resolución de ecuaciones diferenciales; metodo de variacion de parametros

UNIVERSIDAD TECNICA

PARTICULAR DE LOJA

Karla Ordoñez

Karina Jimenes

Rodrigo Saraguro

ECUACIONES DIFERENCIALES

ECUACIONES DE ORDEN SUPERIOR POR

VARIACIÓN DE PARÁMETROS

SISTEMAS INFORMÁTICOS Y COMPUTACIÓN

IV Ciclo

MÉTODO DE VARIACIÓN DE LOS PARÁMETROS

Consideremos la ecuación diferencial lineal

completa

donde

Supongamos que la solución general de la

ecuación diferencial lineal homogénea viene dada

por

Donde

son funciones en la variable x que se determinan

resolviendo el sistema

)(),...(),(21

xcxcxcn

Tomado de: http://ucua.ujaen.es/jquesada/Descargas/MatematicasII/P06EDO.pdf

El proceso se resume en los siguientes pasos:

1. Se calcula forma estándar de la ecuación diferencial, para que el

coeficiente de y’’ sea uno.

2. Resolvemos la ecuación homogénea y obtenemos las raíces de la

ecuación auxiliar y su función complementaria.

3. Se calcula el wronskiano.

4. Calculamos el wronskiano de cada identificación, obteniendo u’ y v’.

5. Integramos para obtener u, v y la solución particular.

6. Para obtener la solución general, sumamos la solución particular mas

la complementaria.

EJEMPLO

y" - 4y' + 4y = (x + 1)e2X

m2 - 4m + 4 = (m - 2)2 = 0

m=2

m=2

Identificamos y1 = e2x y y2 = xe2x

La solución complementaria yc :

yc = c1e2x + c2xe2x

1.

2.

x

xxx

xx

xxe

exee

xeexeeW

4

222

22

22

22,

x

xxx

x

xexexeex

xeW

4

222

2

11

2)1(

0

x

xx

x

exexe

eW

2

22

2

21

12

0

3.

23

23

1

xxu x

xu

2

2

2

5.

xxe

xexu

x

x

2

4

4

'

1

11

1

4

4

'

2x

e

exu

x

x4.

dxxxduu2'

1 dxxduu 1'

2

pcyyy

6.

xxx

pe

xxxex

xe

xxy

2

23

2

2

2

23

26223

)()()()(2211

xyxuxyxuyp

xxxe

xxxececy

2

23

2

2

2

126

• ZILL, Denis. Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de

modelado, Edición 8. Editor Cengage Learning Editores,

2006. pag 167-171.

•Ecuaciones diferenciales de orden superior Variación de

los parámetros. Tomado el 12 de Noviembre del 2009

Disponible en:

http://ucua.ujaen.es/jquesada/Descargas/MatematicasII/P06

EDO.pdf

BIBLIOGRAFÍA