livro digital ---- funÇÕes
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ÍNDICE
FUNÇÕES..............................................................................................................................03
1. FUNÇÃO DE PONTO DE PARTIDA...............................................................................04
1.1 DOMÍNIOS, CONTRADOMÍNIO E IMAGEM...................................................04
1.2 FUNÇÕES SOBREJETORAS, INJETORAS E BIJETORAS...............................04
1.3 EXERCÍCIOS.........................................................................................................06
2. MERGULHANDO DO MUNDO TECNOLÓGICO........................................................07
2.1.MÍDIATECA..........................................................................................................07
3. FUNÇÃO DO 1ºGRAU.....................................................................................................08
3.1 TIPOS DE FUNÇÃO: FUNÇÃO AFIM E FUNÇÃO CONSTANTE...................08
3.2 GRÁFICOS DA FUNÇÃO DO 1º GRAU.............................................................10.
3.3 ZERO OU RAÍZES DA FUNÇÃO DO 1º GRAU..............................................13
3.4 EXERCÍCIOS........................................................................................................14
4. MERGULHANDO DO MUNDO TECNOLÓGICO.......................................................18.
4.1.USANDO O GEOGEBRA......................................................................................18
4.2 EXPERIMENTOS..................................................................................................20
4.3 MÍDIATECA..........................................................................................................21
4.4 ESTUDE UM POUCO MAIS.................................................................................21
5. REFERÊNCIAS.................................................................................................................22
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Funções
Tópico: Função do 1º grau
Por que ensinar
O objetivo deste livro é aprofundar o estudo das funções do primeiro grau, dando
ênfase aos aspectos geométricos e algébricos, a partir de diferentes propostas de abordagens,
tais como explanação dos conceitos formalmente, conexões com softwares (GeoGebra),
inserção de vídeos e da música (paródia).
A conexão geométrica se dá a partir da analise dos gráficos no Plano Cartesiano,
através do cálculo do coeficiente angular, assim como interpretar o crescimento e
decrescimento de uma função, a partir do esboço ou através do software GeoGebra. E
quanto conexão algébrica, quando se atribui o valor desconhecido, o da variável x, em
função de y.
O que ensinar
Domínio, contradomínio e imagem;
Funções sobrejetoras, injetoras e bijetoras;
Função do 1ºgrau;
Função Afim;
Função Constante;
Gráficos de Funções na forma f(x)=ax+b;
Função do 2º Grau no GeoGebra;
Experimentos em função do 1º Grau;
Vídeo em função do 1º Grau;
Paródia sobre Função;
Zero ou raízes da função do 1º Grau.
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1.FUNÇÃO DE PONTO DE PARTIDA
1.1 Domínios, contradomínio e imagem.
São três conjuntos especiais associados à função.
O domínio é o conjunto que contém todos os
elementos x para os quais a função deve ser definida. Já
o contradomínio é: o conjunto que contém os elementos que
podem ser relacionados a elementos do domínio.
Também define-se o conjunto imagem como o
conjunto de valores que efetivamente f(x) assume. O
conjunto imagem é, pois, sempre um subconjunto do contradomínio.
Note-se que a função se caracteriza pelo domínio, o contradomínio, e a lei de
associação. Esta função é definida por:
Nesta função de exemplo temos:
Domínio: D(f) = { -2, -1, 1}
Contradomínio: CD(f) = { 12, 3, 27 }
Conjunto Imagem: Im(f) = { 12, 3, 27 }
1.2 Funções sobrejetoras, injetoras e bijetoras.
Os tipos de funções podem ser classificados de acordo com o seu comportamento com
relação à regra uma única saída para cada entrada. Como não foi dito nada sobre as
entradas, ou se as saídas tem que ser únicas temos que resolver estas ambiguidades. Ao fazer
isto encontramos apenas três tipos de classes de funções (classe como em 'classificação'
não classe de equivalência):
Funções injetoras (ou injetivas)
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São funções em que cada elemento da imagem (da saída) está associado a apenas um
elemento do domínio (da entrada), isto é uma relação um para um entre os elementos do
domínio e da imagem. Isto é, quando no domínio então no
contradomínio. A cardinalidade do contradomínio é sempre maior ou igual à do domínio em
uma função injetora. Ressalta-se, portanto que pode haver mais elementos no
contradomínio que no conjunto imagem da função. Exemplo:
Funções sobrejetoras (ou sobrejetiva)
Uma função em que todos os elementos do contradomínio (da saída) estão associados a
algum elemento do domínio (da entrada). Em outras palavras, isso significa que o conjunto
imagem é igual ao conjunto contradomínio.
Funções bijetoras (ou bijetiva)
Se for sobrejetora e injetora, isto é, se todos os elementos do domínio estão associados
a todos os elementos do contradomínio de forma um para um e exclusiva.
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2.MERGULHANDO DO MUNDO TECNOLÓGICO
2.1 MÍDIATECA:
Estudar um pouco mais?
Objetivo:
Objetiva-se com a utilização do vídeo didático em sala de aula, tornar
ambiente educacional interativo, a partir de uma abordagem
diferente ao assunto “estático” tornando o assunto mais atraente,
através da visualização de gráficos.
Vídeo sobre Funções Sobrejetora, injetora e bijetora:
https://www.youtube.com/watch?v=Dc_Am1ztCGU
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3.FUNÇÃO DO 1ºGRAU
Você acha que poderá usar no seu cotidiano a função do 1º grau para resolver algum
problema que lhe apareça de repente?
Veja como, exemplo prático:
Um motorista de táxi cobra R$ 3,50 de bandeirada (valor
fixo) mais R$ 0,70 por quilômetro rodado (valor variável).
Determine o valor a ser pago por uma corrida relativa a um
percurso de 18 quilômetros.
Função que define o valor a ser cobrado por uma corrida
de x quilômetros:
f(x) = 0,70x + 3,50.
Valor a ser pago por uma corrida de percurso igual a 18 quilômetros.
f(x) = 0,70x + 3,50
f(18) = 0,70 * 18 + 3,50
f(18) = 12,60 + 3,50
f(18) = 16,10
O preço a ser pago por uma corrida com percurso igual a 18 quilômetros corresponde a R$
16,10.
3.1 Tipos de Função: Função Afim e função constante
Toda função afim f:R→R pode ser escrita na forma f(x)= ax+b.
Onde: {
I) Para a ≠ 0 a função f pode ser chamada de Função Polinomial de 1° Grau.
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II) Para a=0 a função f não pode ser chamada de Função Polinomial de 1° Grau. Ela é uma
Função Constante.
Uma forma de classificar e diagramar esses tipos de funções:
a) Função Afim f(x)=ax+b
Função Polinomial do 1° Grau
f(x)=ax+b com a≠0
b) Função Constante f(x)=b
No Plano Cartesiano toda função afim é uma reta.
A forma f(x) = ax+b permite o posicionamento desta reta no Plano Cartesiano de um
modo qualitativo, analisando os coeficientes a e b.
Sobre o coeficiente b (coeficiente linear)
Todo ponto do gráfico de uma função f que intercepta o eixo-y (ordenadas) no Plano
Cartesiano, cruza o referido eixo no ponto onde sua abscissa é 0.
Ou seja, para f(x)=ax+b, o gráfico de f cruza o eixo-y em (0,f(0)) e comof(0)=a⋅0+b =
b. Assim o ponto de intercepto de uma função afim no eixo das ordenadas é sempre (0,b).
f(x)=x f(x)=−2x+1 f(x)=58x+5 f(x)=6
Sobre o coeficiente a (coeficiente angular)
1) a>0
Repare simplesmente que se a>0 conforme aumentam-se os valores de x amentar-se-ão os
valores de ax. Logo, também ficarão cada vez maiores os valores de b+ax pois ax estará
contribuindo ao valor de b com valores mais e mais elevados.
Note que eu apenas escrevi nesta ordem: b+ax para destacar a contribuição e ax sobre b.
Mas lembre que f(x)=ax+b = b+ax.
Portanto, para a>0, f(x) é crescente.
Ou seja, para a>0, o gráfico de f no Plano Cartesiano só pode ser uma reta ascendente.
Neste caso, f(x)=ax+b é uma Função Polinomial do 1° Grau. Pois a≠0.
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f(x)=x f(x)=2x + 1 f(x)=58x + 5 f(x)=x − 32
2) a<0
Repare que se a<0 conforme diminuem-se os valores de x diminuir-se-ão os valores de ax.
Logo, também ficarão cada vez menores os valores de b+ax pois estaremos
diminuindo ax do valor de b .
Portanto, para a<0, f(x) é decrescente.
Ou seja, para a<0, o gráfico de f no Plano Cartesiano só pode ser uma reta descendente.
Neste caso, f(x)=ax+b é uma Função Polinomial do 1° Grau. Pois a≠0.
f(x)= −x f(x)= −2x + 1 f(x)= − 58x + 5 f(x)= − x − 32
3) a=0
Se a=0 qualquer alteração dos valores de x não afetará os valores de ax pois ax=0⋅x=0.
Logo, ficará constante o resultado ax+bpois teremos ax+b=0⋅x+b=b .
Portanto, para a=0, f(x) é constante.
Ou seja, para a=0, o gráfico de f no Plano Cartesiano só pode ser uma reta perpendicular ao
eixo das ordenadas, pois todos os resultados f(x) são iguais entre si.
f(x)= 0 f(x)= 1 f(x)= 5 f(x)= −32
3.2 Gráficos de Funções
Toda função pode ser representada graficamente, e a função do 1º grau é formada por
uma reta. Essa reta pode ser crescente ou decrescente, dependendo do sinal de a.
Quando a > 0
Isso significa que a será positivo. Por exemplo, dada a função: f(x) = 2x – 1 ou
y = 2x - 1, onde a = 2 e b = -1. Para construirmos seu gráfico devemos atribuir valores reais
para x, para que possamos achar os valores correspondentes em y.
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X f(x) = 2x – 1 Y
-2 2(-2) -1 = - 4 -1 -5
-1 2(-1) – 1= - 2 -1 -3
0 2.(0) – 1= 0 - 1 -1
2. (
) – 1=
- 1 0
1 2(1) – 1= 2 -1 1
Podemos observar que conforme o valor de x aumenta o valor de y também aumenta,
então dizemos que quando a > 0 a função é crescente.
Com os valores de x e y formamos as coordenadas, que são pares ordenados que
colocamos no plano cartesiano para formar a reta. Veja:
No eixo vertical colocamos os valores de y e no eixo horizontal colocamos os valores
de x.
Quando a < 0
Isso indica que a será negativo. Por exemplo, dada a função f(x) = - x+ 1 ou
y = - x + 1, onde a = -1 e b = 1 . Para construirmos seu gráfico devemos atribuir valores reais
para x, para que possamos achar os valores correspondentes em y.
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X y = - x + 1 Y
-2 - (-2) + 1 -3
1 - (-1) + 1 2
0 0 + 1 1
1 - (1) + 1 0
Podemos observar que conforme o valor de x aumenta o valor de y diminui, então
dizemos que quando a < 0 a função é decrescente.
Com os valores de x e y formamos as coordenadas que são pares ordenados que
colocamos no plano cartesiano para formar a reta. Veja:
No eixo vertical colocamos os valores de y e no eixo horizontal colocamos os valores
de x.
Características de um gráfico de uma função do 1º grau:
• Com a > 0 o gráfico será crescente.
• Com a < 0 o gráfico será decrescente.
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• O ângulo α formado com a reta e com o eixo x será agudo (menor que 90°) quando a > 0.
• O ângulo α formado com reta e com o eixo x será obtuso (maior que 90º) quando a < 0.
• Na construção de um gráfico de uma função do 1º grau basta indicar apenas dois valores
pra x, pois o gráfico é uma reta e uma reta é formada por, no mínimo, 2 pontos.
• Apenas um ponto corta o eixo x, e esse ponto é a raiz da função.
• Apenas um ponto corta o eixo y, esse ponto é o valor de b.
3.3 Zero ou raízes da função do 1º grau
Para compreender o zero de uma função do 1º grau é necessário relembrar dois
conceitos importantes: Função do 1º Grau e Equação do 1º Grau.
Uma função do 1º grau pode ser escrita da seguinte maneira:
Portanto, o zero de uma função do 1º grau é dado pela expressão:
Logo, o zero da função é dado pelo valor de x que faz com que a função assuma o
valor zero. Encontrar este valor de x é muito fácil, pois basta resolver a equação do 1º grau.
Entretanto, devemos nos atentar para a representação geométrica do zero da função,
para que possamos compreender como traçar o gráfico de forma correta.
Veja os pontos marcados sobre o eixo x, note que esses pontos não possuem nenhum
deslocamento vertical, ou seja, sua coordenada em relação ao eixo f(x) é nula, é zero.
Portanto, quando se encontra a raiz de uma função do 1º grau, ou o zero de uma função do 1º
grau, determina-se em qual ponto a reta estará cortando o eixo x.
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Encontre o zero da seguinte função: f(x) = 2x-4:
Note que o valor do coeficiente (a) é positivo, portanto esta é uma função crescente.
Conhecendo o zero da função podemos esboçar o gráfico desta função.
3.4 EXERCÍCIOS
QUESTÃO 01. (Prova Resolvida PM ES 2013 – Exatus) Em linguagem matemática,
sempre que relacionamentos duas grandezas variáveis estamos empregando o conceito de
função. A função y = -x + 5 é chamada função polinomial do 1º grau, e sua representação
gráfica é semelhante a:
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Basta sabermos que o gráfico de uma função do primeiro grau é uma reta e que o valor de
“a” indica se é crescente ou decrescente, neste caso a, letra a.
QUESTÃO 02. O salário de um vendedor é composto de uma parte fixa no valor de R$
800,00, mais uma parte variável de 12% sobre o valor de suas vendas no mês. Caso ele
consiga vender R$ 450 000,00, calcule o valor de seu salário.
f(x) = 12% de x (valor das vendas mensais) + 800 (valor fixo)
f(x) =
* x + 800
f(x) = 0,12x + 800
f(450 000) = 0,12 * 450 000 + 800
f(450 000) = 54 000 + 800
f(450 000) = 54 800
O salário do vendedor será de R$ 54 800,00.
QUESTÃO 03. (Prova Resolvida PM SC 2011 – Cesiep) Duas empresas A e B têm
ônibus com 50 assentos. Em uma excursão para Balneário Camboriú, as duas empresas
adotam os seguintes critérios de pagamento:
A empresa A cobra $25,00 por passageiro mais uma taxa fixa de $400,00.
A empresa B cobra $29,00 por passageiro mais uma taxa fixa de $250,00.
Pergunta-se: Qual é o número mínimo de excursionistas para que o contrato com a empresa
A fique mais barato do que o contrato da empresa B?
a) 37
b) 38
c) 35
d) 40
RESOLUÇÃO:
Note que em ambas as empresas são cobradas um valor fixo mais uma quantidade por
passageiro. Sendo x a quantidade de passageiros: A função que representa o valor cobrado
pela empresa A em função da quantidade de passageiros é:f(x) = 25x + 400
A função que representa o valor cobrado pela empresa B em função da quantidade de
passageiros é:
f(x) = 29x + 250
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Para que a empresa A fique mais barata que a empresa B devemos ter:
29x + 250 > 25x + 400
29x – 25x > 400 – 250
4x > 150
x > 150/4
x > 37,5
Logo, devemos ter pelo menos 38 excursionistas.
QUESTÃO 04. (U. Católica de Salvador-BA) Seja a função f de R em R definida por f(x) =
54x + 45, determine o valor de f(5) – f(2).
QUESTÃO 05. Na revelação de um filme, uma óptica calcula o preço a ser cobrado usando
a fórmula P =12,00 + 0,65n, onde P é o preço, em reais, a ser cobrado e n o número de fotos
reveladas do filme.
a)Quanto pagarei se forem reveladas 18 fotos do meu filme?
b)Se paguei a quantia de R$ 31,50 pela revelação, qual o total de fotos reveladas?
QUESTÃO 06. Analisando as funções f(x) = -3x – 5 e g(x)= 2x - 1, podemos concluir que
essas funções tem como gráfico, respectivamente:
I. Função f(x) é decrescente.
II. Função f(x) é decrescente e g(x) é crescente.
III. Função f(x) é crescente.
É correto afirmar que:
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a) I e II são verdadeiros
b) I e III são verdadeiros
c) II e III são verdadeiros
d) Somente II é verdadeira
e) Somente III é verdadeira
QUESTÃO 07. Suponhamos que o capital de R$ 500,00 foi aplicado a uma taxa de 2% ao
mês nos regimes de juros simples e compostos. O gráfico a seguir é correspondente aos
primeiros meses. Determine o domínio D(f), Contra domínio C. D(f) e a imagem Im(f).
QUESTÃO 08. Esboce o gráfico da função f(x) 3x + 2 de R em R.
QUESTÃO 09. Sejam as funções f de R em R, determine os coeficientes angulares e
coeficientes lineares de cada expressão abaixo.
a. f(x) = - 2x + 5 {
b. f(x) = x – 1 {
c. f(x) = 3 {
d. f(x) = 3x + 1 {
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e. f(x) = -12x – 4 {
f. f(x) = -2x + 3 {
g. f(x) = x {
4. MERGULHANDO DO MUNDO TECNOLÓGICO
4.1 Usando GeoGebra
Objetivo: Manipular, construir e observar a dinâmica do
comportamento do gráfico da função polinomial do 1º grau no
GeoGebra, coeficientes lineares, coeficientes angulares e as
raízes.
Faça download já: www.geogebra.org/cms/pt_BR/download/
ATIVIDADE NO GEOGEBRA
Atividade 1: Construir um gráfico de uma função.
1. Função polinomial do primeiro grau é definida em ƒ: R?
R por y= ax + b, com a e b reais e a? 0.
a) Usando a entrada algébrica digite a função y= 2x + 4.
b) Fazer a intersecção ente a função e o eixo x.
Obs.: Explicar que este ponto da intersecção entre a função e o gráfico é raiz ou zero da
função, pois neste ponto a função tem valor igual a zeros.
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Gráfico gerado pelo software GeoGebra.
Atividade 2: Construir um gráfico de uma função usando seletor.
a) Construa dois seletores a e b.
b) Usando a entrada algébrica digite a função y= a*x+b.
c) Fazer a intersecção ente a função e o eixo x.
d) Movimente o seletor para ver o que acontece com a reta da função.
Obs: Explicar quando a função é crescente e quando ela é decrescente.
Gráfico gerado pelo software GeoGebra.
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Atividade 3: Usando exemplo do cotidiano.
– Uma pessoa vai escolher um plano de saúde entre duas opções A e B.
– O plano A cobra R$ 10,00 de inscrição e R$ 30,00 por consulta num certo período.
– O plano B cobra R$ 18,00 de inscrição e R$ 40,00 por consulta num mesmo período.
O gasto total de cada plano é dado em função do numero x de consulta, desta forma qual
dos planos é mais econômico.
Gráfico gerado pelo software GeoGebra.
Obs.: Pelo gráfico podemos visualizar que com quatro consultas os planos A e B tem
preços iguais, a partir de cinco consultas o plano A passa a ser mais econômico que B.
4.2. EXPERIMENTO
Objetivo:
Desenvolver no aluno um caráter investigativo e crítico,
mediante manipulação com objetos concretos,
possibilitando o contato direto com os conceitos
pertinentes de Função Polinomial.
Procedimentos:
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Colocar água em copo até atingir uma altura de 3 cm;
Colocar as bolinhas de gude no copo (4 de cada vez) e anotar o resultado;
Construir, na folha de papel milímetro, o gráfico da relação entre x e y;
Deduzir uma relação entre x e y, a partir da situação geométrica.
Vamos considerar o número de bolinhas como a variável independente (x) e o nível de
água como a variável dependente (y).
Grupo: Cada equipe teve de 4 a 5 alunos.
CONCLUSÃO: Construir relatório do resultado da
atividade.
4.3. MÍDIATECA
Estudar um pouco mais?
Objetivo:
Objetiva-se com a música na sala de aula, aumentar a
habilidade da criança para aprender conceitos Matemáticos,
inseridos na letra de paródia, bem como desenvolver habilidades fundamentais, como
autodisciplina, capacidade para trabalhar em grupo e facilidade para a resolução de
problemas.
Vídeo sobre paródia das Funções afim:
https://www.youtube.com/watch?v=LSARPX_Plk#t=18
4.4 ESTUDE UM POUCO MAIS
Acesse Exercício resolvido:
http://www.profcardy.com/exercicios/assunto.php?assunto=Fu
n%E7%E3o%20do%201%BA%20Grau
http://www.supletivounicanto.com.br/docs/matematica/funcao
_1_grau.pdf
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5. REFERÊNCIAS:
http://www.profcardy.com/cardicas/funcao-do-1-grau.php
http://www.matematica.seed.pr.gov.br/modules/conteudo/conteudo.php?conteudo=130
http://www.supletivounicanto.com.br/docs/matematica/funcao_1_grau.pdf
https://www.youtube.com/watch?v=LSARPX_Plk#t=18
http://www.brasilescola.com/matematica/grafico-funcao-1-grau.htm
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