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Teoria Ingênua dos Conjuntos(naive set theory)

MAT 131-2018 II

Pouya Mehdipour

6 de maio de 2019

Pouya Mehdipour 6 de maio de 2019 1 / 22

Referências

• ALENCAR FILHO, E. Iniciação à Lógica Matemática , Nobel,2006.• ROSEN, K. H, Matematica discreta e sua aplicações, sexta edição,

AMGH Editora, Ltd, 2010• ALENCAR FILHO, E. Teoria Elementar dos Conjuntos, Nobel,

1974.• DOMINGUES, H.H. & IEZZI, G. Álgebra Moderna. 4a Edição.

Atual Editora, 2003.• SÉRATES, J. , Raciocínio Lógico, vol 1, Olímpica Ltda, Brasília,

1997.

Pouya Mehdipour 6 de maio de 2019 2 / 22

Historicamente

G. CANTOR(1845–1918)

B. RUSSELL(1872–1970)

J. VENN(1834–1923)

R. DESCARTES(1596–1650) N. SLOANE (BORN

1939)

D. HILBERT(1862–1943)

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ConjuntosA teoria dos conjuntos é um ramo da lógica matemática que estuda conjuntos,que informalmente são conjuntos de objetos. A linguagem da teoria dos conjuntospode ser usada nas definições de quase todos os objetos matemáticos.

Definição:Um conjunto é uma coleção não ordenada de objetos, chamados elementos oumembros do conjunto. Nós escrevemos um a ∈ A para denotar que "a pertence aoconjunto A. notação a /∈ A denota que "a não pertence ao conjunto A. (G.Peano1858-1932)

É comum que os conjuntos sejam indicados usando letras maiúsculas. Letrasminúsculas são geralmente usado para denotar elementos de conjuntos. Emmatemática usualmente usamos uma notação em que todos os membros do conjuntoestão listados entre chaves. Nos exemplos veremos maneiras de definir conjuntos.Exemplo: (Forma Listada/Analítica/Tabular/Por enumeração/Por extensão.)O conjunto A de inteiros positivos menores que 100, denotado porA = {1, 2, · · · , 99}.Exemplo: (Forma Construtiva/Sintética/Por propriedad commun/Por compreensão)O conjunto B de todos os inteiros positivos ímpares menores que 10, denotado porB = {x ∈ Z+|x é impar e x < 10} Ou {x|x ∈ Z+ ∧ x é impar e x < 10}.

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ConjuntosExemplo:

Obs: Existem Z∗, Q∗, R∗, Z−, Q−,R−, Z+,...Exemplo: Liste os membros dessesconjuntos:1){x ∈ R|x2 = 1},2){x ∈ Z|x é quadrado, x < 100};3){x ∈ N|x é primo, x < 20}.

Exemplo: Use a notaçãoconstrutiva :1){0, 3, 6, 9, 12, 15};2){−1,−2,−3, 0, 1, 2, 3};3){−5,−25,−125, ...}.

Obs: um conjunto pode ter finitos elementos (|A| = n, "cardinalidade finita")ou infinitos elementos ou não seja enumerável (não pode listar os seuselementos).

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ConjuntosExemplo:

Obs: Os conjuntos de cima em R chama-se intervalos limitados. Existemintervalos infinitos em R também.

Família de ConjuntosUm conjunto cujos elementos também são conjuntos, diz-se uma família deconjuntos ou coleção de conjuntos.

Exemplo: O conjunto G = {{2}, {3, 4}, {5,−1}}, é um família de conjuntoscuja elementos são {2}, {3, 4} e {5,−1}.Exemplo: O conjunto F = {0, {2}, {3, 4},N, 5, 3}.

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Conjuntos Vazio,

Conjunto VazioExiste um conjunto especial que não possui elementos. Esse conjunto échamado de conjunto vazio ou conjunto nulo, e é denotado por ∅. Oconjunto vazio também pode ser denotado por {}.Exemplo: {x ∈ R|x2 < 0.} = ∅.Pergunta: Qual é diferença entre {} e {∅}?

Conjunto UnitárioUm conjunto com um elemento é chamado de conjunto Unitário.

Conjunto UniversoUm Conjunto Universo U é uma classe que contem (como elementos)todas as entidades que se deseja considerar em uma certa situação.Exemplo: R,Z,Q+.

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Igualidade / Subconjunto

Subconjuntos

O conjunto A é um subconjunto de B se e somente se cada elemento de A tambémfor um elemento de B. Usamos a notação A ⊆ B. Portanto, A ⊆ B se e somente se∀x(x ∈ A→ x ∈ B).Exemplo: A = {n|2n é par} e B = {n|n é par.}

Conjuntos Iguais

Dois conjuntos são iguais se e somente se eles tiverem os mesmos elementos.Portanto, se A e B são conjuntos, então A e B são iguais se e somente se A ⊆ B eB ⊆ A ou seja, ∀x(x ∈ A↔ x ∈ B). Nós escrevemos A = B.Obs: Para mostrar que A não é um subconjunto de B precisamos apenas encontrarum elemento x ∈ A com x /∈ B. (Escrevemos A * B.)Exemplo: {n|2n é par} = Z = {n|2n + 2 é par.}Exercício: Quais conjuntos são iguais: 1){∅, {∅}} e {∅}, 2) {1, 4, 3} e{1, 1, 3, 4, 3, 4, 4}.Exercício: Definam em linguagem matemática o A 6= B, para A e B dois conjuntosquaisquer.

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Subconjuntos Trivíais/ Estrito

Teorema 1Para todo conjunto S, i) ∅ ⊆ S, ii)S ⊆ S.

Subconjunto EstritoPara dois conjuntos A,B pode acontecer que um deles por exemplo A ésubconjunto de Outro (B) mas A 6= B. Nesse caso escrevemos A ⊂ B,ou seja,

∀x(x ∈ A→ x ∈ B) ∧ ∃x(x ∈ B ∧ x /∈ A).

Exemplo: Seja A = {∅, {a}, {b}, {a, b}} eB = {x|xé subconjunto de {a, b}}.Exemplo: Seja A = {∅, {a}, {a, b}} e B = {x|xé subconjunto de {a, b}}.

Exercícios: 1 ao 11 da lista-intermat/ 5 ao 11 do Livro Rosen seção 2.1 / 2 ao 9 doLivro Alencar Filho, Capítulo 2.

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Diagrama de VennOs conjuntos podem ser representados graficamente usando diagramas de Venn,nomeados em homenagem ao matemático inglês John Venn, que introduziu seu usoem 1881. Nos diagramas de Venn, o conjunto universal U, que contém todos osobjetos em consideração, é representado por um retângulo. Dentro deste retângulo,círculos ou outras figuras geométricas são usadas para representar conjuntos. Àsvezes, pontos são usados para representar o elementos particulares do conjunto.

Representem Seguintes conjuntos, usando diagrama de Venn:Exemplo: A = {a, b, c, d, e} e B = {c, d, f, g}.Exemplo: A = {n : n ∈ Z} e C = {x|x ∈ Q}.Exemplo: B = {n : n é ímpar} e C = {n : n é par}.Exercicio 1: Para A e B quaisquer, representem usando diagrama de Venn:1)B ⊂ A ,2) B ⊆ A , 3)A ⊂ B e B ⊂ C .

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Conjunto das Partes

Dado um conjunto S, o conjunto das partes de S é o conjunto de todos ossubconjuntos do conjunto S e é indicado por P (S).

Exemplo: Seja S = {a, b, c, d, e} e Q = {0, 1, 2}. Determinamos P (S) e P (Q).Exemplo: Qual conjunto das partes do ∅? Qual conjunto das partes do {∅}?

Teorema 2

Conjunto das partes de um conjunto S com n elementos tem 2n elementos.(Prova: Usar a fórmula de cálculo de combinações)

Exercicio 2,3: Demonstrem,Lema 1: Para dois conjuntos finitos A e B, se A = B, então |A| = |B|.(sãoequipotentes/ equicardinais, i.e. com mesmo número dos elementos.)Lema 2: Para dois conjuntos quaisquer A e B, se A ⊂ B, então |A| < |B|.Lema 3: Para dois conjuntos quaisquer A e B, se A ⊂ B, então P (A) ⊂ P (B).Exercixio 4: Demonstrem se é verdade a seguinte proposição:Proposição 1: Se dois conjunto A e B tem mesma conjunto das partes, entãoA = B.Exercícios: 11 ao 14 da lista-intermat/ 10 ao 22 do Livro Rosen seção 2.1

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Operações com ConjuntosUnião de conjuntos

Seja A e B dois conjuntos quaisquer. A União dos conjuntos A e B, denotadapor A∪B, é o conjunto que contém os elementos que estão em A ou B ou em ambos:

A ∪B = {x| x ∈ A ∨ x ∈ B.}Exemplo: Seja S = {a, b, c, d, e} e Q = {b, c, e}. Determinamos S ∪Q.Exemplo: Seja A = ∅ e B = {∅} Determinamos A ∪B.

Interseção de Conjuntos

Seja A e B dois conjuntos quaisquer. A Interseção dos conjuntos A e B,denotada por A ∩B, é o conjunto que contém os elementos que estão em ambos A eB:

A ∩B = {x| x ∈ A ∧ x ∈ B.}Exemplo: Seja S = {a, b, c, d, e, f} e Q = {b, c, a, e}. Determinamos S ∩Q.Exemplo: Seja A = ∅ e B = {∅} Determinamos A ∩B.Def: Conjuntos A e B diz-se disjuntos se sua interseção for o conjunto vazio.

Proposição 2: Se A e B finitos e disjuntos, entao |A∪B| = |A|+ |B| e |A∩B| = 0.Exercicio 5: Determinem se 1) A = {x|x é primo par} e B = {x|x é primo impar}e, 2)A = {x|x ∈ R x é racional} e B = {x|x ∈ R x é irracional} são disjuntos.

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Operações com ConjuntosDiferençã entre Conjuntos

Seja A e B dois conjuntos quaisquer. A diferença entre conjuntos A e B,denotada por A−B, é o conjunto que contém os elementos que estão em A mas nãoestão em B:

A−B = {x| x ∈ A ∧ x /∈ B.}Exemplo: Seja S = {a, b, c, d, e} e Q = {b, c, e}. Determinamos S −Q.Exemplo: Seja A = ∅ e B = {∅, {∅}} Determinamos A−B.

Complemento de um Conjunto

Seja A um qualquer e U conjunto universo. O complemento de Conjunto Aindicado por A (ou Ac, ou CU (A), ou A′), é o complimento de A em relação de U.Em outros palavras, CU (A) = U −A.Exemplo: Seja S = {a, b, c, d, e, f} e Q = {b, c, a, e}. Determinamos CS(Q).Exemplo: Seja A = {x|x ∈ Z e x < 10} e B = {x|x ∈ Z e x é primo <10 }Determinamos CA(B) e CB(A).

Exercicio 6: Seja C = {x|x ∈ Z, x é divisor de 5} eB = {x|x ∈ Z x é multiplo de 5}, determinem CB(C).Exercicio 7: Determinem a A−B com A = {x|x é primo} e B = {x|x é impar}.

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Operações com Conjuntos/ Exercicios

Exercicio 8: Considerando U como universo e A, B partes de U (subconjuntos deU), DemonstremTeorema 3: Se A ⊂ B, então CU (B) ⊂ CU (A).Exercicio 9: Considerando U como universo e A, B partes de U (subconjuntos deU), DemonstremLema 4: CU (U) = ∅.Exercicio: Considerando U como universo e A, B partes de U (subconjuntos de U),DemonstremLema 5: CU (∅) = U .Exercicio 10: Considerando U como universo e A, B partes de U (subconjuntos deU), DemonstremLema 6: CU (CU (A)) = A.Exercicio 11-12: Considerando U como universo e A, B partes de U (subconjuntosde U), DemonstremTeorema 4: A−B = A ∩Bc.Lema 7: Se A ⊂ B, então A−B = ∅.Exercicio 13: Demonstrem,Lema 8: |A ∪B| = |A|+ |B| − |A ∩B|.

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Operações com Conjuntos

Identidade de Conjuntos

Exercicio 12: Demonstrem os Leis de Demorgan para conjuntos.Exercicios: 1 a 20 do Rosen, seção 2.2- lista intermat: 13 a 23.

Tabela PertinênciaDefinir identidades também pode ser provado usando tabelas de pertencia. Paraindicar que um elemento está em um conjunto, um 1 é usado e para indica que umelemento não está em um conjunto, um 0 é usado.

Pouya Mehdipour 6 de maio de 2019 15 / 22

Tabela Pertinência

Obs: "1"significa que elemento pertence e "0"significa que elementonão pertence.

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Operação com ConjuntosDiferença Simetrica entre Conjuntos

A diferença simetrica entre conjuntos, é A∆B = (A−B) ∪ (B −A).Teorema 5: Dado A,B conjuntos quaisquer, A∆B = (A ∪B)− (A ∩B).

Exercicio 14: Demonstrem que Proposição 3: Dado conjuntos A e B, A−B e Bsão disjuntos.Exercicio 15: Demonstrem pelo tabela de pertinência:1) propriedades de Distributiva e Associativa para conjuntos, 2) A∆B = B∆A,3) A∆(B∆C) = (A∆B)∆C.Exercicio 16: Determinem 1)A∆∅, 2)A∆U ,3) A∆A′,4)A∆A.Exercicio 17: Demonstrem A ∩ (B − C) = (A ∩B)− (A ∩ C).Exercicio 18: Demonstrem A ∪ (B ∩ C) = A ∩ (B ∪ C).Exercicio 19: Demonstrem, 1)A ⊂ B, então A ∪B = B e A ∩B = A;2)A ∩B ⊆ A e A ∩B ⊆ B, 3)A ⊆ A ∪B e B ⊆ A ∪B.Exercicio 20: Demonstrem A ⊂ C e B ⊂ C, entao A ∪B ⊂ C.Exercicio 21: Demonstrem Propriedades de absorção.Exercicio 22: Usando Ex 16, demonstrem A ∩ (B∆C) = (A ∩B)∆(A ∩ C).Exercicio 23: Resolve Ex 16 para união e use-o para demonstrar queA ∪ (B∆C) = (A ∪B ∪ C)− (Ac ∩B ∩ C).

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Representação Computacional de Conjuntos

Suponha que o conjunto universal U é finito. Primeiro, especifique um ordenamentoarbitrário dos elementos de U, por exemplo, {a1, a2, · · · , an}. Represente umsubconjunto A de U com a cadeia de bits de comprimento n, onde o ith bit nestacadeia é 1 se a i pertence a A e é 0 se a i não pertence a A.Exemplo: Seja U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, e a ordenação dos elementos de U temos elementos em ordem crescente; isto é, um i = i. Que bit strings representam osubconjunto de todos os inteiros ímpares em U, o subconjunto de todos os inteirospares em U e o subconjunto de inteiros não excedendo 5 em U?Exemplo: As seqüências de bits para os conjuntos {1, 2, 3, 4, 5} e {1, 3, 5, 7, 9} são 111110 0000 e 10 1010 1010, respectivamente. Use cadeias de bits para encontrar aunião e a interseção desses conjuntos.

Exercicio 24: Seja U = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j}. Encontrem o conjunto especificadopor cada uma dessas cadeias de bits.1) A=11 1100 1111, 2) B=01 0111 1000, 3) C=10 0000 0001Exercicio 25: Qual é a seqüência de bits correspondente à diferença de conjuntosA−B e C −B?

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Uniões e Interseções Generalizadas

Defenição

A união de uma coleção de conjuntos é o conjunto que contém os elementos quesão membros de pelo menos um conjunto na coleção. Denotada por

A1 ∪A2 ∪ · · · ∪An =

n⋃i=1

Ai.

A interseção de uma coleção de conjuntos é o conjunto que contém os elementosque são membros de todos os conjuntos na coleção. Denotada por

A1 ∩A2 ∩ · · · ∩An =

n⋂i=1

Ai.

Obs: Podemos estender a notações que introduzimos para outras famílias deconjuntos, por exemplo A1 ∪A2 ∪ · · · =

⋃∞i=1 Ai ou A1 ∩A2 ∩ · · · =

⋂∞i=1 Ai. Em

geral tem,⋃

i∈I Ai = {x|∀i ∈ i, x ∈ Ai},⋂

i∈I Ai = {x|∃i ∈ i, x ∈ Ai}.

Exemplo: Seja Ai = {i, i + 1, i + 2, · · · },então⋃n

i=1 Ai =? e⋂n

i=1 Ai =?Exemplo: Seja Bi = {1, 2, 3, · · · , i}, então

⋃∞i=1 Bi =? e

⋃∞i=1 Bi =?

Pouya Mehdipour 6 de maio de 2019 19 / 22

Tuplas ordenadas, produto CartesianoDefenição

A n-tupla ordenada (a1, a2, ..., an) é a coleção ordenada que tem a1 como seuprimeiro elemento, a2 como seu segundo elemento,. . . e an como seu enésimoelemento. Duas n-tuplas ordenadas são iguais se, e somente se, cada parcorrespondente de suas elementos é igual. Em outras palavras,

(a1, a2, ..., an) = (b1, b2, ..., bn)⇔ ai = bi, ∀i ∈ {1, 2, ...n}.

Defenição

Seja A e B conjuntos. O produto cartesiano de A e B, denotado por A×B, é oconjunto de todas as pares ordenados (a, b), onde a ∈ A e b ∈ B. Portanto,

A×B = {(a, b)|a ∈ A ∧ b ∈ B.}

Pode estender o produto cartesiano dos conjuntos para,

n∏i=1

Ai = A1 ×A2 × · · · ×An = {(a1, a2, ..., an)|ai ∈ Ai para i = 1, 2, 3, ..., n}.

Obs: Usamos a notação A2 para denotar A×A, o produto cartesiano do conjuntoA com ele mesmo. Assim, An = {(a1, a2, ..., an)|ai ∈ A para i = 1, 2, 3, ..., n}.

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Produto Cartesiano/Representação Gráfica/PropriedadesDiagrama Cartesiano

Seja A = {1, 2}, B = {a, b, c}, C = {x ∈ R|2 ≤ x ≤ 5} e D = {x ∈ R|1 ≤ x ≤ 3},então os diagramas cartesianos dos A×B e C ×D são,

Obs: (x, y) /∈ A×B ⇔ [(x /∈ A ∧ x ∈ B) ∨ (x ∈ A ∧ x /∈ B) ∨ (x /∈ A ∧ x /∈ B)].Obs: existem representações por tabela de dupla entrada e por diagrama de Venn(Sagital) também.Obs: no caso de produto Carteziano de vários conjuntos, podemos usar "diagramada árvore". Ex 27-1)

Pouya Mehdipour 6 de maio de 2019 21 / 22

Produto Cartesiano/PropriedadesTeorema 6

A×B = ∅ ⇔ A = ∅, ∨ B = ∅.

Em geral A×B 6= B ×A : Seja A = [1, 2] e B = [2, 4].

Teorema 7

A×B = B ×A⇔ A = ∅, ∨ B = ∅ ∨ A = B.

Exercício 26: Determinam o x e y de modo que sejam iguais o pares ordenadas:1)(x + y, 2) e (4, x− y), 2)(x− 2, 2y + 1) e (y + 2, x− 1).Exercício 27: Dados A = {1, 2, 3}, B = {a, b}, e C = {3, a, 5}, Determinem:1)A×B × C 2)A× (B ∩ C), 3)B × (A ∩ C), 4)C × (B −A).Exercício 28: Construa o Diagrama Cartesiano de A×B para 1)A = (−1, 2), B = [2, 3], 2)A = {−2,−1, 1, 3}, B = {1/2, 1/4, 3/2, 2},3)A = (−∞, 2], B = [−2, 5], 4)A = [−3, 2), B = [1,∞).Exercício 29-30: Demonstrem a distributividade de produto cartesiano em relaçãoa reunião e interseção.Exercício 31-32: Demonstrem a distributividade de produto cartesiano em relaçãoa diferença e diferença simétrica.Exercícios: 27 e 28 da Lista- 26 à 40 seção 2.1 e 25 ao 31 seção 2.2 do Rosen.

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