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FCM 208 Física (Arquitetura)
Elasticidade
Prof. Dr. José Pedro Donoso
Universidade de São Paulo
Instituto de Física de São Carlos - IFSC
Agradescimentos
O docente da disciplina gostaria de expressar o seu
agradecimento as editoras LTC (Livros Tecnicos e Científicos) e
Cengage Learning pelo acesso às figuras dos livros textos:
” Fisica ” de Tipler & Mosca e “ Fundamentos de Física ” de
Halliday, Resnick e Walker (LTC) e “ Principios de Física ” de
Serway & Jewett (Cengage Learning).
Considere uma barra sólida de comprimento L sujeita a uma força de tração F. Define-se a deformação (strain ou deformation) como a variação relativa do comprimento da barra:
Deformação = ∆L/L
Define-se a tensão (stress) como a força de tração aplicada ao corpo por unidadede área:
Tensão de tração = F/A [unidade: N/m2]
O coeficiente de elasticidade ou modulo de Young (Y) é a razão entre:
Elasticidade
LLA
F
deformação
tensãoY
∆==
Y (em N/m2): 200×109 (aço), 20-30×109 (concreto), 13×109 (madeira), 16×109 (osso) Tensão de ruptura (em N/m2): 300-500×106 (aço), 2×106 (concreto), 180×106 (osso)
Barra maciça sujeita a forças de tração F nas duas extremidades
Até o ponto A, a deformação é proporcional à tensão. Além do limite elástico, correspondente ao ponto B, a barra não retorna a seu comprimento inicial umavez removida a tensão. No ponto C, a barra sofre ruptura
Gráfico tensão vs deformação
P. Tipler, G. MoscaFísica, Volume 1
P. Tipler: Física, Volume 1 (editora LTC)
Um cabo de 1.5 m de comprimento tem área da seção reta de 2.4 mm2. O cabo
está pendurado na vertical e sofre alongamento de 0.32 mm quando
sustenta um corpo de 10 kg preso na sua ponta inferior. Calcular:
(a) a tensão
(b) a deformação
(c) o módulo de Young do material do cabo
Respostas: (a) 4.08 × 107 N/m2, (b) 2.13 × 10-4, (c) 191 × 109 N/m2
Coleção Como Funciona (Editora Abril Cultural, 1984)
Um cabo de aço de 2.5 cm2 de área suporta um elevador de 1 tonelada. O limite elástico (ultimate
strength) do aço é de 300 × 106 N/m2. Se a tensão no cabo não deve exceder 20% do limiteelástico, encontre a máxima aceleração do elevador quando este se movimenta para acima. Resposta: a = 5.2 m/s2 ou 0.53g
Elevador
Quando alguém pisa na tábua, ela se encurva. A parte superior da tábua ficasubmetida a compressão e a parte inferior fica submetida a tração oudilatação. A combinação destas duasforças sustenta o peso da tábua e quem está sobre ela.
Alguns materiais, como o aço , suportam melhor a tração do que a compressão. Por isso que ele é usado em pontes pênseis e em outras aplicações nas quais a resistência a tração é importante. Materiais como o concreto resistem melhor àcompressão do que a tração e são empregados em edifícios e represas. As vigasde concreto usadas em pontes freqüentemente são encurvadas para cima antes de serem instaladas (concreto protendido) para evitar que a viga seja submetida a tração (a viga encurvasse para baixo) quando a carga é aplicada.
Tração e Compressão
J. Trefil & R.M. Hazen, Física Viva (Editora LTC, 2006)
O concreto é muito quebradizo quando colocado em camadas finas. As lajes de
concreto tendem a vergar e quebrar nas áreas sem suporte (a). Essas lajes podem ser
reforçadas com barras de ferro (b). Como o concreto é mais resistente a compressão
do que a tração, as colunas de concreto podem suportar grandes cargas mais as vigas
podem vergar. O uso do concreto protendido cria uma tensão permanente nas
barras de ferro e uma tensão de compressão no concreto, que pode suportar cargas
maiores.
Serway e Jewett, Physics for Scientists and Engineers (Cengage Learning, 2010)
Uma viga suportada em suas extremidades está submetida a
uma tensão de compressão e a uma tensão de dilatação.
Figura do meio : para minimizar a tensão, a viga deve ser
projetada de modo que sua seção reta seja grande nas partes
superior e inferior. Como não existe tensão ao longo da linha
central da viga, essa parte pode ter uma seção reta pequena
(diminuindo o peso). O resultado é a forma indicada na figura.
Figura direita : Um tubo oco é resistente ao encurvamento em
todas as direçòes.
Esquerda : a Torre CN em Toronto de 553 m. A seção reta em
forma de Y dá uma enorme rigidez contra a torção e contra o
encurvamento para a estrutura de 1.3×108 kg
Em uma ponte pênsil , os cabos estão sob tensão
de dilatação e as torres estão sob tensão de
compressão. As estruturas sob tensão são mais
eficientes para sustentar cargas leves ou
moderadas em grandes distâncias: a ponte
Humber (Inglaterra) sustenta o trafego de
caminhões através de um vão central de 1410 m.
Uma ponte em forma de abóbada está
submetida a uma compressão. As estruturas sob
compressão são muito eficientes para sustentar
cargas grandes em distâncias pequenas. A ponte
Sydney Harbour (Australia) de 500 m de vão,
sustenta uma rodovia e uma ferrovia com 4 linhas
Sears & Zemansky, Física 1 (Editora Pearson, SP, 2003)
As cordas do violino são afinadas ajustando-
se a tensão delas com as cravelhas até o
valor da freqüência desejada. As cordas são
confeccionadas em aço (módulo de Young Y =
200 GPa; tensão de ruptura (F/A) = 520 MPa).
Corda Mí:
diâmetro ≈ 0.2 mm (A = πr2 ∼ 3×10-8 m2)
tração aplicada F ≈ 63 N
Deformação tolerada pela corda: (∆L/L) ∼ 1%.
YA
F
L
L =∆ Ou seja, a corda Mi estoura se a deformação relativa for maior que 1%.
Elasticidade das cordas do violino
Corda Lá (quebrada) Ampliações: 60× e 200×
A deformação tolerada pela corda de aço é 1%. Como o comprimento da
corda do violino, desde a cravelha até o microafinador, é de ∼34 cm,
basta uma volta na cravelha para consumir esse 1% de tolerância.
Ao apertar-se um pouco mais a cravelha, a corda rompe-se.
Resnick – Halliday – Krane, Física
Um túnel de 150 m de comprimento, 7.2 m de altura e 6 m de largura será
construído a 60 m de profundidade. O teto do túnel será totalmente sustentado por
colunas de aço de 1000 cm2 de área. A densidade do material do solo é 2.83
g/cm3. (a) Calcule o peso que as colunas terão que agüentar. (b) Quantas colunas
são necessárias para ter um fator de segurança 2 contra ruptura?
Considere a carga de ruptura do aço 400 M N/m2.
Resposta: (a) 1.5 × 109 N; (b) 75
Túnel a 60 m de profundidade
Coleção Como Funciona (Editora Abril Cultural, 1984)
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