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Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística

Prof. Lorí Viali, Dr.

viali@mat.ufrgs.br

http://www.ufrgs.br/~viali/

ColeColeçção de não de núúmeros = estatmeros = estatíísticassticas

� O nO núúmero de carros vendidos no pamero de carros vendidos no paíís s

aumentou em 30%. aumentou em 30%.

�� A taxa de desemprego atinge, este mês, A taxa de desemprego atinge, este mês,

7,5%.7,5%.

�� As aAs açções da Telebrões da Telebráás subiram R$ 1,5, hoje. s subiram R$ 1,5, hoje.

�� Resultados do Carnaval no trânsito: 145 Resultados do Carnaval no trânsito: 145

mortos, 2430 feridos.mortos, 2430 feridos.

EstatEstatíística: stica: uma definição

A ciência de coletar, organizar,

apresentar, analisar e interpretar dados

com o objetivo de tomar melhores

decisões.

Estatística (divisão)

Descritiva

Indutiva

Os procedimentos usados para organizar, resumir e apresentar dados.

A coleção de métodos e técnicas utilizados para estudar uma população baseado em amostras probabilísticas desta população.

População

Uma coleção de todos os

possíveis elementos, objetos ou

medidas de interesse.

Um levantamento efetuado sobre

toda uma população é denominado de

levantamento censitário ou

simplesmente censo.

Amostra

Uma porção ou parte de

uma população de interesse.

Amostragem

O processo de escolha de uma

amostra da população é denominado

de amostragem.

PROBABILIDADE(Matemática) Univariada

ESTATÍSTICA(Matemática

Aplicada)Multivariada

Trabalha com uma

única característica

dos dados

Trabalha com duas ou

mais características

dos dados

POPULAÇÃO(Censo)

AMOSTRA(Amostragem)

InferênciaErro

PROBABILIDADE

Estatística Descritiva

Probabilidade

Estatística Indutiva

Amostragem

Estatística x Probabilidade

120Total1Total

1761/66

2251/65

2541/64

2331/63

1821/62

1511/61

FreqüênciasFacesProbabilidadesFaces

Arredondamento

Todo arredondamento é um erro.

O erro deve ser evitado ou então

minimizado.

Regra básica:

Arredondar sempre para o mais

próximo.

Exemplos:

1,456 1,46

1,454 1,45

1,475 1,48

1,485 1,49

QualitativasQualitativas

Quantitativas

OrdinalOrdinal

NominalNominal

DiscretaDiscreta

ContContíínuanua

NOMINAL

ORDINAL

SexoReligião

Estado civil Curso

Conceito

Grau de Instrução

Dia da semana

Variável Qualitativa

Variável Quantitativa

Número de faltas

Número de irmãos

Número de acertos

Altura

Volume

CONTÍNUA

DISCRETA

Organização;

Resumo;

Apresentação.

Conjunto de dados:

�Amostra

�População

Um conjunto de dados éresumido de acordo com as seguintes características:

Tendência ou posição central

Dispersão ou variabilidade

Assimetria (distorção)

Achatamento ou curtose

Amostra ouPopulação

Tendência ou Posição Central

(a) As médias

Simples

Aritmética

Geométrica

Harmônica

Quadrática

Interna

A média Aritmética

x...xxx i

in21 ∑

=∑=+++

A média Geométrica

nn21g xx ... .x.xm ∏==

A média Harmônica

A média Quadrática

x...xxm

A mA méédia Internadia Interna

É a mesma média aritmética só

que aplicada sobre o conjunto onde

uma parte dos dados (extremos) é

descartada.

4,84,954 6

1,8351 9

mhmgConjuntos x

Médias

Exemplo

Relação entre as médias

Dado um conjunto de dados

qualquer, as médias aritmética,

geométrica e harmônica mantém a

seguinte relação:

mmx hg ≥≥

(a) As médias

Ponderadas

Aritmética

Geométrica

Harmônica

Quadrática

A média Aritmética Ponderada

w...ww

w.x...w.xw.xm

kk2211ap

A média Geométrica Ponderada

∑w w

∑w www

∏ x =

=x ... .x.x=m

A média Harmônica Ponderada

k21h P

12,952,10Limão

15,004,50Carvão

21,801,50Pão

67,526,80Carne

qp02p01Produtos

121,251,10Ceva

14,955,20Cana

Exemplo

1,000095,20Total0,03153,0021,801,50Pão

0,02212,1012,952,10Limão

0,416039,60361,251,10Ceva

0,04734,5015,004,50Carvão

0,05465,2014,955,20Cana

0,428640,8067,526,80Carne

Pesosp1.qqp2p1Produtos

Ponderações

1,00000,0315

0,0221

0,4160

0,0473

0,0546

0,4286

95,20Total1,20003,001,801,50Pão

1,40482,102,952,10Limão

1,136439,601,251,10Ceva

1,11114,505,004,50Carvão

0,95195,204,955,20Cana

1,105940,807,526,80Carne

Relativosp1.qp2p1Produtos

Solução

Média aritmética ponderada dos

relativos (aumentos) será:

Por este critério o aumento foi de

12,00%.

112,00%=1,1200 =

=03,0+02,0+42,0+05,0+05,0+43,0

03,0.20,1+02,0.40,1+42,0.140,1+05,0.11,1+05,0.95,0+43,0.11,1=map

Média geométrica ponderada dos

11,83%.

%83,111=1183,1 =

=20,1.40,1.13,111,195,011,1 =

=20,1.40,1.13,111,195,011,1=m03,002,042,005,005,043,0

1 03,002,042,005,005,043,0gp

Média harmônica ponderada dos

11,67%.

%67,111=1167,1=86,0

=m h P

(b) A mediana (median)

me = [x(n/2) + x(n/2)+1]/2 se “n” é par

É o valor que separa o conjunto em dois subconjuntos do mesmo tamanho.

me = x(n+1)/2 se “n” é ímpar

(b) Separatrizes

A idéia de repartir o conjunto de

dados pode ser levada adiante. Se ele for

repartido em 4 partes tem-se os QUARTIS,

se em 10 os DECIS e se em 100 os

PERCENTIS.

Considere o seguinte conjunto:

1 -1 0 4 2 5 3

Como n = 7 (ímpar), então x(n+1)/2 = x4

Ordenando o conjunto, tem-se:

-1 0 1 2 3 4 5

Então: me = x4 = 2

Exemplo

Se o conjunto for:

1 -1 0 4 2 5 3 -2Tem-se: n = 8 (par)

Então me = [xn/2+xn/2+1)]/2 = (x4 + x5)/2

Ordenando o conjunto, tem-se:

-2 -1 0 1 2 3 4 5

me = (x4 + x5)/2 = (1 + 2)/2 = 1,50

(c) A moda (mode)

É o(s) valor(es) do conjunto que

mais se repete(m).

Considere o conjunto

0 1 1 2 2 2 3 5

Então: mo = 2

Pois, o dois é o que mais se repete

(três vezes).

Exemplo 1

Considere o conjunto:

0 1 1 2 2 3 5

Então: mo = 1 e mo = 2

Conjunto bimodal

Exemplo 2

0 1 2 3 4 5 7

Este conjunto é amodal, pois

todos os valores apresentam a mesma

freqüência.

Exemplo 3

(a) A amplitude (h)

(b) O Desvio Médio (dma)

(c) A Variância (s2)

(d) O Desvio Padrão (s)

(e) A Variância Relativa (g2)

(f) O Coeficiente de Variação (s)

Dispersão ou VariabilidadeDispersão ou Variabilidade

h = xmáx - xmín

A Amplitude (range)

-2 -1 0 3 5

h = 5 – (-2) = 7

A média é:

53021x ==

+++−−=

O dma (average deviation)

-2 -1 0 3 5

Calculando os desvios: xxi −

Tem-se: d1 = -2 – 1 = -3

d2 = -1 – 1 = -2

d3 = 0 – 1 = -1

d4 = 3 – 1 = 2

d5 = 5 – 1 = 4

Como pode ser visto a soma éigual a zero. Tomando o módulo vem:

|4||2||1||2||3|n

|xx|dma i

=++++−+−+−

=∑ −

Se ao invés de tomar o módulo, elevarmos ao quadrado, tem-se:

1641495

42)1()2()3(

==++++

=++−+−+−

=∑ −

A variância (variance)

)xx(....)xx()xx(s

∑ −=

=−++−+−

A variância de um conjunto de dados será:

2i2 −

É a raiz quadrada da variância

)xx(s 2

−∑

=∑ −

O Desvio Padrão (standard deviation)

Se extrairmos a raiz quadrada teremos do resultado anterior teremos:

61,280,6n

)xx(s i

==∑ −

A Variância Relativa

O Coeficiente de Variação

O coeficiente de variação do

exemplo anterior, será:

%77,2601

6077,2

sg ===

Organização;

Resumo;

Apresentação. Amostra

ou População

Grande Conjuntos de DadosGrande Conjuntos de Dados

.......................................

ÓtimoMuito BomMuito BomÓtimo

ÓtimoBom ÓtimoRegularMuito BomInsuficienteBomInsuficienteRegularRegularInsuficienteBom

Muito BomMuito BomRegularÓtimo

Conceitos em Matemática – Escola VirgulinaTravessão - Segundo Bimestre de 2007

100200Total15,030Insuficiente

18,036Regular

32,064Bom

21,543Muito Bom

13,527Ótimo

%AlunosConceito

DistribuiDistribuiçção de freqão de freqüüênciasências

Simples

Acumuladas

Absoluta

Relativa

Absoluta

Relativa

Apresentação

FREQÜÊNCIAS Percentual

Apresentação

Percentual

Decimal

200Total

fiValores

FreqFreqüüências: representaências: representaççãoão

Conceitos em Matemática

19%14%

Número de irmãos dos alunos da turma C -

Estatística - UFRGS - 2007/02

0103211201

2234120114

6551111213

1422011154

0113136110

Distribuição de freqüências por ponto

ou valores da variável: “Número de irmãos

dos alunos da turma C” da disciplina:

Estatística UFRGS - 2007/02.

50∑263544538221170

N0 de alunosN0 de irmãos

Diagrama de colunas simples da

variável: Número de irmãos dos alunos da

turma C, Disciplina: Estatística, UFRGS -

2007/02

0 1 2 3 4 5 6

Neste caso, a média a dada por:

f...ff

x.f...x.fxfx ii

kk2211 ∑=

A mA méédia Aritmdia Aritmééticatica

9550∑1226153516441553168221211070

fixifixi

ExemploExemplo

A média será, então:

irmãos 90,150

nx.f x ii ==

Como n = 50 é par, tem-se:

irmão

xxxx )/(/)/n(/n

1250250122

A Mediana

Total de dados n = 50 (par)

—50∑∑∑∑5026483545444153368228211770Fifixi

Metade Metade dos dados dos dados n/2 = 25n/2 = 25

Exemplo

mo = valor(es) que mais se repete(m)

A Moda

50∑263544538221170fixi

A moda A moda ééigual aigual a1 (um)1 (um)

Pois ele se repete mais

Exemplo

h = xmáx - xmín

h = 6 - 0 = 6 irmãos

A AmplitudeA Amplitude

Neste caso, o dma será dado por:

|xx|.f

f...ff

|xx|f...|xx|f|xx|fdma

k21 k21

−∑=

−++−+−=

O Desvio Médio

64,4050∑

2.|6 – 1,90| = 8,20263.|5 – 1,90| = 9,30 354.|4 – 1,90| = 8,40445.|3 – 1,90| = 5,50538.|2 – 1,90| = 0,8082

21.|1 – 1,90| = 18,90 2117.|0 – 1,90| = 13,3070

fi|xi - | fixi x

ExemploExemplo

O dma será, então:

irmãos 29,150

|xx|.f dma ii==

−∑=

)xx(f....)xx(f)xx(fs

−∑

=∑ −

=−++−+−

Neste caso, a variância será:

A VariânciaA Variância

29950∑

62.2 = 722652.3 = 753542.4 = 644432.5 = 455322.8 = 328212.21 = 2121102.7 = 070

fixi2fixi

ExemploExemplo

A variância será, então:

irmãos 3700,2

90,150

=−=−∑

O desvio padrão será dado por:

irmãos 1,54 1,5395

3700,2xn

xfs 22ii

==−∑

O Desvio Padrão O Desvio Padrão

Dividindo o desvio padrão pela média,

tem-se o coeficiente de variação:

%03,8190,1

539480,1g ==

O Coeficiente de VariaO Coeficiente de Variaçção ão

Idade (em meses) dos alunos da

turma C da disciplina Estatística -

UFRGS - 2007/02

276 245 345 240 270 310 368

334 268 288 336 299 236 239 355 330

287 344 300 244 303 248 251 265 246

240 320 308 299 312 324 289 320 264

252 298 315 255 274 264 263 230 303

369 247 266 275 281 230 234

Distribuição por classes ou

intervalos da variável “idade dos alunos

da turma C” da disciplina: Estatística da

UFRGS - 2007/02

50Total3350 |--- 3705330 |--- 3506310 |--- 3307290 |--- 3108270 |--- 2909250 |--- 27012230 |--- 250

Número de alunosIdades

Histograma de freqüências da

variável “Idade dos alunos da turma

C” de Estatística da UFRGS -

2007/02.

2 3 0 | - - - 2 50 250 | - - - 270 2 70 | - - - 29 0 2 9 0 | - - - 3 10 310 | - - - 3 30 3 30 | - - - 350 3 50 |- - - 3 70

fi / hi

Antes de apresentar as medidas, i.

é, representantes do conjunto, é

necessário estabelecer uma notação

para alguns elementos da distribuição.

xi = ponto médio da classe;

fi = freqüência simples da classe;

lii = limite inferior da classe;

lsi = limite superior da classe;

hi = amplitude da classe.

—50∑∑∑∑

3603350 |--- 3703405330 |--- 3503206310 |--- 3303007290 |--- 3102808270 |--- 2902609250 |--- 27024012230 |--- 250xifixi

O Ponto MO Ponto Méédio da Classe dio da Classe

5035678912fi

360340320300280260240xi

142601080170019202100224023402880fi.xi

A MA Méédia da Distribuidia da Distribuiçção ão

A média será:

meses 20,28550

nx.f x ii

ExemploExemplo

Neste caso, utilizam-se as

freqüências acumuladas para

identificar a classe mediana, i. é, a

que contém o(s) valor(es) central(is).

A Mediana A Mediana

Total de Total de dados dados n = 50 n = 50 (par)(par)

Metade dos dados n/2 = 25—50∑

503350 |--- 370475330 |--- 350426310 |--- 330367290 |--- 310298270 |--- 290219250 |--- 2701212230 |--- 250Fifixi

ExemploExemplo

Portanto, a classe mediana é a

terceira. Assim i = 3. A mediana será

obtida através da seguinte expressão:

meses 2808

420 270

20702 f

hli mi

Neste caso é preciso inicialmente

apontar a classe modal, i. é, a de maior

freqüência. Neste exemplo é a

primeira com fi = 12. Assim i = 1.

A Moda A Moda

Classe Classe modal, pois modal, pois

ffii = 12. = 12.

—7654321i

50∑∑∑∑

3350 |--- 3705330 |--- 3506310 |--- 3307290 |--- 3108270 |--- 2909250 |--- 27012230 |--- 250fixi

ExemploExemplo

Portanto a moda poderá ser

obtida através de uma das

seguintes expressões:

Critério de King:

meses 250 9

9.20023

9.20302

fhli m

Critério de Czuber:

meses 246 16230

12.20023

)90(12.2

012.20302

)ff(f.2

ffhli m

h = xmáx - xmín

h = 370 - 230 = 140 meses

A Amplitude A Amplitude

Neste caso, o dma será dado por:

|xx|.f

f...ff

|xx|f...|xx|f|xx|fdma

k21 k21

−∑=

−++−+−=

O Desvio MO Desvio Méédio Absoluto dio Absoluto

360340

320300

280260

1621,603.|360 – 285,20| = 224,405.|340 – 285,20| = 274,00

6.|320 – 285,20| = 208,807.|300 – 285,20| = 103,60

8.|280 – 285,20| = 41,609.|260 – 285,20| = 226,80

12.|240 – 285,20| = 542,40

fi.|xi - |

ExemploExemplo

O dma será, então:

meses 32,43

5060,1621

n|xx|.f dma ii

==−∑

)xx(f....)xx(f)xx(fs

−∑

=∑ −

=−++−+−

Neste caso, a variância será:

A Variância A Variância

340320

300280

260240

4 138 0003.3602 = 388800

5.3402 = 5780006.3202 = 614400

7.3002 = 6300008.2802 = 627200

9.2462 = 60840012.2402 = 691200

fi.xi2

ExemploExemplo

A variância será, então:

meses 420,961

20,28550

4138000

=−∑

O desvio padrão será dado por:

meses 37,70 37,6956

96,1420xn

xfs 22ii

==−∑

O Desvio Padrão O Desvio Padrão

Dividindo a média pelo desvio

padrão, tem-se o coeficiente de

variação:

%22,1320,285

695623,37g ==

O Coeficiente de VariaO Coeficiente de Variaçção ão

Skewness

Primeiro Coeficiente ( de Pearson)Primeiro Coeficiente ( de Pearson)

a1 = (Média - Moda) / Desvio Padrão

Segundo Coeficiente ( de Pearson)Segundo Coeficiente ( de Pearson)

a2 = 3.(Média - Mediana) / Desvio Padrão

Coeficiente QuartCoeficiente Quartíílicolico

CQA =[(Q3 - Q2) - (Q2 - Q1)]/(Q3 - Q1)

Coeficiente do MomentoCoeficiente do Momento

a3 = m3/s3, onde m3 = Σ(X - )3/nx

Coeficiente = 0Conjunto Simétrico

Provão 2000Curso: Odonto

Coeficiente < 0Conjunto: Negativamente Assimétrico

Provão 2000Curso: Jornalismo

Coeficiente > 0Conjunto: Positivamente Assimétrico

Provão 2000Curso: Eng. Elétrica

(Kurtosis)

Coeficiente de Curtose (momentos)Coeficiente de Curtose (momentos)

xa4 = m4/s4, onde m4 = Σ(X - )4/n

Coeficiente = 3 ou 0Conjunto: Mesocúrtico

Provão 2000Curso: Odonto

Coeficiente > 3 ou (> 0)Conjunto: Leptocúrtico

Provão 2000

Curso: Matemática

Coeficiente < 3 ou (< 0)

Conjunto: Platicúrtico

Provão 1999Curso: Eng. Civil

Então:

Se y = y = axax +b+b

b+xa=y

sa=s 2x

s|a| =s xy

PosiPosiçções Relativasões Relativas

A média e o desvio padrão são as duas

principais medidas utilizadas para descrever

um conjunto de dados. Elas, também,

podem ser utilizadas para comparações, isto

é, para fornecer a posição relativa de um

valor em relação ao conjunto como um todo.

O escore “z”

Seja (x1, x2, ..., xn) uma amostra de “n”

observações. Sejam e “s” a média e o

desvio padrão da amostra. Então o escore zi

é o valor que fornece a posição relativa de

cada xi da amostra, tendo como ponto de

referência a média e como medida de

afastamento o desvio padrão.

O escore “z”

x-xz i

O escore z fornece o número de

desvios padrão que cada valor está acima

ou abaixo da média. O escore –1,5,

significa que este valor está um desvio e

meio abaixo da média.

O escore Z é também uma variável,

que é obtida pela transformação da amostra

original. Ela apresenta média igual a zero e

desvio padrão igual a um.

ExemploExemplo

Considere o seguinte amostra:

35 404835444541383936

4347393640374036

3837434146423845

4041394142433942

4439373837413640

34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48

37,0-Curtose

33,0Assimetria

Calcular os escores “zz” para cada valor

da amostra. Representar os valores da

amostras e os escores em diagramas para

verificar se houve alteração no formato da

distribuição dos dados.

SoluSoluçção: ão: A média e o desvio padrão da amostra são:

40 e 3,2619. Então os escores padronizados serão:

0,3066 0,9197 -0,9197 -0,6131 -0,6131

-1,2263 -0,3066 -0,6131 0,3066 1,5328

1,2263 -1,5328 2,4526 -1,5328 0,0000

0,0000 0,0000 -1,2263 0,3066 -0,9197

-0,6131 -0,9197 -0,3066 -0,3066 1,2263

0,6131 0,6131 -0,3066 0,9197 0,6131

0,3066 -0,3066 0,3066 -1,5328 0,0000

1,2263 -1,2263 0,0000 -0,9197 0,0000

-1,2263 -0,3066 2,1460 0,0000 0,9197

-1,8394 1,5328 -0,6131 0,6131 1,8394

-1,84 -1,23 -0,61 0,00 0,61 1,23 1,84 2,45

31,0-Curtose

37,0Assimetria

Propriedades

A média do escore padronizado é zero;

O desvio padrão do escore padronizado

é um.

A forma da distribuição do escore

padronizado é a mesma dos dados

originais.

EscalasEscalas

O escore Z não é utilizado

normalmente da forma como é calculado. É

comum a utilização de uma escala linear de

transformação. As duas mais utilizadas são:

EscalasEscalas

A escala T que é obtida através da

seguinte transformação

T = 10.Z + 50T = 10.Z + 50

A escala “A” que é utilizada nos

vestibulares é obtida por:

A = 100.Z + 500

Teorema de Teorema de ChebyshevChebyshev

O teorema de Chebyshev permite

verificar qual é o percentual mínimo de

valores de um conjunto de dados que deve

estar um “certo número” de desvios em

torno da média.

Em qualquer conjunto de dados com

desvio padrão “s”, pelo menos

(1 – 1/z2) dos valores do conjunto devem

estar entre “z” desvios em torno da média,

onde “z” é um valor tal que z > 1.

Exemplos:Exemplos:

Assim pelo menos:

75% dos valores estão dentro de z = 2desvios a partir da média;

89% dos valores estão dentro de z = 3

desvios a contar da média;

94% dos valores estão dentro de z = 4

desvios a contar da média.

1 - 1/4 = 75%.

S2<X-X

Graficamente

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