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MÉTODOS NUMÉRICOSAPLICAÇÃO NO MATLAB
Professor: Lissandro Brito Viena e-mail: lissandroviena@gmail.com
vienalissandro@yahoo.com.br Site: www.ifba.edu.br/professores/lissandro
EQUAÇÕES ALGÉBRICAS LINEARES E MATRIZES
1) NOTAÇÃO MATRICIAL
Uma matriz consiste de um arranjo retangular de elementos.
A matriz que tem “m” linhas e “n” colunas tem dimensão m x n.
A matriz que possui apenas linhas ou colunas, é denominada de vetor linha ou vetor coluna respectivamente.
11 1n
n1 nn
a a
A
a a
EQUAÇÕES ALGÉBRICAS LINEARES E MATRIZES
Exemplo de matriz linha denominada de vetor linha:
Exemplo de matriz coluna denominada de vetor coluna:
Matriz quadrada é aquela que o número de linhas é igual ao número de colunas. (m = n).
Matrizes quadradas são importantes no momento da resolução de um conjunto equações algébricas lineares. Para tais sistemas, o número de equações (linhas) e o número de variáveis (colunas)
1 nb [b b ]
1
m
c
c
c
Matrizes quadradas são importantes no momento da resolução de um conjunto equações algébricas lineares. Para tais sistemas, o número de equações (linhas) e o número de variáveis (colunas) devem ser iguais para que exista apenas uma solução.
Matriz simétrica: é uma matriz do tipo quadrada em que os elementos aij = aji.
Matriz diagonal: é uma matriz do tipo quadrada em que todos os elementos fora da diagonal principal são nulos.
Matriz identidade: matriz diagonal em que os elementos da diagonal principal são iguais a 1.
Matriz triangular superior: é aquela matriz em que os elementos abaixo da diagonal principal são nulos.
Matriz triangular inferior: é aquela matriz em que os elementos acima da diagonal principal são nulos.
Para saber a dimensão de uma matruz no MATLAB usa-se o seguinte comando (size):
[m, n] = size(matriz)
Representando equações algébricas lineares na forma matricial
Considere o sistema 3 x 3 abaixo:
Representando equações algébricas lineares na forma matricial
Considere o sistema 3 x 3 abaixo:
O sistema acima pode ser representado pela seguinte notação:
A matriz é denominada de matriz dos coeficientes, a matriz b consiste de um vetor coluna de constantes e a matriz x consiste de um vetor coluna de variáveis.
11 1 12 2 13 3 1
21 1 22 2 23 2 2
31 1 32 2 33 3 3
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
A x b
Representando equações algébricas lineares na forma matricial
Uma forma de resolver esse sistema é multiplicar ambos lados pela inversa da matriz dos coeficientes:
Para resolver equações algébricas lineares com MATLAB aplica-se o seguinte comando:
A segunda forma é usar matriz inversa:
A x b
1 1
1
A A x A b
x A b
x A \ b
x inv(A) b
NOÇÕES SOBRE ELMINAÇÃO DE GAUSS
Para explicar o procedimento de resolver equações algébricas lineares pela eliminação de Gauss, o exemplo seguinte será usado:
O primeiro passo na solução do sistema é multiplicar a primeira equação por 0,1/3 e subtraia da segunda, resultando em:
Ao multiplicar a primeira equação por 0,3/3 e subtrair da última equação resulta no seguinte sistema:
1 2 3
1 2 3
1 2 3
3x 0,1x 0,2x 7,85
0,1x 7x 0,3x 19,3
0,3x 0,2x 10x 71,4
2 37,0033x 0,293333x 19,5617
NOÇÕES SOBRE ELMINAÇÃO DE GAUSS
Para completar a operação, x2 deve ser removida da terceira equação restando apenas x3 que pode ser encontrada facilmente.
Após isso, é necessário retornar nas outras equações para calcular as outras variáveis.
1 2 3
2 3
2 3
3x 0,1x 0,2x 7,85
7,0033x 0,293333x 19,5617
0,19x 10,0200x 70,6150
1 2 3
2 3
3
3x 0,1x 0,2x 7,85
7,0033x 0,293333x 19,5617
10,0120x 70,0843
3
70,0843x 7,00003
10,0120
NOÇÕES SOBRE ELMINAÇÃO DE GAUSS
Após isso, é necessário retornar nas outras equações para calcular as outras variáveis.
function [a_ampliada,x] = eliminagauss_lissandro(a,b)% a- matriz dos coeficientes% b - matriz dos termos independentes% x- vetor das variáveis[m,n]=size(a);nb=n+1;a_ampliada=[a b];for k=1:(n-1) for h=(k+1):(n) a_ampliada(h,k:nb)=((a_ampliada(h,k))/(a_ampliada(k,k)))*a_ampliada(k,k:nb)- a_ampliada(h,k:nb); end end x=zeros(n,1); % define inicialmente um vetor solução de zeros, para depois serem atualizados % serve também para estabelecer que o vetor solução é do tipo colunax(n)=a_ampliada(n,nb)/a_ampliada(n,n);for l=n-1:-1:1 for g =((l+1):n) x(l)=(a_ampliada(l,nb))/(a_ampliada(l,l))-((a_ampliada(l,l+1:n))*x(l+1:n))/((a_ampliada(l,l))); end end
MÉTODOS ITERATIVOS
Os métodos iterativos ou métodos aproximados constituem um caminho alternativo aos métodos de eliminação.
Sistemas lineares – Gauss Seidel
É o método iterativo mais comumente usado para resolver equações algébricas lineares. Assuma que foi fornecido um conjunto de n equações na forma:
Para entender melhor esse método, limitaremos o sistema a 3 x 3:
A x b
MÉTODOS ITERATIVOS
Se os elementos da diagonal são todos não nulos, a primeira equação pode ser resolvida para x1, a segunda equação para x2, e a terceira para x3.
11 1 12 2 13 3 1
21 1 22 2 23 3 2
31 1 32 2 33 3 3
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
j 1 j 1j 1 12 2 13 31
11
j j 1j 2 21 1 23 32
22
j jj 3 31 1 32 23
33
b a x a xx
a
b a x a xx
a
b a x a xx
a
MÉTODOS ITERATIVOS
Em que j e j-1 são iteração atual e a anterior respectivamente.
Para começar o processo uma estimativa “chute” inicial deve dado para o valor das variáveis. Uma aproximação simples é considerar que todos valores são nulos.
Para a convergência é necessário que:
Exemplo prático: Use o método de Gauss Seidel para obter a solução do seguinte sistema:
j j 1i ix x
MÉTODOS ITERATIVOS
A solução para o sistema é:[3 -2.5 7]
Solução: Inicialmente deve-se resolver cada equação para variável da diagonal principal.
1 2 3
1 2 3
1 2 3
3x 0.1x 0.2x 7,85
0,1x 7x 0,3x 19,3
0,3x 0,2x 10x 71,4
2 31
1 32
1 23
7,85 0.1x 0.2xx
319,3 0,1x 0,3x
x7
71,4 0,3x 0,2xx
10
MÉTODOS ITERATIVOS
Assumindo x2 e x3 iguais a zero e substituindo na primeira equação para calcular a variável x1 .
O valor acima juntamente com o valor definido para x3, encontra-se a variável x2.
A primeira iteração é finalizada substituindo os valores x1 e x2 para o cálculo de x3.
O slide seguinte mostra o cálculo.
2 31
7,85 0.1x 0.2x 7,85 0,1 (0) 0,2 (0)x
3 3
1 32
2
19,3 0,1x 0,3x 19,3 0,1 (2,616667) 0,3 (0)x
7 7x 2,794524
MÉTODOS ITERATIVOSO valor da variável x3 pode ser calculado da seguinte forma:
Para a segunda iteração, tem-se que:
1 23
3
3
71,4 0,3x 0,2xx
1071,4 0,3 2,616667 0,2 2,794524
x10
x 7,005610
2 31
1
1
7,85 0.1x 0.2xx
37,85 0,1 ( 2,794524) 0,2 (7,005610)
x3
x 2,990557
MÉTODOS ITERATIVOSPara a segunda iteração, tem-se que:
2 31
1
1
7,85 0.1x 0.2xx
37,85 0,1 ( 2,794524) 0,2 (7,005610)
x3
x 2,990557
O valor da variável x2 na segunda iteração:
1 32
2
2
19,3 0,1x 0,3xx
719,3 0,1 ( 2,990557) 0,3 (7,005610)
x7
x 2,499625
MÉTODOS ITERATIVOSO valor da variável x3 na segunda iteração:
OBS: A CADA NOVO VALOR DE “x” CALCULADO PELO MÉTODO DE GAUSS-SEIDEL É IMEDIATAMENTE USADO NA PRÓXIMA EQUAÇÃO PARA ENCONTRAR O OUTRO VALOR DE “x”.
1 23
3
3
71,4 0,3x 0,2xx
1071,4 0,3 2,990557 0,2 2,499625
x10
x 7,000291
MÉTODOS ITERATIVOS
function x = gseidel(a,b,es,maxit)
% x=gseidel(a,b)
% a- matriz dos coefientes
% b- matriz dos termos independentes
% es - critério de parada
% maxit - máxima quantidade de iterações
% x - vetor com a solução do sistema de equações
% error - função matlab que mostra
%uma mensagem de erro e cancela a função
% nargin - número de argumentos de
%entrada de uma determinada função.
MÉTODOS ITERATIVOS
%BIBLIOTECA DE FUNÇÕES DO MATLAB COM AS RESPECTIVAS APLICAÇÕES % error - função matlab que mostra uma mensagem de erro e cancela a função% nargin - número de argumentos de entrada de uma determinada função. O% nargin retorna o número de argumentos de entrada que foi usado para% chamar a função.% nargout - retorna o número de argumentos de saída da função.% isempty - isemty(y) retorna 1 se y é um array sem elemento e 0 caso% contrário if nargin<2 error('pelo menos dois argumentos de entrada são necessários')endif nargin <4 || isempty(maxit) maxit=50;endif nargin<3 ||isempty(es) es = 0.00001;end
MÉTODOS ITERATIVOS
[m,n]=size(a);if m~=n error('a matriz deve ser quadrada')endc=a;% x=xp;for i =1:n c(i,i)=0; x(i)=0;endx=x';for i=1:n d(i)=b(i)/a(i,i);end
for i=1:n c(i,1:n)=c(i,1:n)/a(i,i);enditer = 0;ea=1;% format longwhile ea>=es xvelho=x; for i=1:n x(i)=d(i)-c(i,:)*x; if x(i)~=0 ea(i)=abs(x(i)-xvelho(i)); end iter=iter+1; end xend
MÉTODOS ITERATIVOS
MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON
A expansão em série de Taylor de primeira ordem é dada por:
A equação acima corresponde ao método de Newton Raphson para apenas uma equação.
'i 1 i i 1 i if x f x (x x )f (x )
Estimativa inicial
Equivale ao ponto em que ocorre a intersecção com eixo x. Nesse ponto f(xi+1) = 0.
ii 1 i '
i
f xx x
f (x )
MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON
1k 2k
1k 2k
1k 2k
1k 2k
11 1 2 1 1k 2k 1 1k
1 (x ,x )
12 2k
2 (x ,x )
22 1 2 2 1k 2k 1 1k
1 (x ,x )
22 2k
2 (x ,x )
ff (x ,x ) f (x ,x ) (x x )
x
f(x x ) 0
x
ff (x ,x ) f (x ,x ) (x x )
x
f(x x ) 0
x
MÉTODO DE NEWTON-RAPHSONNa forma vetorial as equações ficam da seguinte maneira:
Podemos resolver a equação acima para (x1, x2).
1k 2k
1 1
1 21 1 2 1 1k 2k 1 1k
2 1 2 2 1k 2k 2 2k2 2
1 2 (x ,x )
f f
x xf (x ,x ) f (x ,x ) (x x )
f (x ,x ) f (x ,x ) (x x )f f
x x
0
0
1k 2k
1
1 1
1,k 1 1 21k 1 1k 2k
2,k 1 2k 2 1k 2k2 2
1 2 (x ,x )
f fx x xx f (x ,x )
x x f (x ,x )f f
x x
MÉTODO DE NEWTON-RAPHSONA seguir a notação resumida:
Em que é a matriz jacobiana das funções do sistema de equações algébricas.
Podemos também fazer as seguintes considerações sobre o método de Newton.
Considere a solução de uma equação de uma única variável dada por:
1
kk 1 k Kx x J f x
J
f (x) c
MÉTODO DE NEWTON-RAPHSONSe xo é a estimativa inicial da solução e é um pequeno desvio da solução correta, então:
Expandindo o lado esquerdo da equação por série de Taylor, tem-se que:
Assumindo um erro muito pequeno resulta que:
Em que:
ox
o of (x x ) c
2
2(0) (0) (0)2
df 1 d ff (x ) x x c
dx 2! dx
(0)x(0)
(0) (0)dfc x
dx
(0) (0)c c f x
MÉTODO DE NEWTON-RAPHSONO algoritmo de Newton Raphson é então colocado abaixo:
Para ilustrar a aplicação do método de Newton-Raphson, o seguinte exemplo será utilizado:
(k) (k)c c f x (k)
(k)(k)
cx
dfdx
(k 1) (k) (k)x x x
3 2f x x 6x 9x 4
MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON
Inicialmente calcula-se a derivada da função:
3 2
2
f x x 6x 9x 4
df3x 12x 9
dx
(0) (k)
(0) 3 2
c c f x
c 0 6 6(6) 9(6) 4 50
0
2df3 6 12 6 9 45
dx
(0)(0)
0
c 50x 1,1111
45dfdx
MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON
O resultado no final da primeira iteração é:
As iterações subsequentes resultam em:
(1) (0) (0)
(1)
x x x
x 6 1,1111 4,8889
(2) (1) (1)
(3) (2) (2)
(4) (3) (3)
(5) (4) (4)
13,4431x x x 4,8889 4,2789
22,037
2,9981x x x 4,2789 4,0405
12,5797
0,3748x x x 4,0405 4,0011
9,4914
0,0095x x x 4,0011 4,000
9,0126
MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON
Agora considere o problema que envolve uma quantidade maior de variáveis:
1 1 2 n 1
2 1 2 n 2
n 1 2 n n
f (x ,x , x ) c
f (x ,x , x ) c
f (x ,x , x ) c
MÉTODO DE NEWTON-RAPHSONAplicando série de Taylor e desprezando os termos de ordem elevada resulta em:
Colocando na forma matricial:
1 2 n
1 2 n
(0) (0) (0) (0)1 1 11 1
1 2 n
(0) (0) (0) (0)n n nn n
1 2 n
f f ff x x x c
x x x
f f ff x x x c
x x x
MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON
Colocando na forma matricial:
Numa forma mais compacta, a notação seguinte torna-se mais apropriada.
1
1
n
n
(0) (0) (0)
1 1 1(0)
0 1 2 n1
0n (0)(0) (0) (0)
n n n
1 2 n
f f f
xx x xc f (x)
c f (x)xf f f
x x x
(k) (k) (k)C J x
MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON
Colocando na forma matricial:
A atualização das variáveis é feita da seguinte maneira:
(k) (k) (k)
(k) 1(k) (k)
C J x
x J C
k 1 k (k)x x x
MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON
Em que:
- MATRIZ JACOBIANA
(k)1(k)
(k) 2
(k)n
(k)
1 1
(k)(k) 2 2
(k)
n n
x
xx
x
c f
c fC
c f
(k) (k) (k)
1 1 1
1 2 n
(k)
(k) (k) (k)
n n n
1 2 n
f f f
x x x
J
f f f
x x x
(k)J
MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON
Exemplo de aplicação do método de Newton-Raphson
1) Encontre a solução do seguinte sistema de equações
Passo 1: Construção da matriz jacobiana
Passo 2: Preparar o algoritmo
1
2 21 2
x2
x x 4
e x 1
1
1 2x
2x 2xj
e 1
MÉTODO DE NEWTON-RAPHSONExemplo de aplicação do método de Newton-Raphsondeltax=1; % incremento da variável é ajustado em um valor altox=input('Entre com a estimativa inicial -> ');iter = 0;disp(' iter deltac j deltax x')while abs(deltax)>0.0001 & iter<100 iter=iter+1; deltac=0-(x^3-6*x^2+9*x-4);j=3*x^2-12*x+9;deltax=deltac/j;x=x+deltax;% fprintf('%g', iter)disp([iter , deltac, j, deltax, x])end
MÉTODO DE NEWTON-RAPHSONExemplo de aplicação do método de Newton-Raphsoniter = 0;x=input('Entre com a estimativa inicial da solução - vetor coluna x=[x1;x2] - > ');deltax=[1;1];c=[4;1];disp('iter deltac jacobiana deltax x')while max(abs(deltax))>=0.0001 & iter<10 iter=iter+1; f=[x(1)^2+x(2)^2; exp(x(1))+x(2)]; deltac=c-f; j=[2*x(1) 2*x(2);exp(x(1)) 1]; deltax=j\deltac; x=x+deltax; fprintf('%g', iter) disp([ deltac, j, deltax, x]
MÉTODO DE NEWTON-RAPHSONExemplo de aplicação do método de Newton-RaphsonAtividade: Partindo com valores iniciais x1, x2, x3 resolva o seguinte sistema de equações pelo método de Newton Raphson:
2 2 21 2 3
21 2 2 3
1 1 3 2 3
x x x 11
x x x 3x 3
x x x x x 6
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