exercicios resolvidos de mecflu_cap_2

Mecnica dos Fluidos Teoria Captulo 2 - Prof. Dr. Cludio S. Sartori 1

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Exerccios -

Franco Brunetti Captulo I

1. A viscosidade cinemtica de um leo de 0.028 m2/s e o seu peso especfico relativo de0.85. Encontrar a viscosidade dinmica em unidadesdo sistemas MKS, CGS e SI (g=10 m/s2).

2. A viscosidade dinmica de um leo de5 . 10-4 kgf.s/m2 e seu peso especfico relativo 0.82. Encontre a viscosidade cinemtica nossistemas MKS, SI e CGS (g=10m/s2 e a = 1000kgf/m3.

3. O peso de 3 dm3 de certa substncia 23.5 N. A viscosidade cinemtica 10-5 m2/s. Se g =10 m/s2, qual ser a viscosidade dinmica nos sistemas CGS, MKS e SI?

4. So dadas duas placas planas paralelas distncia de 2mm. A placa superior move-se comvelocidade de 4m/s, enquanto a inferior fixa. Se oespao entre as placas for preenchido com leo ( = 0.1 St; = 830 kg/m3), qual ser a tenso decisalhamento que agir no leo?

v = 4m/s

2 mm

Resposta: = 16,6 N/m2.

5. Uma placa quadrada de 1.0 m de lado e20 N de peso desliza sobre um plano inclinado de30, sobre uma pelcula de leo. A velocidade daplaca de 2m/s constante. Qual a velocidadedinmica do leo se a espessura da pelcula de2mm?

2 mm

2m/s 20 N

30

Resposta: = 10-2 N.s/m2.

6. O pisto da figura tem uma massa de 0.5kg. O cilindro de comprimento ilimitado puxadopara cima com velocidade constante. O dimetro do

cilindro 10 cm e do pisto 9 cm e entre os doisexiste leo com = 10-4 m2/s e = 8000 N/m3. Comque velocidade deve subir o cilindro para qie o pistopermanea em repouso? (Supor diagrama linear e g =10 m/s2).

L = 5 cm fluido

D1

D2Resposta: v = 22,1 m/s

7. Num tear, o fio esticado passando poruma fieira e enrolado num tambor com velocidadeconstante. Na fieira, o fio lubrificado e tingido poruma substncia. A mxima fora que pode seraplicada no fio 1N, pois, ultrapassando-a, ela serompe. Sendo o dimetro do fio 0,5mm e o dimetroda fieira 0,6mm, e sendo a rotao do tambor 30 rpm,qual a mxima viscosidade do lubrificante e qual o momento necessrio no eixo do tambor? R.: M =0,1N.m2; = 0,1 N.s/m2

Resposta: M=0,1 N.m; = 0,1 N.s/m2.

8. Ao girar, o eixo provoca a rotao do tambor. Este enrola a corda, que levanta um peso de10N com uma velocidade constante de 0,5 m/s. Ofluido existente entre o eixo e o tambor tem = 0,1N.s/m2 e apresenta um diagrama linear develocidades. Pede-se: (a) a rotao do eixo; (b) o momento provocado pelo fluido contraa rotao do eixo. Dados: R1 = 10 cm; R2 = 10,1cm; R3 = 20 cm.

lubrificante0,6mm

0,5mm fieira fio

n = cte

L = 10cmTambor D=0.2m

Peso

Resposta: (a) n=125 rpm; (b) Meixo=2,47N.m.


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9. O turbocompressor de um motor decombusto interna tem uma rotao de 120000rpm.Os mancais do eixo so flutuantes e giram com umacerta rotao. So dados:

= 8.10-3 N.s/m2; D1=12mm, D2=12.05mm;L=20mm.

Nas condies de equilbrio dinmico darotao dada, pede-se:

(a) a rotao do mancal flutuante. (b) o momento resistente rotao que age

no eixo do turbocompressor relativo aos mancais.

Mancais flutuantesA

CP TB

A L

CP: CompressorTB: Turbina

leomancal flutuante

eixo

D1

D2

D3

D4

Corte A-A sem escala Resposta: (a) 40,533 rpm; (b) 0,14 N.m

10. Dois discos so dispostos coaxialmenteface a face, separados por um filme de leolubrificante de espessura pequena. Aplicando ummomento no disco (1), ele inicia um movimento emtorno de seu eixo, atravs de um fluido viscoso,estabelece-se o regime, de tal forma que asvelocidades angulares 1 e 2 ficam constantes.Admitindo o regime estabelecido, determinar emfuno a 1 e 2.

D 2

1

Resposta: 1 2 432 tM

D

max20 1 5v yv y

11. A placa da figura tem 4 m2 de rea eespessura desprezvel. Entre a placa e o solo existe um fluido que escoa, formando um diagrama develocidades dado por:

A viscosidade dinmica do fluido 10-2N.s/m2 e a velocidade mxima do escoamento 4m/s. Pede-se: (a) o gradiente de velocidades junto ao solo. (b) a fora necessria para manter a placa emequilbrio.

Resposta: (a) -80 m/s; (b) 3,2 N

Placa F

vmax 20 cm

Solo


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Sears Zemansky Young VII

SEO 14.2 DENSIDADE

14.1 Fazendo um biscate, voc foisolicitado a transportar uma barra de ferro de 85.8cm de comprimento e 2,85 cm de dimetro de umdepsito at um mecnico. Voc precisar usar umcarrinho de mo? (Para responder, calcule o peso dabarra.)

14.2 A Lua possui massa de 7,35 . 1022 kg e raio igual a 1740 km. Qual sua densidade mdia?

14.3 Voc compra uma pea retangular de metal com massa de 0,0158 kg e com dimenses 5,0x 15,0 x 30.0 mm. O vendedor diz que o metal ouro. Para verificar se verdade voc deve calcular a densidade mdia da pea. Qual o valor obtido?Voc foi enganado?

14.4 Um seqestrador exige como resgateum cubo de platina com 40.0 kg. Qual ocomprimento da aresta?

SEO 14.3 PRESSD EM UM FLUIDO

14.5 Um barril contm uma camada de leode 0.120 m flutuando sobre gua com umaprofundidade igual a 0,250 m. A densidade do leo igual a 600 kg/m' a) Qual a presso manomtricana interface entre o leo e a gua? b) Qual a presso manomtrica no fundo do barril?

14.6 Um veculo esportivo vazio pesa 16.5kN. Cada pneu possui uma presso manomtricaigual a 205 kPa.

(a) Qual a rea total de contato dos quatro pneus com o pavimento? (Suponha que as paredesdos pneus sejam flexveis de modo que a pressoexercida pelo pneu sobre o pavimento seja igual presso do existente no interior do pneu.)

(b) Qual a rea total, considerando amesma presso manomtrica do pneu, quando opeso total dos passageiros e da carga for igual a 9,1kN?

14.7 Voc est projetando um sino demergulho para agentar a presso da gua do marat uma profundidade de 250 m.

(a) Qual a presso manomtrica nesta profundidade? (Despreze as variaes de densidadeda gua com a profundidade.)

(b) Sabendo que, para esta profundidade, apresso dentro do sino igual presso fora do sino,qual a fora resultante exercida pela gua fora dosino e pelo ar dentro do sino sobre uma janela devidro circular com dimetro de 30,0 cm? (Despreze

a pequena variao de presso sobre a superfcie dajanela.)

14.8 Qual deve ser a presso manomtricadesenvolvida por uma bomba para bombear gua dofundo do Grand Canyon (a uma altura de 730 m) at o Indian Gardens (a 1370 m)? Expresse a resposta empascais e em atmosferas.

14.9 O lquido no manmetro de tubo abertoindicado na Figura o mercrio, y1 = 3,00 cm e y2 = 7,00 cm. A presso atmosfrica igual a 980 milibares.

(a) Qual a presso absoluta no fundo do tubo em forma de U?

(b) Qual a presso absoluta no tubo abertoa uma profundidade de 4.0 cm abaixo da superfcielivre?

(c) Qual a presso absoluta do gs no tanque?

(d) Qual a presso manomtrica do gs empascais?

14.10 Existe uma profundidade mxima na qual uma mergulhadora (Figura 14.33) pode respiraratravs de um tubo snorkel (respirador), porque medida que a profundidade aumenta, a diferena depresso tambm aumenta, tendendo n produzir umcolapso dos pulmes da mergulhadora.


Como o snorkel liga o ar dos pulmes coma atmosfera sobre a superfcie livre, a presso nointerior dos pulmes igual a uma atm. Qual adiferena de presso entre o exterior e o interior dospulmes da mergulhadora a uma profundidade iguala 6.1 m? Suponha que a mergulhadora estejamergulhada em gua doce. (Um mergulhadorusando uma snorkel (tanque com ar comprimido)respirando o ar comprimido deste dispositivo podeatingir profundidades muito maiores do que ummergulhador usando o snorkel. uma vez que apresso do ar comprimido no interior da snorkelcompensa o aumento da presso da gua no exteriordos pulmes.) 4

14.11 Um curto-circuito eltrico impede o fornecimento da potncia necessria para um submarino que est a uma profundidade de 30 mabaixo da superfcie do oceano. A tripulao deveempurrar uma escotilha com rea de 0.75 m2 e peso igual a 300 N para poder escapar do fundo dosubmarino. Se a presso interna for igual a l,0 atm,qual a fora para baixo que eles devem exercerpara abrir a escotilha?

14.12 Voc foi convidado a projetar umtanque de gua cilndrico pressurizado para umafutura colnia em Marte, onde a acelerao dagravidade igual a 3,71 m/s. A presso na superfcieda gua deve ser igual a 130 kPa e a profundidadedeve ser igual a 14,2 m. A presso do ar no edifciofora do tanque deve ser igual a 93 kPa. Calcule afora resultante para baixo sobre a base do tanque derea igual a 2,00 m2 exercida pelo ar e pela gua no interior do tanque e pelo ar no exterior do tanque.

14.13 Em um foguete um tanque comtampa pressurizada contm 0,250 m3 de querosenede massa igual a 205 kg. A presso na superfciesuperior do querosene igual a 2,01.105 Pa. O querosene exerce uma fora igual a 16,4 kN sobre ofundo do tanque, cuja rea igual a 0,0700 m . Calcule a profundidade do querosene.

14.14 O pisto de um elevador hidrulicode carros possui dimetro igual a 0,30 m. Qual a presso manomtrica em pascais, necessria paraelevar um carro com massa igual a 1200 kg?Expresse esta presso tambm em atmosferas.

SEO 14.4 EMPUXO

14.15 Um bloco de gelo flutua sobre um lagode gua doce. Qual deve ser o volume mnimo dobloco para que uma mulher de 45,0 kg possa ficar em p sobre o bloco sem que ela molhe seus ps?

14.16 Uma amostra de minrio pesa 17,50 Nno ar. Quando a amostra suspensa por uma corda leve e totalmente imersa na gua, a tenso na corda igual a 11,20 N. Calcule o volume total e a densidadeda amostra.

14.17 Um objeto com densidade mdiaflutua na superfcie livre de um fluido com densidade

fluido.(a) Qual a relao entre estas duas

densidades?(b) Levando em conta a resposta do item (a),

como um navio de ao flutua na gua?(c) Em termos de e de fluido qual a frao

do objeto que fica submersa e qual a frao do objeto que fica acima da superfcie do fluido?Verifique se suas respostas fornecem os limitescorreios quando fluido e 0.

(d) Quando voc est a bordo do seu iate, seuprimo Tobias corta de um salva-vidas uma pea retangular (dimenses de 5,0 x 4,0 x 3,0 cm) e a jogano mar. A pea possui massa igual a 42 g. Quando elaflutua no oceano, que frao fica acima da superfcie?

14.18 Uma esfera de plstico oca mantidasubmersa em um lago de gua doce amarrada emuma corda presa no fundo do lago. O volume da esfera igual a 0,650 m e a tenso na corda igual a900 N.

(a) Calcule a fora de empuxo exercida pelagua sobre a esfera,

(b) Qual a massa da esfera?(c) A corda se rompe e a esfera sobe at a superfcie.Quando ela atinge o equilbrio, qual a frao dovolume da esfera que fica submersa?

14.19 Um bloco de madeira cbico comaresta de 10,0 cm flutua sobre uma interface entre uma camada de gua e uma camada de leo, com sua base situada a l,50 cm abaixo da superfcie livre doleo (Figura 14.34). A densidade do leo igual a 790 kg/m3.

(a) Qual a presso manomtrica na facesuperior do bloco?

(b) Qual a,presso manomtrica na face inferior do bloco?

(c) Qual a massa e a densidade do bloco?


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14.20 Um lingote de alumnio slido pesa89 N no ar.

(a) Qual g o seu volume?(b) O lingote suspenso por uma corda

leve e totalmente imersa na gua. Qual a tenso nacorda (o peso aparente do lingote na gua)?

SEO 14.5 TENSO SUPERFICIAL

14.21 Ache a presso manomtrica empascais em uma bolha de s sabo com dimetro igual a 3,00 cm. A tenso superficial igual a 25,0.10-3N/m.

14.22 Calcule o excesso de presso a 20C(a) no interior de uma gota de chuva grande

com raio igual a l ,00 mm;(b) no interior de uma gota de gua com

raio igual a 0,0100 mm (tpica de uma gotcula nonevoeiro).

14.23 Como ficar em p sobre a gua.Estime a fora da tenso superficial para cima quedeveria ser exercida sobre seus ps para que vocpudesse ficar em p sobre a gua. (Voc precisa jmedir a rea dos seus ps.) Qual deveria ser o pesomximo de um corpo que poderia ser sustentadopela gua desta maneira?

14.24 Por que as rvores no fazemsuco do ar? Verificou-se que as pressesnegativas que ocorrem nos tubos que transportam a seiva de uma rvore alta podem atingir cerca de - 20atm. Estes tubos encontram-se abertos no topo emcontato com o ar e a gua pode evaporar das folhas.Porm se as presses so negativas, por que o ar no sugado para as folhas? Para responder a esta pergunta estime a diferena de presso necessriapara forar o ar atravs dos interstcios das paredesdas clulas no interior das folhas (dimetros daordem de 10~8 m) e explique por que o ar exteriorno pode penetrar nas folhas. (Considere a tenso J

superficial da seiva igual da gua a 20C. Estasituao diferente daquela indicada na Figura 14.15:neste caso o arque desloca a seiva nos interstcios.)

14.25 Uma pelcula de gua de sabo possui22cm de largura e est a 200C. O fio que deslizapossui massa igual a 0,700g. Qual o mdulonecessrio T da fora que puxa para baixo para manter o fio em equilbrio?

SEO 14.6 ESCOAMENTO DE UM FLUIDO

14.26 A gua escoa em um tubo cuja seoreta possui rea varivel e em todos os pontos a guaenche completamente o tubo. No ponto 1 a seo reta possui rea igual a 0,07m2 e o mdulo da velocidadedo fluido igual a3,50 m/s. (a) Qual a velocidade do fluido nos pontospara os quais a seo reta possui rea igual a

(i) 0,105m2?(ii) 0,047m2?(b) Calcule o volume de gua descarregada

pela extremidade aberta do tubo em 1 hora.

14.27 A gua escoa em um tubo cilndricocuja seo reta possui rea varivel e em todos ospontos a gua enche completamente o tubo.

(a) Em um ponto onde o raio do tubo iguala 0,150m. Qual a velocidade da gua nesse ponto se a vazo volumtrica no tubo igual a 1,20 m3/s?

(b) Em um segundo ponto a velocidade dagua igual a 3,80 m/s. Qual o raio do tubo nesseponto?

14.28 Deduza a equao da continuidade.Quando a densidade cresce 1.50% de um

ponto 1 at um ponto 2, o que ocorre com a vazo volumtrica?

SEO 14.7 EQUAO E BERNOULLI

14.29 Um tanque selado que contm gua domar at uma altura igual a 11,0m tambm contm ar acima da gua a uma presso manomtrica igual a3,00 atm. A gua flui para fora atravs de umpequeno orifcio na base do tanque. Calcule a velocidade de efluxo da gua.

14.30 Um pequeno orifcio circular comdimetro igual a 6,00 mm cortado na superfcielateral de um grande tanque de gua, a profundidadede 14m abaixo da superfcie livre da gua. O topo dotanque est aberto para a atmosfera. Ache: (a) a velocidade de efluxo;

(b) o volume de gua descarregada porunidade de tempo.

14.31 Qual a presso manomtricanecessria no tubo principal da rua para que umamangueira de apagar incndio ligada a ele seja capaz


6

560 10 Pa

41.80 10 Pa

de lanar gua at uma altura de 15m? (Suponha queo dimetro do tubo principal seja muito maior doque o dimetro da mangueira de apagar incndio.

14.32 Em um ponto de um encanamento avelocidade da gua 3,00 /s e a pressomanomtrica igual a 5,00.104Pa. Calcule a pressomanomtrica em um segundo ponto doencanamento, 11,0m abaixo do primeiro, sabendo odimetro do cano no segundo ponto igual ao dobrodo dimetro do primeiro.

14.33 Sustentao sobre um avio. Aslinhas de corrente horizontais em torno das pequenasasas de um avio so tais que a velocidade sobre asuperfcie superior igual a 70,0 m/s e sobre a superfcie inferior igual a 60,0 m/s. Se o aviopossui massa igual a 1340 kg e a rea da asa iguala 162 m2, qual a fora resultante vertical(incluindo o efeito da gravidade) sobre o avio? A densidade do at 1.20 kg/m3.

14.34 Uma bebida leve (essencialmentegua) flui em um tubo de uma fbrica de cervejacom uma vazo volumtrica tal que deva encher 220latas de 0.355L por minuto. Em um ponto 2 do tubo,situado a 1.35m acima do ponto 2, a rea da seoreta igual a 2.00 cm2. Obtenha: (a) a vazo mssica; (b) a vazo volumtrica; (c) as velocidades do escoamento nospontos 1 e 2; (d) a presso manomtrica no ponto 1.

14.35 A gua descarregada de um tubocilndrico horizontal, com uma taxa de 465 cm3/s.Em um ponto do tubo onde o raio 2.05 cm a

presso absoluta igual a 1. . Qual o raio do tubo em uma constrio onde a presso se reduz

para ?51.20 10 Pa

14.36 Em dado ponto de um escoamentocilndrico horizontal a velocidade da gua igual a2.50 m/s e a presso manomtrica igual a

. Calcule a presso manomtrica em umsegundo ponto do encanamento sabendo que odimetro do cano no segundo ponto igual ao dobrodo dimetro do primeiro.

SEO 14.9 VISCOSIDADE

*14.37 gua a 20C se escoa em tubo deraio igual a 10,0 cm. A viscosidade da gua a 20C igual a l ,005 centipoise. (Se a velocidade da guano centro do tubo igual a 2,50 m/s, qual a velocidade da gua

(a) a 5,0 cm a partir do centro do tubo (nametade do caminho entre o centro e a parede)?

(b) sobre as paredes do tubo?

* 14.38 gua a 20C se escoa em tubo deraio igual a 8.50 mm. A viscosidade da gua a 20C igual a l,005 centipoise. Se a velocidade da gua nocentro do tubo igual a 0,200 m/s e o escoamento laminar, calcule a queda de presso devida viscosidade ao longo de 3,00 m de comprimento dotubo.

* 14.39 gua a 20C se escoa em tubo horizontal com 15,0 m de comprimento; oescoamento laminar e a gua enche completamenteo tubo. Uma bomba mantm uma pressomanomtrica igual a 1200 Pa em um tanque grandeconectado a uma extremidade do tubo. A outra extremidade do tubo est aberta para o ar. Aviscosidade da gua a 200C igual a l,005 centipoise.

(a) Se o tubo possui dimetro igual a 9,00cm, qual a vazo volumtrica?

(b) Que presso manomtrica deve a bombafornecer para produzir a mesma vazo volumtrica de um tubo com dimetro igual a 3,00 cm?

(c) Para o tubo da parte (a) e mantendo-se amesma presso manomtrica da bomba, qual a novavazo volumtrica quando a gua est a umatemperatura de 600C? (A viscosidade da gua a 600C igual a 0,469 centipoise.)

* 14.40 O inseto Rhodinus pmlixus da Amrica do Sul suga o sangue de mamferos. Seu ferro semelhantea uma agulha hipodrmica muito fina (que permitesugar o sangue de sua vtima sem causar dor,portanto, sem que seja notado). A parte mais estreita da "agulha" possui dimetro igual a 10 /um ecomprimento igual a 0,20 mm. a) Qual deve ser apresso manomtrica na cavidade da boca do insetose ele sugar 0,25 cm de sangue em 15 minutos?Expresse sua resposta em Pa e em atm. (Aviscosidade do sangue em tal tubo fino igual a l,0centipoise. Para obter uma resposta aproximadaaplique a equao de Poiseuille ao sangue, embora eleseja um fluido no-newtoniano.) b) Por que no uma boa aproximao desprezar as dimenses dasoutras partes do ferro do inseto?

* 14.41 Qual deve ser a velocidade de umaesfera de alumnio com raio igual a 2,00 mm se deslocando em leo de rcino a 20C para que a forade arraste devido viscosidade seja igual a um quartodo peso da esfera? (A viscosidade do leo de rcinopara esta temperatura igual a 9,86 poise.)

* 14.42 Medida da viscosidade. Uma esferade lato com massa igual a 0,35 g cai com velocidadeterminal igual a 5,0 cm/s em um lquidodesconhecido. Sabendo que a densidade do lquido igual a 2900 kg/m\ qual a sua viscosidade?


*14.43 Mantendo todas as demaisgrandezas constantes, o que ocorre com a vazovolumtrica de um escoamento laminar quandodobramos:

(a) o dimetro do tubo?(b) a viscosidade?(c) a diferena de presso?(d) o gradiente de presso?(e) o comprimento do tubo?

14.44 Para os arremessos normais de umabola de basquete (exceto para os arremessosdesesperados) a fora de resistncia do ar desprezvel. Para demonstrar isso, considere a razoda fora da Lei de Stokes e o peso de uma bola debasquete de 0,6000 kg. A bola de basquete possuium raio igual a 0,124m e se move com velocidadede 5m/s no ar com densidade igual a 1,2 kg/m3.

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14.45 Um feixe de laser muito estreito comelevada intensidade perfura um orifcio cilndrico nocasco de uma espaonave de fico cientfica; oorifcio possui comprimento de 0.180m e um raio deapenas 50.0 m. O interior da espaonave possuipresso de 1 atm e ar a 200C com viscosidade igual a181 Po comea a escapar com escoamento laminarpara o vcuo no exterior da espaonave. (a) Qual a velocidade do ar ao longo do eixo do cilindro na extremidade externa e na metadeda distncia entre este ponto e o ponto externo? (b) Quantos dias sero necessrios para queocorra uma perda de 1m3 de ar atravs desseorifcio? (Suponha que a presso interna permaneaigual a 1 atm. (c) Qual seria o fator de multiplicao dasrespostas dos itens (a) e (b) se o raio do orifciodobrasse de valor e o escoamento permanecesselaminar?

Problemas

14.46 Em uma aula experimental, umaprofessora separa facilmente dois hemisfrios ocosde ao (dimetro D) usando as duas mos. A seguirela os encaixa novamente, bombeia o ar para fora daesfera at atingir a presso absoluta p e coloca asfaces opostas do hemisfrio em um bodybuilder (umaparelho de ginstica usado para fazer exerccios detrao) para tentar separ-los. (a) Designando por p0 a pressoatmosfrica, qual a fora que o bodybuilder deveexercer sobre cada hemisfrio? (b) Avalie a resposta para o caso p = 0.025atm e D = 10.0cm.

14.47 O ponto com maior profundidade detodos os oceanos na Terra a fossa das Marianascom uma profundidade de 10.92 km.

(a) Supondo que a gua seja incompressvel,qual a presso para essa profundidade? (b) A presso real nesse ponto igual a

81.160 10 Pa ; o valor que voc calculou deve sermenor que este porque na realidade a densidade dagua aumenta com a profundidade.

Usando o valor da compressibilidade da guae o valor real da presso, ache a densidade no fundoda fossa Marianas. Qual a variao percentual dadensidade da gua?

14.48 Uma piscina mede 5.0 m decomprimento, 4.0 m de largura e possui 3.0 m de profundidade. Determine a fora exercida pela guasobre: (a) o fundo da piscina; (b) sobre cada parte lateral da piscina(Sugesto: Calcule a fora infinitesimal que atuasobre uma faixa horizontal situada a umaprofundidade h e integre sobre a parede lateral.) Despreze a fora produzida pela presso do ar.

14.49 A aresta superior de uma comporta deuma represa est em contato com a superfcie dagua. A comporta possui altura de 2.00 m, largura de4.00 m e possui uma articulao passando pelo seu centro. Calcule o torque produzido pela fora da guaem relao ao eixo da articulao. (Sugesto: Use oprocedimento anlogo ao adotado no problema 19.48;calcule o torque infinitesimal produzido por umafaixa horizontal situada a uma profundidade h e integre sobre a comporta).

14.50 Fora e Torque sobre uma represa.Uma represa possui a forma de um slido retangular.A face de frente para o lago possui rea A e altura H.A superfcie de gua doce do lago atrs da represaest no mesmo nvel do topo da represa. (a) Mostre que a fora resultante horizontalexercida pela gua sobre a represa dada por12 gHA , ou seja, o produto da presso manomtrica

atravs da face da represa pela rea da represa. (b) Mostre que o torque produzido pela forada gua em relao ao eixo passando no fundo da

represa dado por 216 gH A . (c) Como a fora e o torque dependem dotamanho da represa?


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14.51 Um astronauta est em p no plonorte de um novo planeta descoberto com simetriaesfrica de raio R. Ele sustenta em suas mos umrecipiente que contm um lquido de massa mvolume V. Na superfcie do lquido a presso p0; a uma profundidade d abaixo da superfcie, a pressopossui um valor maior que p. A partir dessasinformaes, determine a massa do planeta.

14.52 Para calcular a densidade em umdado ponto no interior de um material, considere umpequeno volume dV em torno desseponto. Se amassa no interior do volume for igual a dm, a densidade no referido ponto ser dada por

dm

dV. Considere uma barra cilndrica com

massa M, raio R e comprimento L, cuja densidadevaria com o quadrado da distncia a uma de suas

extremidades, . 2C x

(a) Mostre que2 3

3MC

R L.

(b) Mostre que a densidade mdia, dada

pela Equao m

V igual a um tero da

densidade na extremidade x = L.

14.53 A Terra no possui uma densidadeconstante; ela mais densa em seu centro e menosdensa na sua superfcie. Uma expresso aproximada

para sua densidade dada por ,

onde A =12.700 kg/m

r A Br

dm r dr

3 e B = 1,50. 103 kg/m4.Considere a Terra como uma esfera com raio R =6,37. 106 m.

(a) Evidncias geolgicas indicam que asdensidades so de 13.100 kg/m3 no centro e de 2400kg/m3 na superfcie. Quais os valores previstos pelaaproximao linear da densidade para estes pontos?

(b) Imagine a Terra dividida em camadasesfricas concntricas. Cada camada possu raio r,

espessura dr, volume e massa

. Integrando desde r = 0 at r = R,

mostre que a massa da Terra com este modelo dada por:

24dV r dr

34 3

3 4M R A BR

(c) Mostre que os valores dados de A e B fornecem a massa da Terra com preciso de 0.4%.

(d) Vimos na que uma camada esfrica nofornece nenhuma contribuio de g no interior da camada. Mostre que esse modelo fornece:

4 3

3 4g r Gr A Br

(e) Mostre que a expresso obtida no item(d) fornece g = 0 no centro da Terra e g = 9,85 m/s2

na superfcie da Terra,(f) Mostre que com este modelo g no

diminui uniformemente com a profundidade e, aocontrrio, atinge um valor mximo igual a

24

9

GA

B= 10,01 m/s no ponto

r = 2A/3 B = 5640 km.

14.54 No Exemplo 12.9 (Seo 12.7) vimosque no interior de um planeta com densidadeconstante (uma hiptese irreal para a Terra) aacelerao da gravidade cresce uniformemente com a distncia ao centro do planeta. Ou seja,

rg r g

R, onde g a acelerao da gravidade na

superfcie, r a distncia ao centro do planeta e R o raio do planeta. O interior do planeta pode serconsiderado aproximadamente como um fluidoincompressvel com densidade .

(a) Substitua a altura h na Equao (14.4) pela coordenada radial r e integre para achar a presso no interior de um planeta com densidadeconstante em funo de r. Considere a presso nasuperfcie igual a zero- (Isso significa desprezar a presso da atmosfera do planeta.)

(b) Usando este modelo, calcule a presso nocentro do Terra. (Use o valor da densidade mdia da Terra, calculando-a mediante os valores da massa e do raio indicados no Apndice F.)

(c) Os gelogos estimam um valoraproximadamente igual a 4.1011 Pa para a presso nocentro da Terra- Este valor concorda com o que voccalculou para r = 0? O que poderia contribuir parauma eventual diferena?

14.55 Um tubo em forma de est aberto em ambas as extremidades e contm uma poro demercrio. Uma quantidade de gua cuidadosamentederramada na extremidade esquerda do tubo emforma de U at que a altura da coluna de gua seja igual a 15.0 cm (Figura 14.36).

(a) Qual a presso manomtrica na interface gua-mercrio?

(b) Calcule a distncia vertical h entre o topoda superfcie do mercrio do lado direito e o topo dasuperfcie da gua do lado esquerdo.


9

14.56 A Grande inundao de melao. Natarde do dia 15 de janeiro de 1919, em um dia nousualmente quente em Boston, correu a ruptura deum tanque cilndrico metlico com dimetro de 27,4m e altura de 27,4 m que continha melao. O melao inundou uma rua formando uma correntecom profundidade igual 9 m, matando pedestres ecavalos e destruindo edifcios. A densidade domelao era igual a 1600 kg/m3. Supondo que otanque estava completamente cheio antes doacidente, qual era a fora total exercida para forapelo melao sobre a superfcie lateral do tanque?

(Sugesto: Considere a fora para foraexercida sobre um anel circular da parede do tanquecom largura dy situado a uma profundidade y abaixo da superfcie superior. Integre para achar a foratotal para fora. Suponha que antes do tanque seromper, a presso sobre a superfcie do melao eraigual presso atmosfrica fora do tanque.)

14.57 Uma barca aberta possui asdimenses indicadas na Figura (4.37. Sabendo-seque todas as partes da barca so feitas com placas deao de espessura igual a 4,0 cm, qual a massa decarvo que a barca pode suportar em gua doce sem afundar? Existe espao suficiente na parte interna dabarca para manter esta quantidade de carvo? (A densidade do carvo aproximadamente iguala1500 kg/m3.)

14.58 Um balo com ar quente possuivolume igual a 2200 m3. O tecido (envoltrio) dobalo pesa 900 N. A cesta com os equipamentos e otanque cheio de propano pesa 1700 N. Se o balopode suportar no limite um peso mximo igual a 3200 N, incluindo passageiros, alimentos e bebidas,sabendo-se que a densidade do ar externo de l ,23kg/m', qual a densidade mdia dos gases quentesno interior do balo?

14.59 A propaganda de um certo carroafirma que ele flutua na gua.

(a) Sabendo-se que a massa do carro igual900 kg e seu volume interno de 3,0 m', qual afrao do carro que fica submersa quando ele flutua?Despreze o volume do ao e de outros materiais,

(b) Atravs de uma passagem, a gua penetra gradualmente deslocando o ar do interior docarro. Qual ser a frao do carro que fica cheia quando ele afunda?

14.60 Um cubo de gelo de massa igual a9,70 g flutua em um copo de 420 cm completamentecheio de gua. A tenso superficial da gua e avariao da densidade com a temperatura sodesprezveis (quando ela permanece lquida),

(a) Qual o volume de gua deslocado pelocubo de gelo?

(b) Depois que o gelo se fundiucomplelamente, a gua transborda? Em caso afirmativo, calcule o volume da gua quetransbordou. Em caso negativo, explique por que istoocorre,

(c) Suponha que a gua do copo seja guasalgada com densidade igual a 1050 kg/m3, qual seriao volume da gua salgada deslocado pelo cubo degelo de 9,70 g?

(d) Refaa o item (b) para o caso de um cubode gelo de gua doce flutuando em gua salgada.

14.61 Um bloco de madeira possuicomprimento de 0,600 m, largura de 0,250 m,espessura de 0,080 m e densidade de 600 kg/m3. Qualdeve ser o volume de chumbo que pode ser amarradoembaixo do bloco de madeira para que ele possaflutuar em gua calma de modo que o seu topo estejaalinhado com a superfcie da gua? Qual a massadeste volume de chumbo?

14.62 Um densmetro constitudo por umbulbo esfrico e uma haste cilndrica cuja seo reta possu rea igual a 0,400 cm(Figura 14.9a). O volume total do bulbo com a haste igual a 13,2 cm'. Quando imerso em gua, odensmetro flutua mantendo a haste a uma altura de 8,00 cm acima da superfcie da gua. Quando imersoem um fluido orgnico, a haste fica a uma altura de3,20 cm acima da superfcie. Ache a densidade dofluido orgnico. (Observao: Este problema ilustra a preciso deste tipo de densmetro. Uma diferena dedensidade relativamente pequena produz umadiferena grande na leitura da escala dodensmetro).

14.63 As densidades do ar, do hlio e dohidrognio(para p = l,0atm e T= 293 K) so 1,20 kg/m3,0,166kg/m3 e 0,0899 kg/m , respectivamente,

(a) Qual o volume em metros cbicosdeslocado por um aerstato cheio de hidrognio sobreo qual atua uma fora de "sustentao" total igual a120 kN? (A "sustentao" a diferena entre a fora de empuxo e o peso do gs que enche o aerstato.)

(b) Qual seria a "sustentao" se o hliofosse usado no lugar do hidrognio? Tendo em vistasua resposta, explique por que o hlio usado nosmodernos dirigveis usados em propagandas.

14.64 MHS de um objeto flutuando. Umobjeto com altura h, massa M e rea da seo reta A flutua verticalmente em um lquido com densidade .


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(a) Calcule a distncia vertical entre asuperfcie do lquido e a parte inferior do objeto naposio de equilbrio,

(b) Uma fora de mdulo F aplicada decima para baixo sobre o topo do objeto. Em sua posio deequilbrio, qual a diferena entre a nova distnciavertical entre a superfcie do lquido e a parteinferior do objeto e a distncia calculada no item (a)? (Suponha que uma pequena parte do objetopermanea sobre a superfcie do lquido.)

(c) Sua resposta da parte (b) mostra que se a fora for repentinamente removida- o objetodever oscilar para cima e para baixo executandoum MHS. Obtenha o perodo deste movimento emfuno da densidade p do lquido, da massa M e darea da seo reta A do objeto. Despreze oamortecimentoprovocado pelo atrito do lquido (Seo 13.8).

14.65 Uma baliza cilndrica de 950 kg flutua verticalmente na gua do mar. O dimetro dabaliza igual a 0,900 m.

(a) Calcule a distncia vertical adicional que a baliza dever afundar quando um homem de70,0 kg ficar em p sobre ela. (Use a expressodeduzida na parte (b) do Problema 14.64.)

(b) Calcule o perodo do MHS resultantequando o homem pular para fora da baliza.(Use aexpresso deduzida na parTe (c) do Problema 14.64e, como nesse problema, despreze o amortecimentoprovocado pelo atritodo lquido.)

14.66 Na gua do mar um salva-vidas comvolume igual a 0,0400 m3 pode suportar o peso deuma pessoa com massa igual a 75,0 kg (comdensidade mdia igual a 980 kg/m3) mantendo 20%do volume da pessoa acima da gua quando o salva-vidas est completamente submerso. Qual a densidade mdia do material que compe o salva-vidas?

14.67 Um bloco de madeira leve est sobreum dos pratos de uma balana de braos iguaissendo exatamente equilibrado pela massa de 0,0950kg de um bloco de lato no outro prato da balana.Calcule a massa do bloco de madeira leve se a suadensidade for igual a 150 kg/m3. Explique por quepodemos desprezar o empuxo sobre o bloco de lato,mas no o empuxo do ar sobre o bloco de madeiraleve.

14.68 O bloco A da Figura 14.38 estsuspenso por uma corda a uma balana de mola D e est submerso em um lquido C contido em umrecipiente cilndrico B. A massa do recipiente iguala l ,00 kg; a massa do lquido l ,80 kg. A leitura dabalana D indica 3,50 kg e a balana E indica 7,50kg. O volume do bloco A igual a 3,80.10-3 m3.

(a) Qual a densidade do lquido?(b) Qual ser a leitura de cada balana

quando o bloco A for retirado do lquido?

14.69 Uma barra de alumnio completamente recoberta por uma camada de ouroformando um lingote com peso igual a 45,0 N.Quando voc suspende o lingote em uma balana demola e a seguir o mergulha na gua, a leitura dabalana indica 39,0 N. Qual o peso do ouro nacamada?

14.70 Uma bola solta cheia de hlioflutuando no interior de um carro com janelas e ventoinhas fechadas se move no sentido da acelerao do carro, porem uma bola frouxa com pouco ar emseu interior se move em sentido contrrio ao daacelerao do carro.

Para explicar a razo deste efeito, consideresomente as foras horizontais que atuam sobre a bola.Seja a o mdulo da acelerao do carro. Considereum tubo de ar horizontal cuja seo reta possui rea A com origem no pra-brisa, onde x = 0 e p = p0 e seorienta para trs. Agora considere um elemento devolume de espessura dx ao longo deste tubo. A presso em sua parte frontal p e a presso em sua parte traseira p + dp. Suponha que o ar possua umadensidade constante p.

(a) Aplique a segunda lei de Newton aoelemento de volume e mostre que dp = pa dx.

(b) Integre o resultado da parte (a) para achara presso na superfcie frontal em termos de a e de x.

(c) Para mostrar que considerar p constante razovel, calcule a diferena de presso em atm para uma grande distncia de 2,5 m e para uma elevadaacelerao de 5,0 m/s2,

(d) Mostre que a fora horizontal resultantesobre um balo de volume V igual Va.

(e) Para foras de atrito desprezveis, mostreque a acelerao da bola (densidade mdia ) dadapor ( )a, de modo que a acelerao relativa dada

por:


11

(f) Use a expresso da a obtida na parte (e)para explicar o sentido do movimento das bolas.

14.71 O peso da coroa de um rei w.Quando suspensa por uma corda leve e totalmenteimersa na gua, a tenso na corda (o peso aparenteda coroa) igual fw.

(a) Mostre que a densidade relativa da coroa dada por . Discuta o significadodos limites quando f = 0 e f = l.

(b) Se a coroa for um slido de ouro e pesar12,9 N no ar, qual ser o seu peso aparente quandoestiver totalmente imersa na gua?

(c) Repita a parte (b) se a coroa for umslido de chumbo com uma camada muito fina deouro, porm com peso ainda igual a 12,9 N no ar.

14.72 Uma pea de ao possui peso w, umpeso aparente (ver o Problema 14.71) w quando est totalmente imersa na gua e um peso aparente wfluidoquando est totalmente imersa em um fluidodesconhecido,

(a) Mostre que a densidade relativa do fluido dada por

(b) Este resultado razovel para os trscasos wfluido maior, menor ou igual a wgua?

(c) O peso aparente da pea de ao em guacom densidade 1000 kg/m3 87,2% do seu peso.Qual a porcentagem do seu peso para o pesoaparente do corpo mergulhado em cido frmico(densidade 1220 kg/m3)?

14.73 Voc funde e molda uma certaquantidade de metal com densidade em umaforma, porm deve tomar cuidado para que no seformem cavidades no interior do material fundido.Voc mede um peso w para o material fundido euma fora de empuxo igual a B.

(a) Mostre que

o volume total das eventuais cavidadesformadas no interior do material fundido.

(b) Se o metal for o cobre, o peso w do material fundido for igual a 156 N e a fora deempuxo for igual a 20 N, qual o volume total dascavidades formadas no interior do material fundido?A que frao do volume do material este volumecorresponde?

14.74 Um bloco cbico de madeira comaresta de 0,100 m de densidade igual a 550 kg/m3

flutua em um recipiente com gua. leo comdensidade igual a 750 kg/m3 derramado sobre guaat que a camada de leo fique 0,035 m abaixo dotopo do bloco.

(a) Qual a profundidade da camada deleo?

(b) Qual a presso manomtrica na faceinferior do bloco?

14.75 Lanando uma ncora. Uma ncorade ferro com massa igual a 35,0 kg e densidade iguala 7860 kg/m3 est sobre o convs de uma barcapequena que possui lados verticais e est flutuandosobre um rio de gua doce. A rea da parte inferior da barca igual a 8,00 m3. A ncora lanada pela partelateral da barca e afunda sem tocar o fundo do riosendo sustentada por uma corda de massa desprezvel.Quando a ncora fica suspensa lateralmente e depoisde a barca parar de oscilar, a barca afundou ou subiuna gua? Qual o valor da distncia vertical que elaafundou ou subiu?

14.76 Suponha que o petrleo de umsuperpetroleiro possua densidade igual a 750 kg/m3.O navio fica encalhado em um banco de areia. Parafazer o navio flutuar novamente sua carga bombeada para fora e armazenada em barris, cada umdeles com massa igual a 15,0 kg quando vazio e comcapacidade para armazenar 0,120 m de petrleo.Despreze o volume ocupado pelo ao do barril,

(a) Se um trabalhador que est transportandoos barris acidentalmente deixa um barril cheio e selado cair pelo lado do navio, o barril flutuar ouafundar na gua do mar?

(b) Se o barril flutua, qual a frao de seuvolume que fica acima da superfcie da gua? Se eleafunda, qual deveria ser a tenso mnima na cordanecessria para rebocar o barril para cima a partir dofundo do mar?

(c) Repita as partes (a) e (b) supondo que opetrleo possua densidade igual a 910 kg/m3 e que amassa de cada barril vazio seja igual a 32,0 kg.

14.77 Um bloco cbico com densidade euma aresta com comprimento L flutua sobre umlquido de densidade maior .

(a) Que frao do volume do bloco ficaacima da superfcie do lquido?

(b) O lquido mais denso do que a gua(densidade igual a ) e no se mistura com ela.Derramando-se gua sobre a superfcie do lquido,qual deve ser a camada da gua para que a superfcielivre da gua coincida com a superfcie superior dobloco? Expresse a resposta em termos de L, , e

. (c) Calcule a profundidade da camada de

gua da parte (b) se o liquido for mercrio e o blocofor de ao com aresta de 10,0 cm.

14-78 Uma barca est em uma eclusaretangular de um rio de gua doce. A eclusa possuicomprimento igual a 60,0 m e largura igual a 20,0 me as comportas de ao das duas extremidades estofechadas. Quando a barca est flutuando na eclusa, uma carga de 2.5.106 N de sucata de metal colocada


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na barca. O metal possui densidade igual a 9000kg/m3,

(a) Depois que a carga de sucata de metal,que estava inicialmente nas margens da eclusa, colocada na barca, de quanto se eleva verticalmenteo nvel da gua da eclusa?

(b) A sucata de metal agora despejada nagua da eclusa pela parte lateral da barca. O nvel dagua da eclusa sobe, desce ou permanece inalterado?Caso ele suba ou desa, de quanto variaverticalmente o nvel da gua da eclusa?

14.79 Um tubo em forma de U quecontm um lquido possui uma seo horizontalde comprimento igual a l (Figura 14.39). Calculea diferena de altura entre as duas colunas delquido nos ramos verticais quando

(a) o tubo se desloca com umaacelerao a para a direita:

(b) o tubo gira em torno de um dos ramosverticais com uma velocidade angular .

(c) Explique por que a diferena de alturano depende da densidade do lquido nem da rea daseo reta do tubo. A resposta seria a mesma se os tubos verticais tivessem reas das sees retasdiferentes? A resposta seria a mesma se a partehorizontal do tubo fosse afunilada diminuindo suaseo reta de uma extremidade at a outra?Explique.

14.80 Um recipiente cilndrico que contmum liquidoincompressvel gira com velocidade angularconstante em tomo de seu eixo de simetria, o qualvamos considerar como o eixo Ou (Figura 14.40).

(a) Mostre que a presso a uma dada alturano interior do lquido cresce com a distncia radial r(para fora do eixo de rotao) de acordo com

(b) Integre esta equao diferencial parcial

para achar a presso em funo da distncia ao eixo de rotao ao longo de uma linha horizontal para y = 0.

(c) Combine a resposta da parte (b) com a Equao (14.5) para mostrar que a superfcie dolquido que gira possui uma forma parablica, ou seja, a altura do liquido dada por

(Esta tcnica usada para fabricar espelhos

parablicos para telescpios; o vidro lquido gira e depois solidificado enquanto est girando.)

14.81 Um fluido incompressvel comdensidade p est em um tubo de teste horizontal comrea da seo reta interna A. O tubo de teste gira comvelocidade angular em uma ultracentrfugadora. Asforas gravtacionais so desprezveis. Considere umelemento de volume do fluido de rea A e espessuradr' situado a uma distncia r' do eixo de rotao. A presso na superfcie interna p e a presso nasuperfcie externa p + dp.

(a) Aplique a segunda lei de Newton aoelemento de volume para mostrar que

(b) Se a superfcie do fluido est em um raior0 onde a presso p0, mostre que a presso p a umadistncia dada por:

(c) Um objeto de volume V e densidade

possui o centro de massa a uma distncia doeixo. Mostre que a fora resultante horizontal sobre oobjeto dada por

, onde Rcm a distncia entre o eixo e o

centro de massa do fluido deslocado,(d) Explique por que o objeto se move para o

centro quandopara fora do centro quando .

(e) Para pequenos objetos com densidadeuniforme, . O que ocorre para umamistura de pequenos objetos deste tipo comdensidades diferentes em uma ultracentrifugadora?

14.82 Qual o raio de uma gota d'gua paraque a diferena entre a presso interna e a pressoexterna da gota seja igual a 0.0250 atm? ConsidereT= 293 K,

14.83 Um bloco cbico de madeira comaresta de 0.30 m fabricado de modo que seu centrode gravidade fique na posio indicada na Figura14.41a. flutuando na gua com a metade de seu


volume submerso. Se o bloco for "tombado" de umngulo de 450 como indicado na Figura 14.41.Calcule o torque resultante em torno de um eixohorizontal perpendicular ao bloco e passando pelocentro geomtrico do bloco.

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14.84 A gua de um grande tanque abertocom paredes verticais possui uma profundidade H(Figura 14.42). Um orifcio feito na parede verticala uma profundidade h abaixo da superfcie da gua.

(a) Qual a distncia R entre a base dotanque e o ponto onde a corrente atinge o solo?

(b) A que distncia acima da base dotanque devemos fazer um segundo furo para que a corrente que emerge dele tenha um alcance igual aodo primeiro furo?

14.85 Um balde cilndrico, aberto na partesuperior, possui dimetro de 10.0 cm e altura igual a 25.0 cm. Um orifcio circular com rea da seo retaigual a l.50 cm2 feito no centro da base dobalde. A partir de um tubo sobre a parte superior, agua flui para dentro do balde com uma taxa igual a2.40.10-4m3/s. At que altura a gua subir no tubo?

14.86 A gua flui continuamente de umtanque aberto, como indicado na Figura 14.43. Aaltura do ponto l igual a 10.0 m e os pontos 2 e 3esto a uma altura igual a 2.00 m. A rea da seoreta no ponto 2 igual a 0.0480 m2 ; no ponto 3 ela igual a 0.0160 m2 . A rea do tanque muito maiordo que a rea da seo reta do tubo. Supondo que aequao de Bemoulii seja vlida, calcule:

(a) a vazo volumtrica em metros cbicospor segundo:

(b) a presso manomtrica no ponto 2.

14.87 O projeto de um avio moderno exigeuma sustentao oriunda do ar que se move sobre as asas aproximadamente igual a 200N por metroquadrado.

14.88 O furaco Emily ocorrido em 1993possua um raio aproximadamente igual a 350 km. Avelocidade do vento nas vizinhanas do centro (o"olho") do furaco, com raio de 30 km atingiu 200 km/h. medida que o ar forma redemoinhos emdireo ao olho. o momento angular permanecepraticamente constante,

(a) Estime a velocidade do vento na periferiado furaco.

(b) Estime a diferena de presso nasuperfcie terrestre entre o olho e a periferia dofuraco. (Sugesto: Ver a Tabela 14.1). Onde apresso maior?

(c) Se a energia cintica do ar que formaredemoinhos no olho pudesse ser convertidacompletamente em energia potencial gravitacional,at que altura o ar se elevaria?

(d) Na realidade o ar se eleva at altitudes dediversos quilmetros. Como voc concilia este fatocom sua resposta do item (c)?

14.89 Dois tanques abertos muito grandes Ae F (Figura 14.44) contm o mesmo lquido. Um tubohorizontal BCD, possuindo uma constrio C e abertoao ar no ponto D leva o lquido para fora na base dotanque A, e um tubo vertical E se liga com aconstrio C e goteja o lquido para o tanque F.Suponha um escoamento com linhas de corrente edespreze a viscosidade. Sabendo que a rea da seo reta da constrio C a metade da rea em D e que Dest a uma distncia h1 abaixo do nvel do lquido notanque A. at que altura h2 o lquido subir no tubo E?

Expresse sua resposta em termos de h1.


14

14.90 O tubo horizontal indicado na Figura14.45 possui seo reta com rea igual a 40,0 cm2

em sua parte mais larga e 10.0 cm2 em suaconstrio. A gua flui no tubo e a vazo volumtrica igual a 6.00.10-3 m3/s (6.00 L/s).Calcule (a) a velocidade do escoamento na partemais larga e na constrio;

(b) a diferena de presso entre estas duaspartes:

(c) a diferena de altura entre os dois nveisdo mercrio existente no tubo em U.

14.91 A Figura 14.27a mostra um lquidose escoando de um tubo vertical. Note que a correntede lquido vertical possui uma forma definida depoisque ela sai do tubo. Para obter a equao para estaforma, suponha que o lquido esteja em queda livrequando ele sai do tubo. No exato momento em que ele sai do tubo, o lquido possui velocidade v0 e o raio da corrente r0.

(a) Obtenha uma expresso para avelocidade do lquido em funo da distncia y queele caiu. Combinando esta relao com a equao dacontinuidade, ache uma expresso para o raio dacorrente em funo de y.

(b) Se a gua escoa de um tubo verticalcom velocidade de l.20 m/s, a que distncia da sadado tubo o raio ser igual metade do seu valor nacorrente original?

14.92 (a) Com que velocidade uma esfera delato com raio de 2.50 mm cai em um tanque deglicerina no instante em que sua acelerao ametade da acelerao de um corpo em queda livre? A viscosidade da glicerina igual a 8.30 poises,

(b) Qual a velocidade terminal da esfera?

14.93 Velocidade de uma bolha em umlquido,(a) Com que velocidade terminal uma bolha

de ar com dimetro de 2.00 mm sobe em um lquidocuja viscosidade igual a l.50 poise e densidade iguala 900 kg/m3? (Suponha que a densidade do ar sejaigual a l.20 kg/m3 e que o dimetro da bolhapermanece constante.)

(b) Qual a velocidade terminal da mesmabolha, na gua a 200C que possui uma viscosidadeigual a l.005 centipoise?

14.94 Um leo com viscosidade igual a 3,00poises e densidade igual a 860 kg/m3 deve serbombeado de um grande tanque aberto para outroatravs de um tubo liso de ao horizontal de comprimento igual a l,50 km e dimetro de 0.110 m.A descarga do fubo ocorre no ar. a) Qual a pressomanomtrica exercida pela bomba, em pascais eatmosferas, para manter uma vazo volumtrica igual a 0,0600 m7s? h) Explique por que o consumo depotncia da bomba igual ao produto da vazovolumtrica pela presso manomtrica exercida pelabomba. Qual o valor numrico da potncia?

14.95 O tanque do lado esquerdo da Figura14.46a est aberto para a atmosfera e a seo retapossui rea muito elevada. A profundidade y = 0.600 m. As reas das sees retas dos tuboshorizontais que saem do tanque so l.00 cm2, 0.40cm2 e 0.20 cm2, respectivamente. O lquido ideal,logo sua viscosidade igual a zero.

(a) Qual a vazo volumtrica para fora do tanque?

(b) Qual a velocidade em cada seo do tubo horizontal?

(c) Qual a altura atingida pelo lquido em cada um dos cinco tubos verticais do lado direito?

(d) Suponha que o lquido da Figura 14.46bpossua viscosidade igual a 0.0600 poise, densidadeigual a 800 kg/m3 e que a profundidade do lquido notanque grande seja tal que a vazo volumtrica doescoamento seja a mesma que a obtida na parte (a). Adistncia entre os tubos laterais entre c e d e a distncia entre e e f so iguais a 0.200 m. As reas dasrespectivas sees retas dos dois diagramas so iguais. Qual a diferena de altura entre os nveis dostopos das colunas de lquido nos tubos verticais em ce d?

(e) E para os tubos em e e f?


(f) Qual a velocidade do escoamento aolongo das diversas partes do tubo horizontal?

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PROBLEMAS DESAFIADORES

14.96 Uma pedra com massa m = 3,00 kg suspensa do teto de um elevador por meio de umacorda leve. A pedra est totalmente imersa na guade um balde apoiado no piso do elevador, porm a pedra no toca nem o fundo nem as paredes dobalde,

(a) Quando o elevador est em repouso, a tenso na corda igual a 21,0 N. Calcule o volumeda pedra,

(b) Deduza uma expresso para a tenso nacorda quando o elevador est subindo com umaacelerao constante a. Calcule a tenso na cordaquando a = 2.50 m/s2 de baixo para cima.

(c) Deduza uma expresso para a tenso nacorda quando o elevador est descendo com umaacelerao constante a. Calcule a tenso na cordaquando a = 2,50 m/s2 de cima para baixo,

(d) Qual a tenso na corda quando oelevador est em queda livre com uma acelerao decima para baixo igual a g?

14.97 Suponha que um bloco de isopor,com = 180 kg/m3, seja mantido totalmente imersona gua (Figura 14.47).

(a) Qual a tenso na corda? Faa o clculo usando o princpio de Arquimedes.

(b) Use a frmula p = p0 + gh paracalcular diretamente a fora exercida pela guasobre as duas faces e sobre a base do isopor; a seguirmostre que a soma vetorial destas foras a fora deempuxo.

14.98 Um tanque grande de dimetro D est aberto para a atmosfera e contm gua at uma alturaH. Um pequeno orifcio com dimetro d (d


mesma altura nos dois tubos servindo de referncia para o nivelamento. Agora surge a dvida para o que ocorre quando existe uma bolha no interior da mangueira. Nossos velhos profissionais afirmam que o ar no afeta a leitura da altura de uma extremidade para outra. Outros alegam que a bolha pode causar importantes imprecises. Voc capazde dar uma resposta relativamente simples para esta pergunta, juntamente com uma explicao?

A figura 14.49 mostra um esquema parailustrar a situao que causou a controvrsia.

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17

Gabarito

14-1: 41,8N, no.

14-2:

./1033.3)1074.1(

3

4)1035.7(

3

433

36

22

3mkgx

mx

kgx

r

m

V

m

14-3:7,03.103 kg/m3; sim.

14-4: O comprimento L de uma aresta docubo

.3.12/104.21

40 31

33

3

1

3

1

cmmkgx

kgmVL

14-5: (a) 706 Pa (b) 3160 Pa.

14-6: (a) Peso em cada pneu:16.5

4porpneuP kN

Presso absoluta em cada pneu:205 101,3 306,3abs m atmp p p kPa

rea em cada pneu:

porpneuporpneu

Pp

A

216.5 4 0,01348306,3

porpneu

abs

PA m

p

2 24 4 0,01348 0,05386 538,6t

rea total: 2A A m m cm

(b) Com o peso extra, a repetio do clculo anterior fornece 836 cm2.

14-7: (a) 2,52.106Pa (b) 1,78.105Pa

14-8: = gh =(1.00 x 103 kg/m3)(9.80 m/s2)(640 m) =

6.27 x 106 Pa = 61.9 atm.

14-9:(a) 1,07.105Pa (b) 1,03.105Pa(c) 1,03.105Pa (d) 5,33.103Pa

14-10: gh = (1.00 x 103 kg/m3)(9.80 m/s2)(6.1 m)=

= 6.0 x 104 Pa.

14-11: 2,3.105Pa

14-12: 130 x 103 Pa + (1.00 x 103

kg/m3)(3.71 m/s2)(14.2 m) 93 x 103 Pa

(2.00 m2) = 1.79 x 105 N.

14-13: 4,14m

14-14:

2

2 2

(1200 )(9.80 / )

( / 2) (0.15 )

F mg kg m s

A d m51.66 10 1.64 .x Pa atm

14-15: 0,562m2

14-16: A fora de empuxo : B = 17.50 N - 11.20 N = 6.30 N, logo

.1043.6)/80.9)(/1000.1(

)30.6( 34233

mxsmmkgx

N

g

BV

gua

A densidade dada por/

/ guagua

m g

V B g B

3 3 3 317.50(1.00 10 / ) 2.78 10 / .6.30

x kg m x kg m

14-17: (a) < fluido (c) submerso / fluido:acima

( fluido- )/ fluido (d) 32%

14-18: (a) B = guagV = (1.00 x 10

3

kg/m3)(9.80 m/s2)(0.650 m3) = 6370 N.

(b)

.558/80.9

90063702 kgsm

NN

g

TB

gm

(c) (Ver o Exerccio 14-17.)Se o volume submerso V ,

14-19: (a) 116 Pa (b) 921 Pa

(c) 0,822 kg , 822 kg/m3

14-20: (a) Desprezando a densidade do ar,

/m gV

g

3 32 3 3

(89 )3.3610

(9.80 / )(2.7 10 / )

NV m

m s x kg m

ou seja 3.4.10-3 m3 com dois algarismossignificativos.

(b) T = - B = - g guaV =


18

.0.567.2

00.11)89(1 NN

alumnio

gua

14-21: 6,67Pa

14-22: Usando a Eq. (14-13),

obtemosmNxeRg

/108.72,2 3

(a) 146 Pa, (b) 1.46 x 104 Pa (note que este resultado 100 vezes maior do que a resposta do item (a)).

14-23: 0.1 N; 0.01 kg

14-24: A anlise que conduziu Eq. (14-13) vlida para os poros;

.109.242 7 PaxDR

14-25:

14-26:

12 1

2

Av v

A2 3

22 2

(3.50 / )(0.0700 ) 0.245 /m s m m sv

A A(a)

(i) A2 = 0.1050 m2, v2 = 2.33 m/s.

(ii) A2 = 0.047 m2, v2 = 5.21 m/s.

(b) v1A1t = v2A2t = (0.245 m

3/s)(3600 s)= 882.

14-27: (a) 17.0 m/s (b) 0.317m.

14-28: (a) Pela equao que precede a Eq.(14-14), dividido pelo intervalo de tempo dtobtemos a Eq. (14-16).

(b) A vazo volumtrica diminui de 1.50%.

14-29: 28.4 m/s

14-30: (a) Pela Eq. (14-22),

./6.16)0.14(2 smmghv

(b) vA = (16.57 m/s)( (0.30 x 10-2 m)2) = 4.69 x 10-4 m3/s. Note que mais um algarismo

significativo foi mantido nos clculos intermedirios.

14-31:

14-32:

Usando v2 = 14

1v na Eq. (14-21),

2 22 1 1 2 1 2

1( )

2p p v v g y y

22 1 1 1 2

15( )

32p p v g y y

4 3 2155.00 10 (1.00 10 ) (3.00) (9.80)(11.0)32

p x Pa x

1.62p Pa

14-33: 500 N de cima para baixo

14-34:

(a) ./30.10.60

)355.0)(220(skg

s

kg

(b)A densidade do lquido

33 3

0.3551000 /

0.355 10

kgkg m

x m

e portanto a vazo volumtrica

./30.1/1030.1/1000

/30.1 333

sLsmxmkg

skg

Este resultado tambm pode ser obtido doseguinte modo

./30.10.60

)355.0)(220(sL

s

L

(b)3 3

1 4 2

1.30 10 /

2.00 10

x m sv

x m

1 2 16.50 / , / 4 1.63 / .v m s v v m s(d)

2 21 2 2 1 2 1

1( )

2p p v v g y y

152 (1/ 2)(1000)(9.80)( 1.35)

119 .

kPa

kPa

14-35: 0.41cm

14-36:Pela Eq. (14-21), para y1 = y2,

2 22 1 1 2

1

2p p v v


19

22 21

2 1 1 1

1

2 4 8

v1

3p p v p v

= 1.80 x 104 Pa + 8

3(1.00 x 103 kg/m3)(2.50 m/s)2 =

= 2.03 x 104 Pa,

onde usamos a equao da continuidade21

2

vv .

14-37: (a) 1.88 m/s (b) 0

14-38: No centro, r = 0 na Eq. (14-25), eexplicitando p1 p2 = p, obtemos

p = max2

4 Lv

R

3 2

2 2

4(1.005 10 / )(3.00 )(0.200 / )

(0.85 10 )

x N s m m m s

x m

33.4p Pa14-39: (a) 0.128 m3/s (b) 9.72.104 Pa

(c) 0.275 m3/s

14-40: (a) Explicitando na Eq. (14-26) a presso manomtrica p = p1 - p2,

4

8 ( / )L dV dtp

R3 3 6

6 4

8(1.0 10 )(0.20 10 )(0.25 10 ) / (15 60)

(5 10 )

x x x x

x52.3 10 2.2 .p x Pa atm

Esta a diferena de presso abaixo daatmosfera existente na boca do inseto, ou seja, apresso manomtrica negativa. A diferena depresso proporcional ao inverso da quarta potnciado dimetro, portanto a maior contribuio para estadiferena de presso devida menor seo reta da boca do inseto.

14-41: 5.96 mm/s

14-42: Da equao da velocidadeterminal, Eq. (14-27), obtemos

1

2

6 1trv mg B mg

onde 1 a densidade do lquido e 2 a densidadedo lato. Explicitando a viscosidade obtemos

rv

mg

6

.12

1

O raio obtido de

V = ,3

4 3rm

c

donde obtemos r = 2.134 x 10-3 m. Substituindo osvalores numricos na relao precedente = 1.13 N s/m2, aproximadamente igual a 11 com doisalgarismos significativos.

14-43: (a) 16x maior (b) do valor inicial. (c) dobra seu valor. (d) dobra seu valor. (e) se reduz a de seu valor inicial.

14-44:Pela Eq. (14-27), a lei de Stokes, obtemos:

6 (181 x 10-7 N s/m2)(0.124 m/s) = 2.12.10-4 N logo o peso igual a 5.88 N; a razo igual a: 3.60.10-5.

14-45: (a) 19.4 m/s, 0, 14.6 m/s. (b)152d (c) in (a), 4; in (b), 1/16.

14-46: (a)

A rea da seo reta da esfera ,4

2D

portanto .4

)(2

0

DppF

(b) A fora em cada hemisfrio produzidapela presso da atmosfera

(5.00 x 10-2 m)2 (1.013) x 105

Pa)(0.975) = 776 N.

14-47: (a) 1.1.108Pa (b) 1080 kg/m3, 5%.

14-48: (a) O peso da gua

gV = (1.00 x 103 kg/m3)(9.80 m/s2)((5.00m)(4.0 m)(3.0 m))=5.88x105 N,

ou seja, 5.9 x 105 N com dois algarismossignificativos.


20

(b) A integrao fornece o resultadoesperado: se a presso fosse uniforme, a fora seriaigual ao produto da presso no ponto mdio pelarea, ou seja,

2

dF gA

3(1.00 10 )(9.80)((4.0)(3.0))(1.50)F x51.76 10F N

ou 1.8 x 105 N com dois algarismossignificativos.

14-49: 2.61.104 N.m

14-50: (a) Ver o Problema 14-49; a fora total dada pela integral dF desde h = 0 at h = H, obtemos F = g H2/2 = gAH/2, onde A = H.

(b) O torque sobre um faixa vertical delargura dh em relao base

dr = dF(H h) = g h(H h)dh,e integrando desde h = 0 at h = H, obtemos

= gAH2/6.

(c) A fora depende da largura e doquadrado da profundidade e o torque em relao base depende da largura e do cubo da profundidade;a rea da superfcie do lago no influi em nenhumdos dois resultados (considerando a mesma largura).

14-51:

14-52: A barra cilndrica possui massaM, raio R, e comprimento L com uma densidadeproporcional distncia at uma das extremidades,ou seja, = Cx2.

(a) M = dV = Cx2dV.

O elemento de volume dado por dV = R2dx.Logo a integral dada por

M = CxL

0

2 R2dx.

A Integrao fornece

M = C R2L

0x2dx = C R2 .3

3L

Explicitando C, obtemos C = 3M/ R2L3. (b) A densidade para a extremidade x = L dada por:

= Cx2 = .3

)(3

22

32 LR

ML

LR

M

O denominador precisamente igual aovolume total V, logo = 3M/V, ou trs vezes adensidade mdia, M/V. Logo a densidade mdia igual a um tero da densidade na extremidade x= L.

14-53: (a) 12.7 kg/m3 (b) 3140 kg/m3

14-54: (a) A Equao (14-4), com o raio r em vez da altura y, pode ser escrita na forma

dp = - g dr = - gs(r/R) dr.

Esta forma mostra que a presso diminuicom o aumento do raio. Integrando, com:

p = 0 em r = R, obtemos

).(2

224 rRR

gdrr

R

gp s

R

s

(b) Usando a relao anterior com r = 0 e

3

3

4

M M

V RObtemos:

24 2

6 2

3(5.97 10 )(9.80 / )(0)

8 (6.38 10 )

x kg m sP

x m

a11(0) 1.71 10 .P P

(c) Embora a ordem de grandeza seja a mesma, o resultado no concorda bem com o valorestimado. Em modelos com densidades mais realistas (ver o Problema 14-53 ou o Problema 9-85), a concentrao da massa para raios menores conduz auma presso mais elevada.

14-55: (a) 1470 kg/m3 (b) 13.9 cm

14-56: Seguindo a sugesto:

,)2)(( 20

RhgdyRgyFh

onde R o raio e h a altura do tanque (o fato que 2R = h mais ou menos acidental).Substituindo osvalores numricos obtemos

F = 5.07 x 108 N.

14-57: 9.8.106 kg, sim.

14-58: A diferena entre asdensidades deve fornecer o "empuxo" de 5800 N (vero Problema 14-63). A densidade mdia dos gases nobalo dada por

(5800)1.23

(9.80)(2200)ave

30.96 /ave kg m 14-59: (a) 30% (b) 70%

14-60: (a) O volume deslocado deve ser aqueleque possui o mesmo peso e massa do


21

gelo, 33

70.9/00.1

70.9cm

cmg

g.

(b) No; quando fundido, a guaresultante ter o mesmo volume que o volumedeslocado por 9.70 g do gelo fundido, e o nvel dagua permanecer o mesmo.

(c)

33

9.709.24

1.05 /

gmcm

gm cm

(d) A gua resultante do cubo de geloderretido ocupar um volume maior do que o dagua salgada deslocada e portanto um volume de 0.46 cm3 deve transbordar.

14-61: 4.66.10-4m3, 5.27 kg.

14-62: A frao f do volume que flutuaacima do lquido dada por

f = 1 - ,fluid

onde a densidade mdia do densmetro (ver oProblema 14-17 ou o Problema 14-59), que pode ser

escrita na forma .1

1

ffluid

Logo, para dois fluidos que possuem fraes de flutuao f1 e f2, temos

.1

1

2

11 f

f2

Nesta forma claro que um valor de f2 maiorcorresponde a uma densidade maior; uma partemaior do flutuador fica acima do fluido. Usando

f1 = 2

3

(8.00 )(0.400 )0.242

(13.2 )

cm cm

cm2

2 3

(3.20 )(0.400 )0.097

(13.2 )

cm cmf

cm3(0.839) 839 /alcool guaobtemos kg m

14-63: (a) 1.1.104m3 (b)112kN

14-64: (a) O princpio de Arquimedes afirma

que gLA = Mg, logo .A

ML

(b) A fora de empuxo dada por:

gA(L + x) = Mg + F; usando o resultado da parte (a)

e explicitando x obtemos .gA

Fx

(c) A constante da mola, ou seja, aproporcionalidade entre o deslocamento x e a foraaplicada F, k = gA, e o perodo da of oscilao

.22gA

M

k

MT

14-65: (a) 0.107m (b) 2.42s

14-66: Para economizar clculosintermedirios, considere a densidade, a massa e ovolume do salva-vidas como 0, m e v, e as mesmasgrandezas referentes pessoa como 1, M e V. Aseguir, igualando a fora de empuxo com o peso, e cancelando o fator comum g, obtemos:

gua ((0.80)V + v) = 0v + 1V,Eliminando V e m, achamos,

.)80.0(1

0 vM

Mv gua

Explicitando 0, obtemos

0 gua1

11 (0.80)

Mv M

v

guagua

1

1 (0.80)M

v3

3 75.0 1.03 101.03 10 1 (8.80)0.0400 980

xx

3732 / .kg m14-67: 0.0958N

14-68: A fora de empuxo sobre a massaA, dividida por g, deve ser igual a

7.50 kg 1.00 kg 1.80 kg = 4.70 kg(ver o Exemplo 14-6), logo a massa do bloco 4.70 g + 3.50 kg = 8.20 kg.

(a) A massa do lquido deslocado pelobloco 4.70 kg, logo a densidade do lquido

./1024.11080.3

70.4 3333

mkgxmx

kg

(b) A balana D far a leitura da massa dobloco, 8.20 kg, como calculamos acima. A balana Efar a leitura da massa do recipiente mais a massa dolquido, 2.80 kg.

14-69: 35.5N


22

14-70: (Note que aumentar x correspondea um deslocamento para a traseira do carro.) (a) A massa de um elemento de volume:

dV = A dx e a fora resultante sobre este elemento dirigidapara a frente e seu mdulo dado por:

(p + dp)A pA = A dp.Pela segunda lei de Newton,A dp = ( A dx)a, ou seja, dp = a dx.

(a) Como constante, e para p = p0em x = 0, obtemos:

p = p0 + ax. (b) Usando = 1.2 kg/m3 no resultadoda parte (a) obtemos

(1.2 kg/m3)(5.0 m/s2)(2.5 m) = 15.0 Pa~15 x 10-5patm,portanto a variao percentual da presso

desprezvel. (c) Seguindo o mtodo da Seo 14-4, afora sobre a bola deve ser igual mesma foraexercida sobre o mesmo volume de ar; esta fora igual ao produto da massa V multiplicada pelaacelerao, ou Va.

(d) A acelerao da bola a foraencontrada na parte (d) dividida pela massa bolaV,ou ( / bola )a. A acelerao em relao ao carro dada pela diferena entre esta acelerao e a acelerao do carro, logo

arel = [( / bola) a]a.

(e) Para uma bola cheia de ar, ( / bola) < 1 (uma bola cheia de ar tende a afundarno ar calmo), e portanto a grandeza entre colchetesna resposta do item (e) negativa; a bola se deslocapara a traseira do carro. No caso de uma bola cheiade hlio, a grandeza entre colchetes positiva e a bola se desloca para a frente do carro.

14-71: (b) 12.1N (c) 11.8N

14-72: (a) Ver o Problema 14-71.Substituindo f por, respectivamente, wgua/w e wfluid/w, obtemos

ao

fluid fluid

, ao

gua gua

,

e dividindo a segunda equao pelaprimeira, obtemos

fluid

gua

fluid

gua

.

(b) Quando fluid maior do que gua, o termo do lado direito da expresso anterior menordo que um, indicando que o fluido menos denso doque a gua. Quando a densidade do fluido igual densidade da gua, obtemos fluid = gua, como era

esperado. Analogamente, quando fluid menor doque gua, o termo do lado direito da expressoanterior maior do que um, indicando que o fluido mais denso do que a gua.

(c) Escrevendo o resultado do item (a) na forma:

fluid

gua

1 f fluid1 fgua

E explicitando ffluid, obtemos:

1 (1 )fluidfluid guagua

f f

1 (1.220)(0.128) 0.844 84.4%.fluidf

14-73: (b) 2.52.10-4m3, 0.124

14-74: (a) Seja d a profundidade dacamada de leo, h a profundidade na qual o cubo estsubmerso na gua e L a aresta do cubo. Ento,igualando a fora de empuxo com o peso, cancelandoos fatores comuns g e a rea da seo reta e omitindoas unidades, obtemos

(1000)h + (750)d = (550)L,onde d, h e L so relacionados por d + h + (0.35)L = L, logo h = (0.65)L d.

Substituindo a relao anterior na primeiraequao, obtemos

.040.000.5

2

)750()1000(

)550()1000)(65.0(m

LLd

(b) A presso manomtrica na face inferiordeve ser suficiente para suportar o bloco, logo

p = madeiragL (550 kg/m3)(9.80 m/s2)(0.100 m) = 539 Pa.

Para conferir, a presso manomtrica,calculada pela densidade e profundidade dos fluidos

((0.040m)(750kg/m3)+(0.025m)(1000kg/m3))(9.80m/s2)

= 39 Pa.

14-75: subiu 5.57.10-4m

14-76:(a) A densidade mdia de um barril

cheio :

leo

m

v750kg / m3

15.0kg

0.120 m3875kg / m 3,

que menor do que a densidade da gua do mar. (b) A frao que flutua (ver o Problema14-17)

1 md

gua

1875 kg / m3

1030 kg / m30.150 15.0%.

A densidade mdia igual a 910

3331172

120.0

32

m

kg

m

kg

m

kg donde se conclui que


23

o barril afunda. A fim de elev-lo necessrio umatenso:

T = (1177)(0.120)(9.80) (1030)(0.120)(9.80)173T N

14-77: (a)

(b)

14-78:(a) A variao da altura y relacionada

com o volume deslocado V por y = ,A

V onde A

a rea da superfcie da gua na eclusa, V ovolume da gua que possui o mesmo peso do metal,portanto

/ gua

gua

gVy

A A gA6

3 3 2

(2.50 10 )

(1.00 10 / )(9.80 / )((60.0 )(20.0 ))

x Ny

x kg m m s m m

0.213 .y m (b) Neste caso, V o volume do metal;na relao anterior, gua deve ser substitudo por

metal = 9.00 gua, que fornece

y = y

9, e y y

8

9y 0.189 m;

este resultado indica quanto abaixa o nvel da guana eclusa.

14-79: (a) (b)

14-80: (a) A variao da presso em relao distncia vertical fornece a fora necessria paramanter um elemento de fluido flutuando emequilbrio na vertical (que se ope ao peso). Para umfluido girando, a variao da presso em relao aoraio fornece a fora necessria para manter umelemento de fluido se acelerando radialmente.Especificamente, obtemos

,padrdrr

pdp

e usando a relao

a 2r obtemosp

r2r.

(b) Chame a presso em y = 0, r = 0 de pa(presso atmosfrica); integrando a expresso para

r

pindicada na parte (a) obtemos

.)0,( 222

rpyrp a

(c) Na Eq. (14-5), p2 = pa,, p1 = p(r, y = 0)como achamos na parte (b), y1 = 0 e y2 = h(r), a altura do lquido acima do plano y = 0. Usando o resultadoda parte (b) obtemos

h(r) = 2r2/2g.

14-81:

14-82: Explicitando R na Eq. (14-13)obtemos

3 2

5

2(72.8 10 / )

(0.250 )(1.013 10 )

x N s mR

atm x Pa

55.75 10

2R

p

R x m

14-83: 7 N.m

14-84: (a) Como no Exemplo 14-9, a

velocidade de sada da gua igual a .2gh Depoisde sair do tanque a gua est em queda livre e otempo que qualquer poro da gua leva para atingiro solo dado por

,)(2

g

hHt

e neste intervalo de tempo a gua se deslocou umadistncia horizontal dada por

.)(2 hHhvtR

(b) Note que seh = H h, h (H h ) = (H h)h,

e portanto h = H h fornece o mesmo alcance.

14-85: 13.1 cm

14-86:

(a) 3 3 1 3 32 ( )v A g y y A

2 23 3 2)9.80 / )(8.00 ) (0.0160 )v A m s m m

33 3 0.200 /v A m s

(b) Como p3 a presso atmosfrica, a presso manomtrica no ponto 2

2

2 2 2 32 3 2 3

2

1 11

2 2

Ap v v v

A

2 1

8( )

9 3,p g y y

Usando a relao anterior encontrada parav3 e substituindo os valores numricos obtemos

p2 = 6.97 x 104 Pa.


24

14-87: 133 m/s

14-88: (a) Usando a constncia do momentoangular, notamos que o produto do radio vezes avelocidade constante, logo a velocidade aproximadamente igual a

(200 km/h) ./17350

30hkm

(b) A presso menor no "olho", de umvalor dado por

2

2 21 1(1.2) (200) (17)2 3

p.6

31.8 10 .p Pa

(c)g

v

2

2

= 160 m com dois algarismos

significativos.

(d) A presso em altitudes mais elevadas menor ainda.

14-89: 3h1.

14-90:

(a) ,/

A

dtdVv logo as

velocidades so3 3

4 2

6.00 10 /6.00 /

10.0 10

x m sm s

x m3 3

4 2

6.00 10 /1.50 / .

40.0 10

x m sm s

x m (b)

,10688.1)(2

1 422

21 Paxvvp

ou 1.69 x 104 Pa com trs algarismos significativos. (c)

g

ph

H g4

3 3 2

(1.688 10 )12.7

(13.6 10 / )(9.80 / )

x Pah cm

x kg m m s

14-91:

14-92: (a) A fora resultante sobre a esfera asoma vetorial da fora gravitacional, da fora deempuxo e da fora viscosa, logo da relao F = ma,obtemos

mg B Fd = .2

logo,2

Bmg

Fmg

d

Substituindo Fd da Eq. (14-27) eexplicitando vt em termos das densidades obtemos a expresso para vt conforme visto no Exemplo 14-13,

porm com no lugar de ;2

especificamente,

obtemos22

9 2tr g

v

3 23 32 (2.50 10 ) (9.80) (4.3 10 1.26 10 )

9 (0.830)

xx x

s24.99 10 / .tv x m

(b) Repetindo o clculo sem o fator2

1 e

multiplicando por obtemos:vt = 0.120 m/s.

14-93: (a) 0.0130m/s (b) 2.16 m/s

14-94: (a) Explicitando p1 p2 = p na Eq. (14-29) e fazendo a variao da altura igual a 0, obtemos

4

8dV Lp gh

dt R2 3

34

8(0.300 / (1.50 10 )(0.0600 / )

(0.055 )

N s m x mp m s

m6.51 10 74.2p x Pa atm

(b)dt

dVpP

(7.51 x 106 Pa)(0.0600 m3/s) = 4.51 x 105 W. O trabalho realizado pdV.

14-95:(a) 6.86.10-5m3/s

(b) cd: 0.686m/s; ef: 1.71 m/s; gh: 3.43m/s (c) c e d: 0.576 m; e e f:0.450m; g e h: 0 (d) 0.0264m (e) 0.165m

14-96: (a) O volume V da pedra

gua gua

B TV

g g2

4 33 3 2

((3.00 )(9.80 / ) 21.0 )8.57 10 .

(1.00 10 / (9.80 / )

kg m s NV x

x kg m m sm

Nos referenciais acelerados, todas asgrandezas que dependem de g (pesos, foras deempuxo, presses manomtricas e tenses) podem sersubstitudas pelo valor eficaz g = g + a, com sentido


25

positivo orientado de baixo para cima. Logo, a tenso T = mg - B = (m - V)g =

T0 ,g

g onde T0 = 21.0 N.

(b) g = g + a; para a = 2.50 m/s2,

T = (21.0 N) .4.2680.9

50.280.9N

(c) Para a = -2.50 m/s2,

T = (21.0 N) .6.1580.9

50.280.9N

(d) Quando a = -g, g = 0 e obtemos T = 0.

14-97: (a) 80.4N

14-98: Quando o nvel da gua a alturay da abertura, a velocidade de sada da gua dadapor

,2gy e .2)2/( 2 gyddt

dV

medida que o tanque drenado, a altura diminui,

logo .2)2/(

2)2/( 2

2

2

gyD

d

D

gydz

dt

dy

Esta equao diferencial permite aseparao das variveis e o tempo T necessrio paradrenar o tanque obtido pela integrao da relao

,22

dtgD

d

y

dy

cuja integrao conduz ao resultado

,2]2[2

0 TgD

dy H

Donde se conclui que

.2

2

222

g

H

d

D

g

H

d

DT

14.99: (a) (b)

14-100: O surgimento de qualquer bolhapode trazer imprecises nas medidas. Ao longo da bolha, a presso nas superfcies da gua podem seriguais porm, como o ar pode ser comprimidodentro da bolha, os dois nveis da gua indicados na Figura 14.49 no so necessariamente iguais(geralmente so diferentes quando existem bolhas namangueira). O mesmo fenmeno ocorre no freiohidrulico. Quando voc pisa no freio, a presso s transmitida integralmente quando no existembolhas nos tubos; quando existem bolhas, o freio nofunciona. O uso de uma mangueira para nivelar umasuperfcie horizontal pode funcionar perfeitamente

bem, desde que no hajam bolhas ao longo damangueira. No caso especfico do Problema 14-100como existe uma bolha, os nveis no so iguais

Sears/Zemansky: Fsica 10 edioManual de Solues

Captulo 14

Traduo: Adir Moyss Luiz, Doutor emCincia pela UFRJ, Prof. Adjunto do Instituto de Fsica da UFRJ.


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