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Formas Quadráticas

Joiner Santiago Ornellas Bolsista PAE (Apoio Acadêmico e Extensão)

Curso de Licenciatura em Matemática, UNESP, Campus de Presidente Prudente, SPE-mail: joinersantiago@hotmail.com

José Ricardo de Rezende ZeniDepartamento de Matemática, UNESP, Campus de Guaratinguetá, SP

E-mail: jrzeni@feg.unesp.br

RESUMO

As funções da forma

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nn22

22211 ...

são conhecidas como formas quadráticas e estas podem ser representadas matricialmente pelo sistema xT.A.x. Neste trabalho nos restringimos aos casos em que a matriz A é simétrica.

O estudo deste tipo de função é importante por suas inúmeras possibilidades de aplicações. Como exemplo, podemos citar: o estudo de vibrações mecânicas, aplicações em estatística e física, dentre outros. No estudo destas e de outras aplicações que envolvem formas quadráticas, surgem com freqüência problemas relacionados com a determinação de máximos e mínimos de funções de varias variáveis e a análise dos gráficos destas funções. Estes dois últimos temas formam a base deste trabalho, que inclui o estudo da teoria dos autovalores e autovetores, diagonalização de matrizes simétricas, o processo de ortogonalização de Gram-Schmidt e outros.

Temos que ao restringirmos o vetor das variáveis à sua norma, podemos encontrar os valores de máximo e mínimo de uma função de varias variáveis conhecendo apenas seus autovalores e autovetores. A determinação de autovalores nos ajuda ainda a classificar geometricamente cônicas e quádricas, que correspondem respectivamente a funções de 2 e 3 variáveis. Já o conhecimento dos autovetores nos fornece a

orientação dos eixos principais destas formas quadráticas.

Numa análise geométrica do gráfico da função, a identificação de cônicas e quádricas depende ainda de sua orientação no plano ou no espaço. Para facilitar este reconhecimento é usual rotacionarmos e/ou transladarmos o sistema de coordenadas, colocando-o em sua forma padrão.

Referências

[1] Howard, Anton e Rorres, Chris. Álgebra Linear com Aplicações. Editora Bookman, 8ª. edição, 2001.

[2] Kolman, Bernard. Introdução à Álgebra Linear com Aplicações. Editora Livros Técnicos e Científicos, 6º edição.

[3] Callioli, Carlos A. & outros. Álgebra Linear e Aplicações. Editora Atual, 7ª.edição, 2000.