regressão linear múltipla -...

Aula 11

Wooldridge - Capítulo 5

Heij et al., 2004 – Seções 1.3.3 e 4.1

Análise de Regressão Linear Múltipla VIII

Introdução

Nós já vimos que é possível derivar as distribuições exatas dos

estimadores e das estatísticas de testes, sob certas

suposições.

Porém, tais suposições são bastante fortes; assim, na prática,

é difícil de encontrar um caso onde todas elas sejam válidas.

Por exemplo, é comum a suposição de normalidade

multivariada do vetor de erros ser violada.

Dessa forma, se uma ou várias das suposições (de 1 a 6)

forem violadas, então não teremos mais a validade de algumas

(ou todas) propriedades dos estimadores e das estatísticas de

testes.

Logo, seria bastante útil se conseguíssemos entender as

propriedades dos estimadores e a convergência das

estatísticas de testes, no caso em que pudéssemos obter um

número ilimitado de observações.

Introdução

4

Isto é o que, essencialmente, denotamos como teoria

assintótica.

Sabemos que, na prática, trabalhamos com amostras finitas.

Porém, será que não seria possível admitir como verdadeiras

as propriedades assintóticas no caso de amostras

suficientemente grandes?

Introdução

5

Consistência

do Vetor de Estimadores de MQO

Wooldridge - Capítulo 5

Heij et al., 2004 – Seção 4.1

Consistência do vetor de estimadores de MQO

~~

1

~~~

´´plimˆplim yXXX

~~

1

~~~

´1

´1

plim Xn

XXn

~~

1

~~~

´´plim XXX

~~

1

~~~

´1

plim ´1

plim Xn

XXn

(façamos um breve parênteses... )

~~

1

~~~

´´plimplim XXX

~~~~

1

~~´´plim XXXX

~~

1

~~~

´1

´plim Xn

XXn

~~

1

~~~

´´plim XXX

~~

1

~~~

´1

plim´1

plim Xn

XXn

-

7

MLR.3* - Estabilidade dos Regressores. Na amostra (e,

portanto, na população) nenhum regressor é

constante, não há relação linear PERFEITA entre

os regressores e a probabilidade limite de n-1X’X

existe e é não-singular, isto é,

Suposição Adicional

.1

~~~QXX'plim

n

(Para mais detalhes, vide Leitura Complementar I)

8

~~

1

~~

´1

plim Xn

Q

Ainda, é fácil notar que o vetor de estimadores será consistente se, e

somente se,

. 0´1

plim~~~

X

n

(Condição de ortogonalidade)

(cont.)

Dos slides anteriores, vem que

~~

1

~~~~

´1

plim´1

plimˆplim Xn

XXn

-

Consistência do vetor de estimadores de MQO

9

Normalidade Assintótica

Wooldridge - Capítulo 5

Heij et al., 2004 – Seção 4.1

10

Para determinar a distribuição assintótica do vetor de estimadores do

vetor de parâmetros , é interessante utilizarmos a seguinte expressão:

~~

1

~~~~~~~

1

~~~~

1

~~~

´´ ´´´´ˆ XXXXXXXyXXX

Normalidade Assintótica do vetor de estimadores de MQO

~~

1

~~~~

´´ ˆ XXX

Ou seja,

11

Por outro lado, o resultado anterior pode ser escrito como

Ou, ainda

~~

1

~~~~

´1

´1

ˆ Xn

XXn

~~

1

~~~~

´1

´1

ˆ Xn

XXn

n

Normalidade Assintótica do vetor de estimadores de MQO

12

Sob a suposição MLR.3*, o fator converge, em probabilidade,

para a matriz Q-1.

1

~~´

1

XX

n

Normalidade Assintótica do vetor de estimadores de MQO

Por outro lado, sob as suposições MLR.1 a MLR.5, além de algumas

condições de regularidade, prova-se que

~~k

d

~~Q ; σNX´

n

2

1 01

(Resultado baseado numa generalização do TLC (p. 50-51, HEIJ et al.)

13

Dessa forma, assumindo que as suposições anteriores são válidas,

temos que

1

~

2

1~~

0 ˆ Q ; σNn~

k

d

Normalidade Assintótica do vetor de estimadores de MQO

LEITURA COMPLEMENTAR I

(MLR.3*)

15

Considere o seguinte modelo de regressão linear múltipla:

yi = 0 + 1 x1i + 2 x2i + ... + k xki + i, i = 1, 2, ..., n.

que pode ser escrito na forma matricial

~~~~

εβXy

em que

knnn

k

k

k

xxx

xxx

xxx

xxx

X

21

32313

22212

12111

~

1

1

1

1

n

i

ki

n

i

iki

n

i

iki

n

i

ki

n

i

kii

n

i

i

n

i

ii

n

i

i

n

i

kii

n

i

ii

n

i

i

n

i

i

n

i

ki

n

i

i

n

i

i

xxxxxx

xxxxxx

xxxxxx

xxxn

XX

1

2

1

2

1

1

1

1

2

1

2

2

1

12

1

2

1

1

1

21

1

2

1

1

1

11

2

1

1

~~´

Assim, a matriz X’X é escrita como

n

x

n

xx

n

xx

x

n

xx

n

x

n

xx

x

n

xx

n

xx

n

x

x

xxx

XXn

n

i

ki

n

i

iki

n

i

iki

k

n

i

kii

n

i

i

n

i

ii

n

i

kii

n

i

ii

n

i

i

k

1

2

1

2

1

1

1

2

1

2

2

1

12

2

1

1

1

21

1

2

1

1

21

~~

1

´1

Ainda,

Suposição MLR.3*

Usando o plim(), vem que

n

x

n

xx

n

xx

x

n

xx

n

x

n

xx

x

n

xx

n

xx

n

x

x

xxx

XXn

n

i

ki

n

i

iki

n

i

iki

k

n

i

kii

n

i

i

n

i

ii

n

i

kii

n

i

ii

n

i

i

k

1

2

1

2

1

1

1

2

1

2

2

1

12

2

1

1

1

21

1

2

1

1

21

~~

1

plim´1

plim

n

x

pn

xx

pn

xx

pxp

n

xx

pn

x

pn

xx

pxp

n

xx

pn

xx

pn

x

pxp

xpxpxp

XXn

p

n

i

ki

n

i

iki

n

i

iki

k

n

i

kii

n

i

i

n

i

ii

n

i

kii

n

i

ii

n

i

i

k

1

2

1

2

1

1

1

2

1

2

2

1

12

2

1

1

1

21

1

2

1

1

21

~~

limlimlimlim

limlimlimlim

limlimlimlim

limlimlim1

´1

lim

Logo,

Suposição MLR.3*

~

22

22

22

~~

2211

222212122

112121111

211

´1

lim QXXn

p

kkkkkkk

kk

kk

k

xxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxx

xxx

Finalmente,

em que

kjXE jx j ..., ,2 ,1 ,

kjXVar jx j ..., ,2 ,1 ,2

lcklkXXCov lcxx lc ; ..., ,2 ,1 ; ..., ,2 ,1c ,,

Suposição MLR.3*

LEITURA COMPLEMENTAR II

(Revisão: Estatística II)

Heij et al., 2004 – Seções 1.3.3 e 4.1

22

Consistência

1 ˆ lim 0

nn

P

Seja um parâmetro de interesse e considere um estimador de .

Nós estamos interessados nas propriedades deste estimador quando,

teoricamente, n , sob a suposição de que os dados foram gerados

por um processo com parâmetro 0. O estimador será dito consistente

se ele convergir em probabilidade para 0. Ou seja, se para todo > 0,

a expressão

n̂

for válida, então, teremos um estimador consistente para .

23

0ˆ limp n

Neste caso, 0 é chamado de limite de probabilidade de e

pode ser representado pela seguinte expressão:

n̂

Consistência

24

Propriedades do plim

Suponha que yn e zn sejam duas seqüências de variáveis aleatórias

com plim(yn) = c1 e plim(zn) = c2, então, podemos demonstrar que:

(1) plim(yn + zn) = plim(yn) + plim(zn) = c1 + c2;

(2) plim(ynzn) = plim(yn)plim(zn) = c1c2;

(3) plim(yn / zn) = plim(yn) / plim(zn) = c1 / c2 (c2 0).

Consistência

25

Suponha que g() seja uma função contínua e que não dependa de n,

assim,

(4) plim(g(yn)) = g(plim (yn)) = g(c1).

Este resultado implica que, se um estimador for consistente, então,

qualquer função baseada nele também será consistente, mantidas as

condições do enunciado.

Consistência

Propriedades do plim

26

Observações

1) Resultados similares podem ser obtidos para vetores e

matrizes constituídos por variáveis aleatórias.

2) Para mais detalhes, vide, por exemplo, seção 1.3.3 de Heij et

al. (2004).

Consistência

Propriedades do plim