ATENCAO: Leia atentamente todas as questoes, e comece pelas mais faceis para voce. Resolva
as questoes de forma limpa e organizada, nos espacos designados: o texto fora destes espacos nao
sera considerado na correcao. Boa prova.
1 [10,0] A funcao
f(s) =est
s2 + ω2
possui dois polos simples em a = ±iω. O calculo dos resıduos (isto e: dos coeficientes c−1 das series de Laurent)no caso de polos simples e dado por
c−1 = lims→a
(s − a)f(s).
Sabendo que, para t > 0,
limR→∞
∫
ABCD
f(s) ds = 0,
use integracao sobre o contorno
ABCDA mostrado na figura juntamente com o teorema dos resıduos paracalcular a integral
1
2πi
∫ γ+i∞
γ−i∞
f(s) ds
para t > 0. Nao ha necessidade de integrar por partes!
x
y
γ
R
C
BA
D
−iω
+iω
SOLUCAO DA 1a Questao:
Em s = ±ω:1
s2 + ω2=
1
(s − iω)(s + iω). (239)
Como os polos sao de ordem 1:
c−1(−iω) = lims→(−iω)
(s + iω)e−iωt
(s − iω)(s + iω)=
e−iωt
−2ωi, (240)
c−1(+iω) = lims→(iω)
(s − iω)eiωt
(s − iω)(s + iω)=
eiωt
2ωi. (241)
Pelo Teorema dos Resıduos, no limite quando R → ∞:
1
2πi
∫
ABCDA
f(s) ds =1
2πi
∫
DA
f(s) ds (242)
=1
2πi2πi [c−1(−iω) + c−1(iω)] (243)
=1
2ωi
[
eiωt− e−iωt
]
(244)
=1
ωsen ωt. (245)
Continue a solucao no verso =⇒
TT009 Matematica Aplicada IP7, 13 Jun 2003Prof. Nelson Luıs DiasNOME: ALUNO GENERICO Assinatura:
ATENCAO: Leia atentamente todas as questoes, e comece pelas mais faceis para voce. Resolva
as questoes de forma limpa e organizada, nos espacos designados: o texto fora destes espacos nao
sera considerado na correcao. Boa prova.
1 [10,0] A funcao
f(s) =est
s2 + ω2
possui dois polos simples em a = ±iω. O calculo dos resıduos (isto e: dos coeficientes c−1 das series de Laurent)no caso de polos simples e dado por
c−1 = lims→a
(s − a)f(s).
Sabendo que, para t > 0,
limR→∞
∫
ABCD
f(s) ds = 0,
use integracao sobre o contorno
ABCDA mostrado na figura juntamente com o teorema dos resıduos paracalcular a integral
1
2πi
∫ γ+i∞
γ−i∞
f(s) ds
para t > 0. Nao ha necessidade de integrar por partes!
x
y
γ
R
C
BA
D
−iω
+iω
SOLUCAO DA 1a Questao:
Em s = ±ω:1
s2 + ω2=
1
(s − iω)(s + iω). (246)
Como os polos sao de ordem 1:
c−1(−iω) = lims→(−iω)
(s + iω)e−iωt
(s − iω)(s + iω)=
e−iωt
−2ωi, (247)
c−1(+iω) = lims→(iω)
(s − iω)eiωt
(s − iω)(s + iω)=
eiωt
2ωi. (248)
Pelo Teorema dos Resıduos, no limite quando R → ∞:
1
2πi
∫
ABCDA
f(s) ds =1
2πi
∫
DA
f(s) ds (249)
=1
2πi2πi [c−1(−iω) + c−1(iω)] (250)
=1
2ωi
[
eiωt− e−iωt
]
(251)
=1
ωsen ωt. (252)
Continue a solucao no verso =⇒
TT009 Matematica Aplicada IP8, 27 Jun 2003Prof. Nelson Luıs DiasNOME: ALEXANDRE SUZUKI KEMMELMEIER Assinatura:
ATENCAO: Leia atentamente todas as questoes, e comece pelas mais faceis para voce. Resolvaas questoes de forma limpa e organizada, nos espacos designados: o texto fora destes espacos naosera considerado na correcao. Boa prova.
1 [5,0] Sabendo que a formula para os coeficientes de uma serie de Fourier complexa e
ck =1L
∫ b
a
f(x)e−i2πkx
L dx,
obtenha a serie de Fourier def(x) = e−x, 0 ≤ x ≤ 1.
SOLUCAO DA 1a Questao:
Esta e uma questao basicamente de aplicacao de formula:
ck =11
∫ 1
0
e−xe−i2πkx dx
=∫ 1
0
e−(i2πk+1)x dx
=−1
(i2πk + 1)e−(i2πk+1)x
∣∣∣∣10
=−1
(i2πk + 1)
[e−(i2πk+1) − 1
]=
1(i2πk + 1)
[1− e−(i2πk+1)
]=
1(i2πk + 1)
[1− e−(i2πk)e−1
]=
1(i2πk + 1)
[1− e−1
].
A serie de Fourier sera
e−x =+∞∑
k=−∞
1i2πk + 1
[1− e−1
]ei2πkx, 0 ≤ x ≤ 1.
Continue a solucao no verso =⇒
2 [5,0] Dada a tabela de transformadas de Laplace abaixo,
1s− a
eat
1s2 + a2
sen at
as
s2 + a2cos at
1s2 − a2
senh at
as
s2 − a2cosh at
1sm
(m(inteiro) > 0)t(m−1)
(m− 1)!
sf(s)− f(0) f ′(t)s2f(s)− sf(0)− f ′(0) f ′′(t)
e usando obrigatoriamente transformadas de Laplace, resolva:
y(iv) − y = 0,
y(0) = y′(0) = y′′(0) = 0,
y′′′(0) = 1.
SOLUCAO DA 2a Questao:
A transformada de Laplace da equacao diferencial e:
s4y − s3y(0)− s2y′(0)− sy′′(0)− y′′′(0)− y = 0,
(s4 − 1)y − 1 = 0,
y =1
s4 − 1= −1
21
s2 + 1− 1
41
s + 1+
14
1s− 1
.
A inversa e imediata, usando a tabela:
y(t) = −12
sen t− 14e−t +
14et.
Continue a solucao no verso =⇒
TT009 Matematica Aplicada IP8, 27 Jun 2003Prof. Nelson Luıs DiasNOME: ALEX CONSELVAN DE OLIVEIRA Assinatura:
ATENCAO: Leia atentamente todas as questoes, e comece pelas mais faceis para voce. Resolvaas questoes de forma limpa e organizada, nos espacos designados: o texto fora destes espacos naosera considerado na correcao. Boa prova.
1 [5,0] Sabendo que a formula para os coeficientes de uma serie de Fourier complexa e
ck =1L
∫ b
a
f(x)e−i2πkx
L dx,
obtenha a serie de Fourier def(x) = e−x, 0 ≤ x ≤ 1.
SOLUCAO DA 1a Questao:
Esta e uma questao basicamente de aplicacao de formula:
ck =11
∫ 1
0
e−xe−i2πkx dx
=∫ 1
0
e−(i2πk+1)x dx
=−1
(i2πk + 1)e−(i2πk+1)x
∣∣∣∣10
=−1
(i2πk + 1)
[e−(i2πk+1) − 1
]=
1(i2πk + 1)
[1− e−(i2πk+1)
]=
1(i2πk + 1)
[1− e−(i2πk)e−1
]=
1(i2πk + 1)
[1− e−1
].
A serie de Fourier sera
e−x =+∞∑
k=−∞
1i2πk + 1
[1− e−1
]ei2πkx, 0 ≤ x ≤ 1.
Continue a solucao no verso =⇒
2 [5,0] Dada a tabela de transformadas de Laplace abaixo,
1s− a
eat
1s2 + a2
sen at
as
s2 + a2cos at
1s2 − a2
senh at
as
s2 − a2cosh at
1sm
(m(inteiro) > 0)t(m−1)
(m− 1)!
sf(s)− f(0) f ′(t)s2f(s)− sf(0)− f ′(0) f ′′(t)
e usando obrigatoriamente transformadas de Laplace, resolva:
y(iv) − y = 0,
y(0) = y′(0) = y′′(0) = 0,
y′′′(0) = 1.
SOLUCAO DA 2a Questao:
A transformada de Laplace da equacao diferencial e:
s4y − s3y(0)− s2y′(0)− sy′′(0)− y′′′(0)− y = 0,
(s4 − 1)y − 1 = 0,
y =1
s4 − 1= −1
21
s2 + 1− 1
41
s + 1+
14
1s− 1
.
A inversa e imediata, usando a tabela:
y(t) = −12
sen t− 14e−t +
14et.
Continue a solucao no verso =⇒
TT009 Matematica Aplicada IP8, 27 Jun 2003Prof. Nelson Luıs DiasNOME: ALEXANDER C. HABITH Assinatura:
ATENCAO: Leia atentamente todas as questoes, e comece pelas mais faceis para voce. Resolvaas questoes de forma limpa e organizada, nos espacos designados: o texto fora destes espacos naosera considerado na correcao. Boa prova.
1 [5,0] Sabendo que a formula para os coeficientes de uma serie de Fourier complexa e
ck =1L
∫ b
a
f(x)e−i2πkx
L dx,
obtenha a serie de Fourier def(x) = e−x, 0 ≤ x ≤ 1.
SOLUCAO DA 1a Questao:
Esta e uma questao basicamente de aplicacao de formula:
ck =11
∫ 1
0
e−xe−i2πkx dx
=∫ 1
0
e−(i2πk+1)x dx
=−1
(i2πk + 1)e−(i2πk+1)x
∣∣∣∣10
=−1
(i2πk + 1)
[e−(i2πk+1) − 1
]=
1(i2πk + 1)
[1− e−(i2πk+1)
]=
1(i2πk + 1)
[1− e−(i2πk)e−1
]=
1(i2πk + 1)
[1− e−1
].
A serie de Fourier sera
e−x =+∞∑
k=−∞
1i2πk + 1
[1− e−1
]ei2πkx, 0 ≤ x ≤ 1.
Continue a solucao no verso =⇒
2 [5,0] Dada a tabela de transformadas de Laplace abaixo,
1s− a
eat
1s2 + a2
sen at
as
s2 + a2cos at
1s2 − a2
senh at
as
s2 − a2cosh at
1sm
(m(inteiro) > 0)t(m−1)
(m− 1)!
sf(s)− f(0) f ′(t)s2f(s)− sf(0)− f ′(0) f ′′(t)
e usando obrigatoriamente transformadas de Laplace, resolva:
y(iv) − y = 0,
y(0) = y′(0) = y′′(0) = 0,
y′′′(0) = 1.
SOLUCAO DA 2a Questao:
A transformada de Laplace da equacao diferencial e:
s4y − s3y(0)− s2y′(0)− sy′′(0)− y′′′(0)− y = 0,
(s4 − 1)y − 1 = 0,
y =1
s4 − 1= −1
21
s2 + 1− 1
41
s + 1+
14
1s− 1
.
A inversa e imediata, usando a tabela:
y(t) = −12
sen t− 14e−t +
14et.
Continue a solucao no verso =⇒
TT009 Matematica Aplicada IP8, 27 Jun 2003Prof. Nelson Luıs DiasNOME: ANDRESSA GUADAGNIN Assinatura:
ATENCAO: Leia atentamente todas as questoes, e comece pelas mais faceis para voce. Resolvaas questoes de forma limpa e organizada, nos espacos designados: o texto fora destes espacos naosera considerado na correcao. Boa prova.
1 [5,0] Sabendo que a formula para os coeficientes de uma serie de Fourier complexa e
ck =1L
∫ b
a
f(x)e−i2πkx
L dx,
obtenha a serie de Fourier def(x) = e−x, 0 ≤ x ≤ 1.
SOLUCAO DA 1a Questao:
Esta e uma questao basicamente de aplicacao de formula:
ck =11
∫ 1
0
e−xe−i2πkx dx
=∫ 1
0
e−(i2πk+1)x dx
=−1
(i2πk + 1)e−(i2πk+1)x
∣∣∣∣10
=−1
(i2πk + 1)
[e−(i2πk+1) − 1
]=
1(i2πk + 1)
[1− e−(i2πk+1)
]=
1(i2πk + 1)
[1− e−(i2πk)e−1
]=
1(i2πk + 1)
[1− e−1
].
A serie de Fourier sera
e−x =+∞∑
k=−∞
1i2πk + 1
[1− e−1
]ei2πkx, 0 ≤ x ≤ 1.
Continue a solucao no verso =⇒
2 [5,0] Dada a tabela de transformadas de Laplace abaixo,
1s− a
eat
1s2 + a2
sen at
as
s2 + a2cos at
1s2 − a2
senh at
as
s2 − a2cosh at
1sm
(m(inteiro) > 0)t(m−1)
(m− 1)!
sf(s)− f(0) f ′(t)s2f(s)− sf(0)− f ′(0) f ′′(t)
e usando obrigatoriamente transformadas de Laplace, resolva:
y(iv) − y = 0,
y(0) = y′(0) = y′′(0) = 0,
y′′′(0) = 1.
SOLUCAO DA 2a Questao:
A transformada de Laplace da equacao diferencial e:
s4y − s3y(0)− s2y′(0)− sy′′(0)− y′′′(0)− y = 0,
(s4 − 1)y − 1 = 0,
y =1
s4 − 1= −1
21
s2 + 1− 1
41
s + 1+
14
1s− 1
.
A inversa e imediata, usando a tabela:
y(t) = −12
sen t− 14e−t +
14et.
Continue a solucao no verso =⇒
TT009 Matematica Aplicada IP8, 27 Jun 2003Prof. Nelson Luıs DiasNOME: ANTONIO ORIEL DA ROCHA JR. Assinatura:
ATENCAO: Leia atentamente todas as questoes, e comece pelas mais faceis para voce. Resolvaas questoes de forma limpa e organizada, nos espacos designados: o texto fora destes espacos naosera considerado na correcao. Boa prova.
1 [5,0] Sabendo que a formula para os coeficientes de uma serie de Fourier complexa e
ck =1L
∫ b
a
f(x)e−i2πkx
L dx,
obtenha a serie de Fourier def(x) = e−x, 0 ≤ x ≤ 1.
SOLUCAO DA 1a Questao:
Esta e uma questao basicamente de aplicacao de formula:
ck =11
∫ 1
0
e−xe−i2πkx dx
=∫ 1
0
e−(i2πk+1)x dx
=−1
(i2πk + 1)e−(i2πk+1)x
∣∣∣∣10
=−1
(i2πk + 1)
[e−(i2πk+1) − 1
]=
1(i2πk + 1)
[1− e−(i2πk+1)
]=
1(i2πk + 1)
[1− e−(i2πk)e−1
]=
1(i2πk + 1)
[1− e−1
].
A serie de Fourier sera
e−x =+∞∑
k=−∞
1i2πk + 1
[1− e−1
]ei2πkx, 0 ≤ x ≤ 1.
Continue a solucao no verso =⇒
2 [5,0] Dada a tabela de transformadas de Laplace abaixo,
1s− a
eat
1s2 + a2
sen at
as
s2 + a2cos at
1s2 − a2
senh at
as
s2 − a2cosh at
1sm
(m(inteiro) > 0)t(m−1)
(m− 1)!
sf(s)− f(0) f ′(t)s2f(s)− sf(0)− f ′(0) f ′′(t)
e usando obrigatoriamente transformadas de Laplace, resolva:
y(iv) − y = 0,
y(0) = y′(0) = y′′(0) = 0,
y′′′(0) = 1.
SOLUCAO DA 2a Questao:
A transformada de Laplace da equacao diferencial e:
s4y − s3y(0)− s2y′(0)− sy′′(0)− y′′′(0)− y = 0,
(s4 − 1)y − 1 = 0,
y =1
s4 − 1= −1
21
s2 + 1− 1
41
s + 1+
14
1s− 1
.
A inversa e imediata, usando a tabela:
y(t) = −12
sen t− 14e−t +
14et.
Continue a solucao no verso =⇒
TT009 Matematica Aplicada IP8, 27 Jun 2003Prof. Nelson Luıs DiasNOME: CAROLINE VALENTE BUHRER Assinatura:
ATENCAO: Leia atentamente todas as questoes, e comece pelas mais faceis para voce. Resolvaas questoes de forma limpa e organizada, nos espacos designados: o texto fora destes espacos naosera considerado na correcao. Boa prova.
1 [5,0] Sabendo que a formula para os coeficientes de uma serie de Fourier complexa e
ck =1L
∫ b
a
f(x)e−i2πkx
L dx,
obtenha a serie de Fourier def(x) = e−x, 0 ≤ x ≤ 1.
SOLUCAO DA 1a Questao:
Esta e uma questao basicamente de aplicacao de formula:
ck =11
∫ 1
0
e−xe−i2πkx dx
=∫ 1
0
e−(i2πk+1)x dx
=−1
(i2πk + 1)e−(i2πk+1)x
∣∣∣∣10
=−1
(i2πk + 1)
[e−(i2πk+1) − 1
]=
1(i2πk + 1)
[1− e−(i2πk+1)
]=
1(i2πk + 1)
[1− e−(i2πk)e−1
]=
1(i2πk + 1)
[1− e−1
].
A serie de Fourier sera
e−x =+∞∑
k=−∞
1i2πk + 1
[1− e−1
]ei2πkx, 0 ≤ x ≤ 1.
Continue a solucao no verso =⇒
2 [5,0] Dada a tabela de transformadas de Laplace abaixo,
1s− a
eat
1s2 + a2
sen at
as
s2 + a2cos at
1s2 − a2
senh at
as
s2 − a2cosh at
1sm
(m(inteiro) > 0)t(m−1)
(m− 1)!
sf(s)− f(0) f ′(t)s2f(s)− sf(0)− f ′(0) f ′′(t)
e usando obrigatoriamente transformadas de Laplace, resolva:
y(iv) − y = 0,
y(0) = y′(0) = y′′(0) = 0,
y′′′(0) = 1.
SOLUCAO DA 2a Questao:
A transformada de Laplace da equacao diferencial e:
s4y − s3y(0)− s2y′(0)− sy′′(0)− y′′′(0)− y = 0,
(s4 − 1)y − 1 = 0,
y =1
s4 − 1= −1
21
s2 + 1− 1
41
s + 1+
14
1s− 1
.
A inversa e imediata, usando a tabela:
y(t) = −12
sen t− 14e−t +
14et.
Continue a solucao no verso =⇒
TT009 Matematica Aplicada IP8, 27 Jun 2003Prof. Nelson Luıs DiasNOME: CLARISSA SEKULA Assinatura:
ATENCAO: Leia atentamente todas as questoes, e comece pelas mais faceis para voce. Resolvaas questoes de forma limpa e organizada, nos espacos designados: o texto fora destes espacos naosera considerado na correcao. Boa prova.
1 [5,0] Sabendo que a formula para os coeficientes de uma serie de Fourier complexa e
ck =1L
∫ b
a
f(x)e−i2πkx
L dx,
obtenha a serie de Fourier def(x) = e−x, 0 ≤ x ≤ 1.
SOLUCAO DA 1a Questao:
Esta e uma questao basicamente de aplicacao de formula:
ck =11
∫ 1
0
e−xe−i2πkx dx
=∫ 1
0
e−(i2πk+1)x dx
=−1
(i2πk + 1)e−(i2πk+1)x
∣∣∣∣10
=−1
(i2πk + 1)
[e−(i2πk+1) − 1
]=
1(i2πk + 1)
[1− e−(i2πk+1)
]=
1(i2πk + 1)
[1− e−(i2πk)e−1
]=
1(i2πk + 1)
[1− e−1
].
A serie de Fourier sera
e−x =+∞∑
k=−∞
1i2πk + 1
[1− e−1
]ei2πkx, 0 ≤ x ≤ 1.
Continue a solucao no verso =⇒
2 [5,0] Dada a tabela de transformadas de Laplace abaixo,
1s− a
eat
1s2 + a2
sen at
as
s2 + a2cos at
1s2 − a2
senh at
as
s2 − a2cosh at
1sm
(m(inteiro) > 0)t(m−1)
(m− 1)!
sf(s)− f(0) f ′(t)s2f(s)− sf(0)− f ′(0) f ′′(t)
e usando obrigatoriamente transformadas de Laplace, resolva:
y(iv) − y = 0,
y(0) = y′(0) = y′′(0) = 0,
y′′′(0) = 1.
SOLUCAO DA 2a Questao:
A transformada de Laplace da equacao diferencial e:
s4y − s3y(0)− s2y′(0)− sy′′(0)− y′′′(0)− y = 0,
(s4 − 1)y − 1 = 0,
y =1
s4 − 1= −1
21
s2 + 1− 1
41
s + 1+
14
1s− 1
.
A inversa e imediata, usando a tabela:
y(t) = −12
sen t− 14e−t +
14et.
Continue a solucao no verso =⇒
TT009 Matematica Aplicada IP8, 27 Jun 2003Prof. Nelson Luıs DiasNOME: CRISTIANE SCHAPPO Assinatura:
ATENCAO: Leia atentamente todas as questoes, e comece pelas mais faceis para voce. Resolvaas questoes de forma limpa e organizada, nos espacos designados: o texto fora destes espacos naosera considerado na correcao. Boa prova.
1 [5,0] Sabendo que a formula para os coeficientes de uma serie de Fourier complexa e
ck =1L
∫ b
a
f(x)e−i2πkx
L dx,
obtenha a serie de Fourier def(x) = e−x, 0 ≤ x ≤ 1.
SOLUCAO DA 1a Questao:
Esta e uma questao basicamente de aplicacao de formula:
ck =11
∫ 1
0
e−xe−i2πkx dx
=∫ 1
0
e−(i2πk+1)x dx
=−1
(i2πk + 1)e−(i2πk+1)x
∣∣∣∣10
=−1
(i2πk + 1)
[e−(i2πk+1) − 1
]=
1(i2πk + 1)
[1− e−(i2πk+1)
]=
1(i2πk + 1)
[1− e−(i2πk)e−1
]=
1(i2πk + 1)
[1− e−1
].
A serie de Fourier sera
e−x =+∞∑
k=−∞
1i2πk + 1
[1− e−1
]ei2πkx, 0 ≤ x ≤ 1.
Continue a solucao no verso =⇒
2 [5,0] Dada a tabela de transformadas de Laplace abaixo,
1s− a
eat
1s2 + a2
sen at
as
s2 + a2cos at
1s2 − a2
senh at
as
s2 − a2cosh at
1sm
(m(inteiro) > 0)t(m−1)
(m− 1)!
sf(s)− f(0) f ′(t)s2f(s)− sf(0)− f ′(0) f ′′(t)
e usando obrigatoriamente transformadas de Laplace, resolva:
y(iv) − y = 0,
y(0) = y′(0) = y′′(0) = 0,
y′′′(0) = 1.
SOLUCAO DA 2a Questao:
A transformada de Laplace da equacao diferencial e:
s4y − s3y(0)− s2y′(0)− sy′′(0)− y′′′(0)− y = 0,
(s4 − 1)y − 1 = 0,
y =1
s4 − 1= −1
21
s2 + 1− 1
41
s + 1+
14
1s− 1
.
A inversa e imediata, usando a tabela:
y(t) = −12
sen t− 14e−t +
14et.
Continue a solucao no verso =⇒
TT009 Matematica Aplicada IP8, 27 Jun 2003Prof. Nelson Luıs DiasNOME: CRISTINA OPPERMANN Assinatura:
ATENCAO: Leia atentamente todas as questoes, e comece pelas mais faceis para voce. Resolvaas questoes de forma limpa e organizada, nos espacos designados: o texto fora destes espacos naosera considerado na correcao. Boa prova.
1 [5,0] Sabendo que a formula para os coeficientes de uma serie de Fourier complexa e
ck =1L
∫ b
a
f(x)e−i2πkx
L dx,
obtenha a serie de Fourier def(x) = e−x, 0 ≤ x ≤ 1.
SOLUCAO DA 1a Questao:
Esta e uma questao basicamente de aplicacao de formula:
ck =11
∫ 1
0
e−xe−i2πkx dx
=∫ 1
0
e−(i2πk+1)x dx
=−1
(i2πk + 1)e−(i2πk+1)x
∣∣∣∣10
=−1
(i2πk + 1)
[e−(i2πk+1) − 1
]=
1(i2πk + 1)
[1− e−(i2πk+1)
]=
1(i2πk + 1)
[1− e−(i2πk)e−1
]=
1(i2πk + 1)
[1− e−1
].
A serie de Fourier sera
e−x =+∞∑
k=−∞
1i2πk + 1
[1− e−1
]ei2πkx, 0 ≤ x ≤ 1.
Continue a solucao no verso =⇒
2 [5,0] Dada a tabela de transformadas de Laplace abaixo,
1s− a
eat
1s2 + a2
sen at
as
s2 + a2cos at
1s2 − a2
senh at
as
s2 − a2cosh at
1sm
(m(inteiro) > 0)t(m−1)
(m− 1)!
sf(s)− f(0) f ′(t)s2f(s)− sf(0)− f ′(0) f ′′(t)
e usando obrigatoriamente transformadas de Laplace, resolva:
y(iv) − y = 0,
y(0) = y′(0) = y′′(0) = 0,
y′′′(0) = 1.
SOLUCAO DA 2a Questao:
A transformada de Laplace da equacao diferencial e:
s4y − s3y(0)− s2y′(0)− sy′′(0)− y′′′(0)− y = 0,
(s4 − 1)y − 1 = 0,
y =1
s4 − 1= −1
21
s2 + 1− 1
41
s + 1+
14
1s− 1
.
A inversa e imediata, usando a tabela:
y(t) = −12
sen t− 14e−t +
14et.
Continue a solucao no verso =⇒
TT009 Matematica Aplicada IP8, 27 Jun 2003Prof. Nelson Luıs DiasNOME: CESAR A. DA SILVA Assinatura:
ATENCAO: Leia atentamente todas as questoes, e comece pelas mais faceis para voce. Resolvaas questoes de forma limpa e organizada, nos espacos designados: o texto fora destes espacos naosera considerado na correcao. Boa prova.
1 [5,0] Sabendo que a formula para os coeficientes de uma serie de Fourier complexa e
ck =1L
∫ b
a
f(x)e−i2πkx
L dx,
obtenha a serie de Fourier def(x) = e−x, 0 ≤ x ≤ 1.
SOLUCAO DA 1a Questao:
Esta e uma questao basicamente de aplicacao de formula:
ck =11
∫ 1
0
e−xe−i2πkx dx
=∫ 1
0
e−(i2πk+1)x dx
=−1
(i2πk + 1)e−(i2πk+1)x
∣∣∣∣10
=−1
(i2πk + 1)
[e−(i2πk+1) − 1
]=
1(i2πk + 1)
[1− e−(i2πk+1)
]=
1(i2πk + 1)
[1− e−(i2πk)e−1
]=
1(i2πk + 1)
[1− e−1
].
A serie de Fourier sera
e−x =+∞∑
k=−∞
1i2πk + 1
[1− e−1
]ei2πkx, 0 ≤ x ≤ 1.
Continue a solucao no verso =⇒
2 [5,0] Dada a tabela de transformadas de Laplace abaixo,
1s− a
eat
1s2 + a2
sen at
as
s2 + a2cos at
1s2 − a2
senh at
as
s2 − a2cosh at
1sm
(m(inteiro) > 0)t(m−1)
(m− 1)!
sf(s)− f(0) f ′(t)s2f(s)− sf(0)− f ′(0) f ′′(t)
e usando obrigatoriamente transformadas de Laplace, resolva:
y(iv) − y = 0,
y(0) = y′(0) = y′′(0) = 0,
y′′′(0) = 1.
SOLUCAO DA 2a Questao:
A transformada de Laplace da equacao diferencial e:
s4y − s3y(0)− s2y′(0)− sy′′(0)− y′′′(0)− y = 0,
(s4 − 1)y − 1 = 0,
y =1
s4 − 1= −1
21
s2 + 1− 1
41
s + 1+
14
1s− 1
.
A inversa e imediata, usando a tabela:
y(t) = −12
sen t− 14e−t +
14et.
Continue a solucao no verso =⇒
TT009 Matematica Aplicada IP8, 27 Jun 2003Prof. Nelson Luıs DiasNOME: ELLEN CHRISTINE PRESTES Assinatura:
ATENCAO: Leia atentamente todas as questoes, e comece pelas mais faceis para voce. Resolvaas questoes de forma limpa e organizada, nos espacos designados: o texto fora destes espacos naosera considerado na correcao. Boa prova.
1 [5,0] Sabendo que a formula para os coeficientes de uma serie de Fourier complexa e
ck =1L
∫ b
a
f(x)e−i2πkx
L dx,
obtenha a serie de Fourier def(x) = e−x, 0 ≤ x ≤ 1.
SOLUCAO DA 1a Questao:
Esta e uma questao basicamente de aplicacao de formula:
ck =11
∫ 1
0
e−xe−i2πkx dx
=∫ 1
0
e−(i2πk+1)x dx
=−1
(i2πk + 1)e−(i2πk+1)x
∣∣∣∣10
=−1
(i2πk + 1)
[e−(i2πk+1) − 1
]=
1(i2πk + 1)
[1− e−(i2πk+1)
]=
1(i2πk + 1)
[1− e−(i2πk)e−1
]=
1(i2πk + 1)
[1− e−1
].
A serie de Fourier sera
e−x =+∞∑
k=−∞
1i2πk + 1
[1− e−1
]ei2πkx, 0 ≤ x ≤ 1.
Continue a solucao no verso =⇒
2 [5,0] Dada a tabela de transformadas de Laplace abaixo,
1s− a
eat
1s2 + a2
sen at
as
s2 + a2cos at
1s2 − a2
senh at
as
s2 − a2cosh at
1sm
(m(inteiro) > 0)t(m−1)
(m− 1)!
sf(s)− f(0) f ′(t)s2f(s)− sf(0)− f ′(0) f ′′(t)
e usando obrigatoriamente transformadas de Laplace, resolva:
y(iv) − y = 0,
y(0) = y′(0) = y′′(0) = 0,
y′′′(0) = 1.
SOLUCAO DA 2a Questao:
A transformada de Laplace da equacao diferencial e:
s4y − s3y(0)− s2y′(0)− sy′′(0)− y′′′(0)− y = 0,
(s4 − 1)y − 1 = 0,
y =1
s4 − 1= −1
21
s2 + 1− 1
41
s + 1+
14
1s− 1
.
A inversa e imediata, usando a tabela:
y(t) = −12
sen t− 14e−t +
14et.
Continue a solucao no verso =⇒
TT009 Matematica Aplicada IP8, 27 Jun 2003Prof. Nelson Luıs DiasNOME: GIANE R. GMACH Assinatura:
ATENCAO: Leia atentamente todas as questoes, e comece pelas mais faceis para voce. Resolvaas questoes de forma limpa e organizada, nos espacos designados: o texto fora destes espacos naosera considerado na correcao. Boa prova.
1 [5,0] Sabendo que a formula para os coeficientes de uma serie de Fourier complexa e
ck =1L
∫ b
a
f(x)e−i2πkx
L dx,
obtenha a serie de Fourier def(x) = e−x, 0 ≤ x ≤ 1.
SOLUCAO DA 1a Questao:
Esta e uma questao basicamente de aplicacao de formula:
ck =11
∫ 1
0
e−xe−i2πkx dx
=∫ 1
0
e−(i2πk+1)x dx
=−1
(i2πk + 1)e−(i2πk+1)x
∣∣∣∣10
=−1
(i2πk + 1)
[e−(i2πk+1) − 1
]=
1(i2πk + 1)
[1− e−(i2πk+1)
]=
1(i2πk + 1)
[1− e−(i2πk)e−1
]=
1(i2πk + 1)
[1− e−1
].
A serie de Fourier sera
e−x =+∞∑
k=−∞
1i2πk + 1
[1− e−1
]ei2πkx, 0 ≤ x ≤ 1.
Continue a solucao no verso =⇒
2 [5,0] Dada a tabela de transformadas de Laplace abaixo,
1s− a
eat
1s2 + a2
sen at
as
s2 + a2cos at
1s2 − a2
senh at
as
s2 − a2cosh at
1sm
(m(inteiro) > 0)t(m−1)
(m− 1)!
sf(s)− f(0) f ′(t)s2f(s)− sf(0)− f ′(0) f ′′(t)
e usando obrigatoriamente transformadas de Laplace, resolva:
y(iv) − y = 0,
y(0) = y′(0) = y′′(0) = 0,
y′′′(0) = 1.
SOLUCAO DA 2a Questao:
A transformada de Laplace da equacao diferencial e:
s4y − s3y(0)− s2y′(0)− sy′′(0)− y′′′(0)− y = 0,
(s4 − 1)y − 1 = 0,
y =1
s4 − 1= −1
21
s2 + 1− 1
41
s + 1+
14
1s− 1
.
A inversa e imediata, usando a tabela:
y(t) = −12
sen t− 14e−t +
14et.
Continue a solucao no verso =⇒
TT009 Matematica Aplicada IP8, 27 Jun 2003Prof. Nelson Luıs DiasNOME: GILBERTO MAZER KUBIS Assinatura:
ATENCAO: Leia atentamente todas as questoes, e comece pelas mais faceis para voce. Resolvaas questoes de forma limpa e organizada, nos espacos designados: o texto fora destes espacos naosera considerado na correcao. Boa prova.
1 [5,0] Sabendo que a formula para os coeficientes de uma serie de Fourier complexa e
ck =1L
∫ b
a
f(x)e−i2πkx
L dx,
obtenha a serie de Fourier def(x) = e−x, 0 ≤ x ≤ 1.
SOLUCAO DA 1a Questao:
Esta e uma questao basicamente de aplicacao de formula:
ck =11
∫ 1
0
e−xe−i2πkx dx
=∫ 1
0
e−(i2πk+1)x dx
=−1
(i2πk + 1)e−(i2πk+1)x
∣∣∣∣10
=−1
(i2πk + 1)
[e−(i2πk+1) − 1
]=
1(i2πk + 1)
[1− e−(i2πk+1)
]=
1(i2πk + 1)
[1− e−(i2πk)e−1
]=
1(i2πk + 1)
[1− e−1
].
A serie de Fourier sera
e−x =+∞∑
k=−∞
1i2πk + 1
[1− e−1
]ei2πkx, 0 ≤ x ≤ 1.
Continue a solucao no verso =⇒
2 [5,0] Dada a tabela de transformadas de Laplace abaixo,
1s− a
eat
1s2 + a2
sen at
as
s2 + a2cos at
1s2 − a2
senh at
as
s2 − a2cosh at
1sm
(m(inteiro) > 0)t(m−1)
(m− 1)!
sf(s)− f(0) f ′(t)s2f(s)− sf(0)− f ′(0) f ′′(t)
e usando obrigatoriamente transformadas de Laplace, resolva:
y(iv) − y = 0,
y(0) = y′(0) = y′′(0) = 0,
y′′′(0) = 1.
SOLUCAO DA 2a Questao:
A transformada de Laplace da equacao diferencial e:
s4y − s3y(0)− s2y′(0)− sy′′(0)− y′′′(0)− y = 0,
(s4 − 1)y − 1 = 0,
y =1
s4 − 1= −1
21
s2 + 1− 1
41
s + 1+
14
1s− 1
.
A inversa e imediata, usando a tabela:
y(t) = −12
sen t− 14e−t +
14et.
Continue a solucao no verso =⇒
TT009 Matematica Aplicada IP8, 27 Jun 2003Prof. Nelson Luıs DiasNOME: GUILHERME WENDLER ALVES Assinatura:
ATENCAO: Leia atentamente todas as questoes, e comece pelas mais faceis para voce. Resolvaas questoes de forma limpa e organizada, nos espacos designados: o texto fora destes espacos naosera considerado na correcao. Boa prova.
1 [5,0] Sabendo que a formula para os coeficientes de uma serie de Fourier complexa e
ck =1L
∫ b
a
f(x)e−i2πkx
L dx,
obtenha a serie de Fourier def(x) = e−x, 0 ≤ x ≤ 1.
SOLUCAO DA 1a Questao:
Esta e uma questao basicamente de aplicacao de formula:
ck =11
∫ 1
0
e−xe−i2πkx dx
=∫ 1
0
e−(i2πk+1)x dx
=−1
(i2πk + 1)e−(i2πk+1)x
∣∣∣∣10
=−1
(i2πk + 1)
[e−(i2πk+1) − 1
]=
1(i2πk + 1)
[1− e−(i2πk+1)
]=
1(i2πk + 1)
[1− e−(i2πk)e−1
]=
1(i2πk + 1)
[1− e−1
].
A serie de Fourier sera
e−x =+∞∑
k=−∞
1i2πk + 1
[1− e−1
]ei2πkx, 0 ≤ x ≤ 1.
Continue a solucao no verso =⇒
2 [5,0] Dada a tabela de transformadas de Laplace abaixo,
1s− a
eat
1s2 + a2
sen at
as
s2 + a2cos at
1s2 − a2
senh at
as
s2 − a2cosh at
1sm
(m(inteiro) > 0)t(m−1)
(m− 1)!
sf(s)− f(0) f ′(t)s2f(s)− sf(0)− f ′(0) f ′′(t)
e usando obrigatoriamente transformadas de Laplace, resolva:
y(iv) − y = 0,
y(0) = y′(0) = y′′(0) = 0,
y′′′(0) = 1.
SOLUCAO DA 2a Questao:
A transformada de Laplace da equacao diferencial e:
s4y − s3y(0)− s2y′(0)− sy′′(0)− y′′′(0)− y = 0,
(s4 − 1)y − 1 = 0,
y =1
s4 − 1= −1
21
s2 + 1− 1
41
s + 1+
14
1s− 1
.
A inversa e imediata, usando a tabela:
y(t) = −12
sen t− 14e−t +
14et.
Continue a solucao no verso =⇒
TT009 Matematica Aplicada IP8, 27 Jun 2003Prof. Nelson Luıs DiasNOME: HELDER RAFAEL NOCKO Assinatura:
ATENCAO: Leia atentamente todas as questoes, e comece pelas mais faceis para voce. Resolvaas questoes de forma limpa e organizada, nos espacos designados: o texto fora destes espacos naosera considerado na correcao. Boa prova.
1 [5,0] Sabendo que a formula para os coeficientes de uma serie de Fourier complexa e
ck =1L
∫ b
a
f(x)e−i2πkx
L dx,
obtenha a serie de Fourier def(x) = e−x, 0 ≤ x ≤ 1.
SOLUCAO DA 1a Questao:
Esta e uma questao basicamente de aplicacao de formula:
ck =11
∫ 1
0
e−xe−i2πkx dx
=∫ 1
0
e−(i2πk+1)x dx
=−1
(i2πk + 1)e−(i2πk+1)x
∣∣∣∣10
=−1
(i2πk + 1)
[e−(i2πk+1) − 1
]=
1(i2πk + 1)
[1− e−(i2πk+1)
]=
1(i2πk + 1)
[1− e−(i2πk)e−1
]=
1(i2πk + 1)
[1− e−1
].
A serie de Fourier sera
e−x =+∞∑
k=−∞
1i2πk + 1
[1− e−1
]ei2πkx, 0 ≤ x ≤ 1.
Continue a solucao no verso =⇒
2 [5,0] Dada a tabela de transformadas de Laplace abaixo,
1s− a
eat
1s2 + a2
sen at
as
s2 + a2cos at
1s2 − a2
senh at
as
s2 − a2cosh at
1sm
(m(inteiro) > 0)t(m−1)
(m− 1)!
sf(s)− f(0) f ′(t)s2f(s)− sf(0)− f ′(0) f ′′(t)
e usando obrigatoriamente transformadas de Laplace, resolva:
y(iv) − y = 0,
y(0) = y′(0) = y′′(0) = 0,
y′′′(0) = 1.
SOLUCAO DA 2a Questao:
A transformada de Laplace da equacao diferencial e:
s4y − s3y(0)− s2y′(0)− sy′′(0)− y′′′(0)− y = 0,
(s4 − 1)y − 1 = 0,
y =1
s4 − 1= −1
21
s2 + 1− 1
41
s + 1+
14
1s− 1
.
A inversa e imediata, usando a tabela:
y(t) = −12
sen t− 14e−t +
14et.
Continue a solucao no verso =⇒
TT009 Matematica Aplicada IP8, 27 Jun 2003Prof. Nelson Luıs DiasNOME: JOAO PAULO CASTAGNOLI Assinatura:
ATENCAO: Leia atentamente todas as questoes, e comece pelas mais faceis para voce. Resolvaas questoes de forma limpa e organizada, nos espacos designados: o texto fora destes espacos naosera considerado na correcao. Boa prova.
1 [5,0] Sabendo que a formula para os coeficientes de uma serie de Fourier complexa e
ck =1L
∫ b
a
f(x)e−i2πkx
L dx,
obtenha a serie de Fourier def(x) = e−x, 0 ≤ x ≤ 1.
SOLUCAO DA 1a Questao:
Esta e uma questao basicamente de aplicacao de formula:
ck =11
∫ 1
0
e−xe−i2πkx dx
=∫ 1
0
e−(i2πk+1)x dx
=−1
(i2πk + 1)e−(i2πk+1)x
∣∣∣∣10
=−1
(i2πk + 1)
[e−(i2πk+1) − 1
]=
1(i2πk + 1)
[1− e−(i2πk+1)
]=
1(i2πk + 1)
[1− e−(i2πk)e−1
]=
1(i2πk + 1)
[1− e−1
].
A serie de Fourier sera
e−x =+∞∑
k=−∞
1i2πk + 1
[1− e−1
]ei2πkx, 0 ≤ x ≤ 1.
Continue a solucao no verso =⇒
2 [5,0] Dada a tabela de transformadas de Laplace abaixo,
1s− a
eat
1s2 + a2
sen at
as
s2 + a2cos at
1s2 − a2
senh at
as
s2 − a2cosh at
1sm
(m(inteiro) > 0)t(m−1)
(m− 1)!
sf(s)− f(0) f ′(t)s2f(s)− sf(0)− f ′(0) f ′′(t)
e usando obrigatoriamente transformadas de Laplace, resolva:
y(iv) − y = 0,
y(0) = y′(0) = y′′(0) = 0,
y′′′(0) = 1.
SOLUCAO DA 2a Questao:
A transformada de Laplace da equacao diferencial e:
s4y − s3y(0)− s2y′(0)− sy′′(0)− y′′′(0)− y = 0,
(s4 − 1)y − 1 = 0,
y =1
s4 − 1= −1
21
s2 + 1− 1
41
s + 1+
14
1s− 1
.
A inversa e imediata, usando a tabela:
y(t) = −12
sen t− 14e−t +
14et.
Continue a solucao no verso =⇒
TT009 Matematica Aplicada IP8, 27 Jun 2003Prof. Nelson Luıs DiasNOME: LEANDRO BERGMANN TAYTELBAUM Assinatura:
ATENCAO: Leia atentamente todas as questoes, e comece pelas mais faceis para voce. Resolvaas questoes de forma limpa e organizada, nos espacos designados: o texto fora destes espacos naosera considerado na correcao. Boa prova.
1 [5,0] Sabendo que a formula para os coeficientes de uma serie de Fourier complexa e
ck =1L
∫ b
a
f(x)e−i2πkx
L dx,
obtenha a serie de Fourier def(x) = e−x, 0 ≤ x ≤ 1.
SOLUCAO DA 1a Questao:
Esta e uma questao basicamente de aplicacao de formula:
ck =11
∫ 1
0
e−xe−i2πkx dx
=∫ 1
0
e−(i2πk+1)x dx
=−1
(i2πk + 1)e−(i2πk+1)x
∣∣∣∣10
=−1
(i2πk + 1)
[e−(i2πk+1) − 1
]=
1(i2πk + 1)
[1− e−(i2πk+1)
]=
1(i2πk + 1)
[1− e−(i2πk)e−1
]=
1(i2πk + 1)
[1− e−1
].
A serie de Fourier sera
e−x =+∞∑
k=−∞
1i2πk + 1
[1− e−1
]ei2πkx, 0 ≤ x ≤ 1.
Continue a solucao no verso =⇒
2 [5,0] Dada a tabela de transformadas de Laplace abaixo,
1s− a
eat
1s2 + a2
sen at
as
s2 + a2cos at
1s2 − a2
senh at
as
s2 − a2cosh at
1sm
(m(inteiro) > 0)t(m−1)
(m− 1)!
sf(s)− f(0) f ′(t)s2f(s)− sf(0)− f ′(0) f ′′(t)
e usando obrigatoriamente transformadas de Laplace, resolva:
y(iv) − y = 0,
y(0) = y′(0) = y′′(0) = 0,
y′′′(0) = 1.
SOLUCAO DA 2a Questao:
A transformada de Laplace da equacao diferencial e:
s4y − s3y(0)− s2y′(0)− sy′′(0)− y′′′(0)− y = 0,
(s4 − 1)y − 1 = 0,
y =1
s4 − 1= −1
21
s2 + 1− 1
41
s + 1+
14
1s− 1
.
A inversa e imediata, usando a tabela:
y(t) = −12
sen t− 14e−t +
14et.
Continue a solucao no verso =⇒
TT009 Matematica Aplicada IP8, 27 Jun 2003Prof. Nelson Luıs DiasNOME: MARCELO ANDRIONI Assinatura:
ATENCAO: Leia atentamente todas as questoes, e comece pelas mais faceis para voce. Resolvaas questoes de forma limpa e organizada, nos espacos designados: o texto fora destes espacos naosera considerado na correcao. Boa prova.
1 [5,0] Sabendo que a formula para os coeficientes de uma serie de Fourier complexa e
ck =1L
∫ b
a
f(x)e−i2πkx
L dx,
obtenha a serie de Fourier def(x) = e−x, 0 ≤ x ≤ 1.
SOLUCAO DA 1a Questao:
Esta e uma questao basicamente de aplicacao de formula:
ck =11
∫ 1
0
e−xe−i2πkx dx
=∫ 1
0
e−(i2πk+1)x dx
=−1
(i2πk + 1)e−(i2πk+1)x
∣∣∣∣10
=−1
(i2πk + 1)
[e−(i2πk+1) − 1
]=
1(i2πk + 1)
[1− e−(i2πk+1)
]=
1(i2πk + 1)
[1− e−(i2πk)e−1
]=
1(i2πk + 1)
[1− e−1
].
A serie de Fourier sera
e−x =+∞∑
k=−∞
1i2πk + 1
[1− e−1
]ei2πkx, 0 ≤ x ≤ 1.
Continue a solucao no verso =⇒
2 [5,0] Dada a tabela de transformadas de Laplace abaixo,
1s− a
eat
1s2 + a2
sen at
as
s2 + a2cos at
1s2 − a2
senh at
as
s2 − a2cosh at
1sm
(m(inteiro) > 0)t(m−1)
(m− 1)!
sf(s)− f(0) f ′(t)s2f(s)− sf(0)− f ′(0) f ′′(t)
e usando obrigatoriamente transformadas de Laplace, resolva:
y(iv) − y = 0,
y(0) = y′(0) = y′′(0) = 0,
y′′′(0) = 1.
SOLUCAO DA 2a Questao:
A transformada de Laplace da equacao diferencial e:
s4y − s3y(0)− s2y′(0)− sy′′(0)− y′′′(0)− y = 0,
(s4 − 1)y − 1 = 0,
y =1
s4 − 1= −1
21
s2 + 1− 1
41
s + 1+
14
1s− 1
.
A inversa e imediata, usando a tabela:
y(t) = −12
sen t− 14e−t +
14et.
Continue a solucao no verso =⇒
TT009 Matematica Aplicada IP8, 27 Jun 2003Prof. Nelson Luıs DiasNOME: MARIANNE SCHAEFER FRANCA Assinatura:
ATENCAO: Leia atentamente todas as questoes, e comece pelas mais faceis para voce. Resolvaas questoes de forma limpa e organizada, nos espacos designados: o texto fora destes espacos naosera considerado na correcao. Boa prova.
1 [5,0] Sabendo que a formula para os coeficientes de uma serie de Fourier complexa e
ck =1L
∫ b
a
f(x)e−i2πkx
L dx,
obtenha a serie de Fourier def(x) = e−x, 0 ≤ x ≤ 1.
SOLUCAO DA 1a Questao:
Esta e uma questao basicamente de aplicacao de formula:
ck =11
∫ 1
0
e−xe−i2πkx dx
=∫ 1
0
e−(i2πk+1)x dx
=−1
(i2πk + 1)e−(i2πk+1)x
∣∣∣∣10
=−1
(i2πk + 1)
[e−(i2πk+1) − 1
]=
1(i2πk + 1)
[1− e−(i2πk+1)
]=
1(i2πk + 1)
[1− e−(i2πk)e−1
]=
1(i2πk + 1)
[1− e−1
].
A serie de Fourier sera
e−x =+∞∑
k=−∞
1i2πk + 1
[1− e−1
]ei2πkx, 0 ≤ x ≤ 1.
Continue a solucao no verso =⇒
2 [5,0] Dada a tabela de transformadas de Laplace abaixo,
1s− a
eat
1s2 + a2
sen at
as
s2 + a2cos at
1s2 − a2
senh at
as
s2 − a2cosh at
1sm
(m(inteiro) > 0)t(m−1)
(m− 1)!
sf(s)− f(0) f ′(t)s2f(s)− sf(0)− f ′(0) f ′′(t)
e usando obrigatoriamente transformadas de Laplace, resolva:
y(iv) − y = 0,
y(0) = y′(0) = y′′(0) = 0,
y′′′(0) = 1.
SOLUCAO DA 2a Questao:
A transformada de Laplace da equacao diferencial e:
s4y − s3y(0)− s2y′(0)− sy′′(0)− y′′′(0)− y = 0,
(s4 − 1)y − 1 = 0,
y =1
s4 − 1= −1
21
s2 + 1− 1
41
s + 1+
14
1s− 1
.
A inversa e imediata, usando a tabela:
y(t) = −12
sen t− 14e−t +
14et.
Continue a solucao no verso =⇒
TT009 Matematica Aplicada IP8, 27 Jun 2003Prof. Nelson Luıs DiasNOME: MARTIN HOLDSCHMIDT Assinatura:
ATENCAO: Leia atentamente todas as questoes, e comece pelas mais faceis para voce. Resolvaas questoes de forma limpa e organizada, nos espacos designados: o texto fora destes espacos naosera considerado na correcao. Boa prova.
1 [5,0] Sabendo que a formula para os coeficientes de uma serie de Fourier complexa e
ck =1L
∫ b
a
f(x)e−i2πkx
L dx,
obtenha a serie de Fourier def(x) = e−x, 0 ≤ x ≤ 1.
SOLUCAO DA 1a Questao:
Esta e uma questao basicamente de aplicacao de formula:
ck =11
∫ 1
0
e−xe−i2πkx dx
=∫ 1
0
e−(i2πk+1)x dx
=−1
(i2πk + 1)e−(i2πk+1)x
∣∣∣∣10
=−1
(i2πk + 1)
[e−(i2πk+1) − 1
]=
1(i2πk + 1)
[1− e−(i2πk+1)
]=
1(i2πk + 1)
[1− e−(i2πk)e−1
]=
1(i2πk + 1)
[1− e−1
].
A serie de Fourier sera
e−x =+∞∑
k=−∞
1i2πk + 1
[1− e−1
]ei2πkx, 0 ≤ x ≤ 1.
Continue a solucao no verso =⇒
2 [5,0] Dada a tabela de transformadas de Laplace abaixo,
1s− a
eat
1s2 + a2
sen at
as
s2 + a2cos at
1s2 − a2
senh at
as
s2 − a2cosh at
1sm
(m(inteiro) > 0)t(m−1)
(m− 1)!
sf(s)− f(0) f ′(t)s2f(s)− sf(0)− f ′(0) f ′′(t)
e usando obrigatoriamente transformadas de Laplace, resolva:
y(iv) − y = 0,
y(0) = y′(0) = y′′(0) = 0,
y′′′(0) = 1.
SOLUCAO DA 2a Questao:
A transformada de Laplace da equacao diferencial e:
s4y − s3y(0)− s2y′(0)− sy′′(0)− y′′′(0)− y = 0,
(s4 − 1)y − 1 = 0,
y =1
s4 − 1= −1
21
s2 + 1− 1
41
s + 1+
14
1s− 1
.
A inversa e imediata, usando a tabela:
y(t) = −12
sen t− 14e−t +
14et.
Continue a solucao no verso =⇒
TT009 Matematica Aplicada IP8, 27 Jun 2003Prof. Nelson Luıs DiasNOME: NAYANA G. M. SILVA Assinatura:
ATENCAO: Leia atentamente todas as questoes, e comece pelas mais faceis para voce. Resolvaas questoes de forma limpa e organizada, nos espacos designados: o texto fora destes espacos naosera considerado na correcao. Boa prova.
1 [5,0] Sabendo que a formula para os coeficientes de uma serie de Fourier complexa e
ck =1L
∫ b
a
f(x)e−i2πkx
L dx,
obtenha a serie de Fourier def(x) = e−x, 0 ≤ x ≤ 1.
SOLUCAO DA 1a Questao:
Esta e uma questao basicamente de aplicacao de formula:
ck =11
∫ 1
0
e−xe−i2πkx dx
=∫ 1
0
e−(i2πk+1)x dx
=−1
(i2πk + 1)e−(i2πk+1)x
∣∣∣∣10
=−1
(i2πk + 1)
[e−(i2πk+1) − 1
]=
1(i2πk + 1)
[1− e−(i2πk+1)
]=
1(i2πk + 1)
[1− e−(i2πk)e−1
]=
1(i2πk + 1)
[1− e−1
].
A serie de Fourier sera
e−x =+∞∑
k=−∞
1i2πk + 1
[1− e−1
]ei2πkx, 0 ≤ x ≤ 1.
Continue a solucao no verso =⇒
2 [5,0] Dada a tabela de transformadas de Laplace abaixo,
1s− a
eat
1s2 + a2
sen at
as
s2 + a2cos at
1s2 − a2
senh at
as
s2 − a2cosh at
1sm
(m(inteiro) > 0)t(m−1)
(m− 1)!
sf(s)− f(0) f ′(t)s2f(s)− sf(0)− f ′(0) f ′′(t)
e usando obrigatoriamente transformadas de Laplace, resolva:
y(iv) − y = 0,
y(0) = y′(0) = y′′(0) = 0,
y′′′(0) = 1.
SOLUCAO DA 2a Questao:
A transformada de Laplace da equacao diferencial e:
s4y − s3y(0)− s2y′(0)− sy′′(0)− y′′′(0)− y = 0,
(s4 − 1)y − 1 = 0,
y =1
s4 − 1= −1
21
s2 + 1− 1
41
s + 1+
14
1s− 1
.
A inversa e imediata, usando a tabela:
y(t) = −12
sen t− 14e−t +
14et.
Continue a solucao no verso =⇒
TT009 Matematica Aplicada IP8, 27 Jun 2003Prof. Nelson Luıs DiasNOME: NILO AUGUSTO SANTOS Assinatura:
ATENCAO: Leia atentamente todas as questoes, e comece pelas mais faceis para voce. Resolvaas questoes de forma limpa e organizada, nos espacos designados: o texto fora destes espacos naosera considerado na correcao. Boa prova.
1 [5,0] Sabendo que a formula para os coeficientes de uma serie de Fourier complexa e
ck =1L
∫ b
a
f(x)e−i2πkx
L dx,
obtenha a serie de Fourier def(x) = e−x, 0 ≤ x ≤ 1.
SOLUCAO DA 1a Questao:
Esta e uma questao basicamente de aplicacao de formula:
ck =11
∫ 1
0
e−xe−i2πkx dx
=∫ 1
0
e−(i2πk+1)x dx
=−1
(i2πk + 1)e−(i2πk+1)x
∣∣∣∣10
=−1
(i2πk + 1)
[e−(i2πk+1) − 1
]=
1(i2πk + 1)
[1− e−(i2πk+1)
]=
1(i2πk + 1)
[1− e−(i2πk)e−1
]=
1(i2πk + 1)
[1− e−1
].
A serie de Fourier sera
e−x =+∞∑
k=−∞
1i2πk + 1
[1− e−1
]ei2πkx, 0 ≤ x ≤ 1.
Continue a solucao no verso =⇒
2 [5,0] Dada a tabela de transformadas de Laplace abaixo,
1s− a
eat
1s2 + a2
sen at
as
s2 + a2cos at
1s2 − a2
senh at
as
s2 − a2cosh at
1sm
(m(inteiro) > 0)t(m−1)
(m− 1)!
sf(s)− f(0) f ′(t)s2f(s)− sf(0)− f ′(0) f ′′(t)
e usando obrigatoriamente transformadas de Laplace, resolva:
y(iv) − y = 0,
y(0) = y′(0) = y′′(0) = 0,
y′′′(0) = 1.
SOLUCAO DA 2a Questao:
A transformada de Laplace da equacao diferencial e:
s4y − s3y(0)− s2y′(0)− sy′′(0)− y′′′(0)− y = 0,
(s4 − 1)y − 1 = 0,
y =1
s4 − 1= −1
21
s2 + 1− 1
41
s + 1+
14
1s− 1
.
A inversa e imediata, usando a tabela:
y(t) = −12
sen t− 14e−t +
14et.
Continue a solucao no verso =⇒
TT009 Matematica Aplicada IP8, 27 Jun 2003Prof. Nelson Luıs DiasNOME: OTHAVIO TONIASSO TAKEDA Assinatura:
ATENCAO: Leia atentamente todas as questoes, e comece pelas mais faceis para voce. Resolvaas questoes de forma limpa e organizada, nos espacos designados: o texto fora destes espacos naosera considerado na correcao. Boa prova.
1 [5,0] Sabendo que a formula para os coeficientes de uma serie de Fourier complexa e
ck =1L
∫ b
a
f(x)e−i2πkx
L dx,
obtenha a serie de Fourier def(x) = e−x, 0 ≤ x ≤ 1.
SOLUCAO DA 1a Questao:
Esta e uma questao basicamente de aplicacao de formula:
ck =11
∫ 1
0
e−xe−i2πkx dx
=∫ 1
0
e−(i2πk+1)x dx
=−1
(i2πk + 1)e−(i2πk+1)x
∣∣∣∣10
=−1
(i2πk + 1)
[e−(i2πk+1) − 1
]=
1(i2πk + 1)
[1− e−(i2πk+1)
]=
1(i2πk + 1)
[1− e−(i2πk)e−1
]=
1(i2πk + 1)
[1− e−1
].
A serie de Fourier sera
e−x =+∞∑
k=−∞
1i2πk + 1
[1− e−1
]ei2πkx, 0 ≤ x ≤ 1.
Continue a solucao no verso =⇒
2 [5,0] Dada a tabela de transformadas de Laplace abaixo,
1s− a
eat
1s2 + a2
sen at
as
s2 + a2cos at
1s2 − a2
senh at
as
s2 − a2cosh at
1sm
(m(inteiro) > 0)t(m−1)
(m− 1)!
sf(s)− f(0) f ′(t)s2f(s)− sf(0)− f ′(0) f ′′(t)
e usando obrigatoriamente transformadas de Laplace, resolva:
y(iv) − y = 0,
y(0) = y′(0) = y′′(0) = 0,
y′′′(0) = 1.
SOLUCAO DA 2a Questao:
A transformada de Laplace da equacao diferencial e:
s4y − s3y(0)− s2y′(0)− sy′′(0)− y′′′(0)− y = 0,
(s4 − 1)y − 1 = 0,
y =1
s4 − 1= −1
21
s2 + 1− 1
41
s + 1+
14
1s− 1
.
A inversa e imediata, usando a tabela:
y(t) = −12
sen t− 14e−t +
14et.
Continue a solucao no verso =⇒
TT009 Matematica Aplicada IP8, 27 Jun 2003Prof. Nelson Luıs DiasNOME: PALOMA GIOVANA FARIA Assinatura:
ATENCAO: Leia atentamente todas as questoes, e comece pelas mais faceis para voce. Resolvaas questoes de forma limpa e organizada, nos espacos designados: o texto fora destes espacos naosera considerado na correcao. Boa prova.
1 [5,0] Sabendo que a formula para os coeficientes de uma serie de Fourier complexa e
ck =1L
∫ b
a
f(x)e−i2πkx
L dx,
obtenha a serie de Fourier def(x) = e−x, 0 ≤ x ≤ 1.
SOLUCAO DA 1a Questao:
Esta e uma questao basicamente de aplicacao de formula:
ck =11
∫ 1
0
e−xe−i2πkx dx
=∫ 1
0
e−(i2πk+1)x dx
=−1
(i2πk + 1)e−(i2πk+1)x
∣∣∣∣10
=−1
(i2πk + 1)
[e−(i2πk+1) − 1
]=
1(i2πk + 1)
[1− e−(i2πk+1)
]=
1(i2πk + 1)
[1− e−(i2πk)e−1
]=
1(i2πk + 1)
[1− e−1
].
A serie de Fourier sera
e−x =+∞∑
k=−∞
1i2πk + 1
[1− e−1
]ei2πkx, 0 ≤ x ≤ 1.
Continue a solucao no verso =⇒
2 [5,0] Dada a tabela de transformadas de Laplace abaixo,
1s− a
eat
1s2 + a2
sen at
as
s2 + a2cos at
1s2 − a2
senh at
as
s2 − a2cosh at
1sm
(m(inteiro) > 0)t(m−1)
(m− 1)!
sf(s)− f(0) f ′(t)s2f(s)− sf(0)− f ′(0) f ′′(t)
e usando obrigatoriamente transformadas de Laplace, resolva:
y(iv) − y = 0,
y(0) = y′(0) = y′′(0) = 0,
y′′′(0) = 1.
SOLUCAO DA 2a Questao:
A transformada de Laplace da equacao diferencial e:
s4y − s3y(0)− s2y′(0)− sy′′(0)− y′′′(0)− y = 0,
(s4 − 1)y − 1 = 0,
y =1
s4 − 1= −1
21
s2 + 1− 1
41
s + 1+
14
1s− 1
.
A inversa e imediata, usando a tabela:
y(t) = −12
sen t− 14e−t +
14et.
Continue a solucao no verso =⇒
TT009 Matematica Aplicada IP8, 27 Jun 2003Prof. Nelson Luıs DiasNOME: PETTY CRISTINA CORREA FERREIRA Assinatura:
ATENCAO: Leia atentamente todas as questoes, e comece pelas mais faceis para voce. Resolvaas questoes de forma limpa e organizada, nos espacos designados: o texto fora destes espacos naosera considerado na correcao. Boa prova.
1 [5,0] Sabendo que a formula para os coeficientes de uma serie de Fourier complexa e
ck =1L
∫ b
a
f(x)e−i2πkx
L dx,
obtenha a serie de Fourier def(x) = e−x, 0 ≤ x ≤ 1.
SOLUCAO DA 1a Questao:
Esta e uma questao basicamente de aplicacao de formula:
ck =11
∫ 1
0
e−xe−i2πkx dx
=∫ 1
0
e−(i2πk+1)x dx
=−1
(i2πk + 1)e−(i2πk+1)x
∣∣∣∣10
=−1
(i2πk + 1)
[e−(i2πk+1) − 1
]=
1(i2πk + 1)
[1− e−(i2πk+1)
]=
1(i2πk + 1)
[1− e−(i2πk)e−1
]=
1(i2πk + 1)
[1− e−1
].
A serie de Fourier sera
e−x =+∞∑
k=−∞
1i2πk + 1
[1− e−1
]ei2πkx, 0 ≤ x ≤ 1.
Continue a solucao no verso =⇒
2 [5,0] Dada a tabela de transformadas de Laplace abaixo,
1s− a
eat
1s2 + a2
sen at
as
s2 + a2cos at
1s2 − a2
senh at
as
s2 − a2cosh at
1sm
(m(inteiro) > 0)t(m−1)
(m− 1)!
sf(s)− f(0) f ′(t)s2f(s)− sf(0)− f ′(0) f ′′(t)
e usando obrigatoriamente transformadas de Laplace, resolva:
y(iv) − y = 0,
y(0) = y′(0) = y′′(0) = 0,
y′′′(0) = 1.
SOLUCAO DA 2a Questao:
A transformada de Laplace da equacao diferencial e:
s4y − s3y(0)− s2y′(0)− sy′′(0)− y′′′(0)− y = 0,
(s4 − 1)y − 1 = 0,
y =1
s4 − 1= −1
21
s2 + 1− 1
41
s + 1+
14
1s− 1
.
A inversa e imediata, usando a tabela:
y(t) = −12
sen t− 14e−t +
14et.
Continue a solucao no verso =⇒
TT009 Matematica Aplicada IP8, 27 Jun 2003Prof. Nelson Luıs DiasNOME: PRISCILA KARINA ALTVATER Assinatura:
ATENCAO: Leia atentamente todas as questoes, e comece pelas mais faceis para voce. Resolvaas questoes de forma limpa e organizada, nos espacos designados: o texto fora destes espacos naosera considerado na correcao. Boa prova.
1 [5,0] Sabendo que a formula para os coeficientes de uma serie de Fourier complexa e
ck =1L
∫ b
a
f(x)e−i2πkx
L dx,
obtenha a serie de Fourier def(x) = e−x, 0 ≤ x ≤ 1.
SOLUCAO DA 1a Questao:
Esta e uma questao basicamente de aplicacao de formula:
ck =11
∫ 1
0
e−xe−i2πkx dx
=∫ 1
0
e−(i2πk+1)x dx
=−1
(i2πk + 1)e−(i2πk+1)x
∣∣∣∣10
=−1
(i2πk + 1)
[e−(i2πk+1) − 1
]=
1(i2πk + 1)
[1− e−(i2πk+1)
]=
1(i2πk + 1)
[1− e−(i2πk)e−1
]=
1(i2πk + 1)
[1− e−1
].
A serie de Fourier sera
e−x =+∞∑
k=−∞
1i2πk + 1
[1− e−1
]ei2πkx, 0 ≤ x ≤ 1.
Continue a solucao no verso =⇒
2 [5,0] Dada a tabela de transformadas de Laplace abaixo,
1s− a
eat
1s2 + a2
sen at
as
s2 + a2cos at
1s2 − a2
senh at
as
s2 − a2cosh at
1sm
(m(inteiro) > 0)t(m−1)
(m− 1)!
sf(s)− f(0) f ′(t)s2f(s)− sf(0)− f ′(0) f ′′(t)
e usando obrigatoriamente transformadas de Laplace, resolva:
y(iv) − y = 0,
y(0) = y′(0) = y′′(0) = 0,
y′′′(0) = 1.
SOLUCAO DA 2a Questao:
A transformada de Laplace da equacao diferencial e:
s4y − s3y(0)− s2y′(0)− sy′′(0)− y′′′(0)− y = 0,
(s4 − 1)y − 1 = 0,
y =1
s4 − 1= −1
21
s2 + 1− 1
41
s + 1+
14
1s− 1
.
A inversa e imediata, usando a tabela:
y(t) = −12
sen t− 14e−t +
14et.
Continue a solucao no verso =⇒
TT009 Matematica Aplicada IP8, 27 Jun 2003Prof. Nelson Luıs DiasNOME: RAFAEL CABRAL GONCALVES Assinatura:
ATENCAO: Leia atentamente todas as questoes, e comece pelas mais faceis para voce. Resolvaas questoes de forma limpa e organizada, nos espacos designados: o texto fora destes espacos naosera considerado na correcao. Boa prova.
1 [5,0] Sabendo que a formula para os coeficientes de uma serie de Fourier complexa e
ck =1L
∫ b
a
f(x)e−i2πkx
L dx,
obtenha a serie de Fourier def(x) = e−x, 0 ≤ x ≤ 1.
SOLUCAO DA 1a Questao:
Esta e uma questao basicamente de aplicacao de formula:
ck =11
∫ 1
0
e−xe−i2πkx dx
=∫ 1
0
e−(i2πk+1)x dx
=−1
(i2πk + 1)e−(i2πk+1)x
∣∣∣∣10
=−1
(i2πk + 1)
[e−(i2πk+1) − 1
]=
1(i2πk + 1)
[1− e−(i2πk+1)
]=
1(i2πk + 1)
[1− e−(i2πk)e−1
]=
1(i2πk + 1)
[1− e−1
].
A serie de Fourier sera
e−x =+∞∑
k=−∞
1i2πk + 1
[1− e−1
]ei2πkx, 0 ≤ x ≤ 1.
Continue a solucao no verso =⇒
2 [5,0] Dada a tabela de transformadas de Laplace abaixo,
1s− a
eat
1s2 + a2
sen at
as
s2 + a2cos at
1s2 − a2
senh at
as
s2 − a2cosh at
1sm
(m(inteiro) > 0)t(m−1)
(m− 1)!
sf(s)− f(0) f ′(t)s2f(s)− sf(0)− f ′(0) f ′′(t)
e usando obrigatoriamente transformadas de Laplace, resolva:
y(iv) − y = 0,
y(0) = y′(0) = y′′(0) = 0,
y′′′(0) = 1.
SOLUCAO DA 2a Questao:
A transformada de Laplace da equacao diferencial e:
s4y − s3y(0)− s2y′(0)− sy′′(0)− y′′′(0)− y = 0,
(s4 − 1)y − 1 = 0,
y =1
s4 − 1= −1
21
s2 + 1− 1
41
s + 1+
14
1s− 1
.
A inversa e imediata, usando a tabela:
y(t) = −12
sen t− 14e−t +
14et.
Continue a solucao no verso =⇒
TT009 Matematica Aplicada IP8, 27 Jun 2003Prof. Nelson Luıs DiasNOME: RICARDO FURLAN Assinatura:
ATENCAO: Leia atentamente todas as questoes, e comece pelas mais faceis para voce. Resolvaas questoes de forma limpa e organizada, nos espacos designados: o texto fora destes espacos naosera considerado na correcao. Boa prova.
1 [5,0] Sabendo que a formula para os coeficientes de uma serie de Fourier complexa e
ck =1L
∫ b
a
f(x)e−i2πkx
L dx,
obtenha a serie de Fourier def(x) = e−x, 0 ≤ x ≤ 1.
SOLUCAO DA 1a Questao:
Esta e uma questao basicamente de aplicacao de formula:
ck =11
∫ 1
0
e−xe−i2πkx dx
=∫ 1
0
e−(i2πk+1)x dx
=−1
(i2πk + 1)e−(i2πk+1)x
∣∣∣∣10
=−1
(i2πk + 1)
[e−(i2πk+1) − 1
]=
1(i2πk + 1)
[1− e−(i2πk+1)
]=
1(i2πk + 1)
[1− e−(i2πk)e−1
]=
1(i2πk + 1)
[1− e−1
].
A serie de Fourier sera
e−x =+∞∑
k=−∞
1i2πk + 1
[1− e−1
]ei2πkx, 0 ≤ x ≤ 1.
Continue a solucao no verso =⇒
2 [5,0] Dada a tabela de transformadas de Laplace abaixo,
1s− a
eat
1s2 + a2
sen at
as
s2 + a2cos at
1s2 − a2
senh at
as
s2 − a2cosh at
1sm
(m(inteiro) > 0)t(m−1)
(m− 1)!
sf(s)− f(0) f ′(t)s2f(s)− sf(0)− f ′(0) f ′′(t)
e usando obrigatoriamente transformadas de Laplace, resolva:
y(iv) − y = 0,
y(0) = y′(0) = y′′(0) = 0,
y′′′(0) = 1.
SOLUCAO DA 2a Questao:
A transformada de Laplace da equacao diferencial e:
s4y − s3y(0)− s2y′(0)− sy′′(0)− y′′′(0)− y = 0,
(s4 − 1)y − 1 = 0,
y =1
s4 − 1= −1
21
s2 + 1− 1
41
s + 1+
14
1s− 1
.
A inversa e imediata, usando a tabela:
y(t) = −12
sen t− 14e−t +
14et.
Continue a solucao no verso =⇒
TT009 Matematica Aplicada IP8, 27 Jun 2003Prof. Nelson Luıs DiasNOME: RODRIGO REKSIDLER Assinatura:
ATENCAO: Leia atentamente todas as questoes, e comece pelas mais faceis para voce. Resolvaas questoes de forma limpa e organizada, nos espacos designados: o texto fora destes espacos naosera considerado na correcao. Boa prova.
1 [5,0] Sabendo que a formula para os coeficientes de uma serie de Fourier complexa e
ck =1L
∫ b
a
f(x)e−i2πkx
L dx,
obtenha a serie de Fourier def(x) = e−x, 0 ≤ x ≤ 1.
SOLUCAO DA 1a Questao:
Esta e uma questao basicamente de aplicacao de formula:
ck =11
∫ 1
0
e−xe−i2πkx dx
=∫ 1
0
e−(i2πk+1)x dx
=−1
(i2πk + 1)e−(i2πk+1)x
∣∣∣∣10
=−1
(i2πk + 1)
[e−(i2πk+1) − 1
]=
1(i2πk + 1)
[1− e−(i2πk+1)
]=
1(i2πk + 1)
[1− e−(i2πk)e−1
]=
1(i2πk + 1)
[1− e−1
].
A serie de Fourier sera
e−x =+∞∑
k=−∞
1i2πk + 1
[1− e−1
]ei2πkx, 0 ≤ x ≤ 1.
Continue a solucao no verso =⇒
2 [5,0] Dada a tabela de transformadas de Laplace abaixo,
1s− a
eat
1s2 + a2
sen at
as
s2 + a2cos at
1s2 − a2
senh at
as
s2 − a2cosh at
1sm
(m(inteiro) > 0)t(m−1)
(m− 1)!
sf(s)− f(0) f ′(t)s2f(s)− sf(0)− f ′(0) f ′′(t)
e usando obrigatoriamente transformadas de Laplace, resolva:
y(iv) − y = 0,
y(0) = y′(0) = y′′(0) = 0,
y′′′(0) = 1.
SOLUCAO DA 2a Questao:
A transformada de Laplace da equacao diferencial e:
s4y − s3y(0)− s2y′(0)− sy′′(0)− y′′′(0)− y = 0,
(s4 − 1)y − 1 = 0,
y =1
s4 − 1= −1
21
s2 + 1− 1
41
s + 1+
14
1s− 1
.
A inversa e imediata, usando a tabela:
y(t) = −12
sen t− 14e−t +
14et.
Continue a solucao no verso =⇒
TT009 Matematica Aplicada IP8, 27 Jun 2003Prof. Nelson Luıs DiasNOME: THAIS CRISTINA CAMPOS DE ABREU Assinatura:
ATENCAO: Leia atentamente todas as questoes, e comece pelas mais faceis para voce. Resolvaas questoes de forma limpa e organizada, nos espacos designados: o texto fora destes espacos naosera considerado na correcao. Boa prova.
1 [5,0] Sabendo que a formula para os coeficientes de uma serie de Fourier complexa e
ck =1L
∫ b
a
f(x)e−i2πkx
L dx,
obtenha a serie de Fourier def(x) = e−x, 0 ≤ x ≤ 1.
SOLUCAO DA 1a Questao:
Esta e uma questao basicamente de aplicacao de formula:
ck =11
∫ 1
0
e−xe−i2πkx dx
=∫ 1
0
e−(i2πk+1)x dx
=−1
(i2πk + 1)e−(i2πk+1)x
∣∣∣∣10
=−1
(i2πk + 1)
[e−(i2πk+1) − 1
]=
1(i2πk + 1)
[1− e−(i2πk+1)
]=
1(i2πk + 1)
[1− e−(i2πk)e−1
]=
1(i2πk + 1)
[1− e−1
].
A serie de Fourier sera
e−x =+∞∑
k=−∞
1i2πk + 1
[1− e−1
]ei2πkx, 0 ≤ x ≤ 1.
Continue a solucao no verso =⇒
2 [5,0] Dada a tabela de transformadas de Laplace abaixo,
1s− a
eat
1s2 + a2
sen at
as
s2 + a2cos at
1s2 − a2
senh at
as
s2 − a2cosh at
1sm
(m(inteiro) > 0)t(m−1)
(m− 1)!
sf(s)− f(0) f ′(t)s2f(s)− sf(0)− f ′(0) f ′′(t)
e usando obrigatoriamente transformadas de Laplace, resolva:
y(iv) − y = 0,
y(0) = y′(0) = y′′(0) = 0,
y′′′(0) = 1.
SOLUCAO DA 2a Questao:
A transformada de Laplace da equacao diferencial e:
s4y − s3y(0)− s2y′(0)− sy′′(0)− y′′′(0)− y = 0,
(s4 − 1)y − 1 = 0,
y =1
s4 − 1= −1
21
s2 + 1− 1
41
s + 1+
14
1s− 1
.
A inversa e imediata, usando a tabela:
y(t) = −12
sen t− 14e−t +
14et.
Continue a solucao no verso =⇒
TT009 Matematica Aplicada IP8, 27 Jun 2003Prof. Nelson Luıs DiasNOME: WAGNER AKIHITO HIGASHIYAMA Assinatura:
ATENCAO: Leia atentamente todas as questoes, e comece pelas mais faceis para voce. Resolvaas questoes de forma limpa e organizada, nos espacos designados: o texto fora destes espacos naosera considerado na correcao. Boa prova.
1 [5,0] Sabendo que a formula para os coeficientes de uma serie de Fourier complexa e
ck =1L
∫ b
a
f(x)e−i2πkx
L dx,
obtenha a serie de Fourier def(x) = e−x, 0 ≤ x ≤ 1.
SOLUCAO DA 1a Questao:
Esta e uma questao basicamente de aplicacao de formula:
ck =11
∫ 1
0
e−xe−i2πkx dx
=∫ 1
0
e−(i2πk+1)x dx
=−1
(i2πk + 1)e−(i2πk+1)x
∣∣∣∣10
=−1
(i2πk + 1)
[e−(i2πk+1) − 1
]=
1(i2πk + 1)
[1− e−(i2πk+1)
]=
1(i2πk + 1)
[1− e−(i2πk)e−1
]=
1(i2πk + 1)
[1− e−1
].
A serie de Fourier sera
e−x =+∞∑
k=−∞
1i2πk + 1
[1− e−1
]ei2πkx, 0 ≤ x ≤ 1.
Continue a solucao no verso =⇒
2 [5,0] Dada a tabela de transformadas de Laplace abaixo,
1s− a
eat
1s2 + a2
sen at
as
s2 + a2cos at
1s2 − a2
senh at
as
s2 − a2cosh at
1sm
(m(inteiro) > 0)t(m−1)
(m− 1)!
sf(s)− f(0) f ′(t)s2f(s)− sf(0)− f ′(0) f ′′(t)
e usando obrigatoriamente transformadas de Laplace, resolva:
y(iv) − y = 0,
y(0) = y′(0) = y′′(0) = 0,
y′′′(0) = 1.
SOLUCAO DA 2a Questao:
A transformada de Laplace da equacao diferencial e:
s4y − s3y(0)− s2y′(0)− sy′′(0)− y′′′(0)− y = 0,
(s4 − 1)y − 1 = 0,
y =1
s4 − 1= −1
21
s2 + 1− 1
41
s + 1+
14
1s− 1
.
A inversa e imediata, usando a tabela:
y(t) = −12
sen t− 14e−t +
14et.
Continue a solucao no verso =⇒
TT009 Matematica Aplicada IP8, 27 Jun 2003Prof. Nelson Luıs DiasNOME: ALUNO GENERICO Assinatura:
ATENCAO: Leia atentamente todas as questoes, e comece pelas mais faceis para voce. Resolvaas questoes de forma limpa e organizada, nos espacos designados: o texto fora destes espacos naosera considerado na correcao. Boa prova.
1 [5,0] Sabendo que a formula para os coeficientes de uma serie de Fourier complexa e
ck =1L
∫ b
a
f(x)e−i2πkx
L dx,
obtenha a serie de Fourier def(x) = e−x, 0 ≤ x ≤ 1.
SOLUCAO DA 1a Questao:
Esta e uma questao basicamente de aplicacao de formula:
ck =11
∫ 1
0
e−xe−i2πkx dx
=∫ 1
0
e−(i2πk+1)x dx
=−1
(i2πk + 1)e−(i2πk+1)x
∣∣∣∣10
=−1
(i2πk + 1)
[e−(i2πk+1) − 1
]=
1(i2πk + 1)
[1− e−(i2πk+1)
]=
1(i2πk + 1)
[1− e−(i2πk)e−1
]=
1(i2πk + 1)
[1− e−1
].
A serie de Fourier sera
e−x =+∞∑
k=−∞
1i2πk + 1
[1− e−1
]ei2πkx, 0 ≤ x ≤ 1.
Continue a solucao no verso =⇒
2 [5,0] Dada a tabela de transformadas de Laplace abaixo,
1s− a
eat
1s2 + a2
sen at
as
s2 + a2cos at
1s2 − a2
senh at
as
s2 − a2cosh at
1sm
(m(inteiro) > 0)t(m−1)
(m− 1)!
sf(s)− f(0) f ′(t)s2f(s)− sf(0)− f ′(0) f ′′(t)
e usando obrigatoriamente transformadas de Laplace, resolva:
y(iv) − y = 0,
y(0) = y′(0) = y′′(0) = 0,
y′′′(0) = 1.
SOLUCAO DA 2a Questao:
A transformada de Laplace da equacao diferencial e:
s4y − s3y(0)− s2y′(0)− sy′′(0)− y′′′(0)− y = 0,
(s4 − 1)y − 1 = 0,
y =1
s4 − 1= −1
21
s2 + 1− 1
41
s + 1+
14
1s− 1
.
A inversa e imediata, usando a tabela:
y(t) = −12
sen t− 14e−t +
14et.
Continue a solucao no verso =⇒
TT009 Matematica Aplicada IP8, 27 Jun 2003Prof. Nelson Luıs DiasNOME: ALUNO GENERICO Assinatura:
ATENCAO: Leia atentamente todas as questoes, e comece pelas mais faceis para voce. Resolvaas questoes de forma limpa e organizada, nos espacos designados: o texto fora destes espacos naosera considerado na correcao. Boa prova.
1 [5,0] Sabendo que a formula para os coeficientes de uma serie de Fourier complexa e
ck =1L
∫ b
a
f(x)e−i2πkx
L dx,
obtenha a serie de Fourier def(x) = e−x, 0 ≤ x ≤ 1.
SOLUCAO DA 1a Questao:
Esta e uma questao basicamente de aplicacao de formula:
ck =11
∫ 1
0
e−xe−i2πkx dx
=∫ 1
0
e−(i2πk+1)x dx
=−1
(i2πk + 1)e−(i2πk+1)x
∣∣∣∣10
=−1
(i2πk + 1)
[e−(i2πk+1) − 1
]=
1(i2πk + 1)
[1− e−(i2πk+1)
]=
1(i2πk + 1)
[1− e−(i2πk)e−1
]=
1(i2πk + 1)
[1− e−1
].
A serie de Fourier sera
e−x =+∞∑
k=−∞
1i2πk + 1
[1− e−1
]ei2πkx, 0 ≤ x ≤ 1.
Continue a solucao no verso =⇒
2 [5,0] Dada a tabela de transformadas de Laplace abaixo,
1s− a
eat
1s2 + a2
sen at
as
s2 + a2cos at
1s2 − a2
senh at
as
s2 − a2cosh at
1sm
(m(inteiro) > 0)t(m−1)
(m− 1)!
sf(s)− f(0) f ′(t)s2f(s)− sf(0)− f ′(0) f ′′(t)
e usando obrigatoriamente transformadas de Laplace, resolva:
y(iv) − y = 0,
y(0) = y′(0) = y′′(0) = 0,
y′′′(0) = 1.
SOLUCAO DA 2a Questao:
A transformada de Laplace da equacao diferencial e:
s4y − s3y(0)− s2y′(0)− sy′′(0)− y′′′(0)− y = 0,
(s4 − 1)y − 1 = 0,
y =1
s4 − 1= −1
21
s2 + 1− 1
41
s + 1+
14
1s− 1
.
A inversa e imediata, usando a tabela:
y(t) = −12
sen t− 14e−t +
14et.
Continue a solucao no verso =⇒
TT009 Matematica Aplicada IP8, 27 Jun 2003Prof. Nelson Luıs DiasNOME: ALUNO GENERICO Assinatura:
ATENCAO: Leia atentamente todas as questoes, e comece pelas mais faceis para voce. Resolvaas questoes de forma limpa e organizada, nos espacos designados: o texto fora destes espacos naosera considerado na correcao. Boa prova.
1 [5,0] Sabendo que a formula para os coeficientes de uma serie de Fourier complexa e
ck =1L
∫ b
a
f(x)e−i2πkx
L dx,
obtenha a serie de Fourier def(x) = e−x, 0 ≤ x ≤ 1.
SOLUCAO DA 1a Questao:
Esta e uma questao basicamente de aplicacao de formula:
ck =11
∫ 1
0
e−xe−i2πkx dx
=∫ 1
0
e−(i2πk+1)x dx
=−1
(i2πk + 1)e−(i2πk+1)x
∣∣∣∣10
=−1
(i2πk + 1)
[e−(i2πk+1) − 1
]=
1(i2πk + 1)
[1− e−(i2πk+1)
]=
1(i2πk + 1)
[1− e−(i2πk)e−1
]=
1(i2πk + 1)
[1− e−1
].
A serie de Fourier sera
e−x =+∞∑
k=−∞
1i2πk + 1
[1− e−1
]ei2πkx, 0 ≤ x ≤ 1.
Continue a solucao no verso =⇒
2 [5,0] Dada a tabela de transformadas de Laplace abaixo,
1s− a
eat
1s2 + a2
sen at
as
s2 + a2cos at
1s2 − a2
senh at
as
s2 − a2cosh at
1sm
(m(inteiro) > 0)t(m−1)
(m− 1)!
sf(s)− f(0) f ′(t)s2f(s)− sf(0)− f ′(0) f ′′(t)
e usando obrigatoriamente transformadas de Laplace, resolva:
y(iv) − y = 0,
y(0) = y′(0) = y′′(0) = 0,
y′′′(0) = 1.
SOLUCAO DA 2a Questao:
A transformada de Laplace da equacao diferencial e:
s4y − s3y(0)− s2y′(0)− sy′′(0)− y′′′(0)− y = 0,
(s4 − 1)y − 1 = 0,
y =1
s4 − 1= −1
21
s2 + 1− 1
41
s + 1+
14
1s− 1
.
A inversa e imediata, usando a tabela:
y(t) = −12
sen t− 14e−t +
14et.
Continue a solucao no verso =⇒
TT009 Matematica Aplicada IP8, 27 Jun 2003Prof. Nelson Luıs DiasNOME: ALUNO GENERICO Assinatura:
ATENCAO: Leia atentamente todas as questoes, e comece pelas mais faceis para voce. Resolvaas questoes de forma limpa e organizada, nos espacos designados: o texto fora destes espacos naosera considerado na correcao. Boa prova.
1 [5,0] Sabendo que a formula para os coeficientes de uma serie de Fourier complexa e
ck =1L
∫ b
a
f(x)e−i2πkx
L dx,
obtenha a serie de Fourier def(x) = e−x, 0 ≤ x ≤ 1.
SOLUCAO DA 1a Questao:
Esta e uma questao basicamente de aplicacao de formula:
ck =11
∫ 1
0
e−xe−i2πkx dx
=∫ 1
0
e−(i2πk+1)x dx
=−1
(i2πk + 1)e−(i2πk+1)x
∣∣∣∣10
=−1
(i2πk + 1)
[e−(i2πk+1) − 1
]=
1(i2πk + 1)
[1− e−(i2πk+1)
]=
1(i2πk + 1)
[1− e−(i2πk)e−1
]=
1(i2πk + 1)
[1− e−1
].
A serie de Fourier sera
e−x =+∞∑
k=−∞
1i2πk + 1
[1− e−1
]ei2πkx, 0 ≤ x ≤ 1.
Continue a solucao no verso =⇒
2 [5,0] Dada a tabela de transformadas de Laplace abaixo,
1s− a
eat
1s2 + a2
sen at
as
s2 + a2cos at
1s2 − a2
senh at
as
s2 − a2cosh at
1sm
(m(inteiro) > 0)t(m−1)
(m− 1)!
sf(s)− f(0) f ′(t)s2f(s)− sf(0)− f ′(0) f ′′(t)
e usando obrigatoriamente transformadas de Laplace, resolva:
y(iv) − y = 0,
y(0) = y′(0) = y′′(0) = 0,
y′′′(0) = 1.
SOLUCAO DA 2a Questao:
A transformada de Laplace da equacao diferencial e:
s4y − s3y(0)− s2y′(0)− sy′′(0)− y′′′(0)− y = 0,
(s4 − 1)y − 1 = 0,
y =1
s4 − 1= −1
21
s2 + 1− 1
41
s + 1+
14
1s− 1
.
A inversa e imediata, usando a tabela:
y(t) = −12
sen t− 14e−t +
14et.
Continue a solucao no verso =⇒
TT009 Matematica Aplicada IP8, 27 Jun 2003Prof. Nelson Luıs DiasNOME: ALUNO GENERICO Assinatura:
ATENCAO: Leia atentamente todas as questoes, e comece pelas mais faceis para voce. Resolvaas questoes de forma limpa e organizada, nos espacos designados: o texto fora destes espacos naosera considerado na correcao. Boa prova.
1 [5,0] Sabendo que a formula para os coeficientes de uma serie de Fourier complexa e
ck =1L
∫ b
a
f(x)e−i2πkx
L dx,
obtenha a serie de Fourier def(x) = e−x, 0 ≤ x ≤ 1.
SOLUCAO DA 1a Questao:
Esta e uma questao basicamente de aplicacao de formula:
ck =11
∫ 1
0
e−xe−i2πkx dx
=∫ 1
0
e−(i2πk+1)x dx
=−1
(i2πk + 1)e−(i2πk+1)x
∣∣∣∣10
=−1
(i2πk + 1)
[e−(i2πk+1) − 1
]=
1(i2πk + 1)
[1− e−(i2πk+1)
]=
1(i2πk + 1)
[1− e−(i2πk)e−1
]=
1(i2πk + 1)
[1− e−1
].
A serie de Fourier sera
e−x =+∞∑
k=−∞
1i2πk + 1
[1− e−1
]ei2πkx, 0 ≤ x ≤ 1.
Continue a solucao no verso =⇒
2 [5,0] Dada a tabela de transformadas de Laplace abaixo,
1s− a
eat
1s2 + a2
sen at
as
s2 + a2cos at
1s2 − a2
senh at
as
s2 − a2cosh at
1sm
(m(inteiro) > 0)t(m−1)
(m− 1)!
sf(s)− f(0) f ′(t)s2f(s)− sf(0)− f ′(0) f ′′(t)
e usando obrigatoriamente transformadas de Laplace, resolva:
y(iv) − y = 0,
y(0) = y′(0) = y′′(0) = 0,
y′′′(0) = 1.
SOLUCAO DA 2a Questao:
A transformada de Laplace da equacao diferencial e:
s4y − s3y(0)− s2y′(0)− sy′′(0)− y′′′(0)− y = 0,
(s4 − 1)y − 1 = 0,
y =1
s4 − 1= −1
21
s2 + 1− 1
41
s + 1+
14
1s− 1
.
A inversa e imediata, usando a tabela:
y(t) = −12
sen t− 14e−t +
14et.
Continue a solucao no verso =⇒
TT708 Micrometeorologia e Dispersao AtmosfericaP1, 27 Jun 2003Prof. Nelson Luıs DiasNOME: Eduardo Calegari Assinatura:TT009 Matematica Aplicada I
1 [10,0] A definicao correta de umidade relativa e
y ≡ r/r∗,
onde r = ρv/ρs e a razao de mistura do ar e r∗ = ρ∗v/ρ∗s e a maxima razao de mistura possıvel a mesmatemperatura termodinamica T ; note que quando a atmosfera esta saturada, a pressao parcial do ar seco e p−e∗,e nao p− e; use este fato para mostrar que
y =e
e∗p− e∗
p− e≈ e
e∗.
TT708 Micrometeorologia e Dispersao AtmosfericaP1, 27 Jun 2003Prof. Nelson Luıs DiasNOME: Favia Rodrigues Assinatura:TT009 Matematica Aplicada I
1 [10,0] A definicao correta de umidade relativa e
y ≡ r/r∗,
onde r = ρv/ρs e a razao de mistura do ar e r∗ = ρ∗v/ρ∗s e a maxima razao de mistura possıvel a mesmatemperatura termodinamica T ; note que quando a atmosfera esta saturada, a pressao parcial do ar seco e p−e∗,e nao p− e; use este fato para mostrar que
y =e
e∗p− e∗
p− e≈ e
e∗.
TT009 Matematica Aplicada IP9, 04 Jul 2003Prof. Nelson Luıs DiasNOME: ALUNO GENERICO Assinatura:
ATENCAO: Leia atentamente todas as questoes, e comece pelas mais faceis para voce. Resolvaas questoes de forma limpa e organizada, nos espacos designados: o texto fora destes espacos naosera considerado na correcao. Boa prova.
1 [10,0] Se
φn(x) =n
πl
1
1 +(
nxl
)2
mostre que:
a)∫ +∞
−∞φn(x) dx = 1, ∀n,
b) limn→∞
∫ +∞
−∞f(x)φn(x − a) dx = f(a),
e que portanto φn(x) e uma sequencia delta. Sugestao:
d
dxarctg x =
11 + x2
.
SOLUCAO DA 1a Questao: ∫ +∞
−∞
11 + x2
dx = 2∫ ∞
0
11 + x2
dx = 2 arctg x|∞0 = 2(π/2 − 0) = π;
y =n(x − a)
l,
dy =ndx
l,
x =ly
n+ a,
limn→∞
∫ +∞
−∞f(x)
n
πl
1
1 +(
n(x−a)l
)2 dx = limn→∞
∫ +∞
−∞f(
ly
n+ a)
1π
11 + y2
dy
= f(a)∫ ∞−∞
1π
11 + y2
dy = f(a).
Continue a solucao no verso =⇒
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