potência

Instituto Politcnico de Leiria

Escola Superior de Tecnologia e Gesto Departamento de Eng. Electrotcnica

Disciplina de Sistemas de Telecomunicaes (I)

Folha Terico-Prtica n 0 Fundamentos Matemticos para Telecomunicaes

Dep. Engenharia Electrotcnica, Fevereiro de 2007 Docentes: Doutor Rafael F. S. Caldeirinha Pgina 1 de 10

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Contedo Programtico

Fundamentos Matemticos para Telecomunicaes

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1. O DECIBEL E AS SUAS APLICAES

NOO DE DECIBEL

O decibel d-nos a razo entre duas grandezas, numa escala no linear, sejam elas

tenso (V), corrente (A) ou potncia (W). Considere o seguinte sistema:

A entrada e/ou a sada pode ser caracterizada por um determinado nvel de sinal, que

pode ser medido em Volt, Ampere ou Watt.

Se o nvel sada for superior ao nvel entrada diz-se que o sistema apresenta

ganho. Caso contrrio, diz-se que o sistema tem ou causa atenuao.

SISTEMA GENRICO

atenuador / amplificador / misturador / antena /

linha de transmisso / comutador / ...

ENTRADA DE SINAL

SADA DE SINAL

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DECIBEL NO DOMNIO DA POTNCIA Considere agora que no mesmo sistema (figura em baixo) quando uma certa potncia P1 injectada na entrada, a sada apresenta uma potncia P2.

Conforme foi referido, o sistema apresenta ganho (G) se P2 > P1 e atenuao (A) caso

contrrio.

GdB = 10*log ( 21

PP

)

AdB = 10*log ( 21

PP

)

Tanto o ganho (G) como a atenuao (A) calculam-se da mesma forma e existe uma

relao entre eles.

Ganho = -Atenuao

Apresentam-se de seguida vrios exemplos de 21

PP

e os correspondentes decibel:

Base 10 Logaritmo Decibel

100 = 1 log = 0 10 log(1) = 0dB

101 = 10 log = 1 10 log(10) = 10dB

102 = 100 log = 2 10 log(100) = 20dB

103 = 1000 log = 3 10 log(1000) = 30dB

104 = 10000 log = 4 10 log(10 000) = 40dB . . .

10-1 = 0.1 log = -1 10 log(0,1) = -10dB

10-2 = 0.01 log = -2 10 log(0,01) = -20dB

10-3 = 0.001 log = -3 10 log(0.001) = -30dB

10-4 = 0.0001 log = -4 10 log(0,0001) = -40dB

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Exemplo:

Visto que a sada o dobro da entrada o sistema tem ganho igual a:

10*log ( 4mW2mW

) = 10*log (2) = +3,01dB +3dB

Se a sada o dobro da entrada, ento o ganho de +3dB (100%)

Se a sada metade da entrada (50%), ento o ganho de -3dB, ou seja, h uma

atenuao de +3dB!

Utilizando as ltimas consideraes, pode-se facilmente efectuar os clculos em decibel

e, visto que, a associao em srie de sistemas resulta numa operao linear, um sistema

pode ser decomposto como se exemplifica na figura seguinte:

Se na entrada se encontram 6mW, ento tem-se sada do:

1 Sistema: 2*6mW = 12mW

2 Sistema: 2*12mW = 24mW

3 Sistema: 2*24mW = 48mW

Ou seja, multiplica-se a entrada por 23 = 8 (8*6mW = 48mW)

Concluindo:

+3dB um multiplicador de duas vezes

+6dB um multiplicador de quatro vezes

+9dB um multiplicador de oito vezes

Para outros valores que no sejam mltiplos de 3, pode-se utilizar a tcnica que se

encontra na figura para aproveitar outros resultados conhecidos:

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O dBm e o dBW

Os valores em dBm e dBW so valores reais, isto , so a razo entre o valor que se quer

caracterizar e uma unidade definida, respectivamente 1 miliWatt e 1 Watt.

Seja p1 a representao da potncia em unidades lineares e P1 a mesma potncia em

dBm ou dBW, define-se o seguinte:

Valor de p1 em dBm: P1=10*log 1p

1mW [dBm]

Valor de p1 em dBW: P1=10*log 1p

1W [dBW]

Usando as ltimas definies chega-se s seguintes relaes entre ambas:

[ ] [ ] ( )m W -31 11 1dB dB-3p p 1P =10 log =10 log P -10 log 1 101mW 1W 1 10 =

[ ] [ ] [ ] [ ]m mW W1 1 1 1dB dBdB dBP =P +30dB P =P - 30dB

Exemplifica-se o clculo de dBW e dBm:

p1=1mW P1=0 dBm (por definio) p1=1W P1=0 dBW (por definio) P1= +30dBm1= 0dBW p1=1W P1= -30dBW = 0dBm p1=1mW

De seguida, demonstra-se uma propriedade til ao utilizar o dBm e o dBW, pois torna-se

possvel trabalhar apenas em decibel, ou seja, as multiplicaes passam a ser somas e as

divises passam a ser diferenas.

[ ]dB 00ii

PPp pG

Em unidades lineares, tendo em conta que g o ganho do sistema em unidades lineares,

a potncia na sada dada por:

0 ip p g= Calculando o valor da potncia na sada em dBm:

( )00 10 log 10 log 10 log 10 log 10 log1mW 1mW 1mW 1mWi i ip p g p pP g g = = = = +

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Agora basta aplicar a definio de dBm e dB, usando G como o valor do ganho em dB,

para se determinar o valor de 0P em dBm.

[ ] [ ]m m0 dB dBiP P G= + Aplicando o mesmo raciocnio para dBW, chega-se seguinte relao:

[ ] [ ]W W0 dB dBiP P G= +

Praticam-se as propriedades referidas nos exemplos que se seguem:

Tem de se transformar a potncia da entrada em dBm. Para isso note-se:

2mW +3dBm 4mW +6dBm 8mW +9dBm. Posto isto, na sada obtm-se:

Psada=9dBm+23dB=32dBm

Neste exemplo realiza-se o exerccio de forma invertida:

Porque o sistema tem atenuao, a entrada ser maior que a sada. Sabendo que:

PSada=10mW = 10dBm = PEntrada+G

Logo, entrada temos:

PEntrada = PSada (-17dB) = PSada + 17dB PEntrada = 27dBm Para calcular a potncia em unidades lineares vai-se efectuar o seguinte raciocnio:

Se uma Potncia de 30dBm equivale a 1W, ento, como 27dBm = 30dBm 3dB implica que

a potncia em unidades lineares 0,5W (-3dB corresponde a 50% do valor).

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DECIBEL NO DOMNIO DA TENSO E DA CORRENTE

Seja p1 e p2 a representao da potncia em unidades lineares na entrada e sada de um

sistema e G o ganho dB, define-se:

Valor do ganho (G) em dB via Corrente:

[ ]22

1 1 1 12

2 2 2 2

p I R I IG=10 log 10 log 10 log G 20 log dBp I R I I

= = =

Valor do ganho (G) em dB via Tenso

[ ]2

1 2

1 1 1222 2 2

Vp V VRG=10 log 10 log 10 log G 20 log dB

Vp V VR

= = =

O dBV e o dBV

Os valores em dBV e dBV so valores reais, isto , so a razo entre o valor que se quer

caracterizar e uma unidade definida, respectivamente 1 Volt e 1 Volt.

Seja v1 a representao de uma tenso em unidades lineares e V1 a mesma tenso em

dBV ou dBV, define-se o seguinte:

Valor de v1 em dBV: V1=10*log 1v

1V [dBV]

Valor de v1 em dBV: V1=10*log 1v

1V [dBV]

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O dBA e o dBA Os valores em dBA e dBA so valores reais, isto , so a razo entre o valor que se quer

caracterizar e uma unidade definida, respectivamente 1 Ampere e 1 Ampere.

Seja i1 a representao de uma tenso em unidades lineares e I1 a mesma tenso em dBA

ou dBA, define-se o seguinte:

Valor de i1 em dBA: I1=10*log 1i

1A [dBA]

Valor de i1 em dBA: I1=10*log 1i

1A [dBA]

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2. Exerccios

Exerccio. 1. Calcule as seguintes potncias em dBm e dBW:

p=1W

p=2W

p=0.5W

p=4W

p=0.25W

p=10W

p=20W

p=100W

p=0.1W

p=0.05W

p=0.01W

Exerccio. 2. Calcule a potncia de sada do seguinte sistema em unidades lineares.

Exerccio. 3. Calcule a potncia de entrada do seguinte sistema em W, mW, dBm e dBW

0i 100mW23dBp pG = =

Exerccio. 4. Calcule o ganho(g)/atenuao(a) em unidades lineares e em dB do seguinte sistema

0i 10,1mW 20mWp pSistema= =

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Exerccio. 5. Prove que os dois sistemas seguintes so equivalentes.

0 0i i10dB 3dB 13dBp p p pG G G = = =

Exerccio. 6. Considere o seguinte sistema. Calcule a potncia de entrada que d origem a 40mW na sada.

Exerccio. 7. Calcule a potncia de sada deste sistema.

Exerccio. 8. Calcule a potncia da entrada do seguinte sistema.

Exerccio. 9. Calcule a potncia da entrada do seguinte sistema.

Exerccio. 10. Considere os seguintes valores de potncias de um sinal: 50W, 1mW e 100mW. Calcule essas potncias em dBm e dBW e exprima em dBV e dBV a tenso que essas potncias produzem numa resistncia de 600 e 50.

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Exerccio. 11. Tendo em conta que a definio de dBR no ponto de referncia (Y) relativo ao ponto X a seguinte:

YR

X

PdB 10logP

=

Considere a figura que segue na qual constam 3 pontos do sistema (A, B, C) para alm do ponto de referncia (ref) ao qual se calculam os dBR:

R R R2dB 10dB 4dBBA Cref

Determine:

a) A potncia de sinal medido no ponto B, admitindo que no ponto de referncia se injecta uma potncia de 1mW

b) O valor do Ganho que o sinal sofre quando se propaga de A para C.