poliedros jneto

INTRODUÇÃO AOS SÓLIDOS GEOMÉTRICOS

Prof. Joaquim Neto

2º científico

MASP, Museu de arte de São Paulo. Obra da arquiteta Lina Bo Bard, em 1968.

Pirâmide de vidro no Museu do Louvre, em Paris, França, construída em 1988.

Catedral Nacional em Brasília. Obra do arquiteto Oscar Niemeyer, em 1960.

World Trade Center ( Torres gêmeas). Foto:março de 2001. Nova Iorque

Geometria Espacial

Poliedros

Sólidos geométricos

• Quando examinamos as formas tridimensionais idealizadas pela geometria, estamos observando SÓLIDOS GEOMÉTRICOS

• POLIEDROS: são sólidos geométricos cujas superfícies são formadas apenas por polígonos planos (triângulos, quadriláteros, pentágonos, etc.). A palavra poliedro vem do grego antigo, em que poli significa vários, e edros, face. Veja alguns exemplos:

Exemplos de sólidos geométricos:

CUBO

PRISMA HEXAGONAL

PIRÂMIDE TRIANGULAR

PARALELEPÍPEDO

Elementos de um poliedro

Exemplos:

6 faces8 vértices

12 arestas

Sólidos PlatónicosSão apenas cinco os poliedros regulares convexos ("Platônicos")

Tetraedro Hexaedro Octaedro Dodecaedro Icosaedro

Vértices 4 8 6 20 12

Arestas 6 12 12 30 30

Faces 4 6 8 12 20

Forma

Da FaceTriângulo Quadrado Triângulo Pentágono Triângulo

Vídeo Animações

Vejamos os nomes de alguns poliedros:

Poliedro convexo e poliedro não convexo(ou côncavo)

convexo

côncavo

EXEMPLOS:

Relação de Euler

V + F – 2 = A

V: vérticeF: faceA: aresta

Planificação da superfície do poliedroTETRAEDRO

HEXAEDRO

OCTAEDRO E SUA PLANIFICAÇÃO

DODECAEDRO

ICOSAEDRO

Exemplos 1

Um poliedro convexo tem 20 arestas e 12 faces. Quantos vértices tem esse poliedro?

V + F - 2 = A

V + 12 - 2 = 20

V = 20 – 10

V = 10

Exemplo 2Determinar o número de vértices de um poliedro convexo que

tem 2 faces quadrangulares e 8 faces triangulares.

• Temos 10 faces• 2 faces quadrangulares tem 2 . 4 = 8 arestas• 8 faces triangulares tem 8 . 3 = 24 arestas• Sendo em cada face temos arestas em comum então 24 + 8 =

32 / 2 = 16 arestas

V + F – 2 = AV + 10 - 2 = 16

V = 16 - 8V = 8

Exercícios 1- Determine o número de vértices de um poliedro convexo de 12

faces e 30 arestas.

2 – Se um poliedro convexo possui 20 faces e 12 vértices, então o número de arestas desse poliedro é:

a) 12 b) 18 c) 28 d) 30 e) 32

3 – Determine o numero de faces de um poliedro convexo de 12 vértices, cujo numero de arestas é o dobro do numero de faces.

4 – Determine o número de vértices e arestas de um poliedro convexo de 9 faces, das quais 4 são triangulares e 5 são quadrangulares.

5 – Determine o numero de vírtices de um poliedro convexo formado por 92 faces, sendo 12 faces pentagonais e 80 faces triangulares.