programação para as ciências experimentais 2007/8

Ludwig Krippahl, 2008

Programação para as Ciências Experimentais

2007/8

Teórica 10

Ludwig Krippahl, 2008 2

Na aula de hoje...

Ajustar um modelo a dados experimentais.

Interpolação linear Minimização de funções Cálculo de erros Estimar uma constante cinética

ajustando o modelo aos dados. Conceitos básicos de Excel

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Ajuste de um modelo

Dados Experimentais Simulação

Discrepância

Minimizar

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Ajuste de um modelo

Exemplo: reacção química

Dados Experimentais Simulação

Discrepância

Minimizarminfn

cinetica

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Ajuste de um modelo

Dados: matriz com tempo na primeira coluna e concentração (ou concentrações) na segunda (ou outras).

Função erro compara cada vector com o correspondente na simulação.

Mas os valores de t podem ser diferentes. É preciso interpolar.

Primeiro, função interpol

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Interpolação linear

Função interpol Recebe: uma matriz x, y, em colunas, e um

vector x1 com os pontos a interpolar. Devolve: vector y1 com os valores em x1

interpolados de x, y.

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Interpolação linear

xix1 x2

y1

y2

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Interpolação linear

yi = (y1*(x2-xi) + y2*(xi-x1)) / (x2 – x1)

xix1 x2

y1

y2

yi

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Interpolação linearfunction yi=interpol(matxy,xi)yi=0*xi;for f=1:length(xi)

for g=2:rows(matxy)if matxy(g,1)>=xi(f);

x1 = matxy(g-1,1);x2 = matxy(g,1);y1 = matxy(g-1,2);y2 = matxy(g,2);d = x2-x1;yi(f) = (y1*(x2-xi(f))+y2*(xi(f)-x1))/d;break

endifendfor

endfor

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Interpolação linearfunction yi=interpol(matxy,xi)yi=0*xi;for f=1:length(xi)

for g=2:rows(matxy)if matxy(g,1)>=xi(f);

x1 = matxy(g-1,1);x2 = matxy(g,1);y1 = matxy(g-1,2);y2 = matxy(g,2);d = x2-x1;yi(f) = (y1*(x2-xi(f))+y2*(xi(f)-x1))/d;break

endifendfor

endfor

Cria vector yi, dos valores interpolados

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Interpolação linearfunction yi=interpol(matxy,xi)yi=0*xi;for f=1:length(xi)

for g=2:rows(matxy)if matxy(g,1)>=xi(f);

x1 = matxy(g-1,1);x2 = matxy(g,1);y1 = matxy(g-1,2);y2 = matxy(g,2);d = x2-x1;yi(f) = (y1*(x2-xi(f))+y2*(xi(f)-x1))/d;break

endifendfor

endfor

Para cada xi onde interpolar percorre os x da matriz até encontrar o primeiro que ultrapassa xi. Começa do 2º elemento porque precisa do anterior para interpolar.

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Interpolação linearfunction yi=interpol(matxy,xi)yi=0*xi;for f=1:length(xi)

for g=2:rows(matxy)if matxy(g,1)>=xi(f);

x1 = matxy(g-1,1);x2 = matxy(g,1);y1 = matxy(g-1,2);y2 = matxy(g,2);d = x2-x1;yi(f) = (y1*(x2-xi(f))+y2*(xi(f)-x1))/d;break

endifendfor

endfor

Calcula a interpolação e termina o ciclo interno (g).

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Interpolação linear

xy=[[1:10]',[2:2:20]'];

xi=[2.5:2:8];

yi=interpol(xy,xi)

hold off

plot(xy(:,1), xy(:,2))

hold on

plot(xi,yi,"ob;;");

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Interpolação linear

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Medir a discrepância (erro)

Reacção• 2A B

• Só kd

Função erro mede o erro quadrático médio, que é a média dos quadrados das diferenças entre os vectores

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Medir a discrepância (erro)

Exemplo:• 2A B

• Só kd (irreversível)

Função erro2AB mede o erro quadrático entre os dados experimentais e a simulação.

A função codifica a concentração inicial e reacção, recebe como argumentos o kd e os valores para comparar.

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Medir a discrepância (2A B)

function r=erro2AB(vals,k)er=[2,0]; define a reacçãoep=[0,1];cis=[1,0]; e as concentrações

aqui falta calcular os valores previstos pelo modelo para este k e comparar com o vector vals para calcular o erro, interpolando os valores. Para resolver na prática...

endfunction

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Medir a discrepância (2A B)

Para simular a reacção podemos usar a função cinetica da aula anterior.

Para comparar com os dados experimentais precisamos interpolar para os valores de t experimentais (que podem não coincidir com os da simulação)

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Medir a discrepância (2A B)

O erro é o erro quadrático:

r=sum((vals(:,2)-int).^2);vals é a matriz com as concentrações de A na segunda colunaint é o vector das concentrações de A obtido interpolando a simulação para os valores na 1ª coluna de vals.

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O mínimo de uma função

Método da razão dourada

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O mínimo de uma função

Tal como “encurralámos” a raiz num intervalo, vamos fazer o mesmo com o mínimo, mas precisamos de 3 pontos:

a

b

c

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O mínimo de uma função

Se x1<x2<x3 e y2<y1 e y2<y3 então tem que haver um mínimo local entre x1 e x3

x1 x2 x3

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O mínimo de uma função

O algoritmo é (novamente) partir os intervalos, testar, e repetir até que seja suficientemente pequeno

x1 x2 x3

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O mínimo de uma função

O algoritmo é (novamente) partir os intervalos, testar, e repetir até que seja suficientemente pequeno

x1 x2 x3

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O mínimo de uma função

O algoritmo é (novamente) partir os intervalos, testar, e repetir até que seja suficientemente pequeno

x1 x2 x3

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O mínimo de uma função

O algoritmo é (novamente) partir os intervalos, testar, e repetir até que seja suficientemente pequeno

x1 x2 x3

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O mínimo de uma função

O algoritmo é (novamente) partir os intervalos, testar, e repetir até que seja suficientemente pequeno

x1 x2 x3

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O mínimo de uma função

O algoritmo é (novamente) partir os intervalos, testar, e repetir até que seja suficientemente pequeno

x1 x2 x3

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O mínimo de uma função

O algoritmo é (novamente) partir os intervalos, testar, e repetir até que seja suficientemente pequeno

x1 x2 x3

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O mínimo de uma função

O algoritmo é (novamente) partir os intervalos, testar, e repetir até que seja suficientemente pequeno

x1 x2 x3

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O mínimo de uma função

O algoritmo é (novamente) partir os intervalos, testar, e repetir até que seja suficientemente pequeno

x1 x2 x3

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O mínimo de uma função

Guardar sempre os 3 pontos consecutivos em que o y do meio é menor que os extremos.

x1 x2 x3

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O mínimo de uma função

Como dividir o intervalo:• O ideal é manter as proporções. Dividir ao

meio não é ideal.

x1 x2 x3

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O mínimo de uma função

Como dividir o intervalo:• O ideal é manter as proporções. Dividir ao

meio não é ideal.

x1 x2 x3x4 x5

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O mínimo de uma função

Como dividir o intervalo:• Escolher o ponto novo no intervalo maior e

• Partir pela razão dourada:

(a+b)/a = a / b

a= 0.618 (a+b)

b= (1-0.618) (a+b)

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O mínimo de uma função

function xm=minfn(func,params,x1,xm,x2,prec)

c=1-0.618;

ym=feval(func,params,xm);Nome da função, parâmetros (como no zerpol), os 3 pontos iniciais e precisão

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O mínimo de uma função

function xm=minfn(func,params,x1,xm,x2,prec)

c=1-0.618;

ym=feval(func,params,xm);

Constante c para os intervalos (razão dourada)

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O mínimo de uma função

function xm=minfn(func,params,x1,xm,x2,prec)

c=1-0.618;

ym=feval(func,params,xm);

Avalia a função no ponto do meio. Nota: assume-se que y é maior em x1 e x2.

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O mínimo de uma função

while abs(x2-x1)>prec

if abs(x1-xm)>abs(x2-xm)

intervalo maior é x1 a xm

else

intervalo maior é xm a x2

endif

endwhile

Enquanto o intervalo é maior que a precisão

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O mínimo de uma função

while abs(x2-x1)>prec

if abs(x1-xm)>abs(x2-xm)

intervalo maior é x1 a xm

else

intervalo maior é xm a x2

endif

endwhile

Encontra o sub-intervalo maior, (x1 a xm ou xm a x2)

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O mínimo de uma função

x1 xm x2

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O mínimo de uma função

Se o intervalo maior é de x1 a xm

o novo x será entre x1 e xm, próximo de xm

xn=xm-c*(xm-x1)

o novo y será feval(func,params,xn)

Se o novo y for menor que o anterior (em xm) passar o x2 para onde está xm, xm para o novo x, e ym será o novo y.

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O mínimo de uma função

x1 xm x2xn

ym

yn

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O mínimo de uma função

x1 x2 x2xm

ym

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O mínimo de uma função

Se o intervalo maior é de xm a x2

o novo x será entre xm e x2, mais próximo de xm.

xn=xm+c*(x2-xm);

Se o novo y for menor que o anterior (em xm) passar o x1 para onde está xm, xm para o novo x, e ym será o novo y.

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Ajustar o modelo (2A B)

Basta usar a minfn para calcular o k que minimiza o erro

Exemplo:• vals=[0.5,0.5;2,0.2;6,0.07;9,0.055];

• k=minfn("erro2AB",vals,0,1,2,0.001)• k = 0.97843

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Ajustar o modelo (2A B)

Comparar o modelo com os dadoser=[2,0]ep=[0,1];cis=[1,0];xy=cinetica(esteq,cis,k,0,0.01,10);hold offplot(xy(:,1),xy(:,2))hold onplot(vals(:,1),vals(:,2), "x");

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Ajustar o modelo (2A B)

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Ajustar um modelo

Abordagem genérica• Simular dados previstos para um conjunto

de parâmetros

• Minimizar a discrepância entre os valores previstos e observados alterando os parâmetros.

• Na prática pode ser difícil...

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Conceitos básicos de Excel

Célula: A5 Grupo de células: A5:B12 Referência relativa ou absoluta:

• O cifrão marca uma referência absoluta.

• A$5, $B$5 Nestes casos o 5 e o B estão fixos.

• Sem cifrão a referência é relativa, e muda com copy/paste ou fill down/right

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Conceitos básicos de Excel

Referência relativa:• Nota: fórmulas começam sempre por =

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Conceitos básicos de Excel

Referência relativa:• O B passou a C e o C a D copiando para a

direita

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Conceitos básicos de Excel

Referência relativa:• O 2 passou a 3 copiando para baixo

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Conceitos básicos de Excel

Referência absoluta

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Conceitos básicos de Excel

Referência absoluta• Fill down (seleccionar, ctrl+d)

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Conceitos básicos de Excel

Referência absoluta• Multiplicar pelo C1, mas sem mudar o 1...

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Conceitos básicos de Excel

Referência absoluta• Marcar o 1 como ref. absoluta

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Conceitos básicos de Excel

Referência absoluta• Marcar o 1 como ref. absoluta

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Conceitos básicos de Excel

Dar nomes às células.• Exemplo: 2A B

• Parâmetros• Constante

• DeltaT

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Conceitos básicos de Excel

Dar nomes às células.• Exemplo: 2A B

• Parâmetros• Constante

• DeltaT

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Conceitos básicos de Excel

Dar nomes às células.• Exemplo: 2A B

• Parâmetros• Constante

• DeltaT

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Conceitos básicos de Excel

Dar nomes às células.• Exemplo: 2A B

• Parâmetros• Constante

• DeltaT

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Conceitos básicos de Excel

Dar nomes às células.• Exemplo: 2A B

• Parâmetros• Constante

• DeltaT

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Conceitos básicos de Excel

Dar nomes às células.• Exemplo: 2A B

• Parâmetros• Constante

• DeltaT

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Conceitos básicos de Excel

Dar nomes às células.• Exemplo: 2A B

• Parâmetros• Constante

• DeltaT

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Conceitos básicos de Excel

Dar nomes às células.• Exemplo: 2A B

• Parâmetros• Constante

• DeltaT

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Conceitos básicos de Excel

Dar nomes às células.• Exemplo: 2A B

• Fill down...

• Mas falta o tempo.

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Conceitos básicos de Excel

Seleccionar a primeira coluna (click no topo da coluna, no A).

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Conceitos básicos de Excel

Insert, Columns

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Conceitos básicos de Excel

Insert, Columns

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Conceitos básicos de Excel

Definir a fórmula, e fill down.

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Conceitos básicos de Excel

IF(condição; valor se verdade; valor se falso)

Ex:

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Conceitos básicos de Excel

IF(condição; valor se verdade; valor se falso)

Ex:

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Conceitos básicos de Excel

Exemplo: raiz do polinómio x3+2

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Conceitos básicos de Excel

Exemplo: raiz do polinómio x3+2

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Conceitos básicos de Excel

Exemplo: raiz do polinómio x3+2

Fill right, fill down

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Conceitos básicos de Excel

Exemplo: raiz do polinómio x3+2

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Conceitos básicos de Excel

Exemplo: raiz do polinómio x3+2

Fill down

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Dúvidas