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Matemática e suas Tecnologias - Matemática

Ensino Médio, 3º AnoForma algébrica dos números complexos

MATEMÁTICA, 3º Ano Forma Algébrica dos Números Complexos

Números não reais, números imaginários

do Ensino Médio

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- De fato, não existe solução no conjunto dos números reais, Mário. Mas sabia que existe um outro conjunto numérico no qual há solução para esse problema?

- É o conjunto dos números complexos.

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- Números complexos?????

- Como é isso?????

- Como surgiu esse conjunto???????

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Nicollo Tartaglia

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Cardano

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Imagem: Autor desconhecido / Public domain.

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Assim, definiram i como um número não real, chamado de unidade imaginária, tal que

² = -1

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Então...•

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- Já entendi como vou calcular a raiz quadrada de um número negativo. Oba!!

- Ficou fácil!- É só fazer o seguinte:

= = =±11

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- Isso mesmo. - Meu professor falou que número complexo é todo número da forma a + bi. a e b são números reais, e i é a unidade imaginária.

- Essa é a forma algébrica de um número complexo.

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Na forma algébrica z = a + bi, • a é a parte real.• E b é a parte imaginária.• Assim, em Z = 6 – 3i, temos:Re (Z) = 6Im (Z) = - 3

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Imaginário Puro

• O número complexo em que a parte real é zero é chamado de número imaginário puro.

• Ex: z = 8i• Re (z) = 0• Im (z) = 8

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Número Real

O número complexo em que a parte imaginária é nula é denominado número real.

• Ex: z = 6• Re (z) = 6• Im (z) = 0

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O Conjunto dos Números ComplexosGauss, em 1831, definiu que o Conjunto dos Números Complexos é um conjunto de pares ordenados de números reais, para os quais valem as operações de igualdade, adição e multiplicação.Então, podemos afirmar que (a, b) e a + bi são representações diferentes de um mesmo número complexo.

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Gauss

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- Mas, vamos com calma. Você é 8ª série, não precisa colocar a solução no campo dos complexos. Veja, seu professor pediu que resolvesse no campo dos reais.

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- Certo. Vou continuar resolvendo as equações no conjunto dos reais, mas vou contar pra meus amigos tudo o que aprendi sobre os números complexos.

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Depois dessa conversa com Mário, Miguel resolveu revisar os exercícios que seu professor havia passado, ao ensinar números complexos.

Vamos revisar com ele!

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Forma algébricaExemplo 1:Escreva na forma algébrica ou binomial os seguintes números complexos:a) ( -3, -3)b) ( 2, - 4)Solução:c) -3 – 3id) 2 – 4i

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Exemplo 2:

Calcule k para que z = (k – 3) + 4i seja imaginário puro.

Solução:

Para z ser imaginário puro, Re (z) = 0 e

Im(z) ≠ 0.

Assim, devemos ter:

Re (z) = k – 3 = 0, ou seja, k = 3.

Im (z) = 4 ≠ 0.

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Exemplo 3:Calcular k, de modo que z = -3 + (k – 1) i seja um número real.Solução: Sabe-se que z será número real se, e somente se, Im (z) = 0. Daí, teremos k – 1 = 0, ou seja, k = 1.

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Exemplo 4:Identifique a parte real e a parte imaginária de cada número complexo abaixo:a) Z = 3 – 8iRe (z) = 3Im (z) = - 8b) Z = - 9 + 33iRe (z) = - 9 e Im(z) = 33

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Exemplo 5:Vamos determinar o valor real de x para que o número complexo z = (8 – x) + (2x -3) i seja um número imaginário puro.Solução:Re (z) = 0, ou seja, 8 – x = 0. Daí, x = 8Para x = 8, teremos:Im (z) = 2x – 3 = 2. 8 – 3 = 13 ≠ 0

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Verificando, para x= 8:

Z = ( 8 – 8) + ( 2.8 – 3) i = 0 + 13i = 13 i

13i é número imaginário puro.

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REFERÊNCIASDANTE, L. R. Matemática: Contexto e Aplicações. Volume 3. São Paulo:

Ática, 2010.

SMOLE, K. C. S.; DINIZ, I. S. V. Matemática: Ensino Médio. Volume 2. 6. ed. São Paulo: Saraiva, 2010.

PAIVA, M. Matemática: Volume único. 1. ed. São Paulo: Moderna, 2005.

IEZZI, et al. Matemática: Ciências e Aplicações. Volume 3. São Paulo: Saraiva, 2010.

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Tabela de Imagens

n° do slide

direito da imagem como está ao lado da foto link do site onde se conseguiu a informação Data do Acesso

8 Autor desconhecido / Public domain. http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Tartaglia-

Opere-portrait.jpg18/09/2012

9 Autor desconhecido / Public domain. http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Jer%C3%B4me_Cardan.jpg

18/09/2012

20 Gottlieb Biermann / Domínio Público. http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Carl_Friedrich_Gauss.jpg

18/09/2012