métodos quantitativos covariância, correlação e regressão · cálculo de covariância e...

1 Profa. Msc. Érica Siqueira

Métodos Quantitativos

Covariância, Correlação e

Regressão

Profaª Msc. Érica Siqueira

Mini Currículo Professora: Érica Siqueira

• Formação:

Doutoranda em Administração pela FGV.

Mestre em Administração pela FEA USP (2014),

Especialista em Administração pela FGV (2011) e

Bacharel em Sistemas de Informação pelo Mackenzie.

• Professora convidada para cursos de pós graduação.

• Foi professora nos cursos de Administração nas faculdades

Unisant´anna e Estácio.

• Consultora de empresas para elaboração/análise de viabilidade de

projetos de inovação.

• Atua há 17 anos implantando e desenhando sistemas para gestão

empresarial, gestão pública, gestão financeira, cadeia de

suprimentos, etc..

Profaª Msc. Érica Siqueira

Métodos Quantitativos Aplicados

Objetivos de aprendizagem:Depois de ler e discutir este tópicovocê será capaz entender

• Entender o que é a estatística• Noções iniciais de População e Amostra• Processo de inferência• Aplicações usuais de Estatística• Estatística Descritiva: Medidas de Tendência

Central e de Dispersão

Agenda do Curso

Data Horário Tema da Aula

01/10/2018

das 19:00as 22:00

Apresentação da Disciplina, Estatística Descritiva e Inferencial

Variáveis e Tabelas de Frequência, Histograma

08/10/2018

Medidas de Tendência Central: Média Simples: Aritmética e Ponderada, Média Geométrica

Exemplo aplicado: Custo médio ponderado de capital (WACC)

Medidas de Tendência Central: Moda e Mediana

15/10/2018Medidas de Dispersão: Variância, Desvio Padrão e Coeficiente de Variação

Conceito de Esperança Matemática

22/10/2018

Cálculo de Covariância e Correlação

Modelo de Regressão e Beta

Exemplo aplicado: Cálculo CAPM para uma Ação Escolhida

29/10/2018Probabilidade: Noções Básicas

Distribuições: Normal, Binomial e Poisson

Observações

• Usar HP12C

• Para estudar:

• Slides como grandes tópicos

• Livros indicados na bibliografia

• Lista de Exercícios

• Na prova poderá utilizar todo material: livros,

cadernos, calculadoras, slides, etc..., mas não poderá

utilizar celular

Aplicações

• Previsão de demanda,

• Precificação,

• Avaliação de investimentos como ações, títulos

Empresariais, Títulos do Governo,

• Marketing, por exemplo, segmentação de clientes

• Mede o quanto duas variáveis variam conjuntamente.

• Mede o grau de dependência linear entre as duas

variáveis aleatórias

• É uma medida dimensional, ou seja, varia à proporção

que variem as unidades de medida das duas variáveis

para as quais a covariância estiver sendo calculada

• A covariância pode assumir valores pertencentes ao

intervalo[- ∞ até + ∞]

Covariância

• Também mede o quanto duas variáveis variam

conjuntamente.

• Também mede o grau de dependência linear entre as

duas variáveis aleatórias

• É uma medida adimensional, ou seja, não varia à

proporção que variem as unidades de medida das

duas variáveis para as quais a correlação estiver

sendo calculada

• A correlação pode assumir valores pertencentes ao

intervalo [-1 ,+1]

Correlação

Fórmula da Covariância

Fórmula da Correlação

Exercício Vendas x Marketing

Gráfico de Dispersão

Reta da Tendência

Regressão Simples

Prática no Excel

• Correção Exercício Petro e Usi

• Variância, Desvio Padrão e Coeficiente de Variação

utilizando Excel

• Fórmulas: Soma, Média, Var e DesvPad, Cov e Correl

• Ferramenta de Análise de Dados

Na aba PetroUsi calcular usando fórmulas

1. Média

2. Desvio Padrão População e Amostra

3. Coeficiente de Variação

4. Correlação

Usando o Excel

PeríodoPetro(R$)

Usiminas (R$)

DifPetro Dif Usi

Dif Petro * Dif Usi

Mês 1 10 6 1,43 1,29 1,84

Mês 2 8 4 -0,57 -0,71 0,41

Mês 3 9 5 0,43 0,29 0,12

Mês 4 7 3 -1,57 -1,71 2,69

Mês 5 9 4 0,43 -0,71 -0,31

Mês 6 8 5 -0,57 0,29 -0,16

Mês 7 9 6 0,43 1,29 0,55

8,57 4,71 5,14 soma

0,73 cov

0,79 correl

Correlação Petro e Usi

• Abrir Excel - Arquivo - OPÇÕES

Ferramenta: Análise de Dados

Em Suplementos selecionar opção Ferramenta de Análise e depois

Na aba UsiVale calcular usando ferramenta de Análise

1. Média

2. Desvio Padrão População e Amostra

3. Coeficiente de Variação

4. Correlação

Usando o Excel

Na aba IbovPetro calcular usando ferramenta de

Análise

1. Correlação

Usando a Ferramenta de Análise de Dados

Na aba Beta calcular usando ferramenta de Análise

1. Correlação

2. Criar gráfico de Dispersão

3. Criar linha de tendência

4. Pedir Fórmula da Reta

5. Analisar Beta

Usando a Ferramenta de Análise de Dados

y = 2,4403x - 0,158

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

Série1

Linear (Série1)

Traçar linha de tendência no gráfico de dispersão

Pedir equação da reta (regressão)

Beta é o número que multiplica o X, nesse caso 2,44

Beta: Medida de Risco

• Artigo – Ativos defensivos beta < 1

• Análise pelo CAPM

• E(RetornoAtivo) = Retorno Livre de Risco + Beta * (Retorno

Mercado - Retorno Livre de Risco)

• Usando CAPM no seguinte cenário:

• Retorno Mercado (Ibovespa) = 15%

• Retorno Livre de Risco (Selic) = 12,5%

• Beta do Ativo Pretendido (Petro) =2,44

• Então, a menos que você tenha um retorno esperado de 19%

na Petro, não compensa investir nesse ativo, por conta do

Risco, de acordo com o modelo CAPM que relaciona o risco

(beta) e o retorno esperado

Exercício CAPM

• Cálculo o retorno esperado de cada projeto

• Cálculo o custo de capital de cada projeto (CAPM)• E(RetornoAtivo) = Retorno Livre de Risco + Beta * (Retorno Mercado - Retorno Livre de Risco)

Cenário ProbabilidadeRetorno

Projeto ARetorno

Projeto B

Pessimista 10% 10% -20%

Realista 60% 24% 10%

Otimista 30% 28% 42%

Retorno Esperado

Beta 2,30 1,30

Retorno Mercado 14%

Retorno Livre de Risco 6%

• Desvio Padrão – Mais comum. Quanto maior o

desvio, maior o risco de um ativo

• Coeficiente de Variação – Quanto maior o coeficiente,

maior o risco. Permite comparação entre dois ativos

• Variância – Medida que na qual as diferenças são

aumentadas pela função exponencial. Mais utilizada

como entrada para outros cálculos.

• Correlação – Diversificação.

Medidas de Risco

• O risco pode ser avaliado, calculado, estimado em

termos de probabilidades e apresentado sob a forma

de modelos matemáticos/estatísticos. Ver artigo sobre

tipos de riscos

• A incerteza é uma situação expressa por valores

indeterminados e não quantificáveis, isto é, refere-se

a uma situação de "probabilidade numericamente

imensurável" (Knight, 1921, p. 19).

Risco x Incerteza

• A - QUANTO MAIOR O RISCO, MAIOR O RETORNO:

Maior retorno, maior risco.

• B - O RISCO CRESCE COM O TEMPO:

Tempo muito longo aumenta a incerteza.

• C - AVERSÃO A RISCO:

Se o risco for muito alto, o investidor pretenderá maiores

retornos.

• D – Há os riscos não sistemáticos ou diversificáveis, e os riscos

sistemáticos ou não diversificáveis.

Premissas do Risco

• Os riscos sistemáticos ou não diversificáveis afetam todos os ativos, todo o

mercado.

• Decorrem de fatores não controláveis como clima, guerra, inflação,

atentados e outros de natureza semelhante.

• Medido pelo Beta

Risco Sistemático

• Riscos do empreendimento: Relativos a gestão, a decisões

administrativas do negócio. Exemplos: • Produção: fornecedores, matéria-prima, processos produtivos, equipamentos;

• Marketing: estratégias de mercado, posicionamento de produto, escolhas de canal de distribuição;

• Recursos humanos: escolha de pessoas, capacitação, política salarial;

• Logística: localização da indústria, distribuição, política de estoques;

• Finanças: políticas de preços, crédito e cobrança, endividamento e investimento.

• Riscos do negócio: Associados a atividade e ramo da empresa.

Exemplos:• Retração da demanda do produto: produtos de moda;

• Escassez de matéria-prima: leite, soja e trigo por queda de safra;

• Concorrência de produtos importados: automóveis de luxo;

• Obsolescência tecnológica: vídeo cassete, telex;

• Influência de fusões e aquisições: supermercados.

Risco Não Sistemático

Aplicação dos Conceitos

• A covariância, assim como a correlação, visa

identificar como determinados valores se

correlacionam entre si no decorrer do tempo.

Sua fórmula estatística é:

Covarância

Cálculo da Covariância

• Quando a covariância é negativa, significa que os

ativos variam em sentidos opostos, e quando é

positiva, os ativos variam no mesmo sentido.

• No exemplo em questão os dois ativos estão

contrabalançados (sentidos opostos), reduzindo o

risco da carteira. A redução de um retorno de

investimento é contrabalançada pela variação

contrária do outro.

Covariância

• A correlação visa explicar o grau de relacionamento

verificado no comportamento de duas ou mais

variáveis. Quando se trata de duas variáveis, tem-se a

correlação simples, quando se tem mais de duas

variáveis, tem-se a correlação múltipla.

• Enquanto a covariância dá uma ideia geral de como

dois investimentos se movimentam, a correlação dá

um passo a frente da covariância, indicando a

proporção em que isto ocorre, através dos parâmetros

+1 e -1

Correlação

Cálculo da Correlação

Implicação da Correlação

• O Índice Beta é um indicador que mede a

sensibilidade de um ativo em relação ao

comportamento de uma carteira que represente o

mercado.

• É a relação entre a variação do retorno de uma ação

(ativo) e o Ibovespa (mercado), por exemplo.

• Portanto, o Índice Beta é uma medida do risco que

um investidor está exposto ao investir em um ativo em

particular em comparação com o mercado como um

Índice Beta

• βa = Beta

• ra = Retorno do Ativo

• rp = Retorno do Portfólio (Também pode ser

usado como rm = Retorno do Mercado)

Cálculo do Beta

• Beta Alto : Beta > 1

• Beta Neutro : Beta = 1

• Beta Baixo : Beta < 1

Implicações do Beta

42 Profa. Msc. Érica SiqueiraFonte: http://hcinvestimentos.com/

Exemplo Beta

Cenário pAtivo

AAtivo

B Dif ADifB Dif A ^ 2 Dif B ^ 2

Dif A * Dif B * p

Ativo A * Ativo B * p

Recessão 0,25 13 7 -2 -8 4 64 4 22,75

Estável 0,5 15 15 0 0 0 0 0 112,5

Expansão 0,25 17 23 2 8 4 64 4 97,75

15 15 2 32 8 233

1,41 5,66 1,0 8

Desv A 1,41

Desv B 1,41

Covariância 8,00

Correlação 1,00

Esperança Matemática no Artigo

Estudo Inicial de Probabilidade

• Nos Experimento Aleatório (E), mesmo em condições

iniciais sempre idênticas, os resultados finais de cada

vez que o experimento é efetuado serão diferentes e

não previsíveis

• Espaço Amostral de um experimento aleatório é o

conjunto dos resultados possíveis do experimento. O

Espaço Amostral é representado pela letra S.

Conceitos Iniciais

• Um evento A (relativo a um espaço amostral S,

associado a um experimento E) é um subconjunto do

espaço amostral S, dessa forma o próprio S constitui

um evento, assim como o conjunto vazio que também

o pode ser.

• Como exemplos podemos citar:

• No caso de lançamento de um dado comum, S={1, 2,

3, 4, 5, 6}, se nos interessa somente a ocorrência de

números pares, então o evento A={2, 4, 6}

Evento

• Dois eventos são independentes quando o resultado de um não tem dependência do resultado do outro.

• Como exemplo, temos o lançamento simultâneo de dois dados; o resultado do primeiro não tem influência sobre o resultado do segundo e vice-versa

• Dessa maneira, se dois eventos são independentes, a probabilidade de que eles realizem-se, simultaneamente, é igual ao produto das probabilidades de realização dos dois eventos.

• Definindo p1 como a probabilidade de realização do primeiro evento e p2 como a probabilidade do segundo evento, a probabilidade de que ambos realizem-se, simultaneamente, é dada por p = p1 * p2

Eventos Independentes

• São eventos que não têm elemento comum ou, então, são aqueles em que a ocorrência de um deles exclui a ocorrência de outros.

• Como exemplo, podemos, novamente, recorrer ao lançamento de uma moeda, pois ao ocorrer o evento “cara” é excluída, completamente, a possibilidade de ocorrer o evento coroa, ou vice e versa, assim sendo, a ocorrência de um impede, completamente, a ocorrência de outro.

• Se dois eventos são, mutuamente, exclusivos, a probabilidade de que um ou outro realize-se é igual à soma da probabilidade de que cada um deles realize-se, então, o modelo matemático é p = p1 + p2

Eventos Mutuamente Exclusivos

• Sabemos que um evento pode ocorrer ou não. Sendo

p a probabilidade de que ele ocorra e q a

probabilidade de que ele não ocorra (insucesso) para

um mesmo evento, então

• p + q = 1 ou q = p – 1

• Assim, se a probabilidade de um evento ocorrer é 1/5

então a probabilidade de que ele não ocorra é 4/5

Eventos Complementares

Probabilidade de Sair “Cara” no Lançamento de Uma Moeda Justa

•Casos Favoráveis: Cara

•Casos Possíveis: Cara ou Coroa

•Probabilidade: Um caso favorável (Cara) dividido por dois casos possíveis (Cara ou Coroa), ou seja,

1/2, que é 0,50 ou 50%.

Probabilidade de Sair Uma Face Menor do Que Três no Lançamento de Um Dado Justo

• Casos Favoráveis: Um ou Dois.

•Casos Possíveis: Um, Dois, Três, Quatro, Cinco ou Seis.

•Probabilidade: É igual a dois casos favoráveis (Um ou Dois), dividido por seis casos possíveis

(Um, Dois, Três, Quatro, Cinco ou Seis), ou seja, 2/6, isto é, 1/3, que é igual a 0,333... ou

33.333...%.

Moedas e Dados

Probabilidade Total

Exercício

Correção

• Quando um experimento se repete um grande número de vezes, a probabilidade (na definição pela freqüência relativa) de um evento tende para a probabilidade teórica”.

• A lei afirma que a aproximação pela freqüência relativa tende a melhorar quando o número de observações aumenta Essa lei reflete uma noção bastante simples apoiada pelo senso comum: Uma estimativa probabilística baseada apenas em umas poucas observações pode apresentar grande divergência, mas com um número crescente de observações a estimativa tende a ser cada vez com menor erro (precisão).

• Por exemplo, se fizermos uma pesquisa se fizermos uma pesquisa sobre a população de um estado brasileiro e observamos apenas alguns cidadãos (amostra), os resultados podem conter grande erro, porém se analisarmos várias pessoas em várias cidades diferentes dentro deste estado (selecionados ao acaso), os resultados das amostras estarão muito próximos dos verdadeiros valores da população e quanto maior a amostra (maior número de pessoas entrevistadas) maior será esta aproximação.

Lei dos Grandes Números

• A Heurística da Disponibilidade é aquela que diz que

com frequência avaliamos as chances de ocorrência

de um evento pela facilidade com que conseguimos

nos lembrar de ocorrências desse evento.

• Segundo Kahneman, Slovic e Tversky (1988) os

gerentes avaliam a frequência, a probabilidade ou as

causas prováveis de um evento através do grau em

que as circunstâncias ou ocorrências do mesmo estão

prontamente disponíveis na memória

Heurística da Disponibilidade

• Heurística da Representatividade é o julgamento por estereótipo, onde as bases do julgamento são modelos mentais de referência. Os gerentes avaliam a probabilidade de ocorrência de um evento através da similaridade da mesma aos seus estereótipos de acontecimentos semelhantes. Em alguns casos, quando sobre controle, o uso dessa heurística é uma boa aproximação preliminar. Porém em outros, leva a comportamentos que muitos de nós encaramos como irracionais ou moralmente condenáveis - tais como a discriminação. Um problema evidente é o fato de que indivíduos tendem a se basear em tais estratégias, mesmo quando estas informações são insuficientes e há outras de melhor qualidade com base nas quais se pode fazer um julgamento correto.

Representatividade

• Ainda segundo o mesmo autor a Heurística da Ancoragem e Ajustamento é aquela em que se avalia a chance de ocorrência de um evento pela colocação de uma base (âncora) e se faz então um ajuste. Os gerentes começam a realização de suas avaliações a partir de um valor inicial, que é posteriormente ajustado para fins de uma decisão final. O valor inicial, ou ponto de partida, pode ser sugerido por um precedente histórico, pela maneira pela qual um problema é apresentado ou por uma informação aleatória.

• Em situações ambíguas, um fator trivial pode exercer um profundo efeito sobre nossa decisão, caso sirva como ponto de partida, do qual passamos a proceder a ajustamentos. Frequentemente, as pessoas serão capazes de perceber a falta de razoabilidade da âncora, mas seu ajustamento muitas vezes permanecerá irracionalmente, próximo à mesma.

• O que se pode ver com grande constância é que independentemente da base do valor inicial, os ajustamentos efetuados sobre o mesmo tendem a ser insuficientes. Assim, podemos ter decisões distintas para o mesmo problema, dependendo de quais são os valores iniciais.

Ancoragem

O jogo da Porta

• Markowitz (1952) – Teoria do portfólio

• Sharpe (1964) – Precificação de Ativos

Indivíduos perfeitamente racionais, que ordenam de

forma lógica suas preferências, buscam maximizar a

utilidade de suas escolhas, conseguem atribuir, com

precisão, probabilidades aos eventos futuros, etc...

• Finanças comportamentais e racionalidade limitada

Algumas teorias

Distribuição de Probabilidades

Análise planilha de Exemplo de

Investimentos

Aplicação em Finanças

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