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Aulas de Física para o Ensino Médio Página 1
Ondulatória
Assunto: Movimento Harmônico Simples
Aula 04 – Eq. de Torricelli para o MHS, período do oscilador massa-mola e pêndulo simples.
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Equação de Torricelli para o MHS Quando estudamos a cinemática, vimos que as equações das posições, velocidade e aceleração dependiam do tempo. Aí surgiu a equação de Torricelli que nos dava a velocidade em função da posição ou deslocamento da partícula. Aqui no MHS, teremos algo parecido. Até agora a elongação, a velocidade e a aceleração, no MHS, são funções do tempo. A equação de Torricelli para o MHS nos dará a velocidade em função da elongação e não do tempo.
Exercício de aprendizagem:
1) Uma partícula executa um movimento harmônico simples de amplitude 25 cm e frequência 4 Hz. Adote π2 = 10 e determine: a) a pulsação do movimento; b) a velocidade escalar da partícula, ao passar em movimento retrógrado pelo ponto de elongação 12 cm. a) Determine para os dois móveis a amplitude, o período, a pulsação e a fase inicial.
b) Escreva as equações horárias da elongação, da velocidade escalar e da aceleração escalar.
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Resposta:Resposta:Resposta:Resposta: ωωωω = 8ππππ rad/s b) v = 5,5 m/s
Período de um oscilador massa-mola Vamos agora determinar o período do movimento de um corpo de massa m preso uma mola. Como já vimos em lições anteriores, uma mola quando esticada ou comprimida irá fazer uma força que é dada por:
Mas pela 2ª lei de Newton, temos que F = m . a , sendo assim teremos:
Mas já vimos também na aula 02 de MHS que a aceleração no oscilador harmônico pode ser dada por:
Então substituindo 2 em 1 teremos:
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O período de um oscilador harmônico massa-mola, independe se o corpo está na horizontal ou vertical.
Observações:
• Observe que o período só dependerá da massa e da constante elástica da mola. • Observe também que o período não dependerá da amplitude do movimento. • Quanto maior a massa, maior será o período (mais lento o movimento). • Quanto maior a constante elástica menor será o período (mais rápido o movimento).
Exercício de aprendizagem:
2) Determine o período de oscilação de um corpo de massa 40 g preso a uma mola de constante elástica 400 N/m, cujo MHS tem amplitude 40 cm. Caso a amplitude se reduza à metade o que ocorrerá com o período? (Adote π = 3)
Resposta: T = 0,06 s ; a amplitude não influenciará no resultado do período. Portanto o período será o mesmo.
Associação de molas Às vezes um corpo pode executar um MHS associado a duas (ou mais) molas. Sendo k1 e k2, as constantes elásticas das molas, estas podem estar associadas em série ou em paralelo.
Associação em série:
Na associação em série, uma mola está ligada diretamente na outra.
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Associação em paralelo:
Na associação em paralelo as molas estão ligadas ao mesmo corpo, mas não ligadas uma na outra.
Exercício de aprendizagem:
3) Sabe-se que as molas da figura têm constante elástica k1 = 50 N/m e k2 = 30 N/m, respectivamente. O corpo tem massa 5 kg. Determine: a) a constante elástica da mola equivalente ao sistema; b) o período de oscilação realizada pelo sistema; c) a força necessária para deslocar o corpo 10 cm para a direita, a partir do ponto de equilíbrio.
Resposta: a) kEQ = 80 N/m b) T = (ππππ/2) s c) F = 8 N
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Pêndulo simples Dispositivo constituído de uma partícula pesada, suspensa por um fio ideal de comprimento L.
Num determinado local, desprezadas as forças dissipativas, como a resistência do ar, o corpo pendular, quando devidamente movimentado, oscila simetricamente em torno da posição 0 de equilíbrio. Esse movimento é periódico e par pequenos ângulos θ (≅ 5º) com a vertical, denominado amplitude do pêndulo, o período de oscilação poderá ser expresso por:
Exercício de aprendizagem:
4) Numa região em que g = 10 m/s2 , um pêndulo simples de comprimento L = 3,6 m é colocado a oscilar com pequena amplitude entre as posições extremas A e B, como mostra a figura. a) Calcule o período e a frequência do movimento. b) Qual o menor tempo gasto pelo pêndulo para ir da posição A à posição B? c) Sendo O, a posição de equilíbrio, qual o menor tempo gasto pelo pêndulo para ir da posição A à posição O?
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Resposta: a) T = 1,2 ππππ s f = 0,26 Hz b) ≅≅≅≅ 1,9 s c) ≅≅≅≅ 0,9 s
Período de um pêndulo (demonstração)
Um pêndulo simples, quando posto a oscilar em movimento circular e uniforme num plano horizontal, constitui um pêndulo cônico, estudado na aula 06 de dinâmica.
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Agora vamos trabalhar com o primeiro cone:
Para pequenos ângulos (θθθθ ≤≤≤≤ 5º), cos 5º), cos 5º), cos 5º), cos θθθθ = 1= 1= 1= 1
Exercícios de Fixação:
1) Um móvel executa um MHS cuja amplitude é 5 cm e o período é 2s. Determine a velocidade e a aceleração do móvel no instante em que sua elongação é x = 4 cm.
2) Um ponto material realiza um MHS, tal que sua velocidade máxima é 10 m/s e sua aceleração máxima é 40 m/s2. Determine:
a) a amplitude;
b) a frequência do movimento.
3) Um bloco de massa 4Kg encontra-se em repouso apoiado num plano horizontal sem atrito, preso a uma mola ideal de constante elástica 400N/m (figura a). Afastando o bloco 0,5m de sua posição inicial e abandonando-o, ele oscila em movimento harmônico simples (figura b).
Determine:
a) o período do movimento do bloco.
b) a energia mecânica do sistema massa-mola.
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4) Um bloco suspenso por uma mola oscila verticalmente sob a ação da gravidade terrestre. Se esse sistema for transportado para a superfície da Lua, onde o módulo do campo gravitacional é cerca de 1/6 do terrestre o que ocorrerá com o período das oscilações verticais desse sistema?
5) (UFCE) O período de oscilação de M na situação (P) é Tp e na situação (S) é Ts. Determine Ts/Tp.
m
6) As constantes elásticas das molas 1 e 2 ligadas conforme a figura valem, respectivamente, 20 N/m e 80 N/m. A massa do corpo suspenso na extremidade da mola 2 vale 1Kg. Calcule:
a) a constante ao sistema da mola equivalente ao sistema;
b) o período das oscilações realizadas pelo sistema;
c) o alongamento total do sistema devido ao peso do corpo. Admita g = 10 m/s2.
7) (UFMG) Numa região onde a aceleração da gravidade é g, o período t de um pêndulo simples de comprimento L é dado por T = 2π (L/g)1/2. Um pêndulo simples, cuja massa é igual a 200g, gasta 1,5 s para se deslocar de um extremo ao outro de sua trajetória. Mantendo-se inalteradas as demais condições, aumenta-se a massa do pêndulo para 400g. Qual o tempo que esse pêndulo gastará para ir de um extremo ao outro de sua trajetória?
8) (Unb DF) Dois sistemas (massa-mola e pêndulo simples) oscilam em movimento harmônico simples com a mesma frequência. O pêndulo move-se num plano vertical com pequena amplitude angular e o sistema massa-mola tem movimento horizontal sobre uma superfície sem atrito. É correto afirmar que:
a)
b)
c)
d) ambos os sistemas oscilam necessariamente com a mesma amplitude;
e) na próxima amplitude, ambos os sistemas têm, necessariamente, mesma energia potencial.
9) (Fuvest SP) Na Terra, certo pêndulo simples executa oscilações com período de 1s.
a) Qual o período desse pêndulo se posto a oscilar na Lua, onde a aceleração da gravidade é 6 vezes menor?
b) O que aconteceria com o período desse pêndulo à medida que fosse sendo removido para uma região livre de ações gravitacionais?
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10) Observe os pêndulos representados no esquema ao lado:
Podemos afirmar que:
a) Os períodos de oscilação de B e C são iguais. b) A é o que oscila mais vagarosamente. c) Os períodos de oscilação de B e D são iguais. d) O período de oscilação de D é o dobro do de C. e) O período de oscilação de A é a metade do de D.
Gabarito: 1) v = ± 3ππππ cm/s e a = - 4ππππ cm/s2 2) a) A = 2,5 m b) f = (2/ππππ) Hz 3) a) T = 0,2 ππππ s b) EM = 50 J 4) o mesmo 5) 2 6) a) 16N/m b) T = ππππ/2 s c) 62,5cm 7) T = 1,5 s (não depende da massa) 8) C 9) a) √√√√6 s ou ≅≅≅≅ 2,4 s b) o período vai aumentando até chegar um momento em que o movimento passará a ser uniforme, quando a gravidade tender a zero. 10) C
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