transmiss~ao de calor (cap tulo 2) lista de problemas...

Transmissao de Calor (Capıtulo 2)–

Lista de Problemas (Resolucao Completa)

1. Considere conducao de calor unidimensional numa parede plana, em regime estacionario, semgeracao interna de energia termica e com condutibilidade termica (k) constante. Nestas condicoes,impondo as temperaturas T (x = x0,ref) = Tmax e T (x = xL,ref) = Tmin (< Tmax) e considerandok = kref obtem-se a distribuicao de temperaturas apresentada na figura (“Referencia”) e o fluxo decalor correspondente e dado por q′′x,ref = q′′x,ref i. Considerando q′′x,ref e Tmax (temperatura maxima

Problema 1

na parede) para os Casos 1–3 (ver figura), indique, justificando:

(a) qual dos perfis apresentados para o Caso 1 e obtido se k > kref ;

Resolucao:

q′′x = q′′x,ref ⇔ kdT

dx= kref

⇔ kref

(dT/dx)ref

< 1⇔ dT

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Dos tres perfis apresentados para o Caso 1, o unico que respeita dT/dx < (dT/dx)ref e oPerfil A.

(b) qual dos perfis apresentados para o Caso 2 e obtido se L < Lref (= xL,ref − x0,ref); e

Resolucao:

q′′x = q′′x,ref ⇔ kdT

dx= kref

⇔ dT

Dos tres perfis apresentados para o Caso 2, o unico que respeita dT/dx = (dT/dx)ref e oPerfil B.

(c) qual dos perfis apresentados para o Caso 3 e obtido se q′′x = −q′′x,ref .

Resolucao:

q′′x = −q′′x,ref ⇔ kdT

dx= −kref

⇔ dT

dx= −

Dos tres perfis apresentados para o Caso 3, o unico que respeita dT/dx = − (dT/dx)ref e oPerfil C.

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2. Uma tubagem que transporta vapor de agua encontra-se revestida por um material isolante decondutibilidade termica k. Os raios interior e exterior do isolante sao ri e ro, respectivamente.Num dado instante de tempo particular, a distribuicao de temperatura no isolante tem a seguinteforma:

T (r) = C1ln

(a) As condicoes do problema sao estacionarias ou transientes? Justifique.

Resolucao:∂T

]⇔ ∂T

∂t= 0⇒

⇒ As condicoes do problema sao estacionarias

(b) Como variam a taxa e o fluxo de calor no isolante em funcao do raio?

Resolucao:

Aplicando a lei de Fourier para o calculo do fluxo e da taxa de transferencia de calor,tem-se:

Fluxo de calor

q′′r = −kdTdr

= −k ddr

]⇔ q′′r = −kC1

⇒ O fluxo de calor e inversamente proporcional ao raio, i.e., q′′r ∝ r−1

Taxa de transferencia de calor

qr = Aq′′r = (2πrL)

(−kC1

)⇔ qr = −2πkLC1 ⇒

⇒ A taxa de transferencia de calor nao depende do raio

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3. Uma superfıcie plana com uma area de 2 m2 (A) e temperatura de 350 K (Ts) e arrefecida convec-tivamente por diferentes fluidos (em diferentes regimes de conveccao) mas com uma temperaturaconstante e igual a 300 K (T∞). Com base nos dados apresentados na tabela, determine as maio-res e menores taxas de transferencia de calor que poderao ser obtidas durante o processo de

Problema 3

Aplicacoes Coeficiente de Conveccao (h [W m−2 K−1]) – Gama TıpicaConveccao NaturalGases 2− 25Lıquidos 50− 1000Conveccao ForcadaGases 25− 250Lıquidos 50− 20000

arrefecimento para:

(a) conveccao natural; e

Resolucao:

Considerando a taxa de transferencia de calor calculada a partir da lei de arrefecimento deNewton tem-se:

qconv = hA (Ts − T∞) (7)

onde, A = 2 m2, Ts = 350 K e T∞ = 300 K. O coeficiente de transferencia de calor porconveccao (ou simplesmente “coeficiente de conveccao”), h, e obtido directamente da tabela.

Uma vez que qconv ∝ h (ver Equacao (7)), as maiores (menores) taxas de transferencia decalor para cada regime sao obtidas para os maiores (menores) coeficientes de conveccao.

A tabela mostra que independente do regime de conveccao (conveccao natural ou forcada)os valores mınimos (maximos) para o coeficiente de conveccao sao observados para os gases(lıquidos).

Substituindo os valores correspondentes na Equacao (7), obtem-se as respostas pretendidas.

hmin = 2 W m−2 K−1 ⇒ qconv,min = 2× 2 (350− 300)⇔ qconv,min = 200 W (8)

hmax = 1000 W m−2 K−1 ⇒ qconv,max = 1000×2 (350− 300)⇔ qconv,max = 1× 105 W (9)

(b) conveccao forcada.

Resolucao:

Seguindo o mesmo procedimento da alınea anterior, tem-se:

hmin = 25 W m−2 K−1 ⇒ qconv,min = 100× 2 (350− 300)⇔ qconv,min = 2500 W (10)

hmax = 20000 W m−2 K−1 ⇒ qconv,max = 20000× 2 (350− 300)⇔

⇔ qconv,max = 2× 106 W(11)

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4. Uma placa plana tem uma superfıcie isolada e a outra exposta ao sol. A superfıcie exposta ao solabsorve radiacao a taxa de 800 W m−2 (Gabs

sol ) e perde calor por conveccao para o ar ambiente epor radiacao para as superfıcies envolventes. Considere a emissividade da superfıcie exposta aosol (ε) igual a 0.8 e o coeficiente de conveccao do ar ambiente (h) igual a 12 W m−2 K−1. Se atemperatura do ar ambiente (T∞) e a temperatura das superfıcies envolventes (Tsur) forem iguaisa 40C e 20C, respectivamente, determine a temperatura da placa (Tp) em regime estacionario.

Resolucao:

Aplicando um balanco de energia a placa tem-se:

Ein − Eout + Eg = Est (12)

A Equacao (12) pode ser simplificada tendo em conta o seguinte:

como o regime e estacionario – nao existem variacoes temporais de temperatura (i.e.,dT/dt = 0) –, o termo de acumulacao de energia termica no interior da placa, Est

(= ρV c dT/dt), e nulo; e

uma vez que no interior da placa nao ha geracao de energia termica (resultante da con-versao de outra forma de energia, como electrica, quımica, ou nuclear), o termo Eg enulo.

Considerando estas hipoteses simplificativas, a Equacao (12) da origem a Equacao (13).

Ein = Eout (13)

Os termos Ein e Eout (Equacao (13)) sao obtidos considerando as respectivas contribuicoes detransferencia de energia energia termica (calor) atraves da superfıcie da placa exposta ao sol(ver figura), tal como as Equacoes (14) e (15) descrevem.

Ein = AGabssol (14)

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Eout = A

h (Ts − T∞)︸︷︷︸q′′conv

+ εσ(T 4s − Tsur4

)︸︷︷︸q′′rad

Na Equacao (15), q′′conv e q′′rad correspondem aos fluxos de calor convectivo e radiativo na superfıcieda placa exposta ao sol. Considerando as Equacoes (14) e (15), a Equacao (13) pode escrever-sede acordo com a Equacao (16).

AGabssol = Aq′′conv + Aq′′rad ⇔ Gabs

sol = h (Tp − T∞) + εσ(T 4p − T 4

⇔ 800 = 12 [Tp − (40 + 273,15)] + 0,8× 5,67× 10−8[T 4p − (20 + 273,15)4

⇔ −4,536× 10−8T 4p − 12Tp + 4892,79 = 0⇒ Tp ≈ 350,6 K (77,5C)

Note que nas expressoes para os fluxos de calor radiativo e convectivo (Equacao (16)), a tem-peratura da superfıcie da placa que troca calor com exterior (variavel Ts na Equacao (15)) esubstituıda pela temperatura da placa (Tp) uma vez que toda a placa se encontra a mesmatemperatura (Tp = Ts). A condicao de placa isotermica deve-se ao facto de uma das superfıciesda placa ser adiabatica e o regime ser estacionario.

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5. Considere a placa plana do Problema 4, desprezando agora a absorcao de energia solar e conside-rando que em vez da superfıcie isolada, a placa tem uma superfıcie mantida a uma temperaturaconstante mas desconhecia (Ts,2). Considere as mesmas trocas de calor por conveccao e radiacaopara o exterior incluindo os mesmos valores para h, T∞, ε e Tsur do Problema 4. Considere quea placa tem 10 cm de espessura (L) e uma condutibilidade termica (k) igual a 2 W m−1 K−1.Sabendo que em regime estacionario e nas condicoes referidas a temperatura da superfıcie daplaca para o exterior – superfıcie da placa que no Problema 4 absorvia radiacao solar – e de350 K (Ts,1), determine a temperatura desconhecida, Ts,2, na superfıcie oposta.

Resolucao:

Aplicando um balanco de energia a superfıcie exterior da placa tem-se:

Ein − Eout = 0 (17)

(As superfıcies nao tem volume nem massa, logo nao se consideram os termos Eg e Est nobalanco de energia a uma superfıcie como se consideram em balancos de energia a meios.)

Os termos Ein e Eout (Equacao (17)) sao obtidos considerando as respectivas contribuicoes detransferencia de energia energia termica (calor) de e para a superfıcie em questao (superfıcieexterior da placa) – ver figura.

Ein = A

(kTs,2 − Ts,1

)︸︷︷︸

q′′cond

Eout = A

h (Ts,1 − T∞)︸︷︷︸q′′conv

+ εσ(T 4s,1 − Tsur4

)︸︷︷︸q′′rad

Nas Equacoes (18) e (19), q′′cond, q′′conv e q′′rad correspondem aos fluxos de calor condutivo, convec-tivo e radiativo, respectivamente. Considerando as Equacoes (18) e (19), a Equacao (17) podeescrever-se de acordo com a Equacao (20).

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Aq′′cond = Aq′′conv + Aq′′rad ⇔ k (Ts,2 − Ts,1) /L = h (Ts,1 − T∞) + εσ(T 4s,1 − T 4

⇔ 2 (Ts,2 − 350) /0,1 = 12 [350− (40 + 273,15)] +

+0,8× 5,67× 10−8[3504 − (20 + 273,15)4

]⇒ Ts,2 ≈ 389,4 K (116,3C)

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6. Considere uma esfera de raio igual a 2 cm (R0) que esta envolvida por um material isolante. Aesfera e colocada numa cavidade micro-ondas estando inicialmente a uma temperatura constantee uniforme de 20C (Ti) quando e submetida a um campo electromagnetico que proporcionaum aquecimento em volume com uma taxa constante e uniforme de 1 W cm−3 (q). O materialda esfera tem uma densidade (ρ) e calor especıfico (c) iguais a 6500 kg m−3 e 400 J kg−1 K−1,respectivamente. A condutibilidade termica do material da esfera e elevada o suficiente paradesprezar gradientes de temperatura no interior da esfera – assuma a temperatura da esferauniforme (isotermica) em todo o seu volume em cada instante de tempo. Determine a temperaturada esfera ao fim de 2 minutos de exposicao ao campo electromagnetico. Despreze trocas de caloratraves da superfıcie externa da esfera (r = R0).

Resolucao:

Aplicando um balanco de energia a esfera tem-se:

como nao ha transferencia de energia termica do exterior para a esfera (uma vez que aesfera esta envolvida por um isolante), o termo Ein e nulo; e

como nao ha transferencia de energia termica da esfera para o exterior (esfera isolada), otermo Eout e nulo.

Eg = Est (22)

Os termos Eg e Est (Equacao (22)) sao calculados atraves das Equacoes (23) e (24), respectiva-mente.

Eg = qV (23)

Est = ρV cdT

dt(24)

Considerando as Equacoes (23) e (24), a Equacao (22) pode escrever-se de acordo com a Equacao(25).

q = ρcdT

dt(25)

Separando as variaveis T e t, e integrando desde o instante inicial em que t = 0 e T (t = 0) = Ti,ao instante t em que T (t) = T obtem-se:

dt =ρc

dT ⇔ t =ρc

q(T − Ti) (26)

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A temperatura da esfera apos 2 minutos de aquecimento e determinada atraves da equacaoseguinte.

T = Ti +tq

ρc= 20 +

2× 60× 1× 106

6500× 400⇔ T = 66,2C (27)

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7. Considere uma esfera de raio igual a 5 cm (R0), que esta inicialmente a uma temperatura constantee uniforme de 80C (Ti) quando e mergulhada num fluido com uma temperatura de 20C (T∞) eum coeficiente de conveccao, h, igual a 100 W m−2 K−1. O material da esfera tem uma densidade(ρ) e calor especıfico (c) iguais a 8000 kg m−3 e 250 J kg−1 K−1, respectivamente. A condutibilidadetermica do material e elevada o suficiente para desprezar gradientes de temperatura no interior daesfera. Determine o tempo de contacto necessario da esfera com o fluido para que a temperaturada esfera atinja 40 C. Despreze qualquer influencia da radiacao na temperatura da esfera.

Resolucao:

Aplicando um balanco de energia a esfera tem-se:

como nao ha transferencia de energia termica do fluido envolvente para o interior da esfera,o termo Ein e nulo; e

uma vez que no interior da placa nao ha geracao de energia termica, o termo Eg e nulo.

−Eout = Est (29)

Os termos Eout e Est (Equacao (29)) sao calculados atraves das Equacoes (30) e (31), respecti-vamente.

Eout = Ah (Ts − T∞) (30)

Est = ρV cdT

dt(31)

Considerando as Equacoes (30) e (31), a Equacao (29) pode escrever-se de acordo com a Equacao(32).

−Ah (T − T∞) = ρV cdT

dt(32)

Considerando (T − T∞) = θ, dT/dt = dθ/dt. Assim, a Equacao (32) pode ser escrita de acordocom:

−Ahθ = ρV cdθ

dt(33)

Separando as variaveis θ e t e integrado desde o instante inicial em que t = 0, T (t = 0) = Ti e,consequentemente, θ(t = 0) = θi (= Ti − T∞), ao instante t em que T (t) = T e, consequente-mente, θ(t) = θ (= T − T∞) obtem-se:

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−∫ t

dt =ρV c

∫ θ

θ⇔ t =

(θiθ

O tempo de contacto necessario para a esfera atingir 40C e obtido atraves do resultado daintegracao da equacao que governa a variacao temporal da temperatura (Equacao (34)), consi-derando Ti = 80C (condicao inicial) e T (t) = 40C e, consequentemente, θi = 80− 20 = 60Ce θ = 40− 20 = 20C, respectivamente, tal apresentado na equacao seguinte.

t =8000× (4/3)π × 0,053 × 250

4π × 0,052 × 100ln

)⇔ t ≈ 366,2 s (35)

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8. Considere conducao de calor unidimensional em tres geometrias distintas: parede plana; paredecilındrica; e parede esferica. Na parede plana a conducao de calor verifica-se exclusivamente aolongo da espessura (direccao x) e nas paredes cilındrica e esferica ao longo do raio (r). Considereconducao em regime estacionario, sem geracao interna de energia termica e com uma condutibi-lidade termica constante.

(a) Com base na solucao geral da correspondente forma simplificada da equacao (de difusao) decalor faca corresponder os 3 perfis de temperatura (ao longo da coordenada espacial (ξ) dereferencia) apresentados na figura com as 3 geometrias referidas. Na figura, a coordenadaespacial de referencia, ξ, corresponde a coordenada x para a parede plana e r para sistemasradiais (paredes cilındricas e esfericas).

Problema 8

Resolucao:

A forma geral da equacao de difusao de calor e descrita pela Equacao (36). A equacaode difusao de calor governa a distribuicao espacial e temporal de temperaturas em meioshomogeneos onde o unico mecanismo de transporte de calor e a conducao (difusao). Estaequacao resulta da aplicacao do principio de conservacao de energia (Equacoes (12), (21)e (28)) a um volume de controlo diferencial (infinitesimal) onde o transporte de calor edescrito pela aplicacao da lei de Fourier.

∇ · (k∇T ) + q = ρcp∂T

∂t(36)

Para o problema em consideracao, a Equacao (36) pode ser simplificada considerando osdados do problema:

1. “conducao em regime estacionario”, o que significa que nao existem variacoes datemperatura com a coordenada temporal, t (tempo); consequentemente, ∂T/∂t = 0e o termo do segundo membro da Equacao (36) e nulo – i.e., ρcp(∂T/∂t) = 0;

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2. “sem geracao de energia termica”, ou seja, nao existe producao nem consumo deenergia termica no interior do volume de controlo (paredes plana, cilındrica e esferica)e, consequentemente, o termo q da Equacao (36) e nulo; e

3. “com condutibilidade termica constante”, ou seja, k nao varia com a posicao.

A equacao resultante da aplicacao das simplificacoes referidas a Equacao (36) apresenta-sede seguida.

∇2T = 0 (37)

Na Equacao (37), ∇2 corresponde ao operador Laplaciano – ∇2T = ∇ · (∇T ).

A Equacao (37), tem um desenvolvimento especıfico para cada uma das tres geometrias– parede plana, parede cilındrica e parede esferica – uma vez que cada geometria esta as-sociada a um sistema de coordenadas diferentes – coordenadas cartesianas, cilındricas eesfericas, respectivamente.

Parede Plana (Coordenadas Cartesianas): Para a parede plana consideram-se coor-denadas cartesianas, (x, y, z). Nestas circunstancias, a Equacao (37) e reescrita da seguinteforma:

∂x2+∂2T

∂y2+∂2T

∂z2= 0 (38)

Uma vez que e referido no enunciado do problema que a conducao e unidimensional aolongo da coordenada espacial de referencia, ξ (= x para parede plana), entao a equacaoanterior e simplificada na forma seguinte:

dx2= 0 (39)

A Equacao (39) e a “correspondente forma simplificada da equacao (de difusao) de ca-lor”(utilizando as palavras do enunciado) para a parede plana. A solucao geral destaequacao – solucao que permite identificar a forma funcional para a distribuicao de tempe-raturas – e obtida atraves da dupla integracao na coordenada espacial, x – Equacao (40).Na Equacao (40), C1 e C2 correspondem a constantes de integracao.

∫ ∫d

)dxdx =

∫ ∫0dxdx⇔

dxdx =

∫C1dx⇔ T (x) = C1x+ C2 (40)

Assim, conclui-se que o Perfil A (figura) e observado para uma parede plana, ou seja, nascondicoes do problema, a temperatura varia linearmente ao longo da espessura da paredeplana – T (x) ∝ x.

Parede Cilındrica (Coordenadas Cilındricas): Para a parede cilındrica consideram-se coordenadas cilındricas, (r, φ, z). Nestas circunstancias, a Equacao (37) e reescrita daseguinte forma:

(r∂T

)= 0 (41)

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Uma vez que e referido no enunciado do problema que a conducao e unidimensional aolongo de ξ (= r para parede cilındrica), entao a equacao anterior e agora:

)= 0 (42)

A Equacao (42) e a “correspondente forma simplificada da equacao (de difusao) de ca-lor”para a parede cilındrica. A solucao geral desta equacao e obtida atraves da duplaintegracao na coordenada espacial, r – Equacoes (43) – (44).∫

∫0dr ⇔ dT

drdr =

rdr ⇔ T (r) = C1ln(r) + C2 (44)

Assim, conclui-se que o Perfil B (figura) e observado para uma parede cilındrica, ou seja,nas condicoes do problema, a temperatura varia de acordo com o logaritmo da coordenadaradial da parede cilındrica – T (r) ∝ ln(r).

Parede Esferica (Coordenadas Esfericas): Para a parede esferica consideram-se coor-denadas esfericas, (r, φ, θ). Nestas circunstancias, a Equacao (37) e reescrita da seguinteforma:

(r2∂T

r2 sin2 θ

r2 sin θ

(sin θ

)= 0 (45)

Uma vez que e referido no enunciado do problema que a conducao e unidimensional aolongo de ξ (= r para parede esferica), entao a equacao anterior e agora:

)= 0 (46)

A Equacao (46) e a “correspondente forma simplificada da equacao (de difusao) de ca-lor”para a parede esferica. A solucao geral desta equacao e obtida atraves da dupla inte-gracao na coordenada espacial, r – Equacoes (47) – (48).∫

∫0dr ⇔ dT

r2(47)

drdr =

r2dr ⇔ T (r) =

r+ C2 (48)

Assim, conclui-se que o Perfil C (figura) e observado para uma parede esferica, ou seja, nascondicoes do problema, a temperatura varia de acordo com o inverso da coordenada radialda parede esferica – T (r) ∝ r−1.

Note que as constantes de integracao (C1 e C2) sao obtidas atraves da aplicacao de duascondicoes de fronteira nos limites do domınio espacial de interesse – condicoes de fronteira

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em ξ = ξ0 e ξ = ξ1. Uma vez conhecendo as constantes de integracao obtem-se a solucaoparticular da distribuicao de temperatura (T (ξ)) para o problema.

(b) Para a tres geometrias em consideracao, indique, justificando, como variam a taxa de trans-ferencia de calor (qξ) e o fluxo de calor (q′′ξ ) ao longo da coordenada espacial (ξ) de referencia.

Resolucao:

O fluxo de calor e a taxa de transferencia de calor sao obtidos aplicando a lei de Fourier,tendo em conta a adequada distribuicao de temperaturas – Equacoes (40), (44) e (48) paraas paredes plana, cilındrica e esferica, respectivamente.

q′′ξ (ξ) = −kdTdξ

qξ(ξ) = −kAξdT

dξ(50)

Na Equacao (55), Aξ corresponde a area da superfıcie perpendicular ao sentido da trans-ferencia de calor.

Parede Plana:

q′′x(x) = −kdTdx⇔ q′′x(x) = −kC1 (51)

qx(x) = −kAxdT

dx⇔ qx(x) = −k (Ly × Lz)C1 (52)

Para a parede plana, tanto a taxa de transferencia de calor como o fluxo de calor nao temdependencia com a coordenada espacial, x.

Parede Cilındrica:

q′′r (r) = −kdTdr⇔ q′′r (r) = −kC1

qr(r) = Arq′′r ⇔ qr(r) = −k(2πrL)

r⇔ qr(r) = −2πkLC1 (54)

Para a parede cilındrica, a taxa de transferencia de calor nao tem dependencia com a coor-denada espacial, r. Contudo, o fluxo de calor depende da posicao r.

Parede Esferica:

q′′r (r) = −kdTdr⇔ q′′r (r) = −kC1

r2(55)

qr(r) = Arq′′r ⇔ qr(r) = −k(4πr2)

r2⇔ qr(r) = −4πkC1 (56)

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Para a parede esferica, a taxa de transferencia de calor nao tem dependencia com a coor-denada espacial, r. Contudo, o fluxo de calor depende da posicao r.

Nas condicoes consideradas – conducao unidimensional, em regime estacionario e sem ge-racao de energia termica –, a taxa de transferencia de calor para as tres geometrias e cons-tante ao longo da correspondente coordenada espacial de referencia como consequencia doprincipio da conservacao de energia – ver Equacao (57)

Ein − Eout = 0⇔ qξ − (qξ +dqξdξdξ) = 0⇔ d

dξ(qξ) = 0⇒ qξ = Cte (57)

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9. Considere conducao de calor numa placa rectangular em regime estacionario. A superfıcie x = 0e aquecida electricamente com um fluxo de calor q′′0 . A superfıcie x = a e mantida a temperaturaT0. A superfıcie y = b e mantida isolada. A superfıcie y = 0 dissipa calor por conveccao paraum meio a temperatura T∞ e com um coeficiente de conveccao h. A condutibilidade termica domaterial e uniforme e nao ha geracao interna de energia. Formule o problema de conducao decalor, estabelecendo a equacao que rege a distribuicao de temperaturas na placa e as condicoesde fronteira.

Resolucao:

A figura seguinte apresenta uma representacao esquematica do enunciado. No interior da placaplana o mecanismo de transporte de calor e exclusivamente difusivo (conducao de calor).

A forma geral da equacao de difusao de calor – equacao que governa a distribuicao (espaciale temporal) de temperaturas em meios homogeneos e sem contribuicao advectiva (movimentomacroscopico de fluidos) obtida atraves da aplicacao do princıpio da conservacao de energiaconsiderando o transporte de calor no interior do meio exclusivamente por difusao (conducao)– e descrita pela Equacao (58).

∇ · (k∇T ) + q = ρcp∂T

∂t(58)

Para coordenada cartesianas (x, y, z), o primeiro termo do primeiro membro da equacao anteriorcorresponde aos tres primeiros termos do primeiro membro da Equacao (59).

(k∂T

)+ q = ρcp

∂t(59)

A Equacao (59) pode ser simplificada tendo em conta os dados do problema, tal como se segue:

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1. como o problema e bidimensional (no plano (x, y)) desprezam-se gradientes de tempera-tura (fluxos de calor) na direccao ortogonal (direccao z) e, consequentemente, o termo∂/∂z (k∂T/∂z) e nulo.

2. como o regime e estacionario, a temperatura nao tem dependencia temporal (i.e., ∂T/∂t =0) e, assim, o unico termo do segundo membro da equacao, ρcp∂T/∂t, e nulo.

3. uma vez que nao existe geracao de energia termica no interior da placa, o quarto termodo primeiro membro da equacao, q, e nulo.

4. como a condutibilidade termica k e constante em todo o domınio da placa, ∂k/∂x =∂k/∂y = 0 e, consequentemente, a equacao que governa a distribuicao de temperaturasna placa nao vai apresentar dependencia de k.

Com as simplificacoes descritas, a Equacao (59) resulta na Equacao (60).

∂x2+∂2T

∂y2= 0 (60)

A Equacao (60) governa a distribuicao de temperaturas no interior da placa. Contudo, a tempe-ratura particular em cada ponto da placa T (x, y) depende da interacao da placa com o ambienteenvolvente atraves das fronteiras da placa. Estas interacoes sao consideradas matematicamenteatraves da definicao de condicoes de fronteira. De acordo com o enunciado do problema, asquatro fronteiras da placa (x = 0, x = a, y = 0 e y = b) estao sujeitas a diferentes condicoestermicas, como as condicoes de fronteira descrevem em seguida.

−k∂T∂x

∣∣∣∣x=0

= q′′0 (61)

A Equacao (61) representa uma condicao de fronteira de Segundo Tipo (ou de Neumann ou,simplesmente, de fluxo imposto). Esta equacao indica que o fluxo de calor atraves da superfıciex = 0 e igual a q′′0 .

T (x = a, y) = T0 (62)

A Equacao (62) representa uma condicao de fronteira de Primeiro Tipo (ou de Dirichlet ou,simplesmente, de valor imposto).

−k∂T∂y

∣∣∣∣y=0

= h [T∞ − T (x, y = 0)] (63)

A Equacao (63) representa uma condicao de fronteira de Terceiro Tipo (ou de conveccao). Estaequacao indica que o fluxo de calor que atravessa a surperfıce y = 0 e igual o fluxo de calorremovido por conveccao.

∣∣∣∣y=b

= 0 (64)

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Esta condicao de fronteira (Equacao (64)) e um caso particular das condicoes de fronteira deSegundo Tipo (ver Equacao (61)) uma vez que especifica que o valor do fluxo imposto e nulo –ou seja, nao existe transferencia de calor atraves da superfıcie y = b (superfıcie adiabatica).

A figura seguinte apresenta distribuicoes de temperatura (primeira linha) e vectores de fluxo decalor, q′′ (segunda linha) para o problema em questao considerando as condicoes apresentadas –parametros geometricos (a e b), condutibilidade termica (k), fluxo imposto em x = 0 (q′′0), tem-peratura imposta em x = a (T0) e temperatura do fluido (T∞). Tres casos sao apresentados refe-rentes a diferentes valores para o coeficiente de conveccao (h) – h = 10; 100; 1000W m−2 K−1.A temperatura no interior das placas e calculada recorrendo a equacao ∇2T = 0 (Equacao (60)).

O aumento do coeficiente de conveccao promove um aumento da remocao de energia termica(calor) atraves da superfıcie y = 0. Como consequencia, as temperaturas na placa diminuem,sendo esta diminuicao particularmente visıvel nas proximidades da superfıcie y = 0. Repare quecomo a superfıcie y = b e adiabatica as isolinhas de temperatura (linhas de temperatura cons-tante) sao perpendiculares a esta superfıcie. (Os vectores de fluxo de calor sao perpendicularesas isolinhas de temperatura.) Assim, em y = b os vectores de fluxo de calor tem componentenula segundo y (q′′y = 0) o que respeita a respectiva condicao de fronteira (Equacao (64)). Consi-derando o valor mais baixo para o coeficiente de conveccao (h = 10 W m−2 K−1), verifica-se umcaminho preferencial para a transferencia de calor da superfıcie x = 0 para a superfıcie x = a(ver isolinhas de temperatura e vectores de fluxo de calor).

Condicoes de Fronteira de Conveccao (Terceiro Tipo) – Notas:

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Considere uma parede (plana, cilındrica ou esferica) representada nas seguintes figuras (Caso Ae Caso B). A dimensao espacial de referencia, ξ, corresponde a x (ou a qualquer outra direccaocartesiana – y ou z) para paredes planas e a r para sistemas radiais (paredes cilındricas eesfericas). Considere que duas das superfıcies da parede estao submetidas a trocas de calor porconveccao devido ao contacto destas com fluidos adjacentes – superfıcies ξ = ξ1 e ξ = ξ2. Aunica diferenca entre os dois casos e o sentido do eixo ξ. As condicoes de fronteira em cada umadas superfıcies dependem da orientacao do eixo ξ em relacao a parede (compare as Equacoes(65) e (67) e as Equacoes (65) e (67)).

Caso A

ξ = ξ1:

−k∂T∂ξ

∣∣∣∣ξ=ξ1

= h [T∞ − T (ξ = ξ1)] (65)

ξ = ξ2:

−k∂T∂ξ

∣∣∣∣ξ=ξ2

= h [T (ξ = ξ2)− T∞] (66)

Caso B

ξ = ξ1:

−k∂T∂ξ

∣∣∣∣ξ=ξ1

= h [T (ξ = ξ1)− T∞] (67)

ξ = ξ2:

−k∂T∂ξ

∣∣∣∣ξ=ξ2

= h [T∞ − T (ξ = ξ2)] (68)

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Repare que a condicao de fronteira em y = 0 (Equacao (63)) corresponde a mesma condicaode fronteira em ξ = ξ1 para o Caso A (Equacao (65)) ou em ξ = ξ2 para o Caso B (Equacao(68)).

Se se considerasse em y = b trocas de calor por conveccao (em vez de se considerar estasuperfıcie como perfeitamente isolada – adiabatica) a condicao de fronteira correspondenteseria semelhante a observada em ξ = ξ2 para o Caso A (Equacao (66)) ou em ξ = ξ1 parao Caso B (Equacao (67)), ou seja, seria descrita pela Equacao (69).

−k∂T∂y

∣∣∣∣y=b

= h [T (x, y = b)− T∞] (69)

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10. Considere uma esfera de raio r0 e condutibilidade termica k. A esfera e inicialmente aquecida numforno ate atingir uma temperatura uniforme T1, sendo no instante t = 0 subitamente imersa numbanho de oleo a temperatura T∞ (< T1). Supondo que o coeficiente de conveccao e constante,formule o problema que descreve a variacao de temperatura na esfera ao longo do tempo, isto e,estabeleca a equacao diferencial que permite determinar a variacao da temperatura em funcaodo tempo e do raio para t > 0 e as condicoes de fronteira.

Resolucao:

A figura seguinte apresenta uma representacao esquematica do enunciado. No interior da esferao mecanismo de transporte de calor e exclusivamente difusivo (conducao de calor).

Uma vez que o mecanismo responsavel pelo transporte de calor no interior da esfera e difusivo(conducao de calor) entao a equacao que permite determinar a distribuicao espacial e temporalde temperaturas e a equacao de difusao de calor.

A forma geral da equacao de difusao de calor e descrita pela Equacao (58).

∇ · (k∇T ) + q = ρcp∂T

∂t(70)

Como a geometria considerada e esferica, entao a equacao anterior (nomeadamente o primeirotermo) e particularmente descrita pela equacao seguinte (Equacao (71)) – equacao de difusaode calor em coordenada esfericas (r, φ, θ).

(kr2∂T

r2sin2θ

(k∂T

r2sinθ

(ksinθ

)+ q = ρcp

∂t(71)

A equacao anterior pode ser simplificada considerando as condicoes particulares do problematal como se segue:

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1. como no instante inicial a temperatura da esfera e uniforme em todo o volume e duranteo arrefecimento o ambiente termico exterior (coeficiente de conveccao, h, e temperaturado fluido, T∞) e constante em toda a superfıcie da esfera, entao conclui-se que durante oprocesso de arrefecimento apenas os gradientes de temperatura ao longo do raio da esferasao relevantes – conducao unidimensional ao longo de r – e os gradientes termicos ao longodas coordenadas φ e θ sao nulos. Como consequencia desta conclusao, o segundo e terceirotermo do primeiro membro da equacao anterior nao desprezaveis.

2. uma vez que nao existe geracao de energia termica no interior da esfera, o quarto termodo primeiro membro da equacao, q, e nulo.

3. a condutibilidade termica k e considerada constante em todo o domınio da esfera e, con-sequentemente, ∂k/∂r = 0.

Tendo em conta as simplificacoes descritas, a Equacao (71) resulta na Equacao (72), a qualpermite determinar a variacao de temperatura em funcao do tempo e do raio, i.e., T (r, t).

(r2∂T

∂t(72)

A solucao particular T (r, t) e obtida aplicando a Equacao (72) juntamente com condicoes defronteira e condicao inicial. Uma vez que a diferencial que governa a distribuicao temporal eespacial de temperaturas, Equacao (72), e de segunda ordem (primeira ordem) em relacao acoordenada espacial, r (coordenada temporal, t) entao e necessario definir duas condicoes defronteira (uma condicao inicial) para o calculo da solucao particular do problema.

As condicoes de fronteira sao aplicadas nos limites do domınio de calculo, ou seja, em r = 0 er = r0.

r = 0:

∣∣∣∣r=0

= 0 (73)

No centro da esfera (r = 0), o fluxo de calor (gradiente de temperatura) e nulo uma vez queo centro da esfera corresponde a um ponto de simetria radial da distribuicao de temperatura.Esta condicao de fronteira e um caso particular das condicoes de fronteira de Segundo Tipo –condicao de fronteira de fluxo nulo.

r = r0:

−k∂T∂r

∣∣∣∣r=r0

= h [T (r = r0, t)− T∞] (74)

Na superfıcie da esfera (r = r0) a condicao de fronteira correspondente e do Terceiro Tipoestabelecendo a conservacao de energia nesta superfıcie entre o fluxo de conducao (r → r−0 ) eo fluxo de conveccao (r → r+

0 ). Repare que esta condicao de fronteira e semelhante a condicaode fronteira considerada em ξ = ξ2 para o Caso A (Equacao (66)) ou em ξ = ξ1 para o Caso B(Equacao (67)) – ver resolucao do Problema 9.

A condicao inicial define a temperatura para todo o domınio de calculo (0 ≤ r ≤ r0) num

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determinado instante de tempo denominado de instante inicial. t = 0:

T (r, t = 0) = T1 (75)

A solucao da Equacao (72) considerando as Equacoes (73) – (75) permite obter a distribuicaode temperatura T (r, t).

A figura seguinte apresenta perfis de temperatura para a uma esfera – com as propriedadesgeometricas (r0) e termofısicas (k e α) referidas na figura – inicialmente a 200C (T1) arrefe-cida por 3 fluidos a 20C (T∞) mas com diferentes coeficientes de conveccao (h): 500, 5000 e20000 W m−2 K−1. Para os 3 casos, a figura apresenta perfis de temperatura ao longo do raio daesfera (T (r)) para 5 instantes de tempo apos o inıcio do processo de arrefecimento por conveccao(t = 0 s): 10 s, 1 min, 2 min e 5 min. Apos alguns segundos do inıcio do processo de arrefecimento,e visıvel a diminuicao da temperatura da esfera justo a sua superfıcie exterior (r ≈ r0) enquantoque no interior da esfera a temperatura ainda nao sentiu o efeito de arrefecimento – ver perfisde temperatura para t = 10 s.

Quanto maior o valor do coeficiente de conveccao mais rapido e o processo de arrefecimento –note que para h igual 20000 W m−2 K−1 ao fim de 5 min do inıcio do arrefecimento, a esferaesta praticamente em equilıbrio termico com o fluido (T (r, t = 5 min) ≈ T∞ = 20C). Contudo,para o mesmo tempo de contacto (5 min) mas com um fluido com h igual 500 W m−2 K−1, atemperatura media da esfera e aproximadamente igual a 80C. Para valores baixos do coeficientede conveccao, as temperaturas na esfera perdem a dependencia da coordenada espacial, i.e.,em cada instante de tempo as temperaturas tornam-se aproximadamente iguais para todas asposicoes radiais.

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11. Em determinadas condicoes, a temperatura na superfıcie da pele de um indivıduo e 30C, sendoinferior a temperatura do corpo, que e de 36,5C. A transicao entre estas temperaturas temlugar numa camada da pele com uma espessura de 1 cm e com uma condutibilidade termica de0,42 W m−1 K−1. A superfıcie da pele esta em contacto com ar a 20C mas com um coeficientede conveccao desconhecido.

(a) Estime o fluxo de calor que se escapa atraves da pele, considerando-a um meio condutor emrepouso.

Resolucao:

A figura seguinte ilustra esquematicamente a distribuicao distribuicao de temperatura parao problema. A conducao de calor na camada de pele e unidimensional da superfıcie interiora temperatura Ts,1 (= 36,5C), para a superfıcie exterior a temperatura Ts,2 (= 30,0C). Aespessura da camada de pele (L) bem como a condutibilidade termica (k) sao fornecidasno enunciado.

A figura anterior pode ser representada atraves de um circuito termico equivalente – verfigura seguinte –, identificando as temperaturas na superfıcie interna da pele (Ts,1), nasuperfıcie externa (Ts,2) e do ar exterior (T∞,2). Entre os nos do circuito termico equiva-lente correspondentes as temperaturas referidas encontram-se as respectivas resistenciastermicas: resistencia termica de conducao (Rt,cond) entre Ts,1 e Ts,2 e resistencia termica deconveccao (Rt,conv2) entre Ts,2 e T∞,2.

Para o calculo do fluxo de calor, q′′x, pode recorrer-se ao circuito termico equivalente, como

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se segue.

qx =Ts,1 − Ts,2Rt,cond

⇔ qx =Ts,1 − Ts,2L/(kA)

⇔ qx =kA

L(Ts,1 − Ts,2)⇔

⇔ qxA

=(Ts,1 − Ts,2)

R′′t,cond

⇔ q′′x =k

L(Ts,1 − Ts,2)⇔ q′′x =

0,01(36,5− 30)⇔

⇔ q′′x = 273 W m−2

(b) Determine o coeficiente de conveccao do ar sobre a superfıcie da pele.

Resolucao:

Dado que nas condicoes do problema (conducao unidimensional em coordenadas cartesia-nas, em regime estacionario, sem geracao de energia termica e com condutibilidade termicaconstante) o fluxo de calor se mantem constante – a, semelhanca, da taxa de transferenciade calor –, entao o fluxo difusivo de calor calculado na alınea anterior (q′′x (= q′′cond)) e igualao fluxo de calor removido da superfıcie da pele por conveccao (q′′conv2

). Assim, tem-se:

q′′conv2= q′′cond ⇔

Ts,2 − T∞,2R′′t,conv2

= q′′x ⇔Ts,2 − T∞,2

= q′′x ⇔

⇔ h2 =q′′x

Ts,2 − T∞,2⇔ h2 =

30− 20⇔ h2 = 27,3 W m−2 K−1

Note que para a resolucao desta alınea recorreu-se a utilizacao do analogo electrico – circuitotermico equivalente. Contudo, esta alınea tambem poderia ser resolvida recorrendo a umbalanco de energia a superfıcie externa da pele (ver Problema 5).

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12. Durante o Inverno, a superfıcie de um rio forma uma camada de gelo de espessura desconhecida.A temperatura da agua no lago encontra-se a 4C (T∞,1) e a temperatura do ar ambiente e −30C(T∞,2). A temperatura na interface entre a agua e o gelo e 0C (Ts,1). A condutibilidade termicado gelo e 2,25 W m−1 K−1 (k). Os coeficientes de conveccao do lado do ar (h2) e do lado da agua(h1) sao 100 W m−2 K−1 e 500 W m−2 K−1, respectivamente. Calcule a temperatura na superfıciedo gelo em contacto com o ar, Ts,2, e a espessura da camada de gelo, L.

Resolucao:

A figura seguinte apresenta a distribuicao de temperatura para o problema. O sentido da trans-ferencia de calor verifica-se da agua para o ar (uma vez que T∞,1 > T∞,2). A conducao de calorna camada de gelo e unidimensional (ao longo da coordenada x) uma vez que os gradientes detemperatura segundo as direccoes cartesianas ortogonais a x – i.e., ∂T/∂y e ∂T/∂z – sao des-prezaveis. Estes gradientes de temperatura sao desprezaveis uma vez que se assume que: (1) aplaca de gelo e longa o suficiente nas direccoes ortogonais a x; e (2) os coeficientes de conveccao(h1 e h2) e as temperaturas dos fluidos (T∞,1 e T∞,2) sao constantes nas direccoes ortogonais ax.

O circuito termico equivalente e apresentado na figura seguinte onde o sentido da transferenciade calor e identificado. Nesta figura, os diferentes nos do circuito correspondem as diferen-tes temperaturas envolvidas no problema. Entre nos sucessivos do circuito termico equivalentedefinem-se as resistencias termicas de conducao (Rt,cond), conveccao (Rt,conv) e, eventualmente,de radiacao (Rt,rad) – genericamente Rt. Para uma determinada taxa de transferencia de calor(qx), quanto maior a resistencia termica (Rt) maior a diferenca de temperaturas (∆T ) – noteque ∆T = q ×Rt.

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Uma vez que a taxa de transferencia de calor (qx) – tal como o fluxo de calor (q′′x) – e constanteao longo de todo o circuito termico equivalente tem-se:

qx = qconv1 = qcond = qconv2 (78)

Igualando a taxa de transferencia de calor por conveccao da agua para o gelo (qconv1) a taxa detransferencia de calor do gelo para o ar (qconv2) tem-se:

qconv1 = qconv2 ⇔T∞,1 − Ts,1Rt,conv1

=Ts,2 − T∞,2Rt,conv2

⇔ Ts,2 =Rt,conv2

Rt,conv1

(T∞,1 − Ts,1) + T∞,2 ⇔ Ts,2 =h1

(T∞,1 − Ts,1) + T∞,2 ⇔

⇔ Ts,2 =500

100(4− 0) + (−30)⇔ Ts,2 = −10C

Note que a resistencia termica a conveccao na interface i de um solido com um fluido, Rt,convi, e

calculada atraves da equacao seguinte (Equacao (80)) em que hi corresponde ao coeficiente detransferencia de calor por conveccao sobre a superfıcie solida (devido a accao macroscopica domovimento do fluido sobre a superfıcie) e A a area de contacto solido/fluido.

Rt,convi=

hiA(80)

A espessura da camada de gelo pode ser calculada igualando qcond a qconv1 (ou a qconv2) uma vezque a temperaturas T∞,1, Ts,1 e Ts,2 (ou Ts,1, Ts,2 e T∞,2) sao conhecidas.

Igualando qcond com qconv1 (Equacao (78)) tem-se:

qconv1 = qcond ⇔T∞,1 − Ts,1Rt,conv1

=Ts,1 − Ts,2Rt,cond

⇔ T∞,1 − Ts,11/(h1A)

=Ts,1 − Ts,2L/(kA)

⇔ h1A (T∞,1 − Ts,1) =L

kA(Ts,1 − Ts,2)⇔

⇔ L =kA (Ts,1 − Ts,2)

h1A (T∞,1 − Ts,1)⇔ L =

2,25× (0 + 10)

500× (4− 0)⇔

⇔ L = 1,125 cm

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13. A parede de um forno usado para curar partes de plastico tem uma espessura L = 0,05 m ea sua superfıcie externa encontra-se exposta ao ar e a um ambiente amplo. O ar e o ambienteenvolvente estao a 30 C (T∞,2 = Tsur). A temperatura da superfıcie externa do forno e de400 K (Ts,2), e o coeficiente de conveccao (h) e emissividade (ε) sao iguais a 20 W m−2 K−1 e 0,8,respectivamente. Calcule a temperatura da superfıcie interna da parede do forno (Ts,1), sabendoque a condutibilidade termica (k) do material da parede igual a 0,7 W m−1 K−1.

Resolucao:

As duas figuras seguintes apresentam a distribuicao de temperatura para o problema e o circuitotermico equivalente, respectivamente.

Nas condicoes do problema, o fluxo de calor ao longo da parede do forno (q′′x) e constante.Igualando o fluxo difusivo de calor (q′′cond) com a soma dos fluxos convectivo e radiativo dasuperfıcie externa do forno (q′′x,conv&rad) – equivalente a aplicacao de um balanco de energia asuperfıcie externa do forno – obtem-se uma equacao que permite obter a temperatura pretendida(Ts,1) – ver Equacao (82) – em funcao das propriedades geometricas (L) e termofısicas (k, h eε) e das temperaturas Ts,2 e T∞ (= Tsur) descritas no enunciado do problema.

q′′x,cond = q′′x,conv&rad ⇔Ts,1 − Ts,2Rt,condA

=Ts,2 − T∞Rt,totA

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Na Equacao (82), Rt,tot corresponde a resistencia termica total resultante da associacao emparalelo das resistencias termicas de conveccao e radiacao – Rt,conv e Rt,rad, respectivamente.Esta resistencia termica total e calculada como se apresenta de seguida (Equacao (83)).

Rt,tot

Rt,conv

Rt,rad

Rt,tot

= hA+ hrA⇔

⇔ Rt,totA =1

h+ hr⇔ Rt,totA︸︷︷︸

R′′t,tot

h+ εσ (Ts,2 + Tsur)(T 2s,2 + T 2

) (83)

Note que por conveniencia a taxa (lıquida) de transferencia de calor por radiacao, qrad (=Aεσ(T 4

s − T 4sur)) pode ser calculada de forma similar a lei de arrefecimento de Newton – que

permite calcular a taxa de transferencia de calor por conveccao – atraves da equacao seguinte(Equacao (84)),

qrad = hrA(Ts − Tsur) (84)

em que hr corresponde ao coeficiente de transferencia de calor por radiacao – em estrita analogiacom o coeficiente de transferencia de calor por conveccao, h – o qual e determinado atraves daEquacao (85).

hr = εσ(Ts + Tsur)(T2s + T 2

sur) (85)

Consequentemente, a resistencia termica de radiacao, Rt,rad (considerada na Equacao (83)), eobtida atraves da equacao seguinte (Equacao (86)) tendo em conta a Equacao (84).

Rt,rad =Ts − Tsur

=Ts − Tsur

hrA(Ts − Tsur)⇔ Rt,rad =

hrA(86)

(Note que a resistencia termica de conveccao, Rt,conv, e obtida de forma similar – ver Equacao(87).)

Rt,conv =Ts − T∞qconv

=Ts − T∞

hA(Ts − T∞)⇔ Rt,conv =

hA(87)

O circuito termico equivalente resultante da simplificacao anterior – associacao em paralelo dasresistencias termicas Rt,conv e Rt,rad para a obtencao de uma resistencia termica total, Rt,tot

(Equacao (83)) – e apresentado na figura seguinte.

Substituindo a expressao para a resistencia termica total (Equacao (83)) na Equacao (82) etendo em conta os valores numericos para as variaveis consideradas, tem-se:

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L(Ts,1 − Ts,2) =

[h+ εσ (Ts,2 + Tsur)

(T 2s,2 + T 2

)](Ts,2 − T∞)⇔

⇔ Ts,1 =L

[h+ εσ (Ts,2 + Tsur)

(T 2s,2 + T 2

)](Ts,2 − T∞) + Ts,2 ⇔

⇔ Ts,1 =0,05

0,7× 20 + 0,8× 5,67× 10−8 × (400 + 30 + 273,15)×

×[4002 + (30 + 273,15)2

] × [400− (30 + 273,15)] + 400⇔ Ts,1 ≈ 593,937 K

Note que o procedimento considerado pela associacao das resistencias Rt,conv e Rt,rad para aobtencao de uma unica resistencia termica total, Rt,tot, apenas e adequado uma vez que T∞ =Tsur.

Caso T∞ 6= Tsur, o circuito termico equivalente seria representado pela figura seguinte.

Nesta situacao a taxa de transferencia de calor que atravessa a parede do forno (qcond (= qx))e igual a soma das taxas de transferencia de calor qrad e qconv – ver Equacao (89). Note que aEquacao (89) nao e mais do que um balanco de energia a superfıcie externa da parede do forno– semelhante ao balanco de energia desenvolvido no Problema 5 (ver Equacao (20)).

qx = qrad + qconv (89)

Substituindo na Equacao (89) as taxas de transferencia de calor, qx (= qcond), qrad e qconv pelasrespectivas expressoes tem-se:

Ts,1 − Ts,2Rt,cond

=Ts,2 − Tsur

Rt,rad

+Ts,2 − T∞Rt,conv

Assim, a temperatura Ts,1 seria obtida resolvendo a Equacao (90). (Observe que se Tsur = T∞,a Equacao (90) resulta na Equacao (88).)

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14. Considere uma parede cujo corte transversal visto de topo e apresentado da figura (a). Estaparede e formada pela uniao de varias unidades estruturais iguais. A unidade estrutural elementare composta por 4 materiais diferentes cujas dimensoes se encontram na figura (a). Considere ascondutibilidades termicas (k) dos Materiais A, B, C e D iguais a 0,2, 200, 160 e 0,02 W m−1 K−1,respectivamente. Nas superfıcies externas dos Materiais A e C a temperatura e constante e igual a15 e 50 C, respectivamente. Despreze gradientes de temperatura ao longo do eixo z e resistenciasde contacto entre materiais diferentes.

(a) (b)

Problema 14

(a) Em que condicoes as fronteiras laterais da unidade elementar (fronteiras paralelas ao eixox) podem ser consideradas adiabaticas?

Resolucao:

As fronteiras laterais da unidade elementar sao adiabaticas se o fluxo de calor atravesdestas superfıcies for nulo, ou seja, se o gradiente de temperatura segundo y (∂T/∂y) fornulo atraves destas fronteiras. Um fluxo de calor nulo atraves destas fronteiras e obtidoconsiderando uma parede longa (infinita) segundo a direccao y de forma a nao haver desen-volvimento de gradientes de temperatura segundo y devido a influencia das extremidadesda parede. E tambem necessario que ao longo de y as temperaturas das superfıcies externas(15 e 50 C) se mantenham constantes.

(b) Nas condicoes da alınea anterior e considerando transporte de calor unidimensional (1D),determine a taxa de transferencia de calor por unidade de altura da parede em cada unidadeestrutural elementar, q′unid, considerando:

(a) isotermicas as superfıcies perpendiculares ao eixo x; e

Resolucao:A taxa de transferencia de calor por unidade de altura da parede em cada unidadeestrutural elementar e obtida atraves da Equacao (91). Nesta equacao, Ts,1 (Ts,4)corresponde a temperatura na superfıcie externa do Material C (Material A).

q′unid =∆T

R′t,tot

⇔ q′unid =Ts,1 − Ts,4R′t,tot

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Considerando isotermicas as superfıcies perpendiculares ao eixo x, a resistencia termicatotal (R′t,tot) na Equacao (91) e calculada tendo em conta o circuito termico equivalenteapresentado na figura seguinte atraves da Equacao (92).

R′t,tot = R′t,condA+

R′t,condD−1

R′t,condB

R′t,condD−2

+R′t,condC⇔

⇔ R′t,tot =Lx,AkALy,A

(kDLy,D−1

Lx,D+kBLy,BLx,B

+kDLy,D−2

+Lx,CkCLy,C

⇔ R′t,tot =0,03

0,2× 0,4+

(0,02× 0,17

200× 0,06

0,02× 0,17

160× 0,4⇔ R′t,tot ≈ 0,388 m K W−1

Substituindo, Ts,1, Ts,4 e R′t,tot pelos respectivos valores na Equacao (91) obtem-se ataxa de transferencia de calor por unidade de altura da parede pretendida – Equacao(93).

q′unid =50− 15

0,388⇔ q′unid ≈ 90,206 W m−1 (93)

(b) adiabaticas as superfıcies paralelas ao eixo x.

Resolucao:A figura seguinte apresenta o circuito termico equivalente considerando adiabaticas assuperfıcies paralelas ao eixo x.

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Nestas condicoes, a resistencia termica total (R′t,tot) – necessaria para o calculo de q′unid

(ver Equacao (91)) – e determinada pela Equacao (94).

R′t,tot =

R′t,condA−1+R′t,condD−1

+R′t,condC−1

R′t,condA−2+R′t,condB

+R′t,condC−2

R′t,condA−3+R′t,condD−2

+R′t,condC−3

⇔ R′t,tot =

Lx,A/(kALy,A−1) + Lx,D/(kDLy,D−1) + Lx,C/(kCLy,C−1)+

Lx,A/(kALy,A−2) + Lx,B/(kBLy,B) + Lx,C/(kCLy,C−2)+

Lx,A/(kALy,A−3) + Lx,D/(kDLy,D−2) + Lx,C/(kCLy,C−3)

⇔ R′t,tot =

0,03/(0,2× 0,17) + 0,15/(0,02× 0,17) + 0,04/(160× 0,17)+

0,03/(0,2× 0,06) + 0,15/(200× 0,06) + 0,04/(160× 0,06)+

0,03/(0,2× 0,17) + 0,15/(0,02× 0,17) + 0,04/(160× 0,17)

⇔ R′t,tot ≈ 2,263 m K W−1

Substituindo as variaveis da Equacao (91) pelos respectivos valores obtem-se a taxade transferencia de calor por unidade de altura da parede pretendida – Equacao (95).

q′unid =50− 15

2,263⇔ q′unid ≈ 15,466 W m−1 (95)

(c) Atraves do calculo numerico 2D (bi-dimensional) do problema, verificou-se que q′unid e iguala 22,6 W m−1. Qual e a correspondente resistencia termica efectiva da parede, R′t,eff .

Resolucao:

q′unid =∆T

R′t,eff

⇔ R′t,eff =Ts,1 − Ts,4q′unid

⇔ R′t,eff =50− 15

22,6⇔ R′t,eff ≈ 1,549 m K W−1

(d) A figura (b) apresenta a distribuicao 2D da temperatura na unidade estrutural elementarpara 3 casos variando apenas o valor da condutibilidade termica do Material B (kB); kB

foi considerado igual a 0,02, 2 e 200 W m−1 K−1. (Note que kD e igual a 0,02 W m−1 K−1).Estabeleca a correspondencia entre estes valores de condutibilidades termicas com k1, k2 ek3.

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Resolucao:

1. Para o caso k3 as superfıcies isotermicas sao completamente paralelas ao eixo y emtodo o domınio, o que implica necessariamente conducao de calor unidimensional –conducao de calor exclusivamente ao longo de x. Esta evidencia so e observavel se k3

for igual a kD (= 0,02 W m−1 K−1).

2. k2 > k1 uma vez que para k2 a temperatura no Material B e mais uniforme do quepara k1.

Considerando os Pontos 1. e 2. juntamente com os valores fornecidos no enunciado destaalınea para as condutibilidades termicas, conclui-se:

k1 = 2 W m−1 K−1 k2 = 200 W m−1 K−1 k3 = 0,02 W m−1 K−1

A distribuicao de temperaturas k2 corresponde a solucao do problema com os dados des-critos no enunciado (kB = 200 W m−1 K−1).

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15. [Retirado do Teste de Repescagem 1 de 2014/2015] Considere um cabo electrico isoladoque se encontra esticado e suspenso no ar e cuja seccao transversal e apresentada na figura.O ar envolvente esta a temperatura de 15C e apresenta um coeficiente de conveccao igual a25 W m−2 K−1. Em regime estacionario verifica-se no cabo electrico uma taxa volumetrica degeracao de energia termica igual a 9,55 kW m−3. As condutibilidades termicas dos materiais queconstituem o isolamento (Material A e Material B) bem como as dimensoes relevantes encontram-se apresentadas na figura. Despreze a resistencia termica de contacto entre os Materiais A e B.

Problema 15

(a) Determine a taxa de transferencia de calor por unidade de comprimento do cabo electricona superfıcie intermedia do isolamento (r = R2).

Resolucao:

A taxa de transferencia de calor por unidade de comprimento do cabo ao longo do iso-lamento, q′r, e constante e independente da posicao radial, r. Esta evidencia constata-seatraves da aplicacao da lei de Fourier em coordenadas cilındricas ao longo da direccaoradial (Equacao (97)) tendo em conta que o perfil de temperatura (obtido pela integracaoda forma adequada da equacao de difusao de calor em coordenadas cilındricas ao longo der) tem a forma funcional T (r) = C1ln(r) +C2, onde C1 e C2 sao constantes de integracao.

qr/L = q′r = −kAL

dr= −k(2πrL)

dr= −2πkr

r⇒ qr/L 6= f (r) (97)

A taxa de transferencia de calor ao longo do isolamento (R1 < r < R3) e calculada combase na taxa volumetrica de geracao de energia termica no cabo electrico (q) e no volumedo cabo electrico (V ), tal como se segue.

qr = qV ⇔ qr = qπR21L⇔ qr/L = qπR2

⇔ q′r = 9550× π × (0,03)2 ⇔ q′r ≈ 27,0 W m−1 ⇒ q′r(R2) ≈ 27,0 W m−1(98)

(b) Determine a resistencia termica total entre a superfıcie interior e exterior do isolamento docabo – superfıcies r = R1 e r = R3, respectivamente.

Resolucao:

A figura seguinte apresenta a distribuicao de temperatura ao longo do isolamento (Mate-riais A e B). A sentido da transferencia de calor verifica-se do cabo electrico (onde existe

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geracao de energia termica) para o ar envolvente a temperatura T∞,3. A conducao de ca-lor no isolamento e unidimensional – ao longo da coordenada radial, r. Note que o perfilde temperatura no isolamento nao apresenta uma dependencia linear com a coordena-da espacial (r) como se verifica na conducao de calor unidimensional em paredes planas– ver figura referente a distribuicao de temperatura na resolucao do Problema 12. Paraconducao de calor unidimensional (ao longo de r) em paredes cilındricas o perfil de tem-peratura apresenta uma forma funcional do tipo T (r) = C1ln(r) +C2 – para mais detalhessobre a dependencia do perfil unidimensional de temperatura com a coordenada espacialem paredes plana, cilındrica e esferica ver Problema 8.

O circuito termico equivalente e apresentado na figura seguinte onde o sentido da trans-ferencia de calor e identificado.

A resistencia termica total do isolamento (Materiais A e B) – resistencia que separa osnos Ts,1 (temperatura em r = R1) e Ts,3 (temperatura em r = R3) no circuito termicoequivalente (ver figura anterior) – e calculada atraves da associacao em serie das resistenciastermicas de conducao nos Materiais A e B (Rt,condA

e Rt,condB, repectivamente), tal como a

seguinte equacao apresenta.

Rt,tot = Rt,condA+Rt,condB

⇔ Rt,tot =ln (R2/R1)

2πkAL+

ln (R3/R2)

2πkBL⇔

⇔ Rt,totL =ln (R2/R1)

+ln (R3/R2)

⇔ R′t,tot =ln (6/3)

2π × 0,25+

ln (7/6)

2π × 0,10⇔ R′t,tot ≈ 0,687 m K W−1

(c) Determine a temperatura maxima no isolamento do cabo.

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Resolucao:

Em primeiro lugar, e preciso identificar onde e que se verifica a temperatura maximano isolamento do cabo. Como o transporte de calor se verifica do cabo electrico para o arexterior, entao a temperatura diminui ao longo da coordenada radial. Assim, a temperaturano isolamento (R1 ≤ r ≤ R3) e mais elevada para o valor mais baixo de r, ou seja, atemperatura maxima no isolamento, Tmax, e observada em r = R1 (Tmax corresponde a Ts,1nas figuras da resolucao da alınea anterior).

Assim, pretende-se determinar Ts,1 (= Tmax). Uma vez que se conhecem q′r (alınea (a)) eas propriedades de transporte do problema (kA, kB e h3) bem como as dimensoes (R1, R2

e R3) da parede cilındrica composta. Deste modo, pode-se determinar o que se pretendeatraves da seguinte equacao.

qr =(Tmax − T∞,3)

Rt,tot

⇔ Tmax = qrRt,tot + T∞,3 ⇔

⇔ Tmax = qr (Rt,condA+Rt,condB

+Rt,conv3) + T∞,3 ⇔

⇔ Tmax = qr

(ln(R2/R1)

2πkAL+

ln(R3/R2)

2πkBL+

2πR3Lh3

)+ T∞,3 ⇔

⇔ Tmax = q′r

(ln(R2/R1)

+ln(R3/R2)

2πR3h3

)+ T∞,3 ⇔

⇔ Tmax = 27×(

ln(6/3)

2π × 0,25+

ln(7/6)

2π × 0,1+

2π × 7× 25

)+ 15⇔ Tmax ≈ 33,56C

(d) Repita a alınea anterior considerando agora que entre os Materiais A e B se observa umaresistencia termica de contacto, R′′t,c, nao desprezavel e igual a 0,5 m2 K W−1.

Resolucao:

O circuito termico equivalente que corresponde ao problema em questao e apresentado nafigura seguinte.

Como na alınea anterior, a temperatura maxima no isolamento do cabo verifica-se emr = R1 – Tmax corresponde a Ts,1 no circuito termico equivalente anterior.

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qr =(Tmax − T∞,3)

Rt,tot

⇔ Tmax = qrRt,tot + T∞,3 ⇔

⇔ Tmax = qr(Rt,condA

+R′′t,cA(r = R2) +Rt,condB+Rt,conv3

)+ T∞,3 ⇔

⇔ Tmax = qr

(ln(R2/R1)

2πkAL+ 2πR2LR

′′t,c +

ln(R3/R2)

2πkBL+

2πR3Lh3

)+ T∞,3 ⇔

⇔ Tmax = q′r

(ln(R2/R1)

+ 2πR2R′′t,c +

ln(R3/R2)

2πR3h3

)+ T∞,3 ⇔

⇔ Tmax = 27×(

ln(6/3)

2π × 0,25+ 2π × 0,06× 0,5 +

ln(7/6)

2π × 0,1+

2π × 7× 25

)+ 15⇔

⇔ Tmax ≈ 38,65C

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16. Considere um reservatorio esferico destinado a conter uma mistura de fluidos em reaccao exotermi-ca. O reservatorio e formado, tal como indicado na figura, por duas camadas sendo a condutibi-lidade termica da Camada A igual a 19 W m−1 K−1 (kA) e a condutibilidade termica da CamadaB igual a 0,21 W m−1 K−1 (kB). As dimensoes do reservatorio sao R0 = 0,3 m, R1 = 0,35 m eR2 = 0,4 m. Por razoes de resistencia dos materiais nao convem ultrapassar na Camada A atemperatura de 450C (TmaxA

) e na Camada B a temperatura de 400C (TmaxB). O reservatorio

encontra-se num ambiente a 35C (Text) e o coeficiente de conveccao na superfıcie do lado ex-terior e igual a 8 W m−2 K−1 (hext). O coeficiente de conveccao na superfıcie interior e igual a200 W m−2 K−1 (hint) e a mistura dos reagentes e homogenea e encontra-se toda a mesma tem-peratura. Despreze a resistencia termica de contacto entre as Camadas A e B.

Problema 16

(a) Calcule a potencia maxima que se pode libertar no interior do reactor.

Resolucao:

O circuito termico equivalente para o problema e apresentado na figura seguinte onde osentido da transferencia de calor e identificado – como a reaccao e exotermica no interiordo reservatorio esferico (existe libertacao de energia termica), o sentido do transporte decalor verifica-se do interior do reservatorio para o exterior. Note que a transferencia decalor e unidimensional (ao longo de r em coordenadas esfericas).

E necessario ver respeitados os limites de temperatura maxima nas Camadas A e B para ocalculo da potencia maxima (qr,max) que se pode libertar. Devido ao sentido do transporte decalor, a temperatura maxima na Camada A e observada em r = R0 (Ts,1) e a temperaturamaxima na Camada B e observada em r = R1 (Ts,2).

O procedimento para determinar a potencia maxima consiste em duas etapas: (1) impon-do Ts,1 = TmaxA

determinar se Ts,2 ≤ TmaxB; e (2) impondo Ts,2 = TmaxB

determinar seTs,1 ≤ TmaxA

. A etapa que permitir respeitar a temperatura maxima de ambas as camadase a que define as temperaturas Ts,1 (ou Ts,2) para o calculo da potencia maxima.

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Etapa (1)Impondo Ts,1 = TmaxA

, verificar se Ts,2 ≤ TmaxB.

qr =(TmaxA

− Text)

Rt,condA+Rt,condB

+Rt,convext

=TmaxA

− Ts,2Rt,condA

⇔ Ts,2 = TmaxA+

Rt,condA

Rt,condA+Rt,condB

+Rt,convext

(Text − TmaxA)⇔

⇔ Ts,2 = TmaxA+

(1/R0)−(1/R1)4πkA

+ (1/R1)−(1/R2)4πkB

+ 14πR2

(Text − TmaxA)⇔

⇔ Ts,2 = 450 +

(1/0,3)−(1/0,35)4π×19

+ (1/0,35)−(1/0,4)4π×0,21

+ 14π×0,42×8

(35− 450)⇔

⇔ Ts,2 ≈ 445,85C > 400C (= TmaxB)

Considerando Ts,1 = TmaxA, conclui-se que a temperatura maxima admissıvel na Camada

B nao e respeitada.

Etapa (2)Impondo Ts,2 = TmaxB

, verificar se Ts,1 ≤ TmaxA.

qr =(TmaxB

− Text)

Rt,condB+Rt,convext

=Ts,1 − TmaxB

Rt,condA

⇔ Ts,1 = TmaxB+

Rt,condA

Rt,condB+Rt,convext

(TmaxB− Text)⇔

⇔ Ts,1 = TmaxB+

(1/R0)−(1/R1)4πkA

(1/R1)−(1/R2)4πkB

+ 14πR2

(TmaxB− Text)⇔

⇔ Ts,1 = 400 +

(1/0,3)−(1/0,35)4π×19

(1/0,35)−(1/0,4)4π×0,21

+ 14π×0,42×8

(400− 35)⇔

⇔ Ts,1 ≈ 403,49C < TmaxA

Verifica-se entao que nesta condicao (impondo Ts,2 = TmaxB) sao respeitados os limites de

temperatura maxima nas Camadas A e B. Assim, a potencia maxima que se pode libertarno interior do reactor pode ser calculada pela seguinte equacao.

qr,max =(TmaxB

− Text)

Rt,condB+Rt,convext

⇔ qr,max =(TmaxB

− Text)(1/R1)−(1/R2)

4πkB+ 1

4πR22hext

⇔ qr,max =(400− 35)

(1/0,35)−(1/0,4)4π×0,21

+ 14π×0,42×8

⇔ qr,max = 1848,048 W

(b) Nestas circunstancias, qual e a temperatura no interior do reactor, Tint?

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Resolucao:

Uma vez que se conhece a potencia maxima que se pode libertar (qr,max), a resistenciatermica a conveccao no interior do reservatorio (Rt,convint

) e a temperatura Ts,1 (≈ 403,49C)nas condicoes consideradas para o calculo de qr,max – ver resolucao da alınea anterior (Etapa(2)) – pode-se determinar a temperatura no interior do reservatorio esferico, Tint, tal comose segue.

qr =(Tint − Ts,1)

Rt,convint

⇔ Tint = qrRt,convint+ Ts,1 ⇔

⇔ qr1

4πR20hint

+ Ts,1 ⇔ Tint = 1848,048× 1

4π × 0,32 × 200+ 403,49⇔

⇔ Tint ≈ 411,660C

(c) Se a taxa de libertacao de calor aumentar 50 % qual tera de ser o novo valor do raio exteriorR2 a usar para garantir um correcto funcionamento do sistema? Suponha que todos osparametros mantem os seus valores.

Resolucao:

Na alınea (a) observou-se que considerando Ts,2 = TmaxBgarante-se que as temperaturas

maximas nas duas camadas nao excedem os valores recomendados (TmaxAe TmaxB

). Assim,considerando o novo valor para a taxa de transferencia de calor (qr = qr,max (1 + 0,5)) eTs,2 = TmaxB

pode-se calcular o valor R2 correspondente atraves da equacao seguinte.

qr =(Ts,2 − Text)

Rt,condB+Rt,convext

⇔ qr,max (1 + 0,5) =(TmaxB

− Text)(1/R1)−(1/R2)

4πkB+ 1

4πR22hext

⇔ 1848,048× 1,5 =(400− 35)

(1/0,35)−(1/R2)4π×0,21

+ 14πR2

⇒ R2 ≈ 0,37m

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17. [Retirado do Teste 1 de 2014/2015] A figura apresenta um tanque esferico no interior doqual esta a ocorrer uma reaccao lenta e endotermica. A reaccao consome em regime estacionariouma taxa de energia uniforme por unidade de volume igual a 3 kW m−3. O tanque e compostopelos Materiais A e B cujas condutibilidades termicas (k) e dimensoes (Ri) se encontram apre-sentadas na figura. O tanque esta envolvido por agua a uma temperatura de 15C (T∞) e comum coeficiente de conveccao (h) igual a 20 W m−2 K−1.

Problema 17

(a) Determine a taxa de transferencia de calor (q) e o fluxo de calor (q′′) na superfıcie externado Material B.

Resolucao:

Aplicando um balanco de energia a regiao esferica onde existe reaccao (r ≤ R1) – verfigura seguinte – e considerando negativa a taxa volumetrica de geracao de energia termica(q < 0) – dado que existe consumo de energia termica (reaccao endotermica) – e que aenergia termica que entra para a regiao esferica central atraves da superfıcie r = R1 porunidade de tempo, Ein, corresponde a taxa de transferencia de calor, qr (= q′′cond × 4πR2

1),obtem-se qr – ver Equacao (107).

Ein − Eout + Eg = Est ⇔ Ein = −Eg ⇔ qr = − (−qV )

⇔ qr = q × 4

1 = 3× 103 × 4

3× π × 0,453 ⇔ qr ≈ 1145,111 W

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O fluxo de calor na superfıcie externa do material B, q′′r (r = R3), e obtido pela Equacao(108).

q′′r (r = R3) =qr

Ar (r = R3)=

1145,111

4π × (0,7)2 ⇔ q′′r (r = R3) ≈ 185,969 W m−2 (108)

A taxa de transferencia de calor e constante longo de r nos Materiais A e B (i.e., R1 ≤ r ≤R3). Contudo, o fluxo de calor depende da posicao radial – pelo facto de a area da cascaesferica depender do raio correspondente, i.e., Ar (r) = 4πr2.

(b) Determine a resistencia termica total (Rt,total) entre a superfıcie interna do Material A e aagua envolvente.

Resolucao:

O circuito termico equivalente para o problema apresenta-se de seguida.

No circuito termico equivalente apresentado acima, Ts,1 = T (r = R1), Ts,2 = T (r = R2),Ts,3 = T (r = R3) e T∞ = T (r =∞). A resistencia termica total entre a superfıcie internado Material A (r = R1) e a agua envolvente (r = ∞) e obtida atraves da associacao emserie das resistencias termicas de conducao nos Materiais A e B (Rt,condA

e Rt,condB, respec-

tivamente) e da resistencia termica de conveccao (Rt,conv), como apresentado de seguida.

Rt,total = Rt,condA+Rt,condB

+Rt,conv =R−1

1 −R−12

4πkA+R−1

2 −R−13

4πkB+

=0,45−1 − 0,65−1

4π × 15+

0,65−1 − 0,7−1

4π × 7+

20× 4π × 0,72⇔

⇔ Rt,total ≈ 1,300× 10−2 K W−1

(c) Determine a temperatura maxima no Material A.

Resolucao:

Como a transferencia de calor se verifica do exterior do tanque esferico (agua) para ointerior (onde existe consume de energia termica) – ver sentido da transferencia de calor nocircuito termico equivalente (figura na resolucao da alınea anterior) –, entao a temperaturamaxima no Material A observa-se em r = R2:

T (r = R2) = Ts,2 = TmaxA(110)

Consequentemente, como se sabe (1) a taxa de transferencia de calor ao longo dos MateriaisA e B (solucao da alınea (a)), (2) a temperatura da agua e (3) as dimensoes das paredes

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esfericas (camadas A e B) e as respectivas condutibilidades termicas (kA e (kB) pode-seobter a temperatura pretendida atraves da Equacao (111).

qr =∆T

Rt,total

⇔ T∞ − TmaxA= qrRt,total ⇔ TmaxA

= T∞ − qrRt,total ⇔

⇔ TmaxA= T∞ − qr (Rt,condB

+Rt,conv)⇔ TmaxA= T∞ − qr

(R−1

2 −R−13

4πkB+

⇔ TmaxA= 15− 1145,111

(0,65−1 − 0,7−1

4π × 7+

20× 4π × 0,72

⇔ TmaxA≈ 4,271C

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18. [Retirado do Teste de Repescagem 1 de 2018/2019] Uma placa de circuito (18 cm×12 cm)contem na sua superfıcie 100 chips logicos (ver figura), cada um dissipando 0,06 W para o fluidocircundante a uma temperatura T∞ = 40C. Assuma que o espacamento entre chips e muitopequeno de modo a poder tratar a superfıcie da placa como homogenea e que a transferencia decalor na superfıcie traseira da placa e desprezavel. Se o coeficiente de conveccao na superfıcie daplaca for h = 10 W m−2 K−1, determine o fluxo de calor libertado pela placa, q′′conv, e a temperaturada sua superfıcie, Ts, desprezando o transporte de calor por radiacao. Adicionalmente, assumindoa superfıcie da placa como negra, verifique se a transferencia de calor por radiacao e desprezavelface a conveccao (considere a temperatura da envolvente Tsur = 40C).

Problema 18

Resolucao:

Aplicando um balanco de energia a placa tem-se:

como o regime e estacionario, o termo de acumulacao de energia termica no interior daplaca, o termo Est, e nulo; e

como nao existe energia termica a entrar do meio envolvente para o interior da placa, otermo Ein e nulo.

Considerando estas simplificacoes, a Equacao (112) da origem a Equacao (113).

Eout = Eg (113)

A figura seguinte apresenta uma representacao esquematica do problema.

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Eout = Aq′′conv (114)

Eg = nchipsEg,chip (115)

Na Equacao (114), q′′conv corresponde aos fluxo de calor convectivo da superfıcie da placa. NaEquacao (115), Eg,chip e nchips correspondem a potencia libertada por cada chip e ao numerototal de chips na placa, respectivamente.

Considerando as Equacoes (114) e (115), a Equacao (113) pode escrever-se de acordo com aEquacao (116).

Aq′′conv = nchipsEg,chip ⇔ q′′conv =nchipsEg,chip

⇔ q′′conv =100× 0,06

0,18× 0,12⇔ q′′conv = 277,778 W m−2

Uma vez conhecendo o valor do fluxo de calor convectivo da placa para o fluido envolvente(q′′conv), da temperatura do fluido envolvente (T∞) e o respectivo coeficiente de conveccao (h),entao a temperatura da superfıcie da placa (Ts) pode ser calculado considerando a aplicacaoda lei de arrefecimento de Newton como se segue:

q′′conv = h (Ts − T∞)⇔ Ts =q′′conv

h+ T∞⇔

⇔ Ts =277,778

10+ 40⇔ Ts = 67,778C

Para avaliar a importancia relativa do transporte de calor por radiacao e necessario determinara temperatura da superfıcie da placa considerando simultaneamente transporte de calor porconveccao e radiacao. A figura seguinte apresenta uma representacao esquematica do problema

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agora com uma contribuicao radiativa para o transporte de calor entre a surperfıcie da placa eas superfıcies exteriores (para alem da componente convectiva).

Nestas condicoes, a Equacao (114) e substituıda pela Equacao (118).

Eout = A

h (Ts − T∞)︸︷︷︸q′′conv

+ εσ(T 4s − Tsur4

)︸︷︷︸q′′rad

Tendo em consideracao as Equacoes (118) e (115), a Equacao (113) pode escrever-se de acordocom a Equacao (119). Note que ε = 1 uma vez que a superfıcie da placa e negra.

h (Ts − T∞) + εσ(T 4s − T 4

)=nchipsEg,chip

⇔ 10× [Ts − (40 + 273,15)] + 1× 5,67× 10−8 ×[T 4s − (40 + 273,15)4] =

=100× 0,06

0,18× 0,12⇔ Ts ≈ 329,012 K (55,862C)

A importancia relativa do transporte de calor por radiacao, Ωrad, pode ser calculada atraves daequacao seguinte (Equacao (120)).

Ωrad =Aq′′rad

A (q′′conv + q′′rad)⇔ Ωrad =

Aεσ (T 4s − T 4

nchipsEg,chip

⇔ Ωrad =(0,12× 0,18)× 1× 5,67× 10−8 ×

[329,0124 − (40 + 273,15)4]

100× 0,06⇔

⇔ Ωrad ≈ 42,9 %

Por unidade de tempo, 42.9 % da energia termica dissipada pela placa e transportada por ra-diacao enquanto que 57.1 % (Ωconv) e transferida por conveccao. Ainda que nao seja dominante,

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o transporte de calor por radiacao e um mecanismo relevante e nao deve ser desprezado. A re-levancia do transporte de calor por radiacao ja podia ser antecipada confrontando as tempe-raturas da superfıcie obtidas desprezando e considerando a radiacao (67,778C vs. 55,862C).Se a radiacao fosse completamente desprezavel as temperaturas obtidas pelas Equacoes (117) e(119) seriam semelhantes.

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19. [Adaptado do Teste de Repescagem 1 de 2018/2019] Considere duas condicoes para o mes-mo tubo de um circuito de refrigeracao existente num sistema de ar condicionado: tubo sem de-posicao de resıduos na sua superfıcie exterior (tubo limpo) e tubo com uma camada de resıduosna sua superfıcie exterior (tubo sujo) – ver figura. Assumindo esta camada de sujidade comoum revestimento isolante, pretende estudar-se a sua influencia na taxa de transferencia de calor,comparando o caso sujo ao limpo, este ultimo sem a camada de sujidade isolante. Para a resolucaodesta questao, considere os dados numericos apresentados na figura.

Problema 19

(a) Para cada um dos dois casos, sujo e limpo, desenhe o sistema de resistencias termicas.Indique na representacao a expressao matematica de cada resistencia termica individual.

Resolucao:

Caso Limpo

O sistema de resistencias termicas (circuito termico equivalente) correspondente ao CasoLimpo e apresentado na figura seguinte.

Rt,convRef, Rt,condt e Rt,convAr

correspondem, respectivamente, a resistencia termica de con-veccao na superfıcie interna do tubo, a resistencia termica de conducao ao longo da espes-sura da parede do tubo e a resistencia termica de conveccao na superfıcie externa do tubo.Estas resistencias termicas sao calculadas atraves das equacoes seguintes.

Rt,convRef=

hRefAint

⇔ Rt,convRef=

2πRintLhRef

Rt,condt =ln(Rext/Rint)

2πktuboL(122)

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Rt,convAr=

hArAext

⇔ Rt,convAr=

2πRextLhAr

Nas equacoes anteriores, Rint e Rext correspondem ao raio interior do tubo (= d/2) e aoraio exterior do tubo (= d/2 + ∆rtubo), respectivamente.

Caso Sujo

O sistema de resistencias termicas (circuito termico equivalente) correspondente ao CasoSujo e apresentado na figura seguinte.

Rt,condicorresponde a resistencia termica de conducao ao longo da espessura da parede de

isolante (sujidade). As resistencias consideradas no circuito termico equivalente anteriorsao calculadas atraves das equacoes seguintes.

Rt,convRef=

hRefAint

⇔ Rt,convRef=

2πRintLhRef

Rt,condt =ln(Rt−i/Rint)

2πktuboL(125)

Rt,condi=

ln(Rext/Rt−i)

2πkisolL(126)

Rt,convAr=

hArAext

⇔ Rt,convAr=

2πRextLhAr

Nas equacoes anteriores, Rint, Rt−i e Rext correspondem ao raio interior do tubo (= d/2),ao raio da superfıcie cilındrica que separa o tubo da camada de sujidade (camada isolan-te) (d/2 + ∆rtubo) e ao raio exterior da camada de sujidade (= d/2 + ∆rtubo + ∆risol),respectivamente.

(b) Quantifique a influencia da camada de sujidade isolante, determinando o racio entre as taxasde transferencia de calor do caso sujo sobre o caso limpo.

Resolucao:

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qsujor

qlimpor

=(∆T/Rsujo

t,tot)

(∆T/Rlimpot,tot )

=Rlimpot,tot

Rsujot,tot

=Rt,convRef

+Rt,condt +Rlimpot,convAr

Rt,convRef+Rt,condt +Rt,condi

+Rsujot,convAr

12πRintLhRef

+ ln(Rext/Rint)2πktuboL

2πRlimpoext LhAr

12πRintLhRef

+ ln(Rt−i/Rint)2πktuboL

+ ln(Rext/Rt−i)2πkisolL

2πRsujoext LhAr

12π×0,025×100

+ ln[(2,5+1)/2,5]2π×15

+ 12π×(0,025+0,01)×20

12π×0,025×100

+ ln[(2,5+1)/2,5]2π×15

+ ln[(2,5+1+0,5)/(2,5+1)]2π×0,1

+ 12π×(0,025+0,01+0,005)×20

⇔ qsujor

qlimpor

≈ 0,615

A existencia de sujidade na superfıcie externa do tubo – com as caracterısticas considera-das – e responsavel por infligir uma penalizacao de aproximadamente 38.5 % na taxa detransferencia de calor que se obteria se o tubo nao tivesse nenhum deposito de resıduos nasua superfıcie externa (Caso Limpo).

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20. [Adaptado do Problema 1 da Avaliac~ao Contınua de 2019/2020] A figura apresenta umaparede plana constituıda por 4 materiais. As dimensoes da parede bem como as condutibilidadestermicas dos 4 materiais encontram-se definidas na figura. A parede esta isolada nas superfıciesy = 0,2 m e y = 0,6 m e e longa o suficiente na direccao perpendicular ao plano xy (profundidade)para se desprezarem gradientes termicos segundo esta direccao. Na superfıcie x = 0,2 m e impostauma temperatura constante e igual a 20C (Ts,1). A superfıcie x = 0,8 m esta submetida a trocasde calor por: (1) conveccao devido ao contacto directo com um fluido a temperatura constantede 80C (T∞) e com um coeficiente de conveccao constante, h; e (2) radiacao com as superfıciesenvolventes (de grandes dimensoes) a temperatura Tsur (= T∞). Considere como negra a superfıciex = 0,8 m. Considere regime estacionario e despreze resistencias termicas de contacto entre osdiferentes materiais.

Problema 20

(a) Estabeleca a equacao diferencial que governa a distribuicao de temperatura na parede, jus-tificando todas as simplificacoes, bem como as respectivas condicoes de fronteira.

Resolucao:

A equacao diferencial que governa a distribuicao de temperatura na parede do presenteproblema e obtida atraves da simplificacao da equacao de difusao de calor – Equacao (129)– aplicada em coordenadas cartesianas (Equacao (130)), uma vez que a parede e plana.

∇ · (k∇T ) + q = ρcp∂T

∂t(129)

(k∂T

)+ q = ρcp

∂t(130)

A Equacao (130) deve ser simplificada tendo em conta os dados (especificacoes) do proble-ma, tal como se segue:

1. como o problema e bidimensional (no plano xy) desprezam-se gradientes de tempe-ratura (fluxos de calor) na direccao ortogonal (direccao z) e, consequentemente, otermo ∂/∂z (k∂T/∂z) e nulo;

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2. como o regime e estacionario, a temperatura nao tem dependencia temporal (i.e.,∂T/∂t = 0) e, assim, o unico termo do segundo membro da equacao, ρcp∂T/∂t, enulo; e

3. uma vez que nao existe geracao de energia termica no interior da parede, o quartotermo do primeiro membro da equacao, q, e nulo.

Com as simplificacoes descritas, a Equacao (130) resulta na Equacao (131) que correspondea equacao diferencial que governa a distribuicao de temperatura na parede do problema.

(k∂T

)= 0 (131)

Note que a condutibilidade termica nao pode ser excluıda da Equacao (131) uma vez queesta propriedade de transporte nao e constante em todo o domınio da parede – cada umdos quatro materiais tem uma condutibilidade termica diferente.

As condicoes de fronteira em x = 0,2 m, x = 0,8 m, y = 0,2 m e y = 0,6 m sao descritaspelas Equacoes (132), (133), (134) e (135), respectivamente. Em x = 0,2 m tem-se um valorimposto para a temperatura; em x = 0,8 m tem-se que o fluxo difusivo de calor e igual asoma de um fluxo de calor convectivo e outro radiativo – esta condicao de fronteira e obti-da atraves de um balanco de energia termica a superfıcie x = 0,8 m; e como as superfıciesy = 0,2 m e y = 0,6 m estao isoladas entao correspondem a superfıcies adiabaticas (o fluxode calor que atravessa estas superfıcies e nulo).

x = 0,2 m:

T (x = 0,2 m, y) = Ts,1 (132)

x = 0,8 m:

−kD∂T

∣∣∣∣x=0,8 m

= h[T (x = 0,8 m, y)− T∞] + σ[T 4 (x = 0,8 m, y)− T 4sur] (133)

y = 0,2 m:

∣∣∣∣y=0,2 m

= 0 (134)

y = 0,6 m:

∣∣∣∣y=0,6 m

= 0 (135)

Como a superfıcie x = 0,8 m e considerada negra entao a correspondente emissividade(ε) e igual a 1 e, consequentemente, a Equacao (133) nao apresenta esta propriedade nasua formulacao. Ainda na Equacao (133), considera-se k = kD – no fluxo difusivo de calor(unico termo do primeiro membro) – uma vez que a superfıcie x = 0,8 m corresponde a umainterface do Material D com o meio exterior (fluido adjacente e superfıcies envolventes).

(b) Qual dos casos considerados na figura apresenta uma distribuicao de temperatura com-

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patıvel com as condicoes do problema? Justifique. Note que para cada caso as temperaturasmınima e maxima registadas na parede apresentam-se como limites na respectiva escala detemperatura.

Problema 20 – Alınea (b)

Resolucao:

Caso 1 – Errado: embora a gama de temperaturas (20− 61,2C) seja compatıvel comas temperaturas consideradas no enunciado (Ts,1, T∞ e Tsur) as isotermicas (linhasde temperatura constante) sao perfeitamente perpendiculares ao eixo x ao longo detodo o domınio (0,2 m < x < 0,8 m) o que denuncia que o problema de conducao decalor e unidimensional devido ao facto das condutibilidades termicas dos MateriaisB e C serem iguais (note que as condutibilidades termicas fornecidas no enunciadopara os Materiais B e C sao bastante dıspares – kB = 200 W m−1 K−1 vs. kC =0,1 W m−1 K−1).

Caso 2 – Errado: a temperatura maxima – registada em x = 0,8 m (= 94,7C) – esuperior as temperaturas do ambiente exterior (T∞ = Tsur = 80C).

Caso 3 – Errado: embora a temperatura mınima observada seja igual ao valor Ts,1 =20C prescrito, este valor e observado em x = 0,8 m e nao em x = 0,2 m.

Caso 4 – Correcto: tanto os valores de temperatura como a forma das isolinhasdeste caso sao compatıveis com as condicoes do problema – condicoes de fronteira epropriedades de transporte (condutibilidades termicas dos materiais).

(c) Para um determinado coeficiente de conveccao verifica-se, atraves da solucao numerica bidi-mensional (2D), a existencia de uma superfıcie a temperatura de 41C (superfıcie isotermica)coincidente com o plano x = 0,55 m. Nestas condicoes, determine o valor considerado para ocoeficiente de conveccao com base numa aproximacao unidimensional de conducao de calorque garanta isotermicas as superfıcies perpendiculares ao eixo x.

Resolucao:

Para a determinacao do coeficiente de conveccao consideram-se as seguintes 3 etapas:

1. calculo da taxa de transferencia de calor por unidade de profundidade da parede, q′x;

2. calculo da temperatura Ts,4 = T (x = 0,8 m) com base no valor q′x; e

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3. calculo do coeficiente de conveccao com base em q′x e Ts,4.

A conducao de calor considerada nas etapas 1. e 2. e aproximada como unidimensional comas superfıcies perpendiculares ao eixo x isotermicas.

Etapa 1: Calculo da taxa de transf. de calor por unidade de profundidade da parede, q′xq′x e calculado entre as superfıcies x = 0,20 m e x = 0,55 m. As temperaturas em ambasas superfıcies sao conhecidas bem como todas as propriedades geometricas e de transporteentre ambas as superfıcies para que se possa calcular a resistencia termica total de acor-do com a aproximacao unidimensional em consideracao. O circuito termico equivalenteconsiderado para o calculo de q′x e apresentado na figura seguinte.

Assim, a taxa de transferencia de calor por unidade de profundidade da parede e calculadaatraves da Equacao (136).

q′x =Ts,i − Ts,1R′t,tot

⇔ q′x =Ts,i − Ts,1

kALy,A+ 1

(kBLy,B)/Lx,i+(kCLy,C)/Lx,i

⇔ q′x =41− 20

0,270×0,4

+ 1(200×0,1)/(0,55−0,4)+(0,1×0,3)/(0,55−0,4)

⇔ q′x ≈ 1435,247 W m−1

Na Equacao (136), Lx,i corresponde a distancia – segundo o eixo x – que separa a su-perfıcie isotermica (x = 0,55 m) da interface entre o Material A com os Materiais B e C(x = 0,40 m).

Etapa 2: Calculo da temperatura Ts,4 com base no valor q′xO circuito termico equivalente considerado para o calculo de Ts,4 e apresentado na figuraseguinte. (Note que em alternativa ao circuito termico apresentado na figura, pode consi-derar, para o calculo de Ts,4, um circuito termico equivalente entre os nos correspondentesas temperaturas Ts,4 e Ts,i.)

A temperatura da interface entre a parede e o ambiente exterior, Ts,4, e calculada de acordo

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com a Equacao (137).

q′x =Ts,4 − Ts,1R′t,tot

⇔ Ts,4 = Ts,1 + q′xR′t,tot ⇔

⇔ Ts,4 = Ts,1 + q′x

[Lx,AkALy,A

(kBLy,B) /Lx,B + (kCLy,C) /Lx,C+

Lx,DkDLy,D

⇔ Ts,4 = 20 + 1435,247

70× 0,4+

(200× 0,1) /0,3 + (0,1× 0,3) /0,3+

100× 0,4

]⇔ Ts,4 ≈ 55,336C

Etapa 3: Calculo do coeficiente de conveccao com base em q′x e Ts,4

O circuito termico equivalente considerado para o calculo do coeficiente de transferenciade calor por conveccao e apresentado na figura seguinte.

Finalmente, obtem-se o valor pretendido de acordo com a Equacao (138).

q′x =T∞ − Ts,4R′t,tot

⇔ q′x =T∞ − Ts,4

11/R′t,conv+1/R′t,rad

⇔ q′x =T∞ − Ts,4

1hLy,D+hrLy,D

⇔ q′x = Ly,Dh (T∞ − Ts,4) + Ly,Dσ(T 4∞ − T 4

)⇔ h =

q′x − Ly,Dσ(T 4∞ − T 4

)Ly,D (T∞ − Ts,4)

⇔ h =1435,247− 0,4× 5,67× 10−8 ×

[(80 + 273,15)4 − (55,336 + 273,15)4]

0,4× (80− 55,336)⇔

⇔ h ≈ 136,492 W m−2 K−1

(d) Repita o exercıcio anterior mas considerando agora a aproximacao unidimensional que ga-rante adiabaticas as superfıcies paralelas a x.

Resolucao:

Para a determinacao do coeficiente de conveccao consideram-se as seguintes 3 etapas:

1. calculo da taxa de transferencia de calor por unidade de profundidade da parede, q′x;

2. calculo da temperatura Ts,4 = T (x = 0,8 m) com base no valor q′x; e

3. calculo do coeficiente de conveccao com base em q′x e Ts,4.

A conducao de calor considerada nas etapas 1. e 2. e aproximada como unidimensional com

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as superfıcies paralelas ao eixo x adiabaticas.

Etapa 1: Calculo da taxa de transf. de calor por unidade de profundidade da parede, q′x

q′x e calculado entre as superfıcies x = 0,00 m e x = 0,55 m. As temperaturas em ambasas superfıcies sao conhecidas bem como todas as propriedades geometricas e de transporteentre ambas as superfıcies para que se possa calcular a resistencia termica total de acor-do com a aproximacao unidimensional em consideracao. O circuito termico equivalenteconsiderado para o calculo de q′x e apresentado na figura seguinte.

Assim, a taxa de transferencia de calor por unidade de profundidade da parede e calculadaatraves da Equacao (139).

q′x =Ts,i − Ts,1R′t,tot

⇔ q′x =Ts,i − Ts,1(

Lx,A/(kALy,A−1)+Lx,i/(kBLy,B)+ 1

Lx,A/(kALy,A−2)+Lx,i/(kCLy,C)

)−1 ⇔

⇔ q′x =41− 20(

10,2/(70×0,1)+(0,55−0,40)/(200×0,1)

+ 10,2/(70×0,3)+(0,55−0,40)/(0,1×0,3)

)−1 ⇔

⇔ q′x ≈ 586,370 W m−1

Na Equacao (139), Lx,i corresponde a distancia – segundo o eixo x – que separa a superfıcieisotermica (x = 0,55 m) da interface entre o Material A com os Materiais B e C (x = 0,4 m).

Etapa 2: Calculo da temperatura Ts,4 com base no valor q′x

O circuito termico equivalente considerado para o calculo de Ts,4 e apresentado na figuraseguinte.

A temperatura da interface entre a parede e o ambiente exterior, Ts,4, e calculada de acordo

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com a Equacao (140).

q′x =Ts,4 − Ts,1R′t,tot

⇔ Ts,4 = Ts,1 + q′xR′t,tot ⇔

⇔ Ts,4 = Ts,1 + q′x

Lx,A/ (kALy,A−1) + Lx,B/ (kBLy,B) + Lx,D/ (kDLy,D−1)+

Lx,A/ (kALy,A−2) + Lx,C/ (kCLy,C) + Lx,D/ (kDLy,D−2)

⇔ Ts,4 = 20 + 586,370

0,2/ (70× 0,1) + 0,3/ (200× 0,1) + 0,1/ (100× 0,1)+

0,2/ (70× 0,3) + 0,3/ (0,1× 0,3) + 0,1/ (100× 0,3)

⇔ Ts,4 ≈ 45,427C

Etapa 3: Calculo do coeficiente de conveccao com base em q′x e Ts,4

O circuito termico equivalente considerado para o calculo do coeficiente de transferenciade calor por conveccao e apresentado na figura seguinte.

Finalmente, obtem-se o valor pretendido de acordo com a Equacao (141).

q′x =T∞ − Ts,4R′t,tot

⇔ q′x =T∞ − Ts,4

11/R′t,conv+1/R′t,rad

⇔ q′x =T∞ − Ts,4

1hLy,D+hrLy,D

⇔ q′x = Ly,Dh (T∞ − Ts,4) + Ly,Dσ(T 4∞ − T 4

)⇔ h =

q′x − Ly,Dσ(T 4∞ − T 4

)Ly,D (T∞ − Ts,4)

⇔ h =586,370− 0,4× 5,67× 10−8 ×

[(80 + 273,15)4 − (45,427 + 273,15)4]

0,4× (80− 45,427)⇔

⇔ h ≈ 33,786 W m−2 K−1

(e) Atraves da solucao 2D considerada na alınea anterior verificou-se que a taxa total de trans-ferencia de calor por unidade de profundidade da parede (q′tot) para o meio exterior (fluidoadjacente e superfıcies envolventes) corresponde a 934,9 W m−1 e que a temperatura emx = 0,8 m e aproximada pela Equacao (142). Com base nestes valores para o desempen-ho termico da parede, determine o valor do coeficiente de conveccao. (Este procedimentofornece um valor mais preciso para o coeficiente de conveccao do que uma aproximacaounidimensional.)

T (x = 0,8 m, 0,2 m ≤ y ≤ 0,6 m)[C] = −29,7y[m] + 70,5 (142)

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Resolucao:

Aplicando um balanco de energia a superfıcie x = 0,8 m tem-se:

Ein − Eout = 0 (143)

A Equacao (143) pode ser escrita de acordo com a Equacao (144). Como a temperatura dainterface entre a parede e o ambiente exterior, T (x = 0,8 m, y) (= Ts,4) nao e constante entao ataxa de transferencia de calor por unidade de profundidade da parede por conveccao e radiacao(q′conv e q′rad, respectivamente) sao obtidos pela integracao dos respectivos fluxos de calor aolongo da parede (0,2 m ≤ ly,D ≤ 0,6 m). Note que o coeficiente de transferencia de calor porconveccao, h, e constante tal como referido no enunciado.

Lzq′cond = Lz (q′conv + q′rad)⇔ q′tot = q′conv + qrad ⇔ q′tot =

∫ly,D

q′′convdy +

∫ly,D

q′′raddy ⇔

⇔ q′tot =

∫ly,D

h (T∞ − Ts,4) dy +

∫ly,D

σ(T 4∞ − T 4

)dy ⇔

⇔ h =q′tot −

∫ly,D

σ(T 4∞ − T 4

)dy∫

ly,D(T∞ − Ts,4) dy

⇔ h =934,9− 5,67× 10−8

∫ 0,6

[(80 + 273,15)4 − (−29,7y + 70,5 + 273,15)4] dy∫ 0,6

0,2(80− (−29,7y + 70,5)) dy

⇔ h ≈ 100,222 W m−2 K−1

O valor de h considerado para obter a solucao 2D do problema foi de 100,0 W m−2 K−1 (href).Como se pode observar, o resultado obtido atraves do procedimento desenvolvido nesta alıneae bastante semelhante ao valor de referencia. Repare ainda que as aproximacoes unidimensio-nais consideradas nas alıneas (c) e (d) fornecem os limites superior e inferior para a gama decoeficientes de conveccao onde se encontra o valor de referencia, href .

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