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Prof. Juliano J. Scremin

Teoria das Estruturas - Aula 07

Arcos Isostáticos • Definição e Tipos • Casos Particulares de Arcos • Equação do Arco Parabólico de 2º. Grau,

Equação da Linha de Pressões e Arcos com Apoios Desnivelados

1

Aula 07 - Seção 1: Definição e Tipos

2

Arcos (1)

• Definição:

– Arco é uma estrutura linear de eixo curvo, situada em um plano vertical, vinculada em suas extremidades de modo a que estas não sofram translações, solicitada por cargas contidas no plano referido, provocando esforços de compressão, flexão e cisalhamento.

• Arco Triarticulado : arco isostático, com apoios fixos e descontinuidade interna do tipo rótula.

• Objetivo dos arcos: vencer grandes vãos com a redução dos esforços de flexão.

3

Arcos (2)

4

Arcos (3)

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Tipos de Arcos

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Biengastado

Biarticulado

Triarticulado

Viga Curva

Exemplos de Utilização

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Nomenclatura

8

Aula 07 - Seção 2: Arcos Circulares

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Viga Curva Biapoiada Carregada Verticalmente (1)

• Quando um arco é solicitado somente por cargas verticais, um recurso interessante é a utilização de uma viga análoga para auxílio no cálculo dos esforços:

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Diagrama de Momentos Fletores de uma Viga Análoga

𝑉𝑉𝑆𝑆 = 𝑉𝑉𝐴𝐴𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝜃𝜃 = 𝑃𝑃 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝜃𝜃/2

𝑁𝑁𝑆𝑆 = −𝑉𝑉𝐴𝐴𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝜃𝜃 = −𝑃𝑃 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝜃𝜃/2

𝑀𝑀𝑆𝑆 = 𝑉𝑉𝐴𝐴(𝑅𝑅 − 𝑅𝑅𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝜃𝜃) = 𝑃𝑃𝑅𝑅(1 − 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝜃𝜃)/2

Viga Curva Biapoiada Carregada Verticalmente (2)

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Revisão do Círculo Trigonométrico

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Mapeamento de Arcos Circulares (1)

13

Mapeamento de Arcos Circulares (2)

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Arco Semicircular Tri-Articulado Carregado Verticalmente (1)

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Cálculo das Reações de Apoio:

�𝑀𝑀𝐴𝐴 = 𝑉𝑉𝐵𝐵 .2𝑅𝑅 − 𝑃𝑃𝑅𝑅 = 0

𝑉𝑉𝐵𝐵 = 𝑃𝑃/2

�𝐹𝐹𝑉𝑉 = 𝑉𝑉𝐴𝐴 − 𝑃𝑃 + 𝑉𝑉𝐵𝐵 = 0

𝑉𝑉𝐴𝐴 = 𝑃𝑃/2

�𝑀𝑀𝐶𝐶 = −𝐻𝐻𝐵𝐵.𝑅𝑅 + 𝑃𝑃/2.𝑅𝑅 = 0

𝐻𝐻𝐵𝐵 = 𝑃𝑃/2

�𝐹𝐹𝐻𝐻 = 𝐻𝐻𝐴𝐴 − 𝐻𝐻𝐵𝐵 = 0

𝐻𝐻𝐴𝐴 = 𝑃𝑃/2

Arco Semicircular Tri-Articulado Carregado Verticalmente (2)

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Equacionamento dos Momentos Fletores:

𝑀𝑀𝐼𝐼 𝛽𝛽 =𝑃𝑃2 𝑅𝑅 − 𝑅𝑅𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝛽𝛽 −

𝑃𝑃2 𝑅𝑅 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝛽𝛽

Trecho I : β entre 0° e 90°

𝑀𝑀𝐼𝐼 𝛽𝛽 =𝑃𝑃𝑅𝑅2 1 − 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝛽𝛽 − 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝛽𝛽

Arco Semicircular Tri-Articulado Carregado Verticalmente (3)

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Equacionamento dos Momentos Fletores:

𝑀𝑀𝐼𝐼 𝛽𝛽 =𝑃𝑃2 𝑅𝑅 − 𝑅𝑅𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝛽𝛽 −

𝑃𝑃2 𝑅𝑅 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝛽𝛽

Trecho II : β entre 90° e 180°

𝑀𝑀𝐼𝐼𝐼𝐼 𝛽𝛽 =𝑃𝑃𝑅𝑅2 1 + 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝛽𝛽 − 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝛽𝛽

𝑀𝑀𝐼𝐼𝐼𝐼 𝛽𝛽 = 𝑀𝑀𝐼𝐼 𝛽𝛽 + 𝑃𝑃𝑅𝑅 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝛽𝛽

* O braço de alavanca da reação vertical P/2 é R + R cos β , porém, como β esta entre 90° e 180° seu

cosseno é negativo sendo a distância calculada como R – R cos β

Ideia Geral do Equacionamento de Cortantes e Axiais em Arcos

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1. Fazer o somatório de todas as forçar verticais à esquerda da seção de análise (ΣVER);

2. Fazer o somatório de todas as forçar horizontais à esquerda da seção de análise (ΣHOR);

3. Decompor ΣVER e ΣHOR nos eixos Secante e Tangencial obedecendo a convenção de sinais para diagramas.

OBS: a decomposição pode ser feita em relação tanto ao ângulo β quanto ao ângulo α indicados.

Arco Semicircular Tri-Articulado Carregado Verticalmente (4)

19

Equacionamento dos Cortantes e Axiais:

𝑉𝑉𝐼𝐼 𝛽𝛽 = Σ𝑉𝑉𝑉𝑉𝑅𝑅. 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠β - Σ𝐻𝐻𝐻𝐻𝑅𝑅. 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠β

Trecho I : β entre 0° e 90°

𝑁𝑁𝐼𝐼 𝛽𝛽 = −Σ𝑉𝑉𝑉𝑉𝑅𝑅. 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠β - Σ𝐻𝐻𝐻𝐻𝑅𝑅. 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠β

𝑉𝑉𝐼𝐼 α = Σ𝑉𝑉𝑉𝑉𝑅𝑅. 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠α - Σ𝐻𝐻𝐻𝐻𝑅𝑅. 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠α

𝑁𝑁𝐼𝐼 α = −Σ𝑉𝑉𝑉𝑉𝑅𝑅. 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠α- Σ𝐻𝐻𝐻𝐻𝑅𝑅. 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠α

Em função de β:

Em função de α:

𝜮𝜮𝑽𝑽𝑽𝑽𝑽𝑽 = 𝑷𝑷/𝟐𝟐 𝜮𝜮𝑯𝑯𝑯𝑯𝑽𝑽 = 𝑷𝑷/𝟐𝟐

Arco Semicircular Tri-Articulado Carregado Verticalmente (5)

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Equacionamento dos Cortantes e Axiais: Trecho II : β entre 90° e 180°

𝜮𝜮𝑽𝑽𝑽𝑽𝑽𝑽 = 𝑷𝑷/𝟐𝟐 − 𝑷𝑷 = −𝑷𝑷/𝟐𝟐

𝜮𝜮𝑯𝑯𝑯𝑯𝑽𝑽 = 𝑷𝑷/𝟐𝟐

𝑉𝑉𝐼𝐼𝐼𝐼 −α = Σ𝑉𝑉𝑉𝑉𝑅𝑅. cos (−α) + Σ𝐻𝐻𝐻𝐻𝑅𝑅. 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(−α) 𝑁𝑁𝐼𝐼𝐼𝐼 −α = Σ𝑉𝑉𝑉𝑉𝑅𝑅. 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(−α)- Σ𝐻𝐻𝐻𝐻𝑅𝑅. cos (−α)

Em função de α negativo :

Processando as substibuições -sen(α) = sen(-α) e cos(α) = cos(-α)

𝑉𝑉𝐼𝐼𝐼𝐼 α = 𝛴𝛴𝑉𝑉𝑉𝑉𝑅𝑅. 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠 (𝛼𝛼) - 𝛴𝛴𝐻𝐻𝐻𝐻𝑅𝑅. 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝛼𝛼) 𝑁𝑁𝐼𝐼𝐼𝐼 α = −𝛴𝛴𝑉𝑉𝑉𝑉𝑅𝑅. 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝛼𝛼)- 𝛴𝛴𝐻𝐻𝐻𝐻𝑅𝑅. 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠 (𝛼𝛼)

Arco Semicircular Tri-Articulado Carregado Verticalmente (6)

21

Equacionamento dos Cortantes e Axiais: Trecho II : β entre 90° e 180°

𝜮𝜮𝑽𝑽𝑽𝑽𝑽𝑽 = 𝑷𝑷/𝟐𝟐 − 𝑷𝑷 = −𝑷𝑷/𝟐𝟐

𝜮𝜮𝑯𝑯𝑯𝑯𝑽𝑽 = 𝑷𝑷/𝟐𝟐

𝑉𝑉𝐼𝐼𝐼𝐼 𝛽𝛽 = Σ𝑉𝑉𝑉𝑉𝑅𝑅. cos (β − 90°) + Σ𝐻𝐻𝐻𝐻𝑅𝑅. 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(β − 90°)

𝑁𝑁𝐼𝐼𝐼𝐼 𝛽𝛽 = Σ𝑉𝑉𝑉𝑉𝑅𝑅. 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 β − 90° - Σ𝐻𝐻𝐻𝐻𝑅𝑅. cos (β − 90°)

Em função de β :

Resumo do Equacionamento de Cortantes e Axiais (1)

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β entre 0° e 90° / α entre 90° e 0°

𝑉𝑉𝐼𝐼𝐼𝐼 𝛽𝛽 = Σ𝑉𝑉𝑉𝑉𝑅𝑅. cos (β − 90°) + Σ𝐻𝐻𝐻𝐻𝑅𝑅. 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(β − 90°)

𝑁𝑁𝐼𝐼𝐼𝐼 𝛽𝛽 = Σ𝑉𝑉𝑉𝑉𝑅𝑅. 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 β − 90° - Σ𝐻𝐻𝐻𝐻𝑅𝑅. cos (β − 90°)

β entre 90° e 180° / α entre 0° e -90°

𝑉𝑉𝐼𝐼 α = Σ𝑉𝑉𝑉𝑉𝑅𝑅. 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠α - Σ𝐻𝐻𝐻𝐻𝑅𝑅. 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠α

𝑁𝑁𝐼𝐼 α = −Σ𝑉𝑉𝑉𝑉𝑅𝑅. 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠α- Σ𝐻𝐻𝐻𝐻𝑅𝑅. 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠α 𝑉𝑉𝐼𝐼𝐼𝐼 α = 𝛴𝛴𝑉𝑉𝑉𝑉𝑅𝑅. 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠 𝛼𝛼- 𝛴𝛴𝐻𝐻𝐻𝐻𝑅𝑅. 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝛼𝛼 𝑁𝑁𝐼𝐼𝐼𝐼 α = −𝛴𝛴𝑉𝑉𝑉𝑉𝑅𝑅. 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝛼𝛼- 𝛴𝛴𝐻𝐻𝐻𝐻𝑅𝑅. 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠 𝛼𝛼

𝑉𝑉𝐼𝐼 𝛽𝛽 = Σ𝑉𝑉𝑉𝑉𝑅𝑅. 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠β - Σ𝐻𝐻𝐻𝐻𝑅𝑅. 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠β

𝑁𝑁𝐼𝐼 𝛽𝛽 = −Σ𝑉𝑉𝑉𝑉𝑅𝑅. 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠β - Σ𝐻𝐻𝐻𝐻𝑅𝑅. 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠β

O ângulo α ser negativo NÃO INTERFERE na convenção de sinais e a mesma expressão válida para o intervalo de 0° a 90° também se aplica para 90° a 180°.

O ângulo β ser maior do que 90° INTERFERE na convenção de sinais e fazem-se necessárias duas expressões: uma para intervalo de 0° a 90° e outra para 90° a 180°.

• Como equacionar cortantes e axiais no arco circular com equações válidas para todo o domínio de 0° a 180° no ângulo β ?

• RESPOSTA: Dado que ângulo alfa não afeta a convenção de sinais de diagramas basta substituir a relação: no equacionamento feito com alfa.

Resumo do Equacionamento de Cortantes e Axiais (2)

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𝑉𝑉 α = Σ𝑉𝑉𝑉𝑉𝑅𝑅. 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠α - Σ𝐻𝐻𝐻𝐻𝑅𝑅. 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠α

𝑁𝑁 α = −Σ𝑉𝑉𝑉𝑉𝑅𝑅. 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠α- Σ𝐻𝐻𝐻𝐻𝑅𝑅. 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠α

𝑉𝑉 𝛽𝛽 = Σ𝑉𝑉𝑉𝑉𝑅𝑅. 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠(90°-β) - Σ𝐻𝐻𝐻𝐻𝑅𝑅. 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 (90°-β) 𝑁𝑁 𝛽𝛽 = −Σ𝑉𝑉𝑉𝑉𝑅𝑅. 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(90°−β) - Σ𝐻𝐻𝐻𝐻𝑅𝑅. 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠(90°-β)

α + β = 90° ou α = 90° − β

Aula 07 - Seção 3: Arcos Parabólicos de 2° Graus e Uso da Viga Análoga

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Arcos Triarticulados Parabólicos

• Um dos formatos mais comuns de arco triarticulado é o parabólico, sendo as posições “y” do arco definidas por uma equação do tipo:

y(x) = a + b*x + c*x^2

• Conhecidos 3 pontos da parábola é possível montar um sistema linear para definição da equação do arco.

• Ex., dados os pontos: (X1,Y1), (X2,Y2) e (X3,Y3):

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𝒀𝒀𝒀𝒀 = 𝒂𝒂 + 𝒃𝒃𝒃𝒃𝒀𝒀 + 𝒄𝒄𝒃𝒃𝒀𝒀𝟐𝟐 𝒀𝒀𝟐𝟐 = 𝒂𝒂 + 𝒃𝒃𝒃𝒃𝟐𝟐 + 𝒄𝒄𝒃𝒃𝟐𝟐𝟐𝟐 𝒀𝒀𝟑𝟑 = 𝒂𝒂 + 𝒃𝒃𝒃𝒃𝟑𝟑 + 𝒄𝒄𝒃𝒃𝟑𝟑𝟐𝟐

𝒀𝒀𝒀𝒀𝒀𝒀𝟐𝟐𝒀𝒀𝟑𝟑

= 𝒀𝒀 𝒃𝒃𝒀𝒀 𝒃𝒃𝒀𝒀𝟐𝟐𝒀𝒀 𝒃𝒃𝟐𝟐 𝒃𝒃𝟐𝟐𝟐𝟐𝒀𝒀 𝒃𝒃𝟑𝟑 𝒃𝒃𝟑𝟑𝟐𝟐

. 𝒂𝒂𝒃𝒃𝒄𝒄

Arcos Triarticulados Carregados Verticalmente (1)

• Arcos triarticulados possuem reações horizontais em seus apoios denominadas “Empuxo” que podem ser quantificadas (também) fazendo uso da viga análoga antes mencionada.

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Arco

Viga Análoga

Arcos Triarticulados Carregados Verticalmente (2)

M27

𝐇𝐇 =𝐌𝐌𝐆𝐆𝐆𝐆

𝐟𝐟

�𝐻𝐻 = 𝐻𝐻𝐴𝐴 − 𝐻𝐻𝐵𝐵 = 0 𝐻𝐻𝐴𝐴 = 𝐻𝐻𝐵𝐵 = 𝐻𝐻

�𝑀𝑀𝐵𝐵 = −𝑉𝑉𝐴𝐴. 𝐿𝐿 + �𝑃𝑃𝑃𝑃(𝐿𝐿 − 𝑥𝑥𝑖𝑖) = 0

𝑉𝑉𝐴𝐴 = +∑𝑃𝑃𝑃𝑃(𝐿𝐿 − 𝑥𝑥𝑖𝑖) / L = 𝑉𝑉𝐴𝐴𝐴𝐴

∑𝑀𝑀𝐴𝐴 = 0 → 𝑉𝑉𝐵𝐵 = 𝑉𝑉𝐵𝐵𝐴𝐴

𝑴𝑴𝑮𝑮 = 𝐆𝐆 ∶ 𝑽𝑽𝑨𝑨.𝒂𝒂 − ∑𝑷𝑷𝑷𝑷(𝒂𝒂 − 𝒙𝒙𝑷𝑷) - H.f = 0

𝑴𝑴𝑮𝑮𝑮𝑮 = 𝐆𝐆 ∶ 𝑽𝑽𝑨𝑨𝑮𝑮.𝒂𝒂 − ∑𝑷𝑷𝑷𝑷 𝒂𝒂 − 𝒙𝒙𝑷𝑷 = 0

Arco:

Viga Análoga:

Arcos Triarticulados Carregados Verticalmente (3)

28

𝐻𝐻𝐴𝐴 = 𝐻𝐻𝐵𝐵 = 𝐻𝐻

𝐌𝐌𝐒𝐒(𝐱𝐱) = MS0(𝐱𝐱) – H.y(𝐱𝐱) VS(𝐱𝐱) = +VS0(𝐱𝐱) cosα (x) - H senα (x) Ns(𝐱𝐱) = -VS0(𝐱𝐱) senα(x) - H cosα (x)

Sendo o ângulo α também uma função da posição “x”,

ou seja “α(x)”

Ângulo α(x)

• Conhecida a equação do arco “y(x)” é possível determinar o ângulo das tangentes do arco com a horizontal, em qualquer um dos infinitos pontos que compõe o arco contínuo por meio de:

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α(x) = arctg ( dy(x) / dx )

Aula 07 - Seção 4: Equação da Linha de Pressões e Arcos com Apoios Desnivelados

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Linha de Pressões

• A linha de pressões para um determinado carregamento permanente é a linha que define a geometria do arco de modo que este trabalhe somente com esforços normais.

• Um arco com estas característica é denominado arco funicular.

• Equação da Linha de Pressões:

– como a equação dos momentos fletores de um arco é função da equação do arco, fazendo MS(x) = 0 tem-se:

– Assim sendo, y(x) (equação da linha de pressões) pode ser escrita em função da equação de momentos fletores da viga análoga dividida pelo empuxo nas laterais do arco.

31

y(x) = MS0(x) / H

Arcos Triarticulados com Apoios Desnivelados

32 Fonte: http://www.geocities.ws/isostatica/Transpar/5ArcosTriarticulados/Slide1.html

𝐇𝐇𝐇 =𝐌𝐌𝐠𝐠

𝐟𝐟. 𝒄𝒄𝑮𝑮𝒄𝒄𝜶𝜶

FIM

33

Exercício 7.1

34

y = - 0.125x² + 1.5x

• Para o arco triarticulado abaixo, obter as reações de apoio e os esforços Ms, Ns, e Qs:

Exercício 7.2

35

• Traçar o diagrama de momentos fletores para o arco parabólico de 2º grau abaixo:

Exercício 7.3

36

• Obter as equações da linha de pressões da estrutura triarticulada com os apoios A e B e articulação interna em C.

• Calcular a força normal na seção onde a tangente é nula:

( Viga Análoga )

Exercício 7.4

37

• Para o arco parabólico de 2º grau triarticulado da figura abaixo determine:

a) A equação do arco (considerar a origem do sistema cartesiano indicada na figura);

b) As reações de apoio (VA, HA, VB, HB); c) O momento fletor , o esforço cortante e o esforço normal na seção S

indicada;

Exercício 7.5

38

• Traçar o diagrama de esforços axiais para o arco parabólico de 2º grau abaixo:

5,0 m 5,0 m

Exercício 7.6

39

• Obtenha as reações de apoio para o arco parabólico de 2º grau abaixo:

Exercício 7.7

40

• Determinar os momentos fletores, os esforços cortantes e os esforços axiais para o arco circular abaixo no ponto A e no ponto B bem como no ângulos β = 30°, 60°, 90°, 120° e 150° (sentido horário):

Exercício 7.8

41

• Traçar os diagramas de momento fletor, esforço cortante e esforço axial para o arco parabólico de segundo grau abaixo, determinando os valores destes esforços internos a cada 1 metro do eixo horizontal (x).