estrutura de dados - grafos
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# Pesquisa e Ordenação #Aula Apoio - Grafos
Prof. Leinylson Fontinele Pereira
17:20 2
TEOREMA
Pesquisa e Ordenação - Aula Apoio - Grafos
17:20 3
Um grafo conexo G é um grafo de Euler se e somente se todos os seus
vértices são de grau par.
Pesquisa e Ordenação - Aula Apoio - Grafos
17:20 4
Grafos?
Pesquisa e Ordenação - Aula Apoio - Grafos
Grafo Não é Algo Recente
17:20
Quem se lembra das aulas de estrutura de dados? Vetores (arrays);
Fila;
Pilha;
Árvores;
Grafos...
Pesquisa e Ordenação - Aula Apoio - Grafos
O Mundo Não Gira Apenas no Banco Relacional
17:20
Muita gente ainda está viciadanos RDBMs, quando pensa em umnovo projeto, já começa imaginar aestrutura de tabelas;
Um arquiteto precisa pensar namelhor solução para cada caso esaber que o mundo da persistêncianão tem apenas os RDBMs.
Pesquisa e Ordenação - Aula Apoio - Grafos
Pensar Fora da Caixa
17:20Pesquisa e Ordenação - Aula Apoio - Grafos
Ser Eficiente
17:20
Usar a tecnologia certa no momento certo vai tornar seu trabalhoabsurdamente eficiente!
Pesquisa e Ordenação - Aula Apoio - Grafos
Grafos?
17:20
Leonhard Euler Inventor da teoria de grafos (1736)
Qual a possibilidade de atravessar todas aspontes da cidade sem repetir nenhuma?
Grafo EulerianoPesquisa e Ordenação - Aula Apoio - Grafos
Exemplo Clássico: Rede Social
17:20Pesquisa e Ordenação - Aula Apoio - Grafos
Isso é um Grafo?
17:20Pesquisa e Ordenação - Aula Apoio - Grafos
Isso é um Grafo?
17:20Pesquisa e Ordenação - Aula Apoio - Grafos
Isso é um Grafo?
17:20Pesquisa e Ordenação - Aula Apoio - Grafos
Isso é um Grafo?
17:20Pesquisa e Ordenação - Aula Apoio - Grafos
Isso é um Grafo?
17:20Pesquisa e Ordenação - Aula Apoio - Grafos
Isso é um Grafo?
17:20Pesquisa e Ordenação - Aula Apoio - Grafos
Isso é um Grafo?
17:20Pesquisa e Ordenação - Aula Apoio - Grafos
Isso é um Grafo?
17:20Pesquisa e Ordenação - Aula Apoio - Grafos
Isso é um Grafo?
17:20Pesquisa e Ordenação - Aula Apoio - Grafos
Isso é um Grafo?
17:20Pesquisa e Ordenação - Aula Apoio - Grafos
Isso é um Grafo?
17:20Pesquisa e Ordenação - Aula Apoio - Grafos
Isso é um Grafo?
17:20Pesquisa e Ordenação - Aula Apoio - Grafos
Isso é um Grafo?
17:20Pesquisa e Ordenação - Aula Apoio - Grafos
Isso é um Grafo?
17:20Pesquisa e Ordenação - Aula Apoio - Grafos
Exemplos de Grafos
17:20Pesquisa e Ordenação - Aula Apoio - Grafos
Grafo Regular
17:20Pesquisa e Ordenação - Aula Apoio - Grafos
Grafo Regular
17:20Pesquisa e Ordenação - Aula Apoio - Grafos
Multigrafo
17:20Pesquisa e Ordenação - Aula Apoio - Grafos
Subgrafo
17:20Pesquisa e Ordenação - Aula Apoio - Grafos
Grafos Estrela
17:20Pesquisa e Ordenação - Aula Apoio - Grafos
Teoria dos Grafos
17:20
A teoria dos grafos é um ramo da matemática que estudaas relações entre os objetos de um determinado conjunto.Para tal são empregadas estruturas chamadas de grafos,G(V,A), onde V é um conjunto não vazio de objetosdenominados vértices e A é um conjunto de pares nãoordenados de V, chamado arestas.
Pesquisa e Ordenação - Aula Apoio - Grafos
Representação de Grafos
17:20Pesquisa e Ordenação - Aula Apoio - Grafos
Para que usar Grafos?
17:20
Sistemas de recomendação
Catálogo de produtos
Filtragem colaborativa
Redes sociais (o clássico)
Sistemas geoespaciais
e muito mais...
Pesquisa e Ordenação - Aula Apoio - Grafos
Quais as Opções para usar Grafos?
17:20Pesquisa e Ordenação - Aula Apoio - Grafos
Neo4J
17:20
Persistência apenas em Grafos;
Implementação em Java;
É o banco mais popular em Grafos;
GPL;
Cypher Query LanguagePesquisa e Ordenação - Aula Apoio - Grafos
Neo4J
17:20
MATCH (keanu:Person { name:'Keanu Reeves' })-[:ACTED_IN]-(movie:Movie)
RETURN movie
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ArangoDB
17:20
Multi Modelagem: Grafos Documentos
Query Language poderosa (AQL); Desenvolvido em C++ Interface REST HTTP; FOXX → Framework que auxilia desenvolvimento web; Drivers nativos para quase todas as linguagens; Livre, mas possui suporte comercial.
Pesquisa e Ordenação - Aula Apoio - Grafos
ArangoShell
17:20
arangosh> var graph_module = require("org/arangodb/general-graph");
arangosh> var graph = graph_module._create("myGraph");
arangosh> graph;
[ Graph myGraph EdgeDefinitions: [ ] VertexCollections: [ ] ]
arangosh> graph._addVertexCollection("shop");
arangosh> graph._addVertexCollection("customer");
arangosh> graph._addVertexCollection("pet");
arangosh> graph
arangosh> var rel = graph_module._directedRelation("isCustomer", ["shop"], ["customer"]);
arangosh> graph._extendEdgeDefinitions(rel);
arangosh> graph;
[ Graph myGraph EdgeDefinitions: [
"isCustomer: [shop] -> [customer]"
] VertexCollections: [ ] ]
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OrientDB
17:20
Assim como ArangoDB, é multi-modelagem:DocumentoGrafos
Desenvolvido em Java; Suporta transações ACID; Possui linguagem semelhante a SQL; Livre, mas possui suporte comercial também.
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Query Language - Exemplos
17:20
orientdb> insert into V set name = 'Jay'create record with RID #9:0
orientdb> create vertex V set name = 'Jay'create vertex with RID #9:1
orientdb> create edge Eat from (select from Person where name ='Luca') to (select from Restaurant where name = 'Dante')
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Definição
17:20
Como representar um conjunto de objetos e as suas relações?
Pesquisa e Ordenação - Aula Apoio - Grafos
Diversos tipos de aplicações necessitam disso
Um grafo é um modelo matemático querepresenta as relações entre objetos de umdeterminado conjunto.
Definição
17:20
Grafos em computação
Pesquisa e Ordenação - Aula Apoio - Grafos
Forma de solucionar problemas computáveis
Buscam o desenvolvimento de algoritmos maiseficientes Qual a melhor rota da minha casa até o
restaurante?
Duas pessoas tem amigos em comum?
Definição
17:20
Um grafo G(V,A) é definido por dois conjuntos
Pesquisa e Ordenação - Aula Apoio - Grafos
Conjunto V de vértices (não vazio) Itens representados em um grafo;
Conjunto A de arestas Utilizadas para conectar pares de vértices, usando
um critério previamente estabelecido.
Definição
17:20Pesquisa e Ordenação - Aula Apoio - Grafos
Conceitos Básicos
17:20
Vértice é cada um dos itens representados no grafo.
Pesquisa e Ordenação - Aula Apoio - Grafos
O seu significado depende da naturezado problema modelado
Pessoas, uma tarefa em um projeto,lugares em um mapa, etc.
Conceitos Básicos
17:20
Aresta liga dois vértices
Pesquisa e Ordenação - Aula Apoio - Grafos
Diz qual a relação entre eles
Dois vértices são adjacentes se existiruma aresta ligando eles. Pessoas (parentesco entre elas ou amizade), tarefas
de um projeto (pré-requisito entre as tarefas),lugares de um mapa (estradas que existem ligandoos lugares), etc.
Conceitos Básicos
17:20
Praticamente qualquer objeto pode serrepresentado como um grafo.
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Conceitos Básicos
17:20
Praticamente qualquer objeto pode serrepresentado como um grafo.
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Conceitos Básicos
17:20
As arestas podem ou não ter direção
Pesquisa e Ordenação - Aula Apoio - Grafos
Conceitos Básicos
17:20
As arestas podem ou não ter direção
Pesquisa e Ordenação - Aula Apoio - Grafos
Conceitos Básicos
17:20
Grau Indica o número de arestas que conectam um vértice do
grafo a outros vértices• número de vizinhos que aquele vértice possui no grafo
No caso dos dígrafos, temos dois tipos de grau:• grau de entrada: número de arestas que chegam ao vértice;• grau de saída: número de arestas que partem do vértice
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Conceitos Básicos
17:20Pesquisa e Ordenação - Aula Apoio - Grafos
Conceitos Básicos
17:20Pesquisa e Ordenação - Aula Apoio - Grafos
Conceitos Básicos
17:20
Laço Uma aresta é chamada de laço
se seu vértice de partida é omesmo que o de chegada
Pesquisa e Ordenação - Aula Apoio - Grafos
Conceitos Básicos
17:20
Caminho Um caminho entre dois vértices é uma sequência de vértices onde cada
vértice está conectado ao vértice seguinte por meio de uma aresta.
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Conceitos Básicos
17:20
Ciclo Caminho onde o vértice inicial e o final são o mesmo vértice.
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Tipos de Grafos
17:20
Grafo trivial
Possui um único vértice e nenhuma aresta
Grafo simples
Grafo não direcionado, sem laços e sem arestasparalelas
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Tipos de Grafos
17:20Pesquisa e Ordenação - Aula Apoio - Grafos
Tipos de Grafos
17:20
Grafo completo
Grafo simples onde cada vértice se conecta a todos osoutros vértices do grafo.
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Tipos de Grafos
17:20
Grafo regular
Grafo onde todos os seus vértices possuem o mesmo grau
Pesquisa e Ordenação - Aula Apoio - Grafos
Tipos de Grafos
17:20
Subgrafo Gs(Vs, As) é um subgrafo deG(V, A) se o conjunto de vértices Vs for um subconjunto
deV, Vs ⊆ V, e se o conjunto de arestas As for um subconjunto de A,As ⊆ A.
Pesquisa e Ordenação - Aula Apoio - Grafos
Tipos de Grafos
17:20
Grafo conexo e desconexo
Grafo conexo: existe um caminho ligando quaisquer dois vértices.
Pesquisa e Ordenação - Aula Apoio - Grafos
Tipos de Grafos
17:20
Grafos isomorfosDois grafos, G1(V1, A1) e G2(V2, A2),
são ditos isomorfos se existe uma função quefaça o mapeamento de vértices e arestas demodo que os dois grafos se tornem coincidentes.
Pesquisa e Ordenação - Aula Apoio - Grafos
Tipos de Grafos
17:20
Grafos isomorfos
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Tipos de Grafos
17:20
Grafo ponderado É um grafo que possui pesos associados a cada uma de suas arestas.
Pesquisa e Ordenação - Aula Apoio - Grafos
Tipos de Grafos
17:20
Grafo Euleriano
Grafo que possui um ciclo que visita todas as suas arestas apenas
uma vez, iniciando e terminando no mesmo vértice.
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Tipos de Grafos
17:20
Grafo Semi-Euleriano
Grafo que possui um caminho aberto que visita todas assuas arestas apenas uma vez.
Pesquisa e Ordenação - Aula Apoio - Grafos
Tipos de Grafos
17:20
Grafo HamiltonianoGrafo que possui um caminho que visita todos os seus
vértices apenas uma vez.
Pesquisa e Ordenação - Aula Apoio - Grafos
Tipos de Representação
17:20
Como representar um grafo no computador?
Matriz de Adjacência
Lista de Adjacência
Qual a representação que deve ser utilizada?
Depende da aplicação!
Pesquisa e Ordenação - Aula Apoio - Grafos
Tipos de Representação
17:20
Matriz de adjacência Utiliza uma matriz N x N para armazenar o grafo, ondeN é o número de vértices• Alto custo computacional, O(N2)
Uma aresta é representada por uma marca na posição(i , j) da matriz• Aresta liga o vértice i ao j
Pesquisa e Ordenação - Aula Apoio - Grafos
Tipos de Representação
17:20
Matriz de adjacência
Pesquisa e Ordenação - Aula Apoio - Grafos
Tipos de Representação
17:20
Lista de adjacência Utiliza uma lista de vértices para descrever as relações entre
os vértices.•Um grafo contendo N vértices utiliza um array de ponteiros de
tamanhoN para armazenar os vértices do grafo•Para cada vértice é criada uma lista de arestas, onde cada
posição da lista armazena o índice do vértice a qual aquelevértice se conecta
Pesquisa e Ordenação - Aula Apoio - Grafos
Tipos de Representação
17:20
Lista de adjacência
Pesquisa e Ordenação - Aula Apoio - Grafos
Tipos de Representação
17:20
Qual representação utilizar?Lista de adjacência é mais indicada para um grafo que
possui muitos vértices mas poucas arestas ligando-os.
A medida que o número de arestas cresce e não havendonenhuma outra informação associada a aresta, o uso deuma matriz de adjacência se torna mais eficiente
Pesquisa e Ordenação - Aula Apoio - Grafos
Material: https://sites.google.com/site/leinylsonuespi
17:20
Material baseado nas aulas de:
Christiano Anderson, Grafos - Uma abordagem divertida
Matemática com o Google Earth, Professor Fernando Brito
Linguagem C Descomplicada , Dr. André R. Backes
Pesquisa e Ordenação - Aula Apoio - Grafos
17:20 76
Desafio!Pesquisa e Ordenação - Aula Apoio - Grafos
Desafio Matematicamente Impossível!!
17:20Pesquisa e Ordenação - Aula Apoio - Grafos
Do que Trata o Desafio?
17:20Pesquisa e Ordenação - Aula Apoio - Grafos
Explicação do Desafio
17:20Pesquisa e Ordenação - Aula Apoio - Grafos
17:20 80
AtividadePesquisa e Ordenação - Aula Apoio - Grafos
17:20 81
Konigsberg Bridges
Pesquisa e Ordenação - Aula Apoio - Grafos
Situação-problema
17:20Pesquisa e Ordenação - Aula Apoio - Grafos
Por muito tempo os moradores da cidade de Königsberg(atualmente Kaliningrado, na Rússia) perguntavam-se se erapossível fazer um passeio na cidade cruzando todas as setepontes que cortavam o rio Pregel.
Passando apenas uma vez por cada ponte, retornando aoponto de partida, ou seja, percorrendo um caminho fechado.
Mapa de Königsberg de 1652
17:20Pesquisa e Ordenação - Aula Apoio - Grafos
Konigsberg Bridges
17:20Pesquisa e Ordenação - Aula Apoio - Grafos
Muitos tentaram fazer um percurso,mas as tentativas foram semprefalhas.
Até que o matemático suíçoLeonhard Euler (1707 − 1783),usando argumentos muito simples,provou em 1736 que não erapossível realizar tal feito.
Konigsberg Bridges
17:20Pesquisa e Ordenação - Aula Apoio - Grafos
Ele usou um diagrama, chamado de grafo2, para reproduzir os principaiselementos do mapa, onde desenhou pontos (vértices) representando as porções deterra e linhas (arestas) representando os percursos pelas sete pontes.
Konigsberg Bridges
17:20Pesquisa e Ordenação - Aula Apoio - Grafos
Daí Euler percebeu que só seria possível fazer o trajetopassando uma única vez em cada ponte e retornando ao pontode partida, se houvesse, partindo de cada vértice, um númeropar de arestas
Isto é, todos os vértices deveriam ser de grau par.
Assim, esse famoso problema matemático tornou-se ponto departida para o desenvolvimento da Teoria dos Grafos.
Konigsberg Bridges
17:20Pesquisa e Ordenação - Aula Apoio - Grafos
Da mesma forma, outras situações reais podem serrepresentadas por grafos como, por exemplo: Esquemas de circuitos integrados; rotas otimizadas para empresas de transporte
sistemas de engenharia de tráfego;
Distribuição de serviços de energia, água, e telefone.
Além disso, também é possível modelar relações dehierarquia, amizade e trabalho.
Konigsberg Bridges
17:20Pesquisa e Ordenação - Aula Apoio - Grafos
Konigsberg Bridges – Várias Abstrações
17:20Pesquisa e Ordenação - Aula Apoio - Grafos
Modelo do Problema
17:20Pesquisa e Ordenação - Aula Apoio - Grafos
𝑉 = { 𝑚 | 𝑚 é 𝑢𝑚𝑎 𝑖𝑙ℎ𝑎 𝑜𝑢 𝑢𝑚𝑎 𝑚𝑎𝑟𝑔𝑒𝑚 }𝐴 = { (𝑚1,𝑚2, 𝑝} | 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑢𝑚𝑎 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑒 𝑝 𝑢𝑛𝑖𝑛𝑑𝑜 𝑎𝑠 𝑚𝑎𝑟𝑔𝑒𝑛𝑠/𝑖𝑙ℎ𝑎𝑠 𝑚1 𝑒 𝑚2 }
𝑉 = { 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷 }𝐴 = { (𝐴, 𝐶, 𝑐), (𝐴, 𝐶, 𝑑), (𝐴, 𝐵, 𝑎), (𝐴, 𝐵, 𝑏), (𝐴, 𝐷, 𝑒), (𝐵, 𝐷, 𝑓), (𝐶, 𝐷, 𝑔) }
Kaliningrado - Federação Russa (Atualmente)
17:20Pesquisa e Ordenação - Aula Apoio - Grafos
Konigsberg Bridges (Atualmente)
17:20Pesquisa e Ordenação - Aula Apoio - Grafos
Relação do Desafio com Konigsberg Bridges
17:20Pesquisa e Ordenação - Aula Apoio - Grafos
Teoria dos Grafos
17:20Pesquisa e Ordenação - Aula Apoio - Grafos
Um Caminho Euleriano é um caminho em umgrafo que visita cada aresta apenas uma vez.
Com caso especial, um Circuito Euleriano é umcaminho Euleriano que começa e termina nomesmo vértice.
Grafo de Königsberg
17:20Pesquisa e Ordenação - Aula Apoio - Grafos
Teoria dos Grafos
17:20Pesquisa e Ordenação - Aula Apoio - Grafos
Pela análise do grafo modelo G para o problema das pontesde Königsberg, observa-se que Para Todo v E V, gr(v) é ímpar.Logo, o grafo G não é um grafo de Euler.
Isso significa que o problema não possui solução. Note quenão é necessário que tenhamos Para Todo v E V, gr(v) é impar ,basta que Exista Pelo Menos Um v E V | gr(v) é impar paraconcluirmos que o grafo em questão não é um grafo de Euler.
Grafo Euleriano
17:20Pesquisa e Ordenação - Aula Apoio - Grafos
Caminho Hamiltoniano
17:20Pesquisa e Ordenação - Aula Apoio - Grafos
Um caminho hamiltoniano é um caminho que permite passarpor todos os vértices de um grafo G, não repetindo nenhum, ou,seja, passar por todos uma e uma só vez por cada.
Caminho Hamiltoniano
17:20Pesquisa e Ordenação - Aula Apoio - Grafos
Matriz de Adjacência
17:20Pesquisa e Ordenação - Aula Apoio - Grafos
Uma matriz de adjacência é uma das formas de se representar um grafo.
Dado um grafo G com n vértices, podemos representá-lo em uma matriz 𝑛 𝑥 𝑛𝐴(𝐺) = [𝑎𝑖𝑗] (ou simplesmente𝐴).
Lista de Adjacência
17:20Pesquisa e Ordenação - Aula Apoio - Grafos
Problema do Caixeiro-Viajante – (PCV)
17:20Pesquisa e Ordenação - Aula Apoio - Grafos
É um problema que tenta determinar a menor rota parapercorrer uma série de cidades (visitando uma única vez cadauma delas), retornando à cidade de origem.
Trata-se de um problema de otimização inspirado nanecessidade dos vendedores em realizar entregas em diversoslocais (as cidades) percorrendo o menor caminho possível,reduzindo o tempo necessário para a viagem e os possíveiscustos com transporte e combustível.
Problema do Caixeiro-Viajante – (PCV)
17:20Pesquisa e Ordenação - Aula Apoio - Grafos
Algoritmo ACO (Ant Colony Optimization)
17:20Pesquisa e Ordenação - Aula Apoio - Grafos
Nos algoritmos ACO, as formigas são simples agentes que, no casodo PCV, constroem circuitos através do movimento entre cidadesno grafo do problema.
A solução construída pelas formigas é elaborada por trilhos deferomonas (artificiais) e pela disponibilidade de informaçãoheurística, à priori.
Quando o algoritmo ACO é aplicado, é associada uma força daferomona, onde 𝜏𝑖𝑗(𝑡) é uma informação numérica que émodificada durante o algoritmo, e t é o contador das iterações
Algoritmo ACO (Ant Colony Optimization)
17:20Pesquisa e Ordenação - Aula Apoio - Grafos
Algoritmo ACO (Ant Colony Optimization)
17:20Pesquisa e Ordenação - Aula Apoio - Grafos
Teorema das Quatro Cores
17:20Pesquisa e Ordenação - Aula Apoio - Grafos
Teorema das Quatro Cores
17:20Pesquisa e Ordenação - Aula Apoio - Grafos
Teorema das Quatro Cores
17:20Pesquisa e Ordenação - Aula Apoio - Grafos
17:20 110
Agora é sua vez!
Pesquisa e Ordenação - Aula Apoio - Grafos
Atividade com o Google Maps
17:20Pesquisa e Ordenação - Aula Apoio - Grafos
As Sete Pontes de Königsberb
Construa o grafo no quadro (indicando as coordenadas) edetermine um percurso optimizado do trecho descrito a seguir:
Partindo da sua residência, trace o menor percurso para chegar àFaculdade Maurício de NASSAU. Seu trajeto deve incluir uma visita àCatedral de N. S. das Graças, Rodoviária de Municipal e ParnaíbaShopping, retornando à sua residência, sem repetir nenhuma rua ouponte, não necessariamente nesta ordem.
Atividade com o Google Maps
17:20Pesquisa e Ordenação - Aula Apoio - Grafos
Atividade com o Google Maps
17:20Pesquisa e Ordenação - Aula Apoio - Grafos
Alguma Dúvida?
17:20
Até a prova!
leinylson@gmail.com
Prática
17:20 115
As aulas práticas foram baseadas no material de
Linguagem C Descomplicada , Dr. André R. Backes.
Disponível em: https://programacaodescomplicada.wordpress.com/
Estrutura de Dados - Aula Apoio - Grafos
Lista Estática Sequencial
17:20
ListaSequencial.h
Os protótipos das funções
O tipo de dado armazenado na lista
O ponteiro lista
Tamanho do vetor usado na lista
Estrutura de Dados - Aula Apoio - Grafos
Lista Estática Sequencial
17:20
ListaSequencial.c
O tipo de dados lista
Implementar as suas funções
Estrutura de Dados - Aula Apoio - Grafos
17:20 118
Definindo o Grafo
Estrutura de Dados - Aula Apoio - Grafos
Definindo o Grafo: TAD Grafo
17:20Estrutura de Dados - Aula Apoio - Grafos
17:20 120
Criando o Grafo
Estrutura de Dados - Aula Apoio - Grafos
Criando o Grafo
17:20Estrutura de Dados - Aula Apoio - Grafos
Criando o Grafo
17:20Estrutura de Dados - Aula Apoio - Grafos
17:20 123
Destruindo o Grafo
Estrutura de Dados - Aula Apoio - Grafos
Destruindo o Grafo
17:20Estrutura de Dados - Aula Apoio - Grafos
Destruindo o Grafo
17:20Estrutura de Dados - Aula Apoio - Grafos
17:20 126
Inserindo uma Aresta no Grafo
Estrutura de Dados - Aula Apoio - Grafos
Inserindo uma Aresta no Grafo
17:20Estrutura de Dados - Aula Apoio - Grafos
Inserindo uma Aresta no Grafo
17:20Estrutura de Dados - Aula Apoio - Grafos
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