exercicios_de_vibracoes
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8/2/2019 exercicios_de_vibracoes
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Engenharia Mecnica
Exerccios de apoio s aulas da disciplina
MECNICA 2
Vibraes Exerccios Propostos
Jorge Fonseca Justo
Departamento de Mecnica
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Vibraes
Mecnica II 12008-09
Problema n 1
Um bloco de 44.48 N suspenso de um cabo que passa sobre um disco de 66.7 N e raio de
22.86 mm, tal como se mostra na figura seguinte. A constante de rigidez da mola 2919 N/m.
Determine o perodo natural de vibrao do sistema.
( 21
2
Disco
o I m R )
Sol. 0.328 s
Problema n 2
Um peso de 26.69 N suspenso de uma mola com uma constante de rigidez k=525.4 N/m.Se inicialmente for dado ao peso uma velocidade vertical, dirigida para cima, de 6.096 m/s
quando est a 50.8 mm acima da sua posio de equilbrio, determine a equao que descreve o
seu movimento, bem como o mximo deslocamento (para cima), medido a partir da sua posio
de equilbrio. Assuma que o deslocamento positivo para baixo.
Sol. ( ) 0.441sin 13.9 3.257s t t [m]
Problema n 3
Um pndulo tem um cabo com 0.4 m de comprimento, sendo-lhe inicialmente imposta uma
velocidade tangencial de 0.2 m/s em direco sua vertical a partir da posio 0.3 rad.
Determine a equao que descreve o movimento angular.
Sol. ( ) 0.3166sin 4.95 1.896t t [rad]
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Vibraes
Mecnica II 22008-09
Problema n 4
Determine a frequncia de vibrao para o bloco, sabendo que as molas esto originalmente
comprimidas .
Sol.1 k
fm
[Hz]
Problema n 5
A viga de seco uniforme representada na figura est suportada nas extremidades por duas
molas A e B, que tm a mesma rigidez k. Quando no h nada apoiado na viga, esta tem um
perodo de vibrao vertical de 0.83 s. Se for colocada um bloco de 50 kg no centro, o perodo de
vibrao vertical de 1.52 s. Calcule a constante de rigidez das molas e a massa da viga.
Sol. 608.5k N/m; 21.24vM kg
Problema n 6
A mquina representada na figura tem massa m e suportada
por quatro molas com constante de rigidez k. Determine o
perodo natural de vibrao vertical.
Sol.m
k
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Vibraes
Mecnica II 32008-09
Problema n 7
Determine o perodo natural de vibrao da esfera de 3 kg. Despreze a massa da barra e o
tamanho da esfera.
Sol. 0.487 s
Problema n 8
Determine a frequncia natural de vibrao do disco de peso 88.964 N. Assuma que no h
deslizamento do disco relativamente superfcie inclinada. A constante de rigidez da mola
k=1751 N/m e o disco tem raio de 0.304 m.
Sol. 1.81f Hz
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Vibraes
Mecnica II 42008-09
Problema n 9
Determine a equao diferencial de movimento para o corpo de 3 kg representado na figura.
Assuma que no h escorregamento na superfcie de contacto quando h oscilao. O raio de
girao do corpo em torno do seu centro de massa KG =125 mm.
Sol. 468.3 0
Problema n 10
A barra suporta uma esfera de 4 kg. Quando aplicada uma fora vertical de 18 N esfera a
barra flecte 14 mm. Se a parede oscilar com uma frequncia de 2 Hz e uma amplitude de 15 mm,
determine a amplitude de vibrao do movimento persistente para a esfera.
Sol. 29.5 mm
Problema n 11
Um bloco de 5 kg suspenso de uma mola com k=300 N/m. Se o bloco for solicitado por
uma fora vertical F=7 sin(8t) N, com t em segundos, determine a equao que descreve o
movimento do bloco quando puxado 100 mm para baixo da posio de equilbrio e libertado a
partir do repouso para t=0 s. Assuma que o sentido positivo do deslocamento medido para
baixo.Sol. ( ) 0.3615sin(7.746 ) 0.1cos(7.746 ) 0.35sin(8 )s t t t t [m]
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Vibraes
Mecnica II 52008-09
Problema n 12
O motor est montado sobre um apoio suportado por molas. Defina o estado persistente do
sistema se o bloco e o motor tiverem um peso total de 6672 N e se o motor, quando trabalha,
criar uma fora F=222.4 sin(2t) N, com t em segundos. Assuma que o sistema vibra s na
direco vertical, com o deslocamento positivo medido para baixo, e que a constante de rigidez
total das molas de k=29188 N/m. Determine a velocidade de rotao do motor que provocar
ressonncia.
Sol. 6.55 rad/s
Problema n 13
O bloco de 20 kg est sujeito a uma fora harmnica F=90.cos(6.t) N, com tem segundos.
Escreva a equao que descreve o movimento persistente.
Sol. ( ) 0.119cos 6 1.466Ps t t [m]
Problema n 14
Um canho tem uma massa de 700 kg e depois de disparar recua uma distncia de 0.64 m.
Se regressar sua posio original devido aco de um amortecedor com um coeficiente de
amortecimento de 2 kN.s/m, determine a constante de rigidez de cada uma das duas molas fixas
base e ao canho, de maneira que o canho recupere sem que haja vibrao.
Sol. 714.3k N/m
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Vibraes
Mecnica II 72008-09
Problema n 17
O bloco de 36 kg est ligado extremidade de uma mola, estando a outra extremidade
sujeita a um deslocamento peridico imposto, 0.15 sen(8 ) [ ]A t m
(
), com tem segundos.
Sendo a constante de rigidez da mola, K=220 N/m:
a) escreva a equao diferencial do movimento, considerando para sentido positivo do
deslocamento ( ).
b) determine a amplitude do movimento persistente.
Sol. 15.8 mm
Problema n 18
Sabendo que a barra tem um peso de 27 N, que o coeficiente de rigidez da mola k=115 N/m, e o amortecedor tem um coeficiente de amortecimento de 876 N.s/m, determine:
a) a equao diferencial do movimento em funo do ngulo que descreve a posio
angular da barra. Considere para sentido positivo do ngulo o sentido dos ponteiros do relgio.
b) o coeficiente de amortecimento que o amortecedor deveria ter para que o sistema fosse
criticamente amortecido.
Momento de inrcia no ponto Cda barra de comprimento l e massa m ,2
3c
m lI
Sol. a)
2
2 2
1.5 0.9 03
ml
k c
; b) 57.1c
N.s/m
0.6 m 0.9 m
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Vibraes
Mecnica II 82008-09
Problema n 19
O mecanismo representado na figura consiste numa barra dobrada, de massa desprezvel
qual est ligada uma massa de peso 22 N. O plana do movimento o plano vertical.
a) Determine o coeficiente de amortecimento crtico e a frequncia natural amortecida para
pequenas oscilaes em torno da posio de equilbrio. Despreze as dimenses da massa D.
b) Determine a equao do movimento, sabendo que para o instante inicial o conjunto se
encontra na posio indicada na figura e o amortecedor exerce uma fora na barra de 1N ().
Considere positivo o sentido de rotao dos ponteiros do relgio (c.w.); c=2.92 N.s/m;
k=29.2 N/m.
Sol. a) 7.1494cc N.s/m ; 4.4248d rad/s b) 0.16276
( ) 0.25799 sin 4.4248tt e t
[rad]
Problema n 20
Um corpo de 200 N de peso, vibrando sob amortecimento viscoso, tem uma frequncia de
10 oscilaes por segundo.
a) Determine o coeficiente de amortecimento viscoso, sabendo que aps 10 segundos a
amplitude sofre uma reduo de 10%.
b) Determine tambm em que proporo se reduziria o perodo de vibrao, se no existisse
amortecimento. Considere que a constante de rigidez da mola k=0.01 N/m.
c) Calcule o decremento logartmico.
Sol. a) 0.4296c N.s/m ; b) 0
0
0.88c
c
; c) 0.01054
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Vibraes
Mecnica II 92008-09
Problema n 21
No sistema representado o peso P 0.03 kgf; a constante elstica da mola K1=1800 N/m;
l=0.1 m; a=b=0.05 m. A meio da barra AB ligado um amortecedor viscoso de constante C1.
Sendo desprezveis a massa e a deformao da barra AB, determine:
a) O coeficiente de amortecimento viscoso do amortecedor que corresponderia ao
amortecimento critico.
b) A relao entre duas amplitudes sucessivas, se o amortecedor produzir uma fora de
amortecimento de 2 N quando a velocidade de 1 m/s.
Sol. a)1
29.39c N.s/m ; b) 1.535
d
t
t
A
A
Problema n 21 Problema n 22
Problema n 22
A massa de 4 kg suspensa tal como mostrado na figura. As duas roldanas so de tamanho
reduzido sendo o atrito desprezvel. Quando o suporte inferior oscila verticalmente de acordo
com a lei 200 cos(18 )y t [mm], considerando y ( +) e s ( +), determine:
a) a equao diferencial do movimento do bloco;
b) a razo de amortecimento, cc c ;
c) a amplitude do movimento persistente.
Sol. a) 4 6000 125 450 sin 18s s s t ; b) 0.403c
cc
; c) 86.3 mm
a b
A B
C1
K1
l
P
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Vibraes
Mecnica II 112008-09
Problema n 24
O sistema representado na figura constitudo por um disco duplo, com uma massa
m = 8 kg e raio de girao kG=135mm, e por mais trs corpos de massa desprezvel. Esses
corpos so uma mola de constante elstica k = 2,6 kN/m, um amortecedor de coeficiente de
amortecimento viscoso c = 30N.s/m e uma barra que liga todos os elementos. O disco rola sem
deslizar sobre o raio r de 150mm e o apoio esquerdo da mola tem um deslocamento definido por
s(t). Admitindo a posio de equilbrio esttico a representada na figura e considerando que no
instante inicial o disco est deslocado dessa posio de +200mm e tem uma velocidade de
rotao nula:
a) Defina a equao diferencial representativa do movimento do disco;
b) Determine a resposta persistente do sistema. Esboe s(t) e a resposta persistente.
Sol. a) 2 2 ( )G G G Gm
k r x cr x kr x kr s t r
; b) 0.326sin(15 0.6)PG
x t [m]
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