teoria de estruturas - paginas...
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I
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
LICENCIATURA EM ENGENHARIA CIVIL
TTTEEEOOORRRIIIAAA DDDEEE EEESSSTTTRRRUUUTTTUUURRRAAASSS
TEOREMA DOS TRABALHOS VIRTUAIS
ESTRUTURA MISTA ISOSTÁTICA
ISABEL ALVIM TELES
1.5 m
10 kN/m
A
2 m
3 m
30 kN
1.5 m
8 kN
B DC
E F
I
TEORIA DE ESTRUTURAS ISABEL ALVIM TELES
versão 0 1/13 TTV – Estrutura mista isostática
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
EXERCÍCIO PROPOSTO
Considere a estrutura representada na figura.
Responda às alíneas seguintes desprezando a contribuição do esforço transverso.
a) Determine o deslocamento e rotação do ponto D;
b) Determine a rotação do ponto A;
c) Determine o deslocamento relativo dos pontos E e B;
d) Determine a variação do ângulo formado pelas barras BF e FC;
e) Confirme com o programa informático FTOOL os resultados obtidos nas alíneas a) e b).
Barras ABCD
Secção: ver figura
Betão: E = 29 GPa
Restantes barras
Perfil tubular:
100 mm x 100 mm
esp = 5 mm
Aço: E = 206 GPa
RESOLUÇÃO
• Cálculo das reacções e esforços nas barras bi-articuladas
→=
↑=
←−=
⇒
=××−−−×⇒=
=−×−−⇒=
=+⇒=
∑
∑
∑
kN 141 H
kN 68 V
kN 141 H
0 3 3 10 6 x 301,5 x 8 2 H 0 M
0 8 3 10 30 V 0 F
0 H H 0 F
E
A
A
EA
AY
EAX
1.5 m
10 kN/m
A
2.0 m
0.30
0.40
3.0 m
30 kN
1.5 m
8 kN
B DC
E F
1.5 m
10 kN/m
A
2 m
3 m
30 kN
1.5 m
8 kN
B DC
E FHE
HA
VA
I
TEORIA DE ESTRUTURAS ISABEL ALVIM TELES
versão 0 2/13 TTV – Estrutura mista isostática
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
Nó E Barra EF ⇒ NEF = -141 kN (compressão)
Nó F
=α
=α⇒==α⇒=α
13
2 sen
13
3 cos
33,69 32 arctg
32 tg
o
0 F
0 F
y
x
=
=
∑
∑
0 sen N N
0 141 cos N
FCFB
FC
=α+
=+α
=
−=
(tracção) kN 102 N
o)(compressã kN 1347 N
FB
FC
• Características das barras
Barras ABCD
m 10 9 12
0,30 0,40
m 0,12 0,3 0,40 A
kPa 10 29 GPa 29 E
44-3
2
6
×=×=
=×=
×==
I
Barras bi-articuladas EF, FB e FC
m 10 1,9 0,09 0,09 0,10 0,10 A
kPa 10 206 GPa 206 E
23-
6
×=×−×=
×==
• Diagramas de Esforços – sistema real
Barra BC kNm z 5 z . 34 102 (z) M 2−−=⇒
1.5 m
10 kN/m
A
2 m
3 m
30 kN
1.5 m
8 kN
B DC
E F141 kN
141 kN
68 kN
-141kN
-47 1
3 kN
+102
kN
α
102
1.5 m
A
2 m
3 m 1.5 m
B DC
E F
141
-141
-47 1
3 kN
1.5 m
A
2 m
3 m 1.5 m
B
DC
E F
102
-45
ESFORÇO AXIAL (kN)
MOMENTO FLECTOR (kNm)
F
α
NFC
141kN
NFB
I
TEORIA DE ESTRUTURAS ISABEL ALVIM TELES
versão 0 3/13 TTV – Estrutura mista isostática
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
a) DESLOCAMENTO DO PONTO D
a1) Deslocamento vertical do ponto D
→=
↑=
←−=
⇒
=×−×⇒=
=−⇒=
=+⇒=
∑
∑
∑
kN 3 H
kN 1 V
kN 3 H
0 6 1 2 H 0 M
0 1 V 0 F
0 H H 0 F
E
A
A
EA
AY
EAX
Nó E Barra EF ⇒ NEF = -3 kN (compressão)
Nó F
=α
=α⇒==α⇒=α
13
2 sen
13
3 cos
33,69 32 arctg
32 tg
o
0 F
0 F
y
x
=
=
∑
∑
0 sen N N
0 3 cos N
FCFB
FC
=α+
=+α
=
−=
(tracção) kN 2 N
o)(compressã kN 13 N
FB
FC
• Diagramas de Esforços – sistema virtual
Barra BC kNm z 1,5 (z) M −=⇒
1.5 m
A
2 m
3 m
1 kN
1.5 m
B DC
E F3 kN
3 kN
1 kN
-3kN
- 13 kN
+2
kN
α
2
1.5 m
A
2 m
3 m 1.5 m
B DC
E F
3
-3
- 13 kN
1.5 m
A
2 m
3 m 1.5 m
B
DC
E F
1,5
-1,5
ESFORÇO AXIAL (kN)
MOMENTO FLECTOR (kNm)
F
α
NFC
3kN
NFB
I
TEORIA DE ESTRUTURAS ISABEL ALVIM TELES
versão 0 4/13 TTV – Estrutura mista isostática
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
barras
bi-articuladas
barras
contínuas
• Aplicação do Teorema dos Trabalhos Virtuais (TTV)
A EL N
N dz EMM
dz A ENN
δ 1 vD ∑+×+×=× ∫∫
I
m 105,4698 141 4,5 3 12,0 1029
1 dz
A ENN
4-
6×=×××
××=×
∫
[ ]
m 108,448 ) 33,75 3153 32
153 3
3
26,5 3
45
76,5 ( 26100
1
33,75 dz )153z 153.z 26,5(5z 76,5 26100
1
3
1,51,5)(45 dz )z 5 z . 34 (102z) (1,5 1,5
3
1,5102
1091029
1 dz
EMM
3-234
3
0
23
3
0
2
4-6
×=+×+−++=
=
++−++=
=
×−×−+−−×−+××
×××=×
∫
∫∫I
[ ] m 108,292 13)13(1347 22102 1,53)(141 101,910206
1
A EL N
N 3-
3-6×=×−×−××+×−×−
×××=∑
A EL N
N dz EMM
dz A ENN
δvD ∑+×+×= ∫∫
I
↓=×=×+×+×= cm 1,729 m 101,729 108,292 108,448 105,4698 δ-2-3-3-4v
D
a2) Deslocamento horizontal do ponto D
• Diagramas de Esforços – sistema virtual
1.5 m
A
3 m
1 kN
1.5 m
B DC
E F
1 kN
1.5 m
A
2 m
3 m 1.5 m
B DC
E F
1
1.5 m
A
2 m
3 m 1.5 m
B
DC
E F
ESFORÇO AXIAL (kN)
MOMENTO FLECTOR (kNm)
I
TEORIA DE ESTRUTURAS ISABEL ALVIM TELES
versão 0 5/13 TTV – Estrutura mista isostática
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
barras
bi-articuladas
barras
contínuas
• Aplicação do Teorema dos Trabalhos Virtuais (TTV)
A EL N
N dz EMM
dz A ENN
δ 1 hD ∑+×+×=× ∫∫
I
→=×=×××××
=×∫ mm 0,18 m 101,823 141 4,5 1
12,0 1029
1 dz
A ENN 4-
6
0 dz EMM =×
∫I
0 A EL N
N =∑
→=∑+×+×= ∫∫ mm 0,18 A EL N
N dz EMM
dz A ENN
δhD I
• Deslocamento do ponto D
cm 1,729 180,01,729 )(δ )(δ δ222h
D2v
DD =+=+= �
a3) Rotação do ponto D
→=
=
←−=
⇒
=−×⇒=
=⇒=
=+⇒=
∑
∑
∑
kN 0,5 H
0 V
kN 5,0 H
0 1 2 H 0 M
0 V 0 F
0 H H 0 F
E
A
A
E A
AY
E AX
Nó E Barra EF ⇒ NEF = -0,5 kN (compressão)
Nó F
=α
=α⇒==α⇒=α
13
2 sen
13
3 cos
33,69 32 arctg
32 tg
o
0 F
0 F
y
x
=
=
∑
∑
0 sen N N
0 0,5 cos N
FCFB
FC
=α+
=+α
=
−=
(tracção) kN 31
N
o)(compressã kN 1335,0
N
FB
FC
F
α
NFC
0,5kN
NFB
0,5 kN
0,53-
13 kN1 3
+
1.5 m
A
2 m
3 m
1 kNm
1.5 m
B DC
E F
0,5 kN
-0,5kN
α
I
TEORIA DE ESTRUTURAS ISABEL ALVIM TELES
versão 0 6/13 TTV – Estrutura mista isostática
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
barras
bi-articuladas
barras
contínuas
• Diagramas de Esforços – sistema virtual
Barra BC kNm z 31
(z) M −=⇒
• Aplicação do Teorema dos Trabalhos Virtuais (TTV)
A EL N
N dz EMM
dz A ENN
1 D ∑+×+×=θ× ∫∫I
rad 109,116 141 4,5 0,5 12,0 1029
1 dz
A ENN 5-
6×=×××
××=×
∫
rad 10,2846 ) 33,75 32
34 3
934
3125
( 26100
1
33,75 dz )z .43z 343
z35
( 26100
1
2
)1(1,545 dz )z 5 z . 34 (102z)
31
( 1091029
1 dz
EMM
4-234
3
0
23
3
0
2
4-6
×=−×−+=
=
+−+=
=
−××−+
−−×−
×××=×
∫
∫∫I
rad 101,382
13)133
5,0(1347 2
31
102 1,5)5,0(141 101,910206
1
A EL N
N
3-
3-6
×=
=
×−×−××+×−×−
×××=∑
A EL N
N dz EMM
dz A ENN
D ∑+×+×=θ ∫∫I
rad 102,102 101,382 106,284 109,116 -3-3-4-5
D ×=×+×+×=θ
�
0,53-
13 kN
1 3
1.5 m
A
2 m
3 m 1.5 m
B DC
E F
0,5
-0,5
1.5 m
A
2 m
3 m 1.5 m
B
DC
E F
-1
ESFORÇO AXIAL (kN)
MOMENTO FLECTOR (kNm)
I
TEORIA DE ESTRUTURAS ISABEL ALVIM TELES
versão 0 7/13 TTV – Estrutura mista isostática
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
barras
bi-articuladas
b) ROTAÇÃO DO PONTO A
• Diagramas de Esforços – sistema virtual
Barra BC kNm z 31
1 (z) M −=⇒
• Aplicação do TTV
rad 109,116 141 4,5 0,5 12,0 1029
1 dz
A ENN 5-
6×=×××
××=×
∫
rad 10,4086 ) 3102 32
68 3
919
3125
76,5 ( 26100
1
dz )102 z 68.z 3
19z
35
(5,76 26100
1
dz )z 5 z . 34 (102z) 31
1( 2
11,5102
1091029
1 dz
EMM
3-234
3
0
23
3
0
2
4-6
×=×+×−++=
=
+−++=
=
−−×−+××
×××=×
∫
∫∫I
rad 101,382
13)133
5,0(1347 2
31
102 1,5)5,0(141 101,910206
1
A EL N
N
3-
3-6
×=
=
×−×−××+×−×−
×××=∑
rad 107,881 101,382 106,408 109,116 A EL N
N dz EMM
dzA ENN
3-3-3-5-
A ×=×+×+×=∑+×+×=θ ∫∫I
A EL N
N dz EMM
dz A ENN
1 A ∑+×+×=θ× ∫∫I
0,5 kN
-0,5kN
α0,5 kN
0,53-
13 kN1 3
+
1 kNm
1.5 m
A
2 m
3 m 1.5 m
B DC
E F
�
0,53-
13 kN
1 3
1.5 m
A
2 m
3 m 1.5 m
B DC
E F
0,5
-0,5
1.5 m
A
2 m
3 m 1.5 m
B
DC
E F
1
ESFORÇO AXIAL (kN)
MOMENTO FLECTOR (kNm)
barras
contínuas
I
TEORIA DE ESTRUTURAS ISABEL ALVIM TELES
versão 0 8/13 TTV – Estrutura mista isostática
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
c) DESLOCAMENTO RELATIVO E-B
Como o ponto E está fixo (apoio sem assentamento), o deslocamento relativo dos pontos E e B ( B-E δ ) será
igual ao deslocamento do ponto B na direcção EB (EB dir - B
δ ).
=β
=ββ
==β⇒=β
0,8 sen
0,6 cos
53,13 1,52
arctg 1,52
tgo
←−=
↓−=
=
⇒
=×β×+×⇒=
=β×+⇒=
=β×++⇒=
∑
∑
∑
kN 0,6 H
kN 0,8 V
0 H
0 5,1 sen1 2 H 0 M
0 sen1 V 0 F
0 cos1 H H 0 F
E
A
A
E A
AY
E AX
Nó E Barra EF ⇒ NEF = 0,6 kN (tracção)
Nó F
=α
=α⇒==α⇒=α
13
2 sen
13
3 cos
33,69 32 arctg
32 tg
o
0 F
0 F
y
x
=
=
∑
∑
0 sen N N
0 0,6 cos N
FCFB
FC
=α+
=−α
−=
=
o)(compressã kN 0,4 N
(tracção) kN 130,2 N
FB
FC
F
α
NFC
0,6kN
NFB
1.5 m
B DC
E F
α
1 kN
β
β
HE
HA
VA
1.5 m
A
2 m
3 m
0,2 13 kN
-0,4
kN
1.5 m
A
2 m
3 m 1.5 m
B DC
E F0,6kN
α0,6 kN
1 kN
β
0,8 kN
β
I
TEORIA DE ESTRUTURAS ISABEL ALVIM TELES
versão 0 9/13 TTV – Estrutura mista isostática
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
barras
bi-articuladas
barras
contínuas
• Diagramas de Esforços – sistema virtual
Barra BC kNm z 4,02,1 (z) M +−=⇒
• Aplicação do Teorema dos Trabalhos Virtuais (TTV)
A EL N
N dz EMM
dz A ENN
δ 1EB dir - B
∑+×+×=× ∫∫I
m 107,293 141 3 0,6 12,0 1029
1 dz
A ENN 5-
6×=×××
××=×
∫
[ ]
m 10,5176 ) 3122,4 32
81,6 3
3
7,6 3
42
61,2 ( 26100
1
dz )122,4 z 81,6.z 6,72z(2,61 26100
1
dz )z 5 z . 34 (102z) 4,02,1( 3
5,11,2)(102
1091029
1 dz
EMM
3-234
3
0
23
3
0
2
4-6
×−=×−×+−−−=
=
−+−−+−=
=
−−×+−+×−×
×××=×
∫
∫∫I
[ ]m 101,658
13132,01347 2)4,0(102 1,56,0141 101,910206
1
A EL N
N
3-
3-6
×−=
=××−×−×+××−×××
=∑
A EL N
N dz EMM
dz A ENN
δEB dir - B
∑+×+×= ∫∫I
m 108,102 101,658 106,517 107,293 δ-3-3-3-5
EB dir - B×−=×−×−×=
mm 8,102 δ δEB dir - BB-E −== (os pontos E e B aproximaram-se)
1.5 m
A
2 m
3 m 1.5 m
B DC
E F
0,6
0,6
1.5 m
A
2 m
3 m 1.5 m
B DC
E F
ESFORÇO AXIAL (kN)
MOMENTO FLECTOR (kNm)
-0,4
0,2 13 kN
-1,2
I
TEORIA DE ESTRUTURAS ISABEL ALVIM TELES
versão 0 10/13 TTV – Estrutura mista isostática
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
d) VARIAÇÃO DO ÂNGULO BFC
Nó F
=α
=α⇒==α⇒=α
13
2 sen
13
3 cos
33,69 32 arctg
32 tg
o
0 F
0 F
y
x
=
=
∑
∑
0 cos
13
1 sen N N
0 sen 13
1 0,5 cos N
FCFB
FC
=α+α+
=α−+α
=
−=
0 N
o)(compressã kN 13
1,5 N
FB
FC
• Diagramas de Esforços – sistema virtual
2 m
1.5 m
A
3 m 1.5 m
B DC
E F1 kNm
1 kNm
1.5 m
A
2 m
3 m 1.5 m
B DC
E F
0,5 kN
0,5 kN
1
13kN
1
13kN
F α
NFC
0,5kN
NFB
1
13kNα
1,5
13
kN
1.5 m
A
2 m
3 m 1.5 m
B DC
E F
0,5
1.5 m
A
2 m
3 m 1.5 m
B DC
E F
ESFORÇO AXIAL (kN)
MOMENTO FLECTOR (kNm)
-
1.5 m
A
2 m
3 m 1.5 m
B DC
E F
0,5 kN
0,5kN
1
13kN
1
13kN
α
-1,5
13
kN
I
TEORIA DE ESTRUTURAS ISABEL ALVIM TELES
versão 0 11/13 TTV – Estrutura mista isostática
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
barras
bi-articuladas
barras
contínuas
• Aplicação do Teorema dos Trabalhos Virtuais (TTV)
A EL N
N dz EMM
dz A ENN
1 BFC ∑+×+×=ϕ∆× ∫∫I
rad 106,078 141 3 0,5 12,0 1029
1 dz
A ENN 5-
6×=×××
××=×
∫
0 dz EMM =×
∫I
rad 106,494 101,910206
13)13
5,1(1347
A EL N
N 4-
3-6×=
×××
×−×−=∑
A EL N
N dz EMM
dz A ENN
BFC ∑+×+×=ϕ∆ ∫∫I
rad 10,1027 106,494 106,078 -4-4-5
BFC ×=×+×=ϕ∆ (o ângulo BFC aumentou)
I
TEORIA DE ESTRUTURAS ISABEL ALVIM TELES
versão 0 12/13 TTV – Estrutura mista isostática
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
e) PROGRAMA FTOOL
GEOMETRIA
ESFORÇO TRANSVERSO
(kN)
MOMENTO FLECTOR
(kNm)
DEFORMADA
I
TEORIA DE ESTRUTURAS ISABEL ALVIM TELES
versão 0 13/13 TTV – Estrutura mista isostática
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
Deslocamentos e rotações obtidos com o programa FTOOL
Deslocamento e rotação do ponto D
Sentidos positivos:
Node
Results
Nodal
Displacements:
Dx = 1.823e-002 cm
Dy = -1.729e+000 cm
Rz = -2.105e-003 rad
Rotação do ponto A
Sentidos positivos:
Member
Displacements and Rotations
Init: Dx: 0.000e+000 cm
Dy: 0.000e+000 cm
Rz: -7.881e-003 rad
End:
Dx: 6.078e-003 cm
Dy: -1.036e+000 cm
Rz: -4.950e-003 rad
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