sucesiones cato
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-
7/26/2019 Sucesiones Cato
1/88
UNCVERSID D C TOLlC E CHILE
INSTITUTO E
M TEM TIC S
SU ESIONES
EN EL
UERPO
R
lng MARIO R UL
ZOC R
969
-
7/26/2019 Sucesiones Cato
2/88
UNIVERSID D
C TOLIC
DE
CHILE
F CULT D DE CIENCI S FISIC S Y M TEM TIC S
SU ESIONES
N
L
UERPO R
lng M RIO R UL AZOCAR
1969
-
7/26/2019 Sucesiones Cato
3/88
DUCPSlONF S
Desde los es tudios
de
h u r n a n i d n ~ e s
n ..lr:str;s
alumnos es tn famil iar izados
con
e l conjunto de
los
nmeros r ea le s
de
t a l
modo
que
conocen
y
manejan con seguridad
1 lS
opr.:racjones
f u n d a m e n t a l 1 ~ s cntr-c e l l o ~ :
Por ~ S t d r a ~ 6 n e l
pr rafo
presente
f recuente.
a
A::.ac:J 11i tS
de
adicion.
Fn
e l conjunto nt
se
def ine una
ope
racin l lamada suma, que a::iocia
.J
cada par o:cdei;ado de nmeros
rea les : a y b un
nmero rea l
a
+
b, de
t a l
modo que se cumplen
los axiomas
s i g u i e n t e ~ :
A l Para todo a e
P.
y b e R SP t iene :
-
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2.
a
b
b + a
(commutat iv idad) .
~ 1 . 2 Para '::odc :3. t ?
IR,
b e 1R y e e lR, se t i ene :
.::.. e) e a {b e;
asoc ia t iv i . dad) .
~ Exis te
en
D
un nGrnero:
O, t a l
que:
f
a e
JP
A )
Para
cada a e JR ex i s t e un
e lemento
(-a) e IR,
r :al
c ; ~ :
a . _ -al O.
De
acuerdo
a l a t e r m i n o l o g ~ a ige
o ra i ca conviene obsE:rvar que l a pa re j a { JR, '-}
cc:.nst.i.-cuye u t
grupo
abe l iano .
b)
Axiomas de Mult ip l i cac in .
En
e l conJunto IR SEo
de f
;.ne ina
O e -
rac i6n
l lamada producto ,
que
asoc ia
a
cada pareja .
ordenac .e.
de
nmeros
r e a i e s : a y b un
nmero r e a l
ab, de t a l medo q ~ e
se
ve-
r i f i c an
l a s
axiomas
s i gu i en t e s :
Ml)
Para
todo
a e lR y b IR se
t i e ne :
-
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3.
a b
b a
c0r:unutat ividad).
N2)
Para
todo
2 e JR, b e IR y c e IR, se t i e n e :
asoc i a t i v i dad ) .
: l3)
Exis te en R un elemento: l O,
t a l
que:
a l = a
e
m
; 14) ara
cada
a e JP y a
f O
ex i s t e
un elemento
a
l
e rn,
t a l que:
-1
a a
l.
Observamos a l
l e c t o r
que e l
conJunto
t i t uye
un
grupo abe l iano .
c)
Axioma de Dis t r ibuc in .
Dl) Para todo a e lR, b e JR y e e JR,
se
t i e n e :
a
+
b)
c
=
a c
+
b ,
e
Este
axioma que v incu la l a s operacio--
nes de ad ic in y mul t ip l i cac in , jun to
con
l a s axiomas prece-
cientes
nos
ga r an t i z a
que
l a t e rna IR,
+,
e s
un campo
a laP
-
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4.
bra ico .
En e l conjunto
IR,
para
cada
par de
Jtc
-
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5 .
s in d ~ f i c u l t d los teoremas usuales sobre des igualdades . De-
f:imida l a re lac in < ) menor que
se puede
in t roduc i r
s in
d i f i c u l t a d l a s re lac iones
> )
mayor que ; _ ) menor o
igua l que
y
_ ) mayor o igua l que ,
en
e fec to bas ta tomar
la def in ic in s igu ien te :
DEF 1
a
>
b
s i g n i f i c a
b
. L : ; l ; 1 J . J . . L ~ C I . \ U a
/
D
a
>
b
s i g n i f i c a (no a
a
V X e S
E l
nmero
a se llamo.
co ta i n f e r i o r
de l
conjunto
s.
El
conjunto
IR de
los
r e a l e s
pos i -
in
e r
ormen e ,
ya que
a
mite
como
co ta
i n f e
r i o r
a l
cero y
tambin
a
cua lqu ie r nmero
nega t ivo .
DEF
4
Un
conjunto S
de
nmeros r e a l e s
se
dice aco t ado , s i
es acotado
super io r
e
i n fe r io rmente .
Como e jemplos de
conjuntos
acotados
podernos
mencionar los
i n t e rva los :
(a
b
=
{
X
a
M
o
Tomando e
=
M Mn,
r e s u l t a
M ..
M e con E > O y
e n ~ o n e s
l a cond ic in 2) se expresa
por :
3)
E
> O
_:j 5
t a l que
X > M E
-
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10.
Asi s i
M es
supremo de
s se
v e r i f i can
l a s
dos condiciones in -
dicadas en e l t e o r e m ~
Reciprocamente
sea
M
un nmero
que
~ r 1 . : ~ i . > . : : l a s re l ac iones :
:i.) X < M
V
X e
S
2
r
E: >
o
3:
X
E S
t a l
que
X
>
M E
Daremos
a l a
condicin 2
la fo:r::P
cor r ien te que t i ene
en
l a
de f in ic in
de
supremo.
En e fec to
tomando M
o
M -
E, se t i ene
M
0
< M
y
entonces (2) se
r e ~ t c e ~
M
o
~ a s
in te rva los ab ie r to
y
cer rado
que
se
indican:
(a,b) { X
a < X < b }
[a ,b]
X
a
m
V S
t a l que X
m
o
11.
f>::mdremos: m
Para
i nd i c a r
que m es nf imo del con-
in f s
La de f in i c i6n
precedente expresa
que
un nmero m
es
nfirn;
de
un
conjun to
S
de
nmeros
r e a l e s ,
s i y
s o
s i :
lJ m e s co ta
i n f e r i o r de S .
2 m es l a mayor co ta i n : e r i o r de s.
De
aqu en tonces
que
s i un conjunto de nmeros
r e a l e s t i e ne fr,-
f imo, s te
debe
s e r nico .
Tal como
oc u r r i6
con l a
idea
de su-
premo, l a
noci6n
de
nf imo
puede
expresa r se tambin
en l a forma
s igu i e n t e :
TEOHEM
Un nmero r e a l
m
es
nf imo
de un
conjun
to
S de nmeros r e a l e s
s i
y s6 lo s i :
1
X
>
m
2
i E
>
o
v
x
e s
:
X
e
S
t a l que
X m E
-
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12.
Dm.
An Loga a l de l teorema 2. Se de ja a l l ec to r .
Los
i n t e rva lo s semi-ab ie r tos
que
se
(a,bJ
X
a < X
X B
Uc : J.o a
l a
hiptes. i s 2
e l
conjunto A
no
es
vaco
; _ ; , ~ a
entoncc> s
sup A ' .
n ~ s e r w e l
supremo de
A, tenemos:
4 a < w
y como todo b e B e s co ta s u p e r i o r
de
A r e s u l t a
5) w b
VbIl.
Ahora
si
X
>
w, af irmamos que X B,
ues
s su
onernos
x
e
A l a ex
r e s i n
4 o b l i a ue x w
e xpre s in
que
c o n t r a d i c e l a h i p t e s i s x
>
w.
Anlogamente si
x w, afirmarnos que
x E A, pues s i suponemos x e B, l a e x p r e s i n 5)
ob l i ga
que
X W.
-
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Observacin
En
e l teorema ante r ior e s t ~ implfc i-
ta ~ ~ j n
de
cotadura
de
Dedekind,
que
t radic ionalmente h ~
u :
del
c o n ~ u n t o Q
de los
r ~ c i o n a l e s
Pero e l tecrern a 1rrae
mucho
ms.
En
e f ec t o se ~ b ~
q ~ e
una
catadura en e l
campo da
l
os rac ionales
def ine
n ~ r n e r o
re&l; e l
teorema
de De deklnd
scg,_ra que
una
cc ::::.dura e e l
c 11.po de los
r e a l a .s
tf1 0 _r. de
f
l i E
1J;1
rF.-ai :. e l l o :Lc,dud3b.'.:.:=;':,e
n.te
establece
una
no': ::::. > d t
-
rencia
en t re e l conjunto ds : =s
rac ionales
y
e l
conjunto
de
los
rea les .
DEF 7
Se l lama vecindad o entorfio de
un n-
mero rea l
t c d o in te rva lo
de
la
forma (a
- h, a
+
k
e ~ ~
y
I posi t i ros.
DEF 8
Se
dice
que
un nmero a es p ~ n t ~
de
acurnulaci6n
de un conjunto s s
en toda
vecindad
de a e x ~ s ~ s ~
i n f in i tos
nmeros
del conjunto s.
Un
punto
de acumulaci6n de un cot1Jun-
to no es necesariamente
un
elemento del conjunto; as en e l
-
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conjunto :
1 1 1
1
_,
2 3 4 5
n
El
conjunto de los nmercs
de l i n t e rva lo
ab ie r to
O,
1 t i ene
en t r e o t r o s por
puntos
de
acumulacin
l os nmeros cero
y
uno,
nmeros que no
per tenecen a
dicho conjun to .
El
conjunto
de
conjunto de
los nmeros conten idos en e l i n t e rva lo cerrado
[O, 1
t i ene
a
todo nmero
de
l como punto
de
acumulacin.
TEO
Todo conjunto
acotado de i n f in i to s
nmeros
t i ene por
lo
menos
un punto
de
acumulacin.
Dm.
Como,
e l
conjunto C de
nmeros
es acotado
ex is ten los
n-
meros
m y
M Ind icando con
x
un nmero cua lqu ie ra de C,
pode-
mos d i s t i ngu i r
los
dos
s igu ien tes
casos :
~
Por
pequeo que
sea
e l i n t e rva lo m, x siempre hay
en
l
i n f i n i t o s nmeros de
C.
-
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17.
2 ~ Hay
x
t ~ l
que
en e l
i n t e rva l o
m,
i )
no hay
in
f i n i t ~ s njffieros de c.
En e l
pr imer
caso e l
teorema es in
- d a to , pues en l a h ip t e s i s cons ide rada , rn es un punto de a -
c ~ m u l a c i n de e,
ya que
para
todo
h
> O,
ocur re que en la ve
cindad 1m - h. m + h) hay i n f i n i t o s ndmeros
de c.
En
e l
segundo
caso
sea
X,
e l
supremo
d ~ los x,
puede oc u r r i r
entonces que X = M o b ien X
O a r b i t r a r i o ,
e x i s t e
un nmero
n a tu ra l
N,
t a l
que:
1
n
- a 1
<
n >
N
Fara i n d i ca r que l a suces in a
n
t i ene
como
J mj te e l nmero a, emplearemos la notac in
l im
a
=
a
n
Conviene
obse rva r
que de acuerdo con
l a
t eo r a
de l a s des igualdades l a
expres in jan
-
a l < E,
puede
reemplazarse por :
a -
O,
e x i s t e
N
t l que:
1 n
a
E
N.
c r=
c0 1de
1 kan
-
kal
N.
e s t a
expr es i n , de
acuerdo a l a d e f in i c i n de l n : i t e de una
suces i n , nos expresa aue:
TEOREMA 9
l i n
ka
= ka
n
S i l im a
n
a lirr a
n
en tonces l im n a .
Drn,
k l im
n
a
y
a
n
For
h ip t e s i s
tomado E > o
e x i s t e N
1
y N2 t a l e s que:
y
C01'10
a e < a
1
< a e
n
par a
n
>
N
1
p a r a
n
>
N
2
-
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r e su l t a
' '
a
M -
E
s iendo
E
>
O a r -
b i t r a r i o y como a es c rec ien te se t i e n e
que
n
M - E
< an N
o sea :
M - a J
O a r b i t r a r i o e x i s t a
n
un en te ro
pos i t i vo N
t a l que:
l
- a 1
rn
>
N
Dm
La
condic in
es
necesa r ia :
En l a h i p t e s i s que a
converge
n
hac.ia un _l mite a ,
tornado E
> O a r b i t r a r i o , e x i s t e N
t a l que:
Por o t r a pa r t e :
N
para rn
>
N
-
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39.
a
-
,_
)
n
'
a
-
a)
+
a
- a
n m
.
-
a 1
n
.11
an
- al + ja - mi
l
a - a
i t:
n m
para
n > N, m > N
La condic i6n es
s u f i c i e n t e :
Tomando > O a r b i t r a r i o
por hip6-
t e s i s e x i s t e
un
nGmero na tura l
p
t a l que:
para n
> p
o
b ien
lo que nos
i nd i c a
que todos
los
t rminos
de rango
super io r a p
quedan
en
e l i n t e rva l o
ap
+
1
- o, p +
1
+o)
y corno
fuera
de
l
hay s6lo un nmero f i n i t o de
elementos
de
e l l a l a suce
s in es aco tada
y por
lo t a n to
t i e n e
a lo menos ~ punto de
acwnulacipn en
dicho
i n t e rva lo . Ahora r e s u l t a inmediato que
no
puede
haber
ms
de
uno,
pues
l a
ampl i tud o
de l in t e rva lo
ap +
1
- o , p +
1
+
)
es
a r b i t r a r i a
y puede hacerse t an
pe
quea corno se desee .
Llamando,
a
e s t e punto de acumula-
c i6n consideremos la vecindad a
-
E, a E); e l l a cont iene i n f i
-
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42/88
40.
ni tos tf irminos
de
) a suces in (a
y
fue ra de ~ l l hay
a
lo
n
ms un nmero
f i n i t o
de nmeros n
de aqu que11amando N
a l
mayor de
los ind ices
de l os n s i tuados fuera
de
(a
-
e , a + e ) ,
se
t endr :
la al < t:
n
lo
que
demuestra e l
teorema
propues to .
DEP.
18
para
n
>
N
Sea
r
1
, r
2
, r
3
,
In una suces i6n de i n t e rva lo s
t a l e s
que
cada uno de
e l l o s
e s t contenido en e l a n t e r i o r y t a l e s
que
l a
suces in
de sus long i tudes 1
1
, 1
2
, 1
3
ln
converge
a cero . Un
conjunto (I)
de
i n t e rva lo s
de
es t a na tura l eza lo
l lamaremos
enca je de
i n t e rva lo s .
TEOREMA 22
Todo
enca je de
i n t e rva lo s determina un nmero rea l y
s lo
uno.
Dm
Sea
In
e l
in te rva lo
(an
b n )
pues to
que
In
cont iene
I n +
1
se
t i ene que: n +
1
> a
0
y bn
+
1
bn, luego:
-
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43/88
41.
- - - - ~
~ . . . . . _ ~ ~ ~ ~ - ~ ~ ~ ~ 4 - ~ ~ ~ ~ ~ - ~
As en tonces l a suces in a ) es mon6tona
c re c i e n t e
y
como
to -
n
dos sus t rminos
son
menores que b
1
,
r e s u l t a
que {an) conver-
ge
hac ia
un nmero
a
b 1 .
Anlogamente,
s iendo
{bn)
montona
de c re c i e n t e y ten iendo todos
sus
t rminos mayores
que
a
1
, r e -
s u l t a que
b ) converge a un nmero S > a
1
.
n
que a = 8
Tenemos
que:
- a
= im
n
im
a = im
n
- a
n n
Haremos
ver ahora
ya que l a
long i tud
1 = b - a t i ende a ce ro .
n n n
5.
- El n. Uero e .
Para
d e f i n i r e s t e i m p o r ~ ~ n t e
nmero
haremos un e s tud io de l a suces i6n:
TEOREMA
23
1
n
e
=
1
-)
n n
La suces i6n
en
1
l n
e s
c rec i en t e .
n
-
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43.
(
1
.)
n
=
1
n
n
r
. . n n - 1)
n(n-1)
(n-
2
> + ( n + l trminos)
n
- - ; ~
3 n
(1
+ *)n = 1 1 ~ ( 1 - ~ ) j,
(1
- ~ )
(1
- ~ ) + . . (n+l trminos)
+ 1
Ti:
pero
como
para n
>
2 se t i e ne 2n -
1
< n: r e s u l t a :
(1 +
)n
< 1 + 1 +
. .?+
1 ' +
n.
1 2
2- 2n
-
o
sea :
(1
. .)n
O
entonces :
n
Supongamos
primero
a
>
O,
en tonces
l lamando
p
e l mayor
n
en te ro con ten ido en n se
tendr :
luego
de
donde
(1
+
.)
p
+ 1
>
(1 +
.)
n
>(1
+
1
)p
p
a p
+
1
n
o sea
(1 +
)P
.)
1
+
l:.>n
>
1
1
)p
+
1
1
+
1 -1
1 +
>
+
p+-r>
p a
p
+
1
n
-
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46/88
45.
~ c i e n d o tender n a
in f in i to
igual cosa
ocurre
con p y
corno en t a l
caso las
dos expresiones
extremas de
la desigual-
dad
precedente,
convergen cada
una a l
nGmero e , se
tendr que:
n
Suponiendo
ahora
que
n t iende hacia
in f in i to por valores
negativos, tornando
bn = -
n 1, resul ta :
lirn
1
. . >n
lirn
(1
1
-bn
lirn
bn
-
1 -bn
+
=
-
b
=
( b
a
n n n
=
lirn
(b
bn
bn
lim
(1
+
1
bn
=
1
b 1
n
n
1
1
1
=
e
TEOREMA
26
l im
1
1
1
1
+
I
+
2:
+
.....
+
-, )
=
e
n.
Dm
sea E 1
+
1
+
1
+
. +
1
=
I:
2
"
Como En es sucesi6n
creciente acotada
superiormente,
se
desprende
que
ella e s convergente, haremos
ver que
su limite
es-el nmnero e.
-
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47/88
46.
J:n
e f
cct:o
se
t i ene :
E
-
(1
+
l ) n
n
n
1 +
J.
+
. .
n
1
) '
...
(1 +
-)11
-
n
n
:
-n
k=2
: : ~ n
k=2
1
k=n
E - 1 + - l
O
n
luego:
= l im p
+
n
n
-
l )n -1
= l
n n e
E j e r c i c i o
25 . -
Sol :
Calcu la r
e l
l m i t e
de la suces i6n
a
=
~
lcn
+
1)
(n
+
2)
(n
+
3)
. .
(n
+
n)
n n
y
usando nuevamente la igualdad
l im ;;-n = l im n
V un-1
-
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66/88
64.
se obt iene
s in
d i f i cu l t ad :
(n
n)
n
1)
1)
n
-
+
+
n
-
n
-
im
a
=
l im
n
n
n
1
ln
-
1
4
l im
2
lirn
2n
-
n
-
a
l m
)
-
n
n
n
e
Eje rc i c io
2 6 . -
Sol :
ca lcu la r
e l
= L
n )
n
n
L
n
l mi t e
de l a sucesi6n
con n > 1
Tomando
l a s
suces iones
au x i l i a r e s :
un
=
L
(n )
v
=
n
L
n
n
e l
cr).
t e r i o
de Sto lz
nos d:
l im
n
=
u
u
1
-
u
l im
n
l im
n
+
n
=
V
V
1
-
V
n
n
+
n
L;n
+ 1)
-
L n
l im
(n +
1)
L n
+
1)
- n L n
= l im
L n +
1)
n + 1 n+ L n + 1
Eje rc i c io
27 . -
1
1
Si n
>
1 ,
ca lcu la r
e l l m i te de l a suces i6n:
-
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-
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: ;
o sea
Sol
D
n
lLm
a = lirn
1
66.
.
~
l ) p l p 1
tn
, n
(n
1P
11
m
~ : : : r :
1 - - - - - - - - - - p - _ --=-1
l
- ) n ~ t '
2 -
)np-1 . . . . . (p 1)
1
P
n _
l p 1 1
l i ~ 1
--
I
1
Determinar e l l ~ i t de
l a
suces in :
(Teo?:ema
25)
a
n
(1
n
a b _ l ) n
a e
n
a
n
n
b =
n
n a e
b -
e
a
b)n
a e
( l
b - e )n
n a e
-
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re su l t a :
lim a
n
E e rc ic io
30 . -
lim
b -
e
----
+
e
n
67.
b -
c
= e
a
Calcu la r e l
l mi t e de
la suces i6n:
a
=
+ Sn
)6n
- 7
n
. -
2n
2 - n
+
2
Rol: Teorema 25)
Sn 6n-7
l im
1
+
2
2n
- n
+
2
Como adems
2
2n - n + 2
Sn
r ~ s u : . t a .
l im
1 Sn
2
2n
-n 2
2n
2
-n J;i
Sn
--- ......--
30n
2
- 35n
2
5rd6r,-7}
2
2n -n+2
l im a
l
l im
2n
- n + 2
=
elS
Eje rc ic io
31 . -
l a suces i6n :
Demostrar la existencia
y calcular
e l
l imite de
=
n (_ n / a
va J :
con
a
>
O
-
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-
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t C
Lf=r
~ - _ .
< :
n
69
n
1 -
r ,___
r:
,J,_1
~ n _ ~ l i ~
__
:_
__2_.;. 2n)r
n
-
(
J_ -i-
n ~ _ -
1 ;o,
-
l
(
l j T
.
; 1
2n
r. (
r
1 \1
1
GUE da
~ a l c u l a r
e l . ; . ::
: - ~
de
la
suces in:
..
i
L
-
j
_::.
r
.,.
2
1
+
-
..
r
n
l
n
)
C ~ c u l ~ n d o A y n de ~ 0 ~ 0 ~ u o k ~
i \k U - 1
+ nk se
encuen--
luego
.
J:
-
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-
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73/88
-
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74/88
-
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73.
E j e r c i c i o
3 7 . -
Calcular e l l m i t e de la
suces i6n
Sol :
De la
conocj .Ja des jgnaJdad
l + 1 / n n
e
se deduce f -
c i lmente que:
o < 2 - < 1
1
- -
dando a n
los
valores 2 3 n y multiplican
-
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-
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-
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78/88
-
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79/88
-
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=
-2 y
+E Ln)
+
2
y + ~
n -
luego
Eje r c i c io 44.-
l im a =
2L2
- 1
n
78.
,
Determinar
e l
l m i t e de l a suces in:
Sol:
a
n
3
r . --2
= n - \ J U + ~ - 2)
n
Teniendo presente l a igua ldad a lgebra i ca :
tomemos
x
3
-
y
__ 2
X
X - y
X = /a +
y =
2
en tonces :
=
n X - y -= n x -
y) x2 + xy + y2)
n
2 2
X
+ xy y
n
n x2 y2
+
xy
+
8
+
2/n
8
a
=
n
3
Jcs
2/n)
2
~
+ +
2
+
2/n
+
4
luego:
l im
l
a
=
6
-
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-
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-
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81.
Ejercicio 47.-
S i al > l y 9 O de modo que a = 1
+
h,
entonces:
de donde
ln
9
anl
>
In
e
anl
>
y luego
'
Ejercicio 48.-
en l+h)n> l+h)n
In a I=
~ ~ _p
n
>
(
+ 1
1
r
" "
1
hp +
1
n(n
1)
(n
-
2) .....
nP
fn
+
1 )
hp +
1
) 1
~
(p + 1)
1
-
-
.....
n
n
l im
n
6
a
11
=00
(n
-
,E
1
-
E)n
n
S i la
O
ca lcu la r e l
l mi te
de la E ~
ces i6n:
-
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82.
Sol :
Sean p e l
mayor en te ro p o s i t i v o
con ten ido en
e
+
1;
el i jamos h
de
modo
q e a -
1
i +
h
Tendremos:
para
n
>
p
+
1
In
9
n,
~
nP
a
i
n
n
n
n
1 +
)h +
{
)h2
+
+
)hp
+
1
)hn
....
+
+
1
2 p
+
1
n
jn
a
anl
b > O,
se p ide
demostrar
que son convergentes a
un mismo
l m i t e .
Sol :
Operando
algebraicamente
es f c i l es tab lece r
que:
a
n -
b
n-1
a
n -
Ahora
como del enunciado se desprende
que
a
1
> b
1
, haciendo
n = 2, r e s u l t a :
asS:
entonces :
1
3
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