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Modelagem Fuzzy Evolutiva

Julho de 2014

Rosângela Ballini

A. Fundamentos da Teoria de Conjuntos Fuzzy

B. Sistemas de Inferência Fuzzy

Estrutura do Minicurso

A. Fundamentos da Teoria de Conjuntos Fuzzy

1. Quando surgiu Lógica Fuzzy?

2. Conjuntos Clássicos (Crisp)

3. Conjuntos Fuzzy

4. Funções de Pertinência

5. Operadores Lógicos

6. Sistema de Inferência

7. Uso do Matlab

A. Quando Surgiu a Lógica Fuzzy?

Em1965 Lotif A. Zadeh publicou “Fuzzy Sets”

Information and Control, vol. 8, pp. 338-353.

Em 1973, L. Zadeh publicou “Outline of a new

approach to the analysis of complex systems and

decision processes”, IEEE Trans. On Systems, Man, and

Cybernetics, vol. 1, pp.28-44.

Lotfi A. Zadeh nasceu em 1921, em Baku, Azerbaijani,

é Engenheiro Elétrico pela Universidade de Teerã

(1942), Mestrado em Engenharia Elétrica no MIT

(1946) e Doutorado em Engenharia Elétrica na

Columbia (1949). É professor da Universidade da

Califórnia, desde 1959.

Lógica fuzzy é uma lógica multivalorada capaz

de capturar informações vagas

FUZZY (nebuloso)

Imprecisão, incerteza baseada na intuição humana

e não na teoria da probabilidade.

A representação depende não apenas do

conceito, mas também do contexto em que

está sendo usada.

1. Conjuntos Clássicos (Crisp)

Três métodos possíveis de representação de

conjuntos no universo de discurso U:

1. Enumeração de seus elementos

Exemplo: Seja U o universo dos números pares

𝐴 = 2, 4, 6, 8, … , 20

2. Propriedade P satisfeita por seus elementos

Exemplo: 𝐴 = 𝑥 ∈ 𝒩| 𝑥 é 𝑝𝑎𝑟

3. Função característica: discrimina quais

elementos do universo U são elementos

do conjunto A e quais não são:

𝒳𝐴: 𝑈 → {0,1}

A representação do conjunto A por sua

função característica é escrita como:

𝒳𝐴 𝑥 = 1, 𝑠𝑒 𝑥 ∈ 𝐴0, 𝑠𝑒 𝑥 ∉ 𝐴

Exemplo: Considere o universo de discurso ℝ+

e seja A o conjunto dos números reais entre 3

e 6. A função característica é dada por:

𝒳𝐴 𝑥 = 1, 𝑠𝑒 3 ≤ 𝑥 ≤ 60, 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜

3 6

1

ℝ+

𝒳𝐴 𝑥

2. Conjuntos Fuzzy (Nebulosos)

Definição: (Zadeh, 1965) Um conjunto fuzzy A é

caracterizado por uma função de pertinência

mapeando os elementos de um domínio ou universo

de discurso U para o intervalo unitário [0, 1]. Isto é:

𝐴:𝑈 → [0, 1]

Cada conjunto fuzzy é definido por uma determinada

função chamada de função de pertinência:

𝜇𝐴: 𝑈 → [0, 1]

Um conjunto fuzzy A em X é expresso como

um conjunto de pares ordenados:

}|))(,{( XxxxA A

Universo ou

Universo de discursoConjunto

fuzzy

Função de

pertinência

Um conjunto fuzzy é totalmente caracterizado

por sua função de pertinência.

Exemplo: U=Temperaturas entre [0, 40] definido em ℃

H: conjunto fuzzy de temperaturas altas

𝐻: [0, 40] → [0, 1]

H(t)

t

1

0 10 20 30 40

Grau de pertinência de um elemento do conjunto

universo a um conjunto fuzzy expressa o grau de

compatibilidade do elemento com o conceito

representado pelo conjunto fuzzy.

Possíveis valores têm um aspecto quantitativo,

indicando o grau com que o elemento pertence

ao conjunto.

X

X

A

B

a

c

b

Conjuntos Crisp

X A

B

b

a

c

Conjuntos Fuzzy

1

a c b

𝒳𝐴

a c b

1

0,4

𝜇𝐴

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

qui sex sab dom seg ter qua

Gra

u d

e p

ert

inên

cia

d

Lógica clássica

Exemplo: A={seg, ter, qua, qui, sex, sab, dom}

Lógica

clássica

Lógica

nebulosa

qui 0,0 0,1

sex 0,0 0,8

sab 1,0 1,0

dom 1,0 0,9

seg 0,0 0,0

ter 0,0 0,0

qua 0,0 0,0

𝜇𝐴

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

qui sex sab dom seg ter qua

Gra

u d

e p

ert

inên

c8ia

d

Lógica nebulosa

Exemplo: Taxa de Juros (Taxa Nominal)

“In this example, when the interest rate is 3%, the

interest rate is ‘high’ in the opinion of 10% of the

speculators, giving it a membership grade (an –M-

grade) of 0.1, and so on.

S. C. Dow and D. Ghosh (2009), “Fuzzy Logic and Keynes’s speculative

demand for money”, Journal of Economic Methodology, 16:1, 57-69.

Representações de Funções de Pertinência

As funções de pertinência podem ser

distretas ou contínuas

Podem ser representadas por:

1. Tabular e Via Lista

2. Analítica

3. Gráficos

1. Tabular e Via Lista

Em notação de lista a função de pertinência pode ser

representada por:

𝐴 𝑥 =

𝑖=1

𝑛

𝑎𝑖 𝑥𝑖

Em que 𝑎𝑖 é o grau de pertinência o elemento 𝑥𝑖

A notação de “/” é usada para unir seus elementos a

seus respectivos graus de pertinência.

Exemplo: Representação do conceito temperature alta

(TA), para um conjunto universo discretizado (TD)

TD={0, 5, 10, 25, 20, 25, 30, 35, 40}

𝒕 ∈ 𝑻𝑫 𝝁𝑻𝑨 𝒕

0 0

5 0

10 0

15 0

20 0.34

25 0.67

30 1.0

35 1.0

40 1.0

Notação de lista:

TA = {(0,0), (5,0), (10,0), (15,0), (20,0.34),

(25,0.67), (30, 1.0), (35, 1.0), (40, 1.0)}

Função de Pertinência pode ser

escrita como:

TA = 0/0 + 0/5 + 0/10 + 0/15 + 0.34/20 +

0.67/25 + 1.0/30 + 1.0/35 + 1.0/40

2. Representação Analítica e Gráfica

Conjunto fuzzy definido em um universo

infinito: representação analítica

Definida por valores modais e de dispersão

Tipos de funções comumente usadas:

i. Função Triangular

ii. Função Trapezoidal

iii. Função Gaussiana

i. Função Triangular

𝐴 𝑥 =

0, 𝑠𝑒 𝑥 ≤ 𝑎 𝑥 − 𝑎

𝑚 − 𝑎 , 𝑠𝑒 𝑥 ∈ [𝑎,𝑚]

𝑏 − 𝑥

𝑏 −𝑚 , 𝑠𝑒 𝑥 ∈ [𝑚, 𝑏]

0, 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 𝑏

1

ma b

A

Exemplo: Credit Score - Average

𝐴 𝑥 =

0, 𝑠𝑒 𝑥 ≤ 1.0 𝑥 − 1.0

1.0, 𝑠𝑒 𝑥 ∈ [1.0, 2.0]

3.0 − 𝑥

1.0, 𝑠𝑒 𝑥 ∈ [2.0, 3.0]

0, 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 3.0

1

2.01.0 3.0

A

ii. Função Trapezoidal

𝐴 𝑥 =

0, 𝑠𝑒 𝑥 ≤ 𝑎 𝑥 − 𝑎

𝑚 − 𝑎 , 𝑠𝑒 𝑥 ∈ 𝑎,𝑚]

1, 𝑠𝑒 𝑥 ∈ 𝑚, 𝑛

𝑏 − 𝑥

𝑏 −𝑚 , 𝑠𝑒 𝑥 ∈ [𝑛, 𝑏

0, 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 𝑏

1

ma b

A

n

Exemplo: Credit Score- Average

𝐴 𝑥 =

0, 𝑠𝑒 𝑥 ≤ 0.5 𝑥 − 0.5

1.0, 𝑠𝑒 𝑥 ∈ 0.5,1.5]

1, 𝑠𝑒 𝑥 ∈ 1.5, 1.75]

4.0 − 𝑥

2.5, 𝑠𝑒 𝑥 ∈ 1.75,4.0]

0, 𝑠𝑒 𝑥 > 4.01

1.50.5 4.0

A

1.75

iii. Função Gaussiana

𝐴 𝑥 = 𝑒−𝑘 𝑥−𝑚 2

Em que k>0 1

m x

A

k

𝐴 𝑥 = 𝑒−1.0 𝑥−2 2

em que k>0 1

2.0x

A

1.0

Exemplo: Credit Score- Average

Exemplo: Credit Score

Me

mb

ers

hip

Deg

ree

Teoria de Probabilidade

X

Teoria Fuzzy

3. Operações com Conjuntos Fuzzy

Operações Padrão

1. Complemento Fuzzy

2. Intersecção Fuzzy

3. União Fuzzy

Operações Generalizadas

1. T-normas

2. T-Co-normas

Operadores de Agregação

1. Mandami

2. OWA

Operações Padrão

1. Complementos Fuzzy

Definição: Se A é um conjunto fuzzy em X,

o complemento de A, denotado por 𝐴, é

dado por:

𝐴 𝑥 = 1 − 𝐴 𝑥

Exemplo: Complemento Fuzzy

𝐴1 𝑥 = 1 − 𝐴1 𝑥

2. Intersecção Fuzzy

Definição: Se A e B são dois conjuntos fuzzy

no universo de discurso X, a intersecção é

definida como:

𝐴 ∩ 𝐵 𝑥 = min 𝐴 𝑥 , 𝐵 𝑥 = 𝐴 𝑥 ∧ 𝐵 𝑥

Exemplo: Intersecção Fuzzy

min 𝐴1 𝑥 , 𝐴2 𝑥 = 𝐴1 𝑥 ∧ 𝐴2 𝑥

3. União Fuzzy

Definição: Se A e B são dois conjuntos fuzzy

no universo de discurso X, a união é

definida como:

𝐴 ∪ 𝐵 𝑥 = max 𝐴 𝑥 , 𝐵 𝑥 = 𝐴 𝑥 ∨ 𝐵 𝑥

Exemplo: União Fuzzy

max 𝐴1 𝑥 , 𝐴2 𝑥 = 𝐴1 𝑥 ∨ 𝐴2 𝑥

Operações Generalizadas

São as operações entre conjuntos fuzzy que

assumem formas diferentes das operações padrão

Intersecção e união: empregam outros

operadores em substituição ao mínimo e máximo

Operadores denominados normas triangulares

Normas Triangulares (t-normas)

Operação binária

𝐭: [0,1]2→ [0,1]

que satisfaz as propriedades:

Comutativa: 𝑥 𝐭 𝑦 = 𝑦 𝐭 𝑥

Associativa: 𝑥 𝐭 𝑦 𝐭 𝑧 = 𝑥 𝐭 𝑦 𝐭 𝑧

Monotonicidade:

Se 𝑥 ≤ 𝑦 e w ≤ 𝑧, então 𝑥 𝐭 𝑤 ≤ 𝑦 𝐭 𝑧

Condições limite: 0 𝐭 𝑥 = 0,1 𝐭 𝑥 = 𝑥

Exemplos de t-normas

Mínimo:

𝑥 𝐭 𝑦 = min 𝑥, 𝑦

Produto Algébrico:

𝑥 𝐭 𝑦 = 𝑥𝑦

Para outras t-normas ver (Pedrycz and

Gomide, 1998), (Klir and Folger, 1988)

Exemplo: t-norma produto

𝐴1 𝑥 𝐭 𝐴2 𝑥 = 𝐴1 𝑥 . 𝐴2 𝑥

Co-Normas Triangulares (s-normas)

Operação binária

𝐬: [0,1]2→ [0,1]

que satisfaz as propriedades:

Comutativa: 𝑥 𝐬 𝑦 = 𝑦 𝐬 𝑥

Associativa: 𝑥 𝐬 𝑦 𝐬 𝑧 = 𝑥 𝐬 𝑦 𝐬 𝑧

Monotonicidade:

Se 𝑥 ≤ 𝑦 e w ≤ 𝑧, então 𝑥 𝐬 𝑤 ≤ 𝑦 𝐬 𝑧

Condições limite: 0 𝐬 𝑥 = 𝑥,𝑥 𝐬 1 = 1

Exemplos de co-normas

Mínimo:

𝑥 𝐬 𝑦 = max 𝑥, 𝑦

Soma Algébrica:

𝑥 𝐬 𝑦 = 𝑥 + 𝑦 − 𝑥𝑦

Para outras co-normas ver (Pedrycz and

Gomide, 1998), (Klir and Folger, 1988)

Exemplo: co-norma soma algébrica

Operadores de Agregação

Combinam uma coleção de conjuntos fuzzy para

produzir um único conjunto fuzzy

Operador definido por:

𝐡: [0,1]𝑛→ [0,1]

Função h produz um conjunto fuzzy A operando

sobre os graus de pertinência dos n conjuntos

fuzzy para cada 𝑥 ∈ 𝑋, ou seja,

𝐴 𝑥 = 𝐡[𝐴1 𝑥 , 𝐴2 𝑥 ,⋯ , 𝐴𝑛 𝑥 ]

Operadores de Agregação

Mandami: usa as t-normas e s-normas

Operadores da Média

Operador OWA

Operadores que dão resultados entre a

intersecção padrão e a união padrão

Definidos por:

𝐡𝑝 𝑎1, 𝑎2, ⋯ , 𝑎𝑛 = 1 𝑛 𝑎1𝑝+ 𝑎2

𝑝+⋯+ 𝑎𝑛

𝑝

𝑝

com 𝑝 ∈ ℝ, 𝑝 ≠ 0.

Operadores de Média

Exemplos de Operadores de Média

Média Aritmética (𝑝 = 1)

h 𝑎1, 𝑎2, ⋯ , 𝑎𝑛 = 1 𝑛 𝑎1 + 𝑎2 +⋯+ 𝑎𝑛

Média Harmônica (𝑝 = −1)

h 𝑎1, 𝑎2, ⋯ , 𝑎𝑛 = 𝑛 1 𝑎1 +⋯ 1 𝑎𝑛

Média Geométrica (𝑝 → 0

h 𝑎1, 𝑎2, ⋯ , 𝑎𝑛 = 𝑎1 × 𝑎2 ×⋯× 𝑎𝑛 1 𝑛

Operadores de Média Ponderados

Ordenados (OWA)

Proposto por Ronald R. Yager em 1988:

“On Ordered Weighted Averaging

Aggregation Operators in Multicriteria

decision Making” IEEE Trans. On

Systems, Man and Cybernetics, vol 18,

pp. 183-190

Definição:

Seja 𝐰 = 𝑤1, 𝑤2, ⋯ , 𝑤𝑛 um vetor de pesos tal que

𝑤𝑖 ∈ [0,1] para todo 𝑖, e

𝑖=1

𝑛

𝑤𝑖 = 1

Então, o operador OWA associado a 𝐰 é a função:

ℎ𝑤 𝑎1, 𝑎2, ⋯ , 𝑎𝑛 = 𝑤1𝑏1 + 𝑤2𝑏2 +⋯+𝑤𝑛𝑏𝑛

em que 𝑏𝑖 representa o 𝑖-ésimo maior elemento em

𝑎1, 𝑎2, ⋯ , 𝑎𝑛

Exemplo: Agregação OWA

Seja 𝐰 = 0.3,0.1, 0.2, 0.4 , o operador

OWA resultará em:

𝐡𝑤 0.6, 0.9, 0.2,0.7 = 0.3 × 0.9 + 0.1 ×0.7 + 0.2 × 0.6 + 0.4 × 0.7=0.54

Variáveis Linguísticas

São variáveis cujos valores são palavras ou sentenças

em vez de número

Formalmente, variável linguística é caracterizada pelo

quíntuplo de parâmetros (x, T(x), U, G, m), em que:

x é o nome da variável;

T(x) é o conjunto de termos linguísticos;

U é o universo do discurso;

G é a gramática para gerar os nomes de X;

m é a regra semântica que associa cada termo lingüístico

com seu significado em X.

Exemplo:

x = Desemprego como uma variável linguística

T(x) = {baixo, moderadamente baixo, normal,

moderadamente alto, alto}

X = [0, 25%]

Cálculo com Variáveis Linguísticas

Problema: dados os conjuntos fuzzy que representam

os termos primários e dados os significados dos

modificadores, dos conectivos e negação, calcular o

significado (conjunto fuzzy) de um termo

composto.

Exemplo:

Termos primários: baixa, normal, alta

Modificadores: moderadamente

Conectivos lógicos: and, or, not

Sistema Baseado em Regras Fuzzy

Mecanismo de fuzzification;

Mecanismo de inferência fuzzy (regras);

Mecanismo de defuzzification.

Mecanismo de Fuzzification

Definição das variáveis fuzzy de entrada e

de saída: forma e valores das variáveis

Variáveis lingüísticas: definidas de forma

subjetiva, bem como as funções de

pertinência

Funções de pertinência para cada variável

podem ser gerados:

Triangular, Trapezoidal, Gaussiana, ...

Etapa na qual os valores numéricos são

transformados em graus de pertinência para

um valor lingüístico

Cada valor de entrada terá um grau de

pertinência em cada um dos conjuntos fuzzy

Tipo e quantidade de funções de pertinência

dependem de alguns fatores tais como:

precisão, estabilidade, facilidade de

implementação...

Fuzzification

Mecanismo de Inferência – Base de Regras

Regras: são uma maneira formal de representar

diretivas e estratégias

Regras SE-ENTÃO:

SE <condições> ENTÃO <ação>

Exemplo:

Base de Regras - Inferência

Se <antecedente> ENTÃO <consequente>

Base de regras em termos de conjuntos nebulosos

R( l): Se E E . . . E

Então

Processo de Agregação das Regras

lAéx 11

l

nn AéxlAéx 22

lgéy

Exemplo

U

59

Base de regras

Se V1 é alta e V2 é alta então U e alta

Se V1 é alta e V2 é média então U é alta

Se V1 é média e V2 é alta então U é alta

Se V1 é média e V2 é média então U é média

....

Entradas:

V1 = 35%V2 = 55%

60

61

SE 𝑽𝟏 E 𝑽𝟐 ENTÃO U

U

Interpretações possíveis para a saida final:

• Traduzir para um valor linguístico

• Converter para um valor numérico

• Usar os graus de disparo das regras para

graduar as saídas:

• Usando os graus de máximos:

Alta com 0.66 e média com grau de 0.25

• Usando soma algébrica:

Alta com grau 0.82915

Métodos de defuzzification

Interpretação e utilização dos conjuntos fuzzy

resultantes dos processos de inferência podem

ser feitas de forma distintas, dependendo do tipo

de sistema e da aplicação.

Defuzzification: conversão do resultado linguístico

da inferência em um valor real que melhor o

represente

Métodos de Defuzzification

1. Centro de área (CoA)

2. Primeiro do máximos

3. Média de máximos (MoM)

4. Abordagem Takagi-Sugeno (TS)

1. Centro de área (centro de gravidade,

centróide)

É o valor do conjunto em que a área sob a função

de pertinência é dividida em duas subareas iguais

Centro de área para domínios discretizados

Conjunto fuzzy B definido no conjunto base

𝑌 = {𝑦1, ⋯ , 𝑦𝐷}:

𝐶𝑜𝐴 𝐵 = 𝑖=0𝐷 𝐵 𝑦𝑖 𝑦𝑖 𝑖=0𝐷 𝐵 𝑦𝑖

67

%4,65

)(

)(

)()55,35(

1

1

R

i

i

R

i

i

i

xB

yxB

xyU

68

2. Primeiro dos Máximos

Encontra o primeiro ponto entre os valores

que tem o maior grau de pertinência inferido

pelas regras.

Exemplo: U(35, 50)=85%

3. Média dos Máximos

Encontra o ponto médio entre os valores que

tem o maior grau de pertinência inferido pelas

regras.

Exemplo: U(35, 50)=92,5%

Exemplos:

z0 z0 z0

Centróide Primeiro dos máximos

Média dos Máximos

Resumindo:

Sistema de Inferência Fuzzy

Modelo computacional baseado nos

conceitos de:

1. Teoria de conjuntos fuzzy

2. Regras Se-Então fuzzy

3. Raciocínio aproximado

Exemplo

Objetivo do sistema:

◦ um analista de projetos de uma empresa que

determina o risco de um projeto

Variáveis de entrada:

quantidade de dinheiro e de pessoas envolvidas

no projeto

Problema a ser resolvido:

dinheiro = 35% e pessoal = 60%

Base de conhecimento

1.Se dinheiro é adequado ou no. de pessoas

é baixo então risco é pequeno

2.Se dinheiro é médio e no. de pessoas é

alto então risco é normal

3.Se dinheiro é inadequado, então risco é

alto

Inferência Fuzzy

Passo 1: Fuzzification

( ) 0,75& ( ) 0,25i md d

Dinheiro

Inadequado

Médio

Adequado

35

.25

.75

.2

Pessoal

60

Baixo Alto

8,0)(&2,0)( pp ab

.2

.8

Inferência Fuzzy

Passo 2: Avaliação das regras

◦ OU máximo E mínimo

Adequado

Regra 1:

Baixo0,0ou

0,2

Risco

médio

Regra 2:

Alto0,25

e

0,8

Risco

77

Inferência Fuzzy

Risco

Inadequado

Regra 3:

0,75

78

Inferência Fuzzy

Passo 3: Defuzzification

4,708,3

5,267

75,075,075,025,025,025,02,02,02,02,0

75,0*)1009080(25,0*)706050(2,0*)40302010(

C

Risco

0,75

0,25

pequeno normal alto

0,20

10 20 30 40 706050 1009080

Exemplo: Verificação de Crédito de Firmas

Pequenas

Objetivo: explicar como gerente de crédito de

bancos tomam decisões quanto à credibilidade de

pequenas firmas

Etapas de pesquisa (estudos empíricos):

I. Agregação de determinantes de credibilidade

II. Importância relativa dos determinantes em

diferentes níveis

III. Agregação dos determinantes para obter uma

conclusão

Determinante: Posição de Lucro

Problema: Determinação de Potencial

de Auto Financiamento

Variáveis de Entrada:

1. Taxa de débito dinâmico: indica quantos

anos são necessários para a empresa pagar

seus empréstimos usando o fluxo de caixa

gerado pelas operações

2. Taxa de fluxo de caixa (cash flow per share):

fluxo de caixa/valor das ações emitidas

Primeira etapa: classificação de critérios

por intervalos

6 – 5: risco alto (pobre)

4 – 3: risco médio (médio)

2 – 1: risco baixo (bom)

Taxa de Fluxo de Caixa

Taxa de Débito Dinâmico

Potencial de Auto Financiamento

Regras Para Potencial de Auto

Financiamento

+

Inferência

Firma A

Ativação da Regra 5: Médio – Médio Médio

Médio(4.1)=0.7 AND Médio(7.9)=0.7

Resultado: Médio com grau 0.7

Ativação das Regras

Regra 1: Pobre – Pobre Pobre

pobre(4.1)=0.3 pobre(7.9)=0.3

Resultado: pobre com grau 0.3

Regra 2: Pobre – Médio Pobre

pobre(4.1)=0.3 médio(7.9)=0.7

Resultado: pobre com grau 0.3

Regra 4: Médio – Pobre Pobre

médio(4.1)=0.7 pobre(7.9)=0.3

Resultado: pobre com grau 0.3

Combinação dos Resultados

R5: Médio (grau 0.7)

R1, R2, R4: Pobre (grau 0.3)

Reavaliar saída Pobre (s-norma=soma probabilística):

𝐺𝑃 𝑅1, 𝑅2, 𝑅4 = 𝐺𝑃 𝑅1 ⨁𝐺𝑃 𝑅2 ⨁𝐺𝑃 𝑅4

𝐺𝑃 𝑅1, 𝑅2 = 0.3 + 0.3 − 0.3 × 0.3 = 0.51

𝐺𝑃 𝑅1, 𝑅2, 𝑅4 = 0.51⨁𝐺𝑃 𝑅4 = 0.51⨁0.3 = 0.657

Resultado da Inferência

Defuzzification – Centróide

Elemento “típico” do conjunto Médio: 0

Elemento “típico” do conjunto Pobre: -2

Grau de Disparo de Médio: 0.7

Grau de Disparo de Pobre: 0.657

𝑆𝑎í 𝑎 𝐹𝑖𝑛𝑎𝑙 =0 × 0.7 + −2 × 0.657

0.7 + 0.657

𝑆𝑎í 𝑎 𝐹𝑖𝑛𝑎𝑙 =−1.314

1.357= −0.968

TEORIA DOS CONJUNTOS FUZZY NO MATLAB

B. Modelos Computacionais e Aplicações

1. Contextualização

2. Algoritmos de Agrupamentos

3. Sistema de Inferência Fuzzy Adaptativa

Sistemas Fuzzy

Dificuldades dos Sistemas Fuzzy

◦ Número de termos de cada variável

◦ Parâmetros que definem as funções de pertinência

Suprir tais dificuldades:

◦ Algoritmos de Otimização

◦ Redes Neurais : aprendizagem

◦ Algoritmos Genéticos

95

Sistemas Fuzzy

Clustering (Agrupamento)

Particionar objetos em clusters de forma que:

◦ Objetos dentro de um cluster são similares

◦ Objetos de clusters diferentes são distintos

Descobrir novas categorias de objetos de

uma maneira não-supervisionada

◦ Rótulos de classes não são fornecidos a priori

Tipos de Clustering

Hard

◦ Cada objeto pertence exclusivamente a um únicogrupo na partição

◦ Geram partições sendo que padrões pertencem a apenas um cluster, ou seja, os clusters são disjuntos.

Fuzzy

◦ Cada objeto está associado a um cluster com certograu de pertinência

◦ Associa cada padrão a cada cluster usando uma função de pertinência

Exemplo:

Hard clusters:

𝐻1 = {1, 2, 3, 4, 5}𝐻2 = {6, 7, 8,9}

Fuzzy clusters:

𝐹1 = { 0.9 1 , 0.8 2 , 0.7 3 , 0.6 4 , 0.55 5 , 0.2 6 , 0.2/7,0/8,0/9}

𝐹2 = { 0 1 , 0 2 , 0 3 , 0.1 4 , 0.15 5 , 0.4 6 , 0.35/7,1/8,0.9/9}

Agrupamentos Fuzzy

Algoritmo de Agrupamento Fuzzy

1. Seleciona uma partição fuzzy inicial de N

objetos em k clusters selecionando a

matriz de pertinência 𝑈𝑁×𝑘.

O elemento 𝑢𝑖𝑗 dessa matriz representa o

grau de pertinência do objeto 𝑥𝑖 no cluster 𝑐𝑗

2. Usando U, calcula-se o valor da função critério

fuzzy associada com a partição correspondente.

Exemplo de uma função do erro quadrático

ponderado:

𝐸𝑟𝑟𝑜 =

𝑖=1

𝑁

𝑘=1

𝐾

𝜇𝑖𝑗 𝑥𝑖 − 𝑐𝑘2

em que

𝑐𝑘 =

𝑖=1

𝑁

𝜇𝑖𝑘𝑥𝑖

é o k-ésimo centro de cluster.

3. Repita o passo 2 até que as entradas de

U não sejam alteradas significativamente.

No agrupamento fuzzy, cada cluster é um

conjunto de todos os padrões

Algoritmos de Agrupamentos:

Fuzzy c-Means _FCM

Subtractive Clustering

Agrupamento Fuzzy C-Means (FCM)

Proposto por Bezdek em 1981:

J.C. Bezdek, Pattern Recognition with Fuzzy

Objective Function Algorithms. Plenum Press,

1981.

Método de agrupamento particional que

encontra uma pseudo-partição fuzzy nos

dados.

Pseudo Partição Fuzzy

Seja 𝑋 = {𝑥1, 𝑥2, ⋯ , 𝑥𝑛} conjunto de dados.

Partição c-fuzzy de X (pseudo partição de

X): família de conjuntos fuzzy de X

denotados por

℘ = {𝐴1, 𝐴2, ⋯ , 𝐴𝑐}

que satisfaz:

𝑖=1𝑐 𝐴𝑖 𝑥𝑘 = 1 e 0 < 𝑖=1

𝑐 𝐴𝑖 𝑥𝑘 < 𝑛

Exemplo 1:

Exemplo 2

Método de agrupamento FCM

Problema de agrupamento fuzzy:

Encontrar uma pseudo partição fuzzy e os

centros de clusters associados pelos quais a

estrutura dos dados é melhor representada.

Requer Critério: Índice de desempenho

Usualmente baseado em centros de clusters

Índice de desempenho

Dada uma pseudo partição 𝑃 = {𝐴1, ⋯ , 𝐴𝑐} os

centros de clusters 𝑣1, 𝑣2, ⋯ , 𝑣𝑘 associados com a

partição são calculados:

o vetor 𝑣𝑖 , que é o centro da classe fuzzy 𝐴𝑖 , é a

média ponderada dos dados em 𝐴𝑖

Algoritmo Fuzzy c-means

Assumir que são fornecidos:

– o número de clusters c

– uma medida de distância em particular

– um número real m

– um número positivo pequeno ε (critério

de parada)

Passo 1: Seja t=0. Selecione uma pseudo

partição inicial ℘(0)

O índice de desempenho 𝐽𝑚 ℘ de uma

partição fuzzy ℘ é definido em termos

dos centros de clusters pela fórmula:

Objetivo do FCM: determinar uma

pseudo partição ℘ que minimiza o índice

de desempenho 𝐽𝑚 ℘

Passo 2: Calcule os c centros de clusters

𝑣1, 𝑣2, ⋯ , 𝑣𝑘 para ℘(t) e o valor escolhido

de m por:

Passo 3:Atualize ℘(t+1) pelo procedimento:

Para todo 𝑥𝑘 ∈ 𝑋, se 𝑥𝑘 − 𝑣𝑖 𝑡 2 para todo 𝑖 ∈ ℕ𝑐

então defina:

se 𝑥𝑘 − 𝑣𝑖 𝑡 2 = 0 para algum 𝑖 ∈ 𝐼 ⊆ ℕ𝑐então

defina 𝐴𝑖𝑡+1

𝑥𝑘 para 𝑖 ∈ 𝐼 como sendo qualquer

número real não negativo satisfazendo

Passo 4: Compare ℘(t) e ℘(t+1)

Se | ℘(t+1) - ℘(t) | ≤ ε pare;

caso contrário incremente t e volte ao passo 2.

| ℘(t+1) - ℘(t) | denota uma distância entre ℘(t+1) e

℘(t).

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