razões’ · comprei’ 15’ litros’ de’ suco’ e’ paguei’ r$’ 60,00.’...

Razões  

Profº  Cláudio  Mendes  

Definição:   Dados   dois   números  reais   a   e   b   (com   b   diferente   de  zero),  chamamos  de  razão  entre  a  e  b   (nessa   ordem)   o   quociente   a   :   b  ou  a/b  .      

ba antecedente  

consequente  

Exemplo:  Um  grupo  é  composto  de  14  homens  e    20  mulheres.  Determine  a  razão  entre:  a)  O  total  de  homens  e  o  total  de  mulheres.  

b)  O  total  de  mulheres  e  o  total  de  pessoas.  

Homens:     14  

Mulheres:     20  Razão  =    

20  

14  +  20  =   34  Razão  =    Mulheres:    

Pessoas:    

14  20  

=      10

7

20  34  

=  1710

÷2  ÷2  

÷2  ÷2  

Algumas  grandezas  especiais:  

Velocidade  Média  

Densidade  demográfica  

vmv  

Velocidade  Média    

Um  automóvel  percorreu  280  km    em  4  horas.  Qual  foi  a  velocidade    média  do  automóvel?  

=   Distância  tempo  

V  =     280  4  

=   70  km/h  

Densidade  demográfica:  

A   estado   de   Metrópolis   tem   área   de  10000   km2   e   uma   população   de180000  habitantes.  Qual  a  densidade  demográfica  do  estado  de  Metrópolis?  

Nº  habitantes  Área  

D  =   180000  10000  

=  18  hab/km2  

REGRA  DE  TRÊS  COMPOSTA  

Profº  Cláudio  Mendes  

Regra  de  Três  Composta  

A  regra  de  três  composta  é  uma  ferramenta  que  permite  resolver  problemas  que  envolvem  mais  de   duas   grandezas   proporcionais.   Para   isso   é  necessário  a  análise  das  grandezas   inseridas  no  problema  e  a  aplicação  da  propriedade  principal  das  proporções  

(Eletrobrás)  Em  um  ano  de  operação  normal,  a  usina  de  Angra  2,  cuja  potência  nominal   é  de  1.350  MW,   consumiria   30   toneladas  de  urânio  enriquecido.   Considerando-­‐se   que   o   consumo   de   urânio   enriquecido  seja  diretamente  proporcional  à  potência  nominal  da  usina  e  ao  tempo  de   funcionamento   da   mesma,   qual   seria   o   consumo   de   urânio  enriquecido  da  usina  de  Angra  1,  cuja  potência  nominal  é  de  657  MW,  em  seis  meses  de  operação  normal?  (A)  6,5  (B)  7,3  (C)  9,2  (D)  14,6  (E)  18,5  

Potência:   Meses:  1350   12  

6  

30    x  

=   _1350_  657  

2700x  =  657  ·∙  30  2700x  =  19710  

Ton/Uranio:  30  

657   x  

Ton  e  potencia   G.  D.  P.  

Ton  e  meses   G.  D.  P.  

_12_  6  

·∙  

30    x  

=   _2700_  657  

·∙  

x  =   19710  2700   =   7,3  toneladas  

=_2_          1  

(TRANSPETRO)  Se  3  operários,  trabalhando  6  horas  por  dia,  constroem  um  muro  em  20  dias,  em  quantos  dias  5  operários,   trabalhando  8  horas  por  dia,   construiriam  o  mesmo  muro?  (A)  4      (B)  5    (C)  6      (D)  8    (E)  9  

Grandezas:  Operários:   Dias:  

3   20  x  

20    x  

=   _5_  3  

40x  =  20  ·∙  18  

40x  =  360  

Horas/dia:  6  

5   8  

Dias  e  operários   G.  I.  P.  

Dias  e  horas/dia   G.  I.  P.  

_8_  6  

·∙  

20    x  

=   _40_  18  

·∙  

x  =   360  40   =   9  dias  

(MPA)   Uma   equipe   de   12   operários   levaria   20   dias   para  executar   uma   determinada   obra.   Ocorre   que,   após   4   dias   de  trabalho   4   operários   foram   dispensados.   Se   os   operários  restantes  manqveram  o  mesmo  ritmo  de  trabalho,  o  número  de  dias  que  ainda  levaram  para  concluir  a  obra  foi  de:  A)  20  dias.  B)  22  dias.  C)  24  dias.  D)  26  dias.  E)  28  dias.  

Grandezas:  Operários:   Dias:  

12   20  x  

20    x  

=   _8_  12  

800x  =  960  ·∙  20  

800x  =  19200  

Obra:  100%  

8   80%  

Dias  e  operários   G.  I.  P.  

Dias  e  obra   G.  D.  P.  

_100_  80  

·∙  

20    x  

=  _800_  960  

·∙  

x  =  19200  800   =   24  dias  

REGRA  DE  TRÊS  SIMPLES  

Profº  Cláudio  Mendes  

Regra  de  Três  

A   regra  de   três   é   uma   ferramenta  que  permite  resolver   problemas   que   envolvem   grandezas  proporcionais.   Para   isso   é   necessário   a   análise  das   grandezas   inseridas   no   problema   e   a  aplicação   da   propriedade   principal   das  proporções  

Comprei   15   litros   de   suco   e   paguei   R$   60,00.  Quanto  pagarei  por  40  litros  desse  mesmo  suco?  

Grandezas:  

Litros  de  suco:   Preço  15  

40  

R$  60,00  

x  

grandezas  diretamente  proporcionais  

15  40   =  

60  x  

15x  =  60  ·∙  40   15x  =  2400   x  =   2400  15  

=   R$  160,00  

Um   veículo   trafegando   com   uma   velocidade   média   de  60km/h,   faz   determinado   percurso   em   quatro   horas.  Quanto   tempo   levaria   um   outro   veículo   para   cumprir   o  mesmo  percurso  se  ele  manqvesse  uma  velocidade  média  de  80km/h.       Grandezas:  Velocidade   Tempo  

60  km/h  

80  km/h  

4  horas  

x  horas  

grandezas  inversamente  proporcionais  

60  80  

=   _x_  4  

80x  =  60  ·∙  4   80x  =  240   x  =   240  80  

=   3  horas  

(Correios-­‐RJ)Uma   impressora   a   laser   é   capaz   de  imprimir   8   páginas   por   minuto,   em   funcionamento  conxnuo.  Nessa  situação,  em  três  quartos  de  hora  ela  imprimirá  a)  180  páginas.  b)  360  páginas.  c)  120  páginas.  d)  190  páginas.  e)  320  páginas.  

   8_      x  

=      1_  45  

x  =  8  ·∙  45  

x  =  360  páginas  

páginas   tempo  

8  

x  

1  minuto  

45  minutos  

grandezas  diretamente  proporcionais  

 12_      x  

=      150_  100  

150x  =  12  ·∙  100  =    8  horas  

tempo   eficiência  12  horas  

x  horas  

100%  

150%  

grandezas    inversamente  proporcionais  

       (CEF)  Uma  pessoa  x  pode  realizar  uma  certa  tarefa  em  12  horas.   Outra   pessoa,   y,   é   50%   mais   eficiente   que   x.  Nessas   condições,   o  número  de  horas  necessárias  para  que  y  realize  essa  tarefa  é:  

       (A)  4                  (B)  5                (C)  6          (D)  7          (E)  8  

150x  =  1200      1200_  150  x  =  

SISTEMAS  DE  MEDIDAS  

Profº  Cláudio  Mendes  

Medidas  de  comprimento  

m   dm   cm   mm  dam  hm  km  

Medidas  de  massa  g   dg   cg   mg  dag  hg  kg  

Medidas  de  volume  ou  capacidade  

l   dl   cl   ml  dal  hl  kl  

x10   x10   x10  x10   x10   x10  

÷10   ÷10  ÷10  ÷10  ÷10  ÷10  

Assinale  a  alternaqva  que  corresponde  a  0,23  dam  expresso  em  cm.  a)  0,023.  b)  230.  c)  23.  d)  2,3.  e)  2300.  

m   dm   cm   mm  dam  hm  km  

x10   x10   x10  

0,23  dam  ·∙  1000  =   230  cm  

Medidas  de  área  

m2   dm2   cm2   mm2  dam2  hm2  km2  

 A  área  do  retângulo  abaixo  é  igual  a:  

8  m  

12  m  

Área  =   8  ·∙  12  =   96  m2   =   9600  dm2  

x100   x100   x100  x100   x100   x100  

÷100   ÷100  ÷100  ÷100  ÷100  ÷100  

O  valor  em  cm2  da  área  de  0,032  dam2  é,  no  sistema   legal  de  medidas:  a)  3200.  b)  320.  c)  32000.  d)  0,32.  e)  3,2.  

m2   dm2   cm2   mm2  dam2  hm2  km2  

x100   x100   x100  

0,032  dam2  ·∙  1000000  =     32000  cm2  

Medidas  de  capacidade  ou  volume  

m3   dm3   cm3   mm3  dam3  hm3  km3  

O  volume  do  paralelepípedo  abaixo  é:  

Volume  =   8  ·∙  6  ·∙  18  =   864  dm3   =   0,864  m3  

18dm  6dm  

8dm  

÷1000   ÷1000  ÷1000  ÷1000  ÷1000  ÷1000  

x1000   x1000   x1000  x1000   x1000   x1000  

O  volume  de  um  recipiente  é  expresso  como  sendo  de  0,970  dm3  .  Esse  volume  corresponde  no  sistema  legal  de  medidas  a  a)  9,7  cm3  .  b)  0,097  m3.  c)  0,0097  m3  .  d)  970  cm3  .  e)  9700  mm3  .   0,970  dm3  ·∙  1000  =    

m3   dm3   cm3   mm3  dam3  hm3  km3  

970  cm3  

0,970  dm3    ÷  1000  =     0,000970  m3  

÷1000   ·∙1000  

OBSERVAÇÕES:  

Para   calcular   áreas   ou   volumes,   é   necessário   que   todas   as  medidas  estejam  na  mesma  unidade.    

Volume  em  litros:  

1  dm3  =  1  l  

1  m3  =  1000  l  

Dona  Tida  comprou:  5  pacotes  de  açúcar  de  2kg  cada  um;  10  pacotes   de   maizena   com   600g   cada   um;   20   pacotes   de  margarina  de  250g  cada  um.  Qual  a  massa  total  dessa  compra?  (A)  2,1kg  (B)  21  Kg  (C)  11.100  g  (D)  2.100  g  (E)  855  g  

5  pacotes  com  2  Kg  cada  =  

Açúcar:  

10  Kg  

10  pacotes  com  600  g  cada=  

Maizena:  

6000  g  

=  10000g  

=  6  Kg  

20  pacotes  com  250  g  cada=  

Margarina:  

5000  g   =  5  Kg  

Massa  total:  10  +  6  +  5  =   21  Kg  

(Petrobras)   Um   reservatório   que   tem   o   formato   de   um  paralelepípedo   reto-­‐retângulo   de   2m   de   profundidade,   8,5m   de  largura  e  10m  de  comprimento  está  parcialmente  cheio  de  óleo.  Se,  para  enchê-­‐lo  completamente,  são  necessários  mais  168.000  litros,  quantos  litros  de  óleo  há  dentro  desse  reservatório?  (A)  2.000  (B)  4.000  (C)  8.000  (D)  12.000  (E)  20.000  

Volume  total:   2  ·∙  8,5  ·∙  10  =     170  m3  

1  m3  =  1000  l   170  m3    =  170000  l  

Quanqdade  de  óleo:    

170000  –  168000  =   2000  litros  

(PETROBRÁS)   Uma   folha   de   papel   retangular,   com   30   cm   de  comprimento  e  21  cm  de  largura,  será  cortada  em  quatro  partes  iguais.  Qual  será,  em  cm2,  a  área  de  cada  parte?  (A)  157,5  (B)  212,5  (C)  310,0  (D)  415,5  (E)  630,0  

Área  do  papel:   30  ·∙  21  =   630  cm2  

630  4  

=   157,5  cm2  

Sistemas  do  1º  grau  

Profº  Cláudio  Mendes  

Um  sistema  é  formado  por  pelo  menos  2  equações  com  mesma  solução.  

Ex:   ax  +  by  =  c  

dx  +  ey  =  f  

Os   valores   de   x   e   y   são   os   mesmos   para   as   duas  equações.  

A  solução  do  sistema  pode  ser  definido  pelo  par  ordenado  (x,  y)  

MÉTODO  DA  ADIÇÃO  

2x  +  y  =  9  

3x  –  y  =  11  

Ex:  

+  

5x  =  20  

x  =   20  5  

x  =  4  

2x  +  y  =  9  

2  ·∙  4  +  y  =  9  

8  +  y  =  9  

y  =  9  –  8    

y  =  1  

S  =  (4,  1)  

(Correios-­‐RJ)  Considere  as  equações  r  e  s  a  seguir:                                                r  :      x  +  2y  =  3                                                s  :  3x  –      y  =  9  Assinale  a  alternaqva  que  corresponde  ao  par  que  é  solução  simultânea  do  par  de  equações.  a)  (2;  –1).  b)  (3;  0).  c)  (0;  –3).  d)  (–2;  1).  e)  (–3;  0).  

   x  +  2y  =  3  3x  –      y  =  9   (x  2)  

   x  +  2y  =  3  6x  –  2y  =  18  

7x  =  21  x  =  21                7  x  =  3  

x+  2y  =  3  3  +  2y  =  3  

2y  =  3  –  3    2y  =  0    

y  =  0    

+  

      (DECEA)   Para   comprar   3   kg   de   batatas   e   2   kg   de  tomates   são   necessários   R$14,70.   Com   R$4,55  compra-­‐se   exatamente   1   kg   de   batatas   e   0,5   kg   de  tomates.  Qual  é,  em  reais,  o  preço  de  um  quilograma  de  tomates?  

       (A)  1,70            (B)  1,90            (C)  2,10          (D)  2,50            (E)  2,80    

3B  +  2T  =  14,70  1B  +0,5T  =  4,55   x(-­‐3)  

 3B  +        2T  =    14,70  -­‐3B  –  1,5T  =  -­‐13,65  

0,5  T  =  1,05  

T  =  R$  2,10  

(x  2)  (x  2)  

620

−620

−

620

−

⎩⎨⎧

=+

=−

byaxyx4

165

ba

(BNDES)  Para  que  o  sistema  linear                                                  possua  

infinitas  soluções,  os  valores  de  a  e  b  devem  ser  tais  que    

 (A)  –  5  (B)  –  2  (C)  0  (D)  2  (E)  5  

valha:   Sistema  indeterminado   _5_      a  

=   -­‐  6_      4  

=   _1_      b  

_5_      a  

=   -­‐  6_      4  

-­‐6a  =  20  

a  =    

=  

620

−

310

−a  =    

_1_      b  

=  -­‐  6_      4  

-­‐6b  =  4  

b  =    

=  

64

−

32

−b  =    

ba

32310

−

−

210

ba

=   5  

        (Fiocruz)   Em   uma   lanchonete,   uma   pizza   e   um  refrigerante   custam   juntos   20   reais.   A   pizza   custa   18  reais   a   mais   que   o   refrigerante.   O   refrigerante   sozinho  custa:  

       (A)  R$1,00          (B)  R$1,25          (C)  R$1,50          (D)  R$1,75          (E)  R$2,00    

P  +  R  =  20  P  =  R  +  18  

R  +  18  +  R  =  20  

2R  +  18  =  20  

2R  =  20  –  18  

2R  =  2  

R  =     _2_      2  

R  =  R$  1,00  

PROGRESSÕES  ARITMÉTICAS  

2ª  PARTE  

Profº  Cláudio  Mendes  

Temos:  

Observe  a  soma:  

1  +  2  +  3  +  4  +  5  +...+  97  +  98  +  99  +  100  

1  +  100  =  101  

2  +    99  =  101  

3  +    98  =  101  

4  +  97  =  101  

50  pares  que  somados  dão  como  resultado  101  

Então  a  soma  é  igual  a  50  ·∙  101  =  5.050  

( )naaaaa ,...,,,, 4321 2(a 1 n)aS n ⋅+

=

)a...aaaa( n+++++ 4321

Dada  a  sequência  

)a,...,a,a,a,a( n4321

)a...aaaa( n+++++ 4321

O  resultado  da  soma  

Pode  ser  definido  como:  

21 n)aa(S n

n⋅+

=

21 n)aa(S n

n⋅+

=

Lembrando:  

Sn  =  A  soma  dos  n  termos  da  P.  A.  

a1  =  primeiro  termo  

an  =  úlqmo  termo  

n  =  total  de  termos  

(BNDES)  A  sequência  (6,  10,  14,  ...  ,  274,  278,  282)  tem  70  números.  A  soma  desses  70  números  é  :  a)  8.920  b)  10.080  c)  13.560  d)  17.840  e)  20.160  

Dados:  

a1  =  6  

an  =  a70  =  282  

n  =  70  

Sn  =  ?  

21 n)aa(S n

n⋅+

=

2702826

50⋅+

=)(S

270288

50⋅

=S

216020

50.S =

0801050 .S =

vmv  

21 n)aa(S n

n⋅+

=2

1 n)aa(S nn

⋅+=

21 n)aa(S n

n⋅+

=

Determine  a  soma  dos  50  primeiros  números  ímpares  com  3  algarismos.  

Dados:  

a1  =  101  

an  =  a50  =  ?  

n  =  50  

r  =  2  

 an  =  a1  +  (n  –  1)  ·∙  r  

Termo  geral  da  P.  A.  

 a50  =  101  +  (50  –  1)  ·∙  2  

 a50  =  101  +  49  ·∙  2  

 a50  =  101  +  98  

 a50  =  199  

21 n)aa(S n

n⋅+

=

250199101

50⋅+

=)(S

250300

50⋅

=S

200015

50.S =

500750 .S =

Sn  =  ?  

PROGRESSÕES  ARITMÉTICAS  

1ª  PARTE  

Profº  Cláudio  Mendes  

Uma   progressão   aritméqca   (P.   A.)   é   uma  sequência  numérica  ordenada  de  forma  que  cada   termo,   a   parqr   do   segundo,   é   igual   ao  termo   anterior   somado   à   um   valor  constante,  denominado  razão.      Ex:   (2,  4,  6,  8,  10,  12)  

(9,  7,  5,  3,  1)  

razão  2  

razão  -­‐2  

Seja  a  sequência:  

( )naaaaa ,...,,,, 4321

1a 2a

3a

na

n

r

=  1º  termo   =  2º  termo  

=  3º  termo  

=  úlqmo  termo  (ou  termo  procurado)  

=  nº  de  termos  

=  razão  =     2312 aaaa −=−

32512 =−=−aa

32512 =−=−aa

Observe  a  sequência:  

( )23,20,17,14,11,8,5,2=S

Temos:  ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

=

=

852

3

2

1

aaa =  5  –  2  =  3  

r  =  3  

n  =  8  na =  23  

12 aa −

23 aa −

34 aa −

=  8  –  5  =  3  

=  11  –  8  =  3  

A  razão  da  P.  A.  é:  

( ) rnaan ⋅−+= 11

Último termo de uma P.A. ou termo procurado

Primeiro termo da P.A.

Número de termos da P.A.

Razão

Termo  Geral  de  uma  P.  A.  

Em  uma  P.  A.  de  razão  8,  o  1º  termo    é  igual  a  7.  Determine  o  75º  termo.  

Dados:  

r  =  8  a1  =  7  

an  =  a75  =  ?  n  =  75  

Termo  geral  da  P.  A.  

 an  =  a1  +  (n  –  1)  ·∙  r  a75   =   7   +  (75  –  1)    ·∙  8  

=   7   +   74    ·∙  8    =   7   +   592  

599  

a75  a75  a75   =  

74  x  8  2  59  

3  

_____  

Em  uma  Progressão  Aritméqca  o  primeiro  termo   é   23   e   a   razão   é   -­‐6.   A   posição  ocupada  pelo  elemento  -­‐13  é:  (A)  4            (B)  5            (C)  6          (D)  7          (E)  8  Dados:  

r  =  -­‐6  

a1  =  23  

an  =  -­‐13  

n  =  ?  

 an  =  a1  +  (n  –  1)  ·∙  r  

-­‐13  =  23  +   (n  –  1)    ·∙  (–6)  

=  23  +   (–6n  +  6)  =   23  –  6n  +  6  

-­‐13  -­‐13  

=   23  +  6  +  13    6n  =    42  6n  

n   =   42  6  

n  =   7  

+   +  –  

–