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Geometria AnalíticaProf. M.Sc. Guilherme Schünemann

Ponto de partida

• Um ponto é a unidade básica de toda a geometria analítica. A partir dele, definem-se retas, segmentos, vetores, planos, etc.

• Reta – definida por dois pontos

. .

Reta e segmento orientados

Tipos de segmentos

• Segmento nulo – sua extremidade coincide com sua origem

• Segmento oposto – se AB é um segmento orientado, o segmento BA é oposto de AB

• Segmentos equipolentes – dois segmentos orientados são equipolentes quando tem a mesma direção, o mesmo sentidoe o mesmo comprimento

Direção, sentido e comprimento• Direção – dois segmentos tem a mesma direção se suas retas suporte são

paralelas

• Sentido – diz respeito à orientação de um segmento. Dois segmentos podem ter a mesma direção mas não necessariamente o mesmo sentido!

• Comprimento – número de unidades de comprimento associado a um segmento orientado. Este número descreve seu tamanho ou módulo

Propriedades da equipolência

Vetores

• Um vetor 𝐴𝐵 é determinado por uma infinidade de segmentos orientados equipolentes, chamados representantes desse vetor.

Propriedades de vetores• Um vetor é definido por seu módulo, direção e sentido

Propriedades de vetores

• Apenas 𝑢1 é um versor de 𝑣

• Ex1 – Se 𝑣 = 5,

qual seu versor?

Propriedades de vetores

Propriedades de vetores

• Podemos afirmar que dois vetores serão sempre coplanares?

Propriedades de vetores• Exercício – Diga se as afirmativas abaixo são verdadeiras ou falsas

Propriedades de vetores• Exercício – Diga se as afirmativas abaixo são verdadeiras ou falsas

Operações com vetores

Operações com vetores

Operações com vetores

𝑢 − 𝑣 = 𝑣 − 𝑢?

Operações com vetores

Operações com vetores

Operações com vetores

Operações com vetores

Ângulos entre vetores

Ângulos entre vetores

• Ex4 – Determine a direção e o sentido dos vetores (desenhe) u e v da figura nos seguintes casos:• 𝜃 = 90º

• 𝜃 = 𝜋 (180º)

• 𝜃 = 0º

Exercícios

• Exercícios para estudo:

• Steinbruch, Winterle. Geometria analítica: capítulo 1, problemas propostos 1 e 2

• Winterle. Vetores e Geometria analítica: capítulo 1, problemas propostos 1, 2, 10 e 13

Decomposição de um vetor no plano

• Qualquer vetor 𝑥 pode ser representado por outros dois vetores coplanares a ele, 𝑢 e 𝑣

• Só existe uma dupla de números reais 𝑎1 e 𝑎2 tal que:

𝑥 = 𝑎1 𝑣 + 𝑎2𝑢

Decomposição de um vetor no plano

Base ortonormal e base canônica

• 𝑣 = 𝑎1𝑣1 + 𝑎2𝑣2 diz-se que v é uma combinação linear de v1 e v2

• O conjunto 𝐵 = {𝑣1, 𝑣2} é denominado base do plano

• Se os vetores que formam uma base são ortogonais e unitários, essa base é chamada ortonormal

Base ortonormal e base canônica

• A base que determina o plano cartesiano, com vetores ortogonais unitários i e j, com origem em zero é chamada de base canônica

• 𝑖 = 1,0 ; 𝑗 = (0,1)

• Qualquer vetor pode ser escrito como:

• 𝑣 = 𝑥 𝑖 + 𝑦 𝑗

Base ortonormal e base canônica

• Exemplo 1: quais os valores de x e y para que o vetor u = (x+1, 4) seja igual ao vetor v = (5, 2y-6)?

• Exemplo 2: Dados os mesmos vetores do exemplo anterior, determine: 3u+2v; -2u+v

Propriedades de vetores

• Quiz: como podemos representar o ponto médio de

um vetor?

• Exercício: dados os pontos: P(1,2,4), Q(2,3,2), R(2,1,-1), determine as coordenadas do ponto S, tal que P, Q, R E S sejam vértices de um paralelogramo.

• Resposta: S(1,0,1)

• Exercícios para estudo: Steinbruch, Winterle, GA. Capítulo 2, problemas propostos: 2, 3, 10, 11

Aplicações do produto vetorial

O produto vetorial ocorre na fórmula do operador vetorial rotacional. É também utilizado para descrever a Força de Lorentz experimentada por uma carga elétrica movendo-se em um campo magnético. As definições de torque e momento angular também envolvem produto vetorial.

O produto vetorial pode também ser utilizado para calcular a normal de um triângulo ou outro polígono, o que é importante no ramo da computação gráfica e do desenvolvimento de jogos eletrônicos, para permitir efeitos que simulam iluminação e assim obter gráficos mais realistas.

Exercícios para estudo:

Steinbruch e Winterle, Geometria analítica. Capítulo 3, problemas propostos: 1, 7, 15, 16, 18, 34, 40 e 42