matemÁtica de crÉdito ao consumidorde valor nominal ncr$ 1.000,00 cada uma e que a finan-ceira...

MATEMÁTICADE CRÉDITO

AO CONSUMIDOR

EDMUNDO ÉBOLI BONINI *Desde que se iniciou no Brasil a chamada "reforma domercado de capitais" êste setor passou a concentrar asatenções de todos os segmentos da economia nacional. Asdiferentes entidades que compõem o setor financeirocomeçaram a ser alvo de especial curiosidade. As Bôlsas deValôres dos Bancos Comerciais, dos Bancos de Investi-mentos e sobretudo das Financeiras começaram a serobjeto de atenção especial.Essa atenção não se circunscreveu às suas funções comopeças de um mecanismo maior. Ao contrário, a mecânicade funcionamento de cada uma delas, sobretudo daquelasque foram particularmente influenciadas pela mencionadareforma, vem despertando inusitado interêsse. O funcio-namento de entidades como a Bôlsa, as Financeiras ou osBancos de Investimento, a par das sutilezas próprias dequalquer emprêsa, pressupõe também tôda uma técnicade análise, sem a qual não seria êle satisfatório.Nessa matéria tem papel destacado a matemática finan-ceira, indispensável para a correta tomada de decisões* Professor Contratado do Departamento de Métodos Quantitativos da Escolade Administração de Emprêsas de São Paulo, da Fundação Getúlio Vargas.Professor das Faculdades de Ciências Econômicas e Administrativas da Uni-versidade de São Paulo, Faculdade de Ciências Econômicas de São Paulo,Faculdade de Ciências Econômicas de São Luís, Escola de Engenharia Mauá eFaculdade de Ciências Econômicas da Universidade Mackenzie.

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sôbre empréstimos ou inversões efetuadas por essas em-prêsas.O presente artigo aborda a questão do crédito ao consu-midor e a interveniência das financeiras em operaçõesdêsse tipo.Em função da carência de capital para a aquisição de pro-dutos de consumo durável e veículos, as financeiras podememitir títulos (letras de câmbio), para a obtenção decapital e entregá-las aos consumidores de capital para aaquisição de bens.O fluxograma apresenta-se da seguinte forma:

FINANCEIRA

MERCADODOADOR

MERCADOCONSUMIDOR

Portanto, temos duas fases do processo do fluxo do ca-pital:1 . Obtenção por parte da financeira do capital nomercado.2 . Entrega do capital ao mercado consumidor (usuá-rios).EXEMPLOS DE CÁLCULOS

A financeira para a obtenção de dinheiro no mercadodoador, deverá, evidentemente, pagar algumas comissões,taxas e também apresentar uma certa rentabilidade, taiscomo:• Rentabilidade para o mercado doador (Letra de

Câmbio).• Corretagem para o vendedor da Letra de Câmbio.• Corretagem de Aceite (Receita da financeira).

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• Outras Corretagens (Receitas das financeiras).• Impôsto sôbre Operações financeiras (IOF).Iremos, a título de exemplo, considerar as seguintes taxas:

• 32% ao ano

• 5% " "• 5% " "• 1,6% " "• 1% " "Consideremos que o Mercado Consumidor deva .NCr$ 12.000,00, a serem pagos à financeira em 12 pro-missórias de NCr$ 1.000,00 cada. Para a obtenção dêstecapital, a financeira lançará no mercado doador letrasde câmbio. Suponhamos que sejam 12 letras de câmbiode NCr$ 1.000,00. Como o prazo mínimo de vencimentoda letra é de 6 meses, teremos que a primeira terá o valorde NCr$ 6.000,00 e as sucessivas de NCr$ 1.000,00, deacôrdo com o seguinte diagrama:

6 meses 7 8 9 10 11 12I I I I ! I I

Hoje 6.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000

1. A que valor serão colocadas no Mercado Doador asletras de câmbio? De acôrdo com o primeiro exemplo,temos uma taxa a = 32% a.a. Assim, a letra de câmbiocom o vencimento para 6 meses terá o valor no mercadodoador de:

K1 + ~ K1 = 1= > K1 (1 + Cl!2)= 1 = > K1 = 11+~

21 1 1

O 16 = 1,16 = 0,8620691+ ,0,32

1+-2-

Sendo que Ki é o coeficiente que deverá multiplicar asletras de câmbio com o vencimento para 6 meses. Portanto,teremos:

6.000,00 X 0,862069 = 5.172,414 (Anexo 1)

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Para as outras letras com vencimentos sucessivos, oscoeficientes serão:

1K2 = -------

a a1+-+-,1

2 12

1------- = 0,8426941 0,32 0,32 1

+-2-+12'

e assim, genericamente, teremos:

1Kj + 1 = -------

a a .l+-+-'J2 12

j = [O, 1, 2, ••.... , 18]

e os respectivos valôres serão:1

K3 = 1,21334 = 0,824171

K4 = 0,806445

Ks = 0,789465

K6 = 0,773186

K7 = 0,757564

Ks = 0,742561

K9 = 0,728141

KlO = 0,714270

Kll = 0,700918

K12 = 0,688056

K13 = 0,675657

K14 = 0,663698

K15 = 0,652154

K16 = 0,641005

K17 = 0,630230

K1S = 0,619813

K19 = 0,609734

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Temos, então, no Anexo 1, o dinheiro proveniente do"mercado doador".

2 . A financeira terá de pagar uma taxa de corretagem(~) sôbre a venda das letras de câmbio. Consideremosque a taxa seja da ordem de 5% ao ano. Assim, temosque para a primeira letra a financeira pagará 0,025.Observar que as comissões são pagas sôbre o líquido dasletras. Os outros coeficientes para a obtenção da corre-tagem serão:

~1 = 0,05 + 0,05 • O = O0252 12 '

0,05 0,05~2 = -2- + 12· 1 = 0,025 + 0,004166· 1 = 0,029166

e assim, genericamente, teremos:

~.+ 1 = ~ + L .J'J 2 12

j = [O, 1, 2, •••.• , 181

À3 = 0,033332 À9 = 0,058328 À1S = 0,083324

À4 = 0,037498 À10 = 0,062494 À16 = 0,087490

Às = 0,041664 À11 = 0,066660 À17 = 0,091656

À6 = 0,045830 À12 = 0,070826 À18 = 0,095822

À7 = 0,049996 À13 = 0,074992 À19 = 0,099988

À8 = 9,054162 À14 = 0,079158

Temos no Anexo 2 a corretagem a ser paga pela finan-ceira, sendo que o mesmo foi obtido multiplicando-se cadaparcela de capital recebido do mercado doador pela corres-pondente taxa do prazo (A). Assim, temos que, por exem-plo, para o dinheiro proveniente do mercado pelas 6 letrasde valor nominal NCr$ 1.000,00 cada uma e que a Finan-ceira recebeu NCr$ 5.172,414 deverá pagar ao corretor(~Al) ou seja NCr$ 5.172,414 X 0,025= 129,310350;a segunda letra com vencimento para 7 meses e de valornominal de NCr$ 1. 000,00 a financeira receberá domercado doador NCr$ 842,694, conforme Anexo 1 e

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deverá pagar ao corretor (!lI Â2) Ouseja NCr$ 842,694 XX 0,029166 = 24,578013, conforme Anexo 2 e assimpor diante.

3 . A financeira, para aceitar a operação de crédito,cobrará uma comissão de 5% ao ano, sendo que estacomissão comportar-se-á de acôrdo com a corretagem,uma vez que a mesma é de 5% ao ano, por hipótese.

4 . A financeira cobrará também outras comissões que,somadas, serão 1,6% ou 0,016 e, desdobradas, serão:0,016 = (0,005 + 0,005 + 0,005 + 0,001). Portanto,teremos de obter os coeficientes para: 0,005 (Y) e 0,001(Ô ). Assim, temos:

Para 0,005 (Y)

j = [O, 1, 2, ....• , 18)

M1 = 0,005 + 0,005 • O = 00025 + 00004166. O = 000250002 12 " ,

M2 = 0,0029166 Mn = 0,0066600

M3 = 0,0033320 M12 = 0,0070826

M4 = 0,0037498 M13 = 0,0074992

Ms = 0,0041664 M14 = 0,0079158

M6 = 0,0045830 M1s = 0,0083324

M7 = 0,0049996 M16 = 0,0087490

Ms = 0,0054162 M17 = 0,0091656

Mg = 0,0058328 M1S = 0,0095822

MlO = 0,0062494 M19 = 0,0099988

Assim, temos o Anexo 3, obtido através da multiplicaçãodos coeficientes MHl pelos capitais líquidos provenientesdo mercado doador (Anexo 1).

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Para a taxa: 0,001 (ô)

N Ô + Ô •H1=2' 12J, [j = O, 1, 2, •.•.. , 18J

N1

= 0,001 + 0,001 • O = O0005 + O 00008333 • O = O000500002 12 " ,

N2 = 0,00058333 N8 = 0,00108331 N 14 = 0,00158329

N3 = 0,00066666 Ng = 0,00116664 N 15 = 0,00166662

N4 = 0,00074999 NlO = 0,00124997 N 16 = 0,0014 7995

N5 = 0,00083332 N 11 = 0,00133330 N17 = 0,00183328

N6 = 0,00091665 N 12 = 0,00141663 N18 = 0,00191551

N7 = 0,00099998 N13 = 0,00149996 N19 = 0,00199940

Assim, temos que o Anexo 4 é obtido através da multipli-cação Ni+1, pelos capitais líquidos provenientes do mer-cado doador (Anexo 1).

5. O impôsto sôbre operações financeiras (IOF) é de1% e incide sôbre a soma dos valôres nominais das letrase da corretagem, cujos cálculos estão apresentados noAnexo 5.

COMENTÁRIOS FINAIS

I . A financeira funciona apenas como uma interme-diária entre o mercado doador e o mercado consumidor.Por isso, em nosso Anexo 6, apresentamos os seguinteselementos:

( 1) Capitais.(2) Correção monetária = capitais - capitais pro-

venientes do mercado doador (Anexo 1), que cor-responde o lucro do mercado doador (lucratividadedas letras de câmbio).

(3) Corretagem.(4 ) Comissão da financeira.(5) Impôsto de Operações Financeiras (IOF).(6 ) Outras comissões [3 X Anexo (3) + Anexo (4)].

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( 7 ) Somas dos itens (2) + (3) + (4) + (5) + (6) == despesas e lucratividade da financeira.

( 8 ) Líquido = capitais ( 1) - despesas ( 7), quecorresponde à quantia que será dada ao mercadoconsumidor (usuários).

II . Determinação da taxa de juros para o mercadoconsumidor, isto é, para os usuários. O montante do ca-pital líquido recebido pelo mercado consumidor deveráser igual ao montante das prestações. Assim, temos doiscritérios:

• a capitalização simples, e• a capitalização composta.

Determinação da taxa

• Capitalização simples

M = M'; sendo M = montante do capital líquido (8),Anexo 6 e M' = montante das prestações a serem pagaspelos usuários.

M = C (1 + in)

M' = C1

[ n + in (n2- 1) ]

C (1 + in) = C1 [n + in (n - 1) -I2 -1

C1 • n - C1 = --~----=----

(n - 1)Cn - C1 n . -'=--'-

2

Considerando-se n =12, Ci = 1.000,00 e C = 9.105,46;vem:

1.000,00 X 12 - 9.105,46 011 = ----~~~-----..:....:....:...-.~- = 0,0669 ou 6,69;0

12·119.105,46 X 12 - 1.000,00 X .....:..::----=-=-2

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ao mês. Para o cálculo de outros capitais, o procedi-mento é análogo.

• Capitalização Composta

M = M'; sendo M = montante do capital líquido (8),anexo 6 e M' = montante das prestações a serem pagaspelos usuários.

M = C (1 + il( n 1) (1 + í)" - 1

M' = C1• r -:- = C1 • .1 1

(1 + i)" - 1 C (1 + i)" - 1C (1 + i)" = C1 • = > - = = >

C1 (1 + il - i

C1 =C

(1 + il· i(1 + i)" - 1

-1=a~

Considerando n = 12jCl = 1.000 e C = 9.105.46, temos:

o 109824 = 1.000,00, 2 9.205,46

(1 + ')12 .112 • 1 , observando a tabela

(1+ i) - 1

a-1 para n = 12 encontramos i aproximadamente igualnla 0,045 ou 4,5% ao mês.Obs.: Um processo mais refinado para o cálculo da taxa

na capitalização composta pode ser feito através deum processo iterativo. (Aproximações sucessivas.)

Seja:

C1 = C. a-I,

~sendo a

~

C1= _---=.C-.-i-- = > Ci = [1 - (1+ i)-n] C1

1 = (1 + i)-n

i= C1 Ll-(I+i)-n]aC

1 - (1 + i)-n

S4 CRÉDITO AO CONSUMIDOR R.A.E. 29/68

Esta fórmula vai servir-nos para determinar i, por apro-ximações sucessivas. A aproximação ih, de ordem h de i,determina-se pela aproximação de ordem ih-I, pela se-guinte fórmula de recorrência:

Como ponto de partida para a primeira aproximação 10

de i, vamos estabelecer um valor menor que i, mas queseja próximo de seu valor.Para isso vamos desenvolver a potência (1 + i) -n deacôrdo com a lei binomial de NEWTON.

(1 + i)-n = 1 _ n> i + n (n + 1) • i2 _ n;n + 1) (n + 2) i3 + ... ;2 2' 3

êste desenvolvimento apresenta uma série convergenteSubstituindo na igualdade a O têrmo (1 + i) -n pelodesenvolvimento acima, vem:

. C1 [1 +. n (n + 1) i2

.2 + n (n + 1) (n + 2).3 ]1=- -1 01- 1 '1-C 2 2· 3 ...

i =S[ni- n(n+l) .i2 + n(n+l)(n+2) .i3_ ... ]C 2 2·3

dividindo-se ambos têrmos por n.i, obtemos:

...!.. = S [1 _ n +- 1 • i + (n + 1) (n + 2) • i2 - ... ],n C 2 2·3

desprezando ....:('-n_+~l:....)(.:.-n_+~2.:....).2• 12·3

e os sucessivos, temos a

seguinte desigualdade:

~ > C1 [1 _ n + 1 . iJn C 2

1 C1 (n + 1) . C1->-- '1-n C 2 C

(n + 1) • i ~ > C1 _ ~ (x 2C ) .2 C C n (n+ 1) C1

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. 2 2C1 > --- - -----

n + 1 n (n + 1) C1

i > _2_[I-~Jn + 1 nCl

Podemos, então, tomar como primeira aproximação de io valor do segundo membro da desigualdade, isto é:

. 2 [ C ]lo = n + 1 1 - nC1

Em nosso exemplo anterior, teríamos:

i = 2 (1 _ 9.105,46 ) = 00371 ou 371%o 12+1 12X1.000,00 ' , o

IH . A financeira ao vender o crédito ao consumidor,ou seja, o financiamento ao mercado consumidor, diz quea taxa de juros é obtida através da seguinte fórmula:

1 = N X C1 - C d N ' d -C ' on e = numero e prestaçoes,

i = taxa de juros do empréstimo,

C1 = valor de cada prestação,

C = líquido recebido.

Portanto, para C = 9.105,46, N = 12 e Crteremos:

1.000,00,

12 X 1.000,00 - 9.105,461 = -----'-=-------'-- = 0,31789 e a taxa mensal será:

9.105,46

0,31789im = --'--- = 0,0265 ou 2,65% ao mês.12

CRíTICA

Observamos aqui que não há para o cálculo da taxa aaplicação fundamental do princípio da amortização de umempréstimo ou seja:"O montante do capital emprestado deverá ser igual aomontante das prestações."

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