programação não linear
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Capítulo 7
Pesquisa Operacional na Tomada de Decisões
Programação Não Linear
Lachtermacher, G. Pesquisa Operacional na Tomada de Decisão, 4a. Edição, Pearson, 2009
Programação Não Linear
De forma geral um problema de programação não linear tem a seguinte forma:
Nenhum algoritmo resolve todos os problemas que podem ser incluídos neste formato.
),...,,(= xonde 0x
,...,2,1 para )x(
)x( ou
21 n
ii
xxx
mibgst
fMinMax
Programação Não LinearAplicações
Problemas de Mix de Produtos em que o “lucro” obtido por produto varia com a quantidade vendida.
Problemas de Transporte com custos variáveis de transporte em relação à quantidade enviada.
Seleção de Portfolio com Risco
Considere o Problema de Programação Linear e sua solução gráfica
1
Max Z x x 3 51 2
1
2x 122
3x x 2 18 1 2
s r x 4. .
x x 0 01 2,
x2
x1
(0;6)(2;6)
(0;0)(4;0)
(4;3)SoluçãoViável
Programação Não LinearSolução Gráfica
Considere o Problema e sua solução gráfica.
Max Z x x 3 51 2
1s.t. x 4
x x 0 01 2,
9 5 21612
22x x
x2
1 2 3 4
4
2
6
00 x1
SoluçãoViável
(2;6)
Programação Não LinearSolução Gráfica
A solução ótima: é a mesma do problema
linear. continua na fronteira do
conjunto de soluções viáveis.
não é mais um extremo do conjunto de soluções viáveis mas poderia ainda ocorrer em um ponto extremo.
Não existe a simplificação existente em Programação Linear
x2
1 2 3 4
4
2
6
00 x1
SoluçãoViável
(2;6)
Programação Não LinearSolução Gráfica
1
2x 122
3x x 2 18 1 2
s r x 4. .
x x 0 01 2,
MaxZ= x x x x 126 9 182 131 12
2 22
x2
x1
(0;6)(2;6)
(0;0)(4;0)
(4;3)RegiãoViável
Programação Não LinearSolução Gráfica
A função objetivo é uma equação quadrática.
Programação Não LinearSolução Gráfica
Z= x x x x
Z x x x x
Z x x
Para x x
Para
126 9 182 13
9126
1813
182
269
126
9
126
1813
182
13
182
26
441 637 9 7 13 7
9 7 13 7
1 12
2 22
2 2
12
1
2
22
2
2
1
2
2
2
1
2
2
2
Z = 907 171 =
Z = 857
221 =
Z = 807 =
9 7 13 7
271 9 7 13 7
1
2
2
2
1
2
2
2
x x
Para x x
Max Z = x x x x = 857 126 9 182 131 12
2 22
2
4
4
6
2 x 1
x2
RegiãoViável
Z = 907
Z = 807Z = 857
Programação Não LinearSolução Gráfica
Ótima
1
2x 122
3x x 2 18 1 2
s r x 4. .
x x 0 01 2,
Max Z= x x x x 54 9 78 131 12
2 22
x2
x1
(0;6)(2;6)
(0;0)(4;0)
(4;3)RegiãoViável
Programação Não LinearSolução Gráfica
A função objetivo é uma equação quadrática
Z= x x x x
Z x x x x
Z x x
Para x x
Para
54 9 78 13
954
1813
78
269
54
9
54
1813
78
13
78
26
81 117 9 3 13 3
9 3 13 3
1 12
2 22
2 2
12
1
2
22
2
2
1
2
2
2
1
2
2
2
Z = 198 0 =
Z = 189
9 9 3 13 3
36 9 3 13 3
1
2
2
2
1
2
2
2
=
Z = 162 =
x x
Para x x
Programação Não LinearSolução Gráfica
Solução no interior doconjunto de soluçõesviáveis e não mais na fronteira do conjunto
4
2
6
2 4 x1
x2
RegiãoViável
3
3
Z = 162Z = 189
Z = 198
222
211 1378954 xxxxZMax 2
22211 1378954198 xxxx=ZMax
Programação Não LinearSolução Gráfica
Programação Não Linear
A solução ótima de um problema de programação não linear (NLP), diferentemente de um problema de LP, pode ser qualquer valor do conjunto de soluções viáveis.
Isso torna os problemas de NLP muito mais complexos, obrigando os algoritmos de solução a pesquisar todos os valores possíveis.
Convex Programming Problems
One class of NLPs “Convex Programming Problems” can be solved by algorithms that are guaranteed to converge to the optimal solution.
The objective is to maximize a concave function or to minimize a convex function.
The set of constraints form a convex set.
Properties of Convex Programming Problems
A smooth function (no sharp points, no discontinuities) One global maximum (minimum). A line drawn between any two points on the curve of the
function will lie below (above) the curve or on the curve.
A One Variable Concave (Convex) Function
X
A Concave function
A convex function
X
An illustration of a two variable convex function
If a straight line that joins any two points in the set lies within the set, then the set is called a convex set.
Convex set Non-convex set
Convex Sets
In a NLP model all the constraints are of the “less than or equal to” form Gi(X) B.
If all the functions Gi are convex, the set of constraints forms a convex set.
NLP and Convex Sets
Unconstrained Nonlinear Programming
One-variable unconstrained problems are demonstrated by the Toshi Camera problem.
The inverse relationships between demand for an item and its value (price) are utilized in this problem.
TOSHI CAMERA
Toshi camera of Japan has just developed a new product, the Zoomcam.
It is believed that demand for the initial product will be linearly related to the price.
Price EstimatedP ($) Demand (X)
100 350,000150 300,000200 250,000250 200,000300 150,000350 100,000
Unit production cost is estimated to be $50. What is the production quantity that maximizes
the total profit from the initial production run?
SOLUTION
Total profit = Revenue - Production cost
F(X) = PX - 50X
TOSHI CAMERA
From the Price / Demand table it can be verified that P = 450 - .001X
The Profit function becomesF(X) = (450 - .001X)X = 400X - .001X2
This is a concave function.
400,0000
TOSHI CAMERA
To obtain an optimal solution (maximum profit), two conditions must be satisfied:
A necessary condition dF/dX = 0 A sufficient condition d2F/dX2 < 0.
The necessary condition is satisfied at:dF/dX = 400 - 2(.001)X = 0; X = 200,000.
The sufficient condition is satisfied since d2F/dX2 = -.002.
The optimal solution: Produce 200,000 cameras. The profit is F(200,000) = $40,000,000.
TOSHI CAMERA
If a function is known to be concave or convex at all points, the following condition is both a necessary and sufficient condition for optimality:
The point X* gives the maximum value for a concave function, or the minimum value for a convex function, F(X), if at X*
dF/dX = 0
Optimal solutions for concave/convex functions with one variable
Determining whether or not a multivariate function is concave or convex requires analysis of the second derivatives of the function.
A point X* is optimal for a concave (convex) function if all its partial derivatives are equal to zero at X*.
For example, in the three variable case:
FX
FX
FX
11
22
33
0 0 0 ; ; ;
F
XF
XF
X1
12
23
30 0 0 ; ; ;
Optimal solutions for concave/convex functions with more than one variable
Constrained Nonlinear Programming Problems – one variable
The feasible region for a one variable problem is a segment on a straight line (X a or X b).
When the objective function is nonlinear the optimal solution must not be at an extreme point.
TOSHI CAMERA - revisited
Toshi Camera needs to determine the optimal production level from among the following three alternatives: 150,000 X 300,000
50,000 X 175,000
150,000 X 350,000
4000
X 250,000X 350,000
X* = 250,000
40004000
Maximize F(X) = 400X - .001X2
X 150,000X 300,000
150
X 50,000X 175,000
50 175X*=200,000 X* = 175,000
The objective function does not change:
TOSHI CAMERA – solution
Constrained Nonlinear Programming Problems – m variables
mn21
2n21
1n21
n21
B)X..., ,X ,Gm(X
.
.
.
B)X..., ,X ,G2(X
B)X..., ,X ,G1(X
ST
)X..., ,X,X(FMaximize
Let us define Y1, Y2, …,Ym as the instantaneous improvementin the value of F for one unitincrease in B1, B2, …Bm
respectively.
This is a set of “necessary conditions” for optimality of most nonlinear problems.
If the problem is convex, the K-T conditions are also sufficient for a point X* to be optimal.
mm
211
mm2
11
1
mm2211
m21
XGmY...X
2G2YX1GYXn
F
.
.
.
XGmY...X
2GYX1GYX
F.4
0SY...,,0SY,0SY.3
0Y..., , Y,Y .2
.feasibleis*X.1
2
S1, S2, …,Smare defined as the slack variablesin each constraint.
Kuhn-Tucker optimality conditions
PBI INDUSTRIES
PBI wants to determine an optimal production schedule for its two CD players during the month of April.
Data Unit production cost for the portable CD player = $50.
Unit production cost for the deluxe table player = $90.
There is additional “intermix” cost of $0.01(the number of portable CD’s)(the number of deluxe CD’s).
Forecasts indicate that unit selling price for each CD player is related to the number of units sold as follows:
Portable CD player unit price = 150 - .01X1 Deluxe CD player unit price = 350 - .02X2
PBI INDUSTRIES
Resource usage Each portable CD player uses 1 unit of a particular
electrical component, and .1 labor hour. Each deluxe CD player uses 2 units of the electrical
component, and .3 labor hour. Resource availabilty
10,000 units of the electrical component units; 1,500 labor hours.
PBI INDUSTRIES
PBI INDUSTRIES – SOLUTION
Decision variablesX1 - the number of portable CD players to produce
X2 - the number of deluxe CD players to produce
The model
Max (150-.
X X X X XST
X X
X
01X1)X1+ (350-.02X2)X2 - 50X1- 90X2-.01X1X2 =
-.01X1
.1X1 +.3X2 1,500 - X1
2
. .
,
02 2 01 1 2 100 1 260 2
1 2 2 10 000
02 0
2
Production cannot be negative
Resource constraints
For a point X1, X2 to be optimal, the K-T conditions require that:Y1S1 = 0; Y2S2 = 0; Y3S3 = 0; Y4S4 = 0, and
)1(Y)0(Y)3(.Y)2(Y2602X04.X01.
or
XGYX
GYXGYX
GYXF
)0(Y)1(Y)1(.Y)1(Y100X01.X02.
or
XG4YX
GYXGYX
GYXF
43211
2
44
2
33
2
22
2
11
2
432121
1
4
1
33
1
22
1
11
1
PBI INDUSTRIES – SOLUTION
Finding an optimal production plan. Assume X1>0 and X2>0.
The assumption implies S3>0 and S4>0.Thus, Y3 = 0 and Y4 = 0.
Add the assumption that S1 = 0 and S2 = 0.From the first two constraints we have X1 = 0 and X2 =
5000.X1= 0
A contradictionX1>0
AS A RESULT THE SECOND ASSUMPTION CANNOT BE TRUE
PBI INDUSTRIES – SOLUTION
Change the second assumption. Assume that S1 = 0 and S2 > 0.
As before, from the first assumption S3 > 0 and S4 > 0. Thus, Y3 = 0 and Y4 = 0. From the second assumption Y2 = 0. Substituting the values of all the Ys in the partial derivative equations
we get the following two equations:
-.02X1 - .01X2 + 100 = Y1
-.01X1 - .04X2 + 260 = 2Y1 Also, since S1 = 0 (by the second assumption)
X1 + 2X2 = 10,000 Solving the set of three equations in three unknowns we get:
PBI INDUSTRIES – SOLUTION
X1 = 1000, X2 = 4500, Y1 = 35
This solution is a feasible point (check the constraints). X1 and X2 are positive. 1X1 + 2X2 <= 10,000 [1000 + 2(4500) = 10,000] .1X1 + .3X2 <= 1,500 [.1(1000) + .3(4500) = 1450]
This problem represents a convex program since It can be shown that the objective function F is concave. All the constraints are linear, thus, form a convex set.
The K-T conditions yielded an optimal solution
PBI INDUSTRIES – SOLUTION
Portable Deluxe Total ProfitApril Production 1000 4500 810000
Portable Deluxe Used AvailableElectrical Components 1 2 10000 10000Labor Hours 0.1 0.3 1450 1500
PBI INDUSTRIES
PBI INDUSTRIES – Excel SOLUTION
Programação Não LinearExcel
O Excel utiliza o algoritmo GRG (generalized reduced gradient) para chegar à solução para um dado problema.
O algoritmo não garante que a solução encontrada é uma solução global.
O Solver às vezes tem dificuldades de achar soluções para problemas que tenham condições iniciais para as variáveis iguais a zero. Uma boa medida é começar a otimização com valores diferentes de zero para as variáveis de decisão.
Programação Não LinearExcel
Uma maneira prática para tentar minorar o problema de
máximos e mínimos locais é começar a otimização de
diversos pontos iniciais, gerados aleatoriamente.
Se todas as otimizações gerarem o mesmo resultado,
você pode ter maior confiança, não a certeza, de ter
atingido um ponto global.
Programação Não Linear Controle de Estoque
Um dos modelos mais simples de controle de estoque é
conhecido como Modelo do Lote Econômico.
Esse tipo de modelo assume as seguintes hipóteses A demanda (ou uso) do produto a ser pedido é praticamente
constante durante o ano.
Cada novo pedido do produto deve chegar de uma vez no
exato instante em que este chegar a zero.
Programação Não Linear Controle de Estoque
Determinar o tamanho do pedido e a sua periodicidade dado os seguintes custos: Manutenção de Estoque – Custo por se manter o capital no
estoque e não em outra aplicação, rendendo benefícios financeiros para a empresa.
Custo do Pedido – Associado a trabalho de efetuar o pedido de um determinado produto.
Custo de Falta – Associado a perdas que venham a decorrer da interrupção da produção por falta do produto.
Demanda Anual =100Lote=25,Pedido= 4Estoque Médio = 12,5
3 6 9 12meses
25
12,5
25
Demanda Anual =100Lote=50, Pedidos = 2Estoque Médio = 25
6 12meses
50
Programação Não Linear Controle de Estoque
Programação Não Linear Controle de Estoque
mC2
QS
Q
DCDTotal Custo
Constante Variável de Decisão
Q – Quantidade por Pedido
Função Objetivo =
Onde:D = Demanda Anual do Produto
C = Custo Unitário do Produto
S = Custo Unitário de Fazer o Pedido
Cm= Custo unitário de manutenção em estoque por ano
Caso LCL Computadores
A LCL Computadores deseja diminuir o seu
estoque de mainboards. Sabendo-se que o custo
unitário da mainboard é de R$50,00, o custo
anual unitário de manutenção de estoque é de
R$20,00 e o custo unitário do pedido é de
R$10,00, encontre o lote econômico para atender
a uma demanda anual de 1000 mainboards.
Caso LCL Computadores
Caso LCL Computadores
Caso LCL Computadores
Caso LCL Computadores
Na solução apresentada do lote econômico, a quantidade de pedidos por ano é fracionário, já que
Isso não representa um problema
25,3132
1000
º
LotedoTamanho
AnualDemandalotesden
Programação Não LinearProblemas de Localização
Um problema muito usual na área de negócios é o de localização de Fábricas, Armazéns, Centros de distribuição e torres de transmissão telefônica.
Nesses problemas devemos Minimizar a distância total entre os centros consumidores e o centro de distribuição, reduzindo assim teoricamente o custo de transporte.
Para tal, o usual é sobre um mapa colocar-se um eixo cartesiano e determinar a posição dos centro consumidores em relação a uma origem aleatória.
Caso LCL Telefonia Celular S.A.
Localidade X Y
Nova Iguaçu -5 10
Queimados 2 1
Duque de Caxias 10 5
O Gerente de Projetos da LCL Telecom, tem que localizar uma antena de retransmissão para atender a três localidades na Baixada Fluminense. Por problemas técnicos a antena não pode estar a mais de 10 km do centro de cada cidade. Considerando as localizações relativas abaixo, determine o melhor posicionamento para a torre.
Caso LCL Telefonia Celular S.A.
Nova Iguaçu(-5,10)
Queimados (2,1)
Duque deCaxias(10,5)
X
Y
Caso LCL Telefonia Celular S.A.
3
1
22 )()(i
ii YyXxMin
Variáveis de Decisão X – Coordenada no eixo X da torre de transmissão Y – Coordenada no eixo Y da torre de transmissão
Função Objetivo
Caso LCL Telefonia Celular S.A.
10)()(
10)()(
10)()(
23
23
22
22
21
21
YyXx
YyXx
YyXx
Restrições de Distância
Caso LCL Telefonia Celular S.A. Modelo no Excel
=SOMA(D2:D4)
Caso LCL Telefonia Celular S.A.Parametrização
Caso LCL Telefonia Celular S.A. Solução
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