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Sistemas Digitais Módulo 8

Introdução aos Circuitos Aritméticos

Graduação em Sistemas de Informação

Disciplina: Sistemas Digitais

Prof. Dr. Daniel A. Furtado

Universidade Federal de Uberlândia Faculdade de Computação

Prof. Daniel A. Furtado

Operações XOR e XNOR - Relembrando

XOR – Exclusive-OR

• O resultado é verdadeiro sempre que as duas entradas forem opostas;

• Representação: ⊕,

• 𝐀 𝐁 + 𝐀𝐁 = 𝐀⊕𝐁

XNOR – Exclusive NOR

• Negação do XOR

• O resultado é verdadeiro sempre que as duas entradas forem iguais;

• Porta XNOR:

• 𝐀𝐁 + 𝐀 𝐁 = 𝐀⨁𝐁

Prof. Daniel A. Furtado

A B 𝐀 ⊕ 𝐁

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 0

A B 𝐀 ⊕ 𝐁

0 0 1

0 1 0

1 0 0

1 1 1

Adição Binária – Relembrando

Ref.: Prof. Daniel Abdala Prof. Daniel A. Furtado

1 1 1 1 1 1

1 0 1 1 0 0 0 1

0 0 0 0 1 1 1 1

+ 1 1 0 0 0 0 0 0

Bits da 1ª parcela

Bits da 2ª parcela

Bits de carry (“vai um”)

Bits do resultado

FA0

Bn

An

C𝑖𝑛

Sn

Cout Representação do procedimento de soma dos bits na n-ésima posição de dois números (capaz de resolver uma coluna na soma ilustrada acima)

𝐶𝑖𝑛 = “vai um” gerado pela última adição (à direita de n); 𝐶𝑜𝑢𝑡 = “vai um” gerado pela adição dos bits da posição n; 𝑆𝑛 = Bit do resultado (soma) de 𝐴𝑛 com 𝐵𝑛.

Somador Binário Paralelo

Prof. Daniel A. Furtado

FA0

B0

A0

C0

S0

FA0

B1

A1

C1

S1

FA0

B2

A2

C2

S2

FA0

B3

A3

C3

S3

FA0

B4

A4

C4

S4

C5

Bits da 2ª parcela a ser somada

Bits da 1ª parcela a ser somada

Bits do resultado da soma

• 𝐶0, 𝐶1, 𝐶2, 𝐶3, 𝐶4, 𝐶5 são bits de carry (“vai um”)

• FA = Full Adder (somador completo)

Projeto de um Somador Completo

Prof. Daniel A. Furtado

Bit da 1ª parcela a ser

somada

Bit da 2ª parcela a ser

somada

Entradas de bits do carry

Bit de saída do resultado da

soma

Bit de saída do carry

A B Cin S Cout

0 0 0 0 0

0 0 1 1 0

0 1 0 1 0

0 1 1 0 1

1 0 0 1 0

1 0 1 0 1

1 1 0 0 1

1 1 1 1 1

S = A B Cin + A BC in + AB C in + ABCin

Cout = A BCin + AB Cin + ABC in + ABCin

Somador

Completo

(FA)

B

A

Cin

S

Cout

Projeto de um Somador Completo - Simplificando

Prof. Daniel A. Furtado

𝐒 = A B Cin + A BC in + AB C in + ABCin

= A B Cin + BC in + A B C in + BCin

= A B⊕ Cin + A(B⊕ Cin)

= A ⋅ X + A ⋅ X (fazendo 𝑋 = 𝐵⊕ 𝐶𝑖𝑛)

= A⊕ X

= 𝐀 ⨁ (𝐁 ⨁ 𝐂𝐢𝐧)

𝐂𝐨𝐮𝐭 = A BCin + AB Cin + ABC in + ABCin

= A BCin + AB Cin + ABC in + ABCin + ABCin + ABCin

= BCin A + A + ACin B + B + AB C in + Cin

= 𝐁𝐂𝐢𝐧 + 𝐀𝐂𝐢𝐧 + 𝐀𝐁

Projeto de um Somador Completo

Prof. Daniel A. Furtado

S = 𝐀 ⨁ (𝐁 ⨁ 𝐂𝐢𝐧)

Cout = 𝐁𝐂𝐢𝐧 + 𝐀𝐂𝐢𝐧 + 𝐀𝐁

Somador Completo

Representação 1 (entradas à esquerda e saídas à direita)

FA0

Bn

An

C𝑖𝑛

Sn

Cout

Representação 2 (entrada superior, inferior e à direita)

E se tivéssemos utilizado o mapa K para simplificar?

Observe que a saída S não pode ser simplificada com o mapa de Karnaugh;

Entretanto, para a saída 𝐶𝑜𝑢𝑡, encontramos uma expressão igual àquela obtida com o método algébrico.

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Somador Paralelo de 2 Bits

Prof. Daniel A. Furtado

𝐶0 𝐶1 𝐶2

𝐵1 𝐵0

𝑆0 𝑆1

𝐴1 𝐴0

Bits do 1º número

Bits do 2º número

Bits do resultado da soma

Somador Completo x Meio Somador

Conforme observado, um somador completo opera com três entradas para gerar uma soma e um carry como saídas;

Em alguns casos, é necessário somar apenas os dois bits de entrada, para gerar uma soma e um carry como saídas;

Esse circuito é denominado meio somador (half adder, HA).

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Diagrama de um Meio Somador

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Meio

Somador

(HA)

B

A

S

Cout

Projeto de um Meio Somador

Prof. Daniel A. Furtado

Bits da 1ª parcela a ser

somada

Bits da 2ª parcela a ser

somada

Saída de bits do resultado

da soma

Saída de bits do carry

A B S Cout

0 0

0 1

1 0

1 1

0 0

1 0

1 0

0 1

S = A B + AB = A⊕ B

Cout = AB S

Cout

B

A

Subtração Binária – Relembrando

Semelhante à subtração de números decimais;

Exemplos:

1 0 0 1 0 1 (37) 0 0 1 0 1 1 (11) −

1

0 1 1 0 1 0 (26)

1 1

1 0 0 1 1 1 0 0 (156) 0 1 0 1 0 0 1 1 (83) −

1

0 1 0 0 1 0 0 1 (73)

1 1 0 0 0 0

Projeto de um Subtrator Completo

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Bits minuendo

Bits do subtraendo

Carry de entrada (“descontar do emp. á direita”)

Carry de saída (“pegar emprestado

da esquerda”)

Resultado da subtração

A B Cin Cout S

0 0 0 0 0

0 0 1 1 1

0 1 0 1 1

0 1 1 1 0

1 0 0 0 1

1 0 1 0 0

1 1 0 0 0

1 1 1 1 1

S = A B Cin + A BC in + AB C in + ABCin

𝐒 = 𝐀 ⨁ (𝐁 ⨁ 𝐂𝐢𝐧)

Cout = A B Cin + A BC in + A BCin + ABCin

Cout = A B + A Cin + BCin

Subtrator

Completo

(FS)

B

A

Cin

S

Cout

Circuito de um Subtrator Completo

Prof. Daniel A. Furtado

A

B

𝐶𝑖𝑛

𝐶𝑜𝑢𝑡

S

Subtração no Sistema de Complemento de 2

Prof. Daniel A. Furtado

𝐵1 𝐵0

𝑆0 𝑆1

𝐴1 𝐴0

𝐶0 = 1

Inversão dos bits do subtraendo

Fazendo 𝐶0 = 1, adicionamos 1 ao subtraendo invertido (complemento de 2)

Subtração no Sistema de Complemento de 2

Prof. Daniel A. Furtado

Referências e Recomendações

TOCCI, R. J.; WIDMER, N. S.; MOSS, G. L. Sistemas Digitais: princípios e aplicações. 11.ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2011.

• Leitura recomendada: páginas 269-273; 275-278

CAPUANO, F. G.; IDOETA, I. V. Elementos de Eletrônica Digital. 40.ed. São Paulo: Érica, 2008.

• Leitura recomendada: páginas 210-220.

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