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Nova School of Business and Economics

2017 – 2018

Acesso ao Ensino Superior por Maiores de 23 Anos

1

Prova Escrita de Matemática

Data: 26 de Maio de 2017

Duração: 2 horas

Instruções:

Esta prova é constituída por dois grupos: I e II.

O grupo I contém sete perguntas de escolha múltipla e quatro respostas possíveis para cada uma,

das quais apenas uma está correta. Para cada pergunta, circule a resposta que considera correta, não

apresentando os cálculos efetuados. Se circular mais do que uma resposta para a mesma pergunta,

será considerado que não respondeu à pergunta. Cada resposta certa vale 1 valor, cada resposta

errada vale −1

3 valores e cada resposta não dada ou inválida vale 0 valores. A cotação total mínima

deste grupo é 0 valores.

O grupo II contém três perguntas de resposta aberta, a primeira com quatro alíneas, a segunda

com cinco alíneas e a terceira com duas alíneas. A cotação de cada alínea está indicada antes do seu

enunciado. Apresente todos os cálculos e justifique todos os raciocínios que efetuar. Se necessitar de

efetuar arredondamentos em passos intermédios, utilize duas casas decimais. Responda a cada

pergunta no espaço que lhe corresponde, podendo utilizar a frente e o verso de cada folha.

Não serão esclarecidas dúvidas durante a realização da prova. Se necessitar de assumir uma

hipótese para a resposta a uma questão, indique-o, e seja coerente com a hipótese que assumiu nos

passos que se seguirem.

Utilize apenas material de escrita e máquina de calcular. Não utilize telemóveis nem material de

consulta.

Não desagrafe esta prova.

As últimas duas páginas contêm um formulário e espaço para rascunhos, cujos conteúdos não

serão corrigidos.

Nome:

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Prova Escrita de Matemática

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Grupo I

1 É preciso formar uma comissão de alunos de 3 elementos daqui a 1 hora. Neste momento, a

Ana, o Bruno e a Cristina estão na sala onde a comissão vai ser formada. O Duarte está atrasado e diz

que chega a tempo com uma probabilidade de 50%. Na altura em que a comissão for formada, serão

sorteadas 3 pessoas entre as que estiverem na sala. Qual a probabilidade de a Cristina ser sorteada

para a comissão?

a) 1

3.

b) 1

4.

c) 7

8.

d) 1

2.

2 Seja Ω o espaço de resultados associado a uma certa experiência aleatória e sejam 𝐴 e 𝐵 dois

acontecimentos (𝐴 ⊆ Ω e 𝐵 ⊆ Ω). Sabe-se que 𝑃(𝐴|𝐵) = 𝑃(𝐵|𝐴) = 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) =1

2. Qual é o valor de

𝑃(𝐴)?

a) 1

2.

b) 1.

c) 1

4.

d) 1

3.

3 Seja 𝑓 uma função real de variável real, de domínio [0;+∞]. Qual o domínio da função 𝑔

definida por 𝑔(𝑥) = 𝑓 (16𝑥2−𝑥4

𝑒𝑥−4)?

a) [−4; 4].

b) ]−∞;−4] ∪ [4;+∞[.

c) [0;+∞].

d) [4;+∞].

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Prova Escrita de Matemática

3

4 Considere a função 𝑓, de domínio ℝ, definida por

𝑓(𝑥) = {𝑔(𝑥) se 𝑥 < 3

ln(𝑥2 − 8) se 𝑥 ≥ 3

Sabendo que 𝑓 é contínua, qual das seguintes pode ser 𝑔(𝑥)?

a) 𝑒𝑥−3.

b) sen(𝑥−3)

𝑥−3− 1.

c) 𝑥2−9

𝑥−3.

d) 3.

5 Seja 𝑓 uma função real de variável real, de domínio ℝ, definida por 𝑓(𝑥) =𝑥3+𝑎

𝑒2𝑥, com 𝑎 ∈ ℝ.

Sabendo que 𝑦 = 5 − 10𝑥 é uma equação da reta tangente ao gráfico de 𝑓 em (0, 𝑓(0)), qual é o

valor de 𝑎?

a) −10.

b) 0.

c) −5

2.

d) 5.

6 Seja (𝑢𝑛) a sucessão de termo geral 𝑢𝑛 = sen((1 −1

𝑛)𝜋

2). Qual das seguintes afirmações é

falsa?

a) lim(𝑢𝑛) = 1.

b) 𝑢 não é monótona.

c) 𝑢2 =√2

2.

d) 0 ≤ 𝑢𝑛 < 1.

7 Qual dos seguintes números complexos pertence a ℝ?

a) 3𝑖.

b) 4𝑐𝑖𝑠 (𝜋

2).

c) 𝑖−1

𝑖+1.

d) 7𝑐𝑖𝑠(7𝜋).

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4

Grupo II

1 (𝟒, 𝟓 valores) A Inês tem que decidir todos os dias se leva guarda-chuva quando sai à rua de

manhã. Em 90% dos dias em que está a chover quando ela sai de casa, ela leva guarda-chuva. Em cada

10 dias em que não está a chover quando ela sai de casa, ela leva guarda-chuva em 3. No próximo

mês, a probabilidade de estar a chover quando a Inês sair de casa é igual todos os dias: 1

3.

a) (𝟏 valores) Mostre que a probabilidade de, no dia 1 do próximo mês, a Inês levar guarda-

chuva de manhã é 50%.

b) (𝟏 valores) Se a Inês levar guarda-chuva de manhã no dia 2 do próximo mês, qual a

probabilidade de estar a chover nessa altura? Apresente o resultado na forma de dízima.

c) (𝟏, 𝟓 valores) Seja 𝑋 a variável aleatória “Número de vezes em que a Inês sai de casa com

guarda-chuva e não está a chover, nos primeiros dois dias do próximo mês”. Calcule

𝑃(𝑋 ≤ 1). Apresente o resultado na forma de fração irredutível.

d) (𝟏 valor) Nos seis primeiros dias do mês passado, choveu de facto de manhã em 1

3 dos dias.

Como a Inês estava no estrangeiro, uma amiga pediu-lhe que adivinhasse um dia em que

tivesse chovido e outro em que não tivesse chovido. Sabendo que a Inês escolheu

aleatoriamente dois dias, qual a probabilidade de ter acertado? Apresente o resultado na

forma de fração irredutível.

Resposta Pergunta 1

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2 (𝟔 valores) Seja 𝑓 a função real de variável real, de domínio ]−𝜋,+∞[, definida por:

𝑓(𝑥) =

{

𝑒sen(𝑥) − 1

sen(𝑥)se 𝑥 < 0

ln(𝑥 + 1) + 1

𝑥 + 1se 𝑥 ≥ 0

a) (𝟏 valor) Mostre que 𝑓 é positiva em todo o seu domínio.

b) (𝟏 valor) Averigue se 𝑓 é contínua em 𝑥 = 0.

c) (𝟏,5 valores) Averigue da existência de assíntotas do gráfico de 𝑓.

d) (𝟏,5 valores) Mostre que 𝑓 é decrescente em [0; +∞[.

e) (𝟏 valor) Seja 𝑔 uma função real de variável real, de domínio ℝ, estritamente crescente, tal que 𝑔(3) = 0. Mostre que 𝑓×𝑔 tem pelo menos um zero no intervalo [2; 4].

Resposta Pergunta 2

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3 (𝟐, 𝟓 valores) Em ℂ, conjunto dos números complexos, considere 𝑧1 = −8𝑖 e 𝑧2 =

𝜌𝑐𝑖𝑠 (3

4𝜋).

a) (𝟏 valores) Determine 𝜌 de forma a que 𝑧1×𝑧2̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ − 𝑧1 = |𝑧1|.

(Lembre-se que |𝑧| e 𝑧̅ representam, respetivamente, o módulo e o conjugado de 𝑧).

b) (𝟏, 𝟓 valores) Calcule a área do triângulo cujos vértices são as representações das raízes

cúbicas de 𝑧1 no plano complexo.

Resposta Pergunta 3

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Formulário

Limites Notáveis

lim ((1 +1

𝑛)𝑛) = 1 (𝑛 ∈ ℕ)

lim𝑎→0

(sen(𝑎)

𝑎) = 1

lim𝑎→0

(𝑒𝑎−1

𝑎) = 1

lim𝑎→0

(ln(𝑎+1)

𝑎) = 1

lim𝑎→+∞

(ln(𝑎)

𝑎) = 0

lim𝑎→+∞

(𝑏𝑎

𝑎𝑝) = +∞ (𝑏 > 1, 𝑝 ∈ ℝ)

Regras de Derivação

(𝑎 + 𝑏)′ = 𝑎′ + 𝑏′

(𝑎𝑏)′ = 𝑎′𝑏 + 𝑎𝑏′

(𝑎

𝑏)′

=𝑎′𝑏 − 𝑎𝑏′

𝑏2

(𝑎𝑝)′ = 𝑝𝑎𝑝−1𝑎′ (𝑝 ∈ ℝ)

(𝑝𝑎)′ = ln(𝑝) 𝑝𝑎𝑎′ (𝑝 ∈ ℝ+ ∖ {1})

(log𝑝(𝑎))′=

𝑎′

ln(𝑝) 𝑎(𝑝 ∈ ℝ+ ∖ {1})

(sen(𝑎))′ = 𝑎′ cos(𝑎)(cos(𝑎))′ = −𝑎′ sen(𝑎) (𝑏 > 1, 𝑝 ∈ ℝ)

Números Complexos

(𝜌cis(𝜃))𝑛

= 𝜌𝑛cis(𝑛𝜃) (𝑛 ∈ ℕ)

√𝜌cis(𝜃)𝑛

= √𝜌𝑛 cis (

𝜃 + 2𝑘𝜋

𝑛) (𝑛 ∈ ℕ, 𝑘 ∈ {0,… , 𝑛 − 1})

Rascunhos

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