modelagem matematica de sistemas dinamicos
Post on 24-Oct-2014
119 Views
Preview:
TRANSCRIPT
1
CONTROLE LINEARCONTROLE LINEAR
Março / 2006
Modelagem Matemática de Sistemas Dinâmicos
Prof. Dr. Paulo Sérgio da Silvapss@feb.unesp.br
Março / 2006 Modelagem Matemática de Sistemas Dinâmicos
Sumário
• Introdução• Métodos de Determinação de Modelos Matemáticos• Método Analítico de Obtenção de Modelos Matemáticos• Modelagem Analítica de Sistemas Dinâmicos• Linearização de Modelos• Representação de Modelos no Espaço de Estado
2
Março / 2006 Modelagem Matemática de Sistemas Dinâmicos
Introdução
• O objetivo da modelagem é determinar uma representação matematicamente tratável para um sistema físico.
• A essa representação damos o nome de modelo.• Portanto, um modelo é uma idealização da realidade que
retém suas principais característica e que ématematicamente tratável.
• A modelagem é uma etapa importante no projeto de sistemas de controle, posto que o êxito dessa tarefa dependerá do modelo criado para o sistema em questão.
• A modelagem matemática de um sistema dinâmico éconstituída por um conjunto de equações diferenciaisque representam a dinâmica do sistema com precisão ou, pelo menos, de uma forma aceitável.
Março / 2006 Modelagem Matemática de Sistemas Dinâmicos
Métodos para Determinação de Modelos Matemáticos
• Existem dois métodos básicos de modelagem:
1) Modelagem Teórica (ou Analítica)Utiliza os princípios da física e da química para obter as equações diferenciais que regem o processo a ser modelado.
2) Modelagem Experimental (ou Empírica)Usa a observação direta dos dados operacionais do processo para obter as equações diferenciais que o descrevem.Geralmente, aplica-se uma sinal de entrada conhecido e mede-se a saída correspondente.
3
Março / 2006 Modelagem Matemática de Sistemas Dinâmicos
Modelagem Analítica de Sistemas DinâmicosObtenção de Modelos Matemáticos de Sistemas• Um modelo matemático analítico de um sistema dinâmico
é gerado em duas etapas:1. Especificar o sistema e imaginar um modelo físico cujo
comportamento se ajuste suficientemente bem ao comportamento do sistema real.Neste estágio, as simplificações são assumidas e as variáveis de entrada e saída escolhidas.
2. Derivar um modelo matemático para representar o modelo físico, isto é, escrever as equações dinâmicas do modelo físico.Para tanto, as leis físicas e/ou químicas apropriadas são aplicadas para gerar um conjunto de equações diferenciais ordinárias nas variáveis de entrada e de saída.
• Com o modelo matemático obtido analiticamente, pode-se estudar o comportamento dinâmico do sistema, através da solução das equações diferenciais que o descrevem e projetar estratégias de controle para obter-se o comportamento desejado.
Março / 2006 Modelagem Matemática de Sistemas Dinâmicos
Modelagem Analítica de Sistemas DinâmicosModelo Físico: do Sistema Real ao Modelo Físico• Um modelo físico representa um sistema físico imaginário
que se assemelha ao sistema físico real em suas características mais importantes, mas que é mais simples (uma idealização) e, portanto, mais propício ao estudo.
• A habilidade para simplificar a ponto de não invalidar o modelo é o ponto crucial em sua elaboração.
• Os seguintes tipos de aproximação são possíveis:– Desprezar pequenos efeitos;– Assumir que o ambiente em torno do sistema não seja afetado por
ele;– Substituir características distribuídas por concentradas;– Assumir relações lineares de causa-e-efeito entre as variáveis
físicas;– Assumir que os parâmetros físicos não variem com o tempo;– Desprezar incertezas e ruídos.
4
Março / 2006 Modelagem Matemática de Sistemas Dinâmicos
Modelagem Analítica de Sistemas DinâmicosEquações Dinâmicas: do Modelo Físico ao Modelo Matemático
• Para obter as equações dinâmicas de um processo, os seguintes passos devem ser seguidos:
1. Definição das variáveis de entrada e de saída;2. Escrever as relações sistêmica (relações de equilíbrio
ou de compatibilidade inter-elementos);3. Escrever as relações constitutivas para cada
elemento (são puramente empíricas) ; e4. Combinar as relações obtidas, obtendo as equações
dinâmicas.
Março / 2006 Modelagem Matemática de Sistemas Dinâmicos
Modelagem Analítica de Sistemas DinâmicosSistemas de Nível de Líquido• Sistemas de nível de líquido são aqueles que envolvem o
fluxo de fluidos e o seu armazenamento em tanques.• Um exemplo típico desse tipo de sistema é uma caixa
d’água com vazão de entrada e vazão de saída, sendo esse último regulado por uma válvula (Sistema Real).
Modelamento Físico• Pode-se imaginar para o sistema físico real o modelo físico
mostrado abaixo:
eQaP
sQH
R aPmP
eT ρe
mTm
Área do tanque = A
ρm
sTρs
5
Março / 2006 Modelagem Matemática de Sistemas Dinâmicos
Modelagem Analítica de Sistemas DinâmicosSistemas de Nível de Líquido
Obtenção das Equações DinâmicasVariáveis utilizadas: Vazão, Q(t) e
Nível, H(t).
Equação de Sistema - balanço de massa:
mm AHρ=
m e e s sdm dHA Q Qdt dt
ρ ρ ρ⇒ = = −
Vamos assumir as seguintes:– A massa específica da água é constante, isto é, ρm = ρe = ρs ;– As dilatações térmicas do tanque são desprezível, portanto, sua
área é constante.
Então:e sQ QdH
dt A−
=
Março / 2006 Modelagem Matemática de Sistemas Dinâmicos
Modelagem Analítica de Sistemas DinâmicosSistemas de Nível de Líquido
Equação Constitutiva - vazão por uma válvula como função da perda de pressão:
( )Para escoamento laminar: s v v m aQ C P C P P= ∆ = −
Para escoamento turbulento: s v v m aQ C P C P P= ∆ = −
Porém, sabendo que:
Para escoamento laminar: s vQ C g Hρ=
Para escoamento turbulento: s vQ C g Hρ=
vem:
m aP P g Hρ= +
Onde o parâmetro Cv é uma característica da válvula
6
Março / 2006 Modelagem Matemática de Sistemas Dinâmicos
Modelagem Analítica de Sistemas DinâmicosSistemas de Nível de Líquido
Equação Dinâmica - introduzindo a equação constitutiva na equação de sistema, temos:
Para escoamento laminar: e vQ C g HdHdt A
ρ−=
Para escoamento turbulento: e vQ C g HdHdt A
ρ−=
A análise da equação dinâmica revela os seguintes fatos:– Parâmetro do sistema: Cv, ρ, g e A;– Variáveis externas a serem fornecida em função do tempo para que
a equação tenha solução: Qe(t);– Incógnita: H(t);– Condição inicial: H(0); e– Caso se tome dH(t)/dt = 0, tem-se o modelo estacionário.
Março / 2006 Modelagem Matemática de Sistemas Dinâmicos
Modelagem Analítica de Sistemas DinâmicosSistemas Térmicos• Sistemas térmicos são aqueles que envolvem troca de
calor entre dois corpos.• Um exemplo típico desse tipo de sistema é uma tanque
para aquecimento de uma dada substância (Sistema Real).
Modelamento Físico• Pode-se imaginar para o sistema físico real o modelo físico
mostrado abaixo:
eq (t)
eT
sTmsT
Aquecedor
Misturador
sq (t)dm
Substância Fria
SubstânciaQuente
7
Março / 2006 Modelagem Matemática de Sistemas Dinâmicos
Modelagem Analítica de Sistemas DinâmicosSistemas Térmicos
Obtenção das Equações Dinâmicas• Hipóteses:
– O tanque é termicamente isolado;– Não há armazenamento de calor no isolamento;– O líquido no tanque está perfeitamente misturado, isto é, a
temperatura é uniforme e igual a temperatura de saída.• Variáveis utilizadas:
– Temperatura: T(t) [°C]– Quantidade de calor armazenado em um corpo: Q(t) [kcal]– Fluxo de calor: q(t) [kcal/s]
• Relações de Sistema:– Quando dois corpos de temperaturas diferentes são postos em
contato, fluirá calor do mais quente para o mais frio, até que as temperaturas do dois se igualem.
( )2 1( ) ( )( )
T t T tq t
R−
=
Março / 2006 Modelagem Matemática de Sistemas Dinâmicos
Modelagem Analítica de Sistemas DinâmicosSistemas Térmicos
onde:R = 1/k = resistência térmica [s °C/kcal]k = constante de transmissão [kcal/s °C]
• Relações Constitutivas:– A taxa temporal de variação de temperatura de um corpo é
proporcional à diferença entre o fluxo de calor que entra no corpo menos o fluxo de calor que sai do corpo.
onde:C = capacidade (capacitância) térmica do corpo [kcal/°C] = m cm = massa do corpo [kg]c = calor específico do corpo [kcal/°C kg]
( ) ( )( ) e sq t q tdT tdt C
−=
8
Março / 2006 Modelagem Matemática de Sistemas Dinâmicos
Modelagem Analítica de Sistemas DinâmicosSistemas Térmicos• Equação Dinâmica:
Em um intervalo de tempo dt, entra no tanque uma massa dm à temperatura Te < Ts.
Portanto, a massa m transfere calor para a massa dm.
Por outro lado, a massa m recebe calor do aquecedor.
Como dm é muito pequena quando comparada a m, a temperatura de dm varia de Te a Ts no intervalo de tempo dt.
Então, para a substância de saída (quente):
( ) ( ) ( )se s
dT tC q t q tdt
= −
Março / 2006 Modelagem Matemática de Sistemas Dinâmicos
Modelagem Analítica de Sistemas DinâmicosSistemas Térmicos
Por outro lado, usando a relação de sistema:
( )( ) ( )( ) s e
s
T t T tq t
R−
=
Logo:
( )( ) ( )( ) ( ) s ese
T t T tdT tC q tdt R
−= −
( ) ( ) ( ) ( )ss e e
dT tRC T t R q t T tdt
+ = +
9
Março / 2006 Modelagem Matemática de Sistemas Dinâmicos
Modelagem Analítica de Sistemas DinâmicosSistemas Térmicos• A análise da equação dinâmica revela os seguintes fatos:
– Parâmetro do sistema: C e R;– Variáveis externas a serem fornecida em função do tempo para que
a equação tenha solução: qe(t) e Te(t);– Incógnita: Ts(t);– Condição inicial: Ts(0); e– Caso de tome dTs(t)/dt = 0, tem-se o modelo estacionário.
Março / 2006 Modelagem Matemática de Sistemas Dinâmicos
Modelagem Analítica de Sistemas DinâmicosSistemas Térmicos• No contexto desta disciplina, Sistemas Elétricos são
sistemas formados pela combinação de três elementos elétricos básicos: resistor, capacitor e indutor.
Modelamento Físico
• Os três componentes elétricos ideais são representados pelos seguintes símbolos:
Resistor:
Capacitor:
Indutor:
R
C
L
10
Março / 2006 Modelagem Matemática de Sistemas Dinâmicos
Modelagem Analítica de Sistemas DinâmicosSistemas Elétricos
Obtenção das Equações Dinâmicas
• Variáveis utilizadas:
Corrente: i(t) [A]
Tensão: v(t) [V]
• Relações de Sistema:
Lei de Kirchhoff das correntes: “a soma algébrica de todas as correntes que entram e que saem de um nó ézero.”
Lei de Kirchhoff das tensões: “a soma algébrica de todas as tensões ao longo de uma malha é zero.”
Março / 2006 Modelagem Matemática de Sistemas Dinâmicos
Modelagem Analítica de Sistemas DinâmicosSistemas Elétricos
Capacitor:
0
( ) ( ) 1( ) ( ) (0)t
CC C
dV t i t ou V t i t dt Vdt C C
= = +∫onde C é a Capacitância [F]Indutor:
0
( ) 1( ) ( ) ( ) (0)t
L Ldi tV t L ou i t V t dt idt L
= = +∫onde L é a Indutância [H]
• Relações Constitutivas:Resistor:
( ) ( )RV t R i t=
onde R é a Resistência [Ohm]
11
Março / 2006 Modelagem Matemática de Sistemas Dinâmicos
Modelagem Analítica de Sistemas DinâmicosSistemas Elétricos
ExemploSeja o circuito elétrico abaixo. Obter a equação dinâmica que descreve o comportamento do sistema.
RL
Ci(t)EV (t) OV (t)
Março / 2006 Modelagem Matemática de Sistemas Dinâmicos
Modelagem Analítica de Sistemas DinâmicosSistemas Elétricos
Relação de Sistema:
( ) ( ) ( ) ( )L R C EV t V t V t V t+ + =
Relações Constitutivas:
( )( )Ldi tV t Ldt
=0
1( ) ( ) (0)t
C CV t i t dt VC
= +∫( ) ( )RV t R i t=
Equação Dinâmica:
0
( ) 1( ) ( ) (0) ( )t
C Edi tL R i t i t dt V V tdt C
+ + + =∫
Como se está interessado em VC(t), substitui-se i(t) por:( )( ) CdV ti t C
dt=
12
Março / 2006 Modelagem Matemática de Sistemas Dinâmicos
Modelagem Analítica de Sistemas DinâmicosSistemas Elétricos
2
2( ) ( ) ( ) ( )C C
C Ed V t dV tLC RC V t V t
dt dt+ + =
• A análise da equação dinâmica revela os seguintes fatos:– Parâmetro do sistema: L, C e R;– Variáveis externas a serem fornecida em função do
tempo para que a equação tenha solução: VE(t);– Incógnita: VC(t);– Condição inicial: (0) (0)C CV e V&
Março / 2006 Modelagem Matemática de Sistemas Dinâmicos
Modelagem Analítica de Sistemas DinâmicosSistemas Mecânicos Translacionais• No contexto desta disciplina, Sistemas Mecânicos
Translacionais são aqueles construídos a partir da combinação de três componentes básicos, que representam idealizações de fenômenos físicos que ocorrem nos sistemas reais: massa, mola e amortecedor.
Modelamento Físico
• Os três componentes mecânicos ideais são representados pelos seguintes símbolos:
Massa:
Mola:
Amortecedor:
k
b
m
13
Março / 2006 Modelagem Matemática de Sistemas Dinâmicos
Modelagem Analítica de Sistemas DinâmicosSistemas Mecânicos Translacionais
Obtenção das Equações Dinâmicas
• Variáveis utilizadas:Deslocamento Linear: y(t) [m]Velocidade Linear: v(t) [m/s] Aceleração Linear: a(t) [m/s2]Força: f(t) [N]
• Relações de Sistema:2ª Lei de Newton: “a soma de todas as forças externas agindo em uma massa é igual a força inercial agindo na mesma massa.”Lei dos Deslocamentos: “se dois corpos estão unidos, então os mesmos são forçados a se deslocarem com a mesma posição, velocidade e aceleração.”
Março / 2006 Modelagem Matemática de Sistemas Dinâmicos
Modelagem Analítica de Sistemas DinâmicosSistemas Mecânicos Translacionais
Mola: obedece a lei de Hooke.
[ ] [ ]1 2 1 2 2 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )F t k y t y t F t k y t y t= + − = − −
• Relações Constitutivas:
Massa: ( ) ( ) ( ) ( )IF t m a t m v t m y t= = =& &&
1m
2y1y
0>2 1y > y
2m
+
onde: F1(t) = força aplicada pela mola ao componenteconectado ao terminal 1.
F2(t) = força aplicada pela mola ao componenteconectado ao terminal 2.
14
Março / 2006 Modelagem Matemática de Sistemas Dinâmicos
Modelagem Analítica de Sistemas DinâmicosSistemas Mecânicos Translacionais
Amortecedor:
[ ] [ ]1 2 1 2 2 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )F t b y t y t F t b y t y t= + − = − −& & & &
1mb
1 22y1y
0>2 1y > y
2m
+
onde:
F1(t) = força aplicada pelo amortecedor ao componenteconectado ao terminal 1.
F2(t) = força aplicada pela amortecedor ao componenteconectado ao terminal 2.
Março / 2006 Modelagem Matemática de Sistemas Dinâmicos
Modelagem Analítica de Sistemas DinâmicosSistemas Mecânicos Translacionais• Procedimento de Modelagem:
1. Arbitrar a direção e deslocamento linear para todo corpo Ou junção que puder possuir deslocamento diferente dos demais.
2. Supor 0 < y1 < y2 < … < yn
3. Para cada corpo (massa) obter o diagrama de corpo livre e aplicar a 2ª Lei de Newton.
15
Março / 2006 Modelagem Matemática de Sistemas Dinâmicos
Modelagem Analítica de Sistemas DinâmicosSistemas Mecânicos Translacionais
ExemploSeja o modelo físico abaixo para o amortecedor de um automóvel. Obter a equação dinâmica que descreve o comportamento do sistema (deslocamento da carroceria).
u(t)
y(t)2m
Y
U
Março / 2006 Modelagem Matemática de Sistemas Dinâmicos
Modelagem Analítica de Sistemas DinâmicosSistemas Mecânicos Translacionais
Solução1. Arbitrar deslocamentos para todos os corpos e
junções.De acordo com a figura, escolheu-se y(t) e u(t) de forma que quando y = 0 e u = 0 o corpo está em equilíbrio estático sob a força da gravidade.Dessa maneira, a ação do peso está sendo compensada pela deflexão permanente da mola.
2. Assumir que y(t) > u(t)3. Diagrama de corpo livre para a massa
Na massa estão agindo duas forças externas, uma aplicada pela mola (FM) e outra pelo amortecedor (FA), e a força inercial (FI).Relação de Sistema: FI = FM + FA
16
Março / 2006 Modelagem Matemática de Sistemas Dinâmicos
Modelagem Analítica de Sistemas DinâmicosSistemas Mecânicos Translacionais
Relações Constitutivas:
( ) ( )IF t m y t= &&
[ ]( ) ( ) ( )MF t k y t u t= − −
[ ]( ) ( ) ( )AF t b y t u t= − −& &
Equação Dinâmica:
[ ] [ ]( ) ( ) ( ) ( ) ( )m y t b y t u t k y t u t= − − − − ⇒&& & &
( ) ( ) ( ) ( ) ( )m y t b y t k y t b u t k u t+ + = +&& & &
Março / 2006 Modelagem Matemática de Sistemas Dinâmicos
Modelagem Analítica de Sistemas DinâmicosSistemas Mecânicos Translacionais• A análise da equação dinâmica revela os seguintes fatos:
– Parâmetro do sistema: m, b e k;– Variáveis externas a serem fornecida em função do
tempo para que a equação tenha solução:– Incógnita: y(t);– Condição inicial: (0) (0)y e y&
( ) ( )u t e u t&
17
Março / 2006 Modelagem Matemática de Sistemas Dinâmicos
Modelagem Analítica de Sistemas DinâmicosSistemas Mecânicos Rotacionais• Sistemas Mecânicos Rotacionais são aqueles
construídos a partir da combinação de três componentes básicos, que representam idealizações de fenômenos físicos que ocorrem nos sistemas reais: massa em rotação (inércia), mola torcional e amortecedor rotacional.
Modelamento Físico
• Os três componentes mecânicos ideais são representados pelos seguintes símbolos:
Massa em rotação:
Mola torcional:
Amortecedor rotacional:
ωk
2θ1θω
b
b
1ω 2ω
Março / 2006 Modelagem Matemática de Sistemas Dinâmicos
Modelagem Analítica de Sistemas DinâmicosSistemas Mecânicos Rotacionais
Obtenção das Equações Dinâmicas• Variáveis utilizadas:
Deslocamento Angular: θ(t) [rad]Velocidade Angular: ω(t) [rad/s] Aceleração Angular: α(t) [rad/s2]Torque: T(t) [N m]
• Relações de Sistema:Balanço de Torques: “a soma de todos os torques externos agindo em uma massa rotacional é igual ao Torque Inercial agindo na mesma massa.”Lei dos Deslocamentos: “se dois corpos estão unidos, então os mesmos são forçados a se deslocarem com a mesma posição, velocidade e aceleração angular.”
18
Março / 2006 Modelagem Matemática de Sistemas Dinâmicos
Modelagem Analítica de Sistemas DinâmicosSistemas Mecânicos Rotacionais
m
ωr
• Relações Constitutivas:
Inércia:
( ) ( ) ( ) ( )IT t J t J t J tα ω θ= = = &&&
onde:
J = Momento de Inércia em torno do eixo de rotação.
= ∫ 2
Volume
J r dm
Para massa distribuída:
Março / 2006 Modelagem Matemática de Sistemas Dinâmicos
Modelagem Analítica de Sistemas DinâmicosSistemas Mecânicos Rotacionais
Mola Torcional:
[ ] [ ]1 2 1 2 2 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )T t k t t T t k t tθ θ θ θ= + − = − −
2Jk
2θ1θ0>2 1>θ θ
1J
onde: T1(t) = torque aplicado pela mola ao componenteconectado ao terminal 1.
T2(t) = torque aplicado pela mola ao componenteconectado ao terminal 2.
19
Março / 2006 Modelagem Matemática de Sistemas Dinâmicos
Modelagem Analítica de Sistemas DinâmicosSistemas Mecânicos Rotacionais
Amortecedor Rotacional:
1 2 1 2 2 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )T t b t t T t b t tθ θ θ θ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + − = − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦& & & &
0ω ω >2 1>
onde:
T1(t) = torque aplicado pelo amortecedor ao componenteconectado ao terminal 1.
T2(t) = torque aplicado pela amortecedor ao componenteconectado ao terminal 2.
1ω
b1J
2ω2J
b
1ω 2ω
Março / 2006 Modelagem Matemática de Sistemas Dinâmicos
Modelagem Analítica de Sistemas DinâmicosSistemas Mecânicos Rotacionais• Procedimento de Modelagem:
1. Arbitrar a direção e deslocamento angular para todo corpo ou junção que puder possuir deslocamento diferente dos demais.
2. Supor 0 < θ1 < θ2 < … < θn
3. Para cada corpo (massa) obter o diagrama de corpo livre e aplicar a Lei de Balanço de Torques.
20
Março / 2006 Modelagem Matemática de Sistemas Dinâmicos
Modelagem Analítica de Sistemas DinâmicosSistemas Mecânicos Rotacionais
ExemploSeja o modelo físico abaixo. Obter as equações dinâmicas que descrevem o comportamento do sistema.
T(t) é o torque externo aplicado ao sistema.
2b1θ 2θ θ3
1k 2k
1b
T
3b
Março / 2006 Modelagem Matemática de Sistemas Dinâmicos
Modelagem Analítica de Sistemas DinâmicosSistemas Mecânicos Rotacionais
Solução1. Arbitrar deslocamentos para todos os corpos e junções.
Adota-se θ1, θ2 e θ3 como mostrado na figura. 2. Assumir que: 0 < θ1 < θ2 < … < θn
3. Diagrama de corpo livre para a inércia J1
Em J1 estão agindo três torques externos: o aplicado (T), o devido ao atrito com a base (b1) e o devido ao atrito com J2(b2).
Relação de Sistema: TI (t) = T(t) + T1(t) + T2(t)Relações Constitutivas:
= &&θ1 1( ) ( )IT t J t ⎡ ⎤= − = −⎣ ⎦& &θ θ1 1 1 1 1( ) 0 ( ) ( )T t b t b t
⎡ ⎤= −⎣ ⎦& &2 1θ θ2 2( ) ( ) ( )T t b t t
21
Março / 2006 Modelagem Matemática de Sistemas Dinâmicos
Modelagem Analítica de Sistemas DinâmicosSistemas Mecânicos Rotacionais
Equação Dinâmica:
⎡ ⎤= − + − ⇒⎣ ⎦&& & & &θ θ θ θ1 1 1 1 2 2 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )J t T t b t b t t
( )+ + − =&& & &θ θ θ1 1 1 2 1 2 2( ) ( ) ( ) ( )J t b b t b t T t
• Diagrama de corpo livre para a inércia J2
Em J2 estão agindo três torques externos: o devido ao atrito com a base (b1), o devido ao atrito com J1 (b2) e o devido a mola (k1).
Relação de Sistema: TI (t) = T1(t) + T2(t) + T3(t)
Março / 2006 Modelagem Matemática de Sistemas Dinâmicos
Modelagem Analítica de Sistemas DinâmicosSistemas Mecânicos Rotacionais
Equações Constitutivas:
[ ]⎡ ⎤= − − − + − ⇒⎣ ⎦&& & & &θ θ θ θ θ θ2 2 1 2 2 2 1 1 3 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )J t b t b t t k t t
( ) [ ]+ + − + − =&& & &θ θ θ θ θ2 2 1 2 2 2 1 1 2 3( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0J t b b t b t k t t
Equação Dinâmica:
= &&θ2 2( ) ( )IT t J t
⎡ ⎤= − = −⎣ ⎦& &θ θ1 1 2 1 2( ) 0 ( ) ( )T t b t b t
⎡ ⎤= − −⎣ ⎦& &2 1θ θ2 2( ) ( ) ( )T t b t t
[ ]= −3 2θ θ3 1( ) ( ) ( )T t k t t
22
Março / 2006 Modelagem Matemática de Sistemas Dinâmicos
Modelagem Analítica de Sistemas DinâmicosSistemas Mecânicos Rotacionais• Diagrama de corpo livre para a inércia J3
Em J3 estão agindo três torques externos: o devido ao atrito com a base (b3), o devido a primeira mola (k1) e o devido a segunda mola (k2).
Relação de Sistema: TI (t) = T1(t) + T2(t) + T3(t)
Equações Constitutivas:= &&θ3 3( ) ( )IT t J t
⎡ ⎤= − = −⎣ ⎦& &θ θ1 3 3 3 3( ) 0 ( ) ( )T t b t b t
[ ]= − −3 2θ θ2 1( ) ( ) ( )T t k t t
[ ]= − = −3 3θ θ3 2 2( ) 0 ( ) ( )T t k t k t
Março / 2006 Modelagem Matemática de Sistemas Dinâmicos
Modelagem Analítica de Sistemas DinâmicosSistemas Mecânicos Rotacionais
• A análise da equações dinâmicas revela os seguintes fatos:– Parâmetro do sistema: J1, J2, J3, b1, b2, b3, k1 e k2;– Variáveis externas a serem fornecida em função do
tempo para que a equação tenha solução: T(t)– Incógnitas: θ1(t), θ2(t) e θ3 (t),– Condições iniciais: θ θ θ θ θ θ& & &
1 1 2 2 3 3(0), (0), (0), (0), (0) (0)e
[ ]= − − − − ⇒&& &θ θ θ θ θ3 3 3 3 1 3 2 2 3( ) ( ) ( ) ( ) ( )J t b t k t t k t
( )+ + + − =&& &3 3 3 3 1 2 3 1 2( ) ( ) ( ) ( ) 0J t b t k k t k tθ θ θ θ
Equação Dinâmica:
23
Março / 2006 Modelagem Matemática de Sistemas Dinâmicos
Modelagem Analítica de Sistemas DinâmicosSistemas Eletromecânicos• Sistemas Eletromecânicos são sistemas que convertem
energia elétrica em mecânica e vice-versa.• São extensivamente utilizados em engenharia e
automação.• Exemplos:
– Motores– Geradores– Sensores– Microfones– Alto-Falantes
Março / 2006 Modelagem Matemática de Sistemas Dinâmicos
Modelagem Analítica de Sistemas DinâmicosSistemas Eletromecânicos
ExemploSeja um sistema composto por um motor de corrente contínua acionando uma carga, conforme o modelo físico mostrado abaixo.Obter as equações dinâmicas que descrevem o comportamento do sistema.
ARAL
Ai (t)Av (t)Mv (t)
24
Março / 2006 Modelagem Matemática de Sistemas Dinâmicos
Modelagem Analítica de Sistemas DinâmicosSistemas Eletromecânicos
Obtenção das Equações Dinâmicas
• Variáveis utilizadas:
Corrente: iA(t) [A]
Tensão: vA(t) [V]
Velocidade de rotação: ω(t) [rad/s]
• Relações de Sistema:
+ + =( ) ( ) ( ) ( )L R M Av t v t v t v tMotor:
Carga: = +( ) ( ) ( )I bT t T t T t
Março / 2006 Modelagem Matemática de Sistemas Dinâmicos
Modelagem Analítica de Sistemas DinâmicosSistemas Eletromecânicos
Relações Constitutivas:
Motor:
ω ω=( ) ( )Mv t k t
Carga:
=( ) ( )m AT t k i t
=( )( ) A
L Adi tv t L
dt=( ) ( )R A Av t R i t
= &( ) ( )IT t J tω = −( ) ( )bT t b tω
25
Março / 2006 Modelagem Matemática de Sistemas Dinâmicos
Modelagem Analítica de Sistemas DinâmicosSistemas Eletromecânicos
Equações Dinâmicas:
Motor:
Carga:
[ ] [ ]ωω ω ω+ + + + =&& &( ) ( ) ( ) ( )A A A A m m AJ L t bL J R t bR k k t k v t
ω ω+ + =( ) ( ) ( ) ( )A
A A A Adi tL R i t k t v t
dt
ω ω+ − =( ) ( ) ( ) 0m A
d tJ b t k i tdt
Eliminando iA(t):
Março / 2006 Modelagem Matemática de Sistemas Dinâmicos
Modelagem Analítica de Sistemas DinâmicosSistemas Eletromecânicos• A análise da equação dinâmica revela os seguintes fatos:
– Parâmetro do sistema: LA, RA, Kω, Km, J– Variáveis externas a serem fornecida em função do
tempo para que a equação tenha solução: vA(t)– Incógnitas: ω(t)– Condições iniciais: ω ω&(0) (0)e
26
Março / 2006 Modelagem Matemática de Sistemas Dinâmicos
Modelagem Analítica de Sistemas DinâmicosSistemas Hidráulicos e Pneumáticos• Serão vistos nas disciplinas:
– Acionamento de Sistemas Hidráulicos e Pneumáticos e– Modelagem de Sistemas Mecânicos
Março / 2006 Modelagem Matemática de Sistemas Dinâmicos
Modelagem Analítica de Sistemas DinâmicosAtraso de Transporte• Seja o sistema abaixo:
eQaP
sQH
R aPmP
eT ρe
mTm
Área do tanque = A
ρm
sTρs
• Suponha que ocorra uma variação em Te.• É intuitivo que deva existir um período de tempo durante o qual não se
verifica qualquer modificação de Ts, pois o fluido leva um certo tempo para se deslocar da saída do tanque até o sensor.
• A esse intervalo, relacionado com o transporte de massa ou energia de um ponto a outro do processo e durante o qual a perturbação ainda não chegou ao ponto observado, dá-se o nome de atraso de transporte, tempo morto, atraso puro, dead time ou pure time delay.
27
Março / 2006 Modelagem Matemática de Sistemas Dinâmicos
Linearização de Modelos
• O estudo de sistemas lineares é importante porque mesmo equações não-lineares podem ser linearizadas em torno de condições operacionais estacionárias.
• As equações linearizadas descrevem adequadamente a resposta dinâmica do sistema em alguma região em torno das condições estacionárias.
• A extensão da região, a qual está relacionada com a precisão da aproximação linear, depende do tipo de não-linearidade e da magnitude da perturbação imposta ao sistema.
• O quanto uma solução linear se aproxima da realidade somente pode ser determinado por comparação com a solução da equação original.
Março / 2006 Modelagem Matemática de Sistemas Dinâmicos
Linearização de Modelos Aproximação Linear de Função de Uma Variável• Considere um sistema com entrada u(t) e saída y(t).• Seja a relação entre u(t) e y(t) dada pela função não-linear
y(t) = f(u(t))
• Se o ponto estacionário de operação corresponde à:
= =
= = + − + − +2
22
1( ) ( ( )) ( ) ( ) ( ) ...2!
o o
o o ou u u u
df d fy t f u t f u u u u udu du
então a equação que descreve a dinâmica do sistema pode ser expandida em uma Série de Taylor em torno desse ponto:
=( ) ( ( ))o oy t f u t
28
Março / 2006 Modelagem Matemática de Sistemas Dinâmicos
Linearização de Modelos Aproximação Linear de Função de Uma Variável
• Se a variação em torno do ponto de operação for pequena, podemos desprezar as derivadas de ordem maior que 1.
• Então teremos a seguinte aproximação linear para a função:
=
≅ + −( ) ( ) ( ( ) ( ))o
o ou u
dfy t y t u t u tdu
=
∆ ≅ ∆( ) ( )ou u
dfy t u tdu
Março / 2006 Modelagem Matemática de Sistemas Dinâmicos
Linearização de Modelos Aproximação Linear de Função de Uma Variável
( )f u
u
= ( )o oy f u
ou
=
inclinação =ou u
dfdu
29
Março / 2006 Modelagem Matemática de Sistemas Dinâmicos
Linearização de Modelos Aproximação Linear de Função de Mais de Uma Variável• Seja y(t) uma função não-linear de duas variáveis, u1(t) e
u2(t), isto é, y(t) = f(u1(t),u2(t)).• Se o ponto estacionário de operação corresponde à:
∂ ∂= = + − + − +
∂ ∂
∂ ∂+ − + − +
∂ ∂
1 2 1 2
1 2 1 2
1 2 1 2 1 1 2 21 2, ,
2 22 2
1 1 2 22 21 2, ,
( ) ( , ) ( , ) ( ) ( )
1 1( ) ( ) ...2! 2!
o o o o
o o o o
o o ou u u u
o o
u u u u
f fy t f u u f u u u u u uu u
f fu u u uu u
então a equação que descreve a dinâmica do sistema pode ser expandida em uma Série de Taylor em torno desse ponto:
= 1 2( ) ( ( ), ( ))o oy t f u t u t
Março / 2006 Modelagem Matemática de Sistemas Dinâmicos
Linearização de Modelos Aproximação Linear de Função de Mais de Uma Variável• Supondo que as variações em torno do ponto de operação
são pequenas, podemos desprezar as derivadas de ordem maior que 1.
• Então teremos a seguinte aproximação linear para a função:
∂ ∂≅ + − + −
∂ ∂1 2 1 2
1 2 1 1 2 21 2, ,
( ) ( , ) ( ) ( )o o o o
o o o ou u u u
f fy t f u u u u u uu u
∂ ∂∆ ≅ ∆ + ∆
∂ ∂1 2 1 2
1 21 2, ,
( ) ( ) ( )o o o ou u u u
f fy t u t u tu u
30
Março / 2006 Modelagem Matemática de Sistemas Dinâmicos
Linearização de Modelos Aproximação Linear de Função de Mais de Uma Variável
• Exemplo: Linearizar a função abaixo em torno do ponto de operação especificado. Avaliar o erro de utilização da aproximação quando u1 = 5 e u2 = 10.
= = = =1 2 1 2 1 2( , ) com 6 11o oy f u u u u u e u
Solução: a aproximação linear será:
= + − + −1 1 1 2 2 2( ) ( )o o oy y k u u k u u
onde:
= ⋅ = ⋅ =1 2 6 11 66o o oy u u
Março / 2006 Modelagem Matemática de Sistemas Dinâmicos
Linearização de Modelos Aproximação Linear de Função de Mais de Uma Variável
logo:
===
=
∂= = =∂ 1
212
61 21161
11
11uuu
u
fk uu
===
=
∂= = =∂ 1
212
62 11162
11
6uuu
u
fk uu
= + ⋅ − + ⋅ −1 266 11 ( 6) 6 ( 11)y u u
Avaliação do erro quando u1 = 5 e u2 = 10:
Pela função real temos y = 5 •10 = 50
Pela função aproximaday = 66 +11(5 – 6) + 6 (10 –11) = 49 ⇒ erro = -2%
31
Março / 2006 Modelagem Matemática de Sistemas Dinâmicos
Linearização de ModelosExemplo: Mola não-linear
• Obs.: o gráfico da força mostra somente sua intensidadeem função da compressão ou distensão da mola, mas não a sua direção.
Março / 2006 Modelagem Matemática de Sistemas Dinâmicos
Linearização de ModelosExemplo: Mola não-linear• O ponto de operação é a posição de equilíbrio que ocorre
quando a força da mola equilibra a força gravitacional.Assim,
of Mg=
Portanto, para a mola não-linear com f =y2, a posição de equilíbrio será:
( )1/ 2oy Mg=
E o modelo linear para pequenos desvios será:
f m y∆ = ∆onde
2o
oy
dfm ydy
= =
32
Março / 2006 Modelagem Matemática de Sistemas Dinâmicos
Linearização de ModelosExemplo: Mola não-linear
Então, a equação que descreve o movimento da massa será
( ) ( )M y t f t∆ = −∆&&
( ) 2 ( )oM y t y y t∆ = − ∆&&
( ) 2 ( ) 0oM y t y y t∆ + ∆ =&&
Março / 2006 Modelagem Matemática de Sistemas Dinâmicos
Linearização de ModelosExemplo: Mola não-linear
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 202
2.5
3
3.5
4
4.5Sistema Massa-Mola: comparacao entre o modelo nao-linear e linearizado para M = 1kg
Tempo [s]
y(t)
[m]
Nao-LinearEquilibrioLinearizado
33
Março / 2006 Modelagem Matemática de Sistemas Dinâmicos
Linearização de ModelosExemplo: Pêndulo
Março / 2006 Modelagem Matemática de Sistemas Dinâmicos
Linearização de ModelosExemplo: Pêndulo
• A condição de equilíbrio para a massa é
0 0o oe Tθ = =o
O Torque aplicado a massa pela força gravitacional éT M g L senθ= −
E o modelo linear para pequenos desvios será:
coso
odsenT M g L M g L M g L
d θ
θ θ θ θ θθ
∆ = − ∆ = − ∆ = − ∆
ou, como To e θo, então:
T M g Lθ= −
34
Março / 2006 Modelagem Matemática de Sistemas Dinâmicos
Linearização de ModelosExemplo: Pêndulo
Então, a equação que descreve o movimento da massa será
( ) ( )J t T tθ∆ = ∆&&
( )J t M g Lθ θ∆ = − ∆&&
( ) 0J t Mg Lθ θ+ =&&
mas2J M L=
logo( ) 0gt
Lθ θ+ =&&
Março / 2006 Modelagem Matemática de Sistemas Dinâmicos
Linearização de ModelosExemplo: Pêndulo
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10Sistema Pendulo: comparacao entre o modelo nao-linear e linearizado para L = 1m
Tempo [s]
Thet
a(t)
[gra
us]
Nao-LinearLinearizado
35
Março / 2006 Modelagem Matemática de Sistemas Dinâmicos
Linearização de ModelosExemplo: Pêndulo
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-30
-20
-10
0
10
20
30
40Sistema Pendulo: comparacao entre o modelo nao-linear e linearizado para L = 1m
Tempo [s]
Thet
a(t)
[gra
us]
Nao-LinearLinearizado
Março / 2006 Modelagem Matemática de Sistemas Dinâmicos
Modelos no Espaço de EstadosIntrodução• Forma de representação utilizada na Teoria de Controle
Moderno:– Iniciada por volta de 1960;– Criada para tratar de sistema MIMO e variantes no
tempo;– É centrada no domínio do tempo;– É baseada no conceito de estado.
36
Março / 2006 Modelagem Matemática de Sistemas Dinâmicos
Modelos no Espaço de EstadosDefinições• Variáveis de Estado (VE): é o menor conjunto de
variáveis tal que uma vez conhecidos os seus valores em t = t0, a descrição do comportamento do sistema é feita de modo único para todo t ≥ t0.
• O Estado de um sistema em um instante t, é o conjunto de valores das VE em t.
• Vetor de Variáveis de Estado: o conjunto de variáveis de estado de um sistema pode ser considerado como sendo um vetor (coluna) x(t) de dimensão n x 1.
[ ]1 2( ) ( ) ( ) ... ( ) Tnt x t x t x t=x
Março / 2006 Modelagem Matemática de Sistemas Dinâmicos
Modelos no Espaço de EstadosDefinições• Equações dinâmicas: denominação dada ao conjunto de
equações que descreve as real ações entre entradas, saídas e estado.Seja um sistemas com n variáveis de estado, r entradas e m saídas.Então, o sistema pode ser descrito pelas seguintes equações:
1 1 1 2 1 2
2 2 1 2 1 2
1 2 1 2
( ) ( ( ), ( ),... ( ), ( ), ( ),... ( ), )( ) ( ( ), ( ),... ( ), ( ), ( ),... ( ), )
.
.
.( ) ( ( ), ( ),... ( ), ( ), ( ),... ( ), )
n r
n r
n n n r
x t f x t x t x t u t u t u t tx t f x t x t x t u t u t u t t
x t f x t x t x t u t u t u t t
==
=
&
&
&
37
Março / 2006 Modelagem Matemática de Sistemas Dinâmicos
Modelos no Espaço de EstadosDefinições
Definindo-se
1 1 1 2 1 2
2 2 1 2 1 2
1 2 1 2
( ) ( ( ), ( ),..., ( ), ( ), ( ),..., ( ), )( ) ( ( ), ( ),..., ( ), ( ), ( ),..., ( ), )
.
.
.( ) ( ( ), ( ),..., ( ), ( ), ( ),..., ( ), )
n r
n r
m m n r
y t g x t x t x t u t u t u t ty t g x t x t x t u t u t u t t
y t g x t x t x t u t u t u t t
==
=
[ ]1 2( ) ( ) ( ) ... ( ) Tnt x t x t x t nx1=x
[ ]1 2( ) ( ) ( ) ... ( ) Trt u t u t u t rx1=u
[ ]1 2( ) ( ) ( ) ... ( ) Tmt y t y t y t mx1=y
Março / 2006 Modelagem Matemática de Sistemas Dinâmicos
Modelos no Espaço de EstadosDefinições
1 1 2 1 2
2 1 2 1 2
1 2 1 2
( ( ), ( ),..., ( ), ( ), ( ),..., ( ), )( ( ), ( ),..., ( ), ( ), ( ),..., ( ), )
( , , )...
( ( ), ( ),..., ( ), ( ), ( ),..., ( ), )
n r
n r
n n r
f x t x t x t u t u t u t tf x t x t x t u t u t u t t
t nx1
f x t x t x t u t u t u t t
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
f x u
1 1 2 1 2
2 1 2 1 2
1 2 1 2
( ( ), ( ),..., ( ), ( ), ( ),..., ( ), )( ( ), ( ),..., ( ), ( ), ( ),..., ( ), )
( , , )...
( ( ), ( ),..., ( ), ( ), ( ),..., ( ), )
n r
n r
m n r
g x t x t x t u t u t u t tg x t x t x t u t u t u t t
t mx1
g x t x t x t u t u t u t t
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
g x u
Pode-se escrever:( ) ( , , ) ( )( ) ( , , ) ( )t (t) (t) tt (t) (t) t==
x f x u Equação de Estadoy g x u Equação de Saída&
38
Março / 2006 Modelagem Matemática de Sistemas Dinâmicos
Modelos no Espaço de EstadosDefinições
Se o sistema for linear, pode-se escrever:
( , , )( , , )
(t) (t) t (t) (t) (t) (t)(t) (t) t (t) (t) (t) (t)
= += +
f x u A x B ug x u C x D u
então:
( )( )( )( )
tttt
≡≡≡≡
A Matriz de Estado B Matriz de Entrada C Matri
( )( )
(z de Saída D Matriz de Transmi
)(ã )ss o
n x nn x r
m x nm x r
onde:
(t) (t) (t) (t) (t)(t) (t) (t) (t) (t)= += +
x A x B uy C x D u&
Março / 2006 Modelagem Matemática de Sistemas Dinâmicos
Modelos no Espaço de EstadosDefinições
Portanto, a estrutura básica de representação de um sistema linear em VE é a seguinte:
(t)D
(t)A
(t)B (t)C∫dt++ ++r(t)u
(t)x& (t)x (t)y
r m
n
n
n
n
n m m
m x r
n x r
n x n
m x n
39
Março / 2006 Modelagem Matemática de Sistemas Dinâmicos
Modelos no Espaço de EstadosDefinições
Se o sistema, além de linear, possuir parâmetros invariantes no tempo, tem-se:
e são matrizesA B C D constantes, ,
onde:
(t) (t) (t)(t) (t) (t)= += +
x A x B uy C x D u&
Março / 2006 Modelagem Matemática de Sistemas Dinâmicos
Modelos no Espaço de EstadosRepresentação de Equações Diferencias Lineares no EE• Nesta seção será apresentado um método para obter-se a
representação no Espaço de Estado (E) de Equações Diferenciais Lineares (EDL).
• Utilizando a notação vetorial-matricial, uma equação diferencial de ordem n pode ser representada por uma equação diferencial vetorial-matricial de primeira ordem, isto é, por n equações diferenciais de primeira ordem.
• Seja a EDL genérica:
( ) ( -1)
1 1 0( ) ( -1)
1 1 0
( ) ( ) ... ( ) ( )(1)
( ) ( ) ... ( ) ( )
n n
nn n
n n
y t a y t a y t a y t
b u t b u t b u t b u t
−
−
+ + + + =
= + + + +
&
&
40
Março / 2006 Modelagem Matemática de Sistemas Dinâmicos
Modelos no Espaço de EstadosRepresentação de Equações Diferencias Lineares no EE• Definindo:
1 0
2 1 1 0 1
3 2 2 0 1 2
1 1 2
1 1 0 1 2 1
( ) ( ) ( ) (2)( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (3)( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (4)
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ... ( ) ( ) (5)n n n
n n n n n
x t y t u tx t x t u t y t u t u tx t x t u t y t u t u t u t
x t x t u t y t u t u t u t u t
ββ β ββ β β β
β β β β β− − −
− − − −
−− = − −− = − − −
− = − − − − −
& & &
& && && &
M
& &
Março / 2006 Modelagem Matemática de Sistemas Dinâmicos
Modelos no Espaço de EstadosRepresentação de Equações Diferencias Lineares no EE• Então a EDL original pode ser escrita como:
1 2 1
2 3 2
3 4 3
1 1
0 1 1 2 2 3 1
( ) ( ) ( ) (6)( ) ( ) ( ) (7)( ) ( ) ( ) (8)
( ) ( ) ( ) (9)( ) ... ( ) (10)
n n n
n n n n
x t x t u tx t x t u tx t x t u t
x t x t u tx t a x a x a x a x u t
βββ
ββ
− −
−
= += += +
= += − − − − − +
&
&
&
M
&
&
com a saída dada por
1 0( ) ( ) ( )y t x t u tβ= +
41
Março / 2006 Modelagem Matemática de Sistemas Dinâmicos
Modelos no Espaço de EstadosRepresentação de Equações Diferencias Lineares no EE• Onde:
0
1 1 1 0
2 2 1 1 2 0
0 1 1 2 2 3 3 1 1 0 0
(11)(12)(13)
... (14)
n
n n
n n n
n n n n n n n
bb ab a a
b a a a a a
ββ ββ β β
β β β β β β
− −
− − −
− − − − − −
== −= − −
= − − − − − −
M
• Ou seja:
1
(15)i
i n i n j i jj
b aβ β− − −=
= −∑
Março / 2006 Modelagem Matemática de Sistemas Dinâmicos
Modelos no Espaço de EstadosRepresentação de Equações Diferencias Lineares no EE• Ou, na forma matricial:
( ) ( ) ( )t t u t= +x A x B&
onde
1 1
2 2
1 1
0 1 2 11 1
( ) 0 1 . . . 0 0( ) 0 0 . . . 0 0. . . . . .
( ) . . . . . .. . . . . .( ) 0 0 . . . 0 1
( )n n
n n n nn x n x n n x
x tx t
t
x tx t a a a a
ββ
ββ
− −
− −
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
x A B
( ) ( ) ( )y t t u t= +Cx D
42
Março / 2006 Modelagem Matemática de Sistemas Dinâmicos
Modelos no Espaço de EstadosRepresentação de Equações Diferencias Lineares no EE
[ ][ ]
1
0 1 1
1 0 . . . 0 0x n
xβ
=
=
C
D
Março / 2006 Modelagem Matemática de Sistemas Dinâmicos
Modelos no Espaço de EstadosRepresentação de Equações Diferencias Lineares no EE
Para obter a equação (10)
Derivar (5) para obter a derivada n-ésima de y(t):
1
0 1 2 1( ) ( ) ( ) ( ) ... ( ) ( ) (16)n n n
n n nx t y t u t u t u t u tβ β β β−
− −= − − − − −& && &
A n-ésima derivada de y(t) pode ser obtida de (1) como sendo
( ) ( -1)
1 1 0( ) ( -1)
1 1 0
( ) ( ) ... ( ) ( )
( ) ( ) ... ( ) ( ) (17)
n n
nn n
n n
y t a y t a y t a y t
b u t b u t b u t b u t
−
−
= − − + − +
+ + + + +
&
&
43
Março / 2006 Modelagem Matemática de Sistemas Dinâmicos
Modelos no Espaço de EstadosRepresentação de Equações Diferencias Lineares no EE
Substituindo (17) em (16):
( ) ( )
( ) ( )
( 1)
1 1 0( ) ( 1)
0 1 1
2 2 1 1 0
( ) ( ) ... ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) (18)
n
n nn n
n n
n n
x t a y t a y t a y t
b u t b u t
b u t b u t b u t
β β
β β
−
−
−
−
− −
= − − + − +
+ − + − + +
+ − + − +
& &
L
&& &
As demais derivadas de y(t) são obtidas de (2), (3), ..., (5) e substituídas em (18), produzindo (10) quando os βi são escolhidos de acordo com (15).
Março / 2006 Modelagem Matemática de Sistemas Dinâmicos
Modelos no Espaço de EstadosRepresentação de Equações Diferencias Lineares no EE• Exemplo: Obter a representação no EE da seguinte EDLIT.
( ) 6 ( ) 5 ( ) 10 ( ) 10 ( )y t y t y t y t u t+ + + =&&& && &
Solução:
Como não existem derivadas da variável de entrada, então:
0 1 2 3 00 e bβ β β β= = = =
logo1
1 2
2 3
3 0 1 1 2 2 3 3
( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )
y t x t ex t x tx t x tx t a x a x a x u tβ
==== − − − +
&
&
&
44
Março / 2006 Modelagem Matemática de Sistemas Dinâmicos
Modelos no Espaço de EstadosRepresentação de Equações Diferencias Lineares no EE
tem-se
[ ] [ ]
1 1
2 2
3 3
1
2
3
( ) 0 1 0 ( ) 0( ) ( ) 0 0 1 ( ) 0 ( )
( ) 10 5 6 ( ) 10
( )( ) 1 0 0 ( ) 0 ( )
( )
x t x tt x t x t u t
x t x t
x ty t x t u t
x t
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= = +⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎡ ⎤⎢ ⎥= +⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
x&
& &
&
como
0 1 2 010 5 6 10a a a e b= = = =
Março / 2006 Modelagem Matemática de Sistemas Dinâmicos
Modelos no Espaço de EstadosRepresentação de Equações Diferencias Lineares no EE• Exemplo: Obter a representação no EE da seguinte EDLIT.
( ) ( ) ( ) ( )m y t b y t k y t u t+ + =&& &
Solução:
Como não existem derivadas da variável de entrada, então:
0 1 2 00 e bβ β β= = =
logo1
1 2
2 0 1 1 2 2
( ) ( )( ) ( )( ) ( )
y t x t ex t x tx t a x a x u tβ
=== − − +
&
&
45
Março / 2006 Modelagem Matemática de Sistemas Dinâmicos
Modelos no Espaço de EstadosRepresentação de Equações Diferencias Lineares no EE
tem-se
[ ] [ ]
1 1
2 2
1
2
0 1 0( ) ( )( ) ( )1( ) ( )
( )( ) 1 0 0 ( )
( )
x t x tt u tk bx t x t
m m m
x ty t u t
x t
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= = +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎡ ⎤= +⎢ ⎥
⎣ ⎦
x&
&&
como
0 1 01k ba a e b
m m m= = =
Março / 2006 Modelagem Matemática de Sistemas Dinâmicos
Modelos no Espaço de EstadosRepresentação de Equações Diferencias Lineares no EE• Exemplo: Obter a representação no EE da seguinte EDLIT.
Solução: A equação deve ser reescrita na forma
( ) ( ) ( ) ( ) ( )m y t b y t k y t b u t k u t+ + = +&& & &
( ) ( ) ( ) ( ) ( )b k b ky t y t y t u t u tm m m m
+ + = +&& & &
Portanto,
0 1 0 1 2 0k b k ba a e b b bm m m m
= = = = =
46
Março / 2006 Modelagem Matemática de Sistemas Dinâmicos
Modelos no Espaço de EstadosRepresentação de Equações Diferencias Lineares no EE
Assim,
Então,
0 2
1 1 1 0
2
2 0 1 1 0 0
0
0
0
bb b bb am m m
k b b k k bb a am m m m m m
β
β β
β β β
= =
= − = − ⋅ =
⎛ ⎞= − − = − ⋅ − ⋅ = − ⎜ ⎟⎝ ⎠
1 0 1 1
1 2 1 2
2
2 0 1 1 2 2 1 2
( ) ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
y t x t u t x t u t x t ebx t x t u t x t u tm
b k k bx t a x a x u t x x u tm m m m
β
β
β
= + = + =
= + = +
⎛ ⎞⎛ ⎞= − − + = − − + −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠
&
&
Março / 2006 Modelagem Matemática de Sistemas Dinâmicos
Modelos no Espaço de EstadosRepresentação de Equações Diferencias Lineares no EE
Logo,
[ ] [ ]
1 12
2 2
1
2
0 1( ) ( )( ) ( )
( ) ( )
( )( ) 1 0 0 ( )
( )
bx t x t m
t u tk bx t x t k bm m m m
x ty t u t
x t
⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= = +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥− − ⎢ ⎥⎛ ⎞⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥ −⎣ ⎦ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
⎡ ⎤= +⎢ ⎥
⎣ ⎦
x&
&&
47
Março / 2006 Modelagem Matemática de Sistemas Dinâmicos
Modelos no Espaço de EstadosGeneralização• Caso a EDL seja função de mais de uma variável de
entrada, por exemplo, u1(t) e u2(t) então:( ) ( -1)
1 1 0
( ) ( -1)
,1 1 1,1 1 1,1 1 0,1 1
( ) ( -1)
,2 2 1,2 2 1,2 2 0,2 2
( ) ( ) ... ( ) ( )
( ) ( ) ... ( ) ( ) (1)
( ) ( ) ... ( ) ( )
n n
n
n n
n n
n n
n n
y t a y t a y t a y t
b u t b u t b u t b u t
b u t b u t b u t b u t
−
−
−
+ + + + =
+ + + + +
+ + + +
&
&
&
• Como a equação é linear, a solução y(t) pode ser decomposta em duas parcelas, uma devido a u1(t) e outra devido a u1(t).
Março / 2006 Modelagem Matemática de Sistemas Dinâmicos
Modelos no Espaço de EstadosGeneralização• Denominando y1(t) a parcela devido a u1(t) e y2(t) a devido
a u2(t), a EDL original produz as seguintes duas equações:
( ) ( -1)
1 1 1 1 0 11( ) ( -1)
,1 1 1,1 1 1,1 1 0,1 1
( ) ( ) ... ( ) ( )
( ) ( ) ... ( ) ( ) (2)
n n
n
n n
n n
y t a y t a y t a y t
b u t b u t b u t b u t
−
−
+ + + + =
+ + + +
&
&
( ) ( -1)
1 2 1 2 0 22( ) ( -1)
,2 2 1,2 2 1,2 2 0,2 2
( ) ( ) ... ( ) ( )
( ) ( ) ... ( ) ( ) (3)
n n
n
n n
n n
y t a y t a y t a y t
b u t b u t b u t b u t
−
−
+ + + + =
+ + + +
&
&
48
Março / 2006 Modelagem Matemática de Sistemas Dinâmicos
Modelos no Espaço de EstadosGeneralização• A solução da equação (2) é:
1 1 1 1
1 1 1 1
( ) ( ) ( )(4)
( ) ( ) ( )
t t u t
y t t u t
= +
= +
x A x B
Cx D
&
onde1,1
2,1
1
1,1
,10 1 2 1 1
0 1 . . . 0 00 0 . . . 0 0
.. . . .
.. . . .
.. . . .0 0 . . . 0 1 n
nn n n x n n xa a a a
ββ
ββ
−
− −
⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥= = ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥− − − − ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
A B
[ ] 1 0,11 1 11 0 . . . 0 0
x n xβ⎡ ⎤= = ⎣ ⎦C D
Março / 2006 Modelagem Matemática de Sistemas Dinâmicos
Modelos no Espaço de EstadosGeneralização• A solução da equação (3) é:
2 2 2 2
2 2 2 2
( ) ( ) ( )(5)
( ) ( ) ( )
t t u t
y t t u t
= +
= +
x A x B
Cx D
&
onde1,2
2,2
2
1,2
,20 1 2 1 1
0 1 . . . 0 00 0 . . . 0 0
.. . . .
.. . . .
.. . . .0 0 . . . 0 1 n
nn n n x n n xa a a a
ββ
ββ
−
− −
⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥= = ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥− − − − ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
A B
[ ] 2 0,21 1 11 0 . . . 0 0
x n xβ⎡ ⎤= = ⎣ ⎦C D
49
Março / 2006 Modelagem Matemática de Sistemas Dinâmicos
Modelos no Espaço de EstadosGeneralização• Combinando as equações (4) e (5):
( ) [ ]
( ) [ ]
1 2 1 1 1 2 2 2
11 2 1 2
2
11 2 1 2 1 2
2
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( )( )
( ) ( )
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
t t t t u t t u tu t
t tu t
t t
u ty t y t y t t t
u t
t t
= + = + + +
⎡ ⎤= + + ⎢ ⎥
⎣ ⎦= +
⎡ ⎤= + = + + ⎢ ⎥
⎣ ⎦
= +
x x x A x B A x B
A x x B B
A x Bu
C x x D D
Cx Du
& & &
Março / 2006 Modelagem Matemática de Sistemas Dinâmicos
Modelos no Espaço de EstadosGeneralização
onde
[ ]
[ ]
1,1 1,2
2,1 2,2
11 2
2
1,1 1,2
,1 ,2 2
1 2 0,1 0,2 1 2
. .( )
. .( )( )
. .
n n
n n n x
x
u tt
u t
β ββ β
β ββ β
β β
− −
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥
⎡ ⎤ ⎢ ⎥= = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥
⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
⎡ ⎤= = ⎣ ⎦
u B B B
D D D
50
Março / 2006 Modelagem Matemática de Sistemas Dinâmicos
Modelos no Espaço de EstadosRepresentação de Equações Diferencias Lineares no EE• Exemplo: Um circuito elétrico pode ser representado pelo
seguinte sistema de EDLIT:
Obter a representação desse sistema de EDLI no EE assumindo a saída como sendo a corrente i1(t).
( )
( )
11 2 1
2 1 2 2
( ) ( ) ( ) ( ) (1)
1 ( ) (0) ( ) ( ) ( ) (2)c
di tL R i t i t u tdt
i t dt v R i t i t u tC
+ − =
+ − − = −∫
Solução: A equação (2) pode ser reescrita na forma
1 2 22
1 ( ) ( ) ( )( ) (3)di t di t du ti t RC dt dt dt
⎛ ⎞− − = −⎜ ⎟⎝ ⎠
Março / 2006 Modelagem Matemática de Sistemas Dinâmicos
Modelos no Espaço de EstadosRepresentação de Equações Diferencias Lineares no EE
Isolando i2(t) em (1)
(4) em (3) fornece
12 1 1
( ) 1( ) ( ) ( ) (4)L di ti t i t u tR dt R
= + −
11 1
1 1 21 1
( ) 1( ) ( )1 ( ) 1 ( ) ( )( ) ( )
L di td i t u tL di t di t du tR dt Ri t u t R
C R dt R dt dt dt
⎛ ⎞⎛ ⎞+ −⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞ ⎝ ⎠⎜ ⎟+ − − − = −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎜ ⎟⎝ ⎠
21 1 1 1 1 2
1 1 2
21 1 1 2
1 12
( ) 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) 1 1 ( ) ( )( ) ( )
L di t di t d i t di t du t du ti t u t R L RRC dt C RC dt dt dt dt dt
d i t L di t du t du tL i t u tdt RC dt C RC dt dt
⎛ ⎞+ − − − − + = −⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎛ ⎞+ + − − = −⎜ ⎟⎝ ⎠
51
Março / 2006 Modelagem Matemática de Sistemas Dinâmicos
Modelos no Espaço de EstadosRepresentação de Equações Diferencias Lineares no EE
Chamando i1(t) de y(t) em (5) e dividindo por L,
Portanto
1 1 21 1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (6)y t y t y t u t u t u tRC LC L RC L
⎛ ⎞+ + = + −⎜ ⎟⎝ ⎠
&& & & &
0 1
0,1 1,1 2,1
0,2 1,2 2,2
1 1
1 1 0
10 0
a aLC RC
b b b eRC L
b b bL
= =
= = =
= = − =
21 1 1 2
1 12
( ) ( ) 1 ( ) 1 ( )( ) ( ) (5)d i t L di t du t du tL i t u tdt RC dt C dt RC dt
⎛ ⎞+ + = + −⎜ ⎟⎝ ⎠
Março / 2006 Modelagem Matemática de Sistemas Dinâmicos
Modelos no Espaço de EstadosRepresentação de Equações Diferencias Lineares no EE
Assim,
0,1 2,1
1,1 1,1 1 0,1
2,1 0,1 1 1,1 0 0,1
01 1 10
1 1 1 1 1 10
b
b aL RC L
b a aRC RC L LC RC RLC
β
β β
β β β
= =
= − = − ⋅ =
= − − = − ⋅ − ⋅ = −
0,2 2,2
1,2 1,2 1 0,2
2,2 0,2 1 1,2 0 0,2
01 1 10
1 1 1 10 0
b
b aL RC L
b a aRC L LC RLC
β
β β
β β β
= =
= − = − − ⋅ = −
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − − = − ⋅ − − ⋅ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
52
Março / 2006 Modelagem Matemática de Sistemas Dinâmicos
Modelos no Espaço de EstadosRepresentação de Equações Diferencias Lineares no EE
Logo,
[ ] [ ]
1 1
2 2
1
2
1 10 1( ) ( )
( ) ( )1 1 1 1 1( ) ( )
( )( ) 1 0 0 0 ( )
( )
x t x t L Lt tx t x t
LC RC RC RLC RLC
x ty t t
x t
⎡ ⎤−⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= = +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎛ ⎞− − ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ −⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
⎡ ⎤= +⎢ ⎥
⎣ ⎦
x u
u
&&
&
Março / 2006 Modelagem Matemática de Sistemas Dinâmicos
Modelos no Espaço de EstadosRepresentação de Equações Diferencias Lineares no EE• Exemplo: Resolver o exemplo anterior supondo agora que
a saída do sistema é a tensão no resistor, isto é R(i1(t)-i2(t)).
Solução: As equações (1) e (2) podem ser reescritas na forma:
11
2 22 2
2 2
( ) 1 1( ) ( ) (7)
( ) ( ) ( ) (8)
di t y t u tdt L L
di t d y t d u tC Cdt dt dt
+ =
+ = −
Subtraindo (8) de (7) tem-se:2 2
212 2
1 ( ) 1 ( ) 1 ( )( ) ( ) (9)dy t d y t d u ty t C u t CR dt L dt L dt
+ − = +
53
Março / 2006 Modelagem Matemática de Sistemas Dinâmicos
Modelos no Espaço de EstadosRepresentação de Equações Diferencias Lineares no EE
Rearranjando (9):
2 22
12 2
( ) 1 ( ) 1 1 ( )( ) ( ) (10)d y t dy t d u ty t u tdt RC dt LC LC dt
− − = − −
Portanto
0 1
0,1 1,1 2,1
0,2 1,2 2,2
1 1
1 0 0
0 0 1
a aLC RC
b b b eLC
b b b
= − = −
= − = =
= = = −
Março / 2006 Modelagem Matemática de Sistemas Dinâmicos
Modelos no Espaço de EstadosRepresentação de Equações Diferencias Lineares no EE
Assim,
0,1 2,1
1,1 1,1 1 0,1
2,1 0,1 1 1,1 0 0,1
010 0 0
1 1 1 10 0
b
b aRC
b a aLC RC LC LC
β
β β
β β β
= =
= − = + ⋅ =
= − − = − + ⋅ + ⋅ = −
0,2 2,2
1,2 1,2 1 0,2
2
2,2 0,2 1 1,2 0 0,2
11 10 ( 1)
1 1 1 1 10 ( 1)
b
b aRC RC
b a aRC RC LC LC RC
β
β β
β β β
= = −
= − = + ⋅ − = −
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − − = − − ⋅ − − − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
54
Março / 2006 Modelagem Matemática de Sistemas Dinâmicos
Modelos no Espaço de EstadosRepresentação de Equações Diferencias Lineares no EE
Logo,
[ ] [ ]
1 12
2 2
1
2
100 1( ) ( )( ) ( )1 1( ) ( ) 1 1 1
( )( ) 1 0 0 1 ( )
( )
x t x t RCt t
x t x tLC RC LC LC RC
x ty t t
x t
⎡ ⎤−⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= = +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎛ ⎞⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥ − −⎣ ⎦ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
⎡ ⎤= + −⎢ ⎥
⎣ ⎦
x u
u
&&
&
Março / 2006 Modelagem Matemática de Sistemas Dinâmicos
Transição entre Modelos
Equações Diferenciais
Espaço deEstados
Função de Transferência
Transformada de Laplace (TL)
Linearização
Condições Iniciais NulasTransformada de Laplace Inversa (TL)
top related