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Laboratório Física Geral
1
Professora Helena Malbouisson Sala 3018A. email da turma: labfisicageraluerj@gmail.com
http://dfnae.fis.uerj.br/twiki/bin/view/DFNAE/FisicaGeralHelena
2
Resumo
3
Organizando um conjunto de dados: Classes e Histogramas
Classes: Intervalos em que um conjunto de dados é agrupado
Histogramas: Número de ocorrências ou frequência das classes de agrupamento de um conjunto de dados
Que tamanho de intervalo devemos usar para cada classe de frequência?
Passo no 1: Definir classes de agrupamento de dados
Passo no 2: Calcular frequências para cada classe de dados
Passo no 3: Representar graficamente frequências em forma de histogramas
4
Organizando um conjunto de dados: Classes e Histogramas
Classes: Intervalos em que um conjunto de dados é agrupado
Histogramas: Número de ocorrências ou frequência das classes de agrupamento de um conjunto de dados
Um conjunto maior de dados (idades):
{10, 7, 10, 11, 10, 15, 8, 12, 14, 9, 6, 8, 7, 14, 10, 10, 7, 12, 12, 9, 13, 10, 9, 8} (anos)
24 elementos
Exemplo:
5
Parâmetros de posição
Mediana: valor que divide uma distribuição ordenada de dados de forma que metade dos dados está acima, e metade abaixo deste valor
N (ımpar)! xmed = x(N+1)/2
N(par)! xmed =xN/2 + x(N/2+1)
2
Média quadrática: raiz quadrada da média dos quadrados dos dados: xrms =
vuut 1
N
NX
i=1
x2i
Moda: Valor mais frequente de um conjunto de dados {x1, x2, x3, ..., xN}
Média: Valor médio de um conjunto de dados agrupados em M classes de frequência. Cada classe possui ponto médio {x1, x2, ..., xM} e frequência {n1, n2, ..., nM}: x =
1
N
NX
j=1
njxj
6
Organizando um conjunto de dados: Classes e Histogramas
Dados da Turma
http://dfnae.fis.uerj.br/twiki/pub/DFNAE/FisicaGeralHelena/DadosAlunos.pdf
DadosAlunos
Page 1
1 80 1.68 182 60 1.94 183 80 1.7 184 66 1.76 185 87.5 1.73 196 58 1.66 187 92 1.8 218 57 1.6 189 64 1.67 18
10 57 1.73 1811 75 1.73 1712 59 1.61 1813 90 1.69 1814 67 1.71 1715 60 1.78 1916 72 1.68 2217 73 1.7 1818 86 1.64 1919 75 1.64 1820 95 1.8 2021 60 1.75 1722 75 1.78 1823 65 1.75 1824 60 1.69 1725 73 1.78 1926 63 1.7 1827 78 1.75 3428 64 1.64 1829 50 1.75 1930 61 1.67 1831 70 1.7 1832 60 1.8 2033 57 1.63 1834 110 1.89 2335 71 1.71 1836 65 1.65 1837 67 1.72 1738 58 1.65 1939 90 1.75 1840 64 1.7 1841 70 1.81 1942 43 1.65 1943 50 1.52 2844 78 1.79 1945 82 1.79 2646 61 1.75 1947 70 1.8 1948 70 1.75 2049 70 1.73 2050 50 1.7 1951 72 1.78 22
Alunx Massa (kg) Altura (m) Idade (anos)
h_alturaEntries 57Mean 171.8Std Dev 8.189Underflow 0Overflow 0
ALTURA (cm)150 155 160 165 170 175 180 185 190 195
num
ero
de a
luno
s
0
1
2
3
4
5
6
7h_altura
Entries 57Mean 171.8Std Dev 8.189Underflow 0Overflow 0
Alturas dos alunos de Fisica Geral, 2017-2/2018-1 Turmas 2 e 3
h_altura_v2Entries 57Mean 171.8Std Dev 8.189Underflow 0Overflow 0
ALTURA (cm)150 155 160 165 170 175 180 185 190 195
num
ero
de a
luno
s
0
2
4
6
8
10
12
14
h_altura_v2Entries 57Mean 171.8Std Dev 8.189Underflow 0Overflow 0
Alturas dos alunos de Fisica Geral, 2017-2/2018-1 Turmas 2 e 3
h_alturaEntries 57Mean 171.8Std Dev 8.189Underflow 0Overflow 0
ALTURA (cm)150 155 160 165 170 175 180 185 190 195
num
ero
de a
luno
s
10
15
20
25
30
35
h_alturaEntries 57Mean 171.8Std Dev 8.189Underflow 0Overflow 0
Alturas dos alunos de Fisica Geral, 2017-2/2018-1 Turmas 2 e 3
7
dados da turma: altura
classe: 1 cm
classe: 5 cm
classe: 15 cm
h_massaEntries 57Mean 68.5Std Dev 13.11Underflow 0Overflow 0
MASSA (Kg)40 50 60 70 80 90 100 110
num
ero
de a
luno
s
0
1
2
3
4
5
6h_massa
Entries 57Mean 68.5Std Dev 13.11Underflow 0Overflow 0
Massas dos alunos de Fisica Geral, 2017-2/2018-1 Turmas 2 e 3
h_massa_v2Entries 57Mean 68.5Std Dev 13.11Underflow 0Overflow 0
MASSA (Kg)40 50 60 70 80 90 100 110
num
ero
de a
luno
s
0
2
4
6
8
10
h_massa_v2Entries 57Mean 68.5Std Dev 13.11Underflow 0Overflow 0
Massas dos alunos de Fisica Geral, 2017-2/2018-1 Turmas 2 e 3
h_massa_v3Entries 57Mean 68.5Std Dev 13.11Underflow 0Overflow 0
MASSA (Kg)40 50 60 70 80 90 100 110
num
ero
de a
luno
s
0
5
10
15
20
25 h_massa_v3Entries 57Mean 68.5Std Dev 13.11Underflow 0Overflow 0
Massas dos alunos de Fisica Geral, 2017-2/2018-1 Turmas 2 e 3
8
dados da turma: massaclasse: 1 kg
classe: 5 kg
classe: 15 kg
h_idadeEntries 57Mean 19.82Std Dev 4.413Underflow 0Overflow 0
IDADE (anos)15 20 25 30 35 40 45
num
ero
de a
luno
s
0
5
10
15
20
25h_idade
Entries 57Mean 19.82Std Dev 4.413Underflow 0Overflow 0
Idades dos alunos de Fisica Geral, 2017-2/2018-1 Turmas 2 e 3
h_idade_v2Entries 57Mean 19.82Std Dev 4.413Underflow 0Overflow 0
IDADE (anos)15 20 25 30 35 40 45
num
ero
de a
luno
s
0
5
10
15
20
25
30
35
h_idade_v2Entries 57Mean 19.82Std Dev 4.413Underflow 0Overflow 0
Idades dos alunos de Fisica Geral, 2017-2/2018-1 Turmas 2 e 3
h_idade_v3Entries 57Mean 19.82Std Dev 4.413Underflow 0Overflow 0
IDADE (anos)15 20 25 30 35 40 45
num
ero
de a
luno
s
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45h_idade_v3
Entries 57Mean 19.82Std Dev 4.413Underflow 0Overflow 0
Idades dos alunos de Fisica Geral, 2017-2/2018-1 Turmas 2 e 3
9
dados da turma: idadeclasse: 1 ano
classe: 2 anos
classe: 4 anos
Parâmetros de dispersão
10
i) Amplitude: Diferença entre os valores máximo e mínimo de uma coleção de dados {x1, x2, ..., xN}
A = xmax � xmin
Parâmetros de dispersão
11
ii) Desvio médio: Média dos módulos dos desvios, em relação à média
|�x| =1N
NX
i=1
|�xi| =1N
NX
i=1
|xi � x| =|x1 � x| + . . . + |xN � x|
N
Parâmetros de dispersão
12
iii) Variância: Média dos quadrados dos desvios (δxi)
�2x =
1N
NX
i=1
(�xi)2 =
1N
NX
i=1
(xi � x)2 =(x1 � x)2 + . . . + (xN � x)2
N
�2x =
1N
NX
i=1
x2i �
1N
NX
i=1
xi
!2
= x2 � x2Note que a expressão para a variância pode ser simplificada por:
Parâmetros de dispersão
13
iv) Desvio padrão: Raiz quadrada da variância, ou média quadrática dos desvios
�x =
vuut 1N
NX
i=1
(�xi)2 =
s(x1 � x)2 + . . . + (xN � x)2
N
�x =q
x2 � x2
Parâmetros de dispersão
14
maxf
/2maxf
1x 2x x
Γ
v) Largura a meia altura: Comprimento do intervalo limitado pelos valores (x1,x2) correspondentes à metade da frequência máxima
�Símbolo:
� = |x2 � x1|
Representando duas variáveis
15
Diagrama de dispersão: Gráfico representando medidas em duas variáveis {(x1, y1), (x2, y2), ..., (xN, yN)}
Exemplo: Considere um conjunto de dados de duas variáveis (x,y)
(x1, y1)
N = 1
Representando duas variáveis
16
Diagrama de dispersão: Gráfico representando medidas em duas variáveis {(x1, y1), (x2, y2), ..., (xN, yN)}
Exemplo: Considere um conjunto de dados de duas variáveis (x,y)
(x1, y1)(x2, y2)
(x3, y3)N =3
Representando duas variáveis
17
Diagrama de dispersão: Gráfico representando medidas em duas variáveis {(x1, y1), (x2, y2), ..., (xN, yN)}
Exemplo: Considere um conjunto de dados de duas variáveis (x,y)
N = 6
Representando duas variáveis
18
Diagrama de dispersão: Gráfico representando medidas em duas variáveis {(x1, y1), (x2, y2), ..., (xN, yN)}
Exemplo: Considere um conjunto de dados de duas variáveis (x,y)
N = 12
Representando duas variáveis
19
Diagrama de dispersão: Gráfico representando medidas em duas variáveis {(x1, y1), (x2, y2), ..., (xN, yN)}
Exemplo: Considere um conjunto de dados de duas variáveis (x,y)
N = 20
Representando duas variáveis
20
Diagrama de dispersão: Gráfico representando medidas em duas variáveis {(x1, y1), (x2, y2), ..., (xN, yN)}
Exemplo: Considere um conjunto de dados de duas variáveis (x,y)
N = 50
Representando duas variáveis
21
Diagrama de dispersão: Gráfico representando medidas em duas variáveis {(x1, y1), (x2, y2), ..., (xN, yN)}
Exemplo: Considere um conjunto de dados de duas variáveis (x,y)
N = 100
Representando duas variáveis
22
Diagrama de dispersão: Gráfico representando medidas em duas variáveis {(x1, y1), (x2, y2), ..., (xN, yN)}
Outro exemplo: dados de altura e massa de uma lista de estudantes:
Parâmetros de correlação
23
i) Covariância: média dos produtos dos desvios nas duas variáveis (δxi e δyi)
�xy =1N
NX
i=1
�xi�yi =1N
NX
i=1
(xi � x) (yi � y)
=(x1 � x) (y1 � y) + . . . + (xN � x) (yN � y)
N
�xy = xy � xyNote que a expressão para a covariância pode ser simplificada por:
�xy = �yxe que não importa a ordem das variáveis:
Parâmetros de correlação: covariância
24
x ⇡ 0
y ⇡ 0
�xy > 0
�xy =1N
NX
i=1
(xi � x) (yi � y)
Covariância:
A maioria dos pares de valores (xi, yi) ocorre acima ou abaixo das médias. Valores maiores de x estão associados a valores maiores de y.
Parâmetros de correlação: covariância
25
x ⇡ 0
y ⇡ 0
�xy =1N
NX
i=1
(xi � x) (yi � y)
Covariância:
�xy < 0
Valores maiores de x estão associados a valores menores de y.
Parâmetros de correlação
26
ii) Coeficiente de correlação linear de Pearson: covariância entre duas variáveis, dividida por seus desvios padrão
r =�xy
�x�y�1 � r 1
Correlação linear, perfeita e positiva: r = 1
Correlação linear, perfeita e negativa: r = �1
27
Próxima aula: finalizar o roteiro de atividades de dados da turma, http://dfnae.fis.uerj.br/twiki/pub/DFNAE/FisicaGeral/pratica1_DadosTurma.pdf
• Para cada medida (idade, altura, massa), calcular:
• parâmetros de posição;
• parâmetros de dispersão;
• diagramas de dispersão:
• massa Vs. altura;
• idade Vs. altura;
• idade Vs. massa;
• Para cada diagrama de dispersão, calcular:
• parâmetros de correlação.
• Exercício 2.5.4 (notas de mecânica e eletricidade).
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