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TAREFA 2

Questao 1 (2,5 pontos)

A torcida de um time de futebol tem hoje p0 membros. A taxa anual de natalidade e i, a mortalidadee j e, alem disso, todo ano um numero fixo de R torcedores desiste de vez. Se i > j, determine ummodelo matematico que permita determinar o numero de torcedores daqui a n anos. A torcida estacondenada a extincao?

Rpta. pn =(p0 − R

i−j

)(1 + i− j)n + R

i−j . Para R > p0(i− j) a torcida se extingue.

Questao 2 (2,5 pontos)

Um casal de coelhos recem-nascidos foi posto num lugar cercado. Estabeleca uma modelagem ma-tematica para determinar quantos casais de coelhos ter-se-ao apos um ano, supondo que, a cada mes,um casal de coelhos produz outro casal e que um casal comeca a procriar dois meses apos o seu nasci-mento.Rpta. O modelo e dado pela equacao de diferencas

xn = xn−1 + xn−2; x1 = x2 = 1,

onde xn representa o numero de coelhos existentes no mes n. x12 = 144.

Questao 3 (2,5 pontos)

Em um jogo, em cada etapa Ronaldo, pode fazer 1 ou 2 pontos. De quantos modos ele pode totalizarn pontos?

Rpta. xn = 1√5

(1+√5

2

)n+1− 1√

5

(1−√5

2

)n+1, onde xn e o modo de obter 2 ou 1 pontos no primiero jogo.

Questao 4 (2,5 pontos)

Uma planta e tal que cada uma de suas sementes produz, um ano apos ter sido plantada, 21 novassementes e, a partir daı, 44 novas sementes a cada ano. Se plantarmos hoje uma semente e se, toda vezque uma semente for produzida ela for imediatamente plantada, estabeleca uma modelagem matematicapara saber quantas sementes serao produzidas daqui a n anos?

Rpta. O modelo matematico e dado por uma equacao de diferencias na variavel xn, onde xn denota onumero de sementes geradas no ano n. Resolvendo a equacao obtemos xn = 11

1223n + 1

12(−1)n.

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